К. С. Шкляев, “Выпуклая оболочка и число Каратеодори множества в терминах метрической проекции”, Матем. сб., 213:10 (2022), 167–184; K. S. Shklyaev, “The convex hull and the Carathéodory number of a set in terms of the metric projection operator”, Sb. Math., 213:10 (2022), 1470

Processing math: 49%

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2022, том 213, номер 10, страницы 167–184
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9742 (Mi sm9742)

Выпуклая оболочка и число Каратеодори множества в терминах метрической проекции

К. С. Шкляев^ab

^a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
^b Московский центр фундаментальной и прикладной математики

PDF полного текста (555 kB) PDF английской версии (514 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9742

Аннотация: Доказывается, что всякую точку выпуклой оболочки компакта

$M$ в гладком банаховом пространстве

$X$ можно приблизить выпуклой комбинацией точек метрической проекции

$P_M(x)$ , где

$x \in X$ . Как следствие получено, что число Каратеодори компакта

$M \subset X$ с не более чем

$k$ -значной метрической проекцией

$P_M$ не превосходит

$k$ , т.е. всякая точка выпуклой оболочки

$M$ лежит в выпуклой оболочке не более чем

$k$ точек из

$M$ .
Библиография: 26 названий.

Ключевые слова: метрическая проекция, выпуклая оболочка, банахово пространство, гладкость, функционал Минковского, число Каратеодори.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Фонд развития теоретической физики и математики "БАЗИС"
Министерство образования и науки Российской Федерации	14.W03.31.0031
Теоремы 1–3 доказаны при поддержке Фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС”, теоремы 4, 5 доказаны при поддержке гранта Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых (проект № 14.W03.31.0031).

Поступила в редакцию: 23.02.2022 и 11.05.2022

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 10, Pages 1470–1486
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9742e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: Primary 41A65; Secondary 52A35, 52A20

§ 1. Введение

Пусть $(X, \| \cdot \|)$ – действительное банахово пространство. Расстояние от элемента $x \in X$ до множества $M \subset X$ обозначим

$\begin{equation*} d(x, M)= \inf_{y \in M}\| x-y \|. \end{equation*} \notag$

Обозначим замкнутый, открытый шары и сферу пространства

$X$ с центром в точке

$x \in X$ радиуса

$r > 0$ через

$\overline{B}(x,r)$ ,

$B(x,r)$ и

$S(x,r)$ соответственно. Обозначим

$\operatorname{ri} M$ относительную внутренность множества

$M \subset X$ , т.е. внутренность множества

$M$ в его аффинной оболочке

$\begin{equation*} \operatorname{aff} M := \biggl\{ \sum_{i=1}^k \lambda_i x_i\colon k \in \mathbb{N}, \, x_i \in M, \, \lambda_i \in \mathbb{R}, \, \sum_{i=1}^k \lambda_i=1 \biggr\}. \end{equation*} \notag$

Напомним, что метрической проекцией точки

$x$ на множество

$M$ называется множество

$\begin{equation*} P_M(x)=\bigl\{y \in M\colon \| x-y \|=d(x, M) \bigr\}. \end{equation*} \notag$

Множество

$M$ называется чебышёвским, если метрическая проекция

$P_M(x)$ состоит ровно из одного элемента для всех

$x \in X$ . Выпуклую оболочку множества

$M$ обозначим

$\operatorname{conv} M$ .

Проблема выпуклости чебышёвских множеств в конкретных и абстрактных банаховых пространствах рассматривалась многими авторами (см., например, работы Н. В. Ефимова и С. Б.Стечкина [1], В. Кли [2], [3], В. И. Бердышева [4], А. Брондстеда [5], А. Л. Брауна [6], [7], Л. П. Власова [8], В. С. Балаганского и Л. П. Власова [9], И. Г. Царькова [10], [11], А. Р. Алимова [12], [13]). Изучение геометрии чебышёвских множеств в конечномерных линейных нормированных пространствах было начато Л. Бунтом в [14], Г. Манном в [15] и T. Моцкиным в [16], [17]. В своей диссертации [14] (1934 г.) Л. Бунт доказал, что в строго выпуклых конечномерных банаховых пространствах с модулем гладкости второго порядка (в том числе в евклидовых) всякое чебышёвское множество выпукло, причем в двумерном случае он показал, что от условия строгой выпуклости можно избавиться. Таким образом, было, в частности, показано, что в конечномерных евклидовых пространствах $\mathbb R^n$ классы чебышёвских и выпуклых замкнутых множеств совпадают. В дальнейшем T. Моцкин установил в [16], что в двумерном случае условие гладкости пространства (т.е. единственности опорной гиперплоскости в каждой точке единичной сферы пространства) является необходимым и достаточным для выпуклости любого чебышёвского множества в этом пространстве. В. Кли в своих ранних работах [2], [3] обобщил теоремы Бунта и Моцкина, показав, что каждое чебышёвское множество является выпуклым в любом конечномерном гладком пространстве. Ефимов и Стечкин одними из первых стали изучать чебышёвские множества в бесконечномерных банаховых пространствах. В частности, они поставили проблему о выпуклости чебышёвских множеств в гильбертовых пространствах.

Проблема A. Доказать или опровергнуть, что в гильбертовом пространстве любое чебышёвское множество выпукло.

Обзор бесконечномерных результатов можно найти в работе [9].

Естественным обобщением чебышёвских множеств являются множества с непустой и не более чем $k$ -значной метрической проекцией.

Определение 1. Для множества $M \subset X$ и натурального числа $k$ положим

$\begin{equation*} \operatorname{conv}_k M := \biggl\{\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i\colon x_i \in M, \, \lambda_i \in [0,1], \,\sum_{i=1}^k \lambda_i=1 \biggr\}. \end{equation*} \notag$

Определение 2. Числом Каратеодори множества $M$ называется такое наименьшее натуральное $k$ , что $\operatorname{conv}_k M=\operatorname{conv} M$ .

Широко известна теорема Каратеодори о выпуклой оболочке (см. [18]): для всякого $M \subset \mathbb{R}^d$ выполнено $\operatorname{conv}_{d+1} M= \operatorname{conv} M$ , т.е. число Карадеодори $M$ не превосходит $d+1$ . При дополнительных условиях на множество $M$ верхняя оценка на его число Каратеодори может быть улучшена. Результаты этого типа получили В. Фенхель (см. [10]), И. Барань и Р. Н. Карасёв (см. [20]) и другие. Более подробный обзор имеющихся результатов о числе Каратеодори можно найти в [20]. В настоящей работе исследуется число Каратеодори множества $M$ с не более чем $k$ -значной метрической проекцией $P_M$ . В 2010 г. П. А. Бородиным была поставлена

Задача A. Доказать, что в конечномерном гладком пространстве $X$ всякое замкнутое множество $M \subset X$ с непустой и не более чем $k$ -значной метрической проекцией $P_M$ имеет число Каратеодори не более $k$ .

Заметим, что для $k=1$ утверждение выполнено, поскольку всякое чебышёвское множество в гладком конечномерном пространстве является выпуклым. По теореме Каратеодори для всех $k \geqslant d+1$ утверждение задачи выполняется автоматически. В случае $k= d=2$ задача A была полностью решена А. А. Флеровым в работе [21].

В настоящей работе задача A решается с некоторыми ограничениями на множество $M$ для пространств произвольной размерности (в том числе для бесконечномерного банахова пространства $X$ и ограниченно компактного множества $M$ ). В теоремах 1–5 получены более общие результаты о представлении точек выпуклой оболочки множества $M \subset X$ как выпуклой комбинации точек метрической проекции $P_M(x)$ некоторого $x \in X$ . Из них в следствиях 1–4 выводятся аналоги и обобщения утверждения задачи A.

Кроме того, из следствий 1–4 непосредственно вытекают условия достаточности для существования точки с более чем $k$ -значной метрической проекцией на множество $M$ . Для этого достаточно, чтобы $\operatorname{conv}{M} \neq \operatorname{conv}_k{M}$ в следствиях 1, 4 и $\overline{\operatorname{conv}{M}} \neq \overline{\operatorname{conv}_k{M}}$ в следствиях 2, 3.

Отметим, что бесконечномерный аналог задачи A для гильбертова пространства $X$ без дополнительных ограничений на множество $M$ включает в себя как частный случай (при $k=1$ ) проблему A.

§ 2. Вспомогательные леммы

Далее через $X_d$ обозначается нормированное пространство размерности $d$ .

Лемма 1. Пусть $a, b \in X_d$ , $r > 0$ , $a \in B(b,r)$ и $f\colon \overline{B}(b,r) \to X_d$ – такое непрерывное отображение, что $a \notin [x, f(x)]$ для всех $x \in S(b,r)$ . Тогда существует такая точка $x_* \in B(b,r)$ , что $f(x_*)=a$ .

