| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) Лагранжевы многообразия и конструкция асимптотик для (псевдо)дифференциальных уравнений с локализованными правыми частями А. Ю. Аникинa, С. Ю. Доброхотовa, В. Е. Назайкинскийa, М. Рулоb a Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия b Aix Marseille Univ, Université de Toulon, CNRS, CPT, Marseille, France
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923010014 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеМы рассматриваем задачу о построении асимптотических решений линейного неоднородного дифференциального или псевдодифференциального уравнения с малым параметром при производных, правая часть которого ”— функция, локализованная в окрестности некоторой точки. Это уравнение имеет вид
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{H}}\psi=f\biggl(\frac{x-\xi}{h}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{H}}={\mathcal{H}}\biggl(\overset2{x}, -ih\overset1{\frac{\partial}{\partial x}},h\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
есть (псевдо)дифференциальный оператор с вещественным главным символом $H(x,p)={\mathcal{H}}(x,p,0)$, а $f(y)$ – быстро убывающая на бесконечности функция (скажем, элемент пространства Шварца). Родственные задачи рассматривались многими авторами. В первую очередь следует упомянуть хорошо известную задачу о коротковолновой асимптотике функции Грина $G(x,\xi)$ (где $x$ – текущая переменная, а $\xi$ – точка местоположения источника) уравнения Гельмгольца с переменным показателем преломления $\mathbf{n}(x)$ в $\mathbb{R}^m$ и близких уравнений (см., например, [1]–[7], а также монографию [8] и приведенные там ссылки). В основе большинства из этих работ лежит метод склейки функции Грина для уравнения Гельмгольца с показателем преломления, замороженным в точке, где расположен источник, и асимптотики “дальнего поля”. Функция Грина получаемого уравнения с постоянным коэффициентом находится точно (скажем, при $m=2$ это функция Ганкеля). Асимптотика дальнего поля представляет собой либо лучевую (или, что то же самое, ВКБ- или квазиклассическую) асимптотику в случае отсутствия фокальных точек (как, например, в работе Бабича [1]), либо в общем случае (см. Кучеренко [6]), т. е. при наличии лагранжевых сингулярностей (фокальных точек, каустик), дается каноническим оператором Маслова [9].Другой родственный круг задач – задачи о построении параметрикса (регуляризатора) для (псевдо)дифференциальных операторов с вещественными характеристиками – рассматривался в общей теории дифференциальных уравнений (см., например, [10], [11]); в частности, в работе [10] рассматривались уравнения главного типа и задача решалась с помощью микролокального приведения оператора к простейшему виду. Весьма общий метод построения регуляризаторов и асимптотических решений задач с правыми частями был предложен в книге Маслова [12]. Решение исходной задачи получается как интеграл по времени от решения вспомогательной задачи Коши (см. также [7]), которое строится с помощью канонического оператора Маслова [9], [13]. Чтобы обеспечить сходимость интеграла, в задачу добавляется комплексное поглощение. Несколько позднее Мельроузом и Ульманом [14] в теории параметрикса и независимо Стерниным и Шаталовым [15], [16] в задаче об асимптотике функции Грина для уравнений с простыми вещественными характеристиками была предложена конструкция, не опирающаяся на вспомогательную задачу Коши и не требующая введения комплексного поглощения. В статье [14] инструментом являлось обобщение интегральных операторов Фурье Хёрмандера [17] на пару лагранжевых многообразий, образующих специального вида пересечение: одно из многообразий отвечает правой части, а другое – распространению особенностей правой части по характеристикам уравнения. В работах [15], [16] вместо этого канонический оператор Маслова был обобщен на случай лагранжева многообразия с краем (или, эквивалентно, амплитуды на лагранжевом многообразии, имеющей разрыв типа скачка). Несмотря на некоторую неестественность этой конструкции (отвечающее правой части лагранжево многообразие явно не вводится, будучи замаскировано под волновой фронт упомянутого скачка) и связанные с этим “паразитные особенности” отдельных слагаемых асимптотического решения, сокращающиеся в сумме, она позволяет получить асимптотику функции Грина уравнения Гельмгольца с переменными коэффициентами, не обращаясь к точной функции Грина для уравнения с постоянными коэффициентами. Вернемся, однако, к уравнению (1.1) и объясним, почему оно представляет самостоятельный интерес, несмотря на изобилие публикаций по асимптотике функции Грина. Прежде всего, отметим, что в реальных физических задачах функция источника, как правило, не есть дельта-функция, а сосредоточена в малой, но конечной области, внутри которой она может принимать большие, но конечные значения. Хотя с теоретической точки зрения решение задачи с произвольной правой частью может быть получено сверткой правой части с функцией Грина, такой способ его получения имеет серьезные недостатки: и вычисление асимптотики функции Грина, и последующая свертка с ней правой части могут потребовать серьезных вычислительных ресурсов (если только функция Грина не известна в аналитическом виде с самого начала). Раньше это соображение не имело столь решительного значения, но в настоящее время, когда существуют, с одной стороны, мощные системы технических вычислений, такие как Wolfram Mathematica, а с другой стороны – современные вычислительно эффективные реализации канонического оператора [18], [19], позволяющие в принципе вычислять асимптотическое решение уравнения (1.1) непосредственно, оно становится весьма важным. Есть и другое соображение, показывающее, что в асимптотических задачах функция Грина не всегда полезна. Продемонстрируем его на примере. В линейной теории волн над неровным дном возникает задача Коши (см., например, [20])
$$
\begin{equation*}
h^2\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+\widehat{\mathcal{H}} \eta=0, \qquad \eta|_{t=0}=\eta_0\biggl(\frac{x-\xi}{\mu}\biggr),\quad \frac{\partial\eta}{\partial t}\Big|_{t=0}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{\mathcal{H}}$ – псевдодифференциальный оператор в $\mathbb{R}^2$ c символом
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}(x, p,h) = H(x,p)- \frac{i h}{2} \operatorname{tr}\,\frac{\partial^2 H}{\partial p\,\partial x} +O(h^2), \qquad H(x,p)= g|p| \operatorname{th} (D(x)|p|),
\end{equation*}
\notag
$$
$x=(x_1,x_2)$, $p=(p_1, p_2)$, $D(x)>0$ – гладкая функция, задающая глубину бассейна, $g$ – ускорение свободного падения, неизвестная функция $\eta$ – возвышение свободной поверхности жидкости, величина $\mu$ задает характерный размер источника. Асимптотика в этой задаче зависит от отношения параметров $\mu/h$. При $\mu/h\ll1$ можно разложить главный символ в ряд по степеням $|p|$ и оставить только несколько первых членов. Например, оставив только первый член, получаем волновое уравнение, оставив два члена – уравнение типа линеаризованного уравнения Буссинеска четвертого порядка по пространственным переменным. Последнее дает вполне адекватное асимптотическое приближение, до известной степени учитывающее пространственную дисперсию, но искать асимптотическое решение с помощью функции Грина задачи Коши для такого “буссинесковского” приближения было бы ошибкой, так как эта задача попросту некорректна! Разумеется, некорректность связана со значениями импульсов, при которых отбрасывание дальнейших членов ряда Тейлора в разложении символа необоснованно и которые в построении интересующих нас асимптотических решений участия не принимают. Резюмируя сказанное, заключаем, что асимптотическая теория часто имеет дело с уравнениями, которые сами по себе описывают исходную физическую задачу лишь приближенно и только в определенном диапазоне значений параметров. Эти уравнения могут вовсе не иметь точных решений, или же их точные решения могут существовать, но иметь мало отношения к исходной задаче. Поэтому разумно с самого начала рассматривать асимптотические решения, т. е. функции, которые при подстановке в уравнение дают асимптотически малую невязку. Даже если рассматриваемая задача имеет функцию Грина (которую еще нужно построить), вычисление асимптотического решения как ее свертки с заданной правой частью или начальными условиями может оказаться куда более трудоемким, чем непосредственный подсчет с использованием квазиклассических методов. В настоящей работе мы предъявляем асимптотическое решение уравнения (1.1) в форме, допускающей дальнейшее вычисление с помощью эффективных реализаций канонического оператора (сами эти реализации подробно описаны в [18], [19] и в настоящей статье не рассматриваются). В соответствии со сказанным выше вопрос о близости асимптотического решения к “настоящему” и даже о существовании последнего не ставится и не обсуждается. Первоначально рассматриваемая задача обсуждалась авторами в статье [21], где подход Мельроуза и Ульмана [14], связанный с “лагранжевым пересечением”, был в определенной степени перенесен на квазиклассическую ситуацию. Однако при дальнейшем анализе оказалось, что идея Кучеренко–Маслова, связанная со вспомогательной задачей Коши (т. е., по существу, некоторый вариант принципа Дюамеля), охватывает более широкий круг задач и гораздо более перспективна с точки зрения получения вычислительно эффективных асимптотических формул. Она и реализована в настоящей работе. Совсем грубо и коротко основную идею метода можно сформулировать так: пусть $v(x,t)$ – решение задачи Коши
