| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О совпадении функций множества в квазиконформном анализе С. К. Водопьянов Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9702e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеИзвестно, что квазиконформные отображения (см., например, [1], [2]) имеют несколько эквивалентных описаний: метрическое, аналитическое, геометрическое на языке модулей (см. [2]), геометрическое на языке емкости (см. [3]), функциональное (см. [4]). С каждым из этих описаний ассоциирована некоторая функция множества, заданная на открытых подмножествах области определения отображения. Основной результат работы состоит в доказательстве совпадения всех этих функций множества. По-видимому, этот результат является новым и для классических квазиконформных отображений (кроме, естественно, конформных отображений). Более точно, пусть гомеоморфизм φ:D→D′ областей D,D′⊂Rn, n⩾2, индуцирует по правилу замены переменной (φ∗(f)=f∘φ) ограниченный оператор композиции1 с параметрами n−1<q⩽p<∞ при n⩾3 или 1⩽q⩽p<∞ при n=2 и весовой функцией ω∈L1,loc(D′).Тогда справедливо следующее. I. При q<p функции множества2:
совпадают, т.е. для любого открытого множества W⊂D′.II. При q=p величины:
совпадают, т.е. В случае классических квазиконформных отображений (q=p=n, ω≡1) последнее равенство говорит о том, что норма оператора композиции совпадает с величинойВозникшие более 50 лет назад задачи в квазиконформном анализе привели к концепции отображений, характеризуемых контролируемым изменением емкости образа конденсатора через весовую емкость конденсатора в прообразе; см., например, [5]. Одновременно в Финляндии, Украине, Израиле и других странах исследовались отображения (см. [6]), при определении которых вместо емкости была взята другая геометрическая характеристика – модуль семейства кривых. Заметим, что для произвольных весов нет двухсторонних оценок между весовой емкостью и весовым модулем (кроме весов An-класса Макенхаупта; см. [7]–[9]). Поэтому оба подхода исследовались независимо, тем более, что модульный подход (см. [6]) формально создавал впечатление, что изучается более широкий класс отображений по сравнению с емкостным определением. Основной результат работы (см. [10]) состоит в том, что на самом деле независимо от использования емкостной или модульной характеристики мы получаем совпадающие классы отображений. Неожиданность этого результат состоит в том, что он получен не на пути сравнения весовых емкости и модуля, а на применении полученного в 2020 г. функционально-аналитического описания отображений, характеризуемых контролируемым изменением емкости в образе через весовую емкость в прообразе (см. [11]–[14]). В § 3 мы определим еще две функции множества (одну на основе емкостных оценок, а другую на основе модульных оценок) и докажем, что в зависимости от параметров они совпадают либо с (1.1), либо с (1.2). Настоящая статья естественно входит в цикл работ [11]–[14], а также цикл публикаций [15]–[19], в которых изложена история вопроса и приведена подробная библиография. Работам упомянутого цикла предшествовали статьи [4], [20], [21], в которых синтезированы методы теории функциональных пространств Соболева (см. [22], [23]) и геометрической теории функций (см. [1]–[3], [24]–[27]). Некоторые результаты упомянутого цикла работ нашли применение в нелинейной теории упругости; см. [28]. § 2. Классы Qq,p-гомеоморфизмовЗдесь и далее D, D′ – области (открытые связные множества) в Rn. 2.1. Определения пространств Соболева и емкости конденсаторовНапомним, что функция u:D→R принадлежит классу Соболева L1p(D), если u локально суммируема в D (т.e. u∈L1(U) для любой компактно вложенной области U⋐), имеет обобщенные производные {\partial u}/{dx_j}\in L_{1,\mathrm{loc}}(D) для любого j=1,\dots,n и конечную полунорму
\begin{equation*}
\|u\mid L^1_{p}(D)\|=\biggl(\int_{D}|\nabla u(y)|^p\,dy\biggr)^{1/p}, \qquad 1\leqslant p\leqslant \infty.
\end{equation*}
\notag
Отображение \varphi=(\varphi_1,\dots, \varphi_n) принадлежит классу Соболева W^1_{p,\mathrm{loc}}(D; \mathbb{R}^n), если \varphi_j(x) \in L_{p,\mathrm{loc}}(D) и обобщенные производные {\partial\varphi_j}/{dx_i} принадлежат L_{p,\mathrm{loc}}(D) для любых j,i=1,\dots,n. Отображение \varphi\colon D\to \mathbb R^n класса Соболева W^1_{1,\mathrm{loc}}(D;\mathbb{R}^n) называется отображением с конечным искажением, если3
\begin{equation*}
D\varphi(x)=0 \quad\text{п.в. на множестве }\ Z=\{x\in D\colon \det D\varphi (x)=0\}.
\end{equation*}
\notag
Здесь и далее D\varphi (x)=({\partial\varphi_j}/{\partial x_i}(x)) – матрица Якоби отображения \varphi в точке x\in D, |D\varphi (x)| – ее евклидова операторная норма, а \det D\varphi (x) – ее определитель (якобиан). Локально суммируемая функция \omega\colon D'\to\mathbb R называется весовой, если 0<\omega(y)<\infty для почти всех y\in D'. Напомним, что функция u\colon D'\to\mathbb R принадлежит весовому классу Соболева L^1_{p}(D';\omega), p\in[1,\infty), если u локально суммируема в D' и имеет в области D' обобщенные производные {\partial u}/{\partial y_j}, принадлежащие L_{p}(D';\omega) для любого j=1,\dots,n. Полунорма функции u\in L^1_{p}(D';\omega) равна величине
\begin{equation*}
\|u\mid L^1_{p}(D';\omega)\|=\biggl(\int_{D'}|\nabla u|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
В случае \omega\equiv 1 вместо L^1_{p}(D';1) пишем просто L^1_{p}(D'). Далее через \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D') обозначаем пространство локально липшицевых функций, определенных на области D'. Очевидно, \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')=W^1_{\infty,\mathrm{loc}}(D')\cap C(D'). Напомним, что гомеоморфизм \varphi \colon D \to D' областей D и D' в \mathbb{R}^n порождает ограниченный оператор композиции
\begin{equation*}
\varphi^* \colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D), \qquad 1\leqslant q \leqslant p < \infty,
\end{equation*}
\notag
действующий по правилу D\ni x\mapsto(\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x)), если с некоторой постоянной K_{q,p}<\infty справедливо неравенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|\varphi^*u\mid L^1_q(D)\|\leqslant K_{q,p}\|u\mid L^1_p(D';\omega)\| \\ &\qquad \text{для любой функции } \ u\in L^1_p(D')\cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Определение 1. Конденсатором в области D\subset \mathbb{R}^n называется пара E=(F_1,F_0) связных компактов (континуумов) в D, F_1,F_0\subset D. Если континуум F содержится в связном компактно вложенном множестве U\Subset D, то конденсатор E=(F,\partial U) будем обозначать E=(F,U). Конденсатор E=(F,\partial U) называется кольцевым, если U\Subset D' – открытое связное множество, а F\subset U – континуум такие, что \mathbb R^n\setminus F – открытое связное множество, а дополнение \overline{\mathbb R^n}\setminus (U\setminus F) имеет две компоненты связности: F и \overline{\mathbb R^n}\setminus U (здесь \overline{\mathbb R^n}=\mathbb R^n\cup\{\infty\} – одноточечная компактификация \mathbb R^n). Кольцевой конденсатор E=(F,\partial U) в \mathbb R^n называется сферическим (кубическим), если область U – это шар4 B(x,R)=\{y\in\mathbb R^n\colon |y-x|_2< R\} (куб Q(x,R)=\{y\in\mathbb R^n\colon |y-x|_\infty< R\}), а континуум F\subset U – это замыкание F=\{y\in\mathbb R^n\colon |y-x|_2\leqslant r\} шара B(x,r) (замыкание F=\{y\in\mathbb R^n\colon |y-x|_\infty\leqslant r\} куба Q(x,r)), где r\in (0,R). Непрерывная функция u\colon D\to\mathbb R класса W^1_{1,\mathrm{loc}}(D) называется допустимой для конденсатора E=(F_1,F_0)\subset D, если u\equiv 1 на F_1 и u \equiv 0 на F_0. Совокупность допустимых для конденсатора E=(F_1,F_0) функций будем обозначать \mathcal A(E). Емкость конденсатора E=(F_1,F_0) в пространстве L^1_q(D), q\in[1,\infty), определим как величину
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(E; L^1_q(D))=\inf_{u\in \mathcal A(E)}\|u\mid L^1_{q}(D)\|^q;
\end{equation*}
\notag
здесь нижняя грань берется по всем допустимым для конденсатора E = (F_1,F_0) \subset D функциям из пересечения \mathcal A(E)\cap L^1_{q}(D). Весовую емкость конденсатора E=(F_1,F_0)\subset D' в пространстве L^1_p(D';\omega) определим аналогично как
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(E; L^1_p(D';\omega))=\inf_{u\in \mathcal A(E)\cap\operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')}\|u\mid L^1_{p}(D';\omega)\|^p,
\end{equation*}
\notag
где нижняя грань берется по всем допустимым для конденсатора E=(F_1,F_0) функциям из пересечения \mathcal A(E)\cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\cap L^1_{p}(D';\omega). Подробнее о свойствах весовой емкости (для специального класса допустимых весовых функций) см. [29; гл. 2]. Непосредственно из определения емкости выводим Принцип субординации. Пусть в области D' даны два конденсатора, E'=(F'_1,F'_0) и E=(F_1,F_0), причем пластины первого конденсатора содержатся в пластинах второго: F'_1\subset F_1 и F'_0\subset F_0. Тогда
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(E'; L^1_p(D';\omega))\leqslant\operatorname{cap}(E; L^1_p(D';\omega)).
