Аннотация:
Рассматривается задача оптимального граничного управления решениями уравнения эллиптического типа в ограниченной области с гладкой границей с малым коэффициентом при операторе Лапласа и малым, соподчиненным с первым, коэффициентом при граничном условии и интегральными ограничениями на управление.
{Lε:=−ε2Δz+a(x)z=f(x),x∈Ω,z∈H1(Ω),lε,βz:=εβ∂z∂n=g(x)+u(x),x∈Γ,
со следующим функционалом качества
J(u):=‖z−zd‖2+ν−1|||u|||2→inf,u∈U,
где 0<ε≪1, β⩾, \beta\in\mathbb{Q}, \nu>0,H^1(\Omega) - соболевское пространство функций, \partial z/\partial n - производная функции z в точке x\in\Gamma по направлению внешней (по отношению к области \Omega) нормали,
\begin {array}{c}
\displaystyle a(\cdot), f(\cdot), z_d(\cdot) \in C^\infty(\overline{\Omega}), \quad
g(\cdot)\in C^\infty(\Gamma),\quad
\forall\, x\in \overline{\Omega}\quad a(x)\geqslant \alpha^2>0, \\[2ex]
\displaystyle \mathcal {U} = \mathcal {U}_1,\quad \mathcal {U}_r\mathop {:=} \nolimits \{u(\cdot)\in L_2(\Gamma)\colon
|||u||| \leqslant r\}.
\end {array}
Здесь через \|\cdot\| обозначена норма в пространстве L_2 (\Omega), а через |||\cdot||| - норма в пространстве L_2 (\Gamma). Получено полное асимптотическое разложение по степеням малого параметра решения рассматриваемой задачи в случае, когда 0<\beta<3/2.
Ключевые слова:сингулярные задачи, оптимальное управление, краевые задачи для систем уравнений в частных производных, асимптотические разложения.
Поступила в редакцию: 04.11.2019 Исправленный вариант: 10.01.2020 Принята в печать: 14.01.2020
Образец цитирования:
А. Р. Данилин, “Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми соподчиненными параметрами”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, № 1, 2020, 102–111
\RBibitem{Dan20}
\by А.~Р.~Данилин
\paper Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми соподчиненными параметрами
\serial Тр. ИММ УрО РАН
\yr 2020
\vol 26
\issue 1
\pages 102--111
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/timm1702}
\crossref{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-1-102-111}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=42492196}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/timm1702
https://www.mathnet.ru/rus/timm/v26/i1/p102
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
Galina Bizhanova, “Solution of the nonregular problem for a parabolic equation with the time derivative in the boundary condition”, ASY, 130:1-2 (2022), 53
А. Р. Данилин, “Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми соподчиненными параметрами. II”, Тр. ИММ УрО РАН, 27, № 2, 2021, 108–119