Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Математический сборник, 2022, том 213, номер 10, страницы 139–166
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9675 (Mi sm9675) 		 
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях)

Равномерно и локально выпуклые несимметричные пространства

И. Г. Царьковab

a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
PDF полного текста (593 kB) PDF английской версии (540 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (4)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9675
Аннотация: Для равномерно выпуклых несимметричных пространств рассматриваются вопросы о непустых пересечениях вложенной системы выпуклых ограниченных замкнутых множеств. Изучаются вопросы о плотности множеств точек существования и аппроксимативной единственности в этих пространствах для случая непустых замкнутых подмножеств. А также изучается проблема существования и устойчивости чебышёвских центров и связь понятия $\gamma$-солнца со свойством солнечности и существования. Изучаются достаточные условия радиальной $\delta$-солнечности.
Библиография: 27 названий.
Ключевые слова: несимметричные пространства, равномерно выпуклые пространства, чебышёвские центры, аппроксимативная единственность, выпуклые множества, солнца.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 22-21-00204
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-21-00204, https://rscf.ru/project/22-21-00204/.
Поступила в редакцию: 23.09.2021 и 16.06.2022
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 10, Pages 1444–1469
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9675e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 41A65

§ 1. Введение

В настоящей работе мы будем рассматривать обобщения линейно нормированных пространств, а именно, линейные пространства с некоторой несимметричной нормой ${\|\cdot|}$ на нем. От несимметричной нормы на линейном пространстве $X$ будем требовать свойства: 1) $\|\alpha x|=\alpha\| x|$ для всех $\alpha\geqslant 0$, $x\in X$; 2) $\| x+y|\leqslant \| x |+\| y|$ для всех $x,y\in X$; 3) $\|x|\geqslant 0$ для всех $x\in X$ и 3a) $\|x|= 0$ $\Leftrightarrow $ $x=0$. Несимметричная норма задается функционалом Минковского некоторого, вообще говоря, несимметричного тела, содержащего нуль в своем ядре. Отметим также, что вместе с несимметричной нормой ${\|\cdot|}$ часто удобно рассматривать норму симметризации: $\|x\|:=\max\{\|x|,\|-x|\}$ $(x\in X)$. В общем случае пространство с несимметричной нормой удовлетворяет только аксиоме отделимости $\mathrm{T}_1$ (т.е. для любых $a, b \in X$ найдутся их окрестности $O(a)$, $O(b)$ такие, что $a\notin O(b)$, $b\notin O(a)$) и может быть нехаусдорфовым (т.е. может не удовлетворять аксиоме $T_2$). Также можно рассмотреть несимметричную полунорму ${\|\cdot|}$, для которой все условия 1)–3) сохраняются, условие 3a) заменяется на условие $\|x|= 0=\|-x|$ $\Longrightarrow$ $x=0$. В этом случае несимметричное пространство $(X,{\|\cdot|})$ назовем полунормированным. Случай полунормированных пространстве будем явно формулировать в соответствующих утверждениях в отличии от несимметрично нормированных линейных пространств. В несимметричных пространствах мы выделим подкласс пространств, которые будем называть равномерно выпуклыми. Отметим, что главной целью здесь является нахождение такого определения, при котором большинство свойств равномерно выпуклых пространств (в случае симметричной нормы) переносились бы на существенно несимметричные пространства (норма которых не эквивалентна норме симметризации).

Через $B(x,r)$ и $\mathring{B}(x,r)$ обозначим соответственно “замкнутый” и открытый шары в линейном несимметричном нормированном пространстве или в полунормированном пространстве $\mathcal{X}=(X,{\|\cdot|})$ с центром $x$ радиуса $r,$ т.е. соответственно множества $\{y\in X\mid \|y-x|\leqslant r\}$ и $\{y\in X\mid \|y-x|< r\}$. Надо отметить, что шар $B(x,r)$ может не быть замкнутым множеством относительно топологии, порожденной открытыми шарами как предбазой. Через $S(x,r)$ обозначим сферу с центром $x$ радиуса $r,$ т.е. множество $\{y\in X\mid \|y-x |=r\}$. Нам также понадобится обозначение единичных сфер $S=S(0,1)$ в пространстве $X$ и $S^*=S^*(0,1)$ сопряженного пространства $X^*$.

Для произвольного множества $M$ некоторого несимметричного нормированного или полунормированного пространства $X $ через $\varrho(y,M)$ ($y\in X,$ $M\subset X$) обозначим расстояние до множества $M,$ т.е. величину $\inf_{z\in M}\|z-y|.$

Через $P_Mx$ обозначим множество всех ближайших точек из $M$ для $x\in X,$ т.е. множество $\{y\in M\mid \|y-x|=\varrho(x,M)\}$. Для произвольных $x\in X $ и $\delta>0$ рассмотрим также метрические $\delta$-проекции $P_M^\delta x$ и $\mathring{P}_M^\delta x$, представляющие собой соответственно множества $\{y\in M\mid \|y-x|\leqslant\varrho(x,M)+\delta\}=M\cap B(x,\varrho(x,M)+\delta)$ и $\{y\in M\mid \|y-x|<\varrho(x,M)+\delta\}=M\cap \mathring{B}(x,\varrho(x,M)+\delta)$. Более подробные сведения о несимметричных пространствах можно посмотреть в обзоре [1]. Различные аппроксимативные свойства в несимметричных пространствах можно также посмотреть в работах [2]–[12].

Новым в настоящей работе является использование нового определения равномерно выпуклого несимметрично нормированного пространства для классических вопросов геометрической теории приближения. Сначала мы изучим условия, гарантирующие непустоту пересечения вложенного семейства непустых выпуклых замкнутых множеств (см. теорему 2). Затем мы исследуем условия, при которых существует всюду плотное множество точек аппроксимативной единственности для произвольного непустого замкнутого множества в существенно несимметричном равномерно выпуклом пространстве (см. теорему 3). Далее мы коснемся вопросов существования и единственности чебышёвских центров в несимметричном равномерно выпуклом пространстве (см. теорему 7). В заключение рассмотрим связь $\gamma$-солнечности, солнечности и свойства существования (см. теоремы 8 и 9), а также связь стремления модуля равномерной аппроксимативной непрерывной к нулю и радиальной $\delta$-солнечности (см. теорема 10).

Надо сказать, что модельным примером для изучения равномерно выпуклых пространств послужили пространства, которые достаточно часто используются в классическом приближении функций (в частности приближения тригонометрическими полиномами). Это пространство $L_{p,q,\Psi}(\Omega)$, представляющее собой классы эквивалентностей измеримых функций $f\colon \Omega\to \mathbb{R}$, для которых конечны нормы в пространствах $L_p(\Omega)$ и $L_q(\Omega)$, с несимметричной нормой $\|f|$ на пространстве $L_{p,q,\Psi}(\Omega)$, определяемой формулой $\Psi(\|f_+\|_p,\|f_-\|_q)$, где $\|\varphi\|_\theta:=\|\varphi\|_{L_\theta(\Omega)}$. Здесь $\Psi(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ – равномерно выпуклая симметричная норма на плоскости и $1<p,q<\infty$ (см. [12]).

Что же касается вообще тематики несимметричных норм, то можно привести примеры большого количества работ по вычислительной математике, экономике, геометрической оптике и дифференциальным уравнениям, в которых используются несимметричные выпуклые положительно однородные функционалы (в используемой в этой работе терминологии – несимметричные нормы).

Несимметричные нормы возникли, по-видимому, впервые у Г. Минковского (“функционал Минковского”; см. [13]), в бесконечномерный анализ они были привнесены М. Г. Крейном (см. [14]). Термин несимметричная норма был предложен Крейном (см. [14]) в 1938 г. Крейн, в одиночку и в соавторстве, использовал несимметричные нормы при исследовании экстремальных вопросов, связанных с проблемой моментов Маркова. Важность сублинейных функционалов в ряде задач выпуклого анализа и математического анализа была отмечена X. Кёнигом в работах [15], [16]. Естественно возникают несимметричные расстояния и в теории приближений (в частности, в задачах наилучших односторонних приближений) – В. Ф. Бабенко в [17] заметил, что приближения в пространствах с несимметричными нормами оказываются “мостиком” между наилучшими приближениями и наилучшими односторонними приближениями (в этой связи отметим работы Е. П. Долженко и E. A. Севастьянова [18], [19], а также монографии Л. Коллатца и В. Краббса [20; гл. I, § 9.E] и С. Кобзаша [1]).

C точки зрения приложений представляется интересным исследование аппарата несимметричных норм в связи с задачами теоретической информатики при анализе сложности программ (см. [21]).

В геометрической теории приближений и выпуклом анализе несимметричные расстояния рассматривались в работах П. А. Бородина [22], [23], Г. E. Иванова и М. С. Лопушански [24], [25], А. Р. Алимова [4]–[6], а также в работах автора [7]–[12] и совместно с А. Р. Алимовым [26], [27].

Перейдем к определению равномерно выпуклых несимметричных пространств.

Положим

$$ \begin{equation*} \Delta(a):=\|f-ag|+a\|g|-\|f|, \qquad a\in [0,1]. \end{equation*} \notag $$

Определение 1. Несимметричное пространство $X=(X,{\|\cdot|})$ называется равномерно выпуклым, если для любых $\varepsilon>0$ и $ a\in (0,1]$ существует $\delta>0$ такое, что для любых $f,g \in X$: $\|f|=\|g|=1$ из условия $\Delta(a)<\delta$ вытекает, что $f \in B(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$.

Надо отметить, что из этого определения вытекает, что для любых $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что для любых $f,g \in X$: $\|f|=\|g|=1$ из условия $\|(f+g)/2|\geqslant 1-\delta$ вытекает, что $\|f -\mu g|\leqslant\varepsilon$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$.

Замечание 1. Отметим следующее свойство величины $\Delta(\cdot)$:

$$ \begin{equation*} 0\leqslant \Delta(a_0)\leqslant \Delta(a) \quad \forall\, a\geqslant a_0>0. \end{equation*} \notag $$

Действительно, в силу неравенства треугольника имеем $\|f-a_0g|\leqslant \|f- ag|+(a-a_0)\|g|$, откуда

$$ \begin{equation*} \Delta(a_0)=\|f-a_0g|+\|a_0g|\leqslant \|f-ag|+a\|g|=\Delta(a). \end{equation*} \notag $$

Из замечания 1 вытекает, что в определении равномерной выпуклости, если $\delta>0$ подходит для некоторых $\varepsilon>0$ и $a_0\in (0,1]$, то это число подходит для того же $\varepsilon>0$ и любого $a\in [a_0,1]$. Тем самым для проверки равномерной выпуклости пространства $X$ достаточно показать, что для любого $\varepsilon>0$ и сколь угодно малого $a>0$ (например, $0<a\ll\varepsilon$) существует $\delta=\delta(a)>0$ такое, что для любых $f,g\in X$: $\|f|=\|g|=1$ из условия $\Delta(a)<\delta$ вытекает, что $f \in B(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$.

Замечание 2. Отметим, что если пространство $X=(X,{\|\cdot|})$ является равномерно выпуклым, то и зеркальное несимметричное пространство $X^-=(X,{\|-\cdot|})$ также является равномерно выпуклым пространством.

Определение 2. Несимметричное пространство $X=(X,{\|\cdot|})$ называется лево-равномерно выпуклым, если для любых $\varepsilon>0$ и $ a\in (0,1]$ существует $\delta>0$ такое, что для любых $f,g\in X$: $\|f|=\|g|=1$ из условия $\Delta(a)<\delta$ вытекает, что $g \in B(\mu f,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$.

Замечание 3. Определения 1 и 2 можно рассматривать не только для линейных пространств $X$, но и для полунормированных пространств $X$.

§ 2. Вложенная последовательность ограниченных выпуклых замкнутых множеств

Определение 3. Последовательность $\{x_n\}\,{\subset}\, X$ называется фундаментальной (обратно фундаментальной), если для любого $\varepsilon>0$ существует $N\in \mathbb{N}$ такое, что $\|x_m-x_n|<\varepsilon$ $(\|x_n-x_m|<\varepsilon)$ для всех $m\geqslant n\geqslant N$.

Несимметричное пространство $X=(X,{\|\cdot|})$ называется право-полным (лево-полным), если для любой фундаментальной последовательности $\{x_n\}\subset X$ существует точка $x\in X$ такая, что $\|x-x_n|\to 0$ $(\|x_n-x|\to 0)$ при $n\to\infty$. Право-полное пространство будем называть просто полным пространством.

Несимметричное пространство $X=(X,{\|\cdot|})$ называется обратно право-полным (обратно лево-полным), если для любой обратной фундаментальной последовательности $\{x_n\}\subset X$ существует точка $x\in X$ такая, что $\|x\,{-}\,x_n|\,{\to}\, 0$ $(\|x_n\,{-}\,x|\,{\to}\, 0)$ при $n\to\infty$. Обратно право-полное пространство будем называть просто обратно-полным пространством.

Право-полное пространство будем называть просто полным пространством.

Замечание 4. Отметим, что если пространство $X{=}\,(X,\|\cdot|)$ является право-полным (лево-полным), то зеркальное несимметричное пространство $X^-=(X,{\|-\cdot|})$ является обратно лево-полным (обратно право-полным) пространством.

Замечание 5. Множество $N$ в несимметричном пространстве $X=(X,{\|\cdot|})$ будет замкнутым (относительно топологии, порожденной открытыми шарами), если из условий $\{y_n\}\subset N$: $\|y_n-y|\to 0$, $n\to\infty$, вытекает, что $y\in N$.

Замечание 6. Определение 3 можно рассматривать не только для линейных пространств $X$, но и для полунормированных пространств $X$.

Замечание 7. Шар $B(0,1)$ в несимметричном пространстве $X=(X,{\|\cdot|})$ является замкнутым относительно правой сходимости (относительно топологии, порожденной левыми открытыми шарами), т.е. если из условий $\{y_n\}\subset B(0,1)$: $\|y-y_n|\to 0$, $n\to\infty$, вытекает, что $y\in B(0,1)$.

Действительно, если $\|y|>1$, то существует линейный ограниченный функционал $y^*\in S^*$ такой, что $y^*(y)=\alpha>1\geqslant y^*(z)$ для всех $z\in B(0,1)$ (см. [3]). Тогда $\|y-y_n|\geqslant y^*(y-y_n)\geqslant \alpha -1\nrightarrow 0$, $n\to\infty$, чего не может быть.

Определение 4. Несимметричное пространство $X=(X,{\|\cdot|})$ назовем локально равномерно выпуклым, если для всех $g\in S$, $\varepsilon>0$ и $ a\in (0,1]$ существует $\delta>0$ такое, что для любых $f\in S$ из условия $\|f-ag|+a\|g|-\|f|<\delta$ вытекает, что $\|f-g|<\varepsilon$. Если же из оговоренных выше свойств следует, что $\|g-f|<\varepsilon$, то пространство $X$ называется лево-локально равномерно выпуклым.