\end{equation*}
\notag
Аналогичное свойство справедливо для q-емкости конденсаторов в области D. Для доказательства принципа субординации достаточно заметить, что
\begin{equation*}
\mathcal A(E')\cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\cap L^1_{p}(D';\omega)\subset \mathcal A(E)\cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\cap L^1_{p}(D';\omega).
\end{equation*}
\notag
В основе определения класса \mathcal Q_{q,p}-гомеоморфизмов, формулируемого ниже, в п. 2.4, лежит оценка емкости образа кубического конденсатора в области D' через весовую емкость исходного конденсатора. 2.2. Квазиаддитивная функция множества и ее свойстваОбозначим символом {\mathcal O}(D) некоторую систему открытых множеств в D, обладающую следующими свойствами:
Выбор шара или куба в этом определении обусловлен выбором системы элементарных множеств, по которым происходит дифференцирование функции множества (см. ниже предложение 1). Определение 2. Отображение \Phi\colon {\mathcal O}(D)\to[0,\infty] называется квазиаддитивной функцией множества, если: 1) для всякой точки x\in D существует \delta, 0<\delta<\mathrm{dist}(x, \partial D), такое, что (если D=\mathbb R^n, то неравенство 0\leqslant\Phi(D(x,{\delta}))<\infty должно выполняться для всех \delta\in(0, \delta(x)), где \delta(x)>0 – некоторое число, которое может зависеть от точки x); шары в этом условии можно заменить на кубы;2) для всякого конечного дизъюнктного набора U_i\in{\mathcal O}(D), i=1,\dots,l, открытых множеств таких, что \bigcup_{i=1}^lU_i\subset U, где U\in{\mathcal O}(D), верно неравенство Если для всякого конечного набора \{U_i\in{\mathcal O}(D)\} попарно не пересекающихся открытых множеств имеет место равенство
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n}\Phi(U_i)=\Phi\biggl(\bigcup_{i=1}^{n} U_i \biggr),
\end{equation}
\tag{2.1}
то квазиаддитивная функция множества с таким свойством называется конечно аддитивной, а если (2.1) верно для всякого счетного набора \{U_i\in{\mathcal O}(D)\} попарно не пересекающихся открытых множеств, то – счетноаддитивной. Функция \Phi монотонна, если \Phi(U_1)\leqslant \Phi(U_2) при условии, что U_1\subset U_2 \subset D, U_1,U_2\in{\mathcal O}(D). Очевидно, что всякая квазиаддитивная функция множества монотонна. Квазиаддитивная функция множества \Phi\colon {\mathcal O}(D)\to[0,\infty] называется ограниченной квазиаддитивной функцией множества, если \sup_{U\in {\mathcal O}(D)}\Phi(U)<\infty. Известно, что квазиаддитивная функция множества \Phi, определенная выше, дифференцируема в следующем смысле. Предложение 1 (см. [30]–[32]). Пусть \Phi – квазиаддитивная функция множества, определенная на некоторой системе {\mathcal O}(D') открытых подмножеств области D'. Тогда: 1) для почти всех точек y\in D' существует конечная производная5
\begin{equation*}
\Phi'(y)= \lim_{\delta\to 0,\, y\in B_\delta}\frac{\Phi(B_\delta)}{|B_{\delta}|};
\end{equation*}
\notag
2) для любого открытого множества U\in \mathcal O(D') справедливо неравенство 2.3. Формула замены переменнойПриведем в нужной формулировке формулу замены переменной работ [13], [14], модифицированных из формул замены переменной в интеграле Лебега в [33], [34]. Предложение 2. Пусть \varphi\colon \Omega\to \mathbb R^n – это отображение класса Соболева W^1_{1,\mathrm{loc}}(\Omega) (или класса \operatorname{ACL}(\Omega)). Тогда: 1) существует борелевское множество \Sigma\subset \Omega нулевой меры такое, что \varphi\colon \Omega\setminus\Sigma\to\mathbb R^n обладает \mathcal N-свойством Лузина; 2) функции
\begin{equation*}
\Omega\setminus\Sigma\ni x\mapsto (u\circ \varphi)(x) |{\det D\varphi (x)}|, \qquad \mathbb R^n \ni y\mapsto u(y)\mathcal N(y,\varphi, \Omega\setminus \Sigma)
\end{equation*}
\notag
измеримы, если функция u\colon \mathbb R^n \to\mathbb R измерима; 3) если A\subset \Omega\setminus \Sigma – измеримое множество, то верна формула площади
\begin{equation*}
\int_{A} |{\det D\varphi (x)}|\, dx=\int_{\mathbb{R}^{n}} \mathcal N (y, \varphi, A) \, dy;
\end{equation*}
\notag
4) если измеримая функция u \geqslant0 неотрицательна, то подынтегральные функции в (2.2) измеримые и верна формула замены переменной в интеграле Лебега
\begin{equation}
\int_{\Omega\setminus \Sigma} u(\varphi(x))|{\det D\varphi (x)}|\,dx= \int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{x \in \varphi^{-1}(y)\setminus \Sigma} u(x)\, dy;
\end{equation}
\tag{2.2}
5) если одна из функций интегрируема, то и другая интегрируема и верна формула2.4. Определение класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega;D)-гомеоморфизмов и их свойстваВ качестве системы открытых множеств \mathcal O_c(D'), на которых определена квазиаддитивная функция множества \Psi, рассматривается минимальная система открытых множеств в D' (см. определение 2), содержащая: 1) D'; 2) всякий открытый куб Q, если \overline Q\subset D'; 3) дополнение Q_2\setminus \overline Q_1, если Q_1\subset Q_2 – два куба с общим центром и \overline Q_2\subset D'. В следующем определении и теореме 1 в качестве ограниченной квазиаддитивной функции множества рассматривается отображение \Phi\colon \mathcal O_c(D')\to[0,\infty). Определение 3 (см. [11], [14]). 1) Пусть D, D' – области в \mathbb R^n, n\geqslant2. Скажем, что гомеоморфизм принадлежит классу Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D), где 1< q\leqslant p<\infty при n\geqslant3 или 1\leqslant q\leqslant p<\infty при n=2, а \omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D') – весовая функция, если существуют или такие, что для всякого кубического конденсатора E=(\overline{Q(x,r)}, Q(x,R)), 0<r<R, расположенного в D', и образа f(E)=(f(\overline{Q(x,r)}), f(Q(x,R)), расположенного в D, выполняются неравенства
\begin{equation}
\begin{cases} \operatorname{cap}^{1/p}(f(E); L^1_p(D)) \leqslant K_p\operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)),&\text{если }q=p, \\ \operatorname{cap}^{1/q}(f(E); L^1_q(D)) \\ \ \ \leqslant \Psi_{q,p}(Q(x,R)\setminus \overline{Q(x,r)})^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)),&\text{если }q<p, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.4}
где 1/\sigma=1/q-1/p. 2) Пусть D, D' – области в \mathbb R^n, n\geqslant2. Скажем, что гомеоморфизм принадлежит классу \mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega;D), где 1< q\leqslant p<\infty при n\geqslant3 или 1\leqslant q\leqslant p<\infty при n=2, а \omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D') – весовая функция, если существуют или такие, что для всякого конденсатора E=(F_1,F_0), расположенного в D', и образа f(E)=(f(F_1), f(F_0)), расположенного в D, выполняются соотношения
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\operatorname{cap}^{1/q}(f(E); L^1_q(D)) \\ &\qquad\leqslant \begin{cases} \widetilde K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), &1<q=p<\infty, \\ \widetilde\Psi_{q,p}(D'\setminus(F_0\cup F_1))^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
где {1}/{\sigma}={1}/{q}-{1}/{p}. 3) Если неравенство (2.5) выполняется для всех кольцевых конденсаторов E=(F,\partial U) в области D', то будем говорить, что отображение \varphi принадлежит классу \mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D). Очевидны включения Определение 4. Пусть гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D,D'\subset \mathbb R^n индуцирует ограниченный оператор композиции
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D), \qquad 1\leqslant q \leqslant p<\infty,
\end{equation*}
\notag
где \omega\colon D'\to (0,\infty) – весовая локально суммируемая функция. Фиксируем произвольное открытое множество W\subset D'. Ограничим действие оператора \varphi^* на подпространство6
\begin{equation}
\mathcal R(W)={L}^1_p(W;\omega) \cap \mathring{\operatorname{Lip}}_{\mathrm{loc}}(W)\subset{L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D').
