| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Точные решения А. Инам, М. Аль-Хассан Department of Physics, University of the Punjab, Lahore, Pakistan
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923010038 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ последние годы наблюдается огромный интерес к изучению дискретных интегрируемых систем, связанный с их многочисленными приложениями в разных областях физики и прикладной математики [1]–[5], таких как физика конденсированных состояний, гидромеханика, физика плазмы, волоконная оптика, гидродинамика и др. [6]–[13]. Одним из важных примеров являются системы в квантовой теории поля, интегрируемые и решаемые методом обратной задачи рассеяния. Различные аспекты интегрируемых систем ранее исследовались с помощью преобразования Беклунда, пенлеве-анализа и билинейного метода Хироты [14], [15]. В настоящей работе мы вводим дискретизацию $N$-компонентной интегрируемой системы и исследуем ее интегрируемость. Непрерывная система задается как следующая система дифференциальных уравнений в частных производных:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & q_{xt}+2rr_x=0, \\ & r_{xt}-2rq_x=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где нижние индексы обозначают (частные) производные по соответствующим переменным, функции $q$ и $r$ зависят от переменных $x$ и $t$, т. е. $q\;{=}\;q(x,t)$ и $r=r(x,t)$. В работе [16] изучалась полудискретная версия системы (1.1), и для нее было построено преобразование Дарбу. Дискретная система задается как система разностных уравнений по обеим переменным
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & q_{n+1}^{m+1}-q_{n+1}^m-q_n^{m+1}+q_n^m+(r_{n+1}^{m+1}-r_n^{m+1})r_n^m-r_{n+1}^m(r_n^m-r_{n+1}^m)=0, \\ & r_{n+1}^{m+1}-r_{n+1}^m-r_n^{m+1}+r_n^m-(q_{n+1}^{m+1}-q_n^{m+1})r_n^m+r_{n+1}^m(q_n^m-q_{n+1}^m)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Пара Лакса для системы (1.2) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi_{n+1}^m(\lambda) &=\mathcal N_n^m(\lambda)\psi_n^m(\lambda), \\ \psi_n^{m+1}(\lambda) &=\mathcal M_n^m(\lambda)\psi_n^m(\lambda), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $\psi_n^m$ – собственные матрицы, а матрицы $\mathcal N_n^m$, $\mathcal M_n^m$ записываются как
$$
\begin{equation}
\mathcal N_n^m =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+ \lambda^{-1}\begin{pmatrix} q_{n+1}^m-q_n^m & \quad r_{n+1}^m-r_n^m \\ r_{n+1}^m-r_n^m & -(q_{n+1}^m-q_n^m) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal M_n^m =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & -r_n^m \\ r_n^m & 0 \end{pmatrix}+ \lambda\begin{pmatrix} \phantom{-}1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Условие совместности $\mathcal N_n^{m+1}\mathcal M_n^m=\mathcal M_{n+1}^m\mathcal N_n^m$ приводит к дискретной системе (1.2). Полудискретная версия системы (1.2) получается в непрерывном пределе по переменной $t$, т. е. заменой $q_n^m\to q_n(t)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{d}{dt}(q_{n+1}-q_n)+(r_{n+1}+r_n)(r_{n+1}-r_n)=0, \\ &\frac{d}{dt}(r_{n+1}-r_n)-(r_{n+1}+r_n)(q_{n+1}-q_n)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Можно показать, что эти уравнения эквивалентны интегрируемому уравнению синус-Гордон, если ввести следующую подстановку для скалярных функций $q_n$ и $r_n$:
$$
\begin{equation}
r_n=-\frac{1}{2}\,\partial_t\Phi_n,\qquad q_{n+1}-q_n=\cos\frac{\Phi_{n+1}-\Phi_n}{2}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Заметим, что матрица (1.5) возникает в представлении нулевой кривизны для модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза (мКдФ) или, в более общем смысле, в иерархии Абловица–Каупа–Ньюэла–Сигура (АКНС). Определитель матрицы (1.4) постоянен и приводит к первому интегралу $(r_{n+1}-r_n)^2+(q_{n+1}-q_n)^2=\text{const}$. Системе уравнений (1.6) эквивалентна известная цепочка преобразований Беклунда для уравнения синус-Гордона и уравнения мКдФ. Второе уравнение в (1.6) можно привести к виду
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(r_{n+1}-r_n)=(r_{n+1}+r_n)\sqrt{c-(r_{n+1}-r_n)^2}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
В непрерывном пределе (если считать, что первый интеграл $q_x^2+r_x^2=\text{const}$) уравнение (1.8) переходит в $r_{xt}^{}=2r\sqrt{c-r_x^2}$, из которого после перемасштабирования получается уравнение Отметим также, что систему (1.1) можно рассматривать как отрицательный поток иерархии мКдФ [17]–[20]. Для многих интегрируемых систем ранее были получены их векторные или многокомпонентные обобщения. К таким системам относятся $N$-компонентные нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), уравнения КдФ и мКдФ, уравнение коротких импульсов, кирального поля и др. [16], [21], [22]. С физической точки зрения эти обобщения солитонных уравнений играют важную роль при изучении различных явлений, в частности эффектов анизотропии и поляризации [23]–[31]. Например, две компоненты поля, перпендикулярные направлению распространения света, часто описываются двухкомпонентным НУШ. В связи с этим представляется важным ввести $N$-компонентное обобщение дискретной системы путем расширения матриц Лакса размера $2\times 2$ до матриц Лакса размера $2^N\times 2^N$ и провести анализ этого обобщения. В настоящей работе мы строим преобразование Дарбу решений пары Лакса для $N$-компонентной дискретной системы и находим ее многосолитонные решения. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы представляем пару Лакса для $N$-компонентной дискретной системы и как результат с помощью условия совместности пары Лакса получаем $N$-компонентное обобщение дискретной системы. В разделе 3 мы применяем преобразование Дарбу к (матричному решению) $\psi_n^m$ линейной системы и отсюда получаем многосолитонные решения в терминах квазидетерминантов. В разделе 4 с использованием свойств квазидетерминантов найдены одно-, двух- и трехсолитонные решения одно-, двух- и трехкомпонентной дискретных систем. Последний раздел 5 посвящен заключительным замечаниям и перспективам на будущее. 2. Представление пары ЛаксаНачнем с представления через пару Лакса для $N$-компонентной дискретной системы. Эта пара Лакса имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi_{n+1}^m(\lambda)&=\mathcal N_n^m(\lambda)\psi_n^m(\lambda)= \bigl(\mathcal I+\lambda^{-1}(S_{n+1}^{m\,(N)}-S_n^{m\,(N)})\bigr)\psi_n^m(\lambda), \\ \psi_n^{m+1}(\lambda)&=\mathcal M_n^m(\lambda)\psi_n^m(\lambda)= \bigl(\mathcal I+W_n^{m\,(N)}+\lambda W_0\bigr)\psi_n^m(\lambda), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $n$, $m$ – дискретные индексы и $\mathcal I$, $S_n^{m\,(N)}$, $W_n^{m\,(N)}$, $W_0$ – блочные ($2^N\times 2^N$)-матрицы. Они задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal I=\begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix},\qquad S_n^{m\,(N)}=\begin{pmatrix} \mathcal Q_n^{m\,(N)} & \phantom{-}\mathcal R_n^{m\,(N)} \\ \mathcal P_n^{m\,(N)} & -\mathcal Q_n^{m\,(N)}\end{pmatrix}, \\ W_n^{m\,(N)}=\begin{pmatrix} O & -\mathcal R_n^{m\,(N)} \\ \mathcal P_n^{m\,(N)} & O \end{pmatrix},\qquad W_0=\begin{pmatrix} I/2 & \phantom{-}O \\ O & -I/2 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\mathcal Q_n^{m\,(N)}$, $\mathcal R_n^{m\,(N)}$ и $\mathcal P_n^{m\,(N)}=(\mathcal R_n^{m\,(N)})^{\mathrm T}$ являются блочными ($2^{N-1}\times 2^{N-1}$)-матрицами, через $I$, $O$ обозначены единичная и нулевая ($2^{N-1}\times 2^{N-1}$)-матрицы и $\psi_n^m(\lambda)$ – собственные ($2^N\times 2^N$)-матрицы. Здесь и далее верхний индекс T означает транспонирование. Условие совместности пары Лакса (2.1), другими словами, условие нулевой кривизны, $\mathcal N_n^{m+1}\mathcal M_n^m=\mathcal M_{n+1}^m\mathcal N_n^m$ приводит к $N$-компонентной матричной дискретной системе общего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{n+1}^{m+1\,(N)}&{}-S_{n+1}^{m\,(N)}-S_n^{m+1\,(N)}+S_n^{m\,(N)}+{} \nonumber \\ &+(S_{n+1}^{m+1\,(N)}-S_n^{m+1\,(N)})W_n^{m\,(N)}-W_{n+1}^{m\,(N)}(S_{n+1}^{m\,(N)}-S_n^{m\,(N)})=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Подставляя выражения для $S_n^{m\,(N)}$ и $W_n^{m\,(N)}$ из (2.2) в (2.3), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{n+1}^{m+1\,(N)}&{}-\mathcal Q_{n+1}^{m\,(N)}-\mathcal Q_n^{m+1\,(N)}+\mathcal Q_n^{m\,(N)}+{} \\ &+(\mathcal R_{n+1}^{m+1\,(N)}-\mathcal R_n^{m+1\,(N)})\mathcal P_n^{m\,(N)}- \mathcal R_{n+1}^{m\,(N)}(\mathcal P_n^{m\,(N)}-\mathcal P_{n+1}^{m\,(N)})=0, \\ \mathcal R_{n+1}^{m+1\,(N)}&{}-\mathcal R_{n+1}^{m\,(N)}-\mathcal R_n^{m+1\,(N)}+\mathcal R_n^{m\,(N)}-{} \\ &{}-(\mathcal Q_{n+1}^{m+1\,(N)}-\mathcal Q_n^{m+1\,(N)})\mathcal R_n^{m\,(N)}+ \mathcal R_{n+1}^{m\,(N)}(\mathcal Q_n^{m\,(N)}-\mathcal Q_{n+1}^{m\,(N)})=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
В частном случае $N=1$, когда $\mathcal Q_n^{m\,(1)}=q_n^m$, $\mathcal R_n^{m\,(1)}=r_n^m$, матричная система (2.4) сводится к (1.2). В общем случае положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal Q_n^{m\,(2)}=q_n^mI_{2\times 2},\qquad \mathcal R_n^{m\,(2)}=\left(\begin{array}{c|c} \phantom{-}r_n^{m\,(1)} & \;r_n^{m\,(2)}\vphantom{\big|} \\ \hline -r_n^{m\,(2)} & \;r_n^{m\,(1)}\vphantom{\big|} \end{array}\right)_{\!\!2\times 2}\kern-10pt, \nonumber \\ \mathcal Q_n^{m\,(3)}=q_n^mI_{4\times4},\qquad \mathcal R_n^{m\,(3)}=\left( \begin{array}{cc|cc} \phantom{-}r_n^{m\,(1)} & \phantom{-}r_n^{m\,(2)}\, & \phantom{-}r_n^{m\,(3)} & 0 \\ -r_n^{m\,(2)} & \phantom{-}r_n^{m\,(1)}\, & \;0 & \phantom{-}r_n^{m\,(3)} \\ \hline -r_n^{m\,(3)} & 0\, & r_n^{m\,(1)} & -r_n^{m\,(2)} \\ 0 & -r_n^{m\,(3)} & r_n^{m\,(2)}\, & \phantom{-}r_n^{m\,(1)} \end{array}\right)_{\!\!4\times4}\kern-10pt, \nonumber \\ \mathcal Q_n^{m\,(4)}=q_n^mI_{8\times8},\vphantom{\bigg|} \\ \mathcal R_n^{m\,(4)}=\left(\begin{array}{cccc|cccc} \phantom{-}r_n^{m\,(1)} & \phantom{-}r_n^{m\,(2)} & 0 & 0\, & \,\phantom{-}r_n^{m\,(3)} & 0 & \phantom{-}r_n^{m\,(4)} & 0 \\ -r_n^{m\,(2)} & \phantom{-}r_n^{m\,(1)} & 0 & 0\, & \,0 & \phantom{-}r_n^{m\,(3)} & 0 & \phantom{-}r_n^{m\,(4)} \\ 0 & 0 & \phantom{-}r_n^{m\,(1)} & \phantom{-}r_n^{m\,(2)}\, & \,-r_n^{m\,(4)} & 0 & \phantom{-}r_n^{m\,(3)} & 0 \\ 0 & 0 & -r_n^{m\,(2)} & \phantom{-}r_n^{m\,(1)}\, & \,0 & \,-r_n^{m\,(4)} & 0 & \phantom{-}r_n^{m\,(3)} \\ \hline -r_n^{m\,(3)} & 0 & \phantom{-}r_n^{m\,(4)} & 0\, & \,\phantom{-}r_n^{m\,(1)} & -r_n^{m\,(2)} & 0 & 0 \\ 0 & -r_n^{m\,(3)} & 0 & \phantom{-}r_n^{m\,(4)}\, & \,\phantom{-}r_n^{m\,(2)} & \phantom{-}r_n^{m\,(1)} & 0 & 0 \\ -r_n^{m\,(4)} & 0 & -r_n^{m\,(3)} & 0\, & \,0 & 0 & \phantom{-}r_n^{m\,(1)} & -r_n^{m\,(2)} \\ 0 & -r_n^{m\,(4)} & 0 & -r_n^{m\,(3)}\, & \,0 & 0 & \phantom{-}r_n^{m\,(2)} & \phantom{-}r_n^{m\,(1)} \end{array}\right)_{8\times8}\kern-12pt. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Подставляя эти выражения в (2.4), получаем $N$-компонентную дискретную систему. Двухкомпонентная система записывается как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &q_{n+1}^{m+1}-q_{n+1}^m-q_n^{m+1}+q_n^m+ \sum_{j=1}^2(r_{n+1}^{m+1\,(j)}-r_n^{m+1\,(j)})r_n^{m\,(j)}-r_{n+1}^{m\,(j)}(r_n^{m\,(j)}-r_{n+1}^{m\,(j)})=0, \\ &r_{n+1}^{m+1\,(j)}-r_{n+1}^{m\,(j)}-r_n^{m+1\,(j)}+r_n^{m\,(j)}- (q_{n+1}^{m+1}-q_n^{m+1})r_n^{m\,(j)}+r_{n+1}^{m\,(j)}(q_n^m-q_{n+1}^m)=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=1,2$. Трехкомпонентная система имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &q_{n+1}^{m+1}-q_{n+1}^m-q_n^{m+1}+q_n^m+ \sum_{j=1}^3(r_{n+1}^{m+1\,(j)}-r_n^{m+1\,(j)})r_n^{m\,(j)}-r_{n+1}^{m\,(j)}(r_n^{m\,(j)}-r_{n+1}^{m\,(j)})=0, \\ &r_{n+1}^{m+1\,(j)}-r_{n+1}^{m\,(j)}-r_n^{m+1\,(j)}+r_n^{m\,(j)}- (q_{n+1}^{m+1}-q_n^{m+1})r_n^{m\,(j)}+r_{n+1}^{m\,(j)}(q_n^m-q_{n+1}^m)=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=1,2,3$. Аналогично $N$-компонентная дискретная система задается как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &q_{n+1}^{m+1}-q_{n+1}^m-q_n^{m+1}+q_n^m+ \sum_{j=1}^N(r_{n+1}^{m+1\,(j)}-r_n^{m+1\,(j)})r_n^{m\,(j)}-r_{n+1}^{m\,(j)}(r_n^{m\,(j)}-r_{n+1}^{m\,(j)})=0, \\ &r_{n+1}^{m+1\,(j)}-r_{n+1}^{m\,(j)}-r_n^{m+1\,(j)}+r_n^{m\,(j)}- (q_{n+1}^{m+1}-q_n^{m+1})r_n^{m\,(j)}+r_{n+1}^{m\,(j)}(q_n^m-q_{n+1}^m)=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=1,2,\ldots,N$. В общем случае ($2^{N-1}\times 2^{N-1}$)-матрицы $\mathcal Q_n^{m\,(N)}$ и $\mathcal R_n^{m\,(N)}$ можно записать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\mathcal Q_n^{m\,(N)}=q_n^mI_{2^{N-1}\times 2^{N-1}},\qquad \mathcal R_n^{m\,(N)}=\left(\begin{array}{c|c} \mathbb{R}_n^{m\,(1)} & \,\mathbb{R}_n^{m\,(2)} \\ \hline \mathbb{R}_n^{m\,(3)} & \,\mathbb{R}_n^{m\,(4)} \end{array}\right),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\mathbb{R}_n^{m\,(j)}$ ($j=1,2,3,4$) представляют собой квадратные блочные ($2^{N-2}\times 2^{N-2}$)-матрицы и $\mathbb{R}_n^{m\,(4)}=(\mathbb{R}_n^{m\,(1)})^{\mathrm T}$, $\mathbb{R}_n^{m\,(3)}=-(\mathbb{R}_n^{m\,(2)})^{\mathrm T}$. Матрицы $\mathbb{R}_n^{m\,(1)}$ и $\mathbb{R}_n^{m\,(2)}$ задаются как
$$
\begin{equation*}
\mathbb{R}_n^{m\,(1)}=\begin{pmatrix} \mathbb{X}_n^{m\,(1)} & & O \\ & \ddots & \\ O & & \mathbb{X}_n^{m\,(1)} \end{pmatrix},\qquad \mathcal R_n^{m\,(2)}=\left(\begin{array}{c|c} \mathbb{Y}_n^{m\,(1)} & \,\mathbb{Y}_n^{m\,(2)} \\ \hline \mathbb{Y}_n^{m\,(3)} & \,\mathbb{Y}_n^{m\,(4)} \end{array}\right),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{Y}_n^{m\,(4)}=(\mathbb{Y}_n^{m\,(1)})^{\mathrm T}$, $\mathbb{Y}_n^{m\,(3)}=-(\mathbb{Y}_n^{m\,(2)})^{\mathrm T}$ – квадратные блочные матрицы,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{Y}_n^m=\begin{pmatrix} \mathbb{X}_n^{m\,(2)} & & O \\ & \ddots & \\ O & & \mathbb{X}_n^{m\,(2)} \end{pmatrix}, \\ \mathbb{Y}_n^{m\,(2)}=\begin{pmatrix} \mathbb{X}_n^{m\,(3)} & \mathbb{O} & \ldots & \mathbb{X}_n^{m\,(N-1)} & \mathbb{X}_n^{m\,(N)} \\ \mathbb{O} & \mathbb{X}_n^{m\,(3)} & \ldots & -\mathbb{X}_n^{m\,(N)} & \mathbb{X}_n^{m\,(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -\mathbb{X}_n^{m\,(N-1)} & \mathbb{X}_n^{m\,(N)} & \ldots & \mathbb{X}_n^{m\,(3)} & \mathbb{O} \\ -\mathbb{X}_n^{m\,(N)} & -\mathbb{X}_n^{m\,(N-1)} & \ldots & \mathbb{O} & \mathbb{X}_n^{m\,(3)} \end{pmatrix},\quad \mathbb{O}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ \mathbb{X}_n^{m\,(1)}=\begin{pmatrix} \phantom{-}r_n^{m\,(1)} & r_n^{m\,(2)} \\ -r_n^{m\,(2)} & r_n^{m\,(1)} \end{pmatrix},\quad \mathbb{X}_n^{m\,(j)}=\begin{pmatrix} r_n^{m\,(j+1)} & 0 \\ 0 & r_n^{m\,(j+1)}\end{pmatrix},\qquad j=2,3,\ldots,N-1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В следующем разделе мы применяем преобразование Дарбу, чтобы найти решения рассматриваемой системы. 3. Преобразование Дарбу и многосолитонные решенияВ теории солитонов преобразование Дарбу помогает найти семейство новых решений интегрируемой задачи на собственные значения из известного (затравочного) решения [32]–[35]. Для матричной системы (2.1) ($2^N\times 2^N$)-матрица $D_n^m(\lambda)$, называемая матрицей Дарбу, определяется через матричные решения пары Лакса и выражается через квазидетерминанты. Матрица Дарбу $D_n^m(\lambda)$ связывает матричные решения с парой Лакса (2.1) так, что после преобразования сохраняется ковариантность пары Лакса. Если $\psi_n^m(\lambda)$ – известное решение линейной системы (2.1), то после преобразования Дарбу новое решение $\tilde\psi_n^m(\lambda)$ получается по формуле
$$
\begin{equation}
\psi_n^m(\lambda)\to\tilde\psi_n^m(\lambda)=D_n^m(\lambda)\psi_n^m(\lambda).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Новое решение $\tilde\psi_n^m(\lambda)$ также удовлетворяет линейной системе (2.1) с матрицами $\tilde{\mathcal I}$, $\widetilde S_n^{m\,(N)}$, $\widetilde S_{n+1}^{m\,(N)}$, $\widetilde W_n^{m\,(N)}$ и $\widetilde W_0$:
$$
\begin{equation}
\tilde\psi_{n+1}^m(\lambda) =\widetilde{\mathcal N}_n^m(\lambda)\tilde\psi _n^m(\lambda)= \bigl(\tilde{\mathcal I}+\lambda^{-1}(\widetilde S_{n+1}^{m\,(N)}-\widetilde S_n^{m\,(N)})\bigr)\tilde\psi _n^m(\lambda),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde\psi_n^{m+1}(\lambda) =\widetilde{\mathcal M}_n^m(\lambda)\tilde\psi _n^m(\lambda)= \bigl(\tilde{\mathcal I}+\widetilde W_n^{m\,(N)}+\lambda \widetilde W_0\bigr)\tilde\psi _n^m(\lambda).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Преобразованные матричные функции $\widetilde S_n^{m\,(N)}$, $\widetilde S_{n+1}^{m\,(N)}$ и $\widetilde W_n^{m\,(N)}$ получаются заменой $\mathcal Q_n^{m\,(N)}$, $\mathcal Q_{n+1}^{m\,(N)}$, $\mathcal R_n^{m\,(N)}$ и $\mathcal R_{n+1}^{m\,(N)}$ на $\widetilde{\mathcal Q}_n^{m\,(N)}$, $\widetilde{\mathcal Q}_{n+1}^{m\,(N)}$, $\widetilde{\mathcal R}_n^{m\,(N)}$ и $\widetilde{\mathcal R}_{n+1}^{m\,(N)}$ в матрицах $S_n^{m\,(N)}$, $S_{n+1}^{m\,(N)}$ и $W_n^{m\,(N)}$. Условие совместности уравнений (3.2), (3.3) порождает дискретную систему (2.3) с матричными функциями $\widetilde S_n^{m\,(N)}$, $\widetilde S_{n+1}^{m\,(N)}$ и $\widetilde W_n^{m\,(N)}$. Наша цель – найти преобразование Дарбу для $\widetilde S_{n+1}^{m\,(N)}$, $\widetilde S_n^{m\,(N)}$, $\widetilde W_n^{m\,(N)}$ и $\widetilde W_0$. Используем следующий анзац для матрицы Дарбу $D_n^m(\lambda)$: где $I$ – единичная матрица размера $2^N\times 2^N$ и $\Gamma_n^m$ – подлежащая определению невырожденная ($2^N\times 2^N$)-матричная функция, $\lambda$ – спектральный параметр. Поскольку матрица $D_n^m$ в (3.4) является многочленом первой степени по $\lambda$, ее можно назвать матрицей однократного преобразования Дарбу. Далее мы выражаем матрицу $\Gamma_n^m$ через частные матричные решения пары Лакса (2.1). Для этого рассмотрим ненулевые различные собственные значения $\lambda_j$ (вещественные или комплексные) и постоянные вектор-столбцы $|\alpha_n^m\rangle_{(j)}$, удовлетворяющие системе (2.1) с $\lambda_j$, и положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_n^m&\equiv(\psi_n^m(\lambda_1)|\alpha _n^m\rangle_{(1)},\psi_n^m(\lambda_2)|\alpha_n^m\rangle_{(2)},\ldots,\psi_n^m(\lambda_{2^N})|\alpha _n^m\rangle_{(2^N)})= \nonumber \\ &=(f_n^{m\,(1)},f_n^{m\,(2)},\ldots,f_n^{m\,(2^N)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Каждый столбец $f_n^{m\,(j)}=\psi_n^m(\lambda_j)|\alpha_n^m\rangle_{(j)}$ ($j=1,2,\ldots,2^N$) удовлетворяет системе (2.1) при $\lambda=\lambda_j$, т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_{n+1}^{m\,(j)}&=f_n^{m\,(j)}+\lambda_j^{-1}(S_{n+1}^{m\,(N)}-S_n^{m\,(N)})f_n^{m\,(j)}, \\ f_n^{m+1\,(j)}&=f_n^{m\,(j)}+W_n^{m\,(N)}f_n^{m\,(j)}+\lambda_jW_0f_n^{m\,(j)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Введя
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_{2^N}),\qquad F_n^m=(f_n^{m\,(1)},f_n^{m\,(2)},\ldots,f_n^{m\,(2^N)}), \\ f_n^{m\,(j)}=(f_n^{m\,(1j)},f_n^{m\,(2j)},\ldots,f_n^{m\,(2^Nj)})^{\mathrm T},\qquad j=1,2,\ldots,2^N, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
запишем уравнения (3.6) для частного решения $F_n^m$ в матричном виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_{n+1}^m&=F_n^m+(S_{n+1}^{m\,(N)}-S_n^{m\,(N)})F_n^m\Lambda^{-1}, \\ F_n^{m+1}&=F_n^m+W_n^{m\,(N)}F_n^m+W_0F_n^m\Lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Выберем матрицу $\Gamma_n^m$ как Для $\Gamma_n^m=F_n^m\Lambda(F_n^{m\,-1})$ справедливы следующие утверждения. Предложение 1. Уравнение (3.2) остается инвариантным относительно преобразования Дарбу (3.1), новые матричные решения $\widetilde S_n^{m\,(N)}$ имеют вид и выполнено условие ковариантности Доказательство. Связь между матричными потенциалами $\widetilde S_n^{m\,(N)}$ и $S_n^{m\,(N)}$ известна и задается так, как в (3.9). Теперь покажем, что матрица $\Gamma_n^m=F_n^m\Lambda(F_n^{m\,-1})$ удовлетворяет условию (3.10). Имеем Предложение 2. Уравнение (3.3) остается инвариантным относительно преобразования Дарбу (3.1), новые матричные решения $\widetilde W_ N^{m\,(N)}$ и $\widetilde W_0$ имеют вид и выполнено условие ковариантности Доказательство. Связь между потенциалами $\widetilde W_n^{m\,(N)}$ и $W_n^{m\,(N)}$ известна и задается так, как в (3.12). Из выражения для $W_0$ в (2.2) легко видеть, что $\widetilde W_0=W_0$. Теперь покажем, что если $\Gamma_n^m=F_n^m\Lambda(F_n^{m\,-1})$, то эта матрица удовлетворяет условию (3.13). Имеем Замечание. Суммируем полученные к настоящему моменту результаты. Матрица $\Gamma_n^m=F_n^m\Lambda(F_n^{m\,-1})$ удовлетворяет условиям (3.10)–(3.13), как требует ковариантность преобразования Дарбу. Таким образом, мы можем сказать, что преобразование Дарбу сохраняет систему, т. е. если $\{\psi_n^m,S_n^{m\,(N)}\}$ является нетривиальным решением системы (2.1), то $\{\tilde\psi_n^m,\widetilde S_n^{m\,(N)}\}$ также является нетривиальным решением той же спектральной задачи. Следовательно, $\Gamma_n^m=F_n^m\Lambda(F_n^{m\,-1})$ есть искомое решение уравнений (3.7). Если применить преобразование Дарбу (3.1) $K$ раз, получаем $K$-кратные явные решения. Предложение 3. Предположим, что $F_{n,\,1}^m,\,F_{n,\,2}^m,\,\ldots,\,F_{n,\,K}^m$ – частные решения пары Лакса (2.1) с матрицами $\Lambda_1,\Lambda_2,\ldots,\Lambda_K$ соответственно. Тогда $K$-я итерация преобразования Дарбу может быть записана в терминах квазидетерминантов: Доказательство формулы (3.15) легко получить методом математической индукции. Замечание. Мы используем понятие квазидетерминантов. В этой статье рассматриваются только квазидетерминанты, которые разлагаются по ($m\times m$)-матрице. Квазидетерминант ($J\times J$)-матрицы, разложенной по ($m\times m$)-матрице $W$, определяется как Предложение 4. Предположим, что $F_{n,1}^m,F_{n,2}^m,\ldots,F_{n,K}^m$ – матричные решения пары Лакса (2.1) с $\Lambda_1,\Lambda_2,\ldots,\Lambda_K$ соответственно. Тогда $K$-кратное преобразование Дарбу матричных решений дискретной системы выражается через квазидетерминанты следующим образом: Замечание. Уравнение (3.9) дает В частности, для $K=1$ имеем где $I_2$, $O_2$ – единичная и нулевая ($2\times 2$)-матрицы. Таким образом, $K$-кратное последовательное применение преобразования Дарбу к $S_n^{m\,(N)}$ порождает $K$-е решение $S_n^{m\,(N)\,[K]}$ в терминах квазидетерминантов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_n^{m\,(N)\,[K]}&=S_n^{m\,(N)}+\prod_{k=1}^K\Gamma_n^m[K-k], \\ S_n^{m\,(N)\,[K]}&=S_n^{m\,(N)}+\prod_{k=1}^K F_n^m[K-k]\Lambda_{K-k}(F_n^m[K-k])^{-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при этом