Замечание 8. Отметим, что если линейное пространство $X{=}\,(X,{\|\cdot|})$ является локально равномерно выпуклым, то и зеркальное несимметричное пространство $X^-\,{=}\,(X,{\|-\cdot|})$ также является локально равномерно выпуклым пространством.

Отметим, что в случае обычных нормированных пространств вышеприведенное определение локальной равномерной выпуклости является одним из известных характеризационных свойств таких пространств. Следующее утверждение было доказано в работе [12] (следствие 1) для случая несимметричных нормируемых пространств.

Следствие 1. Равномерно выпуклое линейное пространство с несимметричной полунормой является локально равномерно выпуклым несимметричным пространством.

Доказательство. Поскольку существует $\mu\in [1-\varepsilon,1]$ такое, что $f,g\in B(\mu g,\varepsilon)$, то
$$ \begin{equation*} \|f-g|\leqslant \|f-\mu g|+\|\mu g-g|\leqslant \varepsilon +(1-\mu)\|-g|=\varepsilon(1+\|-g|). \end{equation*} \notag $$
Отсюда вытекает требуемое утверждение.

В работе [12] (теорема 1) было доказано следующее утверждение.

Теорема A. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – несимметричное локально равномерно выпуклое пространство, $x\in S$, $x^*\in S^*$: $x^*(x)=1$. Тогда для любой последовательности $\{x_n\}\subset M:=\{z\in X\mid x^*(z)\geqslant 1\}$: $\|x_n|\to 1$, $n\to\infty$, верно: $\|x_n-x|\to 0$, $n\to\infty$.

Следующие замечание бывает полезным при доказательстве различных утверждений. Как всегда аксиомой Хаусдорфа (аксиомой $T_2$) будем называть следующее свойство: для любых различных точек $a,b\in X$ найдутся их непересекающиеся окрестности. Отметим также, что несимметричное пространство $(X,{\|\cdot|})$ обладает аксиомой $T_2$ тогда и только тогда, когда зеркальное пространство $(X,{\|-\cdot|})$ обладает таким же свойством.

Замечание 9. Пусть $X$ – локально равномерно выпуклое пространство с аксиомой отделимости $T_2$ ($T_1$), $\{x_n\}\in B(0,1)$: $\|x_n-x|\to 0$ ($\|x-x_n|\to 0$) при $n\to\infty$. По несимметричному варианту теоремы Хана–Банаха (см. [3; теорема 4.3]) существует ограниченный линейный функционал $x^*\in S^*$: $x^*(x)=\|x|$, предположим, что $x^*(x_n)\to 1$. Тогда $x\in S$.

Действительно, сначала рассмотрим первый случай (с аксиомой $\mathrm{T}_2$). В силу замкнутости множеств $\{z\in X\mid x^*(z)\geqslant c\}$ для всех $c\in \mathbb{R}$ достаточно доказать, что $x\in B(0,1)$. Предположим от противного, что $\|x|>1$. Пусть $x_0=x/\|x|$. Линейный функционал $x^*\in S^*$ разделяет шар $B(0,1)$ и точку $x_0$. Тогда последовательность $\{x'_n:= x_n/x^*(x_n)\}$ является минимизирующей во множестве $ M:=\{z\in X\mid x^*(z)\geqslant 1\}$ для нуля. Из теоремы A отсюда следует, что $\| x'_n- x_0|\to 0$, $n\to\infty$. В треугольнике с вершинами $0$, $x$ и $x'_n$ отрезки $[x_n,x]$ и $[x'_n,x_0]$ пересекаются в некоторой точке $y_n$, $n\in \mathbb{N}$. Тогда $\|y_n-x|\leqslant \|x_n-x|\to 0$ и $\|y_n-x_0|\leqslant \|x'_n-x_0|\to 0$, $n\to\infty$, чего не может быть для топологических пространств с аксиомой $\mathrm{T}_2$. Это противоречие завершает доказательство первого случая. Для доказательства второго случая (с аксиомой $\mathrm{T}_1$) вместо последней выкладки мы имеем $\|x -y_n|\leqslant \|x-x_n|\to 0$ и $\|y_n-x_0|\leqslant \|x'_n-x_0|\to 0$, $n\to\infty$, чего не может быть для топологических пространств с аксиомой $\mathrm{T}_1$.

Предложение 1. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – несимметричное пространство с аксиомой отделимости $T_2$, непустое множество $N\subset X$ обладает свойством, что существуют последовательность точек $\{x_n\}$ и бесконечно малая неотрицательная последовательность чисел $\{\varepsilon_n\}$ такие, что $N\subset B(x_n,\varepsilon_n)$ для всех $n\in \mathbb{N}$. Тогда множество $N$ одноточечно.

Доказательство. Предположим противное, что существуют две различные точки $a,b\in N$. Без потери общности можно считать, что $N=[a,b] $. Тогда $\|a-x_n|,\|b-x_n|\to 0$, т.е. последовательность $\{x_n\}$ право-сходится к двум различным пределам, что противоречит аксиоме $\mathrm{T}_2$ зеркального пространства $X=(X,{\|-\cdot|})$. Предложение доказано.

Теорема 1. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – право-полное равномерно выпуклое несимметричное пространство, $x^*$ – ограниченный линейный функционал единичной нормы. Тогда для множества $M:=\{z\in X\mid x^*(z)\geqslant 1\}$ существует единственная ближайшая точка $x $ во множестве $M$ для нуля, и для любой последовательности $\{x_n \}\subset M$: $\|x_n|\to 1=\varrho(0,M)$, $n\to\infty$, выполнено условие $\|x_n -x|\to 0$, $n\to\infty$.

Доказательство. Возьмем произвольное число $\varepsilon\in (0,1)$ и рассмотрим последовательность чисел $\{\varepsilon_n:={\varepsilon}/{2^{n+2}}\}$. В силу равномерной выпуклости пространства $X$ для любого $\varepsilon\in (0,1)$ существует число $\delta=\delta(\varepsilon)\in (0,{\varepsilon}/{8})$ такое, что для любых $f,g\in S$ из условия $0\leqslant \|f-\frac{1}{2}g|+\frac{1}{2}\|g|-\|f|<\delta(\varepsilon)$ вытекает, что $f,g\in B(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$.

Произведем индукционное построение последовательности $\{f_i\}_{i=0}^{\infty}\subset S$.

1. Пусть $\delta_1:=\delta(\varepsilon_1)$. Существуют элементы $f_0,f_1\in S$: $x^*(f_1),x^*(f_0)\geqslant 1-{\delta_1}/{100}$. Положим $g=f_0$, $f=(f_1+g)/2$. Тогда $x^*(f)\geqslant 1-{\delta_1}/{100}$ и $\|f-\frac{1}{2}g|+\frac{1}{2}\|g|=\frac{1}{2}\|f_1|+\frac{1}{2}\|g|=1=\|f_1|$. Пусть $\beta_1\geqslant 1$: $\beta_1 f\in S$, тогда $1\geqslant x^*(\beta_1 f)=\beta_1 (1-{\delta_1}/{100})$, следовательно, $1\leqslant\beta_1\leqslant {1}/(1-\delta_1/100)$. Отсюда $0\leqslant\beta_1-1\leqslant ({\delta_1}/{100})/(1-{\delta_1}/{100})<{\varepsilon_1}/{4}$ и

$$ \begin{equation*} 1=\|\beta_1 f|\leqslant \biggl\|\beta_1 f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g| \leqslant \biggl\| f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|+(\beta_1-1)\|f| \leqslant1+\frac{{\delta_1}/{100}}{1-{\delta_1}/{100}}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} \biggl\|\beta_1 f-\frac{1}{2}g\biggr| +\frac{1}{2}\|g|-1\leqslant\frac{{\delta_1}/{100}}{1-{\delta_1}/{100}}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $\beta_1 f,g\in B(\widehat{\mu}_1 g,\varepsilon_1)$ для некоторого $\widehat{\mu}_1\in [1-\varepsilon_1,1]$. Отсюда, учитывая, что $[f,(\widehat{\mu}_1/\beta_1)g]$ – средняя линия в треугольнике с вершинами $f_1$, $g$ и $(2{\widehat{\mu}_1}/{\beta_1}-1)g$, мы получим, что
$$ \begin{equation*} \biggl\|f-\frac{\widehat{\mu}_1}{\beta_1}g\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon_1}{\beta_1}, \quad \|f_1-\mu_1g|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_1}{\beta_1} \leqslant 4\varepsilon_1, \quad\text{где }\ \mu_1=2\frac{\widehat{\mu}_1}{\beta_1}-1. \end{equation*} \notag $$
Поэтому $f_1\in B(\mu_1 g,4 \varepsilon_1)$.

2. Пусть $\delta_k:=\min_{m=0,\dots,k}\delta(\varepsilon_{m+1})$ и построены элементы $f_0,\ldots,f_{n-1}\in S$:

$$ \begin{equation*} x^*(f_k)\geqslant 1-\frac{\delta_{k+1}}{100}, \qquad k=0,\dots,n-1. \end{equation*} \notag $$
Существует элемент $ f_n\in S$: $x^*(f_{n}) \geqslant 1-{\delta_{n+1}}/{100}\geqslant 1-{\delta_{n}}/{100}$. Положим $g=f_{n-1}$, $f=(f_{n}+g)/2$. Тогда $x^*(f)\geqslant 1-{\delta_n}/{100}$ и $\|f-\frac{1}{2}g|+\frac{1}{2}\|g|=\frac{1}{2}\|f_n|+\frac{1}{2}\|g|=1=\|f_n|$. Пусть $\beta_{n}\geqslant 1$: $\beta_{n} f\in S$, тогда $1\geqslant x^*(\beta_{n} f)=\beta_{n} (1-{\delta_{n}}/{100})$, следовательно, $1\leqslant\beta_{n}\leqslant {1}/(1-{\delta_{n}}/{100})$. Отсюда $0\leqslant\beta_{n}-1\leqslant ({\delta_{n}}/{100})/(1-\delta_{n}/100)<{\varepsilon_n}/{4}$ и
$$ \begin{equation*} 1=\|\beta_{n} f|\leqslant \biggl\|\beta_n f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g| \leqslant \biggl\| f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|+(\beta_{n}-1)\|f| =1+\frac{{\delta_{n}}/{100}}{1-{\delta_{n}}/{100}}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} \|\beta_n f-\frac{1}{2}g|+\frac{1}{2}\|g|-1\leqslant\frac{{\delta_n}/{100}}{1-{\delta_n}/{100}}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $\beta_{n} f,g\in B(\widehat{\mu}_{n} g,\varepsilon_{n})$ для некоторого $\widehat{\mu}_{n}\in [1-\varepsilon_{n},1]$. Отсюда
$$ \begin{equation*} \biggl\|f-\frac{\widehat{\mu}_n}{\beta_n}g\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon_n}{\beta_n}, \quad\|f_n-\mu_ng|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_n}{\beta_n} \leqslant 4\varepsilon_n, \quad\text{где }\ \mu_n=2\frac{\widehat{\mu}_n}{\beta_n}-1. \end{equation*} \notag $$
Поэтому $f_{n}\in B(\mu_{n} g,4 \varepsilon_n)$.

3. Отметим, что на каждом шаге можно выбрать $\varepsilon_{n+1}$ настолько близким к нулю, чтобы произведение $\prod_{k=1}^\infty\mu_k$ сходилось, в этом случае, конечно, $P_m:=\prod_{k=m+1}^\infty\mu_k\to 1$, $m\to\infty$. Положим $\widehat{f}_k:=P_kf_k$, $k\in \mathbb{N}$. Тогда

$$ \begin{equation*} \|\widehat{f}_{k+1}-\widehat{f}_k|=P_{k+1}\|f_{k+1}-\mu_{k+1} f_k|\leqslant \|f_{k+1}-\mu_{k+1} f_k|, \qquad k\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда вытекает, что
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, 1\geqslant \|\widehat{f}_k|\geqslant x^*(\widehat{f}_k)=P_k x^*( {f}_k)\geqslant P_k \biggl(1-\frac{\delta_{n}}{100}\biggr)\to 1, \qquad k\to\infty, \\ \sum_{k= m}^{n}\|\widehat{f}_{k+1}-\widehat{f}_k |\leqslant 4\sum_{k= m}^{n}\frac{\varepsilon}{2^{k+2}}\to 0 \quad\text{при }\ n\to\infty. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Таким образом, последовательность $\{\widehat{f}_n\}$ фундаментальна в полном пространстве $X$, а следовательно, существует элемент $x\in X$: $\|x -\widehat{f}_n|\to 0$, $n\to\infty$. Отсюда из замечания 9 вытекает, что $x\in S$ и $x^*(x)=1$.

Докажем, что $\{g\in S\mid x^*(g)=1\}=\{x\}$. Действительно, если существует $g\in S$: $x^*(g)=1$, то отрезок $[g,x]\subset B(0,1)\cap M$ содержится в сфере $S$ и состоит из ближайших точек из $M$ для нуля. В силу равномерной выпуклости пространства найдется последовательность $\{\mu_n\}\subset [0,1]$: $\lim_{n\to\infty}\mu_n=1$ такая, что $\|g-\mu_n x|\to 0$, $n\to\infty$. Тогда

$$ \begin{equation*} \|g- x|\leqslant \|g-\mu_n x|+\|\mu_n x-x|=\|g-\mu_n x|+(1-\mu_n)\|-x|\to 0, \qquad n\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $g=x$.

В силу следствия 1 и теоремы A для любой последовательности $\{x_n\}\subset M:=\{z\in X\mid x^*(z)\geqslant 1\}$: $\|x_n|\to 1$, $n\to\infty$, имеем $\|x_n-x|\to 0$, $n\to\infty$. Теорема доказана.

Следствие 2. Пусть $N$ – непустое замкнутое выпуклое подмножество в несимметричном равномерно выпуклом право-полном пространстве $X=(X,{\|\cdot|})$. Тогда для всех $x\in X$ существует единственная точка $y\in N$ (ближайшая для $x$ во множестве $N)$: $\|y-x|=\varrho(x,N)$, и для любой (минимизирующей) последовательности $\{y_n\}\subset N$ такой, что $\|y_n-x|\to \varrho(x,N) $, $n\to\infty$, вытекает, что $\|y_n-y|\to 0$, $n\to\infty$.

Доказательство. Без потери общности будем считать, что $x\in X\setminus N$, $x=0$, $\varrho(x,N)=1$. По несимметричному варианту теоремы Хана–Банаха (см. [3; теорема 4.3]) существует ограниченный линейный функционал $x^*\in S^*$, разделяющий шар $\mathring{B}(0,1)$ и множество $N$, т.е. $N\subset M:=\{y\in X\mid x^*(y)\geqslant 1\}$. По теореме 2 существует единственный элемент $y\in M$: $\|y-x|=\varrho(0,M)$, и для любой последовательности $\{y_n\}\subset N\subset M$: $\|y_n-x|\to \varrho(x,M)=1=\varrho(x,N)$, $n\to\infty$, верно соотношение $\|y_n-y|\to 0$, $n\to\infty$. В силу замкнутости множества $N$ точка $y$ принадлежит $N$. Следствие доказано.