\end{equation}
\tag{2.6}
(Здесь \mathring{\operatorname{Lip}}_{\mathrm{loc}}(W)\subset \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D') – подпространство пространства локально липшицевых на D' функций, равных тождественно нулю вне W.) Очевидно, норма ограничения \varphi_W\colon {L}^1_p(W;\omega) \cap \mathring{\operatorname{Lip}}_{\mathrm{loc}}(W)\to L^1_q(D) может зависеть от W:
\begin{equation}
\|\varphi^*_W\|=\sup_{\substack{u\in \mathcal R(W)\\ u\ne0}} \frac{\|\varphi_W^*u\mid L^1_q(D)\|}{\|u\mid L^1_p(W;\omega)\|}, \qquad1\leqslant q \leqslant p<\infty
\end{equation}
\tag{2.7}
(предполагается, что знаменатель дроби в (2.7) отличен от нуля). При 1\leqslant q<p<\infty определим функцию множества, сопоставляя открытому множеству W\subset D' число В следующей теореме приводится аналитическое описание отображений, обратные к которым принадлежат классу Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D). Теорема 1 (см. [11]–[14]). Гомеоморфизм f\colon D' \to D тогда и только тогда принадлежит классу Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D), 1<q\leqslant p<\infty при n\geqslant 3 и 1\leqslant q\leqslant p<\infty при n=2, когда обратный гомеоморфизм \varphi=f^{-1}\colon D\to D' обладает одним из следующих свойств 1)–4). 1) Оператор композиции \varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D), 1< q \leqslant p<\infty, ограничен. 2) Для любого конденсатора E=(F_1,F_0) в D' с прообразом \varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1), \varphi^{-1}(F_0)) в D выполняется неравенство
\begin{equation}
\operatorname{cap}^{1/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)) \leqslant \begin{cases} \widetilde K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), \\ \widetilde\Psi_{q,p}(D'\setminus(F_0\cup F_1))^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.9}
где области изменения параметров q и p указаны в определении 3, {1}/{\sigma}= {1}/{q}- {1}/{p}, а \widetilde\Psi_{q,p} – некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на открытых подмножествах области D'. 3) Для любого кольцевого конденсатора E=(F,U) в D' с прообразом \varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F),\varphi^{-1}(U)) в D выполняется неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\operatorname{cap}^{1/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)) \\ &\qquad\leqslant \begin{cases} K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), &1<q=p<\infty, \\ \Psi(U\setminus F)^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
где K_p – постоянная, а \Psi – некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на некоторой системе7 \mathcal O(D') открытых подмножеств области D'. 4) Для гомеоморфизма \varphi \colon D \to D' справедливо следующее:
Кроме того, \varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D) и
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\begin{cases} 2^{-n/p}\biggl(\dfrac{3n}2\biggr)^{-1}\|K^{1,\omega}_{p,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \\ 2^{-n/q}\biggl(\dfrac{3n}2\biggr)^{-1}\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \end{cases} \leqslant\|\varphi_W^*\|\leqslant\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \notag \\ &\quad\leqslant\begin{cases} 7^{n/p} nK_p&\textit{при }1< q= p<\infty, \\ 7^{n/q} n\Psi_{q,p}(W)^{1/\sigma}&\textit{при }1< q< p<\infty \end{cases} \quad\textit{в случае }\ \varphi\,{\in}\, Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D), \notag \\ &\quad\leqslant\begin{cases} {3n} 2^{(n-p)/p}\widetilde K_p &\textit{при }q=p, \\ {3n} 2^{(n-q)/q}\widetilde\Psi(W)^{1/\sigma}&\textit{при }q<p \end{cases} \quad\textit{в случае }\ \varphi\in \mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega;D)\qquad \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
для любого открытого множества W\in \mathcal O(D'). (Величина \|\varphi_W^*\| определена выше формулой (2.7).) 5) Утверждения 1)–4) справедливы также в случае 1=q \leqslant p<\infty, n=2. Доказательство теоремы 1 приведено в [11; теорема 1], [12], [13] и [14; теорема 1]. Прокомментируем ссылки на указанные работы. Доказательства необходимости утверждений 1) и 4) теоремы 1 установлены в [13; теорема 18] при условиях f\in Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D), 1<q\leqslant p<\infty при n\geqslant 3 и 1\leqslant q\leqslant p<\infty при n=2. Импликация 1) \Rightarrow 2) доказывается так же, как импликация 1) \Rightarrow 2) в [14; теорема 1]. Для доказательства достаточности при выполнении условия 1) в [14; теорема 1] (соответственно в [13; теорема 18]) установлено, что выполняется также условие 2) при 1<q\leqslant p<\infty и n\geqslant 3 (соответственно при 1\leqslant q\leqslant p<\infty и n=2). Если для гомеоморфизма \varphi\colon D\to D' выполнено условие 2), то, очевидно, выполнено и условие 3). Если выполнено условие 3), то обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1}\colon D'\to D принадлежит классу Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D). При выполнении условия 4) в [14; теорема 1] (соответственно в [13; теорема 18]) доказано, что выполняется также условие 1) теоремы, из которого в силу вышесказанного получаем f=\varphi^{-1}\in Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D). Неравенство (2.12), вторая строка, доказано8 в [13], а неравенства (2.12), первая и третья строки, доказаны в [14]. Следствие 1. Пусть f\colon D\to D' – произвольный гомеоморфизм класса Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D), 1<q\leqslant p<\infty при n\geqslant 3 и 1\leqslant q\leqslant p<\infty при n=2. Тогда f\in\mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega;D), т.е. неравенство (2.9) выполняется для любого конденсатора E=(F_1,F_0) в D' с образом f(E)=(f(F_1),f(F_0)) в D. При этом наименьшая постоянная \widetilde K_p при q=p (величина
\begin{equation*}
\sup_E\frac{\operatorname{cap}^{1/q}(f(E); L^1_p(D))}{\operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega))},
\end{equation*}
\notag
где при q<p верхняя грань берется по всем конденсаторам E=(F_1,F_0) в D' при наличии не равного нулю знаменателя) так же, как в теореме 1, оценивается через наименьшую постоянную K_p (величину \Psi_{q,p}(D')^{1/\sigma} из (2.4)) посредством постоянного множителя, зависящего лишь от n и p (от n, p и q). Дифференциальные свойства отображений классов \mathcal Q_{q,p}(D',\omega;D) установлены в [12] и [13; теорема 2]. Гомеоморфизмы \varphi\colon D \to D' теоремы 1:
Выделим из теоремы 1 следующие два примера Q_{q,p}-гомеоморфизмов. Пример 1 (см. [11], [14]). Если гомеоморфизм \varphi\colon D \to D' индуцирует ограниченный оператор композиции \varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D), 1<q\leqslant p<\infty при n\geqslant 3 и 1\leqslant q\leqslant p<\infty при n=2, то обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1}\colon D'\to D принадлежит классу Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D). Пример 2 (см. [11], [14]). Для гомеоморфизма \varphi \colon D \to D' справедливо следующее:
Тогда обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1}\colon D'\to D принадлежит классу Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D). В работе [13] дополнительно к примерам 1 и 2 приведены новые примеры классов отображений, входящих в семейство \mathcal Q_{q,p}(D',\omega;D). Пример 3 (см. [13; пример 3]). Пусть \varphi\colon D\to D' – гомеоморфизм класса Соболева W^1_{p,\mathrm{loc}}(D), 1<p<\infty при n\geqslant3 и 1\leqslant p<\infty при n=2, имеющий конечное искажение. Обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1}\colon D'\to D принадлежит классу \mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D) с постоянной K_p=1 и с весовой функцией Пример 4 (см. [13; пример 4]). Пусть n-1< s<\infty, а f \colon D' \to D – гомеоморфизм открытых областей D', D\subset \mathbb{R}^n, n\geqslant 2, такой, что:
Тогда обратный гомеоморфизм \varphi=f^{-1}\colon D\to D' имеет свойства: a прямой гомеоморфизм f\colon D'\to D
Пример 5 (см. [13; пример 5]). Пусть n-1< s<\infty, а f \colon D' \to D – гомеоморфизм открытых областей D', D\subset \mathbb{R}^n, n\geqslant 2, такой, что:
Тогда обратный гомеоморфизм \varphi=f^{-1}\colon D\to D' имеет свойства: a прямой гомеоморфизм f\colon D'\to D:Пример 6 (см. [16; определение 11, теорема 34]). Гомеоморфизм f\colon D'\to D называется гомеоморфизмом с внутренним ограниченным \theta-весовым (s,r)-искажением (принадлежит классу \mathcal{ID}(D;s,r;\theta,1)), n-1< s\leqslant r<\infty, если:
Введем обозначение \mathcal K^{\theta,1}_{s,r}(f;D')=\|\mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\varrho}(D')\|. Тогда при условии n-1< s\leqslant r<\infty и условии локальной суммируемости функции \omega(x)=\theta^{-(n-1)/(s-(n-1))}(x) гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит семейству где q=r/(r-(n-1)) и p=s/(s-(n-1)), 1<q\leqslant p<\infty. При этом множители в правой части соотношений (2.4) равны K_p=\|\mathcal K_{r,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\infty}(\Omega)\| при q=p и
\begin{equation*}
\Psi_{q,p}(Q(x,R)\setminus \overline{Q(x,r)})^{1/\sigma}= \bigl\|\mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\varrho}(Q(x,R)\setminus \overline{Q(x,r)})\bigr\| \quad\text{при }\ q<p,
\end{equation*}
\notag
где 1/\sigma=1/q-1/p={1}/{\varrho}. Пример 7 (см. [17; определение 3, теорема 19]). Гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит классу \mathcal{OD}(D';s,r;\theta,1), n-1< s\leqslant r<\infty (называется отображением с внешним ограниченным \theta-весовым (s,r)-искажением), если:
Введем обозначение K^{\theta,1}_{s,r}(f;D')=\| K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\rho}(D')\|. Тогда при условии n-1< s\leqslant r<\infty и условии локальной суммируемости функции \omega(x)=\theta^{-(n-1)/(s-(n-1))}(x) гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит семейству где q=r/(r-(n-1)) и p=s/(s-(n-1)), 1<q\leqslant p<\infty. При этом множители в правой части соотношений (2.4) равны K_p=\|K_{r,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\,|\, L_{\infty}(D')\|^{n-1} при q= p и
\begin{equation*}
\Psi_{q,p}(Q(x,R)\setminus \overline{Q(x,r)})^{1/\sigma}= \bigl\|K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\rho}(Q(x,R)\setminus \overline{Q(x,r)})\bigr\|^{n-1} \quad\text{при }\ q<p,
\end{equation*}
\notag
где 1/\sigma=1/q-1/p=(n-1)/{\varrho}. В [17; теорема 8] доказано, что имеет место включение
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(\Omega;s,r;\theta,1)\subset\mathcal{ID}(\Omega;s,r;\theta,1)
\end{equation*}
\notag
при условии n-1< s\leqslant r<\infty. Более того, для любого гомеоморфизма f\colon D'\to D, принадлежащего классу \mathcal{OD}(D';s,r;\theta,1), n-1< s\leqslant r<\infty, имеем соотношение
\begin{equation*}
\bigl\|\mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\sigma}(D')\bigr\| \leqslant\bigl\|K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_\rho(D')\bigr\|^{n-1},
\end{equation*}
\notag
где числа \rho и \sigma определены в примерах 6 и 7. 2.5. Модули семейств кривых и гомеоморфизмы класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega)Пусть D' – область в \mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2, и пусть \omega\colon D'\to (0, \infty) – весовая функция класса L_{1,\mathrm{loc}}. Пусть еще \Gamma – произвольное семейство непрерывных локально спрямляемых кривых (коротко – путей) \gamma\colon [a,b]\to D'. Напомним, что для данного семейства кривых \Gamma в D' и действительного числа p\geqslant 1 (весовой) p-модуль семейства \Gamma определяется как величина
\begin{equation*}
\operatorname{mod}_{p}(\Gamma)=\inf_\rho \int_{D'} \rho^{p}\, dx \qquad \biggl( \operatorname{mod}_{p}(\Gamma)=\inf_\rho \int_{D'} \rho^{p}\omega(x)\, dx\biggr),
\end{equation*}
\notag
где инфимум берется по всем неотрицательным борелевским функциям \rho\colon D'\,{\to} [0, \infty], удовлетворяющим условию для всех путей \gamma \in \Gamma. Напомним, что интеграл в (2.18) для спрямляемой кривой \gamma\colon [a,b]\to D' определяется как величина где l(\gamma) – длина кривой \gamma\colon [a,b]\to D', а \widetilde{\gamma}\colon [0,l(\gamma)]\to D' – ее натуральная параметризация, т.е. единственное непрерывное отображение, удовлетворяющее условию \gamma=\widetilde{\gamma}\circ S_{\gamma}, где S_{\gamma}\colon [a,b]\to[0,l(\gamma)] – функция длины, определяемая в точке t\in [a,b] условием S_{\gamma}(t)=l(\gamma\vert_{[a,t]}). Если \gamma – локально спрямляемая кривая, то полагаем где супремум берется по всем спрямляемым подкривым \gamma'\colon [a', b'] \to D' кривой \gamma, [a', b']\subset(a,b), \gamma'= \gamma_{[a', b']}. Функции \rho, удовлетворяющие условию (2.18), называются допустимыми функциями или метриками для семейства \Gamma. Теорема 2 (о модульных неравенствах для отображений класса \mathcal{OD}(D, D'; q,p; 1,\omega); см. [10]). Пусть заданы гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D,D'\subset \mathbb R^n, n\geqslant2, и весовая локально суммируемая функция \omega\colon D'\to (0,\infty). Предположим, что гомеоморфизм \varphi\colon D \to D' принадлежит семейству
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), \quad \textit{где}\ \begin{cases} n-1< q \leqslant p<\infty, &\textit{если } n>2, \\ 1\leqslant q \leqslant p<\infty, &\textit{если }n=2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда при тех же значениях параметров q\leqslant p для любого семейства \Gamma путей в D выполняется неравенство
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(\Gamma))^{1/q}\leqslant K_{q,p}(\operatorname{mod}^\omega_p(\varphi \Gamma))^{1/p},
\end{equation}
\tag{2.19}
где K_{q,p}=\|K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|, K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi) – функция искажения (2.11), а {1}/{\sigma}={1}/{q}-{1}/{p}, если q<p<\infty, и \sigma=\infty, если q=p. Утверждение теоремы справедливо также в случае 1=q \leqslant p<\infty, n=2. В качестве следствия теоремы 2 (см. [14; лемма 2.3] и [13; теорема 18]) мы получаем такое утверждение. Теорема 3 (о модульном описании отображений классов Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega); см. [10]). Пусть заданы гомеоморфизм f\colon D'\to D областей D',D\subset \mathbb R^n, n\geqslant2, и весовая локально суммируемая функция \omega\colon D'\to (0,\infty). 1) Предположим, что гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит семейству
\begin{equation*}
Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega), \qquad n-1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
Тогда для любого семейства \Gamma путей в D' выполняются неравенство
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p} (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.20}
с постоянной K_{q,p} из неравенства (2.19) и неравенство
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(E) (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(E)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.21}
для семейства \Gamma всех кривых9 в конденсаторе E=(F,U), где
\begin{equation}
K_{q,p}(E)=\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)\mid L_\sigma(f(U\setminus F))\bigr\|,
\end{equation}
\tag{2.22}
K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi) – функция искажения (2.11), а {1}/{\sigma}={1}/{q}-{1}/{p}, если n-1< q<p< \infty, и \sigma=\infty, если q=p. 2) Предположим, что для гомеоморфизма f\colon D'\to D выполняются соотношения
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p} (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ \Psi_{q,p}(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)})^{1/\sigma}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.23}
с постоянной K_{p,p} при 1< q=p<\infty и ограниченной квазиаддитивной функцией \Psi_{q,p} при 1< q<p<\infty для всех кубических конденсаторов (\overline{Q(x,r)}, Q(x,R)), r\in (0,R), в D', оболочки которых суть концентрические кубы, и для семейства \Gamma всех кривых \gamma\colon [a,b]\to D' в конденсаторе E=(\overline{Q(x,r)},Q(x,R)) таких, что \gamma(a)\in\overline{Q(x,r)}, \gamma(b)\in\partial{Q(x,R)}. Тогда:
Наименьшие постоянные K_{q,p} из (2.20), величины10
\begin{equation}
\sup_\Gamma\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}}{(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}}, \qquad \sup_E\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}}{(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}},
\end{equation}
\tag{2.24}
соответствующие различным выборам семейств кривых в (2.20) и конденсаторам в (2.21), оцениваются сверху через величину \|K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)\,|\, L_\sigma(D)\| из (2.11) посредством множителей, зависящих лишь от q, p и n (знаменатели величин в (2.24) отличны от нуля). Сформулированные утверждения справедливы также при 1\leqslant q\leqslant p<\infty, если только n=2. Замечание 2. В доказательстве теоремы 3, приведенном в [10], установлено, что для гомеоморфизма f\colon D'\to D выполняются соотношения
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl(\operatorname{cap}(f(\overline{Q(x,r)}),f(Q(x,R));L^1_q(D))\bigr)^{1/q} =(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q} \\ \notag &\qquad\leqslant\begin{cases} K_{p,p} (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ \Psi_{q,p}(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)})^{1/\sigma}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q<p<\infty, \end{cases} \\ &\qquad\leqslant\begin{cases} K_{p,p} \bigl({\operatorname{cap}}(\overline{Q(x,r)},Q(x,R); L^1_p(D';\omega))^{1/p}, \\ \Psi_{q,p}(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)})^{1/\sigma} \bigl({\operatorname{cap}}\big(\overline{Q(x,r)},Q(x,R); L^1_p(D';\omega)\bigr)^{1/p} \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.25}