$$
\begin{equation}
S_n^{m\,(N)\,[K]}=S_n^{m\,(N)}+\begin{vmatrix} F_{n,\,1}^m & F_{n,\,2}^m & \ldots & F_{n,\,K}^m & O \\ F_{n,\,1}^{m\,(1)} & F_{n,\,2}^{m\,(1)} & \ldots & F_{n,\,K}^{m\,(1)} & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ F_{n,\,1}^{m\,(K-1)} & F_{n,\,2}^{m\,(K-1)} & \ldots & F_{n,\,K}^{m\,(K-1)} & I \\ F_{n,\,1}^{m\,(K)} & F_{n,\,2}^{m\,(K)} & \ldots & F_{n,\,K}^{m\,(K)} & \fbox{$O$}\; \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Более удобно записать это уравнение как где ($2K\times 2K$)-матрица $\Gamma_n^m$ – это квазидетерминант,
$$
\begin{equation}
\Gamma_n^{m\,[K]}=\begin{vmatrix} \mathbf F_n^m & \varepsilon^{(K)} \\ \widehat{\mathbf F}_n^m & \fbox{$0$}\;\end{vmatrix}= \begin{pmatrix} \Gamma_{n\,11}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,12}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,21}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,22}^{m\,[K]} \end{pmatrix}_{\!\!2K\times 2K}.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Элементы матрицы $\Gamma_n^{m\,[K]}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} (\Gamma_n^{m\,[K]})_{i,\,j}&= \begin{vmatrix} \mathbf F_n^m & \varepsilon^{(K)} \\ \widehat{\mathbf F}_n^m & \fbox{$0$}\;\end{vmatrix}_{i,j}= \begin{vmatrix} \mathbf F_n^m & \varepsilon^{(K)}_j \\ (\widehat{\mathbf F}_n^m)_i & \fbox{$0$}\; \vphantom{\Big|}\end{vmatrix},&\qquad i&\neq j, \\ (\Gamma_n^{m\,[K]})_{i,\,j}&=\begin{vmatrix} \mathbf F_n^m & \varepsilon^{(K)} \\\widehat{\mathbf F}_n^m & \fbox{$0$}\;\end{vmatrix}_{ii}= \begin{vmatrix} \mathbf F_n^m & \varepsilon^{(K)}_i \\ (\widehat{\mathbf F}_n^m)_i & \fbox{$0$}\;\vphantom{\Big|}\end{vmatrix},&\qquad i&=j. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Здесь $(\widehat{\mathbf F}_n^m)_i$ обозначает $i$-ю строку матрицы $\widehat{\mathbf F}_n^m$, а $\varepsilon^{(K)}_j$ – $j$-й столбец матрицы $\varepsilon^{(K)}$. Уравнения (3.23) используются, в частности, для вычисления преобразованных матричных решений пары Лакса (2.1) и матричных решений $N$-компонентной дискретной системы. 4. Явные солитонные решенияВ этом разделе мы вычисляем преобразования Дарбу скалярных решений дискретной системы при $N=1$, $N=2$ и $N=3$. 4.1. Случай $N=1$В этом случае уравнение (3.21) дает следующее преобразование матриц $\mathcal Q_n^{m\,(1)}$, $\mathcal R_n^{m\,(1)}$ и $\mathcal P_n^{m\,(1)}$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \mathcal Q_n^{m\,(1)\,[K]}&=\mathcal Q_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,11}^{m\,[K]},&\qquad \mathcal R_n^{m\,(1)\,[K]}&=\mathcal R_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,12}^{m\,[K]}, \\ \mathcal P_n^{m\,(1)\,[K]}&=\mathcal P_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,21}^{m\,[K]},&\qquad \mathcal Q_n^{m\,(1)\,[K]}&=\mathcal Q_n^{m\,(1)}+\Gamma_{n\,22}^{m\,[K]}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Отсюда получаем преобразования скалярных потенциалов $q_n^m$ и $r_n^m$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} q_n^{m\,[K]}&=q_n^m-\Gamma_{n\,11}^{m\,[K]},&\qquad r_n^{m\,[K]}&=r_n^m-\Gamma_{n\,12}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,[K]}&=r_n^m-\Gamma_{n\,21}^{m\,[K]},&\qquad q_n^{m\,[K]}&=q_n^m+\Gamma_{n\,22}^{m\,[K]}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
В результате имеем следующие условия редукции:
$$
\begin{equation}
\Gamma_{n\,12}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,21}^{m\,[K]},\qquad \Gamma_{n\,11}^{m\,[K]}=-\Gamma_{n\,22}^{m\,[K]}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Выражение (4.2) через квазидерминанты 1 позволяет найти солитонные решения дискретной системы. Далее мы получим явные выражения для одно- и двухсолитоннных решений. Выберем затравочное решение $q_{n+1}^m-q_n^m=\rho$ (здесь и далее $\rho$ – вещественная ненулевая постоянная), $r_{n+1}^m=r_n^m=0$ (или $\mathcal Q_{n+1}^{m\,(1)}-\mathcal Q_n^{m\,(1)}=\rho$ и $\mathcal R_{n+1}^{m\,(1)}=\mathcal R_n^{m\,(1)}=0$). При этом соответствующая пара Лакса сводится к
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_{n+1}^m&=\left(\begin{array}{c|c} I+\lambda^{-1}(\mathcal Q_{n+1}^{m\,(1)}-\mathcal Q_n^{m\,(1)})\, & O \\ \hline O & \,I-\lambda^{-1}(\mathcal Q_{n+1}^{m\,(1)}-\mathcal Q_n^{m\,(1)}) \end{array}\right)\psi_n^m, \\ \psi_n^{m+1}&=\left(\begin{array}{c|c} I+\frac{\lambda}{2}I\, & O \\ \hline \, O & \,I-\frac{\lambda}{2}I \end{array}\right)\psi_n^m, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что, в свою очередь, дает
$$
\begin{equation*}
\psi_n^m=\left(\begin{array}{c|c} \sigma_{11}\xi(\lambda)I\, & O \\ \hline O & \,\sigma_{21}\xi(-\lambda)I\end{array}\right),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_{11}$, $\sigma_{21}$ – произвольные постоянные. Здесь и далее мы используем обозначение
$$
\begin{equation}
\xi(\lambda)=\biggl(1+\frac{\rho}{\lambda}\biggr)^{\!n}\biggl(1+\frac{\lambda}{2}\biggr)^{\!m}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
4.1.1. Случай $K=1$Чтобы построить явное односолитонное решение, положим в (4.2) $K=1$, в результате имеем
$$
\begin{equation}
q_n^{m\,[1]}=q_n^m-\Gamma_{n\,11}^{m\,[1]},\qquad r_n^{m\,[1]}=r_n^m-\Gamma_{n\,12}^{m\,[1]}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Для построения матрицы $F_n^m$ найдем вектор-столбцы, удовлетворяющие паре Лакса (2.1) при заданном собственном значении $\lambda$. Предложение 5. Пусть Для затравочного решения $q_{n+1}^m-q_n^m=\rho$, $r_{n+1}^m=r_n^m=0$ частное решение пары Лакса имеет вид
$$
\begin{equation}
F_{n,\,1}^m=\begin{pmatrix}\alpha_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m \\\beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где $\alpha_{n,\,1}^m=\sigma_{11}\xi(\lambda)$, $\beta_{n,\,1}^m=\sigma_{21}\xi(-\lambda)$ и $\xi(\lambda)$ задана в (4.4). Из (3.8) получаем
$$
\begin{equation}
\Gamma_n^m=F_n^m\Lambda(F_n^m)^{-1}= \frac{\lambda_1}{\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}+\mathcal X_{n,\,1}^{(-)}} \begin{pmatrix} \mathcal X_{n,\,1}^{(+)}-\mathcal X_{n,\,1}^{(-)} & 2\mathcal Y_{n,\,1} \\ 2\mathcal Y_{n,\,1} & \mathcal X_{n,\,1}^{(+)}-\mathcal X_{n,\,1}^{(-)} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal X_{n,\,1}^{(\pm)}=\biggl(1\pm\frac{\rho}{\lambda_1}\biggr)^{\!2n}\biggl(1\pm\frac{\lambda_1}{2}\biggr)^{\!2m},\qquad \mathcal Y_{n,\,1}=\biggl(1-\frac{\rho^2}{\lambda_1^2}\biggr)^{\!n}\biggl(1-\frac{\lambda_1^2}{4}\biggr)^{\!m}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Подставим (4.6) в (3.21) и с учетом (3.23) получим, что однократное преобразование Дарбу скалярных решений однокомпонентной дискретной системы задается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_n^m[1]&=q_n^m-\begin{vmatrix} f_{n,\,1}^{m\,(11)}\quad & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)}\quad & 1 \\ f_{n,\,1}^{m\,(21)}\quad & -f_{n,\,1}^{m\,(11)}\;\;\; & 0 \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & -f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \fbox{$0$}\; \end{vmatrix}, \\ r_n^m[1]&=r_n^m-\begin{vmatrix} f_{n,\,1}^{m\,(11)}\quad & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)}\;\;\;\, & 0 \\ f_{n,\,1}^{m\,(21)}\quad & -f_{n,\,1}^{m\,(11)}\;\;\;\, & 1 \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & -f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \fbox{$0$}\; \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Здесь использовано обозначение $f_{n,\,k}^{m\,(j1)\,(K)}=\lambda_k^Kf_{n,\,k}^{m\,(j1)}$ ($j=1,2$). Выражения (4.10) задают односолитонное решение дискретной системы. В коммутативном пределе (4.10) сводятся к отношениям обычных определителей:
$$
\begin{equation}