$$
\begin{equation}
-ih\frac{\partial v}{\partial t}+\widehat{\mathcal{H}} v=0, \qquad v(x,0)=f\biggl(\frac{x-\xi}{h}\biggr).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Тогда решение уравнения (1.1) можно записать в виде Разумеется, в таком виде утверждение, вообще говоря, неверно (интеграл расходится), и задача состоит в том, чтобы после перехода от точных решений к асимптотическим модифицировать определение функции $v$ так, чтобы интеграл (1.3) все-таки сходился. Основной камень преткновения в стандартном методе вспомогательной задачи Коши – необходимость добавления искусственного комплексного поглощения и соответственно использования чрезвычайно громоздкой конструкции канонического оператора на лагранжевых многообразиях с комплексным ростком [12]. В рассматриваемой задаче, однако, при отсутствии финитных движений в системе Гамильтона удается добиться сходимости интеграла (1.3) без введения поглощения. Далее, условие главного типа, необходимое в подходе Мельроуза и Ульмана и его обобщениях, также оказывается ненужным. Если оно все же выполнено, то интеграл, задающий асимптотическое решение, упрощается. Опишем кратко структуру статьи. В разделе 1 приводятся некоторые обозначения и определения, нужные для формулировки результатов. В разделе 2 сформулированы основные результаты. В разделе 3 более подробно описана структура канонического оператора на специальных лагранжевых многообразиях, используемых в формулировках теорем. В разделе 4 разобран простой пример, а в разделе 5 приведены все доказательства. В приложении A напоминаются основные детали конструкции канонического оператора, а доказательство одного технически сложного утверждения вынесено в приложение Б. Некоторые обозначения и определенияВсюду в статье буквы $x,y,p,q$ используются для обозначения $n$-мерных наборов координат. Нижний индекс у пространства используется при необходимости для указания переменных, используемых в нем в качестве координат; в частности, $\mathbb{R}_{(x,p)}^{2n}$ – $2n$-мерное фазовое пространство с координатами $(x,p)=(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n)$, снабженное симплектической структурой $\omega^2=dp_1\wedge dx_1+\dots+dp_n\wedge dx_n$, а $\mathbb{R}_{(x,t,p,E)}^{2n+2}$ – $(2n+2)$-мерное расширенное фазовое пространство с координатами $(x,t,p,E)=(x_1,\dots,x_n,t,p_1,\dots,p_n,E)$ и симплектической формой $\omega^2 + dE\wedge dt$. Через ${\mathcal{S}}(\mathbb{R}^n)$ обозначается пространство Шварца функций $f(y)$, вместе со всеми производными убывающих на бесконечности быстрее любой отрицательной степени $|y|$. Быстроосциллирующей функцией в области $U\subseteq\mathbb{R}_x^n$ называется гладкая функция $u(x,h)$, $x\in U$, $h\in(0,1]$, такая, что для любого компакта $K\subset U$ выполнены оценки
$$
\begin{equation*}
\sup_{x\in K}\biggl|\frac{\partial^\beta u}{\partial x^\beta}(x,h)\biggr|t\leqslant C_{K,\beta}h^{k-|\beta|}, \qquad |\beta|=0,1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми постоянными $k\in\mathbb{R}$ (не зависящими от $\beta$) и $C_{K,\beta}>0$; мы пишем $u=O(h^\infty)$ в $U$, если такие оценки выполнены (со своими константами) для сколь угодно большого $k$. Далее, $u\sim v$ в $U$, если $u-v=O(h^\infty)$ в $U$. Пространство быстроосциллирующих функций в $U$ будет обозначаться через $\mathcal{F}^h(U)$. Асимптотическим решением уравнения называется функция, которая при подстановке в него дает невязку $O(h^\infty)$. Если ${\mathcal{H}}(x,p,h)$, $x\in\mathbb{R}^n$, $p\in\mathbb{R}^n$, $h\in[0,1]$, – гладкая функция, вместе со всеми производными растущая на бесконечности не быстрее фиксированной степени $|x|+|p|$, то корректно определен псевдодифференциальный оператор ( ПДО) $\widehat{\mathcal{H}} ={\mathcal{H}}(\overset2{x},\overset1{\widehat p},h)$, $\widehat p=-ih\frac{\partial}{\partial x}$ (см. IV.6 в [12]), который продолжается с точностью до $O(h^\infty)$ на быстроосциллирующие функции в произвольной области $U\subseteq\mathbb{R}_x^n$ (см. п. А.4). Функции
$$
\begin{equation*}
{\mathcal{H}}(x,p,h),\quad H(x,p)={\mathcal{H}}(x,p,0),\quad H_{\mathrm{sub}}(x,p)=\frac{\partial\mathcal{H}} {\partial h}(x,p,0)+\frac i2\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^2H}{\partial x_j\partial p_j}(x,p)
\end{equation*}
\notag
$$
называются соответственно полным, главным и субглавным символом оператора $\widehat{\mathcal{H}}$. Лагранжевым многообразием в фазовом пространстве $\mathbb{R}_{(x,p)}^{2n}$ называется погружение $\jmath\colon L\to\mathbb{R}_{(x,p)}^{2n}$ $n$-мерного многообразия $L$ такое, что $\jmath^*\omega^2=0$. При необходимости будем без специальных оговорок отождествлять многообразие $L$ с его образом в $\mathbb{R}_{(x,p)}^{2n}$. Канонический оператор Маслова на лагранжевом многообразии $L$ сопоставляет гладкой функции на $L$ – амплитуде – быстроосциллирующую функцию в заданной области $U\subseteq\mathbb{R}_x^n$. Класс $C_\mathrm{pr}^\infty(L,U)$ допустимых амплитуд зависит от выбора области $U$; он состоит из гладких функций $A$ на $L$ таких, что множество $\pi_L^{-1}(K)\cap\operatorname{supp} A$, где $\pi_L\colon L\to\mathbb{R}_x^n$ – естественная проекция, компактно для любого компакта $K\subset U$ (расширение класса амплитуд возможно в специальных случаях при дополнительных ограничениях). Действие канонического оператора естественным образом продолжается на амплитуды, гладко зависящие от параметра $h\in[0,1]$; класс таких амплитуд обозначается через $C_\mathrm{pr}^\infty(L,U;h)$. Используются также сокращенные обозначения $C_\mathrm{pr}^\infty(L,\mathbb{R}_x^n)=C_\mathrm{pr}^\infty(L)$ и $C_\mathrm{pr}^\infty(L,\mathbb{R}_x^n;h)=C_\mathrm{pr}^\infty(L;h)$. Мы используем конструкцию канонического оператора, которая изложена в работах [18], [19]; для удобства читателя некоторые моменты этой конструкции мы напоминаем в приложении A. Определение канонического оператора зависит от выбора меры (формы объема) на $L$, а также от ряда вспомогательных объектов таких, как действие на $L$ и аргументы некоторых якобианов. Во избежание громоздкости при формулировке основных утверждений в разделе 2 мы явно указываем только лагранжево многообразие и меру, а подробное описание вспомогательных объектов приводится в доказательствах, которые собраны в разделе 5. 2. Постановка задачи и основные результаты2.1. Постановка задачиПусть $\widehat{\mathcal{H}}$ – ПДО в $\mathbb{R}^n$ с вещественным главным символом $H(x,p)$ и с субглавным символом $H_{\operatorname{sub}}(x,p)$, пусть $f\in{\mathcal{S}}(\mathbb{R}^n)$ и пусть $\xi\in\mathbb{R}^n$ – заданная точка. Будем строить асимптотическое решение при $h\to0$ уравнения
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{H}}\psi=f\biggl(\frac{x-\xi}{h}\biggr)
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
с локализованной правой частью при следующих предположениях.
2.2. Лагранжевы многообразия $\Lambda_0$ и $\Lambda$Обозначим $\Lambda_0=\mathbb{R}_q^n$. Отображение
$$
\begin{equation}
\imath_0\colon\Lambda_0\longrightarrow\mathbb{R}_{(x,p)}^{2n},\qquad \imath_0(q)=(\xi,q),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
есть лагранжево многообразие в фазовом пространстве $\mathbb{R}_{(x,p)}^{2n}$. Пусть $\Lambda\subset\mathbb{R}_{(q,\tau)}^{n+1}$ – область определения1 функций $(X(q,\tau),P(q,\tau))$. Координатную гиперплоскость $\{\tau=0\}$, целиком содержащуюся в $\Lambda$, отождествим с $\Lambda_0$. Хорошо известно (см., например, предложение 4.19 в [9]), что отображение
$$
\begin{equation}
\imath \colon\Lambda\longrightarrow \mathbb{R}_{(x,t,p,E)}^{2n+2},\qquad \imath(q,\tau)=(X(q,\tau),\tau,P(q,\tau),E(q)), \qquad E(q)=-H(\xi,q),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
есть лагранжево многообразие в расширенном фазовом пространстве $\mathbb{R}_{(x,t,p,E)}^{2n+2}$. Естественная проекция $\pi_\Lambda\colon\Lambda\to\mathbb{R}_{(x,t)}^{n+1}$ задается формулой $\pi_\Lambda(q,\tau)=(X(q,\tau),\tau)$. 2.3. Выражение правой части через канонический оператор на многообразии $\Lambda_0$Правую часть уравнения (2.1) можно записать в виде (см., например, [22])
$$
\begin{equation}
f\biggl(\frac{x-\xi}{h}\biggr)=\frac{e^{i\pi n/4}}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n}e^{(i/h)\langle p,x-\xi\rangle}\widetilde f(p)\,dp =h^{n/2}[{\mathcal{K}}_0\widetilde f](x,h),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где ${\mathcal{K}}_0$ – канонический оператор на лагранжевом многообразии $\Lambda_0$, снабженном мерой $d\mu_0=dq_1\wedge\dots\wedge dq_n$, а преобразование Фурье
$$
\begin{equation*}
\widetilde f(p)=\frac{e^{-i\pi n/4}}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n}e^{-i\langle p,y\rangle}f(y)\,dy
\end{equation*}
\notag
$$
