Block designs, permutation groups and prime values of polynomials

Конструкция блок-схем с заданными параметрами и большими группами симметрии, полученная недавно К. Амарра, А. Девиллерс и Ш. Прегер, опирается на некоторые квадратичные полиномы с целыми коэффициентами, значения которых являются степенями простых чисел. Аналогично, конструкция групп перестановок с заданными плотностями пересечений, которую недавно получили А. Хуйдурович, К. Кутнар, Б. Кузма, Д. Марушич, Ш. Миклавич и М. Орел, использует некоторые круговые полиномы с простыми значениями. Гипотеза Буняковского, если она верна, означает, что каждый из этих многочленов имеет бесконечно много простых значений, порождая бесконечные семейства блок-схем и групп перестановок с требуемыми свойствами. В статье найдено большое количество простых значений этих полиномов, и найденные числа очень хорошо согласуются с оценками для них из недавней модификации гипотезы Бейтмана — Хорна, предложенной В. Ли. Полученный результат является серьезным аргументом в пользу того факта, что указанные полиномы принимают бесконечно много простых значений, хотя и не доказывает его. Кроме того, наш результат также является аргументом в пользу справедливости гипотез Буняковского и Бейтмана — Хорна.