q_n^{m\,[1]}=q_n^m-\frac{\Delta_{n,\,1}^m}{\Delta_{n,\,0}^m},\qquad r_n^{m\,[1]}=r_n^m+\frac{\Delta_{n,\,2}^m}{\Delta_{n,\,0}^m},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta_{n,\,1}^m=\begin{vmatrix} \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & -f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} \\ f_{n,\,1}^{m\,(21)}\quad & -f_{n,\,1}^{m\,(11)}\quad\, \end{vmatrix},\qquad \Delta_{n,\,2}^m=\begin{vmatrix} \,f_{n,\,1}^{m\,(11)}\quad & f_{n,\,1}^{m\,(21)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & -f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} \end{vmatrix}, \\ \Delta_{n,\,0}^m=\begin{vmatrix} \,f_{n,\,1}^{m\,(11)} & f_{n,\,1}^{m\,(21)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)}\quad \end{vmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко найти элементы матрицы $\Gamma_n^{m\,[1]}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma_{n\,11}^{m\,[1]}&\equiv\frac{\Delta_{n,\,1}^m}{\Delta_{n,\,0}^m}= \frac{-\lambda_1\sigma_{11}^2\xi^2(\lambda)+\lambda_1\sigma_{21}^2\xi^2(-\lambda)}{-\sigma_{11}^2\xi^2(\lambda)-\sigma_{21}^2\xi^2(-\lambda)}, \\ \Gamma_{n\,12}^{m\,[1]}&\equiv\frac{\Delta_{n,\,2}^m}{\Delta_{n,\,0}^m}= \frac{-2\lambda_1\sigma_{11}\sigma_{21}\xi(\lambda)\xi(-\lambda)}{-\sigma_{11}^2\xi^2(\lambda)-\sigma_{21}^2\xi^2(-\lambda)}, \\ \Gamma_{n\,21}^{m\,[1]}&\equiv\frac{\Delta_{n,\,3}^m}{\Delta_{n,\,0}^m}= \frac{-2\lambda_1\sigma_{11}\sigma_{21}\xi(\lambda)\xi(-\lambda)}{-\sigma_{11}^2\xi^2(\lambda)-\sigma_{21}^2\xi^2(-\lambda)}, \\ \Gamma_{n\,22}^{m\,[1]}&\equiv\frac{\Delta_{n,\,4}^m}{\Delta_{n,\,0}^m}= \frac{\lambda_1\sigma_{11}^2\xi^2(\lambda)-\lambda_1\sigma_{21}^2\xi^2(-\lambda)}{-\sigma_{11}^2\xi^2(\lambda)-\sigma_{21}^2\xi^2(-\lambda)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что выполнены условия редукции (4.3),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Gamma_{n\,11}^{m\,[1]}&= \frac{-\lambda_1\sigma_{11}^2\xi^2(\lambda)+\lambda_1\sigma_{21}^2\xi^2(-\lambda)}{-\sigma_{11}^2\xi^2(\lambda)-\sigma_{21}^2\xi^2(-\lambda)}= -\Gamma_{n\,22}^{m\,[1]}, \\ \Gamma_{n\,12}^{m\,[1]}&= \frac{-2\lambda_1\sigma_{11}\sigma_{21}\xi(\lambda)\xi(-\lambda)}{-\sigma_{11}^2\xi^2(\lambda)-\sigma_{21}^2\xi^2(-\lambda)}= \Gamma_{n\,21}^{m\,[1]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Теперь подставим (4.7) в (4.10) и получим явные выражения для $q_n^{m\,[1]}$ и $r_n^{m\,[1]}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_n^{m\,[1]}&=q_n^m+ \lambda_1 \frac{\sigma_{11}^2\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(+)}-\sigma_{21}^2\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(-)}} {\sigma_{11}^2 \mathcal X_{n,\,1}^{m\,(+)}+\sigma_{21}^2 \mathcal X_{n,\,1}^{m\,(-)}}, \\ r_n^{m\,[1]}&=-\lambda_1 \frac{2\sigma\mathcal Y_{n,\,1}^m}{\sigma_{11}^2\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(+)}+\sigma_{21}^2 \mathcal X_{n,\,1}^{m\,(-)}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где $\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(\pm}$, $\mathcal Y_{n,\,1}^m$ заданы в (4.9) и $\sigma=\sigma_{11}\sigma_{21}$. Выражения (4.13) задают односолитонное решение однокомпонентной дискретной системы (2.1). В непрерывном пределе, взяв $\delta\to 0$ и проводя замену $\rho\to\delta\rho$ в выражениях (4.13), получаем явные выражения для $q_n^{[1] }$ и $r_n^{[1]}$:
$$
\begin{equation}
q_n^{[1]}=q_n^m+\lambda_1\frac{\sigma_{11}^2\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}- \sigma_{21}^2 \mathcal X_{n,\,1}^{(-)}}{\sigma_{11}^2\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}+ \sigma_{21}^2\mathcal X_{n,\,1}^{(-)}},\qquad r_n^{[1]}=-\lambda_1\frac{2\sigma\mathcal Y_{n,\,1}}{\sigma_{11}^2\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}+\sigma_{21}^2\mathcal X_{n,\,1}^{(-)}},
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal X_{n,\,1}^{(\pm)}=\biggl(1\pm\frac{\rho}{\lambda_1}\biggr)^{\!2n}e^{\pm\lambda_1t},\qquad \mathcal Y_{n,\,1}=\biggl(1-\frac{\rho^2}{\lambda_1^2}\biggr)^{\!n}\biggl(1-\frac{\lambda_1^2}{4}\biggr)^{\!m}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
и $\sigma=\sigma_{11}\sigma_{21}$. Наши результаты согласуются с полученными в работе [16]. Далее, применяя непрерывные пределы по пространственной и временно́й переменным, получаем, что выражения для непрерывных скалярных переменных $q$ и $r$ принимают вид
$$
\begin{equation}
q^{[1]}=q+\lambda_1 \operatorname{th} (\eta_1+\ln\sigma),\qquad r^{[1]}=-\lambda_1\operatorname{sech}(\eta_1+\ln\sigma),
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
где $\sigma={\sigma_{11}}/{\sigma_{21}}$ и введено обозначение Двумерные и трехмерные графики полученных решений типа светлых солитонов показаны на рис. 1 и рис. 2. 4.1.2. Случай $K=2$В этом случае выражения (4.2) дают двукратное преобразование скалярных переменных $q_n^m$ и $r_n^m$:
$$
\begin{equation}
q_n^{m\,[2]}=q_n^m-\Gamma_{n\,11}^{m\,[2]},\qquad r_n^{m\,[2]}=r_n^m-\Gamma_{n\,12}^{m\,[2]}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Для построения матрицы $F_n^m$ найдем вектор-столбцы, удовлетворяющие паре Лакса (2.1) при заданном собственном значении $\lambda$. Предложение 6. Пусть Для затравочного решения $q_{n+1}^m-q_n^m=\rho$, $r_{n+1}^m=r_n^m=0$ частное решение пары Лакса имеет вид
$$
\begin{equation}
F_{n,\,1}^m=\begin{pmatrix}\alpha_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m \\ \beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m \end{pmatrix},\qquad F_{n,\,2}^m=\begin{pmatrix}\alpha_{n,\,2}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,2}^m \\\beta_{n,\,2}^m & -\alpha_{n,\,2}^m \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
где $\alpha_{n,\,l}^m=\sigma_{11}\xi(\lambda_{l})$, $\beta_{n,\,l}^m=\sigma_{21}\xi(-\lambda_{l})$ ($l=1,2$) и $\xi(\lambda)$ задана в (4.4). Двукратное преобразование Дарбу скалярных решений однокомпонентной дискретной системы задается как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_n^m[2]&=q_n^m-\begin{vmatrix} \,f_{n,\,1}^{m\,(11)}\quad & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & f_{n,\,2}^{m\,(11)} & \phantom{-}f_{n,\,2}^{m\,(21)} & \quad 0\; \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)}\quad & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & f_{n,\,2}^{m\,(21)} & -f_{n,\,2}^{m\,(11)} & \quad 0\; \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern12pt-f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern12pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(1)} & \kern12pt -f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(1)} & \quad 1\; \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern12pt f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(1)} & \quad 0\; \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(2)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(2)} & \kern12pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(2)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(2)} & \quad \fbox{$0$}\; \end{vmatrix}, \\ r_n^m[2]&=r_n^m-\begin{vmatrix} \,f_{n,\,1}^{m\,(11)}\quad & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & f_{n,\,2}^{m\,(11)} & \phantom{-}f_{n,\,2}^{m\,(21)} & \quad 0\;\\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)}\quad & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & f_{n,\,2}^{m\,(21)} & -f_{n,\,2}^{m\,(11)} & \quad 0\; \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern12pt -f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(1)} & \kern12pt -f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(1)} & \quad 0\;\\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(1)} & \quad 1\; \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(2)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(2)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(2)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(2)} & \quad \fbox{$0$}\; \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Приведенное выше выражение описывает взаимодействие двух солитонов в дискретной системе. В коммутативном пределе получаем
$$
\begin{equation}
q_n^{m\,[2]}=q_n^m-\frac{\Delta_{n,\,6}^m}{\Delta_{n,\,5}^m},\qquad r_n^{m\,[2]}=r_n^m+\frac{\Delta_{n,\,7}^m}{\Delta_{n,\,5}^m},
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_{n,\,5}^m&=\begin{vmatrix} \kern-6pt f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & f_{n,\,2}^{m\,(11)} & \phantom{-}f_{n,\,2}^{m\,(21)} \\ \kern-6pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & f_{n,\,2}^{m\,(21)} & -f_{n,\,2}^{m\,(11)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern10pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(1)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern16ptf_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern10pt f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(1)} \end{vmatrix}, \\ \Delta_{n,\,6}^m&=\begin{vmatrix} \,f_{n,\,1}^{m\,(11)}\quad & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & f_{n,\,2}^{m\,(11)} & \phantom{-}f_{n,\,2}^{m\,(21) } \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)}\quad & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & f_{n,\,2}^{m\,(21)} & -f_{n,\,2}^{m\,(11)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(2)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(2)} & \kern8pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(2)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(2)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern7pt f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(1)} \end{vmatrix}, \\ \Delta_{n,\,7}^m&=\begin{vmatrix} \,f_{n,\,1}^{m\,(11)}\quad & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & f_{n,\,2}^{m\,(11)} & \phantom{-}f_{n,\,2}^{m\,(21)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)}\quad & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & f_{n,\,2}^{m\,(21)} & -f_{n,\,2}^{m\,(11)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern9pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(1)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(2)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(2)} & \kern9pt f_{n,\,2}^{m\,(11)\,(2)} & \kern16pt f_{n,\,2}^{m\,(21)\,(2)} \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В этих детерминантах использованы обозначения $f_{n,\,k}^{m\,(j1)\,(K)}=\lambda_k^Kf_{n,\,k}^{m\, (j1)}$ ($j=1,2$). Для $K=2$ легко проверить условия редукции (4.3) так же, как мы это делали в случае $K=1$ в (4.12). Упрощая выражения для $\Delta_{n,\,5}^m$, $\Delta_{n,\,6}^m$ и $\Delta_{n,\,7}^m$, получаем в явном виде двукратные преобразования Дарбу скалярных переменных $q_n^{m\,[2]}$ и $r_n^{m\,[2]}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_n^{m\,[2]}&=q_n^m+(\lambda_2^2-\lambda_1^2)\times{} \\ &\qquad\times \frac{\sigma^2(\lambda_1+\lambda_2)(\mathcal A_{21}-\mathcal A_{12})+(\lambda_2-\lambda_1)(\sigma_1^2\mathcal A-\sigma_2^2\mathcal B)} {(\lambda_1-\lambda_2)^2(\sigma_1^2\mathcal A+\sigma_2^2\mathcal B)-8\lambda_1\lambda_2\sigma \mathcal D+(\lambda_1+\lambda_2)^2\sigma^2(\mathcal A_{12}+\mathcal A_{21})}, \\ r_n^{m\,[2]}&=-2\sigma(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\times{} \\ &\qquad\times \frac{\sigma_1(\lambda_1\mathcal D_{12}^{(+)}-\lambda_2\mathcal D_{21}^{(+)})+\sigma_2(\lambda_1\mathcal D_{12}^{(-)}-\lambda_2\mathcal D_{21}^{(-)})} {(\lambda_1-\lambda_2)^2(\sigma_1^2\mathcal A+\sigma_2^2\mathcal B)-8\lambda_1\lambda_2\sigma \mathcal D+(\lambda_1+\lambda_2)^2\sigma^2(\mathcal A_{12}+\mathcal A_{21})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal A=\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(+)}\mathcal X_{n,\,2}^{m\,(+)},\qquad \mathcal B=\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(-)}\mathcal X_{n,\,2}^{m\,(-)}, \\ \mathcal A_{12}=\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(+)}\mathcal X_{n,\,2}^{m\,(-)},\qquad \mathcal A_{21}=\mathcal X_{n,\,2}^{m\,(+)}\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(-)}, \\ \mathcal D=\mathcal Y_{n,\,1}^m\mathcal Y_{n,\,2}^m,\qquad \mathcal D_{12}^{(\pm)}=\mathcal Y_{n,\,1}^m\mathcal X_{n,\,2}^{m\,(\pm)},\qquad \mathcal D_{21}^{(\pm)}=\mathcal Y_{n,\,2}^m\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(\pm)} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