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что

$b=0$ ,

$r=1$ . Предположим, что

$f(x) \neq a$ для всех

$x \in B(0,1)$ . Поскольку

$a \notin [x, f(x)]$ для всех

$x \in S(0,1)$ , то в силу непрерывности

$f$ существует такое число

$\tau \in (0,1)$ , что

$a \notin [x, f(t x)]$ для всех

$x \in S(0,1)$ и всех

$t \in [1-\tau, 1]$ . Поэтому

$\begin{equation} g(x,t) := \frac{t+\tau-1}{\tau}x+\frac{1-t}{\tau}f(tx) \neq a \end{equation} \tag{1}$

для всех

$x \in S(0,1)$ и всех

$t \in [1-\tau, 1]$ . Введем автоморфизм сферы

$S(0,1)$

$\begin{equation*} u\colon x \mapsto \frac{x-a}{\| x-a\|}. \end{equation*} \notag$

Из (1) вытекает, что корректно определено следующее отображение

$\widetilde{f}\colon \overline{B}(0,1)\,{\to} S(0,1)$ , заданное формулой

$\begin{equation*} \widetilde{f}(tx) := \begin{cases} u^{-1}\biggl( \dfrac{f(tx)-a}{\| f(tx)-a \| }\biggr), &x \in S(0,1),\ t \in [0, 1-\tau), \\ u^{-1}\biggl(\dfrac{g(x,t)-a}{\| g(x,t)-a \| }\biggr), &x \in S(0,1),\ t \in [1-\tau,1]. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Кроме того, для всех

$x \in S(0,1)$ выполнено

$\begin{equation*} \frac{g(x,1-\tau)-a}{\| g(x,1-\tau)-a \|}=\frac{f((1-\tau)x)-a}{\| f((1-\tau)x)-a \|}, \qquad \frac{g(x,1)-a}{\| g(x,1)-a\|}=\frac{x-a}{\| x-a\|}. \end{equation*} \notag$

Поэтому

$\widetilde{f}$ непрерывно и

$\widetilde{f}|_{S(0,1)} \equiv \mathrm{id}$ , т.е.

$\widetilde{f}$ – ретракция шара

$\overline{B}(0,1)$ на его границу

$S(0,1)$ , что невозможно (см. [22; § 38]).

Лемма доказана.

Пусть $(X, d_X)$ , $(Y, d_Y)$ – метрические пространства. Многозначное отображение $F\colon X \to 2^Y \setminus \{\varnothing\}$ называется полунепрерывным сверху в точке $x_0 \in X$ , если для всякого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$ , что для всех $x \in B(x_0,\delta)$ выполнено

$\begin{equation*} F(x) \subset B_\varepsilon(F(x_0)) := \Bigl\{ y \in Y\colon d_Y(y, F(x_0)) := \inf_{z \in F(x_0)}d_Y(y, z) < \varepsilon \Bigr\}. \end{equation*} \notag$

Графиком многозначного отображения

$F\colon X \to 2^Y \setminus \{\varnothing\}$ называется множество

$\begin{equation*} \Gamma_F := \bigl\{ (x,y)\colon x \in X, \, y \in F(x) \bigr\} \end{equation*} \notag$

с заданным на нем расстоянием

$d( (x_1, y_1), (x_2, y_2) ) \,{:=} \max (d_X(x_1, x_2), d_Y(y_1, y_2) )$ . Для линейного пространства

$Y$ обозначим

$\mathrm{Conv}(Y)$ множество всех его непустых замкнутых выпуклых подмножеств.

Лемма 2. Пусть $a, b \in X_d$ , $r > 0$ , $a \in B(b,r)$ и $F\colon \overline{B}(b,r) \to \mathrm{Conv}(X_d)$ – такое полунепрерывное сверху отображение, что $a \notin \operatorname{conv}(\{x\} \cup F(x))$ для всех $x \in S(b,r)$ . Тогда $a \in F(x_*)$ для некоторого $x_* \in B(b,r)$ .

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что

$b=0$ ,

$r=1$ . Предположим, что

$a \notin F(x)$ для всех

$x \in \overline{B}(0,1)$ . Тогда в силу полунепрерывности сверху отображения

$F$ существует такое

$\varepsilon \in (0, (1-\| a \|)/2)$ , что для всех

$x \in \overline{B}(0,1)$ и всех

$y \in \overline{B}(0,1) \setminus B(0, 1-\varepsilon)$ выполнено

$\begin{equation} B(a,2\varepsilon) \cap F(x)=\varnothing, \qquad B(a,\varepsilon) \cap \operatorname{conv}(\{y\} \cup F(y))=\varnothing. \end{equation} \tag{2}$

Далее нам потребуется следующая

Теорема B (см. [23; теорема 1]). Пусть $S$ – компактное метрическое пространство, $Y$ – линейное нормированное пространство, $\Phi\colon S \to \mathrm{Conv}(Y)$ – полунепрерывное сверху отображение. Тогда для всякого $\varepsilon > 0$ существует однозначная $\varepsilon$ -аппроксимация отображения $\Phi$ , т.е. такое непрерывное однозначное отображение $\varphi\colon S \to \operatorname{conv} \Phi(S)$ , что для графиков $\Gamma_\Phi$ и $\Gamma_\varphi$ отображений $\Phi$ и $\varphi$ выполнено $d^*(\Gamma_\varphi, \Gamma_\Phi):= \sup_{y \in \Gamma_\varphi} d(y, \Gamma_\Phi) < \varepsilon$ .

По теореме B существует однозначная $\varepsilon$ -аппроксимация $f\colon \overline{B}(0,1) \to X$ многозначного отображения $F$ . Поскольку $d^* (\Gamma_{f},\Gamma_F) < \varepsilon$ , из (2) вытекает

$\begin{equation} B(a,\varepsilon) \cap f(\overline{B}(0,1))=\varnothing. \end{equation} \tag{3}$

Кроме того,

$a \notin [y,f(y)]$ для

$y \in S(0,1)$ . Действительно, в противном случае найдется такое

$\lambda \in [0,1]$ , что

$\begin{equation} a=\lambda y+(1-\lambda)f(y). \end{equation} \tag{4}$

Поскольку

$d^* (\Gamma_{f},\Gamma_F) < \varepsilon$ , найдутся такие

$z \in B(y,\varepsilon) \cap \overline{B}(0,1)$ и

$w \in B(f(y),\varepsilon)$ , что

$w \in F(z)$ . Поэтому в силу (4) выполнена оценка

$\begin{equation*} \bigl\| \lambda z+(1-\lambda)w-a\bigr\| \leqslant \|\lambda(z-y\|+\bigl\| (1-\lambda)(w-f(y)) \bigr\| < \varepsilon, \end{equation*} \notag$

т.е.

$B(a,\varepsilon) \cap \operatorname{conv}(\{z\} \cup F(z)) \neq \varnothing$ , что противоречит (2). Таким образом, отображение

$f$ удовлетворяет условиям леммы 1, поэтому существует такой

$x_* \in B(0,1)$ , что

$f(x_*)=a$ . Последнее невозможно в силу (3).

Лемма доказана.

§ 3. Результаты для звездных областей

Результаты этого параграфа относятся к комбинаторной геометрии и близки к работе [24]. Напомним, что область $U \subset \mathbb{R}^d$ называется звездной относительно точки $0$ , если $\lambda U \subset U$ для всех $\lambda \in (0,1)$ и $0 \in U$ . Обозначим $p_u$ функционал Минковского звездной относительно нуля области $U$ , т.е. отображение

$\begin{equation*} p_u\colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}_+, \qquad x \mapsto \sup\bigl\{ \lambda \geqslant 0\colon \lambda x \in U\bigr\}. \end{equation*} \notag$

По аналогии с [25; замечание 2] введем

Определение 3. Пусть $U \subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная звездная область относительно точки $0$ . Для точки $x \in \mathbb{R}^d$ и замкнутого множества $M \subset \mathbb{R}^d$ положим

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, U(x, r):= x+rU, \qquad \overline{U}(x,r) := \overline{U(x,r)}, \qquad d_u(x,M)= \inf\bigl\{ p_u(y-x)\colon y \in M \bigr\}, \\ P^u_M(x) := M \cap \overline{U}(x, d_u(x,M)). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Отметим, что хотя в силу замкнутости $M$ и открытости $U$ выполнено

$\begin{equation*} P^u_M(x) \neq \varnothing, \qquad M \cap U(x, d_u(x,M))= \varnothing, \end{equation*} \notag$

но вообще говоря неверно, что

$M \cap \overline{U}(x,\lambda)=\varnothing$ для всех

$\lambda \in (0, d_u(x,M))$ .

Напомним, что функция $f\colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ называется полунепрерывной сверху на $\mathbb{R}^d$ , если $\varlimsup_{x \to x_0} f(x) \leqslant f(x_0)$ для всех $x_0 \in \mathbb{R}^d$ .

Лемма 3. Пусть $U \subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная звездная область с центром в нуле, $M$ – непустое замкнутое подмножество $\mathbb{R}^d$ . Тогда

функция $d_u(\,\cdot\,, M)$ полунепрерывна сверху на $\mathbb{R}^d$ ;

многозначное отображение $P^u_M$ полунепрерывно сверху на $\mathbb{R}^d$ .

