On the rate of approximation in the random-sum central limit theorem

Пусть $\{X_n,\,n\ge 1\}$ — последовательность независимых случайных величин, $\mathbf EX_k=a_k$, $\mathbf DX_k=\sigma_k^2<\infty$, $k=1,2,\dots$ . Положим
$$S_N=\sum_{k=1}^NX_k,\qquad L=\sum_{k=1}^Na_k,\qquad M^2=\sum_{k=1}^N\sigma_k^2,$$
где $N$ — не зависящая от $X_1,X_2,\dots$ целочисленная положительная случайная величина, распределение которой зависит от параметра $\lambda$. Пусть $C_B(R)$ — класс ограниченных равномерно непрерывных функций, определенных на действительной прямой $R$, и $C_B^r(R)=\{f\in C_B(R)\colon f^{(i)}\in C_B(R),\ 1\le i\le r\}$. Положим $\displaystyle\|f\|=\sup_x|f(x)|$. Любой функции $f\in C_B(R)$ и функции распределения $F$ сопоставим оператор
$$A_F\colon C_B(R)\to C_B(R),\qquad (A_Ff)(x)=\int_Rf(x+y)\,dF(y).$$
В работе изучается скорость сходимости к нулю величин
$$\|A_{G_\lambda}f-A_{H_\lambda}f\|,\quad \|A_{F_\lambda}f-A_\Phi f\|,\qquad\text{при}\quad f\in C_B^r(R),\quad \lambda\to\infty.$$
где $G_\lambda(x)=\mathbf P\{S_N-\mathbf ES_N<x\sqrt{\mathbf DS_N}\}$, $F_\lambda(x)=\mathbf P\{S_N-L<xM\}$, $H_\lambda(x)=\mathbf E\Phi((x-L+\mathbf ES_N)/M)$ и $\Phi(x)$ — функция распределения нормального закона с параметрами $(0,1)$.