функции $f(y)$ рассматривается в правой части формулы (2.5) как функция $\widetilde f(q)$ на $\Lambda_0$. 2.4. Конструкция асимптотического решенияВ силу условия I множество $L_0$ компактно. Поэтому с помощью разбиения единицы на $\Lambda_0$ можно записать решение уравнения (2.1) как сумму решений двух таких уравнений, в одном из которых $\operatorname{supp}\widetilde f\cap L_0=\varnothing$, а в другом функция $\widetilde f$ финитна. Изучим их по отдельности. Теорема 1. Если $\operatorname{supp}\widetilde f\cap L_0=\varnothing$, то существует асимптотическое решение уравнения (2.1), где амплитуда $B=B(q,h)$ – элемент пространства ${\mathcal{S}}(\Lambda_0;h)$ гладких функций от параметра $h\in[0,1]$ со значениями в пространстве ${\mathcal{S}}(\Lambda_0)$, а ее главный член имеет вид Доказательство этой теоремы и всех остальных утверждений раздела 2 дано в разделе 5. Лемма 1. Пусть $\widetilde f(q)$ – финитная функция на $\Lambda_0$. Тогда на многообразии $\Lambda$ существует гладкая срезающая функция $\chi$ такая, что Пусть ${\mathcal{K}}\colon C_\mathrm{pr}^\infty(\Lambda;h) \to{\mathcal{F}}^h(\mathbb{R}_{(x,t)}^{n+1})$ – канонический оператор на лагранжевом многообразии $\Lambda$, снабженном мерой $d\mu=d\mu_0(q)\wedge d\tau$. Теорема 2. Если функция $\widetilde f$ финитна, то уравнение (2.1) имеет асимптотическое решение Теорема 3. Если функция $\widetilde f$ финитна и $\operatorname{supp}\widetilde f\cap L_0=\varnothing$, то построенные в теоремах 1 и 2 асимптотические решения совпадают с точностью до $O(h^\infty)$. 2.5. Условие главного типа, лагранжево многообразие $\Lambda_+$ и вид асимптотического решения при $x\ne\xi$Предположим теперь, что выполнено следующее условие. Тогда $L_0$ – $(n-1)$-мерное подмногообразие в $\Lambda_0$ по теореме о неявной функции. Его точки как абстрактного многообразия будем обозначать буквой $\alpha$, а соответствующие им значения $q\in\Lambda_0$ – через $q(\alpha)$. Положим $\Lambda_+=L_0\times(0,\infty)\subset\Lambda$. Отображение
$$
\begin{equation}
\imath_+\colon\Lambda_+ \longrightarrow \mathbb{R}_{(x,p)}^{2n},\qquad \imath_+(\alpha,\tau)=(X(q(\alpha),\tau),P(q(\alpha),\tau)),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
является лагранжевым многообразием в фазовом пространстве $\mathbb{R}_{(x,p)}^{2n}$ в силу предложения 4.19 из [9]. Зададим на нем меру $d\mu_+=d\sigma_0(\alpha)\wedge d\tau$, где $d\sigma_0$ – форма объема на $L_0$, однозначно определенная равенством $d\mu_0=-d\sigma_0\wedge dH$ на касательных пространствах к $\Lambda_0$ в точках из $L_0$. Пусть ${\mathcal{K}}_+\colon C_\mathrm{pr}^\infty(\Lambda_+,\mathbb{R}_x^n\setminus\{\xi\};h) \to{\mathcal{F}}^h(\mathbb{R}_x^n\setminus\{\xi\})$ – канонический оператор на лагранжевом многообразии $\Lambda_+$ с мерой $d\mu_+$. Теорема 4. Пусть функция $\widetilde f$ финитна и выполнено условие IV. Тогда асимптотическое решение (2.8) может быть представлено в области $\mathbb{R}_x^{n}\setminus\{\xi\}$ в виде где амплитуда $Q=Q(\alpha,\tau,h)$ – функция из $C_\mathrm{pr}^\infty(\Lambda_+,\mathbb{R}_x^{n}\setminus\{\xi\};h)$, главный член которой имеет вид 2.6. ОбсуждениеДадим некоторые пояснения и замечания к сформулированным в предыдущих пунктах результатам. 1. Случай, когда носитель функции $\widetilde f$ не пересекается с $L_0$, является наиболее простым. Его уместно назвать “эллиптическим”, поскольку, как показывает теорема 1, главный член асимптотического решения получается в Фурье-образах делением на главный символ. Дальнейшие члены асимптотического разложения решения можно вычислить по принципиально простым, но технически достаточно громоздким рекуррентным формулам, которые при желании можно извлечь из доказательства теоремы 1. Отметим также, что, как видно из формулы (2.5), асимптотическое решение в эллиптическом случае само имеет такой же вид, как правая часть: где $\Psi(y,h)$ – обратное преобразование Фурье функции $B(p,h)$.2. С точки зрения асимптотической теории наиболее естественным является случай финитной функции $\widetilde f$. Если с самого начала только такие функции и рассматривать, то от условия I можно отказаться; при этом множество $L_0$ может и не быть компактным, и во всех рассуждениях и формулировках вместо него нужно использовать его пересечение с малой окрестностью множества $\operatorname{supp}\widetilde f$ (или замыкание этого пересечения). Мы оставим читателю соответствующие изменения в конструкции, которые имеют чисто технический, но вместе с тем довольно раздражающий характер. 3. Если же функция $\widetilde f$ не финитна, то на символ оператора $\widehat{\mathcal{H}}$ приходится налагать какие-то условия на бесконечности по импульсам; эти условия тем более ограничительны, чем менее сильны ограничения на поведение на бесконечности функции $\widetilde f$. Если вовсе отказаться от условий убывания (т. е. допустить, скажем, $\widetilde f(q)=1$, что соответствует дельта-функции в правой части уравнения (2.1)), то условия становятся весьма жесткими (см., например, [16]). В нашем же случае, когда функция $\widetilde f$ принадлежит пространству Шварца, можно обойтись весьма слабым паллиативом эллиптичности – оценкой снизу в условии I. Формула (2.7) показывает роль этой оценки, которая гарантирует, что быстрое убывание при $q\to\infty$ сохраняется после деления $\widetilde F(q)$ на $H(\xi,q)$. 4. Уравнение (2.1) является частным случаем более общего псевдодифференциального уравнения, правая часть которого имеет вид $h^{n/2}{\mathcal{K}}_0A$, где ${\mathcal{K}}_0$ – канонический оператор Маслова на произвольном лагранжевом многообразии $\Lambda_0$. В этом случае разумно предположить, что функция $A$ финитна. При этом, как и выше, условие I можно отбросить, а условие IV необходимо переформулировать следующим образом. Заманчиво было бы свести эту задачу к случаю правой части вида (2.5), приводя многообразие $\Lambda_0$ к его частному виду (2.3) с помощью подходящего канонического преобразования. Следует, однако, иметь в виду, что условие III отсутствия начинающихся на $L_0$ финитных движений в системе Гамильтона не инвариантно относительно канонических преобразований. 5. Как показывает пример уравнения Гельмгольца (для случая точных решений), уравнение (2.1) может иметь не единственное решение, и для выделения единственного решения нужно налагать дополнительные условия типа условий излучения на бесконечности или принципа предельного поглощения. В асимптотической теории, не вводя весьма сильных дополнительных ограничений на гамильтониан, трудно наложить естественные условия, при которых асимптотическое решение уравнения (2.1) было бы асимптотически единственно. Поэтому вместо того, чтобы налагать такие ограничения, мы выбираем конкретный анзац (2.8), который, неформально говоря, как раз и отвечает принципу предельного поглощения. 3. Канонический оператор на основных лагранжевых многообразияхДоказательства утверждений раздела 2 основаны на формулах для канонического оператора на многообразиях $\Lambda_0$, $\Lambda$ и $\Lambda_+$. Мы получим эти формулы, следуя общей конструкции, изложенной в приложении A. Разумеется, все формулы, относящиеся к $\Lambda_+$, пишутся в предположении, что выполнено условие IV; в остальных формулах это не предполагается. Напомним, что $\Lambda_0$ и $\Lambda_+$ как абстрактные многообразия суть подмногообразия в $\Lambda\subset\mathbb{R}_{(q,\tau)}^{n+1}$; этой точкой зрения мы постоянно пользуемся в вычислениях. 3.1. Действия $S$, $S_0$ и $S_+$ на $\Lambda$, $\Lambda_0$ и $\Lambda_+$Зададим эти функции формулами
$$
\begin{equation}
S(q,\tau) =\int_{0}^{\tau}\langle P(q,\tau'), H_p(X(q,\tau'),P(q,\tau'))\rangle\,d\tau'+\tau E(q),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
S_0(q) =S(q,0)=0,\qquad S_+(\alpha,\tau)=S(q(\alpha),\tau).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
3.2. Аргументы якобиановОпределим аргументы якобианов вида (А.1) на многообразиях $\Lambda_0$, $\Lambda$ и $\Lambda_+$ согласованным образом. Если ввести обозначения
$$
\begin{equation}
Z(q,\tau)=X(q,\tau)-iP(q,\tau),\qquad dZ(q,\tau)=dZ_1(q,\tau)\wedge\dots\wedge dZ_n(q,\tau),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
то эти якобианы запишутся в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathcal{J}}_0^1(q)=\frac{dZ(q,0)}{d\mu_0(q)}=(-i)^n, \qquad {\mathcal{J}}^1(q,\tau)=\frac{dZ(q,\tau)\wedge d(\tau-iE(q))} {d\mu(q,\tau)},\\ {\mathcal{J}}_+^1(\alpha,\tau)=\frac{dZ(q(\alpha),\tau)} {d\mu_+(\alpha,\tau)}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и можно заметить, что все они являются значениями одного “универсального якобиана”
$$
\begin{equation}
W(q,\tau,\lambda,\nu) =\frac{dZ(q,\tau)\wedge d(\lambda\tau-i\nu E(q))} {d\mu(q,\tau)},\qquad (q,\tau)\in\Lambda,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
зависящего от параметров $\lambda,\nu\in[0,+\infty)$, при специальных значениях этих параметров:
$$
\begin{equation}
{\mathcal{J}}_0^1(q)=W(q,0,1,0),\quad {\mathcal{J}}^1(q,\tau)=W(q,\tau,1,1),\quad {\mathcal{J}}_+^1(\alpha,\tau)=-iW(q(\alpha),\tau,0,1).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Лемма 2. Якобиан (3.4) отличен от нуля при $\lambda>0$ и $\nu>0$. Доказательство. Введем переменные Рассмотрим множество $\Gamma=\{(q,\tau,\lambda,\nu) \mid W(q,\tau,\lambda,\nu)\ne0$, $\lambda,\nu\geqslant0\}$. Оно содержит точки, отвечающие якобианам (3.5), поскольку эти якобианы ненулевые. Далее, из леммы 2 и структуры множества $\Lambda$ вытекает, что множество $\Gamma$ связно и односвязно. Зафиксируем на нем непрерывную ветвь аргумента $\arg W$ условием
$$
\begin{equation}
\arg W(q,0,1,0)=\arg{\mathcal{J}}_0^1(q):=-\frac{\pi n}{2},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
после чего определим аргументы оставшихся якобианов в соответствии с (3.5) формулами
$$
\begin{equation}