Доказательство. 1) Пусть

$x \in \mathbb{R}^d$ . Докажем, что функция

$d_u(\,\cdot\, , M)$ полунепрерывна сверху в точке

$x$ , т.е. для всякой последовательности

$x_n \to x$ ,

$n\to\infty$ , выполнено неравенство

$\begin{equation*} d_u(x,M) \geqslant \varlimsup_{n \to \infty} d_u(x_n,M) =: r. \end{equation*} \notag$

В противном случае

$d_u(x,M) < r$ , поэтому

$M \cap U(x,r) \neq \varnothing$ . Выберем

$y \in M \cap U(x,r)$ и положим

$z := (y-x)/r \in U$ . Тогда

$y=x+r z$ . Найдем такое

$\varepsilon > 0$ , что

$\begin{equation*} B(x+rz, 4r\varepsilon) \subset U(x,r)=x+r U, \end{equation*} \notag$

положим

$r_n := d_u(x_n,M)$ . Предыдущее включение остается верным при гомотетии и сдвиге, поэтому

$\begin{equation} B(x_n+r_n z, 4 r_n \varepsilon ) \subset (x_n+r_n U )=U(x_n,r_n). \end{equation} \tag{5}$

Возьмем такое

$n$ , что

$\begin{equation*} \| x-x_n\| < r \varepsilon, \qquad |r-r_n| < \min\biggl(\frac{r \varepsilon}{\| z \|+1}, \frac{r}{4}\biggr). \end{equation*} \notag$

Тогда выполнена оценка

$\begin{equation*} \| x+r z -(x_n+r_n z)\| \leqslant \| x-x_n \|+\| (r-r_n)z \| < 2 r \varepsilon, \qquad r_n > \frac{3r}{4}. \end{equation*} \notag$

В силу двух последних неравенств и (5) выполнено включение

$\begin{equation*} B(y, r \varepsilon)=B(x+r z, r \varepsilon) \subset B(x_n+r_n z, 3 r \varepsilon) \subset B(x_n+r_n z, 4 r_n \varepsilon) \subset U(x_n, r_n ). \end{equation*} \notag$

Отсюда

$\begin{equation*} M \cap B(y, r\varepsilon) \subset M \cap U(x_n, r_n )=\varnothing, \end{equation*} \notag$

однако

$y \in M \cap B(y, r \varepsilon)$ , поскольку

$y$ выбирался из множества

$M \cap U(x,r)$ . Следовательно,

$M \cap U(x,r)=\varnothing$ , а значит,

$d_u(x, M) \geqslant r$ . Тем самым первая часть леммы доказана.

2) Докажем, что многозначное отображение $P^u_M$ полунепрерывно сверху в точке $x$ . Для этого достаточно показать, что для всякой последовательности $x_n \to x$ , $n\to\infty$ , и всякой такой последовательности $y_n \in P^u_M(x_n)$ , что $y_n \to y$ , $n\to\infty$ , выполнено $y \in P^u_M(x)$ . Не ограничивая общности будем считать, что $r_{n} := d_u(x_{n}, M) \to r$ (в противном случае можно выбрать соответствующую подпоследовательность из последовательности $y_n$ ). Тогда множества $\overline{U}(x_{n},r_{n})$ стремятся в метрике Хаусдорфа к $\overline{U}(x,r)$ . Поэтому $y \in \overline{U}(x,r)$ . Кроме того, $y \in M$ , поскольку $y_n \in M$ и $M$ замкнуто. С другой стороны, в силу полунепрерывности сверху функции $d_u(\cdot,M)$ имеем $R := d_u(x,M) \geqslant r$ . Следовательно, $y \in \overline{U}(x,R) \cap M$ , т.е. $y \in P^u_M(x)$ .

Лемма доказана.

Из лемм 2 и 3 непосредственно вытекает следующая

Теорема 1. Пусть $U \subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная звездная область с центром в нуле, $M \subset \mathbb{R}^d$ – замкнутое множество, $a, b \in \mathbb{R}^d$ и $r > 0$ таковы, что $a \in B(b,r)$ и $a \notin \operatorname{conv}(\{x\} \cup P^u_M(x))$ для всех $x \in S(b,r)$ . Тогда существует такое $x_* \in \mathbb{R}^d$ , что $a \in \operatorname{conv}(P^u_M(x_*))$ .

При дополнительных условиях на множество $M$ и область $U$ это утверждение можно уточнить.

Теорема 2. Пусть $U \subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная звездная область с центром в нуле, $\partial U$ – $C^1$ -гладкое замкнутое $(d-1)$ -мерное многообразие, $M \subset \mathbb{R}^d$ – компакт. Тогда $\operatorname{ri}(\operatorname{conv} M) \subset \bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x))$ и $\operatorname{conv} M=\overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x))}$ .

Доказательство. 1) Докажем включение

$\operatorname{ri}(\operatorname{conv} M)\,{\subset} \bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x))$ .

Рассмотрим случай $\operatorname{aff} M= \mathbb{R}^d$ . Тогда

$\begin{equation*} \operatorname{ri} (\operatorname{conv} M)=\operatorname{int} (\operatorname{conv} M). \end{equation*} \notag$

Пусть

$a \in \operatorname{ri} (\operatorname{conv} M) \setminus M$ . Найдем элементы

$a_1, \dots, a_\nu \in M$ и число

$\delta \in (0,1)$ , для которых

$\begin{equation} B(a, 3\delta) \subset \operatorname{conv}(\{a_1, \dots, a_\nu\}), \qquad B(a, 3\delta) \cap M=\varnothing. \end{equation} \tag{6}$

Докажем, что существует такой элемент

$x_* \in \mathbb{R}^d$ , что

$a \in \operatorname{conv}(P^u_M(x_*))$ . По теореме 1 для доказательства существования точки

$x_*$ достаточно найти такое

$R > 0$ , что

$\begin{equation*} a \notin \operatorname{conv}(\{x\} \cup P^u_M(x)) \quad \forall\, x \in S(0,R). \end{equation*} \notag$

Пусть

$V \subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная звездная область,

$\partial V$ –

$C^1$ -гладкое замкнутое

$(d-1)$ -мерное многообразие. Для точки

$y \in \partial V$ обозначим через

$N_{\partial V}(y)$ единичный вектор внешней нормали к

$V$ в точке

$y$ . Также введем замкнутое полупространство

$\begin{equation} \Pi_{\partial V}(y, t):= \bigl\{ x \in \mathbb{R}^d\colon \langle x, N_{\partial V}(y)\rangle \leqslant\langle y, N_{\partial V}(y)\rangle-t \bigr\}. \end{equation} \tag{7}$

Диаметр множества

$M$ обозначим

$\begin{equation*} \operatorname{diam}(M)=\sup\{ \| y-y' \|\colon y, y' \in M \}. \end{equation*} \notag$

В силу

$C^1$ -гладкости и компактности

$\partial U$ существует такое

$\lambda_0 > 0$ , что для всех

$\lambda \geqslant \lambda_0$ и всех

$y \in \partial U$ выполнены включения

$\begin{equation} \lambda \overline{U} \cap \overline{B}(\lambda y, \operatorname{diam}(M) ) \subset \Pi_{\lambda \partial U}(\lambda y, -\delta) \cap \overline{B}(\lambda y, \operatorname{diam}(M) ), \end{equation} \tag{8}$

$\begin{equation} \lambda U \cap \overline{B}(\lambda y, \operatorname{diam}(M) ) \supset \Pi_{\lambda \partial U}(\lambda y, \delta) \cap \overline{B}(\lambda y, \operatorname{diam}(M) ). \end{equation} \tag{9}$

Найдем такое

$R > 0$ , что

$\begin{equation} d_u(x,M) \geqslant \lambda_0 \quad \forall\, x \in S(0,R). \end{equation} \tag{10}$

Докажем, что

$\begin{equation*} B(a,\delta) \cap \operatorname{conv}(\{x\} \cup P^u_M(x))=\varnothing \quad \forall\, x \in S(0,R). \end{equation*} \notag$

Предположим противное. Возьмем

$b \in B(a,\delta) \cap \operatorname{conv}(\{x\} \cup P^u_M(x))$ . Найдем такие

$y_1, \dots, y_m \in P^u_M(x)$ , что

$b \in \operatorname{conv}(\{x, y_1, \dots, y_m \})$ и обозначим

$\begin{equation*} U' := U(x, d_u(x,M)). \end{equation*} \notag$

Очевидно, что

$\partial U'$ гомотетично

$\partial U$ и

$y_1, \dots, y_m \in \partial U'$ . Положим

$\begin{equation*} N(y_1) := N_{\partial U'}(y_1), \qquad \Pi(y_1,t) := \Pi_{\partial U'}(y_1, t). \end{equation*} \notag$