Замечание 10. Существование ближайшего элемента для $M $ из теоремы 1 и для $N$ из следствия 2 выполняется и для полунормированных пространств. Единственность в случае полунормированных пространства будет выполнена, если сфера $S$ не содержит невырожденных отрезков. Для несимметричных нормируемых пространств это нетрудно вытекает из локальной равномерной выпуклости, которая гарантируется следствием 1.

В работе [12] (следствие 2) было доказано следующее утверждение.

Теорема B. Пусть $N$ – непустое замкнутое выпуклое подмножество в несимметричном равномерно выпуклом лево-полном пространстве $X=(X,{\|\cdot|})$ с аксиомой отделимости $T_2$. Тогда для всех $x\in X$ существует единственная точка $y\in N$ (ближайшая для $x$ во множестве $N)$: $\|y-x|=\varrho(x,N)$, и для любой (минимизирующей) последовательности $\{y_n\}\subset N$ такой, что $\|y_n- x|\to \varrho(x,N)$, $n\to\infty$, вытекает, что $\|y_n-y|\to 0$, $n\to\infty$.

Теорема 2. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – лево-полное равномерно выпуклое несимметричное пространство с аксиомой отделимости $T_2$, $\{N_k\}$ – вложенная последовательность непустых выпуклых ограниченных замкнутых множеств. Тогда пересечение $N:=\bigcap_{k=1}^\infty N_k$ непусто.

Доказательство. Без потери общности будем считать, что $0\notin N_1$. По условию последовательность расстояний $\{\varrho_k:=\varrho(0,N_k)\}$ монотонно неубывает и ограничена, а следовательно, имеет конечный предел $\varrho$. Опять же без потери общности будем считать, что $\varrho=1$. Отметим, что в силу следствия 2 из работы [12] для каждого множества $N_k$ существуют и единственны ближайшие для нуля.

Возьмем произвольное число $\varepsilon\in (0,1)$ и рассмотрим последовательность чисел $\{\varepsilon_n:={\varepsilon}/{2^{n+2}}\}$. В силу равномерной выпуклости пространства $X$ для любого $\varepsilon\in (0,1)$ существует число $\delta=\delta(\varepsilon)\in (0,{\varepsilon}/{8})$ такое, что для любых $f,g\in S$ из условия $0\leqslant \|f-\frac{1}{2}g|+\frac{1}{2}\|g|-\|f|<\delta(\varepsilon)$ вытекает, что $f,g\in B(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$.

Выберем подпоследовательность множеств $\{N_{k_n}\}_{n=0}^\infty$ так, чтобы $\varrho_{k_n}\geqslant 1-{\delta(\varepsilon_n/2)}/{200}$. Для удобства эту последовательность множеств и последовательность $\{\varrho_{k_n}\}$ перенумеруем и будем обозначать соответственно как последовательности $\{N_n\}$ и $\{\varrho_n\}$. Существует последовательность линейных ограниченных функционалов $\{x^*_n\}\subset S^*$, разделяющих соответственно шары $B(0,1-{\delta(\varepsilon_n/2)}/{100})$ и множества $N_n$, $n\in \mathbb{Z}_+$.

Произведем индукционное построение последовательности $\{f_n\}_{n=0}^{\infty}\subset S$.

1. Пусть $\delta_1:=\delta(\varepsilon_1/2)$. Существуют ближайшие элементы $\psi_0$ и $\psi_1$ для нуля соответственно во множествах $N_0$ и $N_1$, т.е. $ \|\psi_0|=\varrho_0$ и $\|\psi_1|=\varrho_1$. Рассмотрим $f_0:=\varrho_0^{-1}\psi_0,f_1:=\varrho_1^{-1}\psi_1\in S$, тогда $x^*_0(f_1),x^*_0(f_0)\geqslant 1-{\delta_1}/{100}$. Положим $g=f_0$, $f=(f_1+g)/{2}$. Тогда

$$ \begin{equation*} x^*_0(f)\geqslant 1-\frac{\delta_1}{100}, \qquad \biggl\|f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|=\frac{1}{2}\|f_1|+\frac{1}{2}\|g|=1=\|f_1|. \end{equation*} \notag $$
Пусть $\beta_1\geqslant 1$: $\beta_1 f\in S$, тогда $1\geqslant x^*_0(\beta_1 f)=\beta_1 (1-{\delta_1}/{100})$, следовательно, $1\leqslant\beta_1\leqslant {1}/(1-{\delta_1}/{100})$. Отсюда $0\leqslant\beta_1-1\leqslant (\delta_1/100)/(1-\delta_1/100)<\varepsilon_1/4$ и
$$ \begin{equation*} 1=\|\beta_1 f|\leqslant \biggl\|\beta_1 f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g| \leqslant \biggl\| f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|+(\beta_1-1)\|f| \leqslant 1+\frac{{\delta_1}/{100}}{1-{\delta_1}/{100}}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} \biggl\|\beta_1 f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|-1\leqslant\frac{\delta_1/100}{1-\delta_1/100}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $\beta_1 f,g\in B(\widehat{\mu}_1 g,\varepsilon_1)$ для некоторого $\widehat{\mu}_1\in [1-\varepsilon_1/2,1]$. Отсюда, учитывая, что $[f,(\widehat{\mu}_1/\beta_1)g]$ – средняя линия в треугольнике с вершинами $f_1$, $g$ и $(2{\widehat{\mu}_1}/{\beta_1}-1)g$, мы получим, что
$$ \begin{equation*} \biggl\|f-\frac{\widehat{\mu}_1}{\beta_1}g\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon_1}{\beta_1}, \quad\|f_1-\mu_1g|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_1}{\beta_1} \leqslant 4\varepsilon_1, \quad\text{где }\ \mu_1=2\frac{\widehat{\mu}_1}{\beta_1}-1\in [1-\varepsilon_1,1], \end{equation*} \notag $$
Поэтому $f_1\in B(\mu_1 g,4 \varepsilon_1)$.

Тогда

$$ \begin{equation*} \|f_1-(1-\varepsilon_1)g|\leqslant \|f_1-\mu_1g|+\|\mu_1g-(1-\varepsilon_1)g|\leqslant 4 \varepsilon_1 + \varepsilon_1=5\varepsilon_1, \end{equation*} \notag $$
и $f_1\in B(\mu_1 g, 5\varepsilon_1)$, где $\mu_1$ будем считать равным $1-\varepsilon_1$. Следовательно,
$$ \begin{equation*} \psi_1\in B(\mu_1\varrho_1 g,5 \varepsilon_1\varrho_1)= B\biggl(\frac{\mu_1\varrho_1}{\varrho_0} \psi_0,5 \varepsilon_1\varrho_1\biggr). \end{equation*} \notag $$

2. Пусть $\delta_k:=\min_{m=0,\dots,k}\delta(\varepsilon_{m+1}/2)$, $k=0,\dots,n$, и построены элементы

$$ \begin{equation*} f_0,\ldots,f_{n-1}\in S\colon x^*(f_k)\geqslant 1-\frac{\delta_{k+1}}{100}, \qquad k=0,\dots, n-1. \end{equation*} \notag $$
Существует ближайший элемент $\psi_n$ для нуля во множестве $N_n$, т.е. $ \|\psi_n|=\varrho_n$. Рассмотрим $f_n:=\varrho_n^{-1}\psi_n \in S$, тогда
$$ \begin{equation*} x^*_n(f_{n}) \geqslant 1-\frac{\delta_{n+1}}{100}\geqslant 1-\frac{\delta_{n}}{100}. \end{equation*} \notag $$
Положим $g=f_{n-1}$, $f=(f_{n}+g)/2$. Тогда
$$ \begin{equation*} x^*_{n-1}(f)\geqslant 1-\frac{\delta_n}{100}, \qquad \biggl\|f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g| =\frac{1}{2}\|f_n|+\frac{1}{2}\|g|=1=\|f_n|. \end{equation*} \notag $$
Пусть $\beta_{n}\geqslant 1$: $\beta_{n} f\in S$, тогда $1\geqslant x^*(\beta_{n} f)=\beta_{n} (1-{\delta_{n}}/{100})$, следовательно, $1\leqslant\beta_{n}\leqslant {1}/(1-{\delta_{n}}/{100})$. Отсюда $0\leqslant\beta_{n}-1\leqslant ({\delta_{n}}/{100})/(1-{\delta_{n}}/{100})<\varepsilon_n/{4}$ и
$$ \begin{equation*} 1=\|\beta_{n} f|\leqslant \biggl\|\beta_n f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g| \leqslant \biggl\| f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|+(\beta_{n}-1)\|f| \leqslant 1+\frac{\delta_{n}/100}{1-\delta_{n}/100}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} \biggl\|\beta_n f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|-1 \leqslant\frac{\delta_n/100}{1-\delta_n/100}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $\beta_{n} f,g\in B(\widehat{\mu}_{n} g,\varepsilon_{n})$ для некоторого $\widehat{\mu}_{n}\in [1-\varepsilon_{n}/2,1]$. Отсюда
$$ \begin{equation*} \biggl\|f-\frac{\widehat{\mu}_n}{\beta_n}g\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon_n}{\beta_n}, \quad \|f_n-\mu_ng|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_n}{\beta_n} \leqslant 4\varepsilon_n, \quad\text{где }\ \mu_n=2\frac{\widehat{\mu}_n}{\beta_n}-1\in [1-\varepsilon_{n},1]. \end{equation*} \notag $$
Поэтому $f_{n}\in B(\mu_{n} g,4 \varepsilon_n)$. Так же, как в п. 1, беря в качестве $\mu_n$ число $1-\varepsilon_n$, мы получим, что $f_{n}\in B(\mu_{n} g,5\varepsilon_n)$. Следовательно,
$$ \begin{equation*} \psi_n\in B(\mu_n\varrho_n g,5 \varepsilon_n\varrho_n)= B\biggl(\frac{\mu_n\varrho_n}{\varrho_{n-1}} \psi_{n-1},5 \varepsilon_n\varrho_n\biggr). \end{equation*} \notag $$
Отметим, что в силу выбора $\varrho_n$ число ${\mu_n\varrho_n}/{\varrho_{n-1}} $ меньше 1 (напоминаем, что $\mu_{n}=1-\varepsilon_n$).

3. Отметим, что на каждом шаге можно выбрать $\varepsilon_{n+1}$ настолько близко к нулю, чтобы произведение $\prod_{k=1}^\infty\mu_k$ сходилось, в этом случае, конечно, $P_m:=\prod_{k=m+1}^\infty{\mu_k\varrho_k}/(\varrho_{k-1})\to 1$, $m\to\infty$. Положим $\widehat{\psi}_k:=P_k\psi_k$, $k\in \mathbb{N}$. Тогда

$$ \begin{equation*} \|\widehat{\psi}_{k+1}-\widehat{\psi}_k| =P_{k+1}\biggl\|\psi_{k+1}-\frac{\mu_{k+1}\varrho_{k+1}}{\varrho_{k}} \psi_k\biggr| \leqslant \biggl\|\psi_{k+1}-\frac{\mu_{k+1}\varrho_{k+1}}{\varrho_{k}} \psi_k\biggr|, \qquad k\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда вытекает, что
$$ \begin{equation*} \sum_{k= m}^{n}\|\widehat{\psi}_{k+1}-\widehat{\psi}_k |\leqslant 5\sum_{k= m}^{n}\frac{\varepsilon}{2^{k+2}}\to 0 \quad\text{при }\ n\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, последовательность $\{\widehat{\psi}_n\}$ фундаментальна в лево-полном пространстве $X$, а следовательно, существует элемент $x\in X$: $\|\widehat{\psi}_n -x|\to 0$, $n\to\infty$. Тогда $\|{\psi}_n -x \|\leqslant \|{\psi}_n-P_n{\psi}_n|+\|P_n{\psi}_n-x|= (1-P_n)\|{\psi}_n|+\|\widehat{\psi}_n-x|\to 0$, $n\to \infty$.

Отсюда в силу замкнутости множества $N:=\bigcap_{k=1}^\infty N_k$ вытекает, что точка $x$ принадлежит этому множеству.

Таким образом, множество $N$ не пусто. Теорема 2 доказана.

Замечание 11. Если дополнительно к свойствам пространства $X $ из теоремы 2 добавить свойство замкнутости замкнутого шара (в этом случае аксиома $T_2$ выполняется автоматически, см. [2]), то ближайшие элементы к нулю для множеств $N_n$, т.е. элементы $\psi_n$, стремятся к элементу $x$, являющемуся ближайшим к нулю для $N:=\bigcap_{k=1}^\infty N_k$. И, конечно, аналогичное утверждение выполняется не только для нуля, но и для любого элемента $y\in X$, т.е. $\|P_{N_n} y-P_Ny|\to 0$, $n\to\infty$. Аналогичное утверждение про ближайшие элементы имеет место, если вместо указанного дополнительного свойства мы предположим, что $\varrho(y,N_n)\to \varrho(y, N)$, $n\to\infty$. Также соответствующий факт будет верным, если хотя бы одно из множеств семейства является лево-сильно замкнутым (см. определение 5 ниже).

§ 3. Точки существования и аппроксимативной единственности

Лемма 1. Пусть $X$ – равномерно выпуклое несимметричное полунормированное пространство, $\Delta\in (0,1)$, $M\subset X$, $g_0\in X\setminus M$, $r=\varrho(g_0,M)>0$. Тогда для любого числа $\varepsilon\in (0,1)$ существует число $\delta_0\in (0,\varepsilon/8)$ такое, что для произвольного элемента $\widetilde{f}_0\in M$: $\|\widetilde{f}_0-g_0|<r+\delta_0$ и любого элемента $f\in M$: $\|f-g_1|<\varrho(g_1,M)+\delta_0$, где $g^1:=(\widetilde{f}_0-g_0)/\|\widetilde{f}_0-g_0|$ и $g_1:=g_0+\Delta g^1$, верно включение $f\in B(\mu(\widetilde{f}_0-g_0)+g_0,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$.

