| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О совпадении функций множества в квазиконформном анализе С. К. Водопьянов Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9702e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеИзвестно, что квазиконформные отображения (см., например, [1], [2]) имеют несколько эквивалентных описаний: метрическое, аналитическое, геометрическое на языке модулей (см. [2]), геометрическое на языке емкости (см. [3]), функциональное (см. [4]). С каждым из этих описаний ассоциирована некоторая функция множества, заданная на открытых подмножествах области определения отображения. Основной результат работы состоит в доказательстве совпадения всех этих функций множества. По-видимому, этот результат является новым и для классических квазиконформных отображений (кроме, естественно, конформных отображений). Более точно, пусть гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D,D'\subset \mathbb R^n$, $n\geqslant 2$, индуцирует по правилу замены переменной ($\varphi^*(f)=f\circ\varphi$) ограниченный оператор композиции1
$$
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D)
\end{equation*}
\notag
$$
с параметрами $n-1< q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant3$ или $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$ и весовой функцией $\omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D')$. Тогда справедливо следующее. I. При $q<p$ функции множества2:
совпадают, т.е.
$$
\begin{equation}
\|\varphi^*_W\|^\sigma=\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\|^\sigma
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
для любого открытого множества $W\subset D'$. II. При $q=p$ величины:
совпадают, т.е.
$$
\begin{equation}
\|\varphi^*\|=\bigl\|K^{1,\omega}_{p,p}(\,\cdot\,)\mid L_\infty(D)\bigr\|.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
В случае классических квазиконформных отображений ($q=p=n$, $\omega\equiv1$) последнее равенство говорит о том, что норма оператора композиции совпадает с величиной
$$
\begin{equation*}
\bigl\|K^{1,\omega}_{p,p}(\,\cdot\,)\mid L_\infty(D)\bigr\| =\operatorname*{ess\,sup}_{x\in D}\frac{|D\varphi(x)|}{|{\det D\varphi (x)}|^{1/n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возникшие более 50 лет назад задачи в квазиконформном анализе привели к концепции отображений, характеризуемых контролируемым изменением емкости образа конденсатора через весовую емкость конденсатора в прообразе; см., например, [5]. Одновременно в Финляндии, Украине, Израиле и других странах исследовались отображения (см. [6]), при определении которых вместо емкости была взята другая геометрическая характеристика – модуль семейства кривых. Заметим, что для произвольных весов нет двухсторонних оценок между весовой емкостью и весовым модулем (кроме весов $\mathcal A_n$-класса Макенхаупта; см. [7]–[9]). Поэтому оба подхода исследовались независимо, тем более, что модульный подход (см. [6]) формально создавал впечатление, что изучается более широкий класс отображений по сравнению с емкостным определением. Основной результат работы (см. [10]) состоит в том, что на самом деле независимо от использования емкостной или модульной характеристики мы получаем совпадающие классы отображений. Неожиданность этого результат состоит в том, что он получен не на пути сравнения весовых емкости и модуля, а на применении полученного в 2020 г. функционально-аналитического описания отображений, характеризуемых контролируемым изменением емкости в образе через весовую емкость в прообразе (см. [11]–[14]). В § 3 мы определим еще две функции множества (одну на основе емкостных оценок, а другую на основе модульных оценок) и докажем, что в зависимости от параметров они совпадают либо с (1.1), либо с (1.2). Настоящая статья естественно входит в цикл работ [11]–[14], а также цикл публикаций [15]–[19], в которых изложена история вопроса и приведена подробная библиография. Работам упомянутого цикла предшествовали статьи [4], [20], [21], в которых синтезированы методы теории функциональных пространств Соболева (см. [22], [23]) и геометрической теории функций (см. [1]–[3], [24]–[27]). Некоторые результаты упомянутого цикла работ нашли применение в нелинейной теории упругости; см. [28]. § 2. Классы $\mathcal Q_{q,p}$-гомеоморфизмовЗдесь и далее $D$, $D'$ – области (открытые связные множества) в $\mathbb{R}^n$. 2.1. Определения пространств Соболева и емкости конденсаторовНапомним, что функция $u\colon D\to\mathbb R$ принадлежит классу Соболева $L^1_{p}(D)$, если $u$ локально суммируема в $D$ (т.e. $u\in L_1(U)$ для любой компактно вложенной области $U\Subset D$), имеет обобщенные производные ${\partial u}/{dx_j}\in L_{1,\mathrm{loc}}(D) $ для любого $j=1,\dots,n$ и конечную полунорму
$$
\begin{equation*}
\|u\mid L^1_{p}(D)\|=\biggl(\int_{D}|\nabla u(y)|^p\,dy\biggr)^{1/p}, \qquad 1\leqslant p\leqslant \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\varphi=(\varphi_1,\dots, \varphi_n) $ принадлежит классу Соболева $W^1_{p,\mathrm{loc}}(D; \mathbb{R}^n)$, если $\varphi_j(x) \in L_{p,\mathrm{loc}}(D)$ и обобщенные производные ${\partial\varphi_j}/{dx_i}$ принадлежат $L_{p,\mathrm{loc}}(D) $ для любых $j,i=1,\dots,n$. Отображение $\varphi\colon D\to \mathbb R^n$ класса Соболева $W^1_{1,\mathrm{loc}}(D;\mathbb{R}^n)$ называется отображением с конечным искажением, если3
$$
\begin{equation*}
D\varphi(x)=0 \quad\text{п.в. на множестве }\ Z=\{x\in D\colon \det D\varphi (x)=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее $D\varphi (x)=({\partial\varphi_j}/{\partial x_i}(x))$ – матрица Якоби отображения $\varphi$ в точке $x\in D$, $|D\varphi (x)|$ – ее евклидова операторная норма, а $\det D\varphi (x)$ – ее определитель (якобиан). Локально суммируемая функция $\omega\colon D'\to\mathbb R$ называется весовой, если $0<\omega(y)<\infty$ для почти всех $y\in D'$. Напомним, что функция $u\colon D'\to\mathbb R$ принадлежит весовому классу Соболева $L^1_{p}(D';\omega)$, $p\in[1,\infty)$, если $u$ локально суммируема в $D'$ и имеет в области $D'$ обобщенные производные ${\partial u}/{\partial y_j}$, принадлежащие $L_{p}(D';\omega)$ для любого $j=1,\dots,n$. Полунорма функции $u\in L^1_{p}(D';\omega)$ равна величине
$$
\begin{equation*}
\|u\mid L^1_{p}(D';\omega)\|=\biggl(\int_{D'}|\nabla u|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $\omega\equiv 1$ вместо $L^1_{p}(D';1)$ пишем просто $L^1_{p}(D')$. Далее через $\operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')$ обозначаем пространство локально липшицевых функций, определенных на области $D'$. Очевидно, $\operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')=W^1_{\infty,\mathrm{loc}}(D')\cap C(D')$. Напомним, что гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ областей $D$ и $D'$ в $\mathbb{R}^n$ порождает ограниченный оператор композиции
$$
\begin{equation*}
\varphi^* \colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D), \qquad 1\leqslant q \leqslant p < \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
действующий по правилу $D\ni x\mapsto(\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x))$, если с некоторой постоянной $K_{q,p}<\infty$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|\varphi^*u\mid L^1_q(D)\|\leqslant K_{q,p}\|u\mid L^1_p(D';\omega)\| \\ &\qquad \text{для любой функции } \ u\in L^1_p(D')\cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Конденсатором в области $D\subset \mathbb{R}^n$ называется пара $E=(F_1,F_0)$ связных компактов (континуумов) в $D$, $F_1,F_0\subset D$. Если континуум $F$ содержится в связном компактно вложенном множестве $U\Subset D$, то конденсатор $E=(F,\partial U)$ будем обозначать $E=(F,U)$. Конденсатор $E=(F,\partial U)$ называется кольцевым, если $U\Subset D'$ – открытое связное множество, а $F\subset U$ – континуум такие, что $\mathbb R^n\setminus F$ – открытое связное множество, а дополнение $\overline{\mathbb R^n}\setminus (U\setminus F)$ имеет две компоненты связности: $F$ и $ \overline{\mathbb R^n}\setminus U$ (здесь $\overline{\mathbb R^n}=\mathbb R^n\cup\{\infty\}$ – одноточечная компактификация $\mathbb R^n$). Кольцевой конденсатор $E=(F,\partial U)$ в $\mathbb R^n$ называется сферическим (кубическим), если область $U$ – это шар4 $B(x,R)=\{y\in\mathbb R^n\colon |y-x|_2< R\}$ (куб $Q(x,R)=\{y\in\mathbb R^n\colon |y-x|_\infty< R\}$), а континуум $F\subset U$ – это замыкание $F=\{y\in\mathbb R^n\colon |y-x|_2\leqslant r\}$ шара $B(x,r)$ (замыкание $F=\{y\in\mathbb R^n\colon |y-x|_\infty\leqslant r\}$ куба $Q(x,r)$), где $r\in (0,R)$. Непрерывная функция $u\colon D\to\mathbb R$ класса $W^1_{1,\mathrm{loc}}(D)$ называется допустимой для конденсатора $E=(F_1,F_0)\subset D$, если $u\equiv 1$ на $F_1$ и $u \equiv 0$ на $F_0$. Совокупность допустимых для конденсатора $E=(F_1,F_0)$ функций будем обозначать $\mathcal A(E)$. Емкость конденсатора $E=(F_1,F_0)$ в пространстве $L^1_q(D)$, $q\in[1,\infty)$, определим как величину
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(E; L^1_q(D))=\inf_{u\in \mathcal A(E)}\|u\mid L^1_{q}(D)\|^q;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь нижняя грань берется по всем допустимым для конденсатора $E = (F_1,F_0) \subset D$ функциям из пересечения $ \mathcal A(E)\cap L^1_{q}(D)$. Весовую емкость конденсатора $E=(F_1,F_0)\subset D'$ в пространстве $L^1_p(D';\omega)$ определим аналогично как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(E; L^1_p(D';\omega))=\inf_{u\in \mathcal A(E)\cap\operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')}\|u\mid L^1_{p}(D';\omega)\|^p,
\end{equation*}
\notag
$$
где нижняя грань берется по всем допустимым для конденсатора $E=(F_1,F_0)$ функциям из пересечения $\mathcal A(E)\cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\cap L^1_{p}(D';\omega)$. Подробнее о свойствах весовой емкости (для специального класса допустимых весовых функций) см. [29; гл. 2]. Непосредственно из определения емкости выводим Принцип субординации. Пусть в области $D'$ даны два конденсатора, $E'=(F'_1,F'_0)$ и $E=(F_1,F_0)$, причем пластины первого конденсатора содержатся в пластинах второго: $F'_1\subset F_1 $ и $F'_0\subset F_0$. Тогда Аналогичное свойство справедливо для $q$-емкости конденсаторов в области $D$. Для доказательства принципа субординации достаточно заметить, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal A(E')\cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\cap L^1_{p}(D';\omega)\subset \mathcal A(E)\cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\cap L^1_{p}(D';\omega).