\arg{\mathcal{J}}^1(q,\tau)=\arg W(q,\tau,1,1), \qquad \arg{\mathcal{J}}_+^1(\alpha,\tau)=\arg W(q(\alpha),\tau,0,1)-\frac\pi2.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Замечание 1. В примере в разделе 4 (и только там) нас будет интересовать также якобиан 3.3. Согласованное определение канонических операторовПо перечисленным выше объектам (лагранжевы многообразия и меры на них, введенные в разделе 2, а также действия и аргументы якобианов, введенные выше в настоящем разделе) с помощью конструкции из приложения A определяются канонические операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathcal{K}}\colon C_\mathrm{pr}^\infty(\Lambda;h) \to{\mathcal{F}}^h(\mathbb{R}_{(x,t)}^{n+1}),\qquad {\mathcal{K}}_0\colon C_\mathrm{pr}^\infty(\Lambda_0;h)\to{\mathcal{F}}^h(\mathbb{R}_x^n), \\ {\mathcal{K}}_+\colon C_\mathrm{pr}^\infty(\Lambda_+,\mathbb{R}_x^n\setminus\{\xi\};h) \to{\mathcal{F}}^h(\mathbb{R}_x^n\setminus\{\xi\}) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
на лагранжевых многообразиях $\Lambda$, $\Lambda_0$ и $\Lambda_+$ соответственно. Отметим сразу же во избежание недоразумений, что пространство ${\mathcal{S}}(\Lambda_0)$ не содержится в $C_\mathrm{pr}^\infty(\Lambda_0)$, так что излагаемые здесь конструкции не имеют силы для случая функции $\widetilde f\in{\mathcal{S}}(\Lambda_0)$ общего вида. Для таких функций канонический оператор на $\Lambda_0$ задается формулой (2.5) по определению, а теорему 1 нам придется доказывать непосредственно. Однако в случае финитной функции формула (2.5) согласуется с общей теорией, а справедливость утверждений раздела 2 не зависит от конкретного выбора вспомогательных объектов конструкции канонического оператора ($\Phi$-карты, операторы продолжения, разбиение единицы) на всех рассматриваемых лагранжевых многообразиях в силу утверждения 2 предложения 3 (см. приложение A). Выберем их поэтому согласованным образом, как описано ниже. На лагранжевом многообразии $\Lambda$ рассмотрим некоторую $\Phi$-карту, которая отвечает невырожденной фазовой функции $\Phi(x,t,\theta)$, определенной на множестве $V\subset\mathbb{R}_{(x,t,\theta)}^{n+1+m}$. Положим $\widetilde\theta=(\theta_0,\theta)$ и определим фазовые функции
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \Phi_0(x,\theta)&=\Phi(x,0,\theta),&\qquad (x,\theta)\in V_0&=\{(x,\theta)\mid (x,0,\theta)\in V\},\\ \Phi_+(x,\widetilde\theta)&=\Phi(x,\theta_0,\theta),&\qquad (x,\widetilde\theta)\in V_+&=\{(x,\widetilde\theta)\in V\mid\theta_0>0\}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1. Функции $\Phi_0$ и (при условии IV) $\Phi_+$ – невырожденные фазовые функции, задающие $\Phi$-карты на лагранжевых многообразиях $\Lambda_0$ и $\Lambda_+$ соответственно. Более точно, Доказательство этого предложения содержит достаточно громоздкие вычисления, и мы перенесли его в приложение Б. Зафиксируем теперь атлас из $\Phi$-карт на $\Lambda$ и каждой $\Phi$-карте на $\Lambda$ сопоставим $\Phi$-карты (некоторые из которых, возможно, будут пустыми) на многообразиях $\Lambda_0$ и $\Lambda_+$ в соответствии с предложением 1. Таким образом получаются атласы $\Phi$-карт на этих многообразиях. Выберем подчиненное атласу разбиение единицы на $\Lambda$, а разбиения единицы на $\Lambda_0$ и $\Lambda_+$ получим сужением его на эти многообразия. Далее, оператор продолжения $\varkappa$ в каждой $\Phi$-карте на $\Lambda$ можно выбрать согласованным с операторами продолжения $\varkappa_0$ во всех соответствующих непустых $\Phi$-картах на многообразии $\Lambda_0$ в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
[\varkappa\phi](x,0,\theta)=[\varkappa_0\phi|_{t=0}](x,\theta)\quad \text{для любой функции}\quad\phi\in C_\mathrm{pr}^\infty(C_\Phi).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда с учетом формул (3.12) и (А.4) предканонические операторы на $\Lambda_0$ получаются сужением на $t=\tau=0$ из предканонических операторов на $\Lambda$, а поскольку разбиения единицы на $\Lambda$ и $\Lambda_0$ согласованы, мы приходим к следующему утверждению. Предложение 2. Пусть $A\in C_\mathrm{pr}^\infty(\Lambda;h)$. Тогда $[{\mathcal{K}} A](x,0,h)= [{\mathcal{K}}_0(A|_{\Lambda_0})](x,h)$. Операторы продолжения в картах на $\Lambda_+$ выберем произвольным образом. 4. ПримерПроиллюстрируем наши основные результаты (в частности, теорему 4) на простом примере, в котором удается все вычисления провести в явном виде. Рассмотрим уравнение
$$
\begin{equation}
-\frac{h^{2}}{2} \Delta \psi-x_{1} \psi=f\biggl(\frac{x-\xi}{h}\biggr) \equiv h[{\mathcal{K}}_0A](x,h)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
в пространстве $\mathbb{R}^{2}$, где преобразование Фурье $A(q)=\widetilde f(q)$ правой части $f(y)$ лежит в $C_0^\infty(\Lambda_0)$, а координаты точки источника $\xi$ удовлетворяют условиям $\xi_1>0$, $\xi_2=0$. Убедимся, что выполнены условия I–IV из раздела 2. Главный символ оператора в левой части уравнения (4.1) удовлетворяет условию I. Решение задачи Коши (2.2) для системы Гамильтона имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} x_1&=X_{1}(q,\tau)\equiv\xi_1+q_{1} \tau+\frac{\tau^{2}}{2}, &\qquad x_2&=X_{2}(q,\tau)\equiv q_{2} \tau, \\ p_1&=P_{1}(q,\tau)\equiv q_{1}+\tau, &\qquad p_2&=P_{2}(q,\tau)\equiv q_{2} \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
и определено при всех $q\in\mathbb{R}^2$ и $\tau\in\mathbb{R}$, так что выполнено условие II. Все траектории (4.2) уходят на бесконечность по $x$, в частности это верно и для траекторий, начинающихся на множестве $L_0$ – окружности $q_1^2+q_2^2=2\xi_1$, откуда, например, в силу компактности $L_0$ следует выполнение условия III (хотя при желании $\tau_R$ можно выписать явно). Наконец, $H_p(x,p)=p\ne0$ при $p\in L_0$, т. е. выполнено условие IV. Таким образом, можно применить теорему 2 и заключить, что уравнение (4.1) имеет асимптотическое решение вида (2.8). Вычислим его главный член явно вне точки $x=\xi$. Согласно теореме 4 он выражается через канонический оператор ${\mathcal{K}}_+$ на лагранжевом многообразии $\Lambda_+$ с мерой $d\mu_+$. Построим все необходимые элементы конструкции оператора ${\mathcal{K}}_+$. 4.1. Лагранжево многообразие $\Lambda_+$Оно задается формулами (4.2), где (В отличие от общей теории в разделе 2, мы не вводим координату $\alpha$ на $L_0$, а пользуемся вместо этого координатами $q=(q_1,q_2)$, предполагая, что они связаны условием (4.3).) Изучим структуру многообразия $\Lambda_+$ подробнее. Из (4.3) и первых двух уравнений в (4.2) получаем так что проекция многообразия $\Lambda_+$ на $x$-плоскость содержится в замыкании $\overline{\Omega}$ области (и, как мы увидим, совпадает с $\overline{\Omega}$ ). Для $x\in\overline{\Omega}$ найдем $q$ и $\tau$ из (4.2)–(4.4):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, q_1\tau =\mp\sqrt{D(x)}-2\xi_1,\qquad q_j=\frac{q_j\tau}{\tau}, \\ \tau=\biggl[\frac{(q_1\tau)^2+(q_2\tau)^2}{q_1^2+q_2^2}\biggr]^{1/2} =\biggl[\frac{\bigl(2\xi_1\pm \sqrt{D(x)}\,\bigr)^2+x_2^2}{2\xi_1}\biggr]^{1/2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и окончательно
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tau=T_\pm(x):= \sqrt2\bigl(\xi_1+x_1\pm \sqrt{D(x)}\,\bigr)^{1/2},\\ q_1=Q_{1\pm}(x):=\frac{\mp \sqrt{D(x)}-2\xi_1} {\sqrt2\bigl(\xi_1+x_1\pm \sqrt{D(x)}\,\bigr)^{1/2}}, \\ q_2=Q_{2\pm}(x):=\frac{x_2}{\sqrt2\bigl(\xi_1+x_1\pm \sqrt{D(x)}\,\bigr)^{1/2}} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь во всех формулах выбираются либо одновременно верхние знаки, либо одновременно нижние). Функции $T_+(x)$ и $Q_+(x)$ определены в $\overline{\Omega}$ и гладкие в $\Omega$. Функции $T_-(x)$ и $Q_-(x)$ определены2 в $\overline{\Omega}\setminus\{\xi\}$ и гладкие в $\Omega\setminus\{\xi\}$. Итак, $\Lambda_+={\mathcal{U}}_-\cup\Gamma\cup{\mathcal{U}}_+$, где ${\mathcal{U}}_-$ и ${\mathcal{U}}_+$ – неособые карты, диффеоморфно проецирующиеся на $\Omega\setminus\{\xi\}$ и $\Omega$ соответственно и задаваемые в координатах $x$ функциями $(T_-(x),Q_-(x))$ и $(T_+(x),Q_+(x))$, а $\Gamma$ – цикл особенностей на $\Lambda_+$, проецирующийся в каустику $4\xi_1x_1=x_2^2$, на которой $T_-(x)=T_+(x)$ и $Q_-(x)=Q_+(x)$. В координатах $(q,\tau)$ (стесненных условием (4.3)) цикл особенностей $\Gamma$ задается соотношением (эта функция определена только при $q_1>0$; в области $q_1\leqslant0$ особые точки отсутствуют). Условимся, что $\tau_0(q)=0$ при $q_1\leqslant0$. Неособая карта ${\mathcal{U}}_-$ задается неравенствами $0<\tau<\tau_0(q)$ и отвечает интервалам траекторий до пересечения с циклом особенностей, а неособая карта ${\mathcal{U}}_+$ задается неравенством $\tau>\tau_0(q)$ и отвечает интервалам траекторий после пересечения с циклом особенностей. Отметим, что лагранжево многообразие $\Lambda_+$ не вложенное, а погруженное: траектория системы Гамильтона, отвечающая начальной точке $q=(-\sqrt{2\xi_1},0)$, через время $\tau=2\sqrt{2\xi_1}$ возвращается на начальное многообразие в точку $q=(\sqrt{2\xi_1},0)$ и далее идет вдоль траектории, отвечающей этой начальной точке. При $\xi_1=1/4$ проекции траекторий, образующих многообразие $\Lambda_{+}$, изображены на рис. 1. 4.2. ЯкобианНас интересуют якобиан ${\mathcal{J}}_+^0$ в неособых картах на многообразии $\Lambda_+$ и выбор его аргумента. В соответствии с замечанием 1 вычислим прежде всего якобиан (3.9) на $\Lambda_+$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d(X_1(q,\tau)-i\varepsilon P_1(q,\tau))&\wedge d(X_2(q,\tau)-i\varepsilon P_2(q,\tau))\wedge d(\lambda\tau-i\nu E(q))={} \\ &=(\tau-i\varepsilon)[\lambda(\tau-i\varepsilon)-i\nu(2\xi_1+ q_1(\tau-i\varepsilon))]\,dq_1\wedge dq_2\wedge d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
W(q,\tau,\lambda,\nu,\varepsilon)=(\tau-i\varepsilon)[\lambda(\tau-i\varepsilon)-i\nu(2\xi_1+ q_1(\tau-i\varepsilon))]
\end{equation*}
\notag
$$
и, соответственно,
$$
\begin{equation*}
{\mathcal{J}}_+^0=-iW(q,\tau,0,1,0)=-\tau(2\xi_1+ q_1\tau).