и для $l=1,2$
$$
\begin{equation}
\mathcal X_{n,\,l}^{m\,(\pm)}=\biggl(1\pm\frac{\rho}{\lambda_l}\biggr)^{\!2n}\biggl(1\pm\frac{\lambda_l}{2}\biggr)^{\!2\,m},\qquad \mathcal Y_{n,\,l}^m=\biggl(1-\frac{\rho^2}{\lambda_l^2}\biggr)^{\!n}\biggl(1-\frac{\lambda_l^2}{4}\biggr)^{\!m},
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
а постоянные $\sigma_1^{}=\sigma_{11}^2$, $\sigma_2^{}=\sigma_{21}^2$, $\sigma=\sigma_{11}\sigma_{21}$. В непрерывном пределе выражения (4.21) сводятся к следующим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_n^{[2]}&=q_n+(\lambda_2^2-\lambda_1^2) \frac{\sigma^2(\lambda_1+\lambda_2)(\mathcal A_{21}-\mathcal A_{12})+(\lambda_2-\lambda_1)(\sigma_1^2\mathcal A-\sigma_2^2\mathcal B)} {(\lambda_1-\lambda_2)^2(\sigma_1^2\mathcal A+\sigma_2^2\mathcal B)-8\lambda_1\lambda_2\sigma \mathcal D+ (\lambda_1+\lambda_2)^2\sigma^2(\mathcal A_{12}+\mathcal A_{21})}, \\ r_n^{[2]}&=-2\sigma(\lambda_1^2-\lambda_2^2) \frac{\sigma_1(\lambda_1\mathcal D_{12}^{(+)}-\lambda_2\mathcal D_{21}^{(+)})+ \sigma_2(\lambda_1\mathcal D_{12}^{(-)}-\lambda_2\mathcal D_{21}^{(-)})} {(\lambda_1-\lambda_2)^2(\sigma_1^2\mathcal A+\sigma_2^2\mathcal B)- 8\lambda_1\lambda_2\sigma \mathcal D+(\lambda_1+\lambda_2)^2\sigma^2(\mathcal A_{12}+\mathcal A_{21})}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal A=\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}\mathcal X_{n,\,2}^{(+)},\quad \mathcal B=\mathcal X_{n,\,1}^{(-)}\mathcal X_{n,\,2}^{(-)},\quad \mathcal A_{12}=\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}\mathcal X_{n,\,2}^{(-)},\quad \mathcal A_{21}=\mathcal X_{n,\,2}^{(+)}\mathcal X_{n,\,1}^{(-)}, \\ \mathcal D=\mathcal Y_{n,\,1}\mathcal Y_{n,\,2},\qquad \mathcal D_{12}^{(\pm)}=\mathcal Y_{n,\,1}\mathcal X_{n,\,2}^{(\pm)},\qquad \mathcal D_{21}^{(\pm)}=\mathcal Y_{n,\,2}\mathcal X_{n,\,1}^{(\pm)} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
и для $l=1,2$
$$
\begin{equation}
\mathcal X_{n,\,l}^{(\pm)}=\biggl(1\pm\frac{\rho}{\lambda_l}\biggr)^{\!2n}e^{\pm\lambda_lt},\qquad \mathcal Y_{n,\,l}=\biggl(1-\frac{\rho^2}{\lambda_l^2}\biggr)^{\!n},
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
а постоянные $\sigma_1^{}=\sigma_{11}^2$, $\sigma_2^{}=\sigma_{21}^2$, $\sigma=\sigma_{11}\sigma_{21}$. В непрерывных пределах по пространственной и временно́й переменным выражения (4.21) принимают вид
$$
\begin{equation}
q^{[2]}=q+\frac{\Delta_1}{\Delta},\qquad r^{[2]}=-\frac{\Delta_2}{\Delta},
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_1&=(\lambda_1^2-\lambda_2^2)(\lambda_1-\lambda_2) \bigl(\sigma_1^2\bigl( \operatorname{ch} 2{(\eta_1+\eta_2)}+ \operatorname{sh} 2(\eta_1+\eta_2)\bigl)-\sigma_2^2\bigr)+{} \\ &\quad+2(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\sigma^2(\lambda_1+\lambda_2) \operatorname{sh} {(\eta_1-\eta_2)} \bigl( \operatorname{ch} (\eta_1+\eta_2)+ \operatorname{sh} (\eta_1+\eta_2)\bigr), \\ \Delta_2&=2\sigma(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\sigma_2 ( \operatorname{ch} {\eta_1}+\sin\eta_1)\lambda_1-\sigma_2( \operatorname{ch} \eta_2+ \operatorname{sh} \eta_2)\lambda_2+{} \\ &\quad +2\sigma(\lambda_1^2-\lambda_2^2) \operatorname{ch} (\eta_1+\eta_2)+{} \\ &\quad +2\sigma(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\sin(\eta_1+\eta_2)\sigma_1^2 \bigl(( \operatorname{ch} \eta_2+ \operatorname{sh} \eta_2)\lambda_1-( \operatorname{ch} \eta_1+ \operatorname{sh} \eta_1)\lambda_2\bigr), \\ \Delta&=(\lambda_1-\lambda_2)^2 \bigl[\sigma_2^2+\sigma_1^2\bigr( \operatorname{ch} 2(\eta_1+\eta_2)+ \operatorname{sh} 2(\eta_1+\eta_2)\bigl)\bigr]+{} \\ &\quad+\sigma^2\bigl[-8\lambda_1\lambda_2\bigl( \operatorname{ch} (\eta_1+\eta_2)+ \operatorname{sh} (\eta_1+\eta_2)\bigr)+{} \\ &\kern74pt +(\lambda_1+\lambda_2)^22 \operatorname{ch} (\eta_1-\eta_2) \bigl( \operatorname{sh} (\eta_1+\eta_2)- \operatorname{ch} (\eta_1+\eta_2)\bigr)\bigr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
постоянные $\sigma_1=\sigma_{11}^2$, $\sigma_2=\sigma_{21}^2$, $\sigma=\sigma_{11}\sigma_{21}$ и введено обозначение
$$
\begin{equation}
\eta_l=\frac{2\rho}{\lambda_l}x+\lambda_lt,\qquad l=1,2.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
На рис. 3 и рис. 4 показаны различные профили взаимодействия двухсолитонных решений. Дискретная и непрерывная версии трехсолитонного решения, полученные с помощью той же техники, представлены на рис. 5 и рис. 6. 4.2. Случай $N=2$Уравнение (3.21) приводит к следующему преобразованию матриц $\mathcal Q_n^{m\,(2)}$, $\mathcal R_n^{m\,(2)}$ и $\mathcal P_n^{m\,(2)}$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \mathcal Q_n^{m\,(2)\,[K]}&=\mathcal Q_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,1}^{m\,[K]},&\qquad \mathcal R_n^{m\,(2)\,[K]}&=\mathcal R_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,2}^{m\,[K]}, \\ \mathcal P_n^{m\,(2)\,[K]}&=\mathcal P_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,3}^{m\,[K]},&\qquad \mathcal Q_n^{m\,(2)\,[K]}&=\mathcal Q_n^{m\,(2)}+\Gamma_{n\,4}^{m\,[K]}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
при этом
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \Gamma_{n\,1}^{m\,[K]}&=\begin{pmatrix} \Gamma_{n\,11}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,12}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,21}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,22}^{m\,[K]} \end{pmatrix},&\qquad \Gamma_{n\,2}^{m\,[K]}&=\begin{pmatrix} \Gamma_{n\,13}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,14}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,23}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,24}^{m\,[K]} \end{pmatrix}, \\ \Gamma_{n\,3}^{m\,[K]}&=\begin{pmatrix} \Gamma_{n\,31}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,32}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,41}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,42}^{m\,[K]} \end{pmatrix},&\qquad \Gamma_{n\,4}^{m\,[K]}&=\begin{pmatrix} \Gamma_{n\,33}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,34}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,43}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,44}^{m\,[K]} \end{pmatrix}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Соотношения (4.28) дают преобразование скалярных потенциалов $q_n^m,\,r_n^{m\,(1)}$ и $r_n^{m\,(2)}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} q_n^{m\,[K]}&=q_n^m-\Gamma_{n\,11}^{m\,[K]},&\qquad &q_n^{m\,[K]}=q_n^m-\Gamma_{n\,22}^{m\,[K]}, \\ q_n^{m\,[K]}&=q_n^m+\Gamma_{n\,33}^{m\,[K]},&\qquad &q_n^{m\,[K]}=q_n^m+\Gamma_{n\,44}^{m\,[K]}, \end{alignedat} \\ \begin{alignedat}{3} r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,13}^{m\,[K]},&\qquad &r_n^{m\,(1)\,[K]}=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,24}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,14}^{m\,[K]},&\qquad &r_n^{m\,(2)\,[K]}=r_n^{m\,(2)}+\Gamma_{n\,23}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,31}^{m\,[K]},&\qquad &r_n^{m\,(1)\,[K]}=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,42}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,41}^{m\,[K]},&\qquad &r_n^{m\,(2)\,[K]}=r_n^{m\,(2)}+\Gamma_{n\,32}^{m\,[K]}. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Отсюда получаем условия редукции
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Gamma_{n\,12}^{m\,[K]}&=\Gamma_{n\,21}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,34}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,43}^{m\,[K]}=0, \\ \Gamma_{n\,11}^{m\,[K]}&=\Gamma_{n\,22}^{m\,[K]}=-\Gamma_{n\,33}^{m\,[K]}=-\Gamma_{n\,44}^{m\,[K]}, \\ \Gamma_{n\,13}^{m\,[K]}&=\Gamma_{n\,24}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,31}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,42}^{m\,[K]}, \\ \Gamma_{n\,14}^{m\,[K]}&=\Gamma_{n\,41}^{m\,[K]}=-\Gamma_{n\,23}^{m\,[K]}=-\Gamma_{n\,32}^{m\,[K]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Квазидетерминантное выражение (4.30) позволяет найти многосолитонные решения дискретной системы. Далее мы получим явные выражения для одно- и двухсолитонных решений. Выберем затравочное решение $q_{n+1}^m-q_n^m=\rho$, $r_{n+1}^{m\,(1) }=r_n^{m\,(1)}=r_{n+1}^{m\,(2)}=r_n^{m\,(2)}=0$ (или $\mathcal Q_{n+1}^{m\,(2)}-\mathcal Q_n^{m\,(2)}=\rho$ и $\mathcal R_{n+1}^{m\,(2)}=\mathcal R_n^{m\,(2)}=0$). Соответствующая пара Лакса сводится к
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_{n+1}^m&=\left(\begin{array}{c|c} (1+\lambda^{-1}(\mathcal Q_{n+1}^{m\,(2)}-\mathcal Q_n^{m\,(2)}))I_2\, & O_2 \\ \hline O_2 & \,(1-\lambda^{-1}(\mathcal Q_{n+1}^{m\,(2)}-\mathcal Q_n^{m\,(2)}))I_2 \end{array}\right)\psi_n^m, \\ \psi_n^{m+1}&=\left(\begin{array}{c|c} (1+\lambda/2)I_2\, & O_2 \\ \hline O_2 & (1-\lambda/2)I_2\end{array}\right)\psi_n^m, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что, в свою очередь, дает
$$
\begin{equation*}
\psi_n^m=\left(\begin{array}{c|c} \mathcal U_2 & \,O_2\, \\ \hline \,O_2 & \,\mathcal V_2 \end{array}\right),\qquad \mathcal U_2=\begin{pmatrix} \sigma_{11}\xi(\lambda) & O \\ O & \sigma_{21}\xi(\lambda) \end{pmatrix},\quad \mathcal V_2=\begin{pmatrix} \sigma_{31}\xi(-\lambda) & 0 \\ 0 & \sigma_{41}\xi(-\lambda) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_{11}$, $\sigma_{21}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{41}$ – произвольные постоянные и $\xi(\lambda)$ задана в (4.4). 4.2.1. Случай $K=1$Чтобы найти явное односолитонное решение, положим в (4.30) $K=1$, в результате имеем
$$
\begin{equation}
q_n^{m\,[1]}=q_n^m-\Gamma_{n\,11}^{m\,[1]},\quad\; r_n^{m\,(1)\,[1]}=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,13}^{m\,[1]},\quad\; r_n^{m\,(2)\,[1]}=r_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,14}^{m\,[1]}.