Доказательство. Без потери общности будем считать, что $g_0=0$, $r=1$. В силу равномерной выпуклости пространства $X$ для любых $\varepsilon\in (0,1)$ и $\Delta\in (0,1)$ существует число $\delta=\delta(\varepsilon,\Delta)>0$ такое, что для всех элементов $f_0,f_1\in S$: $\|f_1-\Delta f_0|+\Delta\|f_0|-\|f_1|<\delta$ верно неравенство $\|f_1-\mu f_0|<\varepsilon$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$. Возьмем $\delta_0:=\frac{1}{2}\min\{\delta(\varepsilon/2,\Delta),\varepsilon/8\}$. Возьмем произвольный элемент $\widetilde{f}_0\in M$: $\|\widetilde{f}_0|<1+\delta_0$. Положим $g^1:=\widetilde{f}_0/\|\widetilde{f}_0|$ и $g_1:=g_0+\Delta g^1=\Delta g^1$. Тогда
$$ \begin{equation*} \varrho(g_1,M)\leqslant \|\widetilde{f}_0-g_1|=\|g^1\cdot \|\widetilde{f}_0|-\Delta g^1|\leqslant \|g^1(\|\widetilde{f}_0|-\Delta)| <1+\delta_0-\Delta \end{equation*} \notag $$
и $1-\Delta=\varrho(0,M)-\|g_1|\leqslant \varrho(g_1,M)$. Возьмем произвольный элемент $f\in M$:
$$ \begin{equation*} \|f-g_1|<\varrho(g_1,M)+\delta_0\leqslant 1-\Delta+2\delta_0\leqslant 1-\Delta +\delta\biggl(\frac\varepsilon2,\Delta\biggr). \end{equation*} \notag $$
Тогда $\|f-g_1|+\|g_1|\leqslant 1-\Delta +\delta(\varepsilon/2,\Delta)+\Delta= 1 +\delta(\varepsilon/2,\Delta)$. Поэтому $\|f\,{-}\,g_1|+\|g_1|-\|f|<\delta(\varepsilon/2,\Delta)$ и, следовательно, $f\in B(\mu' g^1,\varepsilon/2)$ для некоторого $\mu'\in [1-\varepsilon/2,1]$. Поскольку
$$ \begin{equation*} 1\geqslant\frac{\mu'}{\|\widetilde{f}_0|}\geqslant\frac{1-\varepsilon/2}{1+\delta_0}\geqslant \frac{1-\varepsilon/2}{1+\varepsilon/8}\geqslant 1-\varepsilon, \end{equation*} \notag $$
то, положив $\mu={\mu'}/{\|\widetilde{f}_0|}$, мы получим, что $f\in B(\mu'{\widetilde{f}_0}/{\|\widetilde{f}_0|},\varepsilon/2)=B(\mu {\widetilde{f}_0} , \varepsilon/2)$. Лемма доказана.

Определение 5. Множество $M$ в несимметричном полунормированном пространстве $X =(X,{\|\cdot|})$ называется лево-сильно замкнутым, если для любой последовательности $\{x_n\}\subset M$ из условия, что $\|x_n-x|\to 0$, $n\to\infty$, вытекает, что $x\in M$ и $\|x_n-x\|:=\max\{\|x_n-x|,\|x-x_n|\}\to 0$, $n\to\infty$.

Лемма 2. Пусть $X$ – лево-полное равномерно выпуклое несимметричное полунормированное пространство с замкнутым множеством $B(0,1)$, $M\subset X$ – лево-сильно замкнутое непустое подмножество. Тогда в любой окрестности произвольной точки $x\in X\setminus M$ найдется точка существования (т.е. для которой есть ближайшая) для $M$, в которой функция $\varrho(\cdot,M)$ непрерывна.

Доказательство. Отметим сначала, что если шар $B(0,1)$ – замкнутое множество, то и все замкнутые шары также являются замкнутыми множествами. Без потери общности будем считать,что $\varrho(x,M)=1$. Покажем, что в произвольной окрестности $O_\sigma(x)$ есть искомая точка $v_0\in X\setminus M$ существования. Возьмем произвольное число $\Delta\in (0,\min\{1/3,\sigma/3\})$. При помощи математической индукции построим последовательности $\{y_n\}\subset M$ и $\{x_n\}\subset X$. Пусть $\{\varepsilon_n={\varepsilon}/{2^n}\}$ для достаточно малого $\varepsilon\in (0,1)$ и $\delta_0=\varepsilon$, $\sigma_0=\Delta/2$. Положим $x_0=x$.

1. Воспользуемся леммой 1. Возьмем число $\delta_1\in (0,\varepsilon_1/8)$ и элемент $y_1\in M$: $\|y_1-x|<\varrho(x,M)+\delta_1$, элемент $x_1\in [x,y_1]$: $\|x_1-x|=\Delta_1:=\Delta/2$ (в этом случае $\|y_1-x_1|<\varrho(x_1,M)+\delta_1$) такие, что для произвольного элемента $f\in M$: $\|f-x_1|<\varrho(x_1,M)+3\delta_1$ верно включение $f\in B(\mu_1(y_1-x)+x,\varepsilon_1)$ для некоторого $\mu_1\in [1-\varepsilon_1,1]$. Выберем $\sigma_1\in (0,\sigma)$ так, чтобы $\sigma_1<\delta_0/2$ и для любой точки $z\in B(x_1,\sigma_1)$ было верно неравенство $\varrho(x_1,M)\leqslant \varrho(z,M)+\delta_0/2$.

2. Пусть построены элементы $\{y_k\}_{k=1}^{n}\subset M$, элементы $\{x_k\}_{k=1}^{n}\subset X$ и числа $\{\delta_k\}_{k=1}^{n}$, $\{\mu_k\}_{k=1}^{n}$, $\{\sigma_k\}_{k=1}^{n}$, $n\geqslant 2$, такие, что для всех $k $ верны соотношения

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, y_{k}\in M\colon \|y_{k}-x_{k-1}|<\varrho(x_{k-1},M)+\delta_{k}, \\ x_{k}\in [x_{k-1},y_{k}]\colon \|x_{k}-x_{k-1}|=\Delta_{k}:=\frac{1}{2}\min\{\Delta_{k-1},\sigma_{k-1},\delta_{k-1}\} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
(в этом случае $\|y_{k}-x_{k}|<\varrho(x_{k},M)+\delta_{k}$) и для произвольного элемента $f\in M$: $\|f-x_{k}|<\varrho(x_{k},M)+3\delta_{k}$ верно включение $f\in B(\mu_{k}(y_{k}-x_{k-1})+x_{k-1},\varepsilon_{k})$ для некоторого $\mu_{k}\in [1-\varepsilon_{k},1]$. Поэтому $y_{k+1}\in B(\mu_{k}(y_{k}-x_{k-1})+x_{k-1},\varepsilon_{k})$, $k<n$. А также $\sigma_{k}<\delta_{k-1}/2$ и для любой точки $z\in B(x_{k},\sigma_{k})$ верно неравенство $\varrho(x_{k},M)\leqslant \varrho(z,M)+\delta_{k-1}/2$.

Воспользуемся леммой 1. Найдутся число $\delta_{n+1}\in (0,\min_{k=1,n}\delta_k)$, элемент $y_{n+1}\in M$: $\|y_{n+1}-x_{n}|<\varrho(x_{n},M)+\delta_{n+1}$ и элемент

$$ \begin{equation*} x_{n+1}\in [x_{n},y_{n+1}]\colon \|x_{n+1}-x_{n}|=\Delta_{n+1}:=\frac{1}{2}\min\{\Delta_{n},\sigma_n,\delta_{n}\} \end{equation*} \notag $$
(в этом случае $\|y_{n+1}-x_{n+1}|<\varrho(x_{n+1},M)+\delta_{n+1}$) такие, что для произвольного элемента $f\in M$: $\|f-x_{n+1}|<\varrho(x_{n+1},M)+3\delta_{n+1}$ верно включение $f\in B(\mu_{n+1}(y_{n+1}-x_{n})+x_{n},\varepsilon_{n+1})$ для некоторого $\mu_{n+1}\in [1-\varepsilon_{n+1},1]$. Кроме того, $y_{n+1}\in B(\mu_{n}(y_{n}-x_{n-1})+x_{n-1},\varepsilon_{n })$. Выберем $\sigma_{n+1}\in (0,\min_{k=1,n}\sigma_k)$ так, чтобы $\sigma_{n+1}<\delta_{n}/2$ и для любой точки $z\in B(x_{n+1},\sigma_{n+1})$ было верно неравенство $\varrho(x_{n+1},M)\leqslant \varrho(z,M)+\delta_{n}/2$.

3. Имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl\|\biggl(\prod_{k\geqslant n+1}\mu_k\biggr)y_{n+1}-\biggl(\prod_{k\geqslant n}\mu_k\biggr)y_n\biggr|= \biggl(\prod_{k\geqslant n+1}\mu_k \biggr)\|y_{n+1}-\mu_n y_n| \\ &\qquad\leqslant \|y_{n+1}-(\mu_{n}(y_{n}-x_{n-1})+x_{n-1})| +\|\mu_{n}(y_{n}-x_{n-1})+x_{n-1}-\mu_{n}y_{n}| \\ &\qquad\leqslant \varepsilon_{n}+\|(1-\mu_n)x_{n-1}|\leqslant 2 \varepsilon_{n}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Таким образом, последовательность $\{\widehat{y}_n:=(\prod_{k\geqslant n}\mu_k)y_n\}$ фундаментальна, и в силу левой полноты пространства $X$ найдется элемент $y\in X$, для которого $\|\widehat{y}_n-y|\to 0$, $n\to \infty$. Тогда
$$ \begin{equation*} \|{y}_n-y|\leqslant \|{y}_n-\widehat{y}_n|+\|\widehat{y}_n-y|= \biggl(1-\prod_{k\geqslant n}\mu_k \biggr)\|y_n|+\|\widehat{y}_n-y|\to 0, \qquad n\to\infty, \end{equation*} \notag $$
и в силу замкнутости множества $M$ точка $y$ принадлежит $M$.

Поскольку по построению последовательность $\{x_n\}$ фундаментальна, то существует точка $x^0\in X$ такая, что $\|x_n-x^0|\to 0$, $n\to\infty$. Тогда

$$ \begin{equation*} \varrho(x^0,M)\leqslant\|y_n-x^0|\leqslant \|y_n-x_n|+\|x_n-x^0|=\varrho(x_n,M)+\delta_n+\|x_n-x^0| \end{equation*} \notag $$
для всех $n\in \mathbb{N}$. Учитывая, что $x^0\in B(x_n,\sigma_n)$ (так как шар $ B(x_n,\sigma_n)$ – замкнутое множество и $\{x_k\}_{k\geqslant n+1}\subset B(x_n,\sigma_n)$), мы получим, что $\varrho(x^0,M)+{\delta_n}/{2}\geqslant \varrho(x_n,M)$, и, следовательно, $\|y_n-x^0|,\varrho(x_n,M)\to \varrho(x^0,M)$, $n\to\infty$. Так как по условию $M$ – лево-сильно замкнутое множество, то $\|y-y_n|\to 0$, $n\to\infty$. И, следовательно,
$$ \begin{equation*} \varrho(x^0,M)\leqslant \|y-x^0|\leqslant \|y-y_n|+ \|y_n-x^0|\to \varrho(x^0,M), \qquad n\to\infty, \end{equation*} \notag $$
т.е. точка $y\in M$ является ближайшей для $x^0$ во множестве $M$. Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – полное (или полное относительно нормы симметризации) локально равномерно выпуклое несимметричное пространство, $M$ – непустое замкнутое множество с плотным относительно нормы пространства $X$ (или нормы симметризации) множеством $E$ точек существования для $M$ в пространстве $X$. Тогда существует множество второй категории относительно нормы пространства $X$ (или нормы симметризации) точек аппроксимативной единственности для множества $M$.

Доказательство. Пусть $x\in E$: $\varrho(x,M)>0$. Без потери общности можно считать, что $\varrho(x,M)=1$ и $x=0$. Так как $X=(X,{\|\cdot|})$ локально равномерно выпукло, то для ближайшей точки $y\in P_Mx$ произвольных $\varepsilon>0$ и $ \Delta\in (0,1]$ существует $\delta=\delta(\varepsilon,\Delta)\in (0,1)$ такое, что для любых $f\in S$ и $\Delta'\in [\Delta/4,1]$ из условия $\|f-\Delta' y|+\Delta'\|y|-\|f|\leqslant 3\delta$ вытекает, что $\|f-y|<\varepsilon$. При этом можно считать, что $\delta<\varepsilon$. Пусть $z\in [x,y]$: $\|z-x|=\Delta$. Тогда для любой точки $w\in O^{\mathrm{sym}}(z)=O^{\mathrm{sym}}_\delta(z):=\{t\mid \|z-t\|<\delta\}$ верно неравенство
$$ \begin{equation*} \|y-w|\leqslant \|z-w|+\|y-z|\leqslant \delta+1-\Delta, \end{equation*} \notag $$
следовательно, $\varrho(w,M)\leqslant \delta+1-\Delta$. Соответственно, для любой точки $s\in M$: $\|s-w|\leqslant \varrho(w,M)+\delta$ верна оценка
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|s-x| &\leqslant \|s-z|+\|z-x|\leqslant \|s-w|+\|w-z\|+\|z-x| \\ &\leqslant \varrho(w,M)+\delta+\delta +\Delta\leqslant \delta+1-\Delta+2\delta +\Delta=1+3\delta. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
При этом $1\leqslant \|s|\leqslant 1+3\delta$. Положим $s':=(s-x)/\|s-x|+x=s/\|s|$, тогда $\|s-s'|\leqslant {3\delta}/(1+3\delta)\|s|\leqslant 3\delta$. Пусть $z_1\in [x,z]$ такая точка, что отрезки $[z_1,s_1]$ и $[z,s]$ параллельны. Поскольку треугольники $\triangle xz_1s_1$ и $\triangle xz s $ подобны с коэффициентом ${\|s-x|}/{\|s_1-x|}\leqslant 1$, то
$$ \begin{equation*} \|z_1-x|+\|s_1-z_1|\leqslant \|z -x|+\|s -z |\leqslant 1+3\delta, \end{equation*} \notag $$
что влечет $\|s_1-y|<\varepsilon$. Отсюда
$$ \begin{equation*} \|s-y|\leqslant \|s-s_1|+\|s_1-y|\leqslant 3\delta+\varepsilon<4\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Для каждой точки $x\in E$: $\varrho(x,M)>0$, любой точки $y\in P_Mx$, произвольных чисел $\varepsilon\in (0,1)$ и $\Delta\in (0,\|y-x|)$ рассмотрим множество $A(x,y,\varepsilon,\Delta)$, являющееся объединением окрестностей $O^{\mathrm{sym}}(z)$. Множество $A(x,y,\varepsilon,\Delta)$ открыто относительно нормы симметризации и замыкание множества $B(\varepsilon,\Delta):=\bigcup_{x,y}A(x,y,\varepsilon,\Delta)$ в $X$ относительно этой нормы содержит множество $E$. Нетрудно видеть, что $\bigcap_{\varepsilon,\Delta}B(\varepsilon,\Delta)$ является множеством 2-й категории относительно нормы пространства $X$ (или относительно нормы симметризации) и по построению состоит из точек аппроксимативной единственности. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – полное (или лево-полное равномерно выпуклое с аксиомой отделимости $T_2)$ несимметричное пространство, $\{A_k\}$ – последовательность замкнутых множеств без внутренних точек относительно несимметричной нормы (или относительно нормы симметризации $\|\cdot\|:=\max\{{\|\cdot|},{\|-\cdot|}\}).$ Тогда дополнение к $A:=\bigcup_{k=1}^\infty A_k$ в $X$ плотно в $X$ относительно несимметричной нормы (и относительно нормы симметризации).