\end{equation*}
\notag
$$
Как и следовало ожидать, цикл $\Gamma$ совпадает с множеством нулей якобиана ${\mathcal{J}}_+^0$, причем эти нули первого порядка, так что $\Gamma$ – простейшая лагранжева особенность типа $A_1$ (складка) [24]. Далее, ${\mathcal{J}}_+^0>0$ в ${\mathcal{U}}_+$ и ${\mathcal{J}}_+^0<0$ в ${\mathcal{U}}_-$. Для вычисления аргумента перепишем якобиан (3.9) в виде
$$
\begin{equation*}
W(q,\tau,\lambda,\nu,\varepsilon) =\frac{\tau-i\varepsilon}{\tau+i\varepsilon} [\lambda(\tau^2+\varepsilon^2)+2\xi_1\nu\varepsilon-i\nu(2\xi_1\tau+q_1(\tau^2+\varepsilon^2))].
\end{equation*}
\notag
$$
Нам нужно вычислить приращение аргумента этого выражения при переходе от точки $(\tau=0,\lambda=1,\nu=0,\varepsilon=1)$ к точке $(\tau>0,\lambda=0,\nu=1,\varepsilon=0)$ в области неотрицательных значений этих параметров таких, что $W(q,\tau,\lambda,\nu,\varepsilon)\ne0$. Тогда справедливы следующие утверждения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \arg {\mathcal{J}}_+^0={}&-\frac{\pi}{2}+\arg W(q,\tau,0,1,0)=-\frac{\pi}{2}-\pi+\operatorname{var} \arg (\tau-i\varepsilon)- \operatorname{var} \arg (\tau-i\varepsilon)+{} \\ &+\operatorname{var} \arg (\lambda(\tau^2+\varepsilon^2)+2\xi_1\nu\varepsilon-i\nu(2\xi_1\tau +q_1(\tau^2+\varepsilon^2)))={} \\ ={}&-\frac{\pi}{2}+\frac\pi2\operatorname{sign}{\mathcal{J}}_+^0 =\begin{cases} 0,&(q,\tau)\in{\mathcal{U}}_+,\\ -\pi,&(q,\tau)\in{\mathcal{U}}_-. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражения для якобиана ${\mathcal{J}}_+^0$ через координаты $x$ в неособых картах ${\mathcal{U}}_\pm$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}_\pm(x)\equiv {\mathcal{J}}_+^0(Q_\pm(x),T_\pm(x)) =\pm\sqrt{2D(x)}(\xi_1+x_1\pm D(x))^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
4.3. ДействиеДействие на $\Lambda_+$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
S_{+}(q,\tau)=\int_{0}^{\tau}\langle P(q,\tau'), H_p(X(q,\tau'),P(q,\tau'))\rangle\,d\tau' =\frac{\tau^{3}}{3}+q_1\tau^{2} +2\xi_1\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя сюда выражения для $q$ и $\tau$ через $x$, получаем действия в неособых картах ${\mathcal{U}}_\pm$:
$$
\begin{equation*}
\Phi_{\pm}(x)=S_{+}(Q_\pm(x),T_\pm(x)) =\frac{\sqrt{2}}{3}\bigl(x_{1}+\xi_1 \pm \sqrt{D(x)}\,\bigr)^{\!1/2}\bigl(2(x_{1}+\xi_1) \mp \sqrt{D(x)}\,\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
4.4. Асимптотическое решение в $\mathbb{R}^2\setminus\{\xi\}$Согласно теореме 4 главный член асимптотического решения (2.8) в $\mathbb{R}^2\setminus\{\xi\}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\psi(x,h)\simeq(2\pi h)^{1/2}e^{\pi i/4}[{\mathcal{K}}_+B](x,h),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $B(q,\tau)=A(q)$ в соответствии с формулой (2.9), так как субглавный символ $H_{\operatorname{sub}}(x,p)$ оператора в левой части уравнения (4.1) тождественно равен нулю. Как мы видели выше, лагранжево многообразие $\Lambda_+$ состоит из двух неособых карт ${\mathcal{U}}_{\pm}$, имеющих в качестве общей границы простую особую кривую $\Gamma$ и проецирующихся в одну и ту же область $\Omega\subset\mathbb{R}_x^2$ (за вычетом точки $x=\xi$, которая нас не интересует). Поэтому в соответствии с [25], [26] канонический оператор на $\Lambda_+$ можно глобально выразить через функции Эйри; в главном члене это выражение имеет вид
$$
\begin{equation*}
[{\mathcal{K}}_+B](x,h)\simeq{} 2 \sqrt{\pi} e^{-\pi i/4} e^{(i/h) \Phi_{\mathrm{ev}}(x)}\biggl(i \mathcal{B}_{\mathrm{ev}}(x)\biggl|\frac{3 \Phi_{\mathrm{odd}}(x)}{2 h}\biggr|^{1 / 6} \operatorname{Ai}\biggl(-\biggl(\frac{3 \Phi_{\mathrm{odd}}(x)}{2 h}\biggr)^{2/3}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\mathcal{B}_{\mathrm{odd}}(x)\biggl|\frac{3 \Phi_{\mathrm{odd}}(x)}{2 h}\biggr|^{-1 / 6} \operatorname{Ai}^{\prime}\biggl(-\biggl(\frac{3 \Phi_{\mathrm{odd}}(x)}{2 h}\biggr)^{2/3}\biggr)\biggr),
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
$$
\begin{equation}
\Phi_{\mathrm{ev}/\mathrm{odd}}(x)={} \frac{\Phi_{+}(x) \pm \Phi_{-}(x)}{2}, \qquad \mathcal{B}_{\mathrm{ev/odd}}(x) =\frac12\biggl(\frac{A(Q_{+}(x))} {\sqrt{|\mathcal{J}_{+}(x)|}} \pm \frac{A(Q_{-}(x))} {\sqrt{|\mathcal{J}_{-}(x)|}}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Разумеется, вне окрестности каустики в области $\Omega\setminus\{\xi\}$ можно записать решение и в стандартном виде суммы ВКБ-экспонент, отвечающих картам ${\mathcal{U}}_\pm$:
$$
\begin{equation*}
[{\mathcal{K}}_+B](x,h)\simeq \frac{e^{(i/h) \Phi_+(x)}A(Q_+(x))} {\sqrt{|\mathcal{J}_+(x)|}} +i\frac{e^{(i/h) \Phi_-(x)}A(Q_-(x))} {\sqrt{|\mathcal{J}_-(x)|}}.
\end{equation*}
\notag
$$
4.5. Примеры конкретных вычисленийДля случая $A|_{L_0}\equiv1$ вещественная часть главного члена асимптотического решения уравнения (4.1) в области $\Omega\setminus\{|x-\xi|<0.1\}$ при $h=0.1$ показана на рис. 2. Рассмотрим теперь случай непостоянной функции
$$
\begin{equation}
A(q)|_{L_0}=b e^{-c(\sqrt{2\xi_1}-q_1\cos\phi-q_2\sin\phi)^{2}}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
В расчетах использовались значения
$$
\begin{equation}
b=0.5, \quad c=70, \quad \phi=2.65,\quad \xi_1=\frac{1}{4},\quad h=0.01.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Часть лагранжева многообразия $\Lambda_+$, на котором соответствующая амплитуда $B(q,\tau)=A(q)$ не мала, образована траекториями, проекции которых показаны на рис. 3а. Эти проекции заметают область, в которой оказывается локализованным асимптотическое решение. Вещественная часть главного члена асимптотического решения показана на рис. 3б.  Рис. 3.Проекции траекторий, образующих часть многообразия $\Lambda_{+}$, на котором локализована функция $B(q,\tau)$, в случае, когда амплитуда $A$ задана условием (4.8) со значениями параметров (4.9) (а). Вещественная часть главного члена асимптотического решения в области $\Omega\setminus\{|x-\xi|<0.1\}$ для этого случая (б). 5. Доказательства основных утверждений5.1. Доказательство теоремы 1Пусть $\widetilde f\in{\mathcal{S}}(\Lambda_0)$ и $\operatorname{supp} \widetilde f\cap L_0=\varnothing$. Как уже отмечалось выше, мы не можем в данном случае пользоваться результатами приложения A, и поэтому будем решать задачу непосредственно, пользуясь определением (2.5) оператора ${\mathcal{K}}_0$ и стандартным определением ПДО (см. IV.6 в [12]). Будем искать решение в виде $\psi=h^{n/2}{\mathcal{K}}_0B$, где $B\in{\mathcal{S}}(\Lambda_0;h)$. Подставляя эту функцию в левую часть уравнения, получим следующее: для любого $N>0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathcal{H}}\psi={}&\frac{e^{i\pi n/4}}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n}e^{(i/h)\langle p,x-\xi\rangle} {\mathcal{H}}(x,p,h)B(p)\,dp={} \\ ={}& \frac{e^{i\pi n/4}}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n}e^{(i/h)\langle p,x-\xi\rangle} \biggl[\, \sum_{k+|\alpha|=0}^{N-1}\!\! \frac{h^k(x-\xi)^\alpha}{k!\,\alpha!}\frac{\partial^{|\alpha|+k} {\mathcal{H}}}{\partial x^\alpha\,\partial h^k}(\xi,p,0)B(p)+{} \\ &+\sum_{k+|\alpha|=N}\!\! h^k(x-\xi)^\alpha R_{\alpha k}(x,\xi,p,h)B(p)\biggr]\,dp, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где вторая сумма содержит остаточные члены разложения Тейлора полного символа ${\mathcal{H}}(x,p,h)$ по степеням $x$ и $h$. Интегрируя много раз по частям с использованием тождества