\end{equation*}
\notag
$$
В основе определения класса $\mathcal Q_{q,p}$-гомеоморфизмов, формулируемого ниже, в п. 2.4, лежит оценка емкости образа кубического конденсатора в области $D'$ через весовую емкость исходного конденсатора. 2.2. Квазиаддитивная функция множества и ее свойстваОбозначим символом ${\mathcal O}(D)$ некоторую систему открытых множеств в $D$, обладающую следующими свойствами:
Выбор шара или куба в этом определении обусловлен выбором системы элементарных множеств, по которым происходит дифференцирование функции множества (см. ниже предложение 1). Определение 2. Отображение $\Phi\colon {\mathcal O}(D)\to[0,\infty]$ называется квазиаддитивной функцией множества, если: 1) для всякой точки $x\in D$ существует $\delta$, $0<\delta<\mathrm{dist}(x, \partial D)$, такое, что (если $D=\mathbb R^n$, то неравенство $0\leqslant\Phi(D(x,{\delta}))<\infty$ должно выполняться для всех $\delta\in(0, \delta(x))$, где $\delta(x)>0$ – некоторое число, которое может зависеть от точки $x$); шары в этом условии можно заменить на кубы;2) для всякого конечного дизъюнктного набора $U_i\in{\mathcal O}(D)$, $i=1,\dots,l$, открытых множеств таких, что $\bigcup_{i=1}^lU_i\subset U$, где $U\in{\mathcal O}(D)$, верно неравенство Если для всякого конечного набора $\{U_i\in{\mathcal O}(D)\}$ попарно не пересекающихся открытых множеств имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n}\Phi(U_i)=\Phi\biggl(\bigcup_{i=1}^{n} U_i \biggr),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
то квазиаддитивная функция множества с таким свойством называется конечно аддитивной, а если (2.1) верно для всякого счетного набора $\{U_i\in{\mathcal O}(D)\}$ попарно не пересекающихся открытых множеств, то – счетноаддитивной. Функция $\Phi$ монотонна, если $\Phi(U_1)\leqslant \Phi(U_2)$ при условии, что $U_1\subset U_2 \subset D$, $U_1,U_2\in{\mathcal O}(D)$. Очевидно, что всякая квазиаддитивная функция множества монотонна. Квазиаддитивная функция множества $\Phi\colon {\mathcal O}(D)\to[0,\infty]$ называется ограниченной квазиаддитивной функцией множества, если $\sup_{U\in {\mathcal O}(D)}\Phi(U)<\infty$. Известно, что квазиаддитивная функция множества $\Phi$, определенная выше, дифференцируема в следующем смысле. Предложение 1 (см. [30]–[32]). Пусть $\Phi$ – квазиаддитивная функция множества, определенная на некоторой системе ${\mathcal O}(D')$ открытых подмножеств области $D'$. Тогда: 1) для почти всех точек $y\in D'$ существует конечная производная5
$$
\begin{equation*}
\Phi'(y)= \lim_{\delta\to 0,\, y\in B_\delta}\frac{\Phi(B_\delta)}{|B_{\delta}|};
\end{equation*}
\notag
$$
2) для любого открытого множества $U\in \mathcal O(D')$ справедливо неравенство 2.3. Формула замены переменнойПриведем в нужной формулировке формулу замены переменной работ [13], [14], модифицированных из формул замены переменной в интеграле Лебега в [33], [34]. Предложение 2. Пусть $\varphi\colon \Omega\to \mathbb R^n$ – это отображение класса Соболева $W^1_{1,\mathrm{loc}}(\Omega)$ (или класса $\operatorname{ACL}(\Omega)$). Тогда: 1) существует борелевское множество $\Sigma\subset \Omega$ нулевой меры такое, что $\varphi\colon \Omega\setminus\Sigma\to\mathbb R^n$ обладает $\mathcal N$-свойством Лузина; 2) функции
$$
\begin{equation*}
\Omega\setminus\Sigma\ni x\mapsto (u\circ \varphi)(x) |{\det D\varphi (x)}|, \qquad \mathbb R^n \ni y\mapsto u(y)\mathcal N(y,\varphi, \Omega\setminus \Sigma)
\end{equation*}
\notag
$$
измеримы, если функция $u\colon \mathbb R^n \to\mathbb R$ измерима; 3) если $A\subset \Omega\setminus \Sigma$ – измеримое множество, то верна формула площади
$$
\begin{equation*}
\int_{A} |{\det D\varphi (x)}|\, dx=\int_{\mathbb{R}^{n}} \mathcal N (y, \varphi, A) \, dy;
\end{equation*}
\notag
$$
4) если измеримая функция $u \geqslant0$ неотрицательна, то подынтегральные функции в (2.2) измеримые и верна формула замены переменной в интеграле Лебега
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega\setminus \Sigma} u(\varphi(x))|{\det D\varphi (x)}|\,dx= \int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{x \in \varphi^{-1}(y)\setminus \Sigma} u(x)\, dy;
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
5) если одна из функций интегрируема, то и другая интегрируема и верна формула2.4. Определение класса $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega;D)$-гомеоморфизмов и их свойстваВ качестве системы открытых множеств $\mathcal O_c(D')$, на которых определена квазиаддитивная функция множества $\Psi$, рассматривается минимальная система открытых множеств в $D'$ (см. определение 2), содержащая: 1) $D'$; 2) всякий открытый куб $Q$, если $\overline Q\subset D'$; 3) дополнение $Q_2\setminus \overline Q_1$, если $Q_1\subset Q_2$ – два куба с общим центром и $\overline Q_2\subset D'$. В следующем определении и теореме 1 в качестве ограниченной квазиаддитивной функции множества рассматривается отображение $\Phi\colon \mathcal O_c(D')\to[0,\infty)$. Определение 3 (см. [11], [14]). 1) Пусть $D$, $D'$ – области в $\mathbb R^n$, $n\geqslant2$. Скажем, что гомеоморфизм принадлежит классу $Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$, где $1< q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant3$ или $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$, а $\omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D')$ – весовая функция, если существуют или такие, что для всякого кубического конденсатора $E=(\overline{Q(x,r)}, Q(x,R))$, $0<r<R$, расположенного в $D'$, и образа $f(E)=(f(\overline{Q(x,r)}), f(Q(x,R))$, расположенного в $D$, выполняются неравенства где $1/\sigma=1/q-1/p$. 2) Пусть $D$, $D'$ – области в $\mathbb R^n$, $n\geqslant2$. Скажем, что гомеоморфизм принадлежит классу $\mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega;D)$, где $1< q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant3$ или $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$, а $\omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D')$ – весовая функция, если существуют или такие, что для всякого конденсатора $E=(F_1,F_0)$, расположенного в $D'$, и образа $f(E)=(f(F_1), f(F_0))$, расположенного в $D$, выполняются соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\operatorname{cap}^{1/q}(f(E); L^1_q(D)) \\ &\qquad\leqslant \begin{cases} \widetilde K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), &1<q=p<\infty, \\ \widetilde\Psi_{q,p}(D'\setminus(F_0\cup F_1))^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где ${1}/{\sigma}={1}/{q}-{1}/{p}$. 3) Если неравенство (2.5) выполняется для всех кольцевых конденсаторов $E=(F,\partial U)$ в области $D'$, то будем говорить, что отображение $\varphi$ принадлежит классу $\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$. Очевидны включения Определение 4. Пусть гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D,D'\subset \mathbb R^n$ индуцирует ограниченный оператор композиции где $\omega\colon D'\to (0,\infty)$ – весовая локально суммируемая функция. Фиксируем произвольное открытое множество $W\subset D'$. Ограничим действие оператора $\varphi^*$ на подпространство6
$$
\begin{equation}
\mathcal R(W)={L}^1_p(W;\omega) \cap \mathring{\operatorname{Lip}}_{\mathrm{loc}}(W)\subset{L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D').