Поскольку

$U'$ – звездная область c центром в точке

$x$ , выполнено

$x \in \Pi(y_1, 0)$ и, следовательно,

$x \in \Pi(y_1, -\delta)$ . Подставляя

$\lambda U=U'-x$ ,

$\lambda y=y_1-x$ в соотношения (8), (9) и прибавляя к ним

$x$ , получим

$\begin{equation} \overline{U'} \cap \overline{B}(y_1, \operatorname{diam}(M) ) \subset \Pi(y_1, -\delta) \cap \overline{B}(y_1, \operatorname{diam}(M) ), \end{equation} \tag{11}$

$\begin{equation} U' \cap \overline{B}(y_1, \operatorname{diam}(M) ) \supset \Pi(y_1, \delta) \cap \overline{B}(y_1, \operatorname{diam}(M) ). \end{equation} \tag{12}$

Очевидно, что

$\| y_1-y_i \| \leqslant \operatorname{diam}(M)$ для всех

$i=1, \dots, m$ , поэтому из (11) вытекает

$y_i \in \Pi(y_1,-\delta)$ . Тогда

$\operatorname{conv}\{x, y_1, \dots, y_m\} \subset \Pi(y_1,-\delta)$ , а значит,

$b \in \Pi(y_1,-\delta)$ . Отсюда

$c := b-2\delta N(y_1) \in \Pi(y_1, \delta)$ . Ясно, что

$c \in B(a, 3\delta)$ , поэтому из (6) следует, что какая-то из точек

$a_1, \dots, a_\nu$ также лежит в

$\Pi(y_1,\delta)$ . Не ограничивая общности будем далее считать, что

$a_1 \in \Pi(y_1,\delta)$ . С другой стороны, в силу

$M \subset \overline{B}(y_1, \operatorname{diam}(M))$ из (12) вытекает включение

$\begin{equation*} U' \cap M \supset \Pi(y_1,\delta) \cap M, \end{equation*} \notag$

что невозможно, поскольку

$U' \cap M=\varnothing$ и

$a_1 \in \Pi(y_1,\delta) \cap M$ .

Рассмотрим случай $\operatorname{aff} M \neq \mathbb{R}^d$ . Без ограничения общности будем считать, что $0 \in M$ , т.е. $\operatorname{aff} M= \operatorname{span} M$ . Положим $l:= d-\dim (\operatorname{span} M) > 0$ . Ясно, что найдется такое множество точек $W=\{w_1, \dots, w_l\}$ , где $w_1, \dots, w_l \in \mathbb{R}^d$ , что

$\begin{equation} \operatorname{aff} (M \cup W)=\operatorname{span} (M \cup W)=\mathbb{R}^d. \end{equation} \tag{13}$

Тогда по доказанному ранее для всякой точки

$a \in \operatorname{ri}(\operatorname{conv} M)$ и точки

$\begin{equation} b := \frac{a}{2}+\frac{1}{2l}(w_1+\dots+w_l) \in \operatorname{int}(\operatorname{conv}(M \cup W)) \end{equation} \tag{14}$

существует такое

$x_* \in \mathbb{R}^d$ , что

$\begin{equation*} b \in \operatorname{conv}(P^u_{M \cup W}(x_*)). \end{equation*} \notag$

Следовательно, имеет место представление

$\begin{equation*} b=\lambda y+(1-\lambda)w, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \lambda \in [0,1], \qquad y \in \operatorname{conv}(P^u_{M \cup W}(x_*) \cap M ), \qquad w \in \operatorname{conv}(P^u_{M \cup W}(x_*) \cap W). \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\dim{(\operatorname{span}{M})}+\dim{(\operatorname{span}{W})}=n$ , имеем

$\operatorname{span}{M} \cap \operatorname{span}{W}=\{ 0\}$ . Поэтому из (14) вытекает

$\begin{equation*} \lambda=\frac{1}{2}, \qquad y=a, \qquad w=\frac{w_1+\dots+w_l}{l}. \end{equation*} \notag$

Таким образом,

$\begin{equation*} a \in \operatorname{conv}(P^u_{M \cup W}(x_*) \cap M)=\operatorname{conv}(P^u_{M}(x_*)), \end{equation*} \notag$

что и требовалось доказать.

2) Докажем равенство $\operatorname{conv} M=\overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x))}$ . Поскольку $M$ – компактно, имеем $\operatorname{conv} M=\overline{\operatorname{ri}(\operatorname{conv} M)} \subset \overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x))}$ . Ясно, что выполнено и обратное включение, поскольку $\operatorname{conv}(P^u_M(x) ) \subset \operatorname{conv} M$ для всех $x \in \mathbb{R}^d$ .

Теорема 2 доказана.

Замечание 1. В условиях теоремы 2 для всякого $d \geqslant 2$ существует такой компакт $M \subset \mathbb{R}^d$ , что $\operatorname{conv} M \neq \bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x))$ .

Доказательство. Возьмем в качестве

$U$ евклидов шар

$B(0,1)$ пространства

$\mathbb{R}^d$ . Пусть

$e_1, \dots, e_d$ – ортонормированный базис

$\mathbb{R}^d$ ,

$M=\overline{B}(e_2,1) \cup \overline{B}(-e_2,1)$ . Тогда

$P^u_M$ – это метрическая проекция

$P_M$ в евклидовом пространстве

$\mathbb{R}^d$ . Ясно, что

$(e_1 \pm e_2) \in M$ , поэтому

$e_1 \in \operatorname{conv} M$ . Нетрудно видеть, что если

$e_1 \in \operatorname{conv}(P_M(x))$ , то

$P_M(x)=\{e_1+e_2, e_1-e_2 \}$ . Тогда шар

$\overline{B}(x, \| x-e_2\|-1)$ касается шаров

$\overline{B}(e_2,1)$ и

$\overline{B}(-e_2,1)$ в точках

$e_1+e_2$ и

$e_1-e_2$ соответственно. Поэтому через каждую тройку точек

$\{e_2, e_1+e_2, x\}$ ,

$\{-e_2, e_1-e_2, x\}$ проходит прямая (здесь существенно то, что пространство

$\mathbb{R}^d$ евклидово). Эти прямые, очевидно, пересекаются в точке

$x$ . С другой стороны, прямые, проходящие через пары точек

$\{e_2, e_1+e_2 \}$ и

$\{-e_2, e_1 -e_2 \}$ , параллельны. Противоречие.

Доказательство завершено.

Следствие 1. Пусть $U \subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная звездная область с центром в нуле, $\partial U$ – $C^1$ -гладкое замкнутое $(d-1)$ -мерное многообразие и $M \subset \mathbb{R}^d$ – компакт. Если $|P^u_M(x)| \leqslant k$ для всех $x \in \mathbb{R}^d$ , то $\operatorname{conv} M=\operatorname{conv}_k M$ .

Доказательство. По теореме 2 имеем

$\begin{equation*} \operatorname{ri} (\operatorname{conv} M) \subset \bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv} ( P^u_M(x) ), \end{equation*} \notag$

поэтому в силу

$|P^u_M(x)| \leqslant k$ выполнены включения

$\begin{equation*} \overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\operatorname{ri} (\operatorname{conv} M)} \subset \overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv} ( P^u_M(x) )} \subset \overline{\operatorname{conv}_k M}. \end{equation*} \notag$

Обратное включение очевидно. Таким образом, доказано, что $\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\operatorname{conv}_k M}$ . Поскольку множество $M$ компактно, множества $\operatorname{conv} M$ и $\operatorname{conv}_k M$ замкнуты, поэтому $\operatorname{conv} M=\operatorname{conv}_k M$ .

Следствие доказано.

§ 4. Результаты для выпуклых областей

Пусть $U$ – ограниченная выпуклая область в банаховом пространстве $X$ , $0 \in U$ , $p_u$ – функционал Минковского $U$ . Ясно, что существуют такие $c_1$ , $c_2 > 0$ , для которых

$\begin{equation*} c_1 \| x \| \leqslant p_u(x) \leqslant c_2 \| x \| \quad \forall x \in X. \end{equation*} \notag$

Напомним (см. [26; § 2.4.7]), что выпуклая область называется

$U$ называется гладкой, если функционал Минковского

$p_u$ дифференцируем по Гато на множестве

$X \setminus \{ 0 \}$ , т.е. для всякого

$x \in X \setminus \{ 0 \}$ найдется такой непрерывный линейный функционал

$p'_u(x;\cdot) \in X^*$ , что для всех

$h \in X$ существует предел

$\begin{equation} \lim_{t \to 0}\frac{p_u(x+th)-p_u(x)}{t}=p'_u(x;h). \end{equation} \tag{15}$

Модуль гладкости выпуклого тела

$U$ определяется как

$\begin{equation*} \omega_u(t)=\sup\biggl\{ \frac{1}{2}(p_u(x+y)+p_u(x-y)-2)\colon x \in \partial U, \, y \in X, \, p_u(y)=t \biggr\}. \end{equation*} \notag$

