Низкие грани ограниченной степени в $3$-многогранниках

Степень вершины или грани в $3$-многограннике есть число инцидентных ей ребер. $k$-Грань есть грань степени $k$, а $k^-$-грань имеет степень не более $k$. Высота грани — максимальная степень инцидентных ей вершин, а высота $h$ многогранника — минимальная из высот его граней. Грань называется пирамидальной, если она является либо $4$-гранью, инцидентной трем $3$-вершинам, либо $3$-гранью, инцидентной двум вершинам степени не более четырех. Если пирамидальные грани разрешены, то $h$ может быть произвольно большой, поэтому в дальнейшем предполагается отсутствие пирамидальных граней.
В 1940 г. Лебег доказал, что в каждом четыреангулированном $3$-многограннике найдется грань $f$ с $h(f)\le 11$. В 1995 г. эта оценка была улучшена С. В. Августиновичем и О. В. Бородиным до $10$. Недавно мы улучшили эту оценку до точной оценки $8$. Для плоских триангуляций без $4$-вершин О. В. Бородин (1992) подтвердил гипотезу Коцига 1979 г., доказав, что $h\le 20$, причем оценка точна. Позднее О. В. Бородин доказал, что $h\le 20$ для всех триангулированных $3$-многогранников. В 1996 г. для произвольных многогранников Хорняк и Йендроль доказали, что $h\le 23$. Недавно мы получили точные оценки $h\le 10$ для многогранников без треугольников и $h\le 20$ для произвольных многогранников. Позже О. В. Бородин, М. А. Быков и А. О. Иванова улучшили последний результат, доказав, что любой многогранник содержит $10^-$-грань высоты не более $20$, причем обе оценки $10$ и $20$ точны. Также мы доказали, что любой многогранник содержит $5^-$-грань высоты не более $30$, где оценка $30$ точна и улучшает верхнюю оценку $39$, полученную Хорняком и Йендролем (1996).
В статье доказано, что каждый многогранник содержит $6^-$-грань высоты не более $22$, где параметры $6$ и $22$ неулучшаемы. Поскольку существует конструкция, в которой каждая грань степени от $6$ до $9$ имеет высоту $22$, теперь известно все, что касается максимальных высот граней ограниченных степеней в $3$-многогранниках.