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
(Здесь $\mathring{\operatorname{Lip}}_{\mathrm{loc}}(W)\subset \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')$ – подпространство пространства локально липшицевых на $D'$ функций, равных тождественно нулю вне $W$.) Очевидно, норма ограничения $\varphi_W\colon {L}^1_p(W;\omega) \cap \mathring{\operatorname{Lip}}_{\mathrm{loc}}(W)\to L^1_q(D)$ может зависеть от $W$:
$$
\begin{equation}
\|\varphi^*_W\|=\sup_{\substack{u\in \mathcal R(W)\\ u\ne0}} \frac{\|\varphi_W^*u\mid L^1_q(D)\|}{\|u\mid L^1_p(W;\omega)\|}, \qquad1\leqslant q \leqslant p<\infty
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
(предполагается, что знаменатель дроби в (2.7) отличен от нуля). При $1\leqslant q<p<\infty$ определим функцию множества, сопоставляя открытому множеству $W\subset D'$ число В следующей теореме приводится аналитическое описание отображений, обратные к которым принадлежат классу $Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$. Теорема 1 (см. [11]–[14]). Гомеоморфизм $f\colon D' \to D$ тогда и только тогда принадлежит классу $Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$, $1<q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant 3$ и $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$, когда обратный гомеоморфизм $\varphi=f^{-1}\colon D\to D'$ обладает одним из следующих свойств 1)–4). 1) Оператор композиции $\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D)$, $1< q \leqslant p<\infty$, ограничен. 2) Для любого конденсатора $E=(F_1,F_0)$ в $D'$ с прообразом $\varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1), \varphi^{-1}(F_0))$ в $D$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}^{1/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)) \leqslant \begin{cases} \widetilde K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), \\ \widetilde\Psi_{q,p}(D'\setminus(F_0\cup F_1))^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где области изменения параметров $q$ и $p$ указаны в определении 3, ${1}/{\sigma}= {1}/{q}- {1}/{p}$, а $\widetilde\Psi_{q,p}$ – некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на открытых подмножествах области $D'$. 3) Для любого кольцевого конденсатора $E=(F,U)$ в $D'$ с прообразом $\varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F),\varphi^{-1}(U))$ в $D$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\operatorname{cap}^{1/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)) \\ &\qquad\leqslant \begin{cases} K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), &1<q=p<\infty, \\ \Psi(U\setminus F)^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega)), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $K_p $ – постоянная, а $\Psi$ – некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на некоторой системе7 $\mathcal O(D')$ открытых подмножеств области $D'$. 4) Для гомеоморфизма $\varphi \colon D \to D'$ справедливо следующее:
Кроме того, $\varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\begin{cases} 2^{-n/p}\biggl(\dfrac{3n}2\biggr)^{-1}\|K^{1,\omega}_{p,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \\ 2^{-n/q}\biggl(\dfrac{3n}2\biggr)^{-1}\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \end{cases} \leqslant\|\varphi_W^*\|\leqslant\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \notag \\ &\quad\leqslant\begin{cases} 7^{n/p} nK_p&\textit{при }1< q= p<\infty, \\ 7^{n/q} n\Psi_{q,p}(W)^{1/\sigma}&\textit{при }1< q< p<\infty \end{cases} \quad\textit{в случае }\ \varphi\,{\in}\, Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D), \notag \\ &\quad\leqslant\begin{cases} {3n} 2^{(n-p)/p}\widetilde K_p &\textit{при }q=p, \\ {3n} 2^{(n-q)/q}\widetilde\Psi(W)^{1/\sigma}&\textit{при }q<p \end{cases} \quad\textit{в случае }\ \varphi\in \mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega;D)\qquad \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
для любого открытого множества $W\in \mathcal O(D')$. (Величина $\|\varphi_W^*\|$ определена выше формулой (2.7).) 5) Утверждения 1)–4) справедливы также в случае $1=q \leqslant p<\infty$, $n=2$. Доказательство теоремы 1 приведено в [11; теорема 1], [12], [13] и [14; теорема 1]. Прокомментируем ссылки на указанные работы. Доказательства необходимости утверждений 1) и 4) теоремы 1 установлены в [13; теорема 18] при условиях $f\in Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$, $1<q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant 3$ и $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$. Импликация 1) $\Rightarrow$ 2) доказывается так же, как импликация 1) $\Rightarrow$ 2) в [14; теорема 1]. Для доказательства достаточности при выполнении условия 1) в [14; теорема 1] (соответственно в [13; теорема 18]) установлено, что выполняется также условие 2) при $1<q\leqslant p<\infty$ и $n\geqslant 3$ (соответственно при $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ и $n=2$). Если для гомеоморфизма $\varphi\colon D\to D'$ выполнено условие 2), то, очевидно, выполнено и условие 3). Если выполнено условие 3), то обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$ принадлежит классу $Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$. При выполнении условия 4) в [14; теорема 1] (соответственно в [13; теорема 18]) доказано, что выполняется также условие 1) теоремы, из которого в силу вышесказанного получаем $f=\varphi^{-1}\in Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$. Неравенство (2.12), вторая строка, доказано8 в [13], а неравенства (2.12), первая и третья строки, доказаны в [14]. Следствие 1. Пусть $f\colon D\to D'$ – произвольный гомеоморфизм класса $Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$, $1<q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant 3$ и $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$. Тогда $f\in\mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega;D)$, т.е. неравенство (2.9) выполняется для любого конденсатора $E=(F_1,F_0)$ в $D'$ с образом $f(E)=(f(F_1),f(F_0))$ в $D$. При этом наименьшая постоянная $\widetilde K_p$ при $q=p$ (величина Дифференциальные свойства отображений классов $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega;D)$ установлены в [12] и [13; теорема 2]. Гомеоморфизмы $\varphi\colon D \to D'$ теоремы 1:
Выделим из теоремы 1 следующие два примера $Q_{q,p}$-гомеоморфизмов. Пример 1 (см. [11], [14]). Если гомеоморфизм $\varphi\colon D \to D'$ индуцирует ограниченный оператор композиции $\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D)$, $1<q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant 3$ и $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$, то обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$ принадлежит классу $Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$. Пример 2 (см. [11], [14]). Для гомеоморфизма $\varphi \colon D \to D'$ справедливо следующее: Тогда обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$ принадлежит классу $Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$. В работе [13] дополнительно к примерам 1 и 2 приведены новые примеры классов отображений, входящих в семейство $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega;D)$. Пример 3 (см. [13; пример 3]). Пусть $\varphi\colon D\to D'$ – гомеоморфизм класса Соболева $W^1_{p,\mathrm{loc}}(D)$, $1<p<\infty$ при $n\geqslant3$ и $1\leqslant p<\infty$ при $n=2$, имеющий конечное искажение. Обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$ принадлежит классу $\mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D)$ с постоянной $K_p=1$ и с весовой функцией Пример 4 (см. [13; пример 4]). Пусть $n-1< s<\infty$, а $f \colon D' \to D$ – гомеоморфизм открытых областей $D', D\subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, такой, что: Тогда обратный гомеоморфизм $\varphi=f^{-1}\colon D\to D'$ имеет свойства: a прямой гомеоморфизм $f\colon D'\to D$Пример 5 (см. [13; пример 5]). Пусть $n-1< s<\infty$, а $f \colon D' \to D$ – гомеоморфизм открытых областей $D', D\subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, такой, что: Тогда обратный гомеоморфизм $\varphi=f^{-1}\colon D\to D'$ имеет свойства: a прямой гомеоморфизм $f\colon D'\to D$: Пример 6 (см. [16; определение 11, теорема 34]). Гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ называется гомеоморфизмом с внутренним ограниченным $\theta$-весовым $(s,r)$-искажением (принадлежит классу $\mathcal{ID}(D;s,r;\theta,1)$), $n-1< s\leqslant r<\infty$, если: Введем обозначение $\mathcal K^{\theta,1}_{s,r}(f;D')=\|\mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\varrho}(D')\|$. Тогда при условии $n-1< s\leqslant r<\infty$ и условии локальной суммируемости функции $\omega(x)=\theta^{-(n-1)/(s-(n-1))}(x)$ гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит семейству где $q=r/(r-(n-1))$ и $p=s/(s-(n-1))$, $1<q\leqslant p<\infty$. При этом множители в правой части соотношений (2.4) равны $ K_p=\|\mathcal K_{r,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\infty}(\Omega)\|$ при $q=p$ и где $1/\sigma=1/q-1/p={1}/{\varrho}$. Пример 7 (см. [17; определение 3, теорема 19]). Гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит классу $\mathcal{OD}(D';s,r;\theta,1)$, $n-1< s\leqslant r<\infty$ (называется отображением с внешним ограниченным $\theta$-весовым $(s,r)$-искажением), если: Введем обозначение $ K^{\theta,1}_{s,r}(f;D')=\| K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\rho}(D')\|$. Тогда при условии $n-1< s\leqslant r<\infty$ и условии локальной суммируемости функции $\omega(x)=\theta^{-(n-1)/(s-(n-1))}(x)$ гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит семейству где $q=r/(r-(n-1))$ и $p=s/(s-(n-1))$, $1<q\leqslant p<\infty$. При этом множители в правой части соотношений (2.4) равны $K_p=\|K_{r,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\,|\, L_{\infty}(D')\|^{n-1}$ при $q= p$ и где $1/\sigma=1/q-1/p=(n-1)/{\varrho}$.В [17; теорема 8] доказано, что имеет место включение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(\Omega;s,r;\theta,1)\subset\mathcal{ID}(\Omega;s,r;\theta,1)
\end{equation*}
\notag
$$
при условии $n-1< s\leqslant r<\infty$. Более того, для любого гомеоморфизма $f\colon D'\to D$, принадлежащего классу $\mathcal{OD}(D';s,r;\theta,1)$, $n-1< s\leqslant r<\infty$, имеем соотношение
$$
\begin{equation*}
\bigl\|\mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_{\sigma}(D')\bigr\| \leqslant\bigl\|K_{s,r}^{\theta,1}(\cdot,f)\mid L_\rho(D')\bigr\|^{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где числа $\rho$ и $\sigma$ определены в примерах 6 и 7. 2.5. Модули семейств кривых и гомеоморфизмы класса $ \mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$Пусть $D'$ – область в $ \mathbb{R}^{n}$, $n \geqslant 2$, и пусть $\omega\colon D'\to (0, \infty) $ – весовая функция класса $L_{1,\mathrm{loc}}$. Пусть еще $\Gamma $ – произвольное семейство непрерывных локально спрямляемых кривых (коротко – путей) $\gamma\colon [a,b]\to D'$. Напомним, что для данного семейства кривых $\Gamma$ в $D'$ и действительного числа $p\geqslant 1$ (весовой) $p$-модуль семейства $\Gamma$ определяется как величина
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mod}_{p}(\Gamma)=\inf_\rho \int_{D'} \rho^{p}\, dx \qquad \biggl( \operatorname{mod}_{p}(\Gamma)=\inf_\rho \int_{D'} \rho^{p}\omega(x)\, dx\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем неотрицательным борелевским функциям $ \rho\colon D'\,{\to} [0, \infty]$, удовлетворяющим условию для всех путей $ \gamma \in \Gamma$. Напомним, что интеграл в (2.18) для спрямляемой кривой $\gamma\colon [a,b]\to D'$ определяется как величина
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{l(\gamma)} \rho(\widetilde{\gamma}(t))\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $l(\gamma)$ – длина кривой $\gamma\colon [a,b]\to D'$, а $\widetilde{\gamma}\colon [0,l(\gamma)]\to D'$ – ее натуральная параметризация, т.е. единственное непрерывное отображение, удовлетворяющее условию $\gamma=\widetilde{\gamma}\circ S_{\gamma}$, где $S_{\gamma}\colon [a,b]\to[0,l(\gamma)]$ – функция длины, определяемая в точке $t\in [a,b]$ условием $S_{\gamma}(t)=l(\gamma\vert_{[a,t]})$. Если $\gamma$ – локально спрямляемая кривая, то полагаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\gamma} \rho\,ds = \sup \int_{\gamma'} \rho\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берется по всем спрямляемым подкривым $ \gamma'\colon [a', b'] \to D' $ кривой $\gamma$, $[a', b']\subset(a,b)$, $ \gamma'= \gamma_{[a', b']}$. Функции $\rho$, удовлетворяющие условию (2.18), называются допустимыми функциями или метриками для семейства $\Gamma$. Теорема 2 (о модульных неравенствах для отображений класса $\mathcal{OD}(D, D'; q,p; 1,\omega)$; см. [10]). Пусть заданы гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D,D'\subset \mathbb R^n$, $n\geqslant2$, и весовая локально суммируемая функция $\omega\colon D'\to (0,\infty)$. Предположим, что гомеоморфизм $\varphi\colon D \to D'$ принадлежит семейству Утверждение теоремы справедливо также в случае $1=q \leqslant p<\infty$, $n=2$. В качестве следствия теоремы 2 (см. [14; лемма 2.3] и [13; теорема 18]) мы получаем такое утверждение. Теорема 3 (о модульном описании отображений классов $ Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega)$; см. [10]). Пусть заданы гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ областей $D',D\subset \mathbb R^n$, $n\geqslant2$, и весовая локально суммируемая функция $\omega\colon D'\to (0,\infty)$. 1) Предположим, что гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит семейству
$$
\begin{equation*}
Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega), \qquad n-1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любого семейства $\Gamma$ путей в $D'$ выполняются неравенство
$$
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p} (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
с постоянной $K_{q,p}$ из неравенства (2.19) и неравенство
$$
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(E) (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(E)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
для семейства $\Gamma$ всех кривых9 в конденсаторе $E=(F,U)$, где
$$
\begin{equation}
K_{q,p}(E)=\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)\mid L_\sigma(f(U\setminus F))\bigr\|,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
$K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)$ – функция искажения (2.11), а ${1}/{\sigma}={1}/{q}-{1}/{p}$, если $n-1< q<p< \infty$, и $\sigma=\infty$, если $q=p$. 2) Предположим, что для гомеоморфизма $f\colon D'\to D$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p} (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ \Psi_{q,p}(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)})^{1/\sigma}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
с постоянной $K_{p,p}$ при $1< q=p<\infty$ и ограниченной квазиаддитивной функцией $\Psi_{q,p}$ при $1< q<p<\infty$ для всех кубических конденсаторов $(\overline{Q(x,r)}, Q(x,R))$, $r\in (0,R)$, в $D'$, оболочки которых суть концентрические кубы, и для семейства $\Gamma$ всех кривых $\gamma\colon [a,b]\to D'$ в конденсаторе $E=(\overline{Q(x,r)},Q(x,R))$ таких, что $\gamma(a)\in\overline{Q(x,r)}$, $\gamma(b)\in\partial{Q(x,R)}$. Тогда:
Наименьшие постоянные $K_{q,p}$ из (2.20), величины10
$$
\begin{equation}
\sup_\Gamma\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}}{(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}}, \qquad \sup_E\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}}{(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}},
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
соответствующие различным выборам семейств кривых в (2.20) и конденсаторам в (2.21), оцениваются сверху через величину $\|K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)\,|\, L_\sigma(D)\|$ из (2.11) посредством множителей, зависящих лишь от $q$, $p$ и $n$ (знаменатели величин в (2.24) отличны от нуля). Сформулированные утверждения справедливы также при $1\leqslant q\leqslant p<\infty$, если только $n=2$. Замечание 2. В доказательстве теоремы 3, приведенном в [10], установлено, что для гомеоморфизма $f\colon D'\to D$ выполняются соотношения Теоремы 3 и 1 позволяют сделать следующий неожиданный вывод. Следствие 2. Гомеоморфизмы $f\colon D'\to D$ семейства $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$, $n-1< q \leqslant p<\infty$ или $1=q \leqslant p<\infty$ при $n=2$, имеют эквивалентные описания (2.4) на емкостном и (2.20) на модульном языках. Замечание 3. Из (2.25) можно вывести, что в случае $q=p=n$ ($n\,{-}\,1<q=p<n$) класс гомеоморфизмов $\mathcal Q_{n,n}(D',\omega;D)$ ($\mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D)$) содержит (см. [14; п. 4.4]) класс так называемых $Q$-гомеоморфизмов ($(p, Q)$-гомеоморфизмов)11, определяемых посредством контролируемого изменения модуля семейств кривых; см. [6] (и соответственно [39]). Доказанная выше теорема 3 позволяет сделать вывод, что на самом деле класс $\mathcal Q_{n,n}(D',\omega)$ совпадает с семейством $Q$-гомеоморфизмов из [6; п. 4.1]. Пусть $D', D$ – области в $ \mathbb{R}^{n}$, $n \geqslant 2$, и пусть $Q\colon D' \to [1, \infty) $ – функция класса $L_{1,\mathrm{loc}}$. Напомним, что гомеоморфизм $ f\colon D' \to D$ называется (см. [6; п. 4.1]) $Q$-гомеоморфизмом, если