при условии, что для f верны соотношения (2.23). Теоремы 3 и 1 позволяют сделать следующий неожиданный вывод. Следствие 2. Гомеоморфизмы f\colon D'\to D семейства \mathcal Q_{q,p}(D',\omega), n-1< q \leqslant p<\infty или 1=q \leqslant p<\infty при n=2, имеют эквивалентные описания (2.4) на емкостном и (2.20) на модульном языках. Замечание 3. Из (2.25) можно вывести, что в случае q=p=n (n\,{-}\,1<q=p<n) класс гомеоморфизмов \mathcal Q_{n,n}(D',\omega;D) (\mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D)) содержит (см. [14; п. 4.4]) класс так называемых Q-гомеоморфизмов ((p, Q)-гомеоморфизмов)11, определяемых посредством контролируемого изменения модуля семейств кривых; см. [6] (и соответственно [39]). Доказанная выше теорема 3 позволяет сделать вывод, что на самом деле класс \mathcal Q_{n,n}(D',\omega) совпадает с семейством Q-гомеоморфизмов из [6; п. 4.1]. Пусть D', D – области в \mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2, и пусть Q\colon D' \to [1, \infty) – функция класса L_{1,\mathrm{loc}}. Напомним, что гомеоморфизм f\colon D' \to D называется (см. [6; п. 4.1]) Q-гомеоморфизмом, если
\begin{equation}
\operatorname{mod}_n(f \Gamma) \leqslant \int_{D'} Q(x) \cdot \rho^{n}(x)\,dx
\end{equation}
\tag{2.26}
для каждого семейства \Gamma путей в D' и любой допустимой функции \rho для \Gamma. В силу теоремы 3 гомеоморфизмы, удовлетворяющие условию (2.26), совпадают с гомеоморфизмами f\colon D'\to D класса \mathcal Q_{n,n}(D',\omega) при \omega=Q. Некоторые свойства гомеоморфизмов класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) изучались в работах [40] (при n-1<q<p=n и значении \Psi_{q,n}(U) вместо \Psi_{q,n}(U\setminus F) и \omega\equiv1), [6], [41]–[45] (при q=p=n, \omega=Q), [46], [47] (при 1<q=p<n, \omega=Q) и др. Во всех перечисленных работах, кроме [40], искажение геометрии конденсаторов формулируется на языке модулей семейства кривых, что в ряде случаев является более ограничительной по содержательным возможностям характеристикой по сравнению с емкостным описанием. § 3. Новые функции множестваВ этом параграфе мы определим две новые функции множества, первая будет построена на основе емкостных отношений, а вторая – на основе модульных отношений. 3.1. Функция множества на основе емкостиПусть \varphi\colon D\to D' – гомеоморфизм такой, что оператор композиции \varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D), 1< q < p<\infty, ограничен. Для пары чисел q, p, 1<q<p<\infty, рассмотрим функцию множества N_c(W), заданную на связных открытых множествах W\subset D', полагая
\begin{equation}
W\mapsto N_c(W)=\sup_{E=(F,U)}\frac{\operatorname{cap}^{\sigma/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))}{\operatorname{cap}^{\sigma/p}(E; L^1_p(D';\omega))},
\end{equation}
\tag{3.1}
где точная верхняя грань берется по всем конденсаторам E=(F,U) таким, что U\subset W и знаменатель дроби в (3.1) не равен нулю. В силу неравенства (2.10) знаменатель дроби в (3.1) всегда не равен нулю при n-1<q в случае n\geqslant3 и при 1\leqslant q в случае n\geqslant2, если только компонента F конденсатора E=(F,U) содержит некоторый континуум; см., например, неравенство (3.2) работы [14]. В этом случае для конденсатора E=(F, U) в D имеет место неравенство
\begin{equation*}
\operatorname{cap}_q^{n-1}(E; L^1_q(U)) \geqslant c\,\frac{(\operatorname{diam} F)^{q}}{|U|^{q-(n-1)}}>0,
\end{equation*}
\notag
где c – постоянная, зависящая только от n и q. Отметим следующие легко проверяемые свойства функции N_c(W) для связных открытых множеств W\subset D':
Рассмотрим вариацию V(N_c, U) введенной выше функции множества D'\supset W\mapsto N_c(W). Как известно (см., например, [30]), вариация V(N_c, U) функции множества N_c относительно некоторого открытого множества U\subset D' определяется как величина где точная верхняя грань берется по всевозможным конечным наборам дизъюнктных связных открытых множеств W_{1}, \dots, W_{m}, содержащихся в U. Вариация V(N_c, U) является квазиаддитивной функцией открытого множества U \subset D. Очевидна оценка3) N_c(U) \leqslant V(N_c, U). Отметим, что вариация V(N_c, U), U\subset D', является ограниченной квазиаддитивной функцией открытого множества U \subset D: 4) V(N_c, U) \leqslant \Phi(U)= \|\varphi_{U}^*\|^\sigma. Действительно, применяя свойство конечной аддитивности функции \Phi, выводим
\begin{equation}
V(N_c, U)=\sup \sum_{k=1}^{m} N_c(W_{k})\leqslant \sup \sum_{k=1}^{m} \Phi(W_{k}) = \Phi\biggl(\bigcup_{k=1}^{m}W_{k}\biggr)\leqslant\Phi(U).
\end{equation}
\tag{3.3}
Здесь W_{1},\dots,W_{m} – дизъюнктные открытые связные множества из (3.2). Предложение 3. Для любого кольцевого конденсатора E=(F,U) в D' соотношение (2.10) при 1<q<p<\infty выполняется с квазиаддитивной функцией V(N_c, U\setminus F) вместо \Phi(U\setminus F). Доказательство. Положим W=U\setminus F. Для конденсатора E=(F,U) в W\subset D' имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\operatorname{cap}^{1/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))}{\operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega))} &=\sup_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega))} \frac{\displaystyle\biggl(\int_{\varphi^{-1}(U\setminus F)} |\nabla v_e (x)|^q\,dx\biggr)^{1/q}} {\displaystyle\biggl(\int_{U\setminus F} |\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}} \\ &=\sup_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega))} \frac{\displaystyle\biggl(\int_{\varphi^{-1}(U\setminus F)} |\nabla \widetilde v_e(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q}} {\displaystyle\biggl(\int_{U\setminus F} |\nabla\widetilde u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
где \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')) – класс допустимых функций для конденсатора E=(F,U) в D', v_e – экстремальная функция для емкости \operatorname{cap}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)), а функция \widetilde u (\widetilde v_e) определяется функцией u (v_e) по формуле При проверке последнего перехода в (3.4) следует учесть, что равенства |\nabla \widetilde v_e(x)|=2|\nabla v_e(x)| и |\nabla \widetilde u(x)|=2|\nabla u(x)| верны для почти всех x\in U.
Заметим, что12
\begin{equation}
\int_{U\setminus F} |\nabla\widetilde u(y)|^p\omega(y)\,dy \geqslant\operatorname{cap}\biggl(\biggl(u^{-1}\biggl(\frac12\biggr),U\setminus F\biggr); L^1_p(D';\omega)\biggr),
\end{equation}
\tag{3.6}
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(U\setminus F)} |\nabla \widetilde v_e(x)|^q\,dx =\operatorname{cap}\biggl(\biggl(\varphi^{-1}\biggl(u^{-1}\biggl(\frac12\biggr)\biggr), \varphi^{-1}(U\setminus F)\biggr); L^1_q(D)\biggr).
\end{equation}
\tag{3.7}
Оценка (3.6) верна, так как \widetilde u – допустимая функция для емкости \operatorname{cap}((u^{-1}(1/2), U\setminus F); L^1_q(D)), а оценка (3.7) верна, так как в противном случае из экстремальной функции для емкости \operatorname{cap}((\varphi^{-1}(u^{-1}(1/2)),\varphi^{-1}(U\setminus F)); L^1_q(D)) (обращением операции (3.5)) можно построить допустимую функцию для \operatorname{cap}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)) и получить противоречие с экстремальностью функции v_e. Далее, подставляя в знаменатель дроби (3.4) меньшее значение из (3.6), а в числитель – большее значение из (3.7), с применением пп. 3), 4) выводим оценку сверху для левой части (3.4):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\operatorname{cap}^{\sigma/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))}{\operatorname{cap}^{\sigma/p}(E; L^1_p(D';\omega))} \\ \notag &\qquad\leqslant\sup_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega))} \frac{\operatorname{cap}^{\sigma/q}\bigl((\varphi^{-1}(u^{-1}(1/2)),\varphi^{-1}(U\setminus F)); L^1_q(D)\bigr)}{\operatorname{cap}^{\sigma/p}\bigl((u^{-1}(1/2),U\setminus F); L^1_p(D';\omega)\bigr)} \\ &\qquad\leqslant N_c(U\setminus F)\leqslant V(N_c, U\setminus F)\leqslant\|\varphi_{U\setminus F}^*\|^\sigma\leqslant \bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(U\setminus F))\bigr\|^\sigma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
Из (3.8) выводим
\begin{equation*}
N_c(W)=\sup_{E=(F,U)}\frac{\operatorname{cap}^{\sigma/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))}{\operatorname{cap}^{\sigma/p}(E; L^1_p(D';\omega))}= N_c(U\setminus F)\leqslant V(N_c, U\setminus F)\leqslant\|\varphi_{U\setminus F}^*\|^\sigma,
\end{equation*}
\notag
где верхняя грань берется по всем конденсаторам E=(F,U) таким, что U\subset W.