$$
\begin{equation*}
(x_j-\xi_j)e^{(i/h)\langle p,x-\xi\rangle}= -ih\frac{\partial}{\partial p_j}\bigl(e^{(i/h)\langle p,x-\xi\rangle}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
и оценивая остаточные члены, приходим к соотношению
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{H}}\psi\sim h^{n/2} {\mathcal{K}}_0\biggl(\,\sum_{m=0}^{\infty} h^m\Pi_m B\biggr),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Pi_m=\sum_{\substack{|\alpha|+|\beta|+k=m}} \frac{i^{|\alpha|+|\beta|}}{\alpha!\,\beta!\,k!} \frac{\partial^{|\alpha|+2|\beta|+k}{\mathcal{H}}}{\partial x^{\alpha+\beta}\,\partial p^\beta\,\partial h^k}(\xi,q,0)\frac{\partial^\alpha}{\partial q^\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
(Здесь и далее в аналогичных формулах под суммой ряда по степеням $h$ из некоторого пространства понимается гладкая функция от $h\in[0,1]$ со значениями в этом пространстве, имеющая данный ряд своим рядом Тейлора.) Итак, для амплитуды $B$ получаем уравнение Так как $\Pi_0$ – оператор умножения на функцию $H(\xi,q)$, а $H(\xi,q)\ne0$ на $\operatorname{supp}\widetilde f$, то уравнение можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
B=H^{-1}(\xi,q)\widetilde f -\sum_{m=1}^{\infty}h^mH^{-1}(\xi,q)\Pi_mB
\end{equation*}
\notag
$$
и решать итерациями, причем главный член асимптотического разложения имеет вид $H^{-1}(\xi,q)\widetilde f$, а из оценки в условии I в сочетании с тем, что коэффициенты операторов $\Pi_m$ растут при $|q|\to\infty$ не быстрее многочленов, вытекает, что $B\in{\mathcal{S}}(\Lambda_0,h)$. Теорема доказана. 5.2. Доказательство леммы 1Так как функция $\widetilde f$ финитна, то $|q|\leqslant C_1$ на множестве $M$ с некоторой постоянной $C_1>0$. Далее, из условия III вытекает, что если $(x,t)\in\pi_\Lambda(M)$ и $|x|\leqslant R$, то $0\leqslant t\leqslant \tau_R$. Пусть $U_1$ – $1$-окрестность множества $\pi_\Lambda(M)$ в $\mathbb{R}_{(x,t)}^{n+1}$. Нетрудно видеть, что если $(x,t)\in U_1$ и $|x|\leqslant R$, то $-1< t< \tau_{R+1}+1$. Далее, пусть $U_2$ – окрестность множества $M$ в $\mathbb{R}_{(q,\tau)}^{n+1}$ такая, что $|q|\leqslant 2C_1$ на $U_2$ и что $\overline{U_2}\subset\Lambda$. Положим $U=\pi_\Lambda^{-1}(U_1)\cap U_2$. Пусть $\chi\in C^\infty(\mathbb{R}_{(q,\tau)}^{n+1})$ – гладкая функция такая, что $\operatorname{supp}\chi\subset U$ и $\chi=1$ в некоторой меньшей окрестности множества $M$. Мы утверждаем, что функция $\chi$ обладает требуемыми свойствами. Действительно, свойство (i) выполнено по построению. Далее, так как $ \overset{\kern1.72pt\underline{\kern5.5pt}\kern0.7pt}{U} \subset\Lambda$, то носитель функции $\chi$ как функции на $\Lambda$ совпадает с ее носителем как функции на $\mathbb{R}_{(q,\tau)}^{n+1}$ и потому замкнут в $\mathbb{R}_{(q,\tau)}^{n+1}$. Теперь если $K\subset\mathbb{R}_{(x,t)}^{n+1}$ – компактное подмножество, то $\pi_\Lambda^{-1}(K)\cap\operatorname{supp}\chi$ – замкнутое подмножество в $\mathbb{R}_{(q,\tau)}^{n+1}$, а так как оно к тому же ограничено, то оно компактно в $\mathbb{R}_{(q,\tau)}^{n+1}$, а значит, и в $\Lambda$, где оно целиком содержится; это доказывает свойство (ii). Наконец, множество $\pi_\Lambda(\operatorname{supp}\chi)$ содержится в $U_1$ и, следовательно, вместе с этой окрестностью обладает свойством (iii). Лемма доказана. 5.3. Доказательство теоремы 2Пусть $\widetilde f\in C_0^\infty(\Lambda_0)$. Будем искать асимптотическое решение уравнения (2.1) в виде (2.8), где $A\in C^\infty(\Lambda\times[0,1])$ – пока что неизвестная амплитуда. Прежде всего, заметим, что интеграл (2.8) корректно определен. Действительно, $\chi A\in C_\mathrm{pr}^\infty(\Lambda;h)$ в силу условия (ii) леммы 1, так что подынтегральное выражение определено корректно. Далее, в силу предложения 3 (см. приложение A) $\mathcal{K}(\chi A)=0$ в $\mathbb{R}_{(x,t)}^{n+1}$ вне $\varepsilon$-окрестности множества $\pi_\Lambda(\operatorname{supp}(\chi A))$ для некоторого $\varepsilon>0$ и подавно вне $\varepsilon$-окрестности множества $\pi_\Lambda(\operatorname{supp}\chi))$; но из условия (iii) леммы 1 следует теперь, что если $\mathcal{K}(\chi A)(x,t,h)\ne0$ и $|x|<R$, то $-1-\varepsilon<t<\tau_{R+1+\varepsilon}+1+\varepsilon$. Таким образом, если $x$ содержится в произвольном компактном множестве, то интеграл по $t$ в (2.8) в действительности берется по конечному промежутку, что и доказывает корректную определенность. Подействуем на функцию (2.8) псевдодифференциальным оператором $\widehat{\mathcal{H}}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathcal{H}}\psi&=ih^{(n/2)-1}\int_0^\infty \widehat{\mathcal{H}}[{\mathcal{K}}(\chi A)]\,dt=ih^{(n/2)-1}\int_0^\infty\biggl[ih\frac{\partial}{\partial t} -ih\frac{\partial}{\partial t}+\widehat{\mathcal{H}}\biggr][{\mathcal{K}}(\chi A)]\,dt={} \nonumber \\ &= h^{n/2}[{\mathcal{K}}(\chi A)]_{t=0} +ih^{(n/2)-1}\int_0^\infty \biggl[-ih\frac{\partial}{\partial t}+\widehat{\mathcal{H}}\biggr] [{\mathcal{K}}(\chi A)]\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Положим Так как $\chi(q,0)\widetilde f(q)=\widetilde f(q)$, то согласно предложению 2
$$
\begin{equation*}
h^{n/2}[{\mathcal{K}}(\chi A)]_{t=0} =h^{n/2}[\mathcal{K}_0((\chi A)\big|_{\Lambda_0})] =h^{n/2}[\mathcal{K}_0\widetilde f] =f\biggl(\frac{x-\xi}{h}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. первое слагаемое в правой части (5.2) дает правую часть уравнения (2.1). Интеграл во втором слагаемом перепишем в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty \biggl[-ih\frac{\partial}{\partial t}+\widehat{\mathcal{H}}\biggr] [{\mathcal{K}}(\chi A)]\,dt &= \int_0^\infty[{\mathcal{K}}(\Pi(\chi A))](t)\,dt={} \nonumber \\ &=\int_0^\infty[{\mathcal{K}}(\chi\Pi A)](t)\,dt +\int_0^\infty[{\mathcal{K}}([\Pi,\chi]A)](t)\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $\Pi$ – оператор переноса из формулы коммутации (А.5) (для ПДО $-ih\frac{\partial}{\partial t}+\widehat{\mathcal{H}}$ и канонического оператора на $\Lambda$), а $[\Pi,\chi]=\Pi\chi-\chi\Pi$ – его коммутатор с оператором умножения на срезающую функцию $\chi$. Оператор $-ih\frac{\partial}{\partial t}+\widehat{\mathcal{H}}$ имеет главный символ $E+H(x,p)$, равный нулю на $\Lambda$, и субглавный символ такой же, как и у $\widehat{\mathcal{H}}$. Поэтому в соответствии с предложением 3 в ряде (А.5) для оператора переноса $\Pi$ имеем в координатах $(q,\tau)$
$$
\begin{equation*}
\Pi_0=0,\qquad\Pi_1=\frac{\partial}{\partial \tau} +iH_{\mathrm{sub}}(X(q,\tau),P(q,\tau)).