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod}_n(f \Gamma) \leqslant \int_{D'} Q(x) \cdot \rho^{n}(x)\,dx
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
для каждого семейства $\Gamma $ путей в $D'$ и любой допустимой функции $\rho$ для $\Gamma$. В силу теоремы 3 гомеоморфизмы, удовлетворяющие условию (2.26), совпадают с гомеоморфизмами $f\colon D'\to D$ класса $\mathcal Q_{n,n}(D',\omega)$ при $\omega=Q$. Некоторые свойства гомеоморфизмов класса $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$ изучались в работах [40] (при $n-1<q<p=n$ и значении $\Psi_{q,n}(U)$ вместо $\Psi_{q,n}(U\setminus F)$ и $\omega\equiv1$), [6], [41]–[45] (при $q=p=n$, $\omega=Q$), [46], [47] (при $1<q=p<n$, $\omega=Q$) и др. Во всех перечисленных работах, кроме [40], искажение геометрии конденсаторов формулируется на языке модулей семейства кривых, что в ряде случаев является более ограничительной по содержательным возможностям характеристикой по сравнению с емкостным описанием. § 3. Новые функции множестваВ этом параграфе мы определим две новые функции множества, первая будет построена на основе емкостных отношений, а вторая – на основе модульных отношений. 3.1. Функция множества на основе емкостиПусть $\varphi\colon D\to D'$ – гомеоморфизм такой, что оператор композиции $\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D)$, $1< q < p<\infty$, ограничен. Для пары чисел $q$, $p$, $1<q<p<\infty$, рассмотрим функцию множества $N_c(W)$, заданную на связных открытых множествах $W\subset D'$, полагая
$$
\begin{equation}
W\mapsto N_c(W)=\sup_{E=(F,U)}\frac{\operatorname{cap}^{\sigma/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))}{\operatorname{cap}^{\sigma/p}(E; L^1_p(D';\omega))},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где точная верхняя грань берется по всем конденсаторам $E=(F,U)$ таким, что $U\subset W$ и знаменатель дроби в (3.1) не равен нулю. В силу неравенства (2.10) знаменатель дроби в (3.1) всегда не равен нулю при $n-1<q$ в случае $n\geqslant3$ и при $1\leqslant q$ в случае $n\geqslant2$, если только компонента $F$ конденсатора $E=(F,U)$ содержит некоторый континуум; см., например, неравенство (3.2) работы [14]. В этом случае для конденсатора $E=(F, U)$ в $D$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}_q^{n-1}(E; L^1_q(U)) \geqslant c\,\frac{(\operatorname{diam} F)^{q}}{|U|^{q-(n-1)}}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c$ – постоянная, зависящая только от $n$ и $q$. Отметим следующие легко проверяемые свойства функции $N_c(W)$ для связных открытых множеств $W\subset D'$:
Рассмотрим вариацию $V(N_c, U)$ введенной выше функции множества $D'\supset W\mapsto N_c(W)$. Как известно (см., например, [30]), вариация $V(N_c, U)$ функции множества $N_c$ относительно некоторого открытого множества $U\subset D'$ определяется как величина где точная верхняя грань берется по всевозможным конечным наборам дизъюнктных связных открытых множеств $W_{1}, \dots, W_{m}$, содержащихся в $U$. Вариация $V(N_c, U)$ является квазиаддитивной функцией открытого множества $U \subset D$. Очевидна оценка3) $N_c(U) \leqslant V(N_c, U)$. Отметим, что вариация $V(N_c, U)$, $U\subset D'$, является ограниченной квазиаддитивной функцией открытого множества $U \subset D$: 4) $V(N_c, U) \leqslant \Phi(U)= \|\varphi_{U}^*\|^\sigma$. Действительно, применяя свойство конечной аддитивности функции $\Phi$, выводим
$$
\begin{equation}
V(N_c, U)=\sup \sum_{k=1}^{m} N_c(W_{k})\leqslant \sup \sum_{k=1}^{m} \Phi(W_{k}) = \Phi\biggl(\bigcup_{k=1}^{m}W_{k}\biggr)\leqslant\Phi(U).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Здесь $W_{1},\dots,W_{m}$ – дизъюнктные открытые связные множества из (3.2). Предложение 3. Для любого кольцевого конденсатора $E=(F,U)$ в $D'$ соотношение (2.10) при $1<q<p<\infty$ выполняется с квазиаддитивной функцией $V(N_c, U\setminus F)$ вместо $\Phi(U\setminus F)$. Доказательство. Положим $W=U\setminus F$. Для конденсатора $E=(F,U)$ в $W\subset D'$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\operatorname{cap}^{1/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))}{\operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D';\omega))} &=\sup_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega))} \frac{\displaystyle\biggl(\int_{\varphi^{-1}(U\setminus F)} |\nabla v_e (x)|^q\,dx\biggr)^{1/q}} {\displaystyle\biggl(\int_{U\setminus F} |\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}} \\ &=\sup_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega))} \frac{\displaystyle\biggl(\int_{\varphi^{-1}(U\setminus F)} |\nabla \widetilde v_e(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q}} {\displaystyle\biggl(\int_{U\setminus F} |\nabla\widetilde u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $\mathcal A(E;\operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D'))$ – класс допустимых функций для конденсатора $E=(F,U)$ в $D'$, $v_e$ – экстремальная функция для емкости $\operatorname{cap}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))$, а функция $\widetilde u$ ($\widetilde v_e$) определяется функцией $u$ ($v_e$) по формуле При проверке последнего перехода в (3.4) следует учесть, что равенства $|\nabla \widetilde v_e(x)|=2|\nabla v_e(x)|$ и $|\nabla \widetilde u(x)|=2|\nabla u(x)|$ верны для почти всех $x\in U$.
Заметим, что12
$$
\begin{equation}
\int_{U\setminus F} |\nabla\widetilde u(y)|^p\omega(y)\,dy \geqslant\operatorname{cap}\biggl(\biggl(u^{-1}\biggl(\frac12\biggr),U\setminus F\biggr); L^1_p(D';\omega)\biggr),
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(U\setminus F)} |\nabla \widetilde v_e(x)|^q\,dx =\operatorname{cap}\biggl(\biggl(\varphi^{-1}\biggl(u^{-1}\biggl(\frac12\biggr)\biggr), \varphi^{-1}(U\setminus F)\biggr); L^1_q(D)\biggr).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Оценка (3.6) верна, так как $\widetilde u$ – допустимая функция для емкости $\operatorname{cap}((u^{-1}(1/2), U\setminus F); L^1_q(D))$, а оценка (3.7) верна, так как в противном случае из экстремальной функции для емкости $\operatorname{cap}((\varphi^{-1}(u^{-1}(1/2)),\varphi^{-1}(U\setminus F)); L^1_q(D))$ (обращением операции (3.5)) можно построить допустимую функцию для $\operatorname{cap}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))$ и получить противоречие с экстремальностью функции $v_e$. Далее, подставляя в знаменатель дроби (3.4) меньшее значение из (3.6), а в числитель – большее значение из (3.7), с применением пп. 3), 4) выводим оценку сверху для левой части (3.4):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\operatorname{cap}^{\sigma/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))}{\operatorname{cap}^{\sigma/p}(E; L^1_p(D';\omega))} \\ \notag &\qquad\leqslant\sup_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega))} \frac{\operatorname{cap}^{\sigma/q}\bigl((\varphi^{-1}(u^{-1}(1/2)),\varphi^{-1}(U\setminus F)); L^1_q(D)\bigr)}{\operatorname{cap}^{\sigma/p}\bigl((u^{-1}(1/2),U\setminus F); L^1_p(D';\omega)\bigr)} \\ &\qquad\leqslant N_c(U\setminus F)\leqslant V(N_c, U\setminus F)\leqslant\|\varphi_{U\setminus F}^*\|^\sigma\leqslant \bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(U\setminus F))\bigr\|^\sigma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Из (3.8) выводим
$$
\begin{equation*}
N_c(W)=\sup_{E=(F,U)}\frac{\operatorname{cap}^{\sigma/q}(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D))}{\operatorname{cap}^{\sigma/p}(E; L^1_p(D';\omega))}= N_c(U\setminus F)\leqslant V(N_c, U\setminus F)\leqslant\|\varphi_{U\setminus F}^*\|^\sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
где верхняя грань берется по всем конденсаторам $E=(F,U)$ таким, что $U\subset W$.