Выпуклое тело

$U$ называется равномерно гладким, если его функционал Минковского

$p_u$ равномерно дифференцируем по Фреше на

$U$ , т.е. (15) выполняется равномерно по всем

$x \in \partial U$ ,

$h \in U$ . Известно (см. [26; § 2.4.7]), что модуль гладкости равномерно гладкого тела

$U$ удовлетворяет

$\omega_u(t)=o(t)$ при

$t \searrow 0$ . Пусть

$x \in \partial U$ и

$\Pi_x$ – опорная гиперплоскость к

$U$ в точке

$x$ . Тогда

$p_u(x+y)-1 \geqslant 0$ ,

$p_u(x-y)-1 \geqslant 0$ для всех

$y \in \Pi_x-x$ , поэтому

$\begin{equation} \sigma(t) := \sup\bigl\{ p_u(x+y)-1\colon x \in \partial U, \, y \in \Pi_x-x, \, p_u(y) \leqslant t \bigr\}=o(t), \qquad t \to 0. \end{equation} \tag{16}$

Для

$x \in \partial U$ пусть

$f_x \in S_{X^*}$ – опорный функционал к

$U$ в точке

$x$ . Докажем, что для всякого

$\varepsilon \in (0,c_1)$ существует такое положительное

$\delta=o(\varepsilon)$ ,

$\varepsilon \searrow 0$ , что выполнено включение

$\begin{equation} \bigl\{ z \in X\colon f_x(z) \leqslant f_x(x)-\delta \bigr\} \cap \overline{B}(x, \varepsilon) \subset U \cap \overline{B}(x, \varepsilon) \quad \forall\, x \in \partial U. \end{equation} \tag{17}$

Пусть

$\varepsilon > 0$ ,

$\delta > 0$ – некоторые числа. Представим любой такой элемент

$z \in B(x, \varepsilon)$ , что

$f_x(z) \leqslant f_x(x)-\delta$ , в виде

$\begin{equation*} z=(1-\tau)x+y, \qquad \tau \geqslant \frac{\delta}{f_x(x)}, \quad y \in (\Pi_x-x). \end{equation*} \notag$

Тогда в силу (16) выполнено

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, p_u(z)=p_u((1-\tau)x+y)=(1-\tau) p_u\biggl(x+\frac{y}{1-\tau}\biggr) \leqslant 1-\tau+ \sigma(p_u(y)), \\ \tau=\tau p_u(x) \leqslant \tau p_u\biggl(x-\frac{y}{\tau}\biggr)=p_u(\tau x-y)=p_u(x-z) \leqslant c_2 \| x-z \| \leqslant c_2 \varepsilon. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Поскольку

$z \in B(x, \varepsilon)$ , имеем

$\| y \| \leqslant \| z-x\|+\tau \| x \| \leqslant \varepsilon+\tau/ c_1$ , а следовательно,

$\begin{equation} p_u(y) \leqslant c_2 \| y \| \leqslant c_2 \varepsilon+\tau \frac{c_2}{c_1} \leqslant \biggl(c_2+\frac{c_2^2}{c_1}\biggr) \varepsilon =: C \varepsilon. \end{equation} \tag{18}$

Ясно, что для всякого

$\varepsilon > 0$ можно выбрать

$\delta=\delta(\varepsilon) > 0$ так, чтобы

$c_1 \delta > \sigma(C \varepsilon)$ и

$\delta=o(\varepsilon)$ ,

$\varepsilon \searrow 0$ . Тогда в силу (18) и

$f_x(x) \leqslant \| x \| \leqslant 1/c_1$ для

$\delta= \delta(\varepsilon)$ имеем

$\begin{equation*} p_u(z) \leqslant 1-\tau+\sigma(p_u(y)) \leqslant 1-\frac{\delta}{f_x(x)}+\sigma(C\varepsilon) \leqslant 1-c_1 \delta+\sigma(C \varepsilon) < 1, \end{equation*} \notag$

а следовательно,

$z \in U$ . Тем самым (17) доказано.

Отметим, что в конечномерном пространстве всякое гладкое выпуклое тело является равномерно гладким.

Теорема 3. Пусть $U \subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная гладкая выпуклая область, $0 \in U$ , множество $M \subset \mathbb{R}^d$ замкнуто. Тогда выполнено

$\begin{equation*} \operatorname{ri}(\operatorname{conv} M) \subset \bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x)) \quad\textit{и}\quad \overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x))}. \end{equation*} \notag$

Доказательство. 1) Докажем включение

$\operatorname{ri}(\operatorname{conv} M)\,{\subset} \bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P_M(x))$ . Рассмотрим случай

$\operatorname{aff} M= \mathbb{R}^d$ . Тогда

$\begin{equation*} \operatorname{ri} (\operatorname{conv} M)=\operatorname{int} (\operatorname{conv} M). \end{equation*} \notag$

Пусть

$a \in \operatorname{ri} (\operatorname{conv} M) \setminus M$ . Найдем такие элементы

$a_1, \dots, a_\nu \in M$ и число

$\delta \in (0,1)$ , для которых

$\begin{equation} B(a, 2\delta) \subset \operatorname{conv}(\{a_1, \dots a_\nu\}), \qquad B(a, 2\delta) \cap M=\varnothing. \end{equation} \tag{19}$

Докажем, что существует такой элемент

$x_* \in \mathbb{R}^d$ , что

$a \in \operatorname{conv}(P_M(x_*))$ . По лемме 3 отображение

$P_M^u$ полунепрерывно сверху. Поэтому из теоремы 1 вытекает, что для доказательства существования точки

$x_*$ достаточно найти такое

$R > 0$ , что

$\begin{equation*} a \notin \operatorname{conv}(\{x, P_M^u(x)\}) \quad \forall\, x \in S(0,R). \end{equation*} \notag$

Положим

$R_a :=\max_{i=1, \dots, \nu}\| a-a_i \|$ . Далее мы будем пользоваться обозначениями единичного вектора внешней нормали

$N_{\partial V}(y)$ и полупространства

$\Pi_Y(y,t)$ , введенные в доказательстве теоремы 2 (см. (7)). В силу равномерной гладкости

$U$ выполнено (17), поэтому найдется такое

$\lambda_0 > 0$ , что для всех

$\lambda \geqslant \lambda_0$ и всех

$y \in \lambda \partial U$

$\begin{equation} \Pi_{\lambda \partial U}(y, \delta) \cap \overline{B}(y, R_a +1 ) \subset U(0,\lambda) \cap \overline{B}(y, R_a +1 ). \end{equation} \tag{20}$

Возьмем

$R > 0$ так, чтобы

$\begin{equation*} p_u( a-x) > \lambda_0+\sup_{z \in B(a,\delta)} p_u(a-z) \quad \forall\, x \in S(0,R) \end{equation*} \notag$

и докажем, что

$\begin{equation} B(a, \delta) \cap \overline{U}(x, d_u(x,M))=\varnothing \quad \forall\, x \in S(0,R). \end{equation} \tag{21}$

Предположим противное. Пусть

$b \in B(a,\delta) \cap \overline{U}(x, d_u(x,M))$ . Ясно, что тогда

$U(x, p_u(b-x)) \cap M=\varnothing$ . Положим

$U' := U(x, p_u(b-x))$ . Поскольку

$\begin{equation*} p_u(b-x) \geqslant p_u( a-x)-p_u(a-b) > \lambda_0, \end{equation*} \notag$

из (20) следует включение

$\begin{equation*} \Pi_{\partial U'} (b, \delta) \cap \overline{B}(b,R_a +1) \subset U' \cap \overline{B}(b, R_a +1). \end{equation*} \notag$

Ясно, что

$\overline{B}(a,R_a) \subset \overline{B}(b, R_a+1)$ , поэтому

$\begin{equation} \Pi_{\partial U'} (b, \delta) \cap \overline{B}(a,R_a) \subset U' \cap \overline{B}(a, R_a). \end{equation} \tag{22}$

Положим

$c := b-\delta N_{\partial U'}(b) \in \Pi_{\partial U'}(b,\delta)$ . Поскольку

$b \in B(a,\delta)$ , имеем

$\begin{equation*} c \in B(a,2\delta) \subset \operatorname{conv}( \{a_1, \dots, a_\nu\}), \end{equation*} \notag$

а значит, вместе с точкой

$c$ в полупространстве

$\Pi_{\partial U'} (b, \delta)$ лежит одна из точек

$a_1, \dots, a_\nu$ . Не ограничивая общности будем считать, что

$a_1 \in \Pi_{\partial U'} (b, \delta)$ . Из определения

$R_a$ ясно, что

$a_1 \in \overline{B}(a,R_a)$ . Поэтому

$\begin{equation} a_1 \in \Pi_{\partial U'} (b, \delta) \cap \overline{B}(a,R_a). \end{equation} \tag{23}$

С другой стороны,

$a_1 \in M$ , поэтому

$a_1 \notin U'$ и следовательно

$\begin{equation} a_1 \notin U' \cap \overline{B}(a, R_a). \end{equation} \tag{24}$

Очевидно, что (23) и (24) противоречат включению (22). Таким образом, соотношение (21) доказано. Поэтому

$B(a,\delta) \cap \operatorname{conv}( \{ x\} \cup P_M^u(x) )=\varnothing$ для всех

$x \in S(0,R)$ . Тем самым случай

$\operatorname{aff} M=\mathbb{R}^d$ доказан.