Доказательство. Доказательство для нормы симметризации такое же, как и для несимметричной нормы. Только в конце доказательства мы должны будем использовать свойство, что вложенная ограниченная последовательность непустых замкнутых выпуклых множеств (при условиях теоремы) имеет непустое пересечение (см. теорему 2). Итак, мы рассмотрим только случай несимметричной нормы. Пусть $B(x,R)\supset B(y,r)$, тогда $\|y-x|+r\leqslant R$, т.е. $\|y-x|\leqslant R-r$.

Пусть $B (x_0,r_0)$ – произвольный шар в пространстве $X$. При помощи математической индукции построим вложенную последовательность шаров

$$ \begin{equation*} \{B(x_n,r_n)\}\subset B(x_0,r_0) \text{ такую, что }B(x_n,r_n)\cap A_n\neq \varnothing \text{ для всех }n\in \mathbb{N} . \end{equation*} \notag $$
Тогда $\|x_m-x_n|\leqslant r_n-r_m$ для всех $m\geqslant n$, отсюда следует фундаментальность последовательности $\{x_n\}$. В силу полноты пространства $X$ существует элемент $x\in X$: $\|x-x_m|\to 0$, $m\to\infty$. Тогда
$$ \begin{equation*} \|x-x_n|\leqslant \|x-x_m|+\|x_m-x_n|\to r_n-\lim_{m\to\infty}r_m\leqslant r_n, \end{equation*} \notag $$
$n\leqslant m\to\infty$. Поэтому $x\in B(x_n,r_n)$ и, следовательно, не принадлежит $A_n$ для всех $n\in \mathbb{N}$, то отсюда вытекает требуемое утверждение. Теорема доказана.

Следствие 3. Пусть в пространстве $X=(X,{\|\cdot|})$ всякая вложенная последовательность непустых замкнутых выпуклых множеств имеет непустое пересечение. Тогда пространство $X$ полно относительно нормы симметризации.

Доказательство. Отметим, что шары $B_{\mathrm{sym}}(x ,r ):=\{y\in X\mid \|y-x\|\leqslant r\}$ – замкнутые множества. Известно, что если произвольная вложенная последовательность шаров $\{B_{\mathrm{sym}}(x_n,r_n)\}$ имеет непустое пересечение, то линейное нормированное пространство (относительно нормы симметризации) является полным. Отсюда вытекает утверждение следствия.

§ 4. Существование и единственность чебышёвских центров для ограниченных множеств

В этом параграфе рассматриваются классические вопросы существования и единственности чебышёвских центров в случае несимметричных пространств. С обзором аналогичной проблематики для случая нормированных пространств можно ознакомиться в [26].

Определение 6. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ — несимметричное пространство, множество $M\subset X$ называется ограниченным, если существуют точка $z\in X$ и число $C>0$, для которых $M\subset B(z,C)$. Множество $M$ называется лево-ограниченным, если существуют точка $w\in X$ и число $C'>0$, для которых $M\subset B^-(w,C):=\{y\in X\mid \|w-y|\leqslant C'\}$. Множество $M$ называется двусторонне ограниченным, если оно ограничено и лево-ограничено. Отметим, что это эквивалентно ограниченности множества относительно нормы симметризации.

Теорема 5. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – полное равномерно выпуклое несимметричное пространство, $M\,{\subset}\,X$ – двусторонне ограниченное множество. Для числа $C{\kern1pt}{>}{\kern1pt}0$ рассмотрим непустое множество $M_C\,{:=}\,\{z\,{\in}\,X\,|\, B(z,C)\,{\supset}\, M\}$. Тогда существует левый чебышёвский центр во множестве $M_C$ для $M$, т.е. найдется такая точка $x\in \overline{M_C}$, что величина $r(M,M_C):=\inf_{z\in M_C}\sup_{y\in M }\|z-y|$ равна $\sup_{y\in M }\|x-y|$.

Доказательство. Без потери общности будем считать, что $r(M,M_C)=1$ и $0\in M$. В силу равномерной выпуклости пространства $X$ для любого $\varepsilon\in (0,1)$ существует число $\delta=\delta(\varepsilon)\in (0,{\varepsilon}/{8})$ такое, что для любых $f,g\in S$ из условия $0\leqslant \|f-\frac{1}{2}g|+\frac{1}{2}\|g|-\|f|<\delta(\varepsilon)$ вытекает, что $f,g\in B(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$. Положим $\varepsilon_n:={\varepsilon}/{2^n}$ для некоторого числа $\varepsilon\in (0,1)$, $n\in \mathbb{N}$. Выберем невозрастающую последовательность чисел $\delta_n:=\min_{k=1,\dots,n}\{\delta(\varepsilon_k/2)\}$, $n\in \mathbb{N}$.

Произведем индукционное построение последовательности $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset M_C$, взяв в качестве точки $x_1\in M_C$: $M\subset B^-(x_1,1+{\delta_1}/{10^4}) $ и взяв в качестве точки $x_n\in M_C$: $M\subset B^-(x_n,1+{\delta_n}/{10^4}) $ для $n>1$. Найдется точка $y\in M$ такая, что $\|(x_n+x_{n-1})/2-y|\geqslant 1-{\delta_n}/{10^4}$. Обозначив $f_{n}:=x_{n}-y$ и $f_{n-1}:=x_{n-1}-y$, имеем

$$ \begin{equation*} \frac{x_n+x_{n-1}}2-y=\frac{f_n+f_{n-1}}2, \qquad \|f_{n}|\leqslant 1+\frac{\delta_n}{10^4}, \quad \|f_{n-1}|\leqslant 1+\frac{\delta_{n-1}}{10^4}. \end{equation*} \notag $$

Так как

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2}\|f_{n}|+\frac{1}{2}\|f_{n-1}|\geqslant \biggl\|\frac{f_n+f_{n-1}}2 \biggr|\geqslant 1-\frac{\delta_n}{10^4}, \end{equation*} \notag $$
то
$$ \begin{equation*} \|f_{n}|\geqslant 1-\frac{2\delta_n}{10^4}-\frac{\delta_{n-1}}{10^4}>1-\frac{\delta_{n-1}}{10^3}, \qquad \|f_{n-1}|\geqslant 1-\frac{2\delta_n}{10^4}-\frac{\delta_{n}}{10^4}>1-\frac{ \delta_{n-1}}{10^3}. \end{equation*} \notag $$
Возьмем такие числа $\alpha_n$, $\alpha_{n-1}$, чтобы $f'_{n}:=\alpha_nf_n\in S$ и $f'_{n-1}:=\alpha_{n-1}f_{n-1}\in S$. Так как
$$ \begin{equation*} 1-\frac{\delta_{n-1}}{10^3}<\|f_n|,\|f_{n-1}|<1+\frac{\delta_{n-1}}{10^3}, \end{equation*} \notag $$
то
$$ \begin{equation*} \alpha_{n-1},\alpha_{n}\in \biggl[\biggl(1+\frac{\delta_{n-1}}{10^3}\biggr)^{-1}, \biggl(1-\frac{\delta_{n-1}}{10^3}\biggr)^{-1}\biggr]. \end{equation*} \notag $$

В случае $\alpha_n\geqslant \alpha_{n-1}$ имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl\|\frac{f'_{n}+f'_{n-1}}{2}\biggr| =\biggl\|\alpha_{n-1}\frac{f_{n}+f_{n-1}}{2} +\frac{\alpha_n-\alpha_{n-1}}{2}f_n\biggr| \\ &\qquad\geqslant \alpha_{n-1}\biggl\|\frac{f_{n}+f_{n-1}}{2}\biggr| -\frac{(1-{\delta_{n-1}}/10^3)^{-1}-(1+{\delta_{n-1}}/10^3)^{-1}}{2} \biggl(1+\frac{\delta_n}{10^4}\biggr) \\ &\qquad \geqslant \biggl(1+\frac{\delta_{n-1}}{10^3}\biggr)^{-1} \biggl(1-\frac{\delta_n}{10^4}\biggr) -\frac{{2\delta_{n-1}}/{10^3}}{2(1-{\delta_{n-1}}/{10^3})(1+{\delta_{n-1}}/{10^3})} \biggl(1+\frac{\delta_n}{10^4}\biggr) \\ &\qquad \geqslant\biggl(1-\frac{\delta_{n-1}}{10^3}\biggr)\biggl(1-\frac{\delta_n}{10^4}\biggr) -\frac{{\delta_{n-1}}/{10^3}}{(1-{\delta_{n-1}}/{10^3})} \\ &\qquad \geqslant 1-\frac{2 \delta_{n-1}}{10^3}-\frac{\delta_{n-1}}{10^3} \biggl(1+2\frac{\delta_{n-1}}{10^3}\biggr) \geqslant 1-\frac{\delta_{n-1}}{250}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

В случае $\alpha_{n-1}\geqslant \alpha_n$ имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl\|\frac{f'_{n}+f'_{n-1}}{2}\biggr|=\biggl\|\alpha_{n}\frac{f_{n}+f_{n-1}}{2} +\frac{\alpha_{n-1}-\alpha_n}{2}f_{n-1}\biggr| \\ &\qquad \geqslant \alpha_{n}\biggl\|\frac{f_{n}+f_{n-1}}{2}\biggr| -\frac{(1-{\delta_{n-1}}/{10^3})^{-1}-(1+{\delta_{n-1}}/{10^3})^{-1}}{2} \biggl(1+\frac{\delta_{n-1}}{10^4}\biggr) \\ &\qquad \geqslant\biggl(1-\frac{\delta_{n-1}}{10^3}\biggr)\biggl(1-\frac{\delta_n}{10^4}\biggr) -\frac{{2\delta_{n-1}}/{10^3}}{2(1-{\delta_{n-1}}/{10^3})(1+{\delta_{n-1}}/{10^3})} \biggl(1+\frac{\delta_{n-1}}{10^4}\biggr) \\ &\qquad\geqslant 1-\frac{2 \delta_{n-1}}{10^3}-\frac{\delta_{n-1}}{10^3} \biggl(1+2\frac{\delta_{n-1}}{10^3}\biggr) \geqslant 1-\frac{\delta_{n-1}}{250}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Так как $\|(f'_{n}+f'_{n-1})/2-\frac{1}{2}f'_{n-1}|+\frac{1}{2}\|f'_n|=1$, то для числа $\beta_n\geqslant 1$: $\beta_n(f'_{n}+f'_{n-1})/2\in S$ верны оценки:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, 0\leqslant \beta_n-1\leqslant \frac{{\delta_n}/{250}}{1-{\delta_n}/{250}}<\frac{\varepsilon_n}{4}, \\ \begin{aligned} \, \biggl\|\beta_n\frac{f'_{n}+f'_{n-1}}{2}-\frac{1}{2}f'_{n-1}\biggr| +\frac{1}{2}\|f'_n|-1 &\leqslant\biggl\|(\beta_n-1)\frac{f'_{n}+f'_{n-1}}{2}\biggr| \\ &\leqslant (\beta_n-1)\biggl(1+\frac{\delta_{n-1}}{10^4}\biggr)<\frac{1}{2}\delta_n. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
В силу равномерной выпуклости пространства $X$ найдется число $\widehat{\mu}_{n-1}\in[1- \varepsilon_{n-1}/2,1]$ такое, что $\beta_{n}(f'_n+f'_{n-1})/2,f'_{n-1}\in B(\widehat{\mu}_{n-1}f'_{n-1},\varepsilon_{n-1})$. Отсюда
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \biggl\|\frac{f'_n+f'_{n-1}}{2}-\frac{\widehat{\mu}_{n-1}}{\beta_n}f'_{n-1}\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon_{n-1}}{\beta_n}, \qquad \|f'_n-\mu_{n-1}f'_{n-1}|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_{n-1}}{\beta_n} \leqslant 4\varepsilon_{n-1}, \\ \text{где }\ \mu_{n-1}=2\frac{\widehat{\mu}_{n-1}}{\beta_n}-1\geqslant 1-\varepsilon_{n-1}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Поэтому $f'_{n}\in B(\mu_{n-1} f'_{n-1},4 \varepsilon_{n-1})$. Отсюда $\|f'_n-\mu_{n-1} f'_{n-1}|\leqslant 4\varepsilon_{n-1}$, т.е.
$$ \begin{equation*} f_n\in B\biggl(\frac{\mu_{n-1}}{\alpha_n} f'_{n-1},\frac{4\varepsilon_{n-1}}{\alpha_n}\biggr)= B\biggl(\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n} f_{n-1},\frac{4\varepsilon_{n-1}}{\alpha_n}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Так же, как и в доказательстве теоремы 2, беря в качестве $\mu_{n-1}$ число $1-\varepsilon_{n-1}$, мы получим, что ${\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}/{\alpha_n} <1$ и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, 0 &\leqslant 1-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n} =\frac{\alpha_n-(1-\varepsilon_{n-1})\alpha_{n-1}}{\alpha_n} \\ &\leqslant\frac{(1-{\delta_{n-1}}/{10^3})^{-1}-(1-\varepsilon_{n-1})(1+{\delta_{n-1}}/{10^3})^{-1}} {(1+{\delta_{n-1}}/{10^3})^{-1}} \\ &=\frac{{2\delta_{n-1}}/{10^3}}{1-{\delta_{n-1}}/{10^3}}+\varepsilon_{n-1}<2\varepsilon_{n-1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{5\varepsilon_{n-1}}{\alpha_n} &\geqslant \biggl\|f_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n} f_{n-1}\biggr| =\biggl\|x_n-y-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}(x_{n-1}-y)\biggr| \\ &=\biggl\|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}x_{n-1}- \biggl(y-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}y\biggr)\biggr| \\ &\geqslant \biggl\|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}x_{n-1}\biggr| \biggl(1-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}\biggr)\|y| \\ &\geqslant\biggl\|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}x_{n-1}\biggr| -\biggl(1-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}\biggr)d, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $d:=\sup_{z\in M}\|z|<+\infty$. Отсюда
$$ \begin{equation*} \|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}x_{n-1}|\leqslant \varepsilon_{n-1}\biggl(\frac{5}{\alpha_n}+2d\biggr) \leqslant (8+2d)\varepsilon_{n-1}. \end{equation*} \notag $$

Положим $P_n:=(\prod_{k\geqslant n}{\mu_{k}\alpha_{k}}/{\alpha_{k+1}})$ и $\widehat{x}_n:=P_nx_n$, $n\in \mathbb{N}$. Тогда

$$ \begin{equation*} \|\widehat{x}_{n}-\widehat{x}_{n-1}|=P_n\biggl\|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}x_{n-1}\biggr| \leqslant (8+2d)\varepsilon_{n-1}, \qquad n\in \mathbb{N}, \end{equation*} \notag $$
и, следовательно, последовательность $\{\widehat{x}_n\}$ фундаментальна. В силу полноты пространства $X$ найдется элемент $x\in X$ (на самом деле $x$ принадлежит замыканию $ {M_C}$) такой, что $\|x-\widehat{x}_n|\to 0$, $n\to \infty$, и, следовательно, $\|x-x_n|\leqslant \|x- \widehat{x}_n|+\|\widehat{x}_n-{x}_n|=\|x-\widehat{x}_n|+(1-P_n)\|-x_n|\leqslant \|x-\widehat{x}_n|+(1-P_n)(d+C)\to 0$, $n\to \infty$. Кроме того, $\|x-z|\leqslant \|x-x_n|+\|x_n-z|\leqslant \|x-x_n|+ 1+{\delta_{n-1}}/{10^4}\to 1=r(M,M_C)$ для всех $z\in M$. Теорема 5 доказана.