Предложение 3 доказано. Замечание 4. Так как при 1<q<p<\infty соотношение (2.10) выполняется с ограниченной квазиаддитивной функцией V(N_c, U\setminus F) вместо \Phi(U\setminus F), получаем следующие неравенства (см. соотношения (2.12), вторая строка, и п. 4) выше):
\begin{equation}
\|\varphi_{W}^*\|\leqslant\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\| \leqslant n7^{n/q} V(N_c, W)^{1/\sigma}\leqslant n7^{n/q}\|\varphi_{W}^*\|
\end{equation}
\tag{3.9}
для любого открытого множества W\subset D'. 3.2. Функция множества на основе модуляРассмотрения этого пункта основываются на следующем утверждении, которое является прямым следствием теоремы 3. Предложение 4 (о модульном описании отображений классов \mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega); см. [10]). Пусть заданы гомеоморфизм f\colon D'\to D областей D',D\subset \mathbb R^n, n\geqslant2, и весовая локально суммируемая функция \omega\colon D'\to (0,\infty). 1) Предположим, что гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит семейству
\begin{equation*}
\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega), \qquad n-1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
Тогда для любого семейства \Gamma кривых13 в произвольном конденсаторе E=(F,U)\subset D' выполняется неравенство
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(E) (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(E)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p},& n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.10}
где
\begin{equation}
K_{q,p}(E)=\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)\mid L_\sigma(f(U\setminus F))\bigr\|,
\end{equation}
\tag{3.11}
K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi) – функция искажения (2.11), а {1}/{\sigma}={1}/{q}-{1}/{p}, если n-1< q<p< \infty, и \sigma=\infty, если q=p. 2) Предположим, что для гомеоморфизма f\colon D'\to D выполняются соотношения
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p} (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ \Psi_{q,p}(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)})^{1/\sigma}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.12}
с постоянной K_{p,p} при 1< q=p<\infty и ограниченной квазиаддитивной функцией \Psi_{q,p} при 1< q<p<\infty для всех конденсаторов E=(F,U) и для семейства \Gamma всех кривых \gamma\colon [a,b]\to D' в конденсаторе E=(F,U) таких, что \gamma(a)\in F, \gamma(b)\in\partial U. Тогда:
Сформулированные утверждения справедливы также при 1\leqslant q\leqslant p<\infty, если только n=2. Пусть \varphi\colon D\to D' – гомеоморфизм такой, что оператор композиции \varphi^*: {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D), 1< q < p<\infty, ограничен. Тогда f=\varphi^{-1}: D'\to D принадлежит классу \mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega) , n-1< q \leqslant p<\infty. Для пары чисел q, p, 1<q<p<\infty, рассмотрим функцию множества N_m(W), заданную на связных открытых множествах W\subset D', полагая
\begin{equation}
W\mapsto N_m(W)=\sup_{E=(F,U)}\sup_{\Gamma}\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{\sigma/q}} {(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{\sigma/p}},
\end{equation}
\tag{3.13}
где внутренняя точная верхняя грань берется по семействам \Gamma кривых в конденсаторе E=(F,U), а внешняя – по конденсаторам E=(F,U) таким, что U\subset W (в силу неравенства (3.10) знаменатель дроби в (3.13) не равен нулю, если только компонента F конденсатора E=(F,U) содержит некоторый континуум). Отметим следующие легко проверяемые свойства функции N_m(W) для связных открытых множеств W\subset D':
Рассмотрим вариацию V(N_m, U) введенной выше функции множества D'\supset W\mapsto N_m(W). Как известно (см., например, [30]), вариация V(N_m, U) функции множества N_m относительно некоторого открытого множества U\subset D' определяется как величина где точная верхняя грань берется по всевозможным конечным наборам дизъюнктных связных открытых множеств W_{1}, \dots, W_{m}, содержащихся в U. Вариация V(N_m, U) является квазиаддитивной функцией открытого множества U \subset D. Очевидна оценка3) N_m(U) \leqslant V(N_m, U). Отметим, что вариация V(N_m, U), U\subset D', является ограниченной квазиаддитивной функцией открытого множества U \subset D: 4) V(N_m, U) \leqslant K_{q,p}(U), где величина K_{q,p}(E) определена в (3.11). Действительно, применяя свойство конечной аддитивности функции \Phi, выводим
\begin{equation}
V(N_m, U)=\sup \sum_{k=1}^{m} N_m(W_{k})\leqslant \sup \sum_{k=1}^{m} K_{q,p}(W)^\sigma = K_{q,p}\biggl(\bigcup_{k=1}^{m}W_{k}\biggr)\leqslant K_{q,p}(U).
\end{equation}
\tag{3.15}
Здесь W_{1},\dots,W_{m} – дизъюнктные открытые связные множества из (3.14).
§ 4. Совпадение четырех функций множестваВ этом параграфе мы докажем новые свойства гомеоморфизмов f\colon D'\to D областей D' и D в \mathbb R^n, n\geqslant2, класса Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D). Здесь мы докажем основной результат работы. Теорема 4 (о совпадении функций множества, ассоциированных с гомеоморфизмом Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega)). Пусть задан гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D,D'\subset \mathbb R^n, n\geqslant2, для которого оператор композиции
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D)
\end{equation*}
\notag
с параметрами n-1< q\leqslant p<\infty при n\geqslant3 или 1\leqslant q\leqslant p<\infty при n=2 и весовой функцией \omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D') ограничен. Тогда справедливо следующее. I. При q<p функции множества:
совпадают, т.е.
\begin{equation}
\|\varphi^*_W\|^\sigma=\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\|^\sigma=V(N_c, W)=V(N_m, W)
\end{equation}
\tag{4.1}
для любого открытого множества W\in \mathcal O(D'). II. При q=p величины:
совпадают, т.е. Фиксируем гомеоморфизм \varphi\colon D\to D', удовлетворяющий условия теоремы 4. Тогда по теореме 1 обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1} принадлежит классу \mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D) с параметрами n-1< q\leqslant p<\infty при n\geqslant3 или 1\leqslant q\leqslant p<\infty при n=2 и весовой функцией \omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D'). В работе [13] доказано следующее утверждение о свойствах обратного гомеоморфизма f=\varphi^{-1}\colon D'\to D. Теорема 5 (см. [13; теорема 23]). Пусть n-1<q<\infty, если n\geqslant3, или 1\leqslant q<\infty, если n=2. Всякий гомеоморфизм f\colon D'\to D семейства \mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D), q\leqslant p<\infty: 1) принадлежит классу Соболева W^1_{1,\mathrm{loc}}(D'); 2) имеет конечное искажение; 3) дифференцируем п.в. в области D'. Доказательство теоремы 4 основано на следующей лемме. Лемма 1. Пусть задан гомеоморфизм f\colon D'\to D класса \mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D) с параметрами n-1< q\leqslant p<\infty при n\geqslant3 или 1\leqslant q\leqslant p<\infty при n=2 и весовой функцией \omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D'). Тогда для почти всех точек a\in D' таких, что \det Df(a)\ne0 и \omega(a)\ne0, справедливо следующее неравенство:
\begin{equation}
\frac{|{\operatorname{adj} Df(a)}|}{|{\det Df(a)}|^{(q-1)/q}\omega(a)^{1/p}} \leqslant \begin{cases} \Psi'(a)^{1/\sigma}&\textit{при } q<p, \\ K_p &\textit{при }q=p, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.3}
где \Psi'(a) – производная квазиаддитивной функции множества \Psi из (2.10). Обозначим через H_{I}(a, f) величину, стоящую в левой части соотношения (4.3). Величина H_{I}(a, f) корректно определена в точках a\in D' таких, что \det Df(a)\ne0 и \omega(a)\ne0. В точках a\in D', где \det Df(a)=0, имеем \operatorname{adj} Df(a)= 0 и в этом случае полагаем H_{I}(a, f)=0. Доказательство леммы 1. Рассмотрим случай q<p (в случае q=p рассуждения упрощаются). Отображение дифференцируемо п.в. в D'. Следовательно, величина H_{I}(x, f) корректно определена п.в. в D'. Будем доказывать, что H_{I}(x, f)^\sigma\leqslant \Psi'(x) п.в. в D'.