Случай $\operatorname{aff} M \neq \mathbb{R}^d$ сводится к случаю $\operatorname{aff} M=\mathbb{R}^d$ так же, как в теореме 2.

2) Докажем, что $\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P_M^u(x))}$ . В силу $1)$ выполнено включение $\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\operatorname{ri}(\operatorname{conv} M)} \subset \overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x))}$ . Очевидно, что выполнено и обратное включение, поскольку $\operatorname{conv}(P^u_M(x) ) \subset \operatorname{conv} M$ для всех $x \in \mathbb{R}^d$ .

Теорема доказана.

Замечание 2. Для замкнутого неограниченного множества $M$ в общем случае $\operatorname{conv} M \neq \overline{\operatorname{conv} M}$ , а значит, $\operatorname{conv} M \neq \overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P^u_M(x))}$ в отличие от теоремы 2.

Следствие 2. Пусть $U \subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная гладкая выпуклая область, множество $M \subset \mathbb{R}^d$ замкнуто. Если метрическая проекция $P^u_M$ не более чем $k$ -значна, то $\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\operatorname{conv}_k M}$ .

Доказательство аналогично доказательству следствия 1.

§ 5. Бесконечномерные результаты

Теорема 4. Пусть $X$ – банахово пространство, $U \subset X$ – ограниченная равномерно гладкая выпуклая область и $M \subset X$ ограниченно компактно. Тогда $\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P^u_M(x))}$ .

Доказательство. Обозначим

$p_u$ функционал Минковского множества

$U$ . Зафиксируем такие положительные числа

$c_1$ ,

$c_2$ ,

$c_1 < c_2$ , что

$\begin{equation} c_1 \| x \| \leqslant p_u(x) \leqslant c_2 \| x \| \quad \forall x \in X. \end{equation} \tag{25}$

Без ограничения общности будем считать, что

$c_2=1$ (иначе заменим норму

$\| \cdot \|$ на

$c_1 \| \cdot \|$ ). Пусть

$a_1, \dots, a_\nu \in M$ ,

$A := \{a_1, \dots, a_\nu\}$ и

$a \in \operatorname{ri}(\operatorname{conv} A)$ . Докажем, что

$a$ можно приблизить элементами

$\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P^u_M(x))$ с любой точностью. Для

$Y \subset X$ и

$t > 0$ введем обозначения

$\begin{equation} Y_t := \bigl\{x \in X\colon d(x, Y) \leqslant t \bigr\}, \quad Y^u_t := \bigl\{x \in X\colon d_u(x, Y) \leqslant t \bigr\}. \end{equation} \tag{26}$

Зафиксируем

$\varepsilon \in (0,1/2)$ . В силу равномерной гладкости

$U$ выполнено (17), поэтому найдется такое

$\lambda_0 > 0$ , что для всех

$\lambda \geqslant \lambda_0$ , всех

$y \in \lambda \partial U$ и опорного функционала

$f_y \in S_{X^*}$ к

$\lambda U$ в точке

$y$ имеет место включение

$\begin{equation} \bigl\{z\,{\in}\, X\colon f_y(z) \,{\leqslant}\, f_y(y)-\varepsilon \bigr\} \cap \overline{B}(y, \operatorname{diam}(A)+1) \,{\subset}\, U(0,\lambda) \cap \overline{B}(y, \operatorname{diam}(A)+1). \end{equation} \tag{27}$

Найдем такое

$r > 0$ , что

$\begin{equation*} d_u(x, A_{2\varepsilon} \cup \{ a \}) \geqslant \lambda_0 \quad \forall\, x \in X \setminus B(0, r) \end{equation*} \notag$

и докажем, что

$\begin{equation} a \notin \overline{U}(x, d_u(x,A_{2\varepsilon})) \quad \forall\, x \in X \setminus B(0,r). \end{equation} \tag{28}$

Предположим противное. Тогда

$\begin{equation} U(x, p_u(a-x)) \subset U(x, d_u(x, A_{2\varepsilon})). \end{equation} \tag{29}$

Обозначим

$f_a$ нормированный опорный функционал к области

$\overline{U}(x, p_u(a-x))$ в точке

$a$ . Для

$t \in \mathbb{R}$ положим

$\begin{equation*} \Pi(a, t)=\bigl\{z \in X\colon f_a(z) \leqslant f_a(a)-t \bigr\}. \end{equation*} \notag$

Тогда в силу (27) имеем

$\begin{equation} \Pi(a, \varepsilon) \cap \overline{B}(a, \operatorname{diam}(A)+1) \subset U(x, p_u(a-x)) \cap \overline{B}(a, \operatorname{diam}(A)+ 1). \end{equation} \tag{30}$

Ясно, что одна из точек множества

$A$ также лежит в полупространстве

$\Pi(a, 0)$ . Не ограничивая общности будем считать, что

$a_1 \in \Pi(a, 0)$ , т.е.

$f_a(a_1) \leqslant f_a(a)$ . Тогда существует

$b_1 \in B(a_1, 2\varepsilon)$ , что

$f_a(b_1) \leqslant f_a(a)-\varepsilon$ . Поскольку

$\begin{equation*} \| b_1-a\| \leqslant \| b_1-a_1\|+\| a_1-a \| \leqslant 2\varepsilon+\operatorname{diam}(A) < 1+\operatorname{diam}(A), \end{equation*} \notag$

имеем

$b_1 \in \Pi(a, \varepsilon) \cap \overline{B}(a, \operatorname{diam}(A)+1)$ . С другой стороны,

$b_1 \notin U(x, p_u(a-x))$ , поскольку

$A_{2\varepsilon} \cap U(x, p_u(a-x))= \varnothing$ в силу включения (29). Существование такой точки

$b_1$ противоречит включению (30). Тем самым соотношение (28) доказано. Поскольку

$c_2=1$ , из определения (26) получаем

$A_{2\varepsilon} \subset A_{2c_2\varepsilon}^u= A_{2\varepsilon}^u$ . Поэтому из (28) следует, что

$\begin{equation} a \notin \overline{U}(x, d_u(x,A^u_{2\varepsilon})) \quad \forall\, x \in X \setminus B(0,r). \end{equation} \tag{31}$

Далее, из определения

$P_M^u$ ясно, что существует конечный супремум

$\begin{equation} \sup\bigl\{ \| y \|\colon y \in P_M^u(x), \,\| x \| \leqslant r \bigr\} =: R. \end{equation} \tag{32}$

Поскольку

$M$ ограниченно компактно, существует

$\varepsilon$ -сеть

$x_1, \dots, x_m \in X$ множества

$\overline{B}(0, R) \cap M$ . Положим

$L := \operatorname{span}\{x_1, \dots, x_m\}$ . Для

$x \in L$ обозначим

$\begin{equation*} D(x) := \overline{U}(x, d_u(x,M^u_{2\varepsilon})) \cap L \end{equation*} \notag$

и рассмотрим многозначное отображение

$\begin{equation*} \Phi\colon L \to 2^L \setminus \{\varnothing\}, \qquad x \mapsto P^u_{D(x)} \circ P_M^u(x). \end{equation*} \notag$

Докажем, что отображение

$\Phi$ полунепрерывно сверху. Для этого достаточно показать, что для всякой последовательности

$x_n \to x$ ,

$n\to\infty$ , и всякой последовательности

$z_n \to z$ ,

$n\to\infty$ , где

$z_n \in \Phi(x_n)$ , выполнено

$z \in \Phi(x)$ . По определению отображения

$\Phi$ найдутся такие

$y_n \in M$ , что

$\begin{equation*} y_n \in P_M^u(x_n), \qquad z_n \in P^u_{D(x_n)}(y_n). \end{equation*} \notag$

Не ограничивая общности можно считать, что

$y_n \to y$ ,

$n\to\infty$ (иначе можно перейти к соответствующей подпоследовательности), причем

$y \in P^u_M(x)$ , поскольку отображение

$P_M^u$ полунепрерывно сверху. Так как функция

$d_u(\, \cdot \,, M^u_{2\varepsilon})$ непрерывна на

$X$ , множества

$D(x_n)$ стремятся к

$D(x)$ в метрике Хаусдорфа. Следовательно,

$\begin{equation*} z \in D(x), \qquad p_u(z_n-y_n)=d_u(y_n, D(x_n)) \to d_u(y,D(x)),\qquad n\to\infty. \end{equation*} \notag$

С другой стороны,

$p_u(z_n-y_n) \to p_u(z-y)$ ,

$n\to\infty$ , поэтому

$z \in P^u_{D(x)}(y)$ , а значит,

$z \in \Phi(x)$ , что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь отображение

$\begin{equation*} F\colon L \to \operatorname{Conv}(L), \qquad x \mapsto \operatorname{conv} \Phi(x). \end{equation*} \notag$