Замечание 12. Аналогично доказывается существование как левого, так и правого чебышёвского относительного центра в случае, когда $X=(X,{\|\cdot|})$ – полное равномерно выпуклое несимметричное пространство, $M $ – ограниченное относительно нормы симметризации множество, $A\subset X$ – ограниченное и замкнутое относительно нормы симметризации множество. Т.е. для указанных $M \subset X$ и $A\subset X$ существует чебышёвский (лево-чебышёвский) центр $x\in A$ $(x'\in A)$:

$$ \begin{equation*} \sup_{y\in M }\|y-x|=\inf_{z\in A}\sup_{y\in M }\|y-z| \qquad \Bigl(\sup_{y\in M }\|x'-y|=\inf_{z\in A}\sup_{y\in M }\|z-y|\Bigr). \end{equation*} \notag $$

Определение 7. Несимметричное полунормированное пространство называется инверсно равномерно выпуклым (или инверсно право-равномерно выпуклым), если для любого $\varepsilon\in (0,1)$ существует число $\delta=\delta(\varepsilon)\in (0,{\varepsilon}/{8})$ такое, что для любых $f,g\in S$ из условия $0\leqslant \|f-\frac{1}{2}g|+\frac{1}{2}\|g|-\|f|<\delta(\varepsilon)$ вытекает, что $f \in B^-(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$. Аналогично определяется инверсно лево-равномерно выпуклое пространство, в отличие от предыдущего случая вместо последней формулы надо использовать следующее утверждение: $g \in B^-(\mu f,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$.

Отметим, что если $(X,{\|\cdot|})$ является инверсно право-равномерно (инверсно лево-равномерно) выпуклым линейным пространством, то зеркальное пространство $(X,{\|-\cdot|})$ также является инверсно право-равномерно (инверсно лево-равномерно) выпуклым линейным пространством.

Теорема 6. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – лево-полное инверсно равномерно выпуклое несимметричное полунормированное пространство, $M\subset X$ – право-ограниченное множество. Тогда существует правый чебышёвский центр в $X$ для $M$, т.е. существует такая точка $x\in X$, что

$$ \begin{equation*} \textit{ величина }r(M,X):=\inf_{z\in X}\sup_{y\in M }\|y-z|\textit{ равна }\sup_{y\in M }\|y- x|. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Доказательство проводится так же, как и в теореме 5, за исключением того, что последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ берется в $X$, а не в $M_C$.

Без потери общности будем считать, что $r(M,X)=1$ и $0\in M$. В силу инверсной равномерной выпуклости пространства $X$ для любого $\varepsilon\in (0,1)$ существует число $\delta=\delta(\varepsilon)\in (0,{\varepsilon}/{8})$ такое, что для любых $f,g\in S$ из условия $0\leqslant \|f-\frac{1}{2}g|+\frac{1}{2}\|g|-\|f|<\delta(\varepsilon)$ вытекает, что $f \in B^-(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$. Положим $\varepsilon_n:={\varepsilon}/{2^n}$ для некоторого числа $\varepsilon\in (0,1)$, $n\in \mathbb{N}$. Выберем невозрастающую последовательность чисел $\delta_n:=\min_{k=1,\dots,n}\{\delta(\varepsilon_k/2)\}$, $n\in \mathbb{N}$.

Произведем индукционное построение последовательности $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset M_C$, взяв в качестве точки $x_1\in X$: $M\subset B(x_1,1+{\delta_1}/{10^4}) $ и взяв в качестве точки $x_n\in X$: $M\subset B(x_n,1+{\delta_n}/{10^4}) $ для $n>1$. Найдется точка $y\in M$ такая, что $\|y-(x_n+x_{n-1})/2|\geqslant 1-{\delta_n}/{10^4}$. Обозначим $f_{n}:=y -x_{n}$ и $f_{n-1}:=y -x_{n-1}$, тогда

$$ \begin{equation*} y-\frac{x_n+x_{n-1}}2=\frac{f_n+f_{n-1}}2, \qquad \|f_{n}|\leqslant 1+\frac{\delta_n}{10^4}, \quad \|f_{n-1}|\leqslant 1+\frac{\delta_{n-1}}{10^4}. \end{equation*} \notag $$

Так как

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2}\|f_{n}|+\frac{1}{2}\|f_{n-1}|\geqslant \biggl\|\frac{f_n+f_{n-1}}2 \biggr|\geqslant 1-\frac{\delta_n}{10^4}, \end{equation*} \notag $$
то
$$ \begin{equation*} \|f_{n}|\geqslant 1-\frac{2\delta_n}{10^4}-\frac{\delta_{n-1}}{10^4}>1-\frac{\delta_{n-1}}{10^3}, \qquad \|f_{n-1}|\geqslant 1-\frac{2\delta_n}{10^4}-\frac{\delta_{n}}{10^4}>1-\frac{\delta_{n-1}}{10^3}. \end{equation*} \notag $$
Возьмем такие числа $\alpha_n$, $\alpha_{n-1}$, чтобы $f'_{n}:=\alpha_nf_n\in S$ и $f'_{n-1}:=\alpha_{n-1}f_{n-1}\in S$. Так как
$$ \begin{equation*} 1-\frac{\delta_{n-1}}{10^3}<\|f_n|,\|f_{n-1}|<1+\frac{\delta_{n-1}}{10^3}, \end{equation*} \notag $$
то
$$ \begin{equation*} \alpha_{n-1},\alpha_{n}\in \biggl[\biggl(1+\frac{\delta_{n-1}}{10^3}\biggr)^{-1}, \biggl(1-\frac{\delta_{n-1}}{10^3}\biggr)^{-1}\biggr]. \end{equation*} \notag $$

Так же, как и в теореме 5, доказывается, что

$$ \begin{equation*} \biggl\|\frac{f'_{n}+f'_{n-1}}{2}\biggr| \geqslant 1-\frac{\delta_{n-1}}{250}. \end{equation*} \notag $$

Так как $\|(f'_{n}+f'_{n-1})/2-f'_{n-1}/2|+\|f'_n|/2=1$, то для числа $\beta_n\geqslant 1$: $\beta_n(f'_{n}+f'_{n-1})/2\in S$ верны оценки

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, 0\leqslant \beta_n-1\leqslant \frac{{\delta_n}/{250}}{1-{\delta_n}/{250}} <\frac{\varepsilon_n}{4} , \\ \begin{aligned} \, \biggl\|\beta_n\frac{f'_{n}+f'_{n-1}}{2}-\frac{1}{2}f'_{n-1}\biggr|+\frac{1}{2}\|f'_n|-1 &\leqslant \biggl\|(\beta_n-1)\frac{f'_{n}+f'_{n-1}}{2}\biggr| \\ &\leqslant (\beta_n-1)\biggl(1+\frac{\delta_{n-1}}{10^4}\biggr)<\frac{1}{2}\delta_n. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
В силу инверсной равномерной выпуклости пространства $X$ найдется число $\widehat{\mu}_{n-1}\in[1-\varepsilon_{n-1}/2,1]$ такое, что $\beta_{n} (f'_n+f'_{n-1})/2 \in B^-(\widehat{\mu}_{n-1}f'_{n-1},\varepsilon_{n-1})$. Отсюда
$$ \begin{equation*} \biggl\|\frac{\widehat{\mu}_{n-1}}{\beta_n}f'_{n-1}-\frac{f'_n+f'_{n-1}}{2}\biggr|\leqslant \frac{\varepsilon_{n-1}}{\beta_n}, \qquad \|\mu_{n-1}f'_{n-1}-f'_n|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_{n-1}}{\beta_n} \leqslant 4\varepsilon_{n-1}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \mu_{n-1}=2\frac{\widehat{\mu}_{n-1}}{\beta_n}-1. \end{equation*} \notag $$
Поэтому $f'_{n}\in B^-(\mu_{n-1} f'_{n-1},4 \varepsilon_{n-1})$. Отсюда $\|\mu_{n-1} f'_{n-1}-f'_n|\leqslant 4\varepsilon_{n-1}$, т.е.
$$ \begin{equation*} f_n\in B^-\biggl(\frac{\mu_{n-1}}{\alpha_n} f'_{n-1},\frac{4\varepsilon_{n-1}}{\alpha_n}\biggr) = B^-\biggl(\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n} f_{n-1},\frac{4\varepsilon_{n-1}}{\alpha_n}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Так же, как и в доказательстве теоремы 2, беря в качестве $\mu_{n-1}$ число $1-\varepsilon_{n-1}$, мы получим, что ${\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}/{\alpha_n} <1$ и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, 0 &\leqslant 1-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n} =\frac{\alpha_n-(1-\varepsilon_{n-1})\alpha_{n-1}}{\alpha_n} \\ &\leqslant\frac{(1-{\delta_{n-1}}/{10^3})^{-1} -(1-\varepsilon_{n-1})(1+{\delta_{n-1}}/{10^3})^{-1}}{(1+{\delta_{n-1}}/{10^3})^{-1}} \\ &=\frac{{2\delta_{n-1}}/{10^3}}{1-{\delta_{n-1}}/{10^3}}+\varepsilon_{n-1}<2\varepsilon_{n-1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{5\varepsilon_{n-1}}{\alpha_n} &\geqslant \biggl\|\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n} f_{n-1}-f_n\biggr| =\biggl\|\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}(y -x_{n-1})-(y- x_n)\biggr| \\ &=\biggl\|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha-_n}x_{n-1}- \biggl(y-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}y\biggr)\biggr| \\ &\geqslant \biggl\|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}x_{n-1}\biggr| -\biggl(1-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}\biggr)\|y| \\ &\geqslant\biggl\|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}x_{n-1}\biggr| -\biggl(1-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}\biggr)d, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $d= \sup_{z\in M}\|z|<+\infty$. Отсюда
$$ \begin{equation*} \biggl\|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}x_{n-1}\biggr|\leqslant \varepsilon_{n-1}\biggl(\frac5\alpha_n+2d\biggr)\leqslant (8+2d)\varepsilon_{n-1}. \end{equation*} \notag $$

Положим $P_n:=\prod_{k\geqslant n} ({\mu_{k}\alpha_{k}}/{\alpha_{k+1}})$ и $\widehat{x}_n:=P_nx_n$, $n\in \mathbb{N}$. Тогда

$$ \begin{equation*} \|\widehat{x}_{n}-\widehat{x}_{n-1}| =P_n\biggl\|x_n-\frac{\mu_{n-1}\alpha_{n-1}}{\alpha_n}x_{n-1}\biggr|\leqslant (8+2d)\varepsilon_{n-1},\qquad n\in \mathbb{N}, \end{equation*} \notag $$
и, следовательно, последовательность $\{\widehat{x}_n\}$ фундаментальна. В силу левой полноты пространства $X$ найдется элемент $x\in X$ такой, что $\|\widehat{x}_n- x|\to 0$, $n\to \infty$, и, следовательно, $\|x_n-x|\leqslant \|x_n-\widehat{x}_n|+\|\widehat{x}_n-{x}|= (1-P_n)\|x_n|+\|\widehat{x}_n- {x}| \,{\to}\, 0$, $n\to \infty$. Кроме того, $\| z-x|\leqslant \|z-x_n|+\|x_n-x|\leqslant \|x_n-x|+ 1+{\delta_{n-1}}/{10^4}\to 1=r(M,X)$ для всех $z\in M$. Таким образом, $x$ – правый чебышёвский центр в $X$ для $M$. Теорема 6 доказана.

Замечание 13. Аналогичное теореме 6 утверждение выполняется и для левого чебышёвского центра. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – лево-полное инверсно равномерно выпуклое несимметричное полунормированное пространство, $M\subset X$ – лево-ограниченное множество. Тогда существует левый чебышёвский центр в $X$ для $M$, т.е. существует такая точка $x\in X$, что

$$ \begin{equation*} \text{ величина }r(M,X):=\inf_{z\in X}\sup_{y\in M }\|z-y|\text{ равна }\sup_{y\in M }\|x-y |. \end{equation*} \notag $$

Определение 8. Множество $M\subset X$ называется лево-компактным множеством, если оно компактно относительно топологии, порожденной левыми открытыми шарами как предбазой.

Теорема 7. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – полное локально равномерно выпуклое несимметричное пространство, $M\subset X$ – лево-компактное множество, $x$ – левый чебышёвский центр множества $M$. Тогда для любой последовательности $\{x_n\}\in X$ такой, что

$$ \begin{equation*} r_n:=\inf\{R\geqslant 0\mid B^-(x_n,R)\supset M\}\to r:=\inf\{R\geqslant 0\mid M\subset B^-(z,R),\,z\in X\}, \end{equation*} \notag $$
имеет место сходимость $\|x-x_n|\to 0$, $n\to\infty$.

