О нулях ортогональных полиномов

Пусть $\{T_{\sigma,n}(\tau)\}_{n=0}^\infty$ – ортонормированная на $[0,2\pi]$ по мере $d\sigma(\tau)$ система тригонометрических полиномов, полученная при ортогонализации методом Шмидта последовательности $1,\sin\tau,\cos\tau,\sin2\tau,\cos2\tau,\dots$. Устанавливается формула приращения в точке единичной окружности аргумента алгебраического многочлена, ортогонального на ней по мере $d\sigma(\tau)$. С помощью этой формулы при $n>0$ доказывается вещественность и простота нулей полинома $T_{\sigma,n}(\tau)$, а также перемежаемость нулей линейных комбинаций $aT_{\sigma,2n-1}(\tau)+bT_{\sigma,2n}(\tau)$ и $-bT_{\sigma,2n-1}(\tau) +aT_{\sigma,2n}(\tau)$, если $a^2+b^2>0$. Для широкого класса весов с особенностями, порядки которых задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности, доказывается существование положительных констант $C_1$ и $C_2$, зависящих лишь от веса, таких, что расстояние между соседними нулями ортогонального с этим весом тригонометрического полинома порядка $n$ заключено между $C_1n^{-1}$ и $C_2n^{-1}$. В виде следствий выводятся как известные, так и новые результаты о нулях многочленов, ортогональных по мере на отрезке (возможно, бесконечном).