По теореме 5 отображение f дифференцируемо в почти всех точках x\in D'. Достаточно проверить справедливость неравенства (4.3) для почти всех точек x\in D', в которых J(x, f) \neq 0 (при J(x, f)=0 оно выполняется очевидным образом) и \omega(x)\ne0 (таковыми являются почти все точки). Пусть a \in D' – произвольная точка, в которой:
В силу вышесказанного условия 1)–3) выполняются одновременно в почти всех точках a\in D'\setminus Z', где Z'=\{y\in D'\colon \det Df(a)=0\}. Далее применим следующую алгебраическую лемму. Лемма 2. Пусть L\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n – линейный невырожденный оператор. Тогда существуют ортонормированные базисы \{u_1,\dots,u_n\} и \{v_1,\dots,v_n\} в \mathbb R^n и неотрицательные числа \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\} такие, что L(u_i)=\lambda_iv_i, i=1,\dots,n. Векторы \{u_1,\dots,u_n\} являются собственными векторами оператора L^*L, а \lambda_1^2,\dots,\lambda_n^2 – его собственными числами. При этом |{\det L}|=\lambda_1\dotsb\lambda_n. Положим в лемме 2 L=Df(a) и упорядочим полуоси эллипсоида, являющегося образом единичного шара при линейном отображении Df(a), так, что \lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \dots \geqslant \lambda_{n}>0. Для доказательства неравенства (4.3) достаточно показать, что
\begin{equation}
\frac{|{\det Df(a)}|}{\lambda_{n}^{q}}=\frac{|{\operatorname{adj} Df(a)}|^q}{|{\det Df(a)}|^{q-1}} \leqslant \Psi_{p}'(a)^{q/\sigma}\omega(a)^{q/p},
\end{equation}
\tag{4.5}
где |{\det Df(a)}|=\lambda_{1} \dotsb \lambda_{n}, \lambda_{n}^{-1}={|{\operatorname{adj} Df(a)}|}/{|{\det Df(a)}|}, a \operatorname{adj} Df(a)\cdot Df(a)=\det Df(a). Пусть T_a\mathbb R^n (T_{f(a)}\mathbb R^n) – касательное пространство к \mathbb R^n в точке a (f(a)) с набором базисных векторов \{u_i\} (\{v_i\}), Фиксируя произвольно параметр t\in(0,\lambda_{n}), выберем число r>0 так, чтобы конденсатор E_r=(F_r, U_r), где
\begin{equation}
F_r=\biggl\{y=\sum_{i=1}^ny_iu_i\colon y_{n}=0,\ |y_{i}| \leqslant r,\ i=1, \dots, n-1\biggr\},
\end{equation}
\tag{4.6}
\begin{equation}
U_r=\biggl\{y=\sum_{i=1}^ny_iu_i \colon|y_{n}|<r t ,\ |y_{i}|<r(1+ t),\ i=1, \dots, n-1\biggl\},
\end{equation}
\tag{4.7}
лежал в области D'. B силу условия f \in \mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D) имеем неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\operatorname{cap}(\varphi^{-1}(E_r); L^1_q(D)) \\ &\qquad\leqslant \begin{cases} K^p_p \operatorname{cap}(E_r; L^1_p(D';\omega)), &1<q=p<\infty, \\ \Psi(U_r\setminus F_r)^{q/\sigma} \operatorname{cap}^{q/p}(E_r; L^1_p(D';\omega)), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
для любого кольцевого конденсатора E_r=(F_r,U_r) в D' с прообразом \varphi^{-1}(E_r)=(\varphi^{-1}(F_r),\varphi^{-1}(U_r)) в D, где K_p – постоянная, а \Psi – ограниченная квазиаддитивная функция множества из (2.10), определенная на некоторой системе открытых подмножеств области D', содержащей дополнения U_r\setminus F_r для достаточно малых r. Оценим значения емкостей, входящих в неравенство (4.8). Для оценки емкости справа воспользуемся леммой 19 из [13], согласно которой
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname{cap}(E_r; L^1_p(D';\omega)) &\leqslant\frac{\omega(U_r)}{\operatorname{dist}(F_r, \partial U_r)^{p}} \\ & =\frac{\displaystyle\int_{U_r}\omega(y)\,dy}{(r t)^{p}} =\frac{\omega(y)\mathcal{H}^{n}(U_{r})+o(\mathcal{H}^{n}(U_{r}))}{(rt)^{p}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
С другой стороны, по предложению 5 работы [40] имеем
\begin{equation}
\operatorname{cap}(f(E_r); L^1_q(D)) \geqslant \frac{\bigl(\inf \mathcal{H}^{n-1}(S)\bigr)^{q}}{\mathcal{H}^{n}(f(U_r))^{q-1}},
\end{equation}
\tag{4.10}
где \mathcal{H}^{n-1}(S) обозначает (n-1)-мерную меру Хаусдорфа C^{\infty}-многообразия S, являющегося границей открытого множества A, содержащего f(F_r) и содержащегося вместе со своим замыканием в f(U_r), а точная нижняя грань берется по всем таким S. (Основой для доказательства неравенства (4.10) служит соотношение \operatorname{cap}(f(E_r); L^1_1(D)) \geqslant \inf_S \mathcal{H}^{n-1}(S), установленное в [48].) Дальнейшую оценку дроби снизу в неравенстве (4.10) проводим, опираясь на свойство дифференцируемости отображения x=f(y) при x=a. Выберем r>0 настолько малым, что в разложении имеем |o(1)|<t при x \in U_r. Тогда для меры множества f(U_r) справедлива асимптотика
\begin{equation*}
\mathcal{H}^{n}(f(U_r))=(|{\det Df(a)}|+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r})\quad\text{при}\quad r\to0.
\end{equation*}
\notag
Проекция множества f(F_r) на подпространство x_{n}=0 содержит в себе (n-1)-мерный эллипсоид где \operatorname{Id} – линейный оператор, задаваемый на базисных векторах формулой \operatorname{Id}(u_i)=v_i, i=1,\dots,n. Поэтому с учетом (4.5) имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathcal{H}^{n-1} (S) &\geqslant 2 \mathcal{H}^{n-1}(V_{r})=2\mathcal{H}^{n-1}(F_{r}) \prod_{i=1}^{n-1}(\lambda_{i}-o(1)) \\ &=2|{\operatorname{adj} Df(a)}|(1-o(1))\cdot\mathcal{H}^{n-1}(F_{r}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
и, следовательно, для левой части (4.10) справедлива оценка снизу
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(f(E_r); L^1_q(D)) \geqslant\frac{(2|{\operatorname{adj} Df(a)}|(1-o(1))\cdot\mathcal{H}^{n-1}(F_{r}) )^{q}}{((|{\det Df(a)}|+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r}))^{q-1}} \quad\text{при }\ r\to0.
\end{equation*}
\notag
Подставляя найденные оценки емкостей в приведенное выше неравенство (4.8), получаем
\begin{equation*}
\frac{(2 |{\operatorname{adj} Df(a)}|\cdot \mathcal{H}^{n-1}(F_{r}))^{q}\cdot (1-o(1))} {((|{\det Df(a)}|+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r})))^{q-1}}\leqslant \Psi(U_r)^{q/\sigma} \frac{((\omega(a)+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r}))^{q/p} }{(r t )^{q}}
\end{equation*}
\notag
при r\to0. Умножив обе части этого соотношения на (r t )^{q} и разделив обе части на величину \mathcal{H}^{n}(U_{r}) =2rt\mathcal{H}^{n-1}(F_{r})(1+t)^{n-1}, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{(|{\operatorname{adj} Df(a)}|\cdot 2rt \mathcal{H}^{n-1}(F_{r})(1+t)^{n-1} )^{q}\cdot(1-o(1))}{((|{\det Df(a)}|+o(1)) \cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r}))^{q}} \, \frac{(|{\det Df(a)}|+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r})}{(1+t)^{q(n-1)} \cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r})} \\ &\qquad\to\frac{|{\operatorname{adj} Df(a)}|^{q}}{(1+t)^{q(n-1)}|{\det Df(a)}|^{q-1}} \leqslant \Psi'(a)^{q/\sigma} \omega(a)^{q/p} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
при r \to0. Поскольку t > 0 – произвольное число, выводим неравенство
\begin{equation*}
\frac{|{\operatorname{adj} Df(a)}|^q}{|{\det Df(a)}|^{q-1}} \leqslant \Psi'(a)^{q/\sigma}\omega(a)^{q/p},
\end{equation*}
\notag
из которого получаем требуемую оценку (4.3). Чтобы получить доказательство для случая q=p, следует заменить в приведенном доказательстве q на p, а \Psi_{p}'(a)^{q/\sigma} на K_p^p. Лемма 1 доказана. Доказательство теоремы 4. Комбинируя неравенства (4.3) и (2.12), первая строка, приходим к соотношению
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\varphi_W^*\|^\sigma &\leqslant\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\|^\sigma =\int_{W\setminus Z'}\biggl(\frac{|{\operatorname{adj} Df(y)}|}{|{\det Df(y)}|^{(q-1)/q}\omega(y)^{1/p}}\biggr)^\sigma\,dy \\ &\leqslant\int_{W\setminus Z'}\Psi'(y)\,dy\leqslant\int_{W}\Psi'(y)\,dy\leqslant \Psi(W) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
при q<p и к соотношению \|\varphi^*\|\leqslant \|K^{1,\omega}_{p,p}(\,\cdot\,)\mid L_\infty(D)\| \leqslant K_p при q=p.
Поскольку в качестве квазиаддитивной функции множества в (2.10) можно взять функцию множества \Phi(W)=\|\varphi^*_W\|^\sigma, из (4.12) выводим
\begin{equation*}
\|\varphi_W^*\|^\sigma\leqslant\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\|^\sigma\leqslant \|\varphi_W^*\|^\sigma.