Доказательство. Докажем методом от противного. Переходя при необходимости к подпоследовательности можно считать, что $\|x-x_n|> \delta$, $n\in \mathbb{N}$, для некоторого $\delta>0$. Будем считать без потери общности, что $r=1$. В силу локальной равномерной выпуклости пространства $X$ для всех $g\in S$, $\varepsilon\in(0,1)$ существует $\delta=\delta(\varepsilon)\in (0,{\varepsilon}/{8})$ такое, что для любых $f\in S$ из условия $0\leqslant \|f-\frac{1}{2}g|+\frac{1}{2}\|g|-\|f|<\delta(\varepsilon)$ вытекает, что $\|f-g|<\varepsilon$. Положим $\varepsilon_n:={\varepsilon}/{2^n}$ для некоторого числа $\varepsilon\in (0,1)$, $n\in \mathbb{N}$. Выберем невозрастающую последовательность чисел $\delta_n:=\min_{k=1,\dots,n}\{\delta(\varepsilon_k/2)\}$, $n\in \mathbb{N}$. Снова переходя при необходимости к подпоследовательности можно считать, что $M\subset B^-(x_n,1+{\delta_n}/{10^4}) $ для всех $n $. Поскольку левая норма полунепрерывна сверху относительно себя, то функция $\|x-\cdot|$ достигает своего максимума на левом компакте, и, следовательно, найдется точка $y_n\in M$ такая, что $\|(x_n+x)/2-y_n|\geqslant 1$. В силу левой компактности множества $M$ найдется точка $y\in M$: $\|y-y_{n_k}|\to 0$, $k\to\infty$. Более того, из этой подпоследовательности можно выбрать новую подпоследовательность так, чтобы $\|y-y_{n'_k}|\leqslant {\delta_k}/{10^4}$. Затем для удобства переобозначим ее как $\{y_k\}$. Тогда
$$ \begin{equation*} \biggl\|\frac{x_k+x}2-y\biggr|\geqslant \biggl\|\frac{x_k+x}2-y_k\biggr|-\|y-y_k|=1-\|y-y_k|\geqslant 1-\frac{\delta_k}{10^4}, \qquad k\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$

Обозначим $f_{n}:=x_{n}-y$ и $f:=x-y$, тогда $(x_n+x)/2-y=(f_n+f)/2 $ и $\|f_{n}|\leqslant 1+{\delta_n}/{10^4}$, $\|f|\leqslant 1$. Возьмем такие числа $\alpha_n$, $\alpha $, чтобы $f'_{n}:=\alpha_nf_n\in S$ и $f' :=\alpha f \in S$. Также возьмем $\beta_n\geqslant 1$: $\beta_n(f'_{n}+f')/{2}\in S$. Так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы, выводятся оценки

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, 0\leqslant \beta_n-1\leqslant \frac{{\delta_n}/{250}}{1-{\delta_n}/{250}}<\frac{\varepsilon_n}{4}, \\ \begin{aligned} \, \biggl\|\beta_n\frac{f'_{n}+f'}{2}-\frac{1}{2}f'_n\biggr|+\frac{1}{2}\|f'_n|-1 &\leqslant \biggl\|(\beta_n-1)\frac{f'_{n}+f'}{2}\biggr| \\ &\leqslant (\beta_n-1)\biggl(1+\frac{\delta_{n-1}}{10^4}\biggr)<\frac{1}{2}\delta_n. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
И в силу локальной равномерной выпуклости пространства $X$ так же, как и при доказательстве теоремы 5, выполняется неравенство $\|f'- f'_n|\leqslant 4\varepsilon_{n-1}$, т.е. $f\in B(({1}/{\alpha}) f'_n,{4\varepsilon_{n-1}}/{\alpha})= B(({\alpha_{n}}/{\alpha})f_n,{4\varepsilon_{n}}/{\alpha})$. Поэтому
$$ \begin{equation*} \biggl\|\frac{\alpha_{n}}{\alpha} f-\frac{\alpha_{n}}{\alpha} f_n\biggr|\leqslant \biggl\|\frac{\alpha_{n}}{\alpha} f-f\biggr|+ \biggl\|f-\frac{\alpha_{n}}{\alpha} f_n\biggr| \leqslant\biggl|\frac{\alpha_{n}}{\alpha}-1\biggr|\|f\|+\frac{4\varepsilon_{n}}{\alpha}\to 0, \qquad n\to\infty, \end{equation*} \notag $$
а следовательно,
$$ \begin{equation*} \|x-x_n|=\|f-f_n |=\frac{\alpha}{\alpha_{n}} \biggl\|\frac{\alpha_{n}}{\alpha} f-\frac{\alpha_{n}}{\alpha} f_n\biggr| \to 0, \qquad n\to\infty, \end{equation*} \notag $$
что противоречит предположению от противного. Тем самым теорема доказана.

§ 5. Свойства солнц

Определение 9. Пусть $\varnothing \ne M\subset X$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности, если существует точка $y\in P_Mx\ne \varnothing$ (называемая точкой светимости) такая, что $y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x)$ для всех $\lambda\geqslant 0$ (это геометрически означает, что из точки $y$ исходит луч (солнечный луч), проходящий через $x$, для каждой точки которого $y$ является ближайшей из $M$.

Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой солнечности, если $P_Mx\ne\varnothing$ и каждая точка $y\in P_Mx$ является точкой светимости. Если все точки из $K\subset X\setminus M$ являются точками солнечности (строгой солнечности), то множество $M$ называют солнцем (строгим солнцем) относительно множества $K$. В случае, когда $K= X\setminus M$, говорят, что $M$ – солнце (строгое солнце).

Определение 10. Множество $M$ в несимметричном полунормированном пространстве $X=(X,{\|\cdot|})$ называется $\gamma$-солнцем, если для любого $\delta>0$ шар $B(x_0,r_0-\delta)$, $r_0=\varrho(x_0,M)$, можно поместить в некоторый шар $B(x,R)$ сколь угодно большого радиуса $R$, не пересекающийся с $M$.

Теорема 8. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – локально равномерно выпуклое несимметричное пространство, $M\subset X$ – $\gamma$-солнце существования. Тогда $M$ – чебышёвское солнце.

Доказательство. Докажем сначала, что $M$ – строгое солнце. Рассмотрим произвольные $x\in X\setminus M$, $y\in P_Mx$. Без потери общности будем считать, что $\varrho(x,M)=1$, $x=0$. Докажем, что все точки луча $\ell:=\{y+t(x-y)\mid t\geqslant 0\}$ имеют точку $y$ в качестве ближайшей в $M$. Пусть $z\in \ell$: $\|y-z|=R>1$. Рассмотрим достаточно малое $\delta\in (0,1/2)$. Обозначим $k=(R-\delta)/(1-\delta)$, $a:=(1-\delta)/(R-\delta)$ ($\geqslant a_0:={1}/(2R+1)$), $g':=y$, $y':=y(1-\delta)$. Построим функцию $\varepsilon=\varepsilon(\delta)>0$, стремящуюся к нулю при $\delta\to 0$ и такую, что для всех $\varphi\in S(0,1)$ из условия $\|\varphi-ag'|+\|ag'|-1\leqslant \delta$ следует, что $\|\varphi-g'|<\varepsilon(\delta)$. Из $\gamma$-солнечности $M$ вытекает, что найдутся $z_\delta\in X$ и $R'>R+3\delta$ такие, что $B(z_\delta,R')\cap M=\varnothing$ и $B(z_\delta,R')\supset B(0,1-\delta)$. Напомним, что условие $B(u_1,r_1)\subset B(u_2,r_2)$ равносильно условию $\|u_1-u_2|\leqslant r_2-r_1$. Пусть $w$ – точка пересечения $S(0,1-\delta)$ и луча $\{ t(0-z_\delta)\mid t\geqslant 0\}$. Тогда $B(z_\delta,R')\supset B(z_\delta,\|w-z_\delta|)\supset B(0,1-\delta)$ и, следовательно, $ B(z_\delta,\|w-z_\delta|)\cap M=\varnothing$. Возьмем точку $z'\in [z_\delta,w]$: $R-\delta=\|w-z'|$, в этом случае $B(z_\delta,\|w-z_\delta|)\supset B(z',\|w-z'|)\supset B(0,1-\delta)$ и $\|-z'|=R-1$. Рассмотрим точки $y',y''\in [0,y]$: $\|y'|=1-\delta$ и $y''\in S(z',R-\delta)$, тогда $y''\in [y',y]$.

Пусть $f':={\omega}/(1-\delta)$, $f'':=ag'+(1-a)f'$ и $\theta:=\|f''|<1$. Предположим, что для некоторой бесконечно малой последовательности $\delta=\delta_n$, $n\in \mathbb{N}$, для соответствующих $\theta=\theta_n$ (построенных по $\delta_n$) верно неравенство $\theta_n\leqslant \theta_0<1$, $n\in \mathbb{N}$. Тогда $B(f'',1-\theta_0)\subset B(0,1)$, и, следовательно,

$$ \begin{equation*} B\bigl(ay'+(1-a)w,(1-\theta_0)(1-\delta)\bigr)=B\bigl(f''(1-\delta),(1-\theta_0)(1-\delta)\bigr) \subset B(0,1-\delta). \end{equation*} \notag $$
Делая гомотетию относительно точки $w$ с коэффициентом $k$, мы получим включение $B(y',k(1-\theta_0)(1-\delta))\subset B(z',R-\delta)$, которое невозможно в случае, когда $k(1-\theta_0)(1-\delta)>\delta$, так как шар $B(z',R-\delta)$ не пересекается с $M$, а значит, не содержит точки $y$.

Рассмотрим случай, когда $\theta_n\to 1$, $n\to \infty$. Тогда $\|\theta_n^{-1}f'' -ag'|+\|ag'|-1\leqslant\|\theta_n^{-1}f''-f''|+\|f'' -ag'|+\|ag'|-1=(\theta_n^{-1}-1)\|f''|\leqslant \theta_n^{-1}-1$. Поэтому $\|\theta_n^{-1}f''-g'|< \varepsilon(\theta_n^{-1}-1)=:\varepsilon_n\to 0$, $n\to \infty$. Отсюда

$$ \begin{equation*} (1-a)\|f'-g'|=\|\theta_ng'-g'|+\|f''-\theta_ng'|\leqslant (1-\theta_n)\|-g'|+\varepsilon_n\theta_n\to 0, \qquad n\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Поэтому для последовательностей $y'=y'_n$ и $w=w_n$, построенных по последовательности $\delta_n$, верны предельные соотношения $\|y-y'_n|,\|w_n-y|\to 0$ при $n\to\infty$. А для последовательности $z'=z'_n $, также построенной по $\delta_n$, выполнено условие $\|z-z'_n|\to 0$ при $n\to\infty$. Тогда для любых числа $\sigma\in (0,R)$ и точки $q$: $\|q-z|\leqslant R-\sigma$ верно неравенство $\|q-z'_n|\leqslant \|q-z|+\|z-z'_n|\leqslant R-\sigma+\|z-z'_n|\to R-\sigma$, и, следовательно, начиная с некоторого номера, $q$ принадлежит внутренности шара $B(z'_n,R-\delta_n)$ и не принадлежит $M$. Поэтому шар $B(z,R)$ является опорным к множеству $M$, и точка $y$ является ближайшей для $z$. Из произвольности выбора $R$ вытекает, что все точки луча $\ell $ имеют точку $y$ в качестве ближайшей в $M$. Теорема доказана.

Определение 11. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – несимметричное полунормированное пространство, $M\subset X$, точка $x\in X$ называется точкой левой аппроксимативной замкнутости для $M$, если для любой минимизирующей последовательности $\{y_n\}\subset M$: $\|y_n-x|\to\varrho(x,M)$, $n\to\infty$, сходящейся к некоторой точке $y\in X$ (т.е. $\|y_n-y| \to 0$ при $n\to\infty)$, выполнены условия $y\in M$ и $\|y-x|=\varrho(x,M)$. Если все точки из $X$ являются точками левой аппроксимативной замкнутости для $M$, то множество $M$ называется лево-аппроксимативно замкнутым. Аналогично определяется правая аппроксимативная замкнутость.

Замечание 14. Всякое лево-аппроксимативно замкнутое множество является замкнутым. В случае, когда множество $M$ непусто и замкнуто и шар $B(0,1)$ в несимметричном нормированном пространстве замкнут, тогда множество $M$ аппроксимативно замкнуто.

Теорема 9. Пусть $X=(X,{\|\cdot|})$ – лево-полное равномерно выпуклое несимметричное полунормированное пространство, $M\subset X$ – лево-аппроксимативно замкнутое $\gamma$-солнце. Тогда $M$ – множество существования.

Доказательство. Возьмем произвольный элемент $x\in X\setminus M$. Без потери общности будем считать, что $\varrho(x,M)=1$, $x=0$. Для любой последовательности $\{\delta_n\}\subset (0,+\infty)$ существует последовательность $\{R_n\}\subset (1,+\infty)$ такая, что $\delta_n\to 0$, $R_n\to +\infty$, $n\to\infty$, и $B(x_n,R_n)\supset B(0,1-\delta_n)$, $n\in \mathbb{N}$. Без потери общности можно считать, что $R_n=\|-x_n|+1-\delta_n$, $n\in \mathbb{N}$.

В силу леммы 1 для последовательности $\{\varepsilon_n={\varepsilon}/{2^n}\}$ $(\varepsilon\in (0,1))$ существует бесконечно малая последовательность $\{\delta_n\}$ такая, что $\delta_n\in (0,\varepsilon_n/16)$, $n\in \mathbb{N}$, и для произвольного элемента $f_{n-1}\in M$: $\|f_{n-1}|<1+\delta_{n-1}$ и для любого элемента $f \in M$: $\|f |<1+\delta_{n}$ верно включение $f\in B(\mu_{n-1} f_{n-1},\varepsilon_n)$ для некоторого $\mu_{n-1}\in[1-\varepsilon_{n-1},1]$. При этом в качестве $\Delta$ из леммы 1 мы берем число $\Delta_n={\|-x_n|}/{R_n}$, а в качестве $\delta_0$ из той же леммы – число $2\delta_n$. Завершая индукционное построение последовательности $\{f_n\}$ возьмем в качестве $f_n\in M$: $\|f_n |<1+\delta_{n}$. Тогда $f_n\in B(\mu_{n-1} f_{n-1},\varepsilon_{n-1})$.

Имеем

$$ \begin{equation*} \biggl\|\biggl(\prod_{k\geqslant n+1}\mu_k\biggr)f_{n+1}-\biggl(\prod_{k\geqslant n}\mu_k\biggr)f_n\biggr|= \biggl(\prod_{k\geqslant n+1}\mu_k\biggr)\|f_{n+1}-\mu_n f_n|\leqslant \varepsilon_{n+1}. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, последовательность $\{\widehat{f}_n:=(\prod_{k\geqslant n}\mu_k)f_n\}$ фундаментальна в $X$, и в силу левой полноты пространства $X$ найдется элемент $y\in X$, для которого $\|\widehat{f}_n-y|\to 0$, $n\to \infty$. Тогда
$$ \begin{equation*} \|{f}_n-y|\leqslant \|{f}_n-\widehat{f}_n|+\|\widehat{f}_n-y|=\biggl(1-\biggl(\prod_{k\geqslant n}\mu_k\biggr)\biggr)\|f_n|+\|\widehat{f}_n-y|\to 0, \qquad n\to\infty, \end{equation*} \notag $$
и в силу аппроксимативной замкнутости множества $M$ точка $y$ принадлежит $M$ и $\varrho(0,M)=\|y|$. Таким образом, точка $y$ является ближайшей для $x$. Из произвольности выбора точки $x$ вытекает утверждение теоремы. Теорема доказана.

Определение 12. Пусть $\varepsilon\geqslant 0 $, $M\subset X$. Отображение $\varphi\colon X\to M$ называется аддитивной (мультипликативной) $ \varepsilon $-выборкой, если для всех $x\in X $ выполняется включение

$$ \begin{equation*} \varphi(x)\in P_M^\varepsilon x \end{equation*} \notag $$
(соответственно $ \varphi(x)\in P_M^{\varepsilon\varrho(x,M)} x )$. В случае, когда эти включения выполняются на некотором множестве $E\subset X$, говорят о $ \varepsilon $-выборке на $E.$

Обозначим через $\Xi(x,\varepsilon,\tau)=\Xi_M(x,\varepsilon,\tau)$ класс всех аддитивных $\varepsilon$-выборок для множества $M,$ заданных на шаре $B(x,\tau),$ т.е. $\Xi_M(x,\varepsilon,\tau)\,{=}\,\{\varphi\colon B(x,\tau)\,{\to}\, M \mid \|\varphi(y)-y| \leqslant \varrho(y,M)+\varepsilon \}$.