Предложение 3 доказано. Замечание 4. Так как при $1<q<p<\infty$ соотношение (2.10) выполняется с ограниченной квазиаддитивной функцией $V(N_c, U\setminus F)$ вместо $\Phi(U\setminus F)$, получаем следующие неравенства (см. соотношения (2.12), вторая строка, и п. 4) выше): для любого открытого множества $W\subset D'$. 3.2. Функция множества на основе модуляРассмотрения этого пункта основываются на следующем утверждении, которое является прямым следствием теоремы 3. Предложение 4 (о модульном описании отображений классов $\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega)$; см. [10]). Пусть заданы гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ областей $D',D\subset \mathbb R^n$, $n\geqslant2$, и весовая локально суммируемая функция $\omega\colon D'\to (0,\infty)$. 1) Предположим, что гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит семейству
$$
\begin{equation*}
\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega), \qquad n-1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любого семейства $\Gamma$ кривых13 в произвольном конденсаторе $E=(F,U)\subset D'$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(E) (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(E)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p},& n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где
$$
\begin{equation}
K_{q,p}(E)=\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)\mid L_\sigma(f(U\setminus F))\bigr\|,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)$ – функция искажения (2.11), а ${1}/{\sigma}={1}/{q}-{1}/{p}$, если $n-1< q<p< \infty$, и $\sigma=\infty$, если $q=p$. 2) Предположим, что для гомеоморфизма $f\colon D'\to D$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p} (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ \Psi_{q,p}(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)})^{1/\sigma}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
с постоянной $K_{p,p}$ при $1< q=p<\infty$ и ограниченной квазиаддитивной функцией $\Psi_{q,p}$ при $1< q<p<\infty$ для всех конденсаторов $E=(F,U)$ и для семейства $\Gamma$ всех кривых $\gamma\colon [a,b]\to D'$ в конденсаторе $E=(F,U)$ таких, что $\gamma(a)\in F$, $\gamma(b)\in\partial U$. Тогда:
Сформулированные утверждения справедливы также при $1\leqslant q\leqslant p<\infty$, если только $n=2$. Пусть $\varphi\colon D\to D'$ – гомеоморфизм такой, что оператор композиции $\varphi^*$: ${L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q(D)$, $1< q < p<\infty$, ограничен. Тогда $f=\varphi^{-1}$: $D'\to D$ принадлежит классу $\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega) $, $n-1< q \leqslant p<\infty$. Для пары чисел $q$, $p$, $1<q<p<\infty$, рассмотрим функцию множества $N_m(W)$, заданную на связных открытых множествах $W\subset D'$, полагая
$$
\begin{equation}
W\mapsto N_m(W)=\sup_{E=(F,U)}\sup_{\Gamma}\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{\sigma/q}} {(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{\sigma/p}},
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где внутренняя точная верхняя грань берется по семействам $\Gamma$ кривых в конденсаторе $E=(F,U)$, а внешняя – по конденсаторам $E=(F,U)$ таким, что $U\subset W$ (в силу неравенства (3.10) знаменатель дроби в (3.13) не равен нулю, если только компонента $F$ конденсатора $E=(F,U)$ содержит некоторый континуум). Отметим следующие легко проверяемые свойства функции $N_m(W)$ для связных открытых множеств $W\subset D'$:
Рассмотрим вариацию $V(N_m, U)$ введенной выше функции множества $D'\supset W\mapsto N_m(W)$. Как известно (см., например, [30]), вариация $V(N_m, U)$ функции множества $N_m$ относительно некоторого открытого множества $U\subset D'$ определяется как величина где точная верхняя грань берется по всевозможным конечным наборам дизъюнктных связных открытых множеств $W_{1}, \dots, W_{m}$, содержащихся в $U$. Вариация $V(N_m, U)$ является квазиаддитивной функцией открытого множества $U \subset D$. Очевидна оценка3) $N_m(U) \leqslant V(N_m, U)$. Отметим, что вариация $V(N_m, U)$, $U\subset D'$, является ограниченной квазиаддитивной функцией открытого множества $U \subset D$: 4) $V(N_m, U) \leqslant K_{q,p}(U)$, где величина $K_{q,p}(E)$ определена в (3.11). Действительно, применяя свойство конечной аддитивности функции $\Phi$, выводим
$$
\begin{equation}
V(N_m, U)=\sup \sum_{k=1}^{m} N_m(W_{k})\leqslant \sup \sum_{k=1}^{m} K_{q,p}(W)^\sigma = K_{q,p}\biggl(\bigcup_{k=1}^{m}W_{k}\biggr)\leqslant K_{q,p}(U).
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Здесь $W_{1},\dots,W_{m}$ – дизъюнктные открытые связные множества из (3.14).
§ 4. Совпадение четырех функций множестваВ этом параграфе мы докажем новые свойства гомеоморфизмов $f\colon D'\to D$ областей $D'$ и $D$ в $\mathbb R^n$, $n\geqslant2$, класса $Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$. Здесь мы докажем основной результат работы. Теорема 4 (о совпадении функций множества, ассоциированных с гомеоморфизмом $ Q\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega)$). Пусть задан гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D,D'\subset \mathbb R^n$, $n\geqslant2$, для которого оператор композиции с параметрами $n-1< q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant3$ или $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$ и весовой функцией $\omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D')$ ограничен. Тогда справедливо следующее. I. При $q<p$ функции множества:
совпадают, т.е.
$$
\begin{equation}
\|\varphi^*_W\|^\sigma=\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\|^\sigma=V(N_c, W)=V(N_m, W)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
для любого открытого множества $W\in \mathcal O(D')$. II. При $q=p$ величины:
совпадают, т.е. Фиксируем гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$, удовлетворяющий условия теоремы 4. Тогда по теореме 1 обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}$ принадлежит классу $\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$ с параметрами $n-1< q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant3$ или $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$ и весовой функцией $\omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D')$. В работе [13] доказано следующее утверждение о свойствах обратного гомеоморфизма $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$. Теорема 5 (см. [13; теорема 23]). Пусть $n-1<q<\infty$, если $n\geqslant3$, или $1\leqslant q<\infty$, если $n=2$. Всякий гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ семейства $\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$, $q\leqslant p<\infty$: 1) принадлежит классу Соболева $W^1_{1,\mathrm{loc}}(D')$; 2) имеет конечное искажение; 3) дифференцируем п.в. в области $D'$. Доказательство теоремы 4 основано на следующей лемме. Лемма 1. Пусть задан гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ класса $\mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$ с параметрами $n-1< q\leqslant p<\infty$ при $n\geqslant3$ или $1\leqslant q\leqslant p<\infty$ при $n=2$ и весовой функцией $\omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D')$. Тогда для почти всех точек $a\in D'$ таких, что $\det Df(a)\ne0$ и $\omega(a)\ne0$, справедливо следующее неравенство: Обозначим через $H_{I}(a, f)$ величину, стоящую в левой части соотношения (4.3). Величина $H_{I}(a, f)$ корректно определена в точках $a\in D'$ таких, что $\det Df(a)\ne0$ и $\omega(a)\ne0$. В точках $a\in D'$, где $\det Df(a)=0$, имеем $\operatorname{adj} Df(a)= 0$ и в этом случае полагаем $H_{I}(a, f)=0$. Доказательство леммы 1. Рассмотрим случай $q<p$ (в случае $q=p$ рассуждения упрощаются). Отображение дифференцируемо п.в. в $ D'$. Следовательно, величина $H_{I}(x, f)$ корректно определена п.в. в $D'$. Будем доказывать, что $H_{I}(x, f)^\sigma\leqslant \Psi'(x)$ п.в. в $D'$.