\end{equation*}
\notag
Аналогично, в качестве квазиаддитивной функции множества в (2.10) можно взять функцию множества V(N_c, W). Тогда с учетом неравенства (3.3) из (4.12) получаем
\begin{equation*}
\|\varphi_W^*\|^\sigma \leqslant\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\|^\sigma\leqslant V(N_c, W)\leqslant \|\varphi_W^*\|^\sigma
\end{equation*}
\notag
при q<p и \|\varphi^*\|\leqslant \|K^{1,\omega}_{p,p}(\,\cdot\,)\mid L_\infty(D)\| \leqslant K_p\leqslant\|\varphi^*\| при q=p.
Следовательно, равенства (4.1) между первыми тремя квазиаддитивными функциями (равенства (4.2) между первыми тремя постоянными величинами) доказаны. Для окончания доказательства остается показать, что квазиаддитивная функция V(N_m, W) совпадает с любой из трех первых квазиаддитивных функций множества в (4.1) (постоянная K_{p,p} равна первым трем величинам в (4.2)). Заметим, что доказательство леммы 1 основано на неравенствах для емкости (4.9) и (4.10) и неравенстве (4.8). Вместо неравенства (4.8) можно записать теперь модернизированное неравенство (3.10) для конденсатора E_r=(F_r,U_r):
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(U_r) (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ V(N_m, U_r) K_{q,p}(E_r)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.13}
для семейства \Gamma всех кривых14 в конденсаторе E_r=(F_r,U_r), в котором
\begin{equation}
K_{p,p}(U_r)=\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)\mid L_\infty(f(U_r))\bigr\|,
\end{equation}
\tag{4.14}
K^{1,\omega}_{p,p}(\cdot,\varphi) – функция искажения (2.11) (в случае n=2 неравенства (4.13) справедливы также при 1\leqslant q\leqslant p< \infty).
Аргументы работы [10], которые подтверждают справедливость соотношений (2.25), позволяют установить также следующие соотношения для семейства \Gamma всех кривых в конденсаторе E_r=(F_r,U_r)\subset D':
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \bigl(\operatorname{cap}(f(F_r),f(U_r);L^1_q(D))\bigr)^{1/q} &=(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q} \\ \notag &\leqslant\begin{cases} K_{p,p}(D') (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ V(N_m, U_r)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases} \\ &\leqslant\begin{cases} K_{p,p}(D') ({\operatorname{cap}}(F_r,U_r); L^1_p(D';\omega))^{1/p}, \\ V(N_m, U_r)({\operatorname{cap}}(F_r,U_r); L^1_p(D';\omega))^{1/p} \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
при условии, что для f верны соотношения (2.21). Следовательно, применяя для правой части (4.15) оценку сверху (4.10), а для левой части – оценку снизу (4.9), мы приходим к тем же соотношениям, которые были получены для (4.8), на основании которых были доказаны неравенства (4.3). Так как в (4.15) роль квазиаддитивной функции играет величина V(N_m, \cdot), мы приходим к соотношениям
\begin{equation}
\frac{|{\operatorname{adj} Df(a)}|}{|{\det Df(a)}|^{(q-1)/q}\omega(a)^{1/p}} \leqslant \begin{cases} V'(N_m,\,\cdot\,)(a)&\text{при }\ q<p, \\ K_{p,p}(D')&\text{при }\ q=p, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.16}
где V'(N_m,\,\cdot\,)(a) – производная квазиаддитивной функции множества V(N_m,\,\cdot\,) в точке a. Отсюда так же, как в (4.12), получаем оценку
\begin{equation*}
\|\varphi_W^*\|^\sigma\leqslant\int_{W\setminus Z'}V'(N_m,\,\cdot\,)(y)\,dy \leqslant\int_{W}V'(N_m,\,\cdot\,)(y)\,dy\leqslant V(N_m,W).
\end{equation*}
\notag
Принимая во внимание оценку 4) в конце п. 3.2 и равенство между первыми двумя величина в (4.1), приходим к требуемому: Теорема 4 доказана. Из равенств (4.1) и (4.12) выводим следующее неожиданное утверждение. Предложение 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда функции множества из (4.1) можно представить аналитически в виде
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\varphi^*_W\|^\sigma &=\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\|^\sigma= V(N_c, W)=V(N_m, W) \nonumber \\ &=\int_{W\setminus Z'}\biggl(\frac{|{\operatorname{adj} Df(y)}|}{|{\det Df(y)}|^{(q-1)/q}\omega(y)^{1/p}}\biggr)^\sigma\,dy, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
где W\,{\subset}\, D' – открытое множество, f\,{=}\,\varphi^{-1}\colon D'\to D (аналитические свойства отображения f сформулированы в теореме 5), Z'\,{=}\,\{y\,{\in}\, D'\colon \!\det Df(y)\,{=}\,0\} – множество нулей якобиана отображения f. Кроме того, представление (4.17) обеспечивает продолжение функций множества на \sigma-алгебру борелевских множеств в D' и продолженные функции являются абсолютно непрерывными. Замечание 5. Содержательная часть результатов § 4 относится к случаю, когда величины (3.1) и (3.2) определены при условии, что гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' индуцирует ограниченный оператор композиции
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D),
\end{equation*}
\notag
где n-1< q < p<\infty при n\geqslant3 и 1\leqslant q <p<\infty при n=2. Заметим, что величины (3.1) и (3.2) можно определить для любого гомеоморфизма \varphi\colon D\to D' без предположения ограниченности оператора \varphi^*. Естественно, что такое определение будет корректным, если только знаменатель дроби в (3.1) отличен от нуля и величины (3.1) и (3.2) будут ограниченными. Для того чтобы работали аргументы настоящей работы, достаточно потребовать, чтобы были положительными емкости двух типов конденсаторов в пространстве L^1_p(D';\omega): сферического E=(B(y_0,r), B(y_0,R))\subset D' , 0<r<R<\infty, и конденсатора E_r=(F_r, U_r)\subset D' (см. (4.6) и (4.7)), т.е. \operatorname{cap}(E; L^1_p(D';\omega))>0 и \operatorname{cap}(E_r; L^1_p(D';\omega))>0. Последнее всегда выполняется, если \omega\equiv 1. Для произвольного веса мы укажем достаточные условия, гарантирующие положительность этих конденсаторов при p>1. Нужные условия можно получить из оценки для любой допустимой функции u для конденсатора E=(B(y_0,r), B(y_0,R)) \subset D' в пространстве L^1_p(D';\omega):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0 &<\operatorname{cap}(E; L^1_1(D')) \\ &\leqslant \int_{B(y_0,R)}|\nabla u(y)|\,dy \leqslant \int_{B(y_0,R)}|\nabla u(y)|\omega^{1/p}(y)\omega^{-1/p}(y)\,dy \notag \\ &\leqslant\biggl( \int_{B(y_0,R)}|\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}\biggl( \int_{B(y_0,R)}\omega^{-1/(p-1)}(y)\,dy\biggr)^{(p-1)/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
Левая часть (4.18) – следствие оценки (4.10) при q=1. Следовательно, при условии конечности интеграла имеем \operatorname{cap}(E; L^1_p(D';\omega))>0 для любого шара B(y_0,R)\subset D'. Последнее условие всегда выполняется при p>1, если только вес \omega принадлежит A_p-классу Макенхаупта. Заметим, что условие (4.19) гарантирует также положительность емкости \operatorname{cap}(E_r; L^1_p(D';\omega)). На основании вышесказанного приходим к следующему выводу. Пусть выполнены условия (4.19) на весовую функцию \omega. Пусть еще \varphi\colon D\to D' – гомеоморфизм. Если величина (3.1), заданная с емкостью конденсаторов в знаменателе (3.1), отличной от нуля, определяет ограниченную квазиаддитивную функцию (3.2), то для гомеоморфизма \varphi\colon D\to D' выполняется уловие 2) теоремы 1, и поэтому для этого гомеоморфизма справедливы все остальные выводы теоремы 1. Аналогичный вывод можно сделать и относительно величин (3.13) и (3.14). Действительно, если \rho – допустимая метрика для семейства кривых \Gamma в конденсаторе E=(B(y_0,r), B(y_0,R))\subset D' с концевыми точками на граничных сферах S(y_0,r) и S(y_0,R), то
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0&<\operatorname{cap}(E; L^1_1(D'))=\operatorname{mod}_1(\Gamma) \\ \notag &\leqslant\int_{B(y_0,R)}\rho(y)\,dy\leqslant \int_{B(y_0,R)}\rho(y)\omega^{1/p}(y)\omega^{-1/p}(y)\,dy \\ &\leqslant\biggl( \int_{B(y_0,R)}\rho(y)^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}\biggl( \int_{B(y_0,R)}\omega^{-1/(p-1)}(y)\,dy\biggr)^{(p-1)/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
Следовательно, при условии (4.19) модуль \operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma) положителен. Равенство между емкостью и модулем в первой строке формулы (4.20) доказано в [7]. БлагодарностьВыражаю благодарность рецензенту за полезные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vod22}
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|