Теория подмногообразий, уравнения ассоциативности двумерных топологических квантовых теорий поля и фробениусовы многообразия

Доказано, что уравнения ассоциативности двумерных топологических квантовых теорий поля являются естественными редукциями фундаментальных нелинейных уравнений теории подмногообразий в псевдоевклидовых пространствах и задают естественный класс потенциальных плоских подмногообразий без кручения. Показано, что все потенциальные плоские подмногообразия без кручения в псевдоевклидовых пространствах имеют естественные структуры фробениусовых алгебр на своих касательных пространствах. Эти фробениусовы структуры порождаются соответствующими плоской первой квадратичной формой и множеством вторых квадратичных форм подмногообразий (фактически структурные константы задаются множеством операторов Вайнгартена подмногообразий). Доказано, что локально каждое $N$-мерное фробениусово многообразие может быть представлено как потенциальное плоское подмногообразие без кручения в $2N$-мерном псевдоевклидовом пространстве. Нашей конструкцией это подмногообразие определено однозначно с точностью до движений. Более того, рассмотрена нелинейная система, которая является естественным обобщением уравнений ассоциативности, а именно система, описывающая все плоские подмногообразия без кручения в псевдоевклидовых пространствах, и доказано, что эта система является интегрируемой методом обратной задачи рассеяния.