Оно полунепрерывно сверху, поскольку отображение

$\Phi$ полунепрерывно сверху. Заметим, что для всех

$x \in L$

$\begin{equation*} \operatorname{conv}( \{ x\} \cup F(x)) \subset D(x)=\overline{U}(x, d_u(x, M^u_{2\varepsilon})) \cap L \subset \overline{U}(x, d_u(x, A^u_{2\varepsilon})), \end{equation*} \notag$

поэтому в силу (31) имеем

$\begin{equation*} a \notin \operatorname{conv}( \{ x\} \cup F(x)) \qquad \forall\, x \in L \setminus B(0,r). \end{equation*} \notag$

Отсюда по лемме 2 существует такая точка

$x_* \in L \cap \overline{B}(0,r)$ , что

$\begin{equation*} a \in F(x_*)=\operatorname{conv} \Phi(x_*). \end{equation*} \notag$

Выберем такие

$z_1, \dots, z_n \in \Phi(x_*)$ и такие

$\lambda_i \geqslant 0$ ,

$i=1,\dots,n$ ,

$\sum_{i=1}^n{\lambda_i}=1$ , что

$a=\sum_{i=1}^n \lambda_i z_i$ . Поскольку

$\Phi(x_*)=P^u_{D(x_*)} \circ P_M^u(x_*)$ , можно найти такие

$y_i \in P_M^u(x_*)$ , что

$z_i \in P^u_{D(x_*)}(y_i)$ .

Для всякого $i \in 1, \dots, n$ и всяких $z \in D(x_*)$ , $\widetilde{z}_i \in P^u_L(y_i)$ выполнено

$\begin{equation} p_u(z_i-y_i) \leqslant p_u(z-y_i) \leqslant p_u(z-\widetilde{z}_i)+p_u(\widetilde{z}_i-y_i). \end{equation} \tag{33}$

Ясно, что

$\begin{equation} p_u(\widetilde{z}_i-y_i)=d_u(y_i, L) \leqslant c_2 d(y_i, L)=d(y_i, L) \leqslant \varepsilon, \end{equation} \tag{34}$

поскольку

$y_i \in M \cap B(0,R)$ в силу (32), а пространство

$L$ содержит

$\varepsilon$ -сеть множества

$M \cap B(0,R)$ . Предположим, что

$\widetilde{z}_i \notin D(x_*)$ , т.е.

$p_u( \widetilde{z}_i-x_*) > d_u(x_*, M_{2\varepsilon}^u)$ . Тогда при

$\begin{equation*} z=x_*+d_u(x_*,M^u_{2\varepsilon})\frac{\widetilde{z}_i-x_*}{p_u(\widetilde{z}_i-x_*)} \end{equation*} \notag$

имеет место оценка

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, p_u(\widetilde{z}_i-z) &=p_u(\widetilde{z}_i-x_*)-p_u(z-x_*)= p_u(\widetilde{z}_i-x_*)-d_u(x_*, M^u_{2\varepsilon}) \\ &\leqslant p_u(\widetilde{z}_i-y_i)+p_u( y_i-x_*)-d_u(x_*,M^u_{2\varepsilon}) \\ &\leqslant \varepsilon+d_u(x_*, M)-d_u(x_*, M^u_{2\varepsilon}) \leqslant 3\varepsilon. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation} p_u(z-\widetilde{z}_i) \leqslant c_2\| z- \widetilde{z}_i\|=c_2\| \widetilde{z}_i-z \| \leqslant \frac{c_2}{c_1}p_u(\widetilde{z}_i- z) \leqslant \frac{3 \varepsilon}{c_1}. \end{equation} \tag{35}$

Поэтому из неравенств (33)–(35) следует, что

$\begin{equation*} \| z_i-y_i\| \leqslant \frac{p_u(z_i-y_i)}{c_1} \leqslant \frac{p_u(z- \widetilde{z}_i)}{c_1}+\frac{p_u(\widetilde{z}_i-y_i)}{c_1} \leqslant \frac{3\varepsilon}{c_1^2}+\frac{\varepsilon}{c_1} \leqslant \frac{4\varepsilon}{c_1^2}. \end{equation*} \notag$

Если

$\widetilde{z}_i \in D(x_*)$ , то

$\begin{equation*} p_u(z_i-y_i) =p_u(\widetilde{z}_i-y_i) \leqslant \varepsilon \quad \Longrightarrow \quad \| z_i-y_i \| \leqslant p_u(z_i-y_i) \leqslant \frac{\varepsilon}{c_1} < \frac{4\varepsilon}{c_1^2}. \end{equation*} \notag$

Таким образом, при

$b=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i \in \operatorname{conv} P_M^u(x_*)$ имеем

$\begin{equation*} \| a-b\|=\biggl\| \sum_{i=1}^n \lambda_i (z_i-y_i)\biggr\| < \frac{4\varepsilon}{c_1^2} \sum_{i=1}^n \lambda_i=\frac{4\varepsilon}{c_1^2}. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\varepsilon$ можно выбрать сколь угодно малым,

$a \in \overline{\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P_M^u(x))}$ и, следовательно,

$\operatorname{conv} M \subset \overline{\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P_M^u(x))}$ . Обратное включение

$\overline{\operatorname{conv} M} \supset \overline{\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P_M^u(x))}$ очевидно.

Теорема 4 доказана.

Следствие 3. Пусть $X$ – банахово пространство, $U \subset X$ – ограниченная равномерно гладкая выпуклая область, $M \subset X$ – компакт с не более чем $k$ -значной метрической проекцией $P_M^u$ . Тогда $\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\operatorname{conv}_k M}$ .

Доказательство. По теореме 4 выполнено

$\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P^u_M(x))} \subset \overline{\operatorname{conv}_k M}$ . Обратное включение

$\overline{\operatorname{conv}_k M} \subset \overline{\operatorname{conv} M}$ очевидно.

Следствие доказано.

Теорема 5. Пусть $X$ – банахово пространство, $U \subset X$ – ограниченная гладкая выпуклая область, $M \subset X$ – компакт.

Тогда $\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P_M^u(x))}$ .

Доказательство. Обозначим

$p_u$ функционал Минковского множества

$U$ . Зафиксируем положительные числа

$c_1$ ,

$c_2$ ,

$c_1 < c_2$ из (25). Без ограничения общности можно считать, что

$c_2 < 1$ . Пусть

$a_1, \dots, a_\nu \in M$ ,

$A := \{a_1, \dots, a_\nu\}$ и

$a\,{\in} \operatorname{ri}(\operatorname{conv} A)$ . Докажем, что можно приблизить

$a$ элементами

$\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P_M^u(x))$ с любой точностью. Поскольку

$M$ компактно, существует

$\varepsilon$ -сеть

$x_1, \dots, x_m \in X$ множества

$M$ . Положим

$\begin{equation*} L := \operatorname{span}( A \cup \{x_1, \dots, x_m\}). \end{equation*} \notag$

Ясно, что

$V := U \cap L$ – равномерно гладкая выпуклая область в

$L$ , поэтому из доказательства теоремы 4 вытекает существование такого

$r > 0$ , что

$\begin{equation*} a \notin \overline{V}(x, d_u(x,A_{2\varepsilon}^u)) \quad \forall\, x \in L \setminus B(0,r) \end{equation*} \notag$

(см. (31) и выше). Для

$x \in L$ обозначим

$\begin{equation*} D(x) := \overline{B}(x, d_u(x,M_{2\varepsilon}^u)) \cap L \end{equation*} \notag$

и рассмотрим многозначное отображение

$\begin{equation*} \Phi\colon L \to 2^L \setminus \{ \varnothing \}, \qquad x \mapsto P^u_{D(x)} \circ P_M^u(x). \end{equation*} \notag$

Так же, как в теореме 4, доказывается существование таких

$x_* \in B(0,r) \cap L$ и

$b \in \operatorname{conv} P_M^u(x_*)$ , что

$\| a- b\| < 4\varepsilon/c_1^2$ . Отсюда следует, что

$\overline{\operatorname{conv} M} \subset \overline{\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P_M^u(x))}$ . Обратное включение

$\overline{\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P_M^u(x))} \subset \overline{\operatorname{conv} M}$ очевидно.

Теорема доказана.

Следствие 4. Пусть $X$ – банахово пространство, $U \subset X$ – гладкая выпуклая область, $M \subset X$ – компакт.

Если метрическая проекция $P^u_M$ не более чем $k$ -значна, то $\overline{\operatorname{conv} M}=\operatorname{conv} M=\operatorname{conv}_k M$ .

Если $\operatorname{conv} M$ не замкнута, то для всякого $k$ найдется такой элемент $x_k \in X$ , что $|P_M^u(x_k)| \geqslant k$ .