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Для построения матрицы $F_n^m$ найдем вектор-столбцы, удовлетворяющие паре Лакса (2.1) при заданном собственном значении $\lambda$. Предложение 7. Пусть Для затравочного решения $q_{n+1}^m-q_n^m=\rho$, $r_{n+1}^{m\,(1)}=r_n^{m\,(1)}=r_{n+1}^{m\,(2)}=r_n^{m\,(2)}=0$ частное решение пары Лакса имеет вид
$$
\begin{equation}
F_{n,\,1}^m=\begin{pmatrix} \alpha_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m & \phantom{-}\gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,1}^m \\ \beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & -\pi_{n,\,1}^m & \phantom{-}\gamma_{n,\,1}^m \\ \gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & -\beta_{n,\,1}^m \\ \pi_{n,\,1}^m & -\gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
где $\alpha_{n,\,1}^m=\sigma_{11}\xi(\lambda)$, $\beta_{n,\,1}^m=\sigma_{21}\xi(\lambda)$, $\gamma_{n,\,1}^m=\sigma_{31}\xi(-\lambda)$, $\pi_{n,\,1}^m=\sigma_{41}\xi(-\lambda)$ и $\xi(\lambda)$ задана в (4.4). Подставим (4.33) в (3.21) и с учетом (3.23) получим, что однократное преобразование Дарбу скалярных решений двухкомпонентной дискретной системы записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_n^{m\,[1]}&=q_n^m-\begin{vmatrix} \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \quad 1\; \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \quad 0\; \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \quad 0\; \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \quad 0\; \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern12pt -f_{n,\,1}^{m\,(31)\,(1)} & -f_{n,\,1}^{m\,(41)\,(1)} & \quad \fbox{$0$}\; \end{vmatrix}, \\ r_n^{m\,(1)\,[1]}&=r_n^m-\begin{vmatrix} \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \kern10pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \quad 0\; \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \quad 0\; \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \kern6pt f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \quad 1\; \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \quad 0\; \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,1}^{m\,(31)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,1}^{m\,(41)\,(1)} & \quad \fbox{$0$}\; \end{vmatrix}, \\ r_n^{m\,(2)\,[1]}&=r_n^m-\begin{vmatrix} \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \quad 0\; \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \quad 0\; \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \quad 0\; \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \quad 1\; \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,1}^{m\,(31)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,1}^{m\,(41)\,(1)} & \quad \fbox{$0$}\; \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
Выражения (4.35) задают односолитонное решение дискретной системы. В коммутативном пределе эти выражения сводятся к отношениям обычных определителей:
$$
\begin{equation}
q_n^{m\,[1]}=q_n^m-\frac{\Delta_{n,\,1}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\,m}},\quad r_n^{m\,(1)\,[1]}=r_n^{m\,(1)}+\frac{\Delta_{n,\,2}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\,m}},\quad r_n^{m\,(2)\,[1]}=r_n^{m\,(2)}+\frac{\Delta_{n,\,3}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\,m}},
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_{n,\,1}^{\prime\,m}&=\begin{vmatrix} \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern17pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern12pt -f_{n,\,1}^{m\,(31)\,(1)} & \kern12pt -f_{n,\,1}^{m\,(41)\,(1)} \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \kern8pt f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(21)} \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} \end{vmatrix}, \\ \Delta_{n,\,2}^{\prime\,m}&=\begin{vmatrix} \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(41)} \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern17pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern12pt -f_{n,\,1}^{m\,(31)\,(1)} & \kern12pt -f_{n,\,1}^{m\,(41)\,(1)} \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} \end{vmatrix}, \\ \Delta_{n,\,3}^{\prime\,m}&=\begin{vmatrix} \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(41)} \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(21)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \kern7pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} \\ \kern-8pt f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(41)} & -f_{n,\,1}^{m\,(11)} & -f_{n,\,1}^{m\,(21)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(11)\,(1)} & \kern16pt f_{n,\,1}^{m\,(21)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,1}^{m\,(31)\,(1)} & \kern10pt -f_{n,\,1}^{m\,(41)\,(1)} \end{vmatrix}, \\ \Delta_{n,\,0}^{\prime\,m}&=\begin{vmatrix} \,f_{n,\,1}^{m\,(11)} & \quad\phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \quad\phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(31)} &\quad\phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(41)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(21)} & \quad-f_{n,\,1}^{m\,(11)} &\quad -f_{n,\,1}^{m\,(41)} &\quad\phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(31)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(31)} & \quad\phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(41)} &\quad -f_{n,\,1}^{m\,(11)} &\quad -f_{n,\,1}^{m\,(21)} \\ \,f_{n,\,1}^{m\,(41)} & \quad-f_{n,\,1}^{m\,(31)} &\quad\phantom{-}f_{n,\,1}^{m\,(21)} &\quad -f_{n,\,1}^{m\,(11)} \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко найти элементы матрицы $\Gamma_n^{m\,[1]}$:
$$
\begin{equation}
\Gamma_{n\,11}^{m\,[1]}=\frac{\Delta_{n,\,1}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\,m}},\qquad \Gamma_{n\,13}^{m\,[1]}=\frac{\Delta_{n,\,2}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\,m}},\qquad \Gamma_{n\,31}^{m\,[1]}=\frac{\Delta_{n,\,4}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\,m}},\qquad \Gamma_{n\,22}^{m\,[1]}=\frac{\Delta_{n,\,5}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\,m}},
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_{n,\,0}^{\prime\,m}&=\!-\,\sigma_{11}^4\xi^4(\lambda)-2\sigma_{11}^2\sigma_{21}^2\xi^4(\lambda)- \sigma_{21}^4\xi^4(\lambda)-2\sigma_{11}^2\sigma_{31}^2\xi^2(\lambda)\xi^2(-\lambda)-{} \\ &\quad -2\sigma_{21}^2\sigma_{31}^2\xi^2(\lambda)\xi^2(-\lambda)-\sigma_{31}^4\xi^4(-\lambda)- 2\sigma_{11}^2\sigma_{41}^2\xi^2(\lambda)\xi^2(-\lambda)-{} \\ &\quad -2\sigma_{21}^2\sigma_{41}^2\xi^2(\lambda)\xi^2(-\lambda)- 2\sigma_{31}^2\sigma_{41}^2\xi^4(-\lambda) -\sigma_{41}^4\xi^4(-\lambda), \\ \Delta_{n,\,1}^{\prime\,m}&=\lambda_1\bigl(-\,\sigma_{11}^4\xi^4(\lambda)-\sigma_{21}^4\xi^4(\lambda)+ \sigma_{31}^4\xi^4(-\lambda)+\sigma_{41}^4\xi^4(-\lambda)-{} \\ &\kern26pt -2\sigma_{11}^2\sigma_{21}^2\xi^4(\lambda)+2\sigma_{31}^2\sigma_{41}^2\xi^4(-\lambda)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично можно получить выражения для $\Delta_{n,\,2}^{\prime\,m}$, $\Delta_{n,\,3}^{\prime\,m}$, $\Delta_{n,\,4}^{\prime\,m}$ и $\Delta_{n,\,5}^{\prime\,m}$. Условие редукции
$$
\begin{equation}
\Gamma_{n\,11}^{m\,[1]}=-\Gamma_{n\,22}^{m\,[1]},\qquad \Gamma_{n\,13}^{m\,[1]}=\Gamma_{n\,31}^{m\,[1]}
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
проверяется непосредственно. Остальные условия редукции в (4.31) можно вывести, следуя той же процедуре. Теперь, подставляя (4.34) в (4.35), получаем явные выражения для $q_n^{m\,[1]}$, $r_n^{m\, (1)\,[1]}$ и $r_n^{m\,(2)\,[1]}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, q_n^{m\,[1]}=q_n^m+\lambda_1^{} \frac{\sigma_1^{}\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(+)}-\sigma_2^{}\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(-)}}{\sigma_1^{}\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(+)}+\sigma_2^{}\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(-)}}, \\ \begin{aligned} \, r_n^{m\,(1)\,[1]}&=2\lambda_1^{} \frac{\sigma_3^{}\mathcal Y_{n,\,1}^m}{\sigma_1^{}\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(+)}+\sigma_2^{}\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(-)}}, \\ r_n^{m\,(2)\,[1]}&=-2\lambda_1^{} \frac{\sigma_4^{}\mathcal Y_{n,\,1}^m}{\sigma_1^{}\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(+)}+\sigma_2 ^{}\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(-)}}, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
где $\mathcal X_{n,\,1}^{m\,(\pm)}$, $\mathcal Y_{n,\,1}^m$ заданы в (4.9), и постоянные $\sigma_1=\sigma_{11}^2+\sigma_{21}^2$, $\sigma_2=\sigma_{31}^2+\sigma_{41}^2$, $\sigma_3=\sigma_{11}\sigma_{31}+\sigma_{21}\sigma_{41}$, $\sigma_4=\sigma_{11}\sigma_{41}-\sigma_{21}\sigma_{31}$. Выражения (4.39) задают односолитонное решение двухкомпонентной дискретной системы (2.1). В непрерывном пределе, взяв $\delta\to 0$ и проводя замену $\rho\to\delta\rho$ в выражениях (4.39), получаем явные выражения для $q_n^{[1]}$ и $r_n^{(1)\,[1]}$, $r_n^{(2)\,[1]}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, q_n^{[1]}=q_n^m+\lambda_1^{} \frac{\sigma_1^{}\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}-\sigma_2^{}\mathcal X_{n,\,1}^{(-)}}{\sigma_1^{}\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}+\sigma_2^{}\mathcal X_{n,\,1}^{(-)}}, \\ \begin{aligned} \, r_n^{(1)\,[1]}&=2\lambda_1^{} \frac{\sigma_3^{}\mathcal Y_{n,\,1}}{\sigma_1^{}\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}+\sigma_2^{}\mathcal X_{n,\,1}^{(-)}}, \\ r_n^{(2)\,[1]}&=-2\lambda_1^{} \frac{\sigma_4^{}\mathcal Y_{n,\,1}}{\sigma_1^{}\mathcal X_{n,\,1}^{(+)}+\sigma_2^{}\mathcal X_{n,\,1}^{(-)}}, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
где $\mathcal X_{n,\,1}^{(\pm)}$ и $\mathcal Y^{}_{n,\,1}$ заданы в (4.15) и $\sigma_1=\sigma_{11}^2+\sigma_{21}^2$, $\sigma_2=\sigma_{31}^2+\sigma_{41}^2$, $\sigma_3=\sigma_{11}\sigma_{31}+\sigma_{21}\sigma_{41}$, $\sigma_4=\sigma_{11}\sigma_{41}-\sigma_{21}\sigma_{31}$. Наши результаты согласуются с полученными в работе [16]. Далее, применяя непрерывные пределы по пространственной и временно́й переменным, получаем, что непрерывные скалярные переменные $q$ и $r$ принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, q^{[1]}=q+\lambda_1 \operatorname{th} \biggl(\eta_1+\ln\sqrt{\frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\;\biggr), \\ \begin{aligned} \, r^{(1)\,[1]}&=\frac{\lambda_1\sigma_3}{\sqrt{\sigma_1\sigma_2}}\operatorname{sech}\biggl(\eta_1+\ln\sqrt{\frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\;\biggl), \\ r^{(2)\,[1]}&=-\frac{\lambda_1\sigma_4}{\sqrt{\sigma_1\sigma_2}}\operatorname{sech}\biggl(\eta_1+\ln\sqrt{\frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\;\biggr), \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
где $\eta_1$ задана в (4.17) и $\sigma_1=\sigma_{11}^2+\sigma_{21}^2$, $\sigma_2=\sigma_{31}^2+\sigma_{41}^2$, $\sigma_3=\sigma_{11}\sigma_{31}+\sigma_{21}\sigma_{41}$, $\sigma_4=\sigma_{11}\sigma_{41}-\sigma_{21}\sigma_{31}$. Двумерные и трехмерные графики полученных решений типа ярких солитонов показаны на рис. 7 и рис. 8. 4.2.2. Случай $K=2$При $K=2$ выражения (4.30) дают двукратное преобразование скалярных переменных $q_n^m$ и $r_n^{m\,(1)}$, $r_n^{m\,(2)}$:
$$
\begin{equation}
q_n^{m\,[2]}=q_n^m-\Gamma_{n\,11}^{m\,[2]},\qquad r_n^{m\,(1)\,[2]}=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,13}^{m\,[2]},\qquad r_n^{m\,(2)\,[2]}=r_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,14}^{m\,[2]}.
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
Для построения матрицы $F_n^m$ найдем вектор-столбцы, удовлетворяющие паре Лакса (2.1) при заданном собственном значении $\lambda$. Предложение 8. Пусть Для затравочного решения $q_{n+1}^m-q_n^m=\rho$, $r_{n+1}^{m\,(1)}=r_n^{m\,(1)}=r_{n+1}^{m\,(2)}=r_n^{m\,(2)}=0$ частное решение пары Лакса имеет вид
$$
\begin{equation*}
F_{n,\,1}^m=\begin{pmatrix} \alpha_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m & \phantom{-}\gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,1}^m \\ \beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & -\pi_{n,\,1}^m & \phantom{-}\gamma_{n,\,1}^m \\ \gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & -\beta_{n,\,1}^m \\ \pi_{n,\,1}^m & -\gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m \end{pmatrix},\quad F_{n,\,2}^m=\begin{pmatrix} \alpha_{n,\,2}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,2}^m & \phantom{-}\gamma_{n,\,2}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,2}^m \\ \beta_{n,\,2}^m & -\alpha_{n,\,2}^m & -\pi_{n,\,2}^m & \phantom{-}\gamma_{n,\,2}^m \\ \gamma_{n,\,2}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,2}^m & -\alpha_{n,\,2}^m & -\beta_{n,\,2}^m \\ \pi_{n,\,2}^m & -\gamma_{n,\,2}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,2}^m & -\alpha_{n,\,2}^m \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_{n,\,l}^m=\sigma_{11}\xi(\lambda_{l})$, $\beta_{n,\,l}^m=\sigma_{21}\xi(\lambda_{l})$, $\gamma_{n,\,l}^m=\sigma_{31}\xi(-\lambda_{l})$, $\pi_{n,\,l}^m=\sigma_{41}\xi(-\lambda_{l})$ ($l=1,2$) и $\xi(\lambda)$ задано в (4.4). Приведенное выше выражение описывает взаимодействие двух солитонов в дискретной системе. В коммутативном пределе получаем
$$
\begin{equation}
q_n^{m\,[2]}= q_n^m-\frac{\Delta_{n,\,7}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,6}^{\prime\,m}},\qquad r_n^{m\,(1)\,[2]}= r_n^m+\frac{\Delta_{n,\,8}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,6}^{\prime\,m}},\qquad r_n^{m\,(2)\,[2]}= r_n^m+\frac{\Delta_{n,\,9}^{\prime\,m}}{\Delta_{n,\,6}^{\prime\,m}}.
