О скорости роста последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье

В случае, когда последовательность $d$-мерных векторов $\mathbf n_k=(n_k^1,n_k^2,\dots,n_k^d)$ с неотрицательными целочисленными координатами удовлетворяет условию
$$ n_k^j=\alpha_jm_k+O(1),\quad k\in\mathbb N,\quad1\le j\le d, $$
где $\alpha_1\dots,\alpha_d$ – неотрицательные вещественные числа, а $\{m_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность натуральных чисел, получена следующая оценка скорости роста последовательностей $S_{\mathbf n_k}(f,\mathbf x)$ прямоугольных частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье: если $f\in L(\ln^+L)^{d-1}([-\pi,\pi)^d)$, то
$$ S_{\mathbf n_k}(f,\mathbf x)=o(\ln k)\quad\text{п.в.} $$
Аналогичные оценки справедливы и для сопряженных рядов.