По теореме 5 отображение $f$ дифференцируемо в почти всех точках $x\in D'$. Достаточно проверить справедливость неравенства (4.3) для почти всех точек $x\in D'$, в которых $J(x, f) \neq 0$ (при $J(x, f)=0$ оно выполняется очевидным образом) и $\omega(x)\ne0$ (таковыми являются почти все точки). Пусть $a \in D'$ – произвольная точка, в которой:
В силу вышесказанного условия 1)–3) выполняются одновременно в почти всех точках $a\in D'\setminus Z'$, где $Z'=\{y\in D'\colon \det Df(a)=0\}$. Далее применим следующую алгебраическую лемму. Лемма 2. Пусть $L\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n$ – линейный невырожденный оператор. Тогда существуют ортонормированные базисы $\{u_1,\dots,u_n\}$ и $\{v_1,\dots,v_n\}$ в $\mathbb R^n$ и неотрицательные числа $\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ такие, что $L(u_i)=\lambda_iv_i$, $i=1,\dots,n$. Векторы $\{u_1,\dots,u_n\}$ являются собственными векторами оператора $L^*L$, а $\lambda_1^2,\dots,\lambda_n^2$ – его собственными числами. При этом $|{\det L}|=\lambda_1\dotsb\lambda_n$. Положим в лемме 2 $L=Df(a)$ и упорядочим полуоси эллипсоида, являющегося образом единичного шара при линейном отображении $Df(a)$, так, что $\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \dots \geqslant \lambda_{n}>0$. Для доказательства неравенства (4.3) достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\frac{|{\det Df(a)}|}{\lambda_{n}^{q}}=\frac{|{\operatorname{adj} Df(a)}|^q}{|{\det Df(a)}|^{q-1}} \leqslant \Psi_{p}'(a)^{q/\sigma}\omega(a)^{q/p},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $|{\det Df(a)}|=\lambda_{1} \dotsb \lambda_{n}$, $\lambda_{n}^{-1}={|{\operatorname{adj} Df(a)}|}/{|{\det Df(a)}|}$, a $\operatorname{adj} Df(a)\cdot Df(a)=\det Df(a)$. Пусть $T_a\mathbb R^n$ ($T_{f(a)}\mathbb R^n$) – касательное пространство к $\mathbb R^n$ в точке $a$ ($f(a)$) с набором базисных векторов $\{u_i\}$ ($\{v_i\}$), Фиксируя произвольно параметр $t\in(0,\lambda_{n})$, выберем число $r>0$ так, чтобы конденсатор $E_r=(F_r, U_r)$, где
$$
\begin{equation}
F_r=\biggl\{y=\sum_{i=1}^ny_iu_i\colon y_{n}=0,\ |y_{i}| \leqslant r,\ i=1, \dots, n-1\biggr\},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
$$
\begin{equation}
U_r=\biggl\{y=\sum_{i=1}^ny_iu_i \colon|y_{n}|<r t ,\ |y_{i}|<r(1+ t),\ i=1, \dots, n-1\biggl\},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
лежал в области $D'$. B силу условия $f \in \mathcal{RQ}_{q,p}(D',\omega;D)$ имеем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\operatorname{cap}(\varphi^{-1}(E_r); L^1_q(D)) \\ &\qquad\leqslant \begin{cases} K^p_p \operatorname{cap}(E_r; L^1_p(D';\omega)), &1<q=p<\infty, \\ \Psi(U_r\setminus F_r)^{q/\sigma} \operatorname{cap}^{q/p}(E_r; L^1_p(D';\omega)), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
для любого кольцевого конденсатора $E_r=(F_r,U_r)$ в $D'$ с прообразом $\varphi^{-1}(E_r)=(\varphi^{-1}(F_r),\varphi^{-1}(U_r))$ в $D$, где $K_p$ – постоянная, а $\Psi$ – ограниченная квазиаддитивная функция множества из (2.10), определенная на некоторой системе открытых подмножеств области $D'$, содержащей дополнения $U_r\setminus F_r$ для достаточно малых $r$. Оценим значения емкостей, входящих в неравенство (4.8). Для оценки емкости справа воспользуемся леммой 19 из [13], согласно которой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname{cap}(E_r; L^1_p(D';\omega)) &\leqslant\frac{\omega(U_r)}{\operatorname{dist}(F_r, \partial U_r)^{p}} \\ & =\frac{\displaystyle\int_{U_r}\omega(y)\,dy}{(r t)^{p}} =\frac{\omega(y)\mathcal{H}^{n}(U_{r})+o(\mathcal{H}^{n}(U_{r}))}{(rt)^{p}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
С другой стороны, по предложению 5 работы [40] имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}(f(E_r); L^1_q(D)) \geqslant \frac{\bigl(\inf \mathcal{H}^{n-1}(S)\bigr)^{q}}{\mathcal{H}^{n}(f(U_r))^{q-1}},
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
где $\mathcal{H}^{n-1}(S)$ обозначает $(n-1)$-мерную меру Хаусдорфа $C^{\infty}$-многообразия $S$, являющегося границей открытого множества $A$, содержащего $f(F_r)$ и содержащегося вместе со своим замыканием в $f(U_r)$, а точная нижняя грань берется по всем таким $S$. (Основой для доказательства неравенства (4.10) служит соотношение $\operatorname{cap}(f(E_r); L^1_1(D)) \geqslant \inf_S \mathcal{H}^{n-1}(S)$, установленное в [48].) Дальнейшую оценку дроби снизу в неравенстве (4.10) проводим, опираясь на свойство дифференцируемости отображения $x=f(y)$ при $x=a$. Выберем $r>0$ настолько малым, что в разложении имеем $|o(1)|<t$ при $x \in U_r$. Тогда для меры множества $f(U_r)$ справедлива асимптотика
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}^{n}(f(U_r))=(|{\det Df(a)}|+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r})\quad\text{при}\quad r\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Проекция множества $f(F_r)$ на подпространство $x_{n}=0$ содержит в себе $(n-1)$-мерный эллипсоид где $\operatorname{Id}$ – линейный оператор, задаваемый на базисных векторах формулой $\operatorname{Id}(u_i)=v_i$, $i=1,\dots,n$. Поэтому с учетом (4.5) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathcal{H}^{n-1} (S) &\geqslant 2 \mathcal{H}^{n-1}(V_{r})=2\mathcal{H}^{n-1}(F_{r}) \prod_{i=1}^{n-1}(\lambda_{i}-o(1)) \\ &=2|{\operatorname{adj} Df(a)}|(1-o(1))\cdot\mathcal{H}^{n-1}(F_{r}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
и, следовательно, для левой части (4.10) справедлива оценка снизу
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(f(E_r); L^1_q(D)) \geqslant\frac{(2|{\operatorname{adj} Df(a)}|(1-o(1))\cdot\mathcal{H}^{n-1}(F_{r}) )^{q}}{((|{\det Df(a)}|+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r}))^{q-1}} \quad\text{при }\ r\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя найденные оценки емкостей в приведенное выше неравенство (4.8), получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{(2 |{\operatorname{adj} Df(a)}|\cdot \mathcal{H}^{n-1}(F_{r}))^{q}\cdot (1-o(1))} {((|{\det Df(a)}|+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r})))^{q-1}}\leqslant \Psi(U_r)^{q/\sigma} \frac{((\omega(a)+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r}))^{q/p} }{(r t )^{q}}
\end{equation*}
\notag
$$
при $r\to0$. Умножив обе части этого соотношения на $(r t )^{q}$ и разделив обе части на величину $\mathcal{H}^{n}(U_{r}) =2rt\mathcal{H}^{n-1}(F_{r})(1+t)^{n-1}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{(|{\operatorname{adj} Df(a)}|\cdot 2rt \mathcal{H}^{n-1}(F_{r})(1+t)^{n-1} )^{q}\cdot(1-o(1))}{((|{\det Df(a)}|+o(1)) \cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r}))^{q}} \, \frac{(|{\det Df(a)}|+o(1))\cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r})}{(1+t)^{q(n-1)} \cdot\mathcal{H}^{n}(U_{r})} \\ &\qquad\to\frac{|{\operatorname{adj} Df(a)}|^{q}}{(1+t)^{q(n-1)}|{\det Df(a)}|^{q-1}} \leqslant \Psi'(a)^{q/\sigma} \omega(a)^{q/p} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $r \to0$. Поскольку $t > 0$ – произвольное число, выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{|{\operatorname{adj} Df(a)}|^q}{|{\det Df(a)}|^{q-1}} \leqslant \Psi'(a)^{q/\sigma}\omega(a)^{q/p},
\end{equation*}
\notag
$$
из которого получаем требуемую оценку (4.3). Чтобы получить доказательство для случая $q=p$, следует заменить в приведенном доказательстве $q$ на $p$, а $\Psi_{p}'(a)^{q/\sigma}$ на $K_p^p$. Лемма 1 доказана. Доказательство теоремы 4. Комбинируя неравенства (4.3) и (2.12), первая строка, приходим к соотношению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\varphi_W^*\|^\sigma &\leqslant\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\|^\sigma =\int_{W\setminus Z'}\biggl(\frac{|{\operatorname{adj} Df(y)}|}{|{\det Df(y)}|^{(q-1)/q}\omega(y)^{1/p}}\biggr)^\sigma\,dy \\ &\leqslant\int_{W\setminus Z'}\Psi'(y)\,dy\leqslant\int_{W}\Psi'(y)\,dy\leqslant \Psi(W) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
при $q<p$ и к соотношению $\|\varphi^*\|\leqslant \|K^{1,\omega}_{p,p}(\,\cdot\,)\mid L_\infty(D)\| \leqslant K_p$ при $q=p$.