\end{equation*}
\notag
$$
Решая уравнение переноса $\Pi A=0$ с начальными условиями (5.3) с помощью стандартной рекуррентной процедуры, находим амплитуду $A\in C^\infty(\Lambda\times[0,1])$ такую, что первое слагаемое в правой части (5.4) есть $O(h^\infty)$; при этом главный член $A_0$ имеет вид (2.9). Завершим доказательство теоремы, показав, что и второй интеграл в правой части (5.4) есть $O(h^\infty)$. В этом интеграле носитель амплитуды $G=[\Pi,\chi]A=[\Pi,\chi-1]A$, к которой применяется канонический оператор, лежит в области $\tau>0$ (а значит, внеинтегральных членов при интегрировании по частям не будет) и не пересекается с $L_0\times(0,\infty)$ в силу условия (iii) леммы 1. Представим канонический оператор под знаком интеграла локально конечной суммой предканонических операторов – осциллирующих интегралов (А.4) с фазовыми функциями вида $\Phi(x,t,\theta)$, как в п. 2.3. Условие отсутствия пересечения с $L_0\times(0,\infty)$ означает, что $\Phi_t\ne0$ на $C_\Phi$. Таким образом, во втором интеграле по $t$ можно интегрировать по частям по переменной $t$ сколько угодно раз, что и приводит к нужной оценке. Теорема доказана. 5.4. Доказательство теоремы 3Для данной теоремы ограничимся лишь наброском доказательства. Как и в доказательстве теоремы 2, записывая интеграл (2.8) в виде суммы интегралов по $t$ от осциллирующих интегралов с фазовыми функциями $\Phi(x,t,\theta)$, видим, что при условиях теоремы 3 в каждом из этих интегралов $\Phi_t\ne0$ и можно интегрировать по частям. Однако внеинтегральные члены уже не будут равны нулю, так что интегрирование приведет к выражению решения (2.8) через канонический оператор ${\mathcal{K}}_0$. Остается заметить, что, как видно из доказательства теоремы 1, разложение амплитуды $B$ в формуле (2.6) в ряд по степеням $h$ определяется однозначно и, значит, два решения действительно отличаются на $O(h^\infty)$. Теорема доказана. 5.5. Доказательство теоремы 4Рассмотрим достаточно малую окрестность произвольной точки $x_0\in\mathbb{R}_x^n\setminus\{\xi\}$. В этой окрестности правые части формул (2.8) и (2.11) с точностью до $O(h^\infty)$ не изменятся, если в амплитуду в каноническом операторе ввести срезающую функцию $\rho(\tau)\in C_0^\infty(\mathbb{R}_+)$, равную единице на отрезке $[\varepsilon,\varepsilon^{-1}]$, где $\varepsilon>0$ достаточно мало. Таким образом, достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\int_0^\infty [{\mathcal{K}} \phi](x,t,h)\,dt\sim (2\pi h)^{1/2}e^{-i\pi/4}[{\mathcal{K}}_+\phi_+](x,h),
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где $\phi\in C_0^\infty(\Lambda)$, $\operatorname{supp}\phi\subset\{\tau>0\}$, а $\phi_+$ – функция из $C^\infty([0,1]_h\times \Lambda_+)$, которая при фиксированном $h\in[0,1]$ лежит в $C^\infty_0(\Lambda_+)$ и такая, что $\phi_+\big|_{h=0}=\phi|_{\Lambda_+}$. Более того, достаточно показать, что равенство (5.5) выполнено для предканонических операторов. Возьмем произвольную $\Phi$-карту на $\Lambda$. Левая часть в (5.5) записывается в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty [{\mathcal{K}} \phi](x,t,h)\,dt &=\frac{e^{i\pi m/4}}{(2\pi h)^{m/2}} \int_0^\infty\int e^{(i/h)\Phi(x,t,\theta)} \varkappa(\phi\sqrt{F_{\Phi,d\mu}})(x,\theta,t)\,d\theta\,dt={} \\ &=\frac{(2\pi h)^{1/2}}{e^{{i\pi}/{4}}} \frac{e^{i\pi (m+1)/4}}{(2\pi h)^{(m+1)/2}} \int e^{(i/h)\Phi_+(x,\widetilde\theta)} \varkappa(\phi\sqrt{F_{\Phi,d\mu}})(x,\widetilde\theta)\,d\widetilde\theta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, имеем
$$
\begin{equation*}
\varkappa(\phi\sqrt{F_{\Phi,d\mu}})|_{C_{\Phi_+}} =\phi|_{C_{\Phi_+}}\sqrt{F_{\Phi_+,d\mu_+}}
\end{equation*}
\notag
$$
(мы воспользовались предложением 1), откуда и следует (5.5). Теорема доказана. Приложение А. Канонический оператор МасловаТеория канонического оператора изложена в большом числе монографий (см., например, [9], [12], [13], [27], [28]). Ее современное состояние отражено в статьях [18], [19]. Здесь мы кратко изложим некоторые результаты без доказательств в удобном для нас виде и ограничиваясь наиболее простым случаем, достаточным для целей настоящей статьи. Пусть $\imath\colon L\to\mathbb{R}_{(x,p)}^{2n}$, $\alpha\mapsto(X(\alpha),P(\alpha))$, – связное ориентируемое лагранжево многообразие, снабженное мерой (формой объема) $d\mu(\alpha)$. Будем предполагать, что на нем тривиальны класс когомологий формы $P(\alpha)\,dX(\alpha):=P_1(\alpha)\,dX_1(\alpha) +\dots+P_n(\alpha)\,dX_n(\alpha)$ и индекс Маслова [23]. Далее, пусть $U\subseteq\mathbb{R}_x^n$ – заданная область. Мы построим по этим данным канонический оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K}=\mathcal{K}_{(L,d\mu)}\colon C_\mathrm{pr}^\infty(L,U;h)\to{\mathcal{F}}^h(U).
\end{equation*}
\notag
$$
А.1. Действие и аргумент якобианаИз наложенных на многообразие $L$ условий вытекает, что на $L$ существуют действие $S(\alpha)$ (вещественное решение уравнения Пфаффа $dS(\alpha)=P(\alpha)\,dX(\alpha)$) и непрерывная ветвь $\arg{\mathcal{J}}^1(\alpha)$ аргумента якобиана3
$$
\begin{equation}
{\mathcal{J}}^1(\alpha)=\frac{d(X(\alpha)-iP(\alpha))}{d\mu(\alpha)} \equiv \frac{d(X_1(\alpha)-iP_1(\alpha))\wedge\dots\wedge d(X_n(\alpha)-iP_n(\alpha))}{d\mu(\alpha)},
\end{equation}
\tag{А.1}
$$
определенные с точностью до прибавления постоянной (во втором случае кратной $2\pi$). Зафиксируем эти объекты каким-либо образом (при изменении их выбора канонический оператор меняется на унимодулярный множитель, зависящий только от $h$). А.2. Предканонический операторКанонический оператор склеивается из своих локальных представлений – предканонических операторов, определенных в специального вида картах на $L$. Пусть $\Phi(x,\theta)$ – невырожденная фазовая функция, т. е. гладкая вещественная функция, определенная в некоторой ограниченной области4 $V\subset\mathbb{R}_{(x,\theta)}^{n+m}$ и такая, что дифференциалы $d\Phi_{\theta_1},\dots,d\Phi_{\theta_m}$ линейно независимы в каждой точке множества
$$
\begin{equation*}
C_\Phi=\{(x,\theta)\in V\mid\Phi_\theta(x,\theta)=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
которое, таким образом, является $n$-мерным многообразием. Оно предполагается связным и односвязным. Отображение
$$
\begin{equation*}
\imath_\Phi\colon C_\Phi\to\mathbb{R}_{(x,p)}^{2n},\qquad (x,\theta)\mapsto (x,\Phi_x(x,\theta)),
\end{equation*}
\notag
$$
является лагранжевым многообразием, и если задано вложение $\jmath_\Phi\colon C_\Phi\hookrightarrow L$, удовлетворяющее условию $\imath_\Phi=\imath\circ\jmath_\Phi$, то это вложение называется $\Phi$-картой на $L$. В дальнейшем мы отождествляем $C_\Phi$ с его образом $L_\Phi=\jmath_\Phi(C_\Phi)\subset L$ и, возможно, не совсем педантично пишем $S$ вместо $\jmath_\Phi^*S$, $d\mu$ вместо $\jmath_\Phi^*d\mu$ и т. д. Потребуем, чтобы $\Phi|_{C_\Phi}=S$ (этого всегда можно добиться, при необходимости прибавляя к $\Phi$ локально постоянную функцию), и определим на $C_\Phi$ функцию $F_{\Phi,d\mu}$ и ее аргумент формулами
$$
\begin{equation}
F_{\Phi,d\mu} =\frac{d\mu\wedge d(-\Phi_\theta)}{dx\wedge d\theta} \equiv\frac{d\mu\wedge d(-\Phi_{\theta_1})\wedge\dots \wedge d(-\Phi_{\theta_m})} {dx_1\wedge\dots\wedge dx_n\wedge d\theta_1\wedge\dots\wedge d\theta_m},
\end{equation}
\tag{А.2}
$$
$$
\begin{equation}
\arg F_{\Phi,d\mu} =-\frac{\pi m}2-\arg{\mathcal{J}}^1 +\arg\det\begin{pmatrix} E-i\Phi_{xx} & -i\Phi_{x\theta} \\ -i\Phi_{\theta x} &-i\Phi_{\theta\theta} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{А.3}
$$
где аргумент детерминанта вычисляется как сумма аргументов собственных значений матрицы, причем эти аргументы берутся в интервале $[-\pi/2,\pi/2]$ (что корректно, поскольку все эти собственные значения лежат в замкнутой правой полуплоскости). Наконец, зафиксируем некоторое расслоение достаточно малой трубчатой окрестности множества $C_\Phi$ в $V$ над $C_\Phi$ и равную единице на $C_\Phi$ срезающую функцию с носителем в этой трубчатой окрестности и для любой функции $A$ на $C_\Phi$ определим ее продолжение $\varkappa A$ на множество $V$, поднимая ее в трубчатую окрестность как функцию, постоянную в слоях, и умножая затем на срезающую функцию. Получающийся линейный оператор продолжения действует в пространствах $\varkappa\colon C_0^\infty(C_\Phi)\to C_0^\infty(V)$. Отметим, что для сколь угодно малого $\varepsilon>0$, выбирая достаточно малую трубчатую окрестность, можно добиться того, чтобы носитель $\operatorname{supp}\varkappa A$ содержался в $\varepsilon$-окрестности носителя $\operatorname{supp} A$. Определим теперь предканонический оператор ${\mathcal{K}}_\Phi$ на функциях $A\in C_0^\infty(C_\Phi)$ формулой
$$
\begin{equation}
[{\mathcal{K}}_\Phi A](x,h)= \frac{e^{i\pi m/4}}{(2\pi h)^{m/2}} \int e^{(i/h)\Phi(x,\theta)} \varkappa\bigl(A\sqrt{F_{\Phi,d\mu}}\bigr)(x,\theta)\,d\theta,
\end{equation}
\tag{А.4}
$$
где ветвь квадратного корня выбирается в соответствии с выбором аргумента (А.3). А.3. Канонический оператор и его свойстваВ окрестности каждой точки на лагранжевом многообразии $L$ существует $\Phi$-карта. Выберем на многообразии $L$ счетный локально конечный атлас из $\Phi$-карт с компактным замыканием, отвечающих некоторым невырожденным фазовым функциям $\Phi_j$, $j\in{\mathfrak{J}}$, и в каждой карте выберем некоторый оператор продолжения $\varkappa_j$ (тем самым однозначно определив предканонический оператор ${\mathcal{K}}_{\Phi_j}$) таким образом, чтобы числа $\varepsilon_j$, отвечающие этим операторам продолжения (см. выше), стремились к нулю. Зафиксируем гладкое разбиение единицы $\{e_j\in C_0^\infty(L_{\Phi_j})\}_{j\in\mathfrak{J}}$, подчиненное покрытию $L=\bigcup_{j\in{\mathfrak{J}}}L_{\Phi_j}$. Определим канонический оператор ${\mathcal{K}}$ на $L$ формулой
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K} A=\sum_{j\in{\mathfrak{J}}}{\mathcal{K}}_{\Phi_j}(e_j A),\qquad A\in C_\mathrm{pr}^\infty(L,U;h).