Величина

$$ \begin{equation*} uc_x(\tau)=\inf\biggl\{ \frac{\omega_x(\varphi,\tau)}{\varrho(x,M)}+\frac{\varepsilon}{\tau}\biggm| \varepsilon>0,\,\varphi\in \Xi(x,\varepsilon,\tau) \biggr\} \end{equation*} \notag $$
называется модулем равномерной аппроксимативной непрерывности (в точке $x)$, где $x\in X$, $\tau>0$, а $\omega_x(\varphi,\tau)=\sup_{\|x-y|\leqslant \tau}\|\varphi(y)-\varphi(x)|$ – колебание $\varphi$ в точке $x$ с шагом $\tau$.

Напомним понятие $\delta$-солнца (см. [27]).

Определение 13. Пусть $M$ – непустое подмножество несимметричного полунормированного пространства $X=(X,{\|\cdot|}))$. Точка $x_0\in X$: $\varrho(x_0,M)>0$ называется точкой $\delta$-солнечности для $M$, если существует последовательность точек $\{x_n\}$: $\|x_0-x_n|\to 0$, $n\to\infty$, для которой

$$ \begin{equation*} \frac{\varrho(x_n,M)-\varrho(x_0,M)}{ \|x_0-x_n|}\to 1, \qquad n\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Множество $M$ называется $\delta$-солнцем, если любая точка $x \in X$: $\varrho(x ,M)>0$ является точкой $\delta$-солнечности для $M$.

Определение 14. Рассмотрим величину

$$ \begin{equation*} \delta_x^r(\tau):=\inf\biggl\{\frac{\|v'-x|-\varrho(v ,M) }{\|x -v|}\biggm| v'\in M,\, v\in X\colon \|x -v|=\tau,\, x\in [v',v]\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой радиальной $\delta$-солнечности для $M,$ если существует последовательность такая, что $\{\tau_n\}$: $\tau_n\to 0+$, $n\to\infty$, и $\delta_x^r(\tau_n)\,{=}\,o(1)$, $n\to\infty$.

Теорема 10. Пусть $M$ – непустое подмножество несимметричного полунормированного пространства $X=(X,{\|\cdot|})$. Если $uc_x(\tau)=o(1)$, $\tau\to0+$, то $\delta_x^r(\tau)=o(1) $, $\tau\to0+$, т.е. $x\in X\setminus M$ – точка радиальной $\delta$-солнечности.

Доказательство. Без потери общности будем считать, что $\varrho(x,M)=1$, $\tau\in (0,1)$. Действительно, из условия $uc_x(\tau)=o(1) $, $\tau\to0+$, вытекает существование такого отображения $\varphi=\varphi_{x,\varepsilon,2\tau}\in \Xi(x,\varepsilon,2\tau)$, что $\omega_x(\varphi,2\tau)=o(1) $ и $\varepsilon=o(\tau)$, $\tau\to0+$. Пусть
$$ \begin{equation*} y=\varphi(x), \qquad v=x+\tau\frac{x-y}{\|y-x|}, \qquad v'=\varphi(v), \qquad v''=x+\tau\frac{x-v'}{\|y-x|}. \end{equation*} \notag $$
Тогда $\|v'-y|=\|\varphi(v)-\varphi(x)|\leqslant \omega_x(\varphi,\tau)=o(1) $ и
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \biggl|\frac{\|v'-x|}{\|y-x|}-1\biggr|=\biggl|\frac{\|v'-x|-\|y-x|}{\|y-x|}\biggr| \leqslant\biggl|\frac{v'-x}{\|y-x|}-\frac{y-x}{\|y-x|}\biggr|=\frac{\|v'-y|}{\|y-x|}=o(1), \\ \|v-v''|=\tau\biggl\|\frac{x-v'}{\|y-x|}-\frac{x-y}{\|y-x|}\biggr\|=o(\tau), \qquad \tau\to 0+. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Из неравенств
$$ \begin{equation*} \varrho(v,M)\leqslant \|v'-v|\leqslant \varrho(v,M)+\varepsilon=\varrho(v,M)+o(\tau) \end{equation*} \notag $$
вытекает асимптотическое равенство
$$ \begin{equation*} \|v'-v\|=\varrho(v,M)+o(\tau), \qquad \tau\to 0+. \end{equation*} \notag $$
И поскольку
$$ \begin{equation*} \|v'-v''|-\|v' -v| \leqslant \|v-v'' | =o(\tau), \qquad \varrho(v,M)-\varrho(v'',M) \leqslant \|v''-v \| =o(\tau), \end{equation*} \notag $$
то
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|v'-x|&=\|v'-v''|-\|x-v''|=\|v'-v''|-\tau\frac{\|v'-x|}{\|y-x|} =\|v'-v''|-\tau(1+o(1)) \\ &= \varrho(v,M)+o(\tau)-\tau+o(\tau)\leqslant \varrho(v'',M)+o(\tau)-\tau. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
А учитывая, что
$$ \begin{equation*} \varrho(v'',M)-\|v'-x|\leqslant \|v'-v''|-\|v'-x|=\|x-v''|=\tau\frac{\|x-v'|}{\|y-x|}=\tau(1+o(1)), \end{equation*} \notag $$
мы получим, что
$$ \begin{equation*} \frac{\varrho(v'',M)-\|v'-x|}{\tau}\to 1, \qquad \tau\to 0+. \end{equation*} \notag $$
Отсюда вытекает, что $\delta_x^r(\tau)\to 0$ и $x$ – точка радиальной $\delta$-солнечности. Следствие доказано.

Замечание 15. Если существует последовательность $\{\tau_n\}$: $\tau_n\,{\to}\, 0+$, $n\,{\to}\,\infty$, такая, что $uc_x(\tau_n)=o(1) $, $n\to \infty$, то существует последовательность $\{\tau'_n\}$: $\tau'_n\to 0+$, $n\to\infty$, такая, что $\delta_x^r(\tau'_n)=o(1)$, $n\to\infty$. И точка $x\in X\setminus M$ является точкой радиальной $\delta$-солнечности для $M$.

Замечание 16. Учитывая, что $\varrho(v'',M)\leqslant \varrho(x,M)+\|x-v''|=\varrho(x,M)+\tau$, мы получим, что

$$ \begin{equation*} \frac{\varrho(v'',M)-\|v'-x|}{\tau}\leqslant \frac{\varrho(v'',M)-\varrho(x,M)}{\tau}\leqslant 1, \end{equation*} \notag $$
следовательно, из радиальной $\delta$-солнечности множества вытекает $\delta$-солнечность этого множества.

Замечание 17. А. Р. Алимов доказал, что в лево-полном несимметричном нормированном пространстве любое $\delta$-солнце с непрерывной функцией расстояния является $\gamma$-солнцем. Отсюда из теоремы 9 вытекает, что в лево-полном равномерно выпуклом несимметричном пространстве любое лево-аппроксимативно замкнутое $\delta$-солнце с непрерывной функцией расстояния является множеством существования. А следовательно, в силу теоремы 8 является чебышёвским солнцем.

Список литературы
1. Ş. Cobzaş, Functional analysis in asymmetric normed spaces $W^\alpha_p$, Front. Math., Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2013, x+219 pp.  crossref  mathscinet  zmath
2. V. Donjuán, N. Jonard-Pérez, “Separation axioms and covering dimension of asymmetric normed spaces”, Quaest. Math., 43:4 (2020), 467–491  crossref  mathscinet  zmath
3. S. Cobzaş, “Separation of convex sets and best approximation in spaces with asymmetric norm”, Quaest. Math., 27:3 (2004), 275–296  crossref  mathscinet  zmath
4. А. Р. Алимов, “Теорема Банаха–Мазура для пространств с несимметричным расстоянием”, УМН, 58:2(350) (2003), 159–160  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. R. Alimov, “The Banach–Mazur theorem for spaces with an asymmetric distance”, Russian Math. Surveys, 58:2 (2003), 367–369  crossref  adsnasa
5. А. Р. Алимов, “О структуре дополнения к чебышёвским множествам”, Функц. анализ и его прил., 35:3 (2001), 19–27  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. R. Alimov, “On the structure of the complements of Chebyshev sets”, Funct. Anal. Appl., 35:3 (2001), 176–182  crossref
6. А. Р. Алимов, “Выпуклость ограниченных чебышёвских множеств в конечномерных пространствах с несимметричной нормой”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 14:4(2) (2014), 489–497  mathnet  crossref  zmath
7. И. Г. Царьков, “Аппроксимативные свойства множеств и непрерывные выборки”, Матем. сб., 211:8 (2020), 132–157  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Approximative properties of sets and continuous selections”, Sb. Math., 211:8 (2020), 1190–1211  crossref  adsnasa
8. И. Г. Царьков, “Слабо монотонные множества и непрерывная выборка в несимметричных пространствах”, Матем. сб., 210:9 (2019), 129–152  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Weakly monotone sets and continuous selection in asymmetric spaces”, Sb. Math., 210:9 (2019), 1326–1347  crossref  adsnasa
9. И. Г. Царьков, “Непрерывные выборки из операторов метрической проекции и их обобщений”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:4 (2018), 199–224  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Continuous selections for metric projection operators and for their generalizations”, Izv. Math., 82:4 (2018), 837–859  crossref  adsnasa
10. И. Г. Царьков, “Непрерывные выборки в несимметричных пространствах”, Матем. сб., 209:4 (2018), 95–116  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Continuous selections in asymmetric spaces”, Sb. Math., 209:4 (2018), 560–579  crossref  adsnasa
11. И. Г. Царьков, “Свойства монотонно линейно связных множеств”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:2 (2021), 142–171  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Properties of monotone path-connected sets”, Izv. Math., 85:2 (2021), 306–331  crossref  adsnasa
12. И. Г. Царьков, “Равномерная выпуклость в несимметричных пространствах”, Матем. заметки, 110:5 (2021), 773–785  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Uniform convexity in nonsymmetric spaces”, Math. Notes, 110:5 (2021), 773–783  crossref
13. В..М. Тихомиров, Г. Г. Магарил-Ильяев, Выпуклый анализ и его приложения, 3-е изд., испр., Книжный дом “Либроком”, М., 2011, 176 с.; англ. пер. 2-го изд.: G. G. Magaril-Il'yaev, V. M. Tikhomirov, Convex analysis: theory and applications, Transl. Math. Monogr., 222, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, viii+183 с.  mathscinet  zmath
14. М. Г. Крейн, “$L$-проблема в абстрактном линейном нормированном пространстве”, О некоторых вопросах теории моментов, ГОНТИ, Харьков, 1938, 171–199; англ. пер.: M. G. Kreĭn, “The $L$-problem in an abstract linear normed space”, Some questions in the theory of moments, Transl. Math. Monogr., 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1962, 175–204  mathscinet  zmath
15. H. König, “Sublineare Funktionale”, Arch. Math. (Basel), 23 (1972), 500–508  crossref  mathscinet  zmath
16. H. König, “Sublinear functionals and conical measures”, Arch. Math. (Basel), 77:1 (2001), 56–64  crossref  mathscinet  zmath
17. В. Ф. Бабенко, “Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций”, Укр. матем. журн., 34:4 (1982), 409–416  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. F. Babenko, “Nonsymmetric approximation in spaces of integrable functions”, Ukrainian Math. J., 34:4 (1982), 331–336  crossref
18. Е. П. Долженко, Е. А. Севастьянов, “Аппроксимации со знакочувствительным весом (теоремы существования и единственности)”, Изв. РАН. Сер. матем., 62:6 (1998), 59–102  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. P. Dolzhenko, E. A. Sevast'yanov, “Approximations with a sign-sensitive weight: existence and uniqueness theorems”, Izv. Math., 62:6 (1998), 1127–1168  crossref
19. Е. П. Долженко, Е. А. Севастьянов, “Аппроксимация со знакочувствительным весом (устойчивость, приложения к теории ужей и хаусдорфовым аппроксимациям)”, Изв. РАН. Сер. матем., 63:3 (1999), 77–118  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. P. Dolzhenko, E. A. Sevast'yanov, “Approximations with a sign-sensitive weight. Stability, applications to the theory of snakes and Hausdorff approximations”, Izv. Math., 63:3 (1999), 495–534  crossref
20. Л. Коллатц, В. Крабс, Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения, Наука, М., 1978, 272 с.  mathscinet; пер. с нем.: L. Collatz, W. Krabs, Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen, B. G. Teubner, Stuttgart, 1973, 208 pp.  mathscinet  zmath
21. R. C. Flagg, R. D. Kopperman, “The asymmetric topology of computer science”, Mathematical foundations of programming semantics (New Orleans, LA, 1993), Lecture Notes in Comput. Sci., 802, Springer, Berlin, 1993, 544–553  crossref  mathscinet  zmath
22. П. А. Бородин, “Квазиортогональные множества и условия гильбертовости банахова пространства”, Матем. сб., 188:8 (1997), 63–74  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. A. Borodin, “Quasiorthogonal sets and conditions for a Banach space to be a Hilbert space”, Sb. Math., 188:8 (1997), 1171–1182  crossref
23. П. А. Бородин, “Теорема Банаха–Мазура для пространств с несимметричной нормой и ее приложения в выпуклом анализе”, Матем. заметки, 69:3 (2001), 329–337  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. A. Borodin, “The Banach–Mazur theorem for spaces with asymmetric norm”, Math. Notes, 69:3 (2001), 298–305  crossref
24. Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански, “О корректности задач аппроксимации и оптимизации для слабо выпуклых множеств и функций”, Фундамент. и прикл. матем., 18:5 (2013), 89–118  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: G. E. Ivanov, M. S. Lopushanski, “Well-posedness of approximation and optimization problems for weakly convex sets and functions”, J. Math. Sci. (N.Y.), 209:1 (2015), 66–87  crossref
25. Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански, “Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой”, Труды МФТИ, 4:4 (2012), 94–104
26. А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Чебышёвский центр множества, константа Юнга и их приложения”, УМН, 74:5(449) (2019), 3–82  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Chebyshev centres, Jung constants, and their applications”, Russian Math. Surveys, 74:5 (2019), 775–849  crossref  adsnasa
27. А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1(427) (2016), 3–84  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Connectedness and solarity in problems of best and near-best approximation”, Russian Math. Surveys, 71:1 (2016), 1–77  crossref  adsnasa
Образец цитирования: И. Г. Царьков, “Равномерно и локально выпуклые несимметричные пространства”, Матем. сб., 213:10 (2022), 139–166; I. G. Tsar'kov, “Uniformly and locally convex asymmetric spaces”, Sb. Math., 213:10 (2022), 1444–1469
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa22}
\by И.~Г.~Царьков
\paper Равномерно и локально выпуклые несимметричные пространства
\jour Матем. сб.
\yr 2022
\vol 213
\issue 10
\pages 139--166
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9675}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9675}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582599}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1531.41033}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213.1444T}
\transl
\by I.~G.~Tsar'kov
\paper Uniformly and locally convex asymmetric spaces
\jour Sb. Math.
\yr 2022
\vol 213
\issue 10
\pages 1444--1469
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9675e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992275100006}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165892958}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9675
  • https://doi.org/10.4213/sm9675
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i10/p139
    • Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Математический сборник Sbornik: Mathematics
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024