Поскольку в качестве квазиаддитивной функции множества в (2.10) можно взять функцию множества $\Phi(W)=\|\varphi^*_W\|^\sigma$, из (4.12) выводим
$$
\begin{equation*}
\|\varphi_W^*\|^\sigma\leqslant\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\|^\sigma\leqslant \|\varphi_W^*\|^\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, в качестве квазиаддитивной функции множества в (2.10) можно взять функцию множества $V(N_c, W)$. Тогда с учетом неравенства (3.3) из (4.12) получаем
$$
\begin{equation*}
\|\varphi_W^*\|^\sigma \leqslant\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,\cdot\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\bigr\|^\sigma\leqslant V(N_c, W)\leqslant \|\varphi_W^*\|^\sigma
\end{equation*}
\notag
$$
при $q<p$ и $\|\varphi^*\|\leqslant \|K^{1,\omega}_{p,p}(\,\cdot\,)\mid L_\infty(D)\| \leqslant K_p\leqslant\|\varphi^*\|$ при $q=p$.
Следовательно, равенства (4.1) между первыми тремя квазиаддитивными функциями (равенства (4.2) между первыми тремя постоянными величинами) доказаны. Для окончания доказательства остается показать, что квазиаддитивная функция $V(N_m, W)$ совпадает с любой из трех первых квазиаддитивных функций множества в (4.1) (постоянная $K_{p,p}$ равна первым трем величинам в (4.2)). Заметим, что доказательство леммы 1 основано на неравенствах для емкости (4.9) и (4.10) и неравенстве (4.8). Вместо неравенства (4.8) можно записать теперь модернизированное неравенство (3.10) для конденсатора $E_r=(F_r,U_r)$:
$$
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(U_r) (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ V(N_m, U_r) K_{q,p}(E_r)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
для семейства $\Gamma$ всех кривых14 в конденсаторе $E_r=(F_r,U_r)$, в котором
$$
\begin{equation}
K_{p,p}(U_r)=\bigl\|K^{1,\omega}_{q,p}(\cdot,\varphi)\mid L_\infty(f(U_r))\bigr\|,
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
$K^{1,\omega}_{p,p}(\cdot,\varphi)$ – функция искажения (2.11) (в случае $n=2$ неравенства (4.13) справедливы также при $1\leqslant q\leqslant p< \infty$).
Аргументы работы [10], которые подтверждают справедливость соотношений (2.25), позволяют установить также следующие соотношения для семейства $\Gamma$ всех кривых в конденсаторе $E_r=(F_r,U_r)\subset D'$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \bigl(\operatorname{cap}(f(F_r),f(U_r);L^1_q(D))\bigr)^{1/q} &=(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q} \\ \notag &\leqslant\begin{cases} K_{p,p}(D') (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q=p<\infty, \\ V(N_m, U_r)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, & n-1<q<p<\infty, \end{cases} \\ &\leqslant\begin{cases} K_{p,p}(D') ({\operatorname{cap}}(F_r,U_r); L^1_p(D';\omega))^{1/p}, \\ V(N_m, U_r)({\operatorname{cap}}(F_r,U_r); L^1_p(D';\omega))^{1/p} \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
при условии, что для $f$ верны соотношения (2.21). Следовательно, применяя для правой части (4.15) оценку сверху (4.10), а для левой части – оценку снизу (4.9), мы приходим к тем же соотношениям, которые были получены для (4.8), на основании которых были доказаны неравенства (4.3). Так как в (4.15) роль квазиаддитивной функции играет величина $V(N_m, \cdot)$, мы приходим к соотношениям
$$
\begin{equation}
\frac{|{\operatorname{adj} Df(a)}|}{|{\det Df(a)}|^{(q-1)/q}\omega(a)^{1/p}} \leqslant \begin{cases} V'(N_m,\,\cdot\,)(a)&\text{при }\ q<p, \\ K_{p,p}(D')&\text{при }\ q=p, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
где $V'(N_m,\,\cdot\,)(a)$ – производная квазиаддитивной функции множества $V(N_m,\,\cdot\,)$ в точке $a$. Отсюда так же, как в (4.12), получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\|\varphi_W^*\|^\sigma\leqslant\int_{W\setminus Z'}V'(N_m,\,\cdot\,)(y)\,dy \leqslant\int_{W}V'(N_m,\,\cdot\,)(y)\,dy\leqslant V(N_m,W).
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание оценку 4) в конце п. 3.2 и равенство между первыми двумя величина в (4.1), приходим к требуемому: Теорема 4 доказана. Из равенств (4.1) и (4.12) выводим следующее неожиданное утверждение. Предложение 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда функции множества из (4.1) можно представить аналитически в виде Кроме того, представление (4.17) обеспечивает продолжение функций множества на $\sigma$-алгебру борелевских множеств в $D'$ и продолженные функции являются абсолютно непрерывными. Замечание 5. Содержательная часть результатов § 4 относится к случаю, когда величины (3.1) и (3.2) определены при условии, что гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ индуцирует ограниченный оператор композиции где $n-1< q < p<\infty$ при $n\geqslant3$ и $1\leqslant q <p<\infty$ при $n=2$. Заметим, что величины (3.1) и (3.2) можно определить для любого гомеоморфизма $\varphi\colon D\to D'$ без предположения ограниченности оператора $\varphi^*$. Естественно, что такое определение будет корректным, если только знаменатель дроби в (3.1) отличен от нуля и величины (3.1) и (3.2) будут ограниченными. Для того чтобы работали аргументы настоящей работы, достаточно потребовать, чтобы были положительными емкости двух типов конденсаторов в пространстве $L^1_p(D';\omega)$: сферического $E=(B(y_0,r), B(y_0,R))\subset D' $, $0<r<R<\infty$, и конденсатора $E_r=(F_r, U_r)\subset D'$ (см. (4.6) и (4.7)), т.е. $\operatorname{cap}(E; L^1_p(D';\omega))>0$ и $\operatorname{cap}(E_r; L^1_p(D';\omega))>0$. Последнее всегда выполняется, если $\omega\equiv 1$. Для произвольного веса мы укажем достаточные условия, гарантирующие положительность этих конденсаторов при $p>1$. Нужные условия можно получить из оценки для любой допустимой функции $u$ для конденсатора $E=(B(y_0,r), B(y_0,R)) \subset D'$ в пространстве $L^1_p(D';\omega)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0 &<\operatorname{cap}(E; L^1_1(D')) \\ &\leqslant \int_{B(y_0,R)}|\nabla u(y)|\,dy \leqslant \int_{B(y_0,R)}|\nabla u(y)|\omega^{1/p}(y)\omega^{-1/p}(y)\,dy \notag \\ &\leqslant\biggl( \int_{B(y_0,R)}|\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}\biggl( \int_{B(y_0,R)}\omega^{-1/(p-1)}(y)\,dy\biggr)^{(p-1)/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Левая часть (4.18) – следствие оценки (4.10) при $q=1$. Следовательно, при условии конечности интеграла имеем $\operatorname{cap}(E; L^1_p(D';\omega))>0$ для любого шара $B(y_0,R)\subset D'$. Последнее условие всегда выполняется при $p>1$, если только вес $\omega$ принадлежит $A_p$-классу Макенхаупта. Заметим, что условие (4.19) гарантирует также положительность емкости $\operatorname{cap}(E_r; L^1_p(D';\omega))$. На основании вышесказанного приходим к следующему выводу. Пусть выполнены условия (4.19) на весовую функцию $\omega$. Пусть еще $\varphi\colon D\to D'$ – гомеоморфизм. Если величина (3.1), заданная с емкостью конденсаторов в знаменателе (3.1), отличной от нуля, определяет ограниченную квазиаддитивную функцию (3.2), то для гомеоморфизма $\varphi\colon D\to D'$ выполняется уловие 2) теоремы 1, и поэтому для этого гомеоморфизма справедливы все остальные выводы теоремы 1. Аналогичный вывод можно сделать и относительно величин (3.13) и (3.14). Действительно, если $\rho$ – допустимая метрика для семейства кривых $\Gamma$ в конденсаторе $E=(B(y_0,r), B(y_0,R))\subset D' $ с концевыми точками на граничных сферах $S(y_0,r)$ и $S(y_0,R)$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0&<\operatorname{cap}(E; L^1_1(D'))=\operatorname{mod}_1(\Gamma) \\ \notag &\leqslant\int_{B(y_0,R)}\rho(y)\,dy\leqslant \int_{B(y_0,R)}\rho(y)\omega^{1/p}(y)\omega^{-1/p}(y)\,dy \\ &\leqslant\biggl( \int_{B(y_0,R)}\rho(y)^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}\biggl( \int_{B(y_0,R)}\omega^{-1/(p-1)}(y)\,dy\biggr)^{(p-1)/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Следовательно, при условии (4.19) модуль $\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma)$ положителен. Равенство между емкостью и модулем в первой строке формулы (4.20) доказано в [7]. БлагодарностьВыражаю благодарность рецензенту за полезные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vod22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|