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться, что при заданной амплитуде $A$ для любого компактного множества $K\subset\mathbb{R}_x^n$ в этой сумме есть лишь конечное число членов, которые могут быть отличны от нуля при $x\in K$, так что определение корректно. Предложение 3. Пусть $A\in C_\mathrm{pr}^\infty(L,U;h)$. Тогда: 1) ${\mathcal{K}}A\sim0$ в $U$ вне произвольной окрестности множества $\pi_L(\operatorname{supp} A)$, и ${\mathcal{K}}A=0$ в $U$ вне $\varepsilon$-окрестности множества $\pi_L(\operatorname{supp} A)$, где $\varepsilon=\max_j\varepsilon_j$; 2) если $\widetilde{\mathcal{K}}$ – канонический оператор на $L$, отвечающий другому выбору $\Phi$-карт, операторов продолжения и разбиения единицы, то А.4. Продолжение псевдодифференциального оператора на быстроосциллирующие функцииЕсли $\vphantom{A^{A^{A^a}}}\widehat{\mathcal{H}}$ – псевдодифференциальный оператор в смысле [12] (см. IV.6), то он действует в пространствах
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{H}}\colon {\mathcal{S}}(\mathbb{R}_x^n) \longrightarrow{\mathcal{S}}(\mathbb{R}_x^n)
\end{equation*}
\notag
$$
при каждом фиксированном $h$. Для заданной области $U\subseteq\mathbb{R}_x^n$ его можно продолжить на ${\mathcal{F}}^h(U)$ следующим образом. Пусть
$$
\begin{equation*}
\varnothing=U_0\Subset U_1\Subset U_2\Subset\dotsb,\qquad \bigcup_{j=0}^\infty U_j=U,
\end{equation*}
\notag
$$
– исчерпывающая последовательность открытых множеств с компактным замыканием в $U$, и пусть $\psi_j\in C_0^\infty(U)$, $j=0,1,2,\dots$, – такие функции, что $\psi_j(x)=1$ в $ \overset{\kern1.72pt\underline{\kern5.5pt}\kern0.7pt}{U} _j$ и $\psi_j(x)=0$ вне $U_{j+1}$, причем $\psi_0(x)\equiv0$. Для $u\in{\mathcal{F}}^h(U)$ положим
$$
\begin{equation*}
v=[\widehat{\mathcal{H}} u](x,h):=\sum_{j=1}^\infty\psi_{j+1}(x) [\widehat{\mathcal{H}}((\psi_j-\psi_{j-1})u)](x,h), \qquad x\in U,\quad h\in(0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Сумма локально конечна, и в каждом слагаемом оператор $\widehat{\mathcal{H}}$ действует на финитную функцию. Поэтому сумма корректно определена. Она задает элемент $v\in{\mathcal{F}}^h(U)$, с точностью до $O(h^\infty)$ в $U$ не зависящий от выбора последовательностей $U_j$ и $\Psi_j$. А.5. Формула коммутации канонического оператора с псевдодифференциальным операторомПредложение 4. Пусть $\widehat{\mathcal{H}}$ – псевдодифференциальный оператор с главным символом $H(x,p)$ и субглавным символом $H_{\mathrm{sub}}(x,p)$, и пусть $A\in C_\mathrm{pr}^\infty(L,U;h)$. Тогда где $\Pi_k\colon C^\infty(L)\to C^\infty(L)$, $k=0,1,2,\dots$, – дифференциальные операторы. При этом: 1) $\Pi_0=H|_{L}$ – оператор умножения на сужение главного символа оператора $\widehat{\mathcal{H}}$ на лагранжево многообразие $L$; 2) если $\Pi_0\equiv 0$ (т. е. $L$ лежит на нулевом уровне главного символа $H(x,p)$), то где $V(H)$ – гамильтоново векторное поле5 главного символа.Приложение Б. Доказательство предложения 1Формулы (3.11) непосредственно следуют из определений лагранжевых многообразий $\Lambda$, $\Lambda_0$ и $\Lambda_+$ и из определения $\Phi$-карты (п. А.2). Остается доказать невырожденность функций $\Phi_0$ и $\Phi_+$ и получить формулы (3.12). На $\Lambda$ рассмотрим $n$-форму (см. (3.3))
$$
\begin{equation*}
d\widetilde\mu(q,\tau)=dZ(q,\tau)\wedge d(\lambda\tau-i\nu E(q))
\end{equation*}
\notag
$$
для тех значений параметров $\lambda,\mu\geqslant0$, при которых она невырожденна. Воспользуемся определением (А.2) функции $F_{\Phi,d\mu}$ и формулой (3.4) и запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_{\Phi,d\mu}=\frac{d\mu\wedge d(-\Phi_\theta)}{dx\wedge d\theta}&=\frac{d\mu}{d\widetilde\mu}\,\boldsymbol\cdot\,\frac{d\widetilde\mu\wedge d(-\Phi_\theta)}{dx\wedge d\theta} ={} \\ &=\frac{1}{W(q,\tau,\lambda,\nu)} \begin{vmatrix} E-i\Phi_{xx} & -i\Phi_{xt} & -i\Phi_{x\theta} \\ -i\nu\Phi_{tx} & \lambda-i\nu\Phi_{tt} & -i\nu\Phi_{t\theta} \\ -\Phi_{\theta x} & -\Phi_{\theta t} & -\Phi_{\theta\theta} \end{vmatrix}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где, разумеется, производные функции $\Phi$ вычисляются в точках $(x,t,\theta)\in C_\Phi$, соответствующих точке $(q,\tau)\in L_\Phi\subset\Lambda$. Умножая последнюю строку определителя на $i$, а затем деля вторую строку и умножая второй столбец на $\sqrt\nu$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, F_{\Phi,d\mu} =\frac{(-i)^m\det M(\lambda,\nu)}{W(q,\tau,\lambda,\nu)},\\ M(\lambda,\nu)= \begin{pmatrix} E-i\Phi_{xx} & -i\sqrt\nu\,\Phi_{xt} & -i\Phi_{x\theta} \\ -i\sqrt\nu\,\Phi_{tx} & \lambda-i\nu\Phi_{tt} & -i\sqrt\nu\,\Phi_{t\theta} \\ -i\Phi_{\theta x} & -i\sqrt\nu\,\Phi_{\theta t} & -i\Phi_{\theta\theta} \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
Поэтому $\det M(\lambda,\nu)\ne0$ для всех $\lambda,\nu\geqslant0$, при которых $W(q,\tau,\lambda,\nu)\ne0$ (в частности, для всех $\lambda,\nu>0$). Положим в (Б.1) $\lambda=\nu=1$ и получим
$$
\begin{equation*}
F_{\Phi,d\mu} =\frac{(-i)^m\det M(1,1)}{{\mathcal{J}}^1(q,\tau)},\qquad M(1,1)= \begin{pmatrix} E-i\Phi_{xx} & -i\Phi_{xt} & -i\Phi_{x\theta} \\ -i\Phi_{tx} & 1-i\Phi_{tt} & -i\Phi_{t\theta} \\ -i\Phi_{\theta x} & -i\Phi_{\theta t} & -i\Phi_{\theta\theta} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнение с общим определением (А.3) аргумента функции $F_{\Phi,d\mu}$ дает
$$
\begin{equation*}
\arg F_{\Phi,d\mu}=-\frac{\pi m}{2}-\arg{\mathcal{J}}^1+\arg\det M(1,1),
\end{equation*}
\notag
$$
где аргумент детерминанта матрицы вычисляется как сумма аргументов ее собственных значений, взятых в интервале $[-\pi/2,\pi/2]$. С учетом (3.7) и того факта, что собственные значения матрицы $M(\lambda,\nu)$ лежат в замкнутой правой полуплоскости при всех $\lambda,\nu\geqslant0$, получаем, что если $\lambda,\nu\geqslant0$ и $W(q,\tau,\lambda,\nu)\ne0$, то
$$
\begin{equation}
\arg F_{\Phi,d\mu}=-\frac{\pi m}{2}-\arg W(q,\tau,\lambda,\nu) +\arg\det M(\lambda,\nu),
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
где аргумент детерминанта вычисляется по тому же правилу. Зафиксируем теперь $t=0$ и положим $\lambda=1$, $\nu=0$. Тогда из (3.5), (Б.1) получим
$$
\begin{equation*}
F_{\Phi,d\mu}(q,0) =\frac{(-i)^m}{{\mathcal{J}}_0^1(q)}\begin{vmatrix} E-i\Phi_{xx} & 0 & -i\Phi_{x\theta} \\ 0 & 1 & 0 \\ -i\Phi_{\theta x} & 0 & -i\Phi_{\theta\theta} \end{vmatrix} =\frac{(-i)^m}{{\mathcal{J}}_0^1(q)}\begin{vmatrix} E-i\Phi_{xx} & -i\Phi_{x\theta} \\ -i\Phi_{\theta x} & -i\Phi_{\theta\theta} \end{vmatrix}=F_{\Phi_0,d\mu_0}(q).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом из неравенства нулю определителя следует, что ранг матрицы $\begin{pmatrix} \Phi_{\theta x} & \Phi_{\theta\theta} \\ \end{pmatrix}$ максимален, так что фазовая функция $\Phi_0$ невырожденна. Из формулы (Б.2) получаем для $\arg F_{\Phi_0,d\mu_0}$ значение, совпадающее с полученным из общего определения (А.3), так как у матриц
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} E-i\Phi_{xx} & 0 & -i\Phi_{x\theta} \\ 0 & 1 & 0 \\ -i\Phi_{\theta x} & 0 & -i\Phi_{\theta\theta} \end{pmatrix} \quad\text{и}\quad\begin{pmatrix} E-i\Phi_{xx} & -i\Phi_{x\theta} \\ -i\Phi_{\theta x} & -i\Phi_{\theta\theta} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
одни и те же собственные значения (за исключением “лишнего” собственного значения, равного единице, у первой из матриц). Таким образом, формулы из первой строки в (3.12) доказаны. Зафиксируем теперь точку из $L_\Phi\cap\Lambda_+$ (т. е. возьмем $q=q(\alpha)$) и положим $\lambda=0$, $\nu=1$. Тогда из (3.5), (Б.1) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_{\Phi,d\mu}(q(\alpha),\tau) &=\frac{(-i)^{m+1}}{{\mathcal{J}}_+^1(\alpha,\tau)} \begin{vmatrix} E-i\Phi_{xx} & -i\Phi_{xt} & -i\Phi_{x\theta} \\ -i\Phi_{tx} &-i\Phi_{tt} & -i\Phi_{t\theta} \\ -i\Phi_{\theta x} & -i\Phi_{\theta t} & -i\Phi_{\theta\theta} \end{vmatrix}={} \\ &=\frac{(-i)^{m+1}}{{\mathcal{J}}_+^1(\alpha,\tau)} \begin{vmatrix} E-i\Phi_{+xx} &-i\Phi_{+x\widetilde\theta} \\ -i\Phi_{+\widetilde\theta x} & -i\Phi_{+\widetilde\theta\widetilde\theta} \end{vmatrix}=F_{\Phi_+,d\mu_+}(\alpha,\tau). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства нулю определителя следует, что фазовая функция $\Phi_+$ невырожденна. Формула (Б.2), как и выше, дает для $\arg F_{\Phi_+,d\mu_+}$ значение, совпадающее с полученным из общего определения (А.3). Предложение 1 доказано. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AniDobNaz23} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|