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
Тем же методом, что и для (4.20), используя соотношения (4.42)–(4.44), получаем явные выражения для $\Delta_{n,\,6}^{\prime\,m}$, $\Delta_{n,\,7}^{\prime\,m}$, $\Delta_{n,\,8}^{\prime\,m}$ и $\Delta_{n,\,9}^{\prime\,m}$. Явные выражения для скалярных переменных $q_n^{m\,[2]}$ и $r_n^{m\,(1)\,[2]}$, $r_n^{m\,(2)\,[2]}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, q_n^{m\,[2]}=q_n^m+(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\frac{ \mathcal G_n^m}{ \mathcal H_n^m}, \\ r_n^{m\,(1)\,[2]}=2\sigma_3(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\frac{\mathcal J_n^m}{\mathcal H_n^m},\qquad r_n^{m\,(2)\,[2]}=-2\sigma_4(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\frac{\mathcal J_n^m}{\mathcal H_n^m}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.46}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal G_n^m&=\bigl(\sigma_1^2(\lambda_1-\lambda_2)\mathcal A+\sigma_2^2(-\lambda_1+\lambda_2)\mathcal B+ (\mathcal A_{12}-\mathcal A_{21})\sigma_1\sigma_2(\lambda_1+\lambda_2)\bigr)\times{} \\ &\quad \times\big[\sigma_2\bigl(\sigma_2\mathcal B(\lambda_1-\lambda_2)^2-8\sigma_1\lambda_1\lambda_2\mathcal D+ \sigma_1\mathcal A_{21}(\lambda_1+\lambda_2)^2 \bigr)+{} \\ &\qquad\;\; +\sigma_1\bigl(\sigma_1\mathcal A(\lambda_1-\lambda_2)^2+\sigma_2\mathcal A_{12}(\lambda_1+\lambda_2)^2\bigr)\bigr], \\ \mathcal H_n^m &=\bigl[\sigma_2\bigl(\sigma_2\mathcal B(\lambda_1-\lambda_2)^2-8\sigma_1\lambda_1\lambda_2\mathcal D+ \sigma_1\mathcal A_{21}(\lambda_1+\lambda_2)^2\bigr)+{} \\ &\qquad\;\; +\sigma_1\bigl(\sigma_1\mathcal A(\lambda_1-\lambda_2)^2+\sigma_2\mathcal A_{12}(\lambda_1+\lambda_2)^2\bigr)\bigr]^2, \\ \mathcal J_n^m &=\mathcal D_{12}^{(+)}\sigma_1^2\lambda_1^{} \bigl(\mathcal A\sigma_1^{}(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2+\sigma_2^{}\mathcal A_{21}^{}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})^2\bigr)-{} \\ &\quad -\sigma_1^{}\sigma_2^{}\lambda_2^{}\mathcal D_{21}^{(-)} \bigl(\sigma_2^{}\mathcal A_{21}^{}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})^2+2\sigma_1^{}\mathcal A(5\lambda_1^2+\lambda_2^2)\bigr)-{} \\ &\quad -\sigma_1^3\lambda_2^{}\mathcal A\mathcal D_{21}^{(+)}(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2- \sigma_1^2\sigma_2^{}\lambda_2^{}\mathcal A_{12}^{}\mathcal D_{21}^{(+)}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})^2+{} \\ &\quad +\sigma_1^{}\sigma_2^2\lambda_1^{}\mathcal A_{12}\mathcal D_{12}^{(-)}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})^2+ \sigma_2^3\lambda_1^{}\mathcal B\mathcal D_{12}^{(-)}(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2+{} \\ &\quad +2\sigma_1^{}\sigma_2^{}\mathcal D_{21}^{(+)} \bigl(-\sigma_2^{}\lambda_2^{}\mathcal B(5\lambda_1^2+\lambda_2^2)+\sigma_1^{}\lambda_1^{}\mathcal D(\lambda_1^2+5\lambda_2^2)\bigr)+{} \\ &\quad +\sigma_2^2\mathcal D_{21}^{(-)} \bigl(-\mathcal B\sigma_2^{}(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2\lambda_2^{}+2\sigma_1^{}\lambda_1^{}\mathcal D(\lambda_1^2+5\lambda_2^2)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и использованы обозначения (4.22), (4.23). Постоянные $\sigma_1^{}=\sigma_{11}^2+\sigma_{21}^2$, $\sigma_2^{}=\sigma_{31}^2+\sigma_{41}^2$. В непрерывном пределе выражения (4.46) сводятся к следующим:
$$
\begin{equation*}
q_n^{[2]}=q_n^{}+(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\frac{\mathcal G_n}{\mathcal H_n},\quad\; r_n^{(1)\,[2]}=2\sigma_3^{}(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\frac{\mathcal J_n}{\mathcal H_n},\quad\; r_n^{(2)\,[2]}=-2\sigma_4^{}(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\frac{\mathcal J_n}{\mathcal H_n},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal G_n^{}&=\bigl(\sigma_1^2(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})\mathcal A+\sigma_2^2(-\lambda_1^{}+\lambda_2^{})\mathcal B+ (\mathcal A_{12}^{}-\mathcal A_{21}^{})\sigma_1^{}\sigma_2^{}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})\bigr)\times{} \\ &\quad\times \bigl[\sigma_2 \bigl(\sigma_2\mathcal B(\lambda_1-\lambda_2)^2-8\sigma_1\lambda_1\lambda_2\mathcal D+\sigma_1\mathcal A_{21}(\lambda_1+\lambda_2)^2\bigr)+{} \\ &\qquad\;\;+\sigma_1\bigl(\sigma_1\mathcal A(\lambda_1-\lambda_2)^2+\sigma_2\mathcal A_{12}(\lambda_1+\lambda_2)^2\bigr)\bigr], \\ \mathcal H_n &=\bigl[\sigma_2 \bigl(\sigma_2\mathcal B(\lambda_1-\lambda_2)^2-8\sigma_1\lambda_1\lambda_2\mathcal D+\sigma_1\mathcal A_{21}(\lambda_1+\lambda_2)^2\bigr)+{} \\ &\qquad\;\;+\sigma_1(\sigma_1\mathcal A(\lambda_1-\lambda_2)^2+\sigma_2\mathcal A_{12}(\lambda_1+\lambda_2)^2)\bigr]^2, \\ \mathcal J_n^{}&=\mathcal D_{12}^{(+)}\sigma_1^2\lambda_1^{} \bigl(\mathcal A\sigma_1^{}(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2+\sigma_2^{}\mathcal A_{21}^{}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})^2\bigr)-{} \\ &\quad -\sigma_1^{}\sigma_2^{}\lambda_2^{}\mathcal D_{21}^{(-)} \bigl(\sigma_2^{}\mathcal A_{21}^{}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})^2+2\sigma_1^{}\mathcal A(5\lambda_1^2+\lambda_2^2)\bigr)-{} \\ &\quad -\sigma_1^3\lambda_2^{}\mathcal A\mathcal D_{21}^{(+)}(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2- \sigma_1^2\sigma_2^{}\lambda_2^{}\mathcal A_{12}^{}\mathcal D_{21}^{(+)}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})^2+{} \\ &\quad +\sigma_1^{}\sigma_2^2\lambda_1^{}\mathcal A_{12}^{}\mathcal D_{12}^{(-)}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})^2+ \sigma_2^3\lambda_1^{}\mathcal B\mathcal D_{12}^{(-)}(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2+{} \\ &\quad +2\sigma_1^{}\sigma_2^{}\mathcal D_{21}^{(+)}(-\sigma_2^{}\lambda_2^{}\mathcal B(5\lambda_1^2+\lambda_2^2)+ \sigma_1^{}\lambda_1^{}\mathcal D(\lambda_1^2+5\lambda_2^2))+{} \\ &\quad +\sigma_2^2\mathcal D_{21}^{(-)} \bigl(-\mathcal B\sigma_2^{}(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2\lambda_2^{}+2\sigma_1^{}\lambda_1^{}\mathcal D(\lambda_1^2+5\lambda_2^2)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
параметры $\mathcal A$, $\mathcal B$, $\mathcal A_{12}$, $\mathcal A_{21}$ те же, что и выше,
$$
\begin{equation*}
\mathcal D=\mathcal Y_{n,\,1}\mathcal Y_{n,\,2},\qquad \mathcal D_{12}^{(\pm)}=\mathcal Y_{n,\,1}\mathcal X_{n,\,2}^{(\pm)},\qquad \mathcal D_{21}^{(\pm)}=\mathcal Y_{n,\,2}\mathcal X_{n,\,1}^{(\pm)},
\end{equation*}
\notag
$$
и мы использовали обозначения (4.25). Постоянные $\sigma_1^{}=\sigma_{11}^2+\sigma_{21}^2$, $\sigma_2^{}=\sigma_{31}^2+\sigma_{41}^2$. В непрерывном пределе по пространственной и временно́й переменным выражения (4.46) принимают вид
$$
\begin{equation*}
q^{[2]}=q+(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\frac{\mathcal G}{\mathcal H},\quad\; r^{(1)\,[2]}=-2\sigma_3^{}(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\frac{\mathcal J}{\mathcal H},\quad\; r^{(2)\,[2]}=-\sigma_4^{}(\lambda_1^2-\lambda_2^2)\frac{\mathcal J}{\mathcal H},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal G&=-\,\sigma_2^2\lambda_1^{}+\sigma_1^2(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})\bigl( \operatorname{ch} (2\eta_1^{}+2\eta_2^{})+ \operatorname{sh} (2\eta_1^{}+2\eta_2^{})\bigr)+{} \\ &\quad \,+\sigma_2^2\lambda_2^{}+ \sigma_1^{}\sigma_2^{}(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})\bigl( \operatorname{ch} 2\eta_1^{}- \operatorname{ch} 2\eta_2^{}+ \operatorname{sh} 2^{}\eta_1^{}- \operatorname{sh} 2^{}\eta_2^{}\bigr), \\ \mathcal J&=\sigma_1\lambda_1\bigl( \operatorname{ch} (\eta_1+2\eta_2)+ \operatorname{sh} (\eta_1+2\eta_2)\bigr)+ \sigma_2\lambda_1\bigl( \operatorname{ch} \eta_1+ \operatorname{sh} \eta_1\bigr)-{} \\ &\quad -\lambda_2( \operatorname{ch} \eta_2+ \operatorname{sh} \eta_2)\bigl(\sigma_1 \operatorname{ch} 2\eta_2+\sigma_1 \operatorname{sh} 2\eta_1+\sigma_2\bigr), \\ \mathcal H &=\sigma_1^2(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2\bigl( \operatorname{ch} (2\eta_1^{}+2\eta_2^{})+ \operatorname{sh} (2\eta_1^{}+2\eta_2^{})\bigr)+{} \\ &\quad +\sigma_1\sigma_2(\lambda_1+\lambda_2)^2( \operatorname{ch} 2\eta_2+ \operatorname{sh} 2\eta_2)-{} \\ &\quad-8\sigma_1\sigma_2\lambda_1\lambda_2\bigl( \operatorname{ch} (\eta_1+\eta_2)+ \operatorname{sh} (\eta_1+\eta_2)\bigr)+{} \\ &\kern44pt +\sigma_1\sigma_2(\lambda_1^{}+\lambda_2^{})^2( \operatorname{ch} 2\eta_1^{}+ \operatorname{sh} 2\eta_1^{})+\sigma_2^2(\lambda_1^{}-\lambda_2^{})^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
параметры $\eta_l$ ($l=1,2$) заданы в (4.27) и постоянные $\sigma_1^{}=\sigma_{11}^2+\sigma_{21}^2$, $\sigma_2^{}=\sigma_{31}^2+\sigma_{41}^2$. На рис. 9 и рис. 10 показаны различные профили взаимодействия двухсолитонных решений. 4.3. Случай $N=3$Уравнение (3.21) приводит к следующему преобразованию матриц $\mathcal Q_n^{m\,(3)}$, $\mathcal R_n^{m\,(3)}$ и $\mathcal P_n^{m\,(3)}$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \mathcal Q_n^{m\,(3)\,[K]}&=\mathcal Q_n^{m\,(3)}-\Gamma_{n\,1}^{m\,[K]},&\qquad \mathcal R_n^{m\,(3)\,[K]}&=\mathcal R_n^{m\,(3)}-\Gamma_{n\,2}^{m\,[K]}, \\ \mathcal P_n^{m\,(3)\,[K]}&=\mathcal P_n^{m\,(3)}-\Gamma_{n\,3}^{m\,[K]},&\qquad \mathcal Q_n^{m\,(3)\,[K]}&=\mathcal Q_n^{m\,(3)}+\Gamma_{n\,4}^{m\,[K]}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.47}
$$
при этом
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \Gamma_{n\,1}^{m\,[K]} &=\begin{pmatrix} \Gamma_{n\,11}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,12}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,13}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,14}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,21}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,22}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,23}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,24}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,31}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,32}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,33}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,34}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,41}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,42}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,43}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,44}^{m\,[K]} \end{pmatrix},&\quad \Gamma_{n\,2}^{m\,[K]}&=\begin{pmatrix} \Gamma_{n\,15}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,16}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,17}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,18}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,25}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,26}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,27}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,28}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,35}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,36}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,37}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,38}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,45}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,46}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,47}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,48}^{m\,[K]} \end{pmatrix}, \\ \Gamma_{n\,3}^{m\,[K]} &=\begin{pmatrix} \Gamma_{n\,51}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,52}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,53}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,54}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,61}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,62}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,63}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,64}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,71}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,72}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,73}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,74}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,81}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,82}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,83}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,84}^{m\,[K]} \end{pmatrix},&\quad \Gamma_{n\,4}^{m\,[K]}&=\begin{pmatrix} \Gamma_{n\,55}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,56}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,57}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,58}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,65}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,66}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,67}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,68}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,75}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,76}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,77}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,78}^{m\,[K]} \\ \Gamma_{n\,85}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,86}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,87}^{m\,[K]} & \Gamma_{n\,88}^{m\,[K]} \end{pmatrix}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.47) получаем преобразование скалярных потенциалов $q_n^m$ и $r_n^{m\,(1)}$, $r_n^{m\,(2)}$, $r_n^{m\,(3)}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} q_n^{m\,[K]}&=q_n^m-\Gamma_{n\,11}^{m\,[K]}, &\qquad q_n^{m\,[K]}&=q_n^m-\Gamma_{n\,22}^{m\,[K]}, \\ q_n^{m\,[K]}&=q_n^m-\Gamma_{n\,33}^{m\,[K]}, &\qquad q_n^{m\,[K]}&=q_n^m-\Gamma_{n\,44}^{m\,[K]}, \\ q_n^{m\,[K]}&=q_n^m+\Gamma_{n\,55}^{m\,[K]}, &\qquad q_n^{m\,[K]}&=q_n^m+\Gamma_{n\,66}^{m\,[K]}, \\ q_n^{m\,[K]}&=q_n^m+\Gamma_{n\,77}^{m\,[K]}, &\qquad q_n^{m\,[K]}&=q_n^m+\Gamma_{n\,88}^{m\,[K]}, \end{alignedat} \\ \begin{alignedat}{3} r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,15}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,26}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,37}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,48}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,16}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,47}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}+\Gamma_{n\,25}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}+\Gamma_{n\,38}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(3)\,[K]}&=r_n^{m\,(3)}-\Gamma_{n\,17}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(3)\,[K]}&=r_n^{m\,(3)}-\Gamma_{n\,28}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(3)\,[K]}&=r_n^{m\,(3)}+\Gamma_{n\,35}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(3)\,[K]}&=r_n^{m\,(3)}+\Gamma_{n\,46}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,51}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,62}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,73}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(1)\,[K]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,84}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,61}^{m\,[K]}, &\quad r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,74}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}+\Gamma_{n\,52}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(2)\,[K]}&=r_n^{m\,(2)}+\Gamma_{n\,83}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(3)\,[K]}&=r_n^{m\,(3)}-\Gamma_{n\,71}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(3)\,[K]}&=r_n^{m\,(3)}-\Gamma_{n\,82}^{m\,[K]}, \\ r_n^{m\,(3)\,[K]}&=r_n^{m\,(3)}+\Gamma_{n\,53}^{m\,[K]}, &\qquad r_n^{m\,(3)\,[K]}&=r_n^{m\,(3)}+\Gamma_{n\,64}^{m\,[K]}. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.48}
$$
Отсюда выводим условия редукции
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Gamma_{n\,12}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,21}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,13}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,31}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,14}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,41}^{m\,[K]}=0, \\ \Gamma_{n\,23}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,32}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,42}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,24}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,43}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,34}^{m\,[K]}=0, \\ \Gamma_{n\,11}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,22}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,33}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,44}^{m\,[K]}=-\Gamma_{n\,55}^{m\,[K]}=-\Gamma_{n\,66}^{m\,[K]}= -\Gamma_{n\,77}^{m\,[K]}=-\Gamma_{n\,88}^{m\,[K]}, \\ \Gamma_{n\,15}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,26}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,37}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,48}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,51}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,62}^{m\,[K]}= \Gamma_{n\,73}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,84}^{m\,[K]}, \\ \Gamma_{n\,16}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,47}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,61}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,74}^{m\,[K]},\qquad \Gamma_{n\,25}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,38}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,52}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,83}^{m\,[K]}, \\ \Gamma_{n\,17}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,28}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,71}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,82}^{m\,[K]},\qquad \Gamma_{n\,35}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,46}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,53}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,64}^{m\,[K]}, \\ \Gamma_{n\,56}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,65}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,75}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,57}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,85}^{m\,[K]}= \Gamma_{n\,58}^{m\,[K]}=0, \\ \Gamma_{n\,67}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,76}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,68}^{m\,[K]}=\Gamma_{n\,86}^{m\,[K]}= \Gamma_{n\,87}^{m\,[K]}= \Gamma_{n\,78}^{m\,[K]}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.49}
$$
Получим явные выражения для односолитонных решений. Выберем затравочное решение в виде $q_{n+1}^m-q_n^m=\rho$, $r_{n+1}^{m\,(1)}=r_n^{m\,(1)}=r_{n+1}^{m\,(2)}=r_n^{m\,(2)}=r_{n+1}^{m\,(3)}=r_n^{m\,(3)}=0$ (или $\mathcal Q_{n+1}^{m\,(3)}-\mathcal Q_n^{m\,(3)}=\rho$ и $\mathcal R_{n+1}^{m\,(3)}=\mathcal R_n^{m\,(3)}=0$). Соответствующая пара Лакса сводится к
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_{n+1}^m&=\left(\begin{array}{c|c} (1+\lambda^{-1}(\mathcal Q_{n+1}^{m\,(3)}-\mathcal Q_n^{m\,(3)}))I_4\, & \,O_4 \\ \hline O_4\, & \,(1-\lambda^{-1}(\mathcal Q_{n+1}^{m\,(3)}-\mathcal Q_n^{m\,(3)}))I_4 \end{array}\right)\psi_n^m, \\ \psi_n^{m+1}&=\left(\begin{array}{c|c} (1+\lambda/2)I_4 & O_4 \\ \hline O_4 & (1-\lambda/2)I_4 \end{array}\right)\psi_n^m, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что, в свою очередь, дает
$$
\begin{equation*}
\psi_n^m=\left(\begin{array}{c|c} \mathcal U_4 & O_4 \\ \hline O_4 & \mathcal V_4\vphantom{\big|}\end{array}\right),\qquad \begin{aligned} \, \mathcal U_4&=\operatorname{diag}\bigl(\sigma_{11}\xi(\lambda),\sigma_{21}\xi(\lambda),\sigma_{31}\xi(\lambda),\sigma_{41}\xi(\lambda)\bigr), \\ \mathcal V_4&=\operatorname{diag}\bigl(\sigma_{51}\xi(-\lambda),\sigma_{61}\xi(-\lambda),\sigma_{71}\xi(-\lambda),\sigma_{81}\xi(-\lambda)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_{11}$, $\sigma_{21}$ и т д. – произвольные постоянные и $\xi(\lambda)$ задана в (4.4). Случай $K=1$Чтобы построить явное односолитонное решение, положим в (4.48) $K=1$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} q_n^{m\,[1]}&=q_n^m-\Gamma_{n\,11}^{m\,[1]},&\qquad r_n^{m\,(1)\,[1]}&=r_n^{m\,(1)}-\Gamma_{n\,15}^{m\,[1]}, \\ r_n^{m\,(2)\,[1]}&=q_n^{m\,(2)}-\Gamma_{n\,16}^{m\,[1]},&\qquad r_n^{m\,(3)\,[1]}&=r_n^{m\,(3)}-\Gamma_{n\,17}^{m\,[1]}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
Для построения матрицы $F_n^m$ найдем вектор-столбцы, удовлетворяющие паре Лакса (2.1) при заданном собственном значении $\lambda$. Предложение 9. Пусть Для затравочного решения $q_{n+1}^m-q_n^m=\rho$, $r_{n+1}^{m\,(1)}=r_n^{m\,(1)}=r_{n+1}^{m\,(2)}=r_n^{m\,(2)}=r_{n+1}^{m\,(3)}=r_n^{m\,(3)}=0$ получаем частное решение пары Лакса:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(f_{n,\,1}^{m\,(11)},f_{n,\,1}^{m\,(21)},f_{n,\,1}^{m\,(31)},f_{n,\,1}^{m\,(41)}, f_{n,\,1}^{m\,(51)},f_{n,\,1}^{m\,(61)},f_{n,\,1}^{m\,(71)},f_{n,\,1}^{m\,(81)})^{\mathrm T}= \nonumber\\ &\quad =\bigl(\sigma_{11}\xi(\lambda),\sigma_{21}\xi(\lambda),\sigma_{31}\xi(\lambda),\sigma_{41}\xi(\lambda), \sigma_{51}\xi(-\lambda),\sigma_{61}\xi(-\lambda),\sigma_{71}\xi(-\lambda),\sigma_{81}\xi(-\lambda))^{\mathrm T}, \nonumber\\ &F_{n,\,1}^m=\begin{pmatrix} \alpha_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m & \phantom{-}\gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,1}^m & \phantom{-}\omega_{n,\,1}^m & \phantom{-}\vartheta_{n,\,1}^m & \phantom{-}\ell_{n,\,1}^m & \phantom{-}\varrho_{n,\,1}^m \\ \beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & -\pi_{n,\,1}^m & \phantom{-}\gamma_{n,\,1}^m & -\vartheta_{n,\,1}^m & \phantom{-}\omega_{n,\,1}^m & -\varrho_{n,\,1}^m & \phantom{-}\ell_{n,\,1}^m \\ \gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & -\beta_{n,\,1}^m & -\ell_{n,\,1}^m & -\varrho_{n,\,1}^m & \phantom{-}\omega_{n,\,1}^m & \phantom{-}\vartheta_{n,\,1}^m \\ \pi_{n,\,1}^m & -\gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & -\varrho_{n,\,1}^m & \phantom{-}\ell_{n,\,1}^m & -\vartheta_{n,\,1}^m & \phantom{-}\omega_{n,\,1}^m \\ \omega_{n,\,1}^m & \phantom{-}\vartheta_{n,\,1}^m & \phantom{-}\ell_{n,\,1}^m & \phantom{-}\varrho_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & -\beta_{n,\,1}^m & -\gamma_{n,\,1}^m & -\pi_{n,\,1}^m \\ \vartheta_{n,\,1}^m & -\omega_{n,\,1}^m & -\varrho_{n,\,1}^m & \phantom{-}\ell_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,1}^m & -\gamma_{n,\,1}^m \\ \ell_{n,\,1}^m & \phantom{-}\varrho_{n,\,1}^m & -\omega_{n,\,1}^m & -\vartheta_{n,\,1}^m & \phantom{-}\gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m & -\beta_{n,\,1}^m \\ \varrho_{n,\,1}^m & -\ell_{n,\,1}^m & \phantom{-}\vartheta_{n,\,1}^m & -\omega_{n,\,1}^m & \phantom{-}\pi_{n,\,1}^m & -\gamma_{n,\,1}^m & \phantom{-}\beta_{n,\,1}^m & -\alpha_{n,\,1}^m \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.52}
$$
где $\alpha_{n,\,1}^m=\sigma_{11}\xi(\lambda)$, $\beta_{n,\,1}^m=\sigma_{21}\xi(\lambda)$, $\gamma_{n,\,1}^m=\sigma_{31}\xi(\lambda)$, $\pi_{n,\,1}^m=\sigma_{41}\xi(\lambda)$, $\omega_{n,\,1}^m=\sigma_{51}\xi(-\lambda)$, $\vartheta_{n,\,1}^m=\sigma_{61}\xi(-\lambda)$, $\ell_{n,\,1}^m=\sigma_{71}\xi(-\lambda)$, $\varrho_{n,\,1}^m=\sigma_{81}\xi(-\lambda)$ и $\xi(\lambda)$ задана в (4.4). Подставляя (4.51) в (3.21), с учетом (3.23) получаем однократное преобразование Дарбу скалярных решений трехкомпонентной дискретной системы. В коммутативном пределе эти решения сводятся к отношениям обычных определителей:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} q_n^{m\,[1]}&=q_n^m-\frac{\Delta_{n,\,1}^{\prime\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\prime\,m}},&\qquad r_n^{m\,(1)\,[1]}&=r_n^{m\,(1)}+\frac{\Delta_{n,\,2}^{\prime\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\prime\,m}}, \\ r_n^{m\,(2)\,[1]}&=r_n^{m\,(2)}-\frac{\Delta_{n,\,3}^{\prime\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\prime\,m}},&\qquad r_n^{m\,(3)\,[1]}&=r_n^{m\,(3)}+\frac{\Delta_{n,\,4}^{\prime\prime\,m}}{\Delta_{n,\,0}^{\prime\prime\,m}}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.53}
$$
Явные формулы для $\Delta_{n,\,0}^{\prime\prime\,m}$, $\Delta_{n,\,1}^{\prime\prime\,m}$, $\Delta_{n,\,2}^{\prime\prime\,m}$, $\Delta_{n,\,3}^{\prime\prime\,m}$ и $\Delta_{n,\,4}^{\prime\prime\,m}$ можно вывести аналогично тому, как это было сделано для определителей в (4.11), (4.36), используя выражения (4.50) вместе с (4.51). Нетрудно также получить условия редукции (4.49) в случае $K=1$. Подставив (4.52) в соотношения (4.53), получаем явные выражения для $q_n^{m\,[1]}$ и $r_n^{m\,(1)\,[1]}$, $r_n^{m\,(2)\,[1]}$, $r_n^{m\,(3)\,[1]}$. Графики решений и их непрерывных пределов изображены на рис. 11, 12. 5. Заключительные замечанияМы рассмотрели дискретное представление $N$-компонентной интегрируемой системы, которое в континуальном пределе сводится к своим обычным полудискретным и непрерывным аналогам. Используя условие совместности, мы получили $N$-компонентное обобщение дискретной системы. Чтобы найти решения линейной задачи на собственные значения, мы применили преобразование Дарбу и получили многосолитонные решения, выраженные через квазидетерминанты. В коммутативном пределе эти квазидетерминанты сводятся к отношениям обычных определителей. Мы нашли в явном виде одно- и двухсолитонные решения одно-, двух- и трехкомпонентной дискретной системы (2.1). Профили одно-, двух- и трехсолитонных решений дискретной, полудискретной и непрерывной систем при различных значениях параметров показаны на рис. 1–12. Полученные результаты могут существенно помочь в понимании различных физических явлений, например распространения света в периодической среде. Также представляет интерес применение матричного преобразования Дарбу для поиска многосолитонных решений суперсимметричных интегрируемых систем. БлагодарностиАвторы безмерно благодарны рецензентам за их комментарии к первоначальному варианту рукописи, способствовавшие ее значительному улучшению. Любые ошибки являются нашими собственными и не должны запятнать репутацию этих уважаемых людей. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{InaUl 23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|