Доказательство. 1) По предыдущей теореме

$\begin{equation*} \overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\bigcup_{x \in X}\operatorname{conv}(P^u_M(x))} \subset \overline{\operatorname{conv}_k M}. \end{equation*} \notag$

Докажем, что множество

$\operatorname{conv}_k M$ замкнуто. Действительно, если

$x_n\,{\in} \operatorname{conv}_k M$ ,

$x_n \to x$ ,

$n\to\infty$ , то для всякого натурального

$n$ существуют такие

$y_{n}^i \in M$ (некоторые из них могут повторяться) и

$\lambda_n^{i} \geqslant 0$ , где

$i=1, \dots, k$ , что

$\begin{equation*} x_n=\sum_{i=1}^k \lambda_n^{i} y_n^{i}, \qquad \sum_{i=1}^k \lambda_n^{i}=1. \end{equation*} \notag$

Тогда в силу компактности

$M$ существует такая возрастающая подпоследовательность индексов

$\{n_j\}_{j=1}^\infty \subset \mathbb{N}$ , что

$y_{n_j}^{i} \to y^{i}$ ,

$\lambda_{n_j}^{i} \to \lambda^i$ ,

$j \to \infty$ , для всех

$i=1, \dots, k$ . Очевидно, что

$x=\sum_{i=1}^k \lambda^i y^i \in \operatorname{conv}_k M$ , поэтому множество

$\operatorname{conv}_k M$ замкнуто. Тогда

$\overline{\operatorname{conv} M} \subset \operatorname{conv}_k M$ . Включение

$\operatorname{conv}_k M \subset \operatorname{conv} M$ очевидно. Из последних двух включений вытекает равенство

$\overline{\operatorname{conv} M}=\operatorname{conv} M= \operatorname{conv}_k M$ .

2) Непосредственно вытекает из 1).

Следствие доказано.

§ 6. Результаты для шаров в банаховых пространствах

Если в банаховом пространстве $X$ взять в качестве тела $U$ единичный шар $B(0,1)$ , отображение $P_M^u$ станет обычной метрической проекцией $P_M$ . Поэтому из теорем 3–5 непосредственно вытекает

Теорема 6. Пусть $X$ – банахово пространство, $M \subset X$ . Тогда справедливы следующие утверждения.

Если $X$ – гладкое конечномерное пространство, $M$ – ограниченно компактное множество, то $\operatorname{ri}(\operatorname{conv} M) \subset \bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P_M(x))$ .

Если $X$ – равномерно гладкое пространство, $M$ – ограниченно компактное множество, то $\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P_M(x))}$ .

Если $X$ – гладкое пространство, $M$ – компакт, то выполнено $\overline{\operatorname{conv} M}=\overline{\bigcup_{x \in \mathbb{R}^d} \operatorname{conv}(P_M(x))}$ .

Разумеется, подобные следствия можно также вывести из всех остальных теорем и следствий из § 4 и § 5.

Автор выражает благодарность П. А. Бородину за постановку задачи и ценные замечания, а также А. Р. Алимову и И. Г. Царькову за обсуждение полученных результатов.



Список литературы

1.	Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Некоторые свойства чебышевских множеств”, Докл. АН СССР, 118:1 (1958), 17–19
2.	V. L. Klee, Jr., “A characterization of convex sets”, Amer. Math. Monthly, 56:4 (1949), 247–249
3.	V. L. Klee, “Convex bodies and periodic homeomorphisms in Hilbert space”, Trans. Amer. Maths. Soc., 74 (1953), 10–43
4.	В. И. Бердышев, “К вопросу о чебышёвских множествах”, Докл. АзССР, 22:9 (1966), 3–5
5.	A. Brøndsted, “Convex sets and Chebyshev sets. II”, Math. Scand., 18 (1966), 5–15
6.	A. L. Brown, “Chebyshev sets and the shapes of convex bodies”, Methods of functional analysis in approximation theory (Bombay, 1985), Internat. Schriftenreihe Numer. Math., 76, Birkhäuser, Basel, 1986, 97–121
7.	A. L. Brown, “Chebyshev sets and facial systems of convex sets in finite-dimensional spaces”, Proc. London Math. Soc. (3), 41:2 (1980), 297–339
8.	Л. П. Власов, “Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах”, УМН, 28:6(174) (1973), 3–66 ; англ. пер.: L. P. Vlasov, “Approximative properties of sets in normed linear spaces”, Russian Math. Surveys, 28:6 (1973), 1–66
9.	В. С. Балаганский, Л. П. Власов, “Проблема выпуклости чебышевских множеств”, УМН, 51:6(312) (1996), 125–188 ; англ. пер.: V. S. Balaganskii, L. P. Vlasov, “The problem of convexity of Chebyshev sets”, Russian Math. Surveys, 51:6 (1996), 1127–1190
10.	И. Г. Царьков, “Ограниченные чебышевские множества в конечномерных банаховых пространствах”, Матем. заметки, 36:1 (1984), 73–87 ; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Bounded Chebyshev sets in finite-dimensional Banach spaces”, Math. Notes, 36:1 (1984), 530–537
11.	И. Г. Царьков, “Компактные и слабо компактные чебышевские множества в линейных нормированных пространствах”, Сборник трудов Всесоюзной школы по теории функций (Душанбе, 1986), Тр. МИАН СССР, 189, Наука, М., 1989, 169–184 ; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Compact and weakly compact Tchebysheff sets in normed linear spaces”, Proc. Steklov Inst. Math., 189 (1990), 199–215
12.	А. Р. Алимов, “Всякое ли чебышёвское множество выпукло?”, Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 155–172
13.	А. Р. Алимов, “О структуре дополнения к чебышёвским множествам”, Функц. анализ и его прил., 35:3 (2001), 19–27 ; англ. пер.: A. R. Alimov, “On the structure of the complements of Chebyshev sets”, Funct. Anal. Appl., 35:3 (2001), 176–182
14.	L. N. H. Bunt, Bijdrage tot de theorie der convexe puntverzamelingen, Proefschrifft Groningen, Noord-Hollandsche Uitgevers Maatschappij, Amsterdam, 1934, 108 pp.
15.	H. Mann, “Untersuchungen über Wabenzellen bei allgemeiner Minkowskischer Metrik”, Monatsh. Math. Phys., 42:1 (1935), 417–424
16.	T. Motzkin, “Sur quelques propriétés caractéristiques des ensembles convexes”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. (6), 21 (1935), 562–567
17.	T. Motzkin, “Sur quelques propriétés caractéristiques des ensembles bornés non convexes”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. (6), 21 (1935), 773–779
18.	C. Carathéodory, “Über den Variabilitätsbereich der Fourier'schen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 32 (1911), 193–217
19.	W. Fenchel, “Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven”, Math. Ann., 101:1 (1929), 238–252
20.	I. Bárány, R. Karasev, “Notes about the Carathéodory number”, Discrete Comput. Geom., 48:3 (2012), 783–792
21.	А. А. Флеров, “О множествах с не более чем двузначной метрической проекцией на нормированной плоскости”, Матем. заметки, 101:2 (2017), 286–301 ; англ. пер.: A. A. Flerov, “Sets with at most two-valued metric projection on a normed plane”, Math. Notes, 101:2 (2017), 352–364
22.	О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов, Элементарная топология, 3-е изд., МЦНМО, М., 2010, 446 с.; англ. пер.: O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov, Elementary topology. Problem textbook, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, xx+400 с.
23.	A. Cellina, “Approximation of set valued functions and fixed point theorems”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 82 (1969), 17–24
24.	М. Л. Громов, “О симплексах, вписанных в гиперповерхности”, Матем. заметки, 5:1 (1969), 81–89 ; англ. пер.: M. L. Gromov, “On simplexes inscribed in a hypersurface”, Math. Notes, 5:1 (1969), 52–56
25.	A. Bronsted, “Convex sets and Chebyshev sets”, Math. Scand., 17 (1965), 5–16
26.	Ş. Cobzaş, Functional analysis in asymmetric normed spaces, Front. Math., Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2013, x+219 pp.

Образец цитирования: К. С. Шкляев, “Выпуклая оболочка и число Каратеодори множества в терминах метрической проекции”, Матем. сб., 213:10 (2022), 167–184; K. S. Shklyaev, “The convex hull and the Carathéodory number of a set in terms of the metric projection operator”, Sb. Math., 213:10 (2022), 1470–1486

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Shk22}

\by К.~С.~Шкляев

\paper Выпуклая оболочка и число Каратеодори множества в~терминах метрической проекции

\jour Матем. сб.

\yr 2022

\vol 213

\issue 10

\pages 167--184

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9742}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9742}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582600}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1531.41032}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213.1470S}

\transl

\by K.~S.~Shklyaev

\paper The convex hull and the Carath\'eodory number of a~set in terms of the metric projection operator

\jour Sb. Math.

\yr 2022

\vol 213

\issue 10

\pages 1470--1486

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9742e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992275100007}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165923252}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9742

https://doi.org/10.4213/sm9742

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i10/p167

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	353
PDF русской версии:	26
PDF английской версии:	68
HTML русской версии:	179
HTML английской версии:	87
Список литературы:	65
Первая страница:	8

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы