| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Интегрируемые биллиарды на гиперболоиде Минковского: экстремальные многочлены и топология В. Драговичab, Ш. Гасиорекc, М. Радновичcb a Department of Mathematical Sciences, University of Texas at Dallas, Richardson, TX, USA b Mathematical Institute, Serbian Academy of Sciences and Arts, Belgrad, Serbia c School of Mathematics and Statistics, University of Sydney, Sydney, Australia
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9662e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Симметричные $2$–$2$-соотношения, эллиптические функции и эллиптические биллиардыЭта работа посвящается Родни Бакстеру в связи с 80-летием со дня его рождения. Последний раздел знаменитой книги Бакстера (см. [9]) начинается со следующих слов: “При рассмотрении модели Изинга, восьмивершинной модели и модели жесткого гексагона мы сталкивались с симметричными биквадратными соотношениями вида (1.1)”. Здесь
$$
\begin{equation}
E\colon au^2v^2+b(u^2v+uv^2)+c(u^2+v^2)+2duv+e(u+v)+f=0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Далее в этом же разделе Бакстер получает параметризацию таких соотношений с помощью эллиптических функций, тем самым предлагая эффективное доказательства классической теоремы Эйлера, положившей начало исследованиям эллиптических функций и теорем сложения для них (см. [30]). Теорема 1.1 (теорема Эйлера, 1766). Для общего симметричного $2$–$2$-соответствия (1.1) найдутся эллиптическая функция $\phi$ второй степени и постоянная сдвига $c$ такие, что Эллиптические функции и формулы сложения для них играют важную роль как в цикле работ Бакстера [5]–[8], так и вообще в теории интегрируемых систем. В частности, в его книге они появляются уже во втором абзаце предисловия. Для удобства ссылок приведем известные тождества для эллиптических функций Якоби (см., к примеру, [4]):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \kappa^2\operatorname{sn}^2z+\operatorname{dn}^2z=1, \\ \operatorname{sn}(z+w)=\frac{\operatorname{sn} z\operatorname{cn}w\operatorname{dn}w + \operatorname{sn} w\operatorname{cn}z\operatorname{dn}z}{1-\kappa^2\operatorname{sn}^2 z \operatorname{sn} ^2 w}, \qquad \operatorname{sn} (K-z)=\frac{\operatorname{cn}z}{\operatorname{dn}z}, \\ K=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\kappa^2t^2)}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Здесь $\kappa$ – постоянная, отличная от $0$ и $ 1$. Используя вышеупомянутые результаты, Бакстеру удалось получить его знаменитую $R$-матрицу, известную также как “$R$-матрица $XYZ$-модели” и “$R$-матрица восьмивершинной модели” в силу центральной роли, которую она играет в этих важнейших моделях квантовой и статистической механики соответственно. Симметричные биквадратные соотношения (1.1) важны также для теоремы Понселе и смежных вопросов теории интегрируемых биллиардных систем в областях, ограниченных кониками. Начнем с ситуации вокруг теоремы Понселе. Пусть заданы коники $\Gamma$ и $\mathcal{K}$. Рассмотрим $2$–$2$-соответствие на $\Gamma$, индуцированное следующим образом коникой $\mathcal{K}$. Точке $M\in\Gamma$ сопоставляются такие точки $M_1$ и $M_1'$ на $\Gamma$, что прямые $L_{MM_1}$ и $L_{MM_1'}$ касаются $\mathcal{K}$. Таким образом, возникает симметричное $2$–$2$-соответствие. Более того, любое симметричное $2$–$2$-соответствие на конике задается таким образом. Около 1853 г. итальянский математик Труди (см. [43], [44]) исследовал теорему Понселе с помощью суперпозиций таких симметричных $2$–$2$-соотношений и предложил ее новое доказательство. Напомним, что формулы сложения для эллиптических функций Якоби были использованы самим Якоби в его доказательстве теоремы Понселе для случая окружностей. В работах [47], [48], [29], [22] можно найти дальнейшую информацию о симметричных $2$–$2$-соотношениях и их значении для интегрируемых систем. В настоящей статье мы исследуем еще один пример симметричных $2$–$2$-соотношений, возникающих в динамике интегрируемых биллиардных систем на однополостном гиперболоиде в пространстве Минковского. Эти биллиарды были недавно введены в работе [37], где были установлены теоремы типа Понселе и соответствующие аналитические условия периодичности. Здесь мы исследуем условия периодичности динамики в соответствии с общей идеологией, изложенной в [27]: мы связываем эти условия с экстремальными многочленами для пары отрезков. Как известно из классических работ [51], [4], эти многочлены параметризуются эллиптическими функциями. Тождества и формулы сложения для эллиптических функций типа (1.2) оказываются важны для параметризации периодических траекторий такой динамической системы. Статья построена следующим образом. В § 2 мы приводим обзор нужных нам результатов по софокусным семействам и биллиардам на однополостном гиперболоиде в пространстве Минковского, а завершается § 2 новыми результатами по эллиптической периодичности таких биллиардных систем, собранных в п. 2.4. В § 3 топологические свойства интегрируемых биллиардных систем из § 2 описываются с помощью графов Фоменко. В § 4 на примерах показано, что аналитические условия замкнутости биллиардных траекторий приводят к дискриминантно разложимым многочленам, представляющим собой обобщение дискриминантно отделимых многочленов. В § 5 мы устанавливаем связь между этими условиями и экстремальными многочленами на паре отрезков, так называемыми многочленами Золотарёва, а также находим свойства соответствующих чисел вращения. § 2. Софокусные коники и биллиардные системы на однополостном гиперболоидеВ этом параграфе приводятся основные понятия и результаты по софокусным семействам коник и соответствующим биллиардным системам на однополостном гиперболоиде в пространстве Минковского. Трехмерное пространство Минковского $\mathbf{M}^{3}$ – это трехмерное вещественное пространство $\mathbb{R}^{3}$ с заданной на нем невырожденной симметричной билинейной формой На однополостном гиперболоиде в $\mathbf{M}^{3}$ метрика $ds^2=-dx^2+dy^2+dz^2$ является лоренцевой метрикой постоянной кривизны. Ее геодезические – это кривые пересечения $\mathcal{H}$ с плоскостями, проходящими через начало координат. Они называются пространственноподобными, времениподобными или светоподобными, если их касательные векторы $v$ имеют соответствующее свойство, т.е. если величина $\langle{v},{v}\rangle$ положительна, отрицательна или равна нулю соответственно. Заметим, что светоподобные геодезические на гиперболоиде $\mathcal{H}$ – это в точности его прямолинейные образующие.2.1. Коники на гиперболоидеКоника на $\mathcal{H}$ задается пересечением $\mathcal{H}$ с конусом вида Будем считать, что конус асимметричен, т.е. $b\neq c$. Тогда без ограничения общности можно полагать $b<c$. Пересечение конуса с гиперболоидом $\mathcal{H}$ ограничивает компактную область на $\mathcal{H}$, если и только если образующие конуса пространственноподобны; см. [37]. Это происходит в точности в одном из следующих двух случаев.
Соответствующую конику назовем воротниковым $\mathcal{H}$-эллипсом; она состоит из двух компонент, симметричных друг другу относительно координатной плоскости $yz$ (рис. 1, a).
Соответствующая коника называется трансверсальным $\mathcal{H}$-эллипсом; она состоит из двух компонент, симметричных друг другу относительно координатной плоскости $xy$ (рис. 1, b). 2.2. Софокусные семействаСемейство коник, софокусных с коникой (2.2) на $\mathcal{H}$, задается уравнениями
$$
\begin{equation}
\mathcal{C}_{\lambda} \colon -\frac{x^2}{a-\lambda}+\frac{y^2}{b-\lambda}+\frac{z^2}{c-\lambda}=0.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Заметим, что коника (2.2) обозначается здесь через $\mathcal{C}_0$. Опишем софокусное семейство подробнее и проиллюстрируем с помощью рис. 2. Если $\mathcal{C}_0$ – воротниковый $\mathcal{H}$-эллипс, т.е. $0<a<b<c$, то софокусное семейство (2.3) состоит из двух типов коник:
В семейство также входят следующие вырожденные коники:
Если $\mathcal{C}_0$ – трансверсальный $\mathcal{H}$-эллипс, т.е. $b<0<a<c$, то софокусное семейство (2.3) состоит из четырех подсемейств коник.
Заметим, что у коник из этого софокусного семейства есть общие касательные прямые, а именно прямолинейные образующие гиперболоида $\mathcal{H}$, касающиеся $\mathcal{C}_0$. Всего их восемь; их точки пересечения – фокусы семейства:
Указанные восемь образующих делят $\mathcal{H}$ на $20$ областей. Из них 12 содержат коники из софокусного семейства, а остальные восемь – нет. В семейство входят также вырожденные коники $\mathcal{C}_a$, $\mathcal{C}_b$, $\mathcal{C}_c$, лежащие в соответствующих координатных плоскостях, а также $\mathcal{C}_{\infty}$, лежащая на бесконечно удаленной плоскости, которую можно рассматривать как пересечение гиперболоида $\mathcal{H}$ с конусом $-x^2+y^2+z^2=0$. Для каждой точки $(x,y,z) \in \mathcal{H}$ у уравнения (2.3) относительно $\lambda$ есть два решения, которые мы назовем обобщенными координатами Якоби или эллиптическими координатами этой точки. Если $\mathcal{C}_0$ – воротниковый $\mathcal{H}$-эллипс, то они вещественны и различны: одно лежит на интервале $(-\infty,a]$, а второе на $[b,c]$, так что каждая точка на $\mathcal{H}$ есть точка пересечения одного воротникового $\mathcal{H}$-эллипса и софокусной коники гиперболического типа. Обобщенные координаты Якоби точек внутри $\mathcal{C}_0$ удовлетворяют неравенствам $0 < \lambda_1 \leqslant a$ и $b \leqslant \lambda_2 \leqslant c$. Если $\mathcal{C}_0$ – трансверсальный $\mathcal{H}$-эллипс, то у уравнения два различных решения, лежащих в объединении $12$ областей, ограниченных общими светоподобными касательными прямыми: одно решение на этих касательных и ни одного решения в остальных восьми областях. Координаты Якоби любой точки внутри $\mathcal{C}_0$ удовлетворяют неравенствам $b \leqslant \lambda_1 < 0 <\lambda_2 \leqslant a$. 2.3. Биллиарды и периодические траекторииМы задаем биллиардное движение на $\mathcal{H}$ геодезическим потоком до тех пор, пока траектория не достигнет граничного эллипса, где движение удовлетворяет закону отражения для биллиардов относительно билинейной формы (2.1) и нормали к границе в точке отражения. Заметим, что вектор нормали не определен в тех граничных точках, где касательная к границе светоподобна, так что, вообще говоря, там нельзя определить отражения. С другой стороны, как показано в работе [38], когда в точках коники возникает подобная ситуация, биллиардный поток можно непрерывно продолжить в эти точки, определяя отражение там как возвращение в противоположном направлении вдоль того же участка траектории. Детальное обсуждение закона отражения для биллиарда в псевдоевклидовой ситуации см. в [38], [23], [24]. В работах [46], [40] предложен метод выяснения, является ли дискретная динамическая система интегрируемой, путем сведения задачи к разложению матричных полиномов. В числе конкретных приложений этого подхода – биллиарды внутри эллипсоида в евклидовом пространстве или пространстве Минковского. Как показано в [37], эту технику можно распространить и на случай гиперболоида $\mathcal{H}$. Геометрическим проявлением интегрируемости может быть существование каустик. А именно, все отрезки рассматриваемой траектории биллиарда внутри $\mathcal{H}$-эллипса касаются одной и той же коники, софокусной с границей. Поскольку и геодезический поток, и отражение сохраняют тип вектора, мы видим, что каждая биллиардная траектория является пространственноподобной, времениподобной или светоподобной. Более того, у всех траекторий с одной и той же каустикой тип также один и тот же; см. замечания 3.2 и 3.4 в настоящей работе. В общих задачах о биллиардных системах значительный интерес представляет исследование периодических орбит и их геометрических свойств. Для интегрируемых случаев в работах [36], [18], [19], [22], [23], [27], [1] и многих других периодические траектории характеризуются с помощью эллиптической кривой, связанной с задачей, и доказываются варианты теорем типа Понселе. Такая теорема выполняется и в нашей ситуации: для заданной периодической биллиардной траектории внутри $\mathcal{H}$-эллипса любая биллиардная траектория с той же каустикой также является периодической с тем же периодом. В 19 веке Кэли в своих работах о теореме Понселе (см., к примеру, [13], [14]) предъявил аналитические условия, связывающие период биллиардной траектории и ее каустику. (Современное изложение см. в статье Гриффитса и Харриса [36].) Для обобщенной теоремы Понселе в эллипсоиде в $d$-мерном евклидовом пространстве, пространстве Лобачевского или псевдоевклидовом пространстве подобные условия были найдены в последние десятилетия; см. [18], [19], [17], [23]. В настоящей работе мы используем недавно найденные условия типа Кэли для эллиптических биллиардов на гиперболоиде $\mathcal{H}$, которые выводятся путем сдвига дивизора на эллиптической кривой где $\varepsilon=\operatorname{sign}(b\nu)$. Теорема 2.1 (см. [37]). Пространственноподобная или времениподобная биллиардная траектория внутри $\mathcal{H}$-эллипса (2.2) с каустикой $\mathcal{C}_{\nu}$ из семейства (2.3) является $n$-периодической тогда и только тогда, когда Светоподобная биллиардная траектория внутри $\mathcal{H}$-эллипса является $n$-периодической тогда и только тогда, когда $n=2m \geqslant 4$ и где – тейлоровское разложение в точке $X=0$ и $\delta=\operatorname{sign}(b)$.За деталями отошлем к работе [37]. Также отметим недавнюю статью [50], посвященную геодезическим в евклидовом пространстве. 2.4. Эллиптически периодические траекторииУ точек пространства $\mathbf{M}^{3}$, симметричных относительно координатных плоскостей, одинаковые эллиптические координаты, так что на $\mathcal{H}$ лежит восемь точек с эллиптическими координатами $\lambda_1$, $\lambda_2$. Ввиду этой симметрии биллиардная траектория, являющаяся $n$-периодической в эллиптических координатах, будет периодической и в декартовой системе координат, но с периодом либо $n$, либо $2n$. Дадим соответствующее определение. Определение 2.2. Биллиардная траектория называется эллиптически $n$-периодической, если она $n$-периодическая в эллиптических координатах, соответствующих софокусному семейству (2.3). Траектории, непосредственно соединяющие две точки с одинаковыми эллиптическими координатами Якоби, оказываются 1-эллиптически периодическими, так что мы будем рассматривать эллиптическую периодичность с $n \geqslant 2$. Теперь выведем алгебро-геометрические условия эллиптической периодичности траекторий на $\mathcal{H}$. Теорема 2.3. Биллиардная траектория с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ в воротниковом $\mathcal{H}$-эллипсе является эллиптически $n$-периодической, но не $n$-периодической, если и только если на эллиптической кривой (2.4) выполнено одно из следующих условий, в которых $Q_{\pm}$ – две точки, лежащие над точкой $X=0$, а $P_\beta$ – точка над $X=\beta$: $\bullet$ $n=2m$ и при этом
$\bullet$ $n=2m+1$ и при этом
Биллиардная траектория с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ в трансверсальном $\mathcal{H}$-эллипсе является $n$-эллиптически периодической, но не $n$-периодической, если и только если на эллиптической кривой (2.4) выполнено одно из следующих условий: $\bullet$ $n=2m$ и при этом
$\bullet$ $n=2m+1$ и при этом Доказательство. Пусть $\mathcal{P}(x)=\varepsilon (x-a)(x-b)(x-c)(x-\nu)$, где $\varepsilon=\operatorname{sign}(b\nu)$. На заданной биллиардной траектории рассмотрим дифференциальное уравнение
Если $p_0$ – начальная точка $n$-эллиптически периодической траектории, а $p_1$ – следующая точка на ней с теми же эллиптическими координатами, что и $p_0$, то, интегрируя (2.5) по траектории от $p_0$ до $p_1$, в случае воротникового $\mathcal{H}$-эллипса получим одно из следующих соотношений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m_0(P_a-Q_+)+m_1(P_c-P_b) &\sim 0, \\ m_2(P_\nu-Q_+)+m_3(P_c-P_b) &\sim 0, \\ m_4(P_a-Q_+)+m_5(P_\nu-P_b) &\sim 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Период $n$ равен $ m_0$, $m_2$ или $m_4$ соответственно, причем числа $m_i$ могут быть четными или нечетными. Случаи (i) и (v) вытекают из доказательства теоремы 5.5 работы [37] при условии, что числа $m_i$ четные (случай (i)), или при условии, что либо $m_0$ и $m_1$ нечетные, либо $m_2$ нечетное, а $m_3$ четное (случай (v)). Теперь докажем (ii) и заметим, что все прочие случаи получаются аналогичными рассуждениями, зависящими от четности чисел $m_i$. Пусть $n=m_0$ четное, а $m_1$ нечетное. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\sim m_0 (P_a-Q_+)+m_1(P_c-P_b) \\ &\sim 2k_0(P_a - Q_+)+2k_1(P_c-P_b)+P_c-P_b \\ &\sim k_0 (Q_-+Q_+) - k_0(2Q_+)+P_c - P_b \\ & \sim k_0(Q_- -Q_+)+P_c - P_b \\ &\sim k_0(Q_- -Q_+)+(Q_-+Q_+) - P_a - P_\nu \\ &\sim (k_0+1)Q_- - (k_0-1)Q_+- P_a - P_\nu, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно (ii). Здесь мы, в частности, используем, что $P_a$, $P_b$, $P_c$ и $P_\nu$ – точки ветвления кривой (2.4), так что $2P_a \sim 2P_b \sim 2P_c \sim 2P_\nu \sim Q_-+Q_+$. Мы обсудим эти случаи еще и в п. 5.2 в связи с вопросом о числах вращения. В случае трансверсального $\mathcal{H}$-эллипса интегрирование (2.5) от $p_0$ до $p_1$ дает одно из следующих соотношений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m_6(P_0-P_b)+m_7(P_a-Q_+) &\sim 0, \\ m_8(P_0-P_\nu)+m_9(Q_+-P_a) &\sim 0, \\ m_{10}(P_0-P_b)+m_{11}(Q_+-P_\nu) &\sim 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь период равен $n=m_{2i}+m_{2i+1}$, где $i=2,3,4$. Как и выше, случай (vii) вытекает из доказательства теоремы 5.5 в работе [37], а остальные случаи рассматриваются аналогично (ii). Теорема 2.3 доказана. Замечание 2.4. Как отмечено в доказательстве выше, условия на дивизор (i), (v) и (vii) аналогичны таковым для периодических биллиардных траекторий из теоремы 5.5 в работе [37]. Однако для воротниковых и трансверсальных $\mathcal{H}$-эллипсов условия (i) и (vii) дают $2m$-периодические, эллиптически $m$-периодические траектории. А в случае воротникового $\mathcal{H}$-эллипса условие (v) дает траектории, являющиеся $(4m+2)$-периодическими и эллиптически $(2m+1)$-периодическими. См. детали в замечании 5.7 из [37]. Исходя из условий на дивизор, приведенных выше, приходим к условиям эллиптической периодичности типа Кэли. Теорема 2.5. Биллиардная траектория с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ в воротниковом $\mathcal{H}$-эллипсе является эллиптически $n$-периодической, но не $n$-периодической, если и только если выполнено одно из следующих условий: (a) $\nu \in (-\infty, 0) \cup (b, c) \cup (c,\infty)$ и
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} B_{3} &B_{4} &\dots &B_{n+1} \\ B_{4} &B_{5} &\dots &B_{n+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ B_{n+1} &B_{n+2} &\dots &B_{2n-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n \geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где матричные элементы $B$ такие же, как в теореме 2.1; (b) $\nu \in (-\infty, 0) \cup (c,\infty)$ и
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} F_{1} & F_{2} &\dots &F_{m} \\ F_{2} &F_{3} &\dots &F_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ F_m &F_{m+1} &\dots &F_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 2
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} D_{2} &D_{3} &\dots &D_{m+1} \\ D_{3} &D_{4} &\dots &D_{m+2} \\ \dots &\dots&\dots&\dots \\ D_{m+1} & D_{m+2} &\dots &D_{2m} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m+1 \geqslant 3,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{\varepsilon(X-b)(X-c)}{(X-a)(X-\nu)}}=F_0+F_1X+F_2X^2+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
– разложение Тейлора в точке $X=0$, а матричные элементы $D_i$ такие же, как в теореме 2.1; (c) $\nu \in (b, c)$ и
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} G_{1} & G_{2} &\dots &G_{m} \\ G_{2} &G_{3} &\dots &G_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ G_{m} &G_{m+1} &\dots & G_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 4
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} H_{2} & H_{3} &\dots &H_{m+1} \\ H_{3} &H_{4} &\dots &H_{m+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ H_{m+1} & H_{m+2} &\dots &H_{2m} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m+1 \geqslant 5,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{\frac{\varepsilon(X-b)(X-\nu)}{(X-a)(X-c)}}=G_0+G_1X+G_2X^2+\dotsb, \\ \sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-\nu)}{X-c}}=H_0+H_1X+H_2X^2+\dotsb \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– тейлоровские разложения в точке $X=0$; (d) $\nu \in (-\infty, 0) \cup (b, c) \cup (c,\infty)$ и
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} I_{2} & I_{3} &\dots &I_{m+1} \\ I_{3} & I_{4} &\dots &I_{m+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ I_{m+1} &I_{m+2} &\dots &I_{2m} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m+1 \geqslant 3,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{\varepsilon(X-b)(X-c)(X-\nu)}{X-a}}=I_0+I_1X+I_2X^2+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
– тейлоровское разложение в точке $X=0$. Биллиардная траектория с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ внутри трансверсального $\mathcal{H}$-эллипса является эллиптически $n$-периодической, но не $n$-периодической, если и только если выполнено одно из следующих условий: (e) $\nu \in (-\infty, b) \cup (b, 0) \cup (0,a) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} B_{3} & B_{4} &\dots &B_{n+1} \\ B_{4} & B_{5} &\dots &B_{n+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ B_{n+1} &B_{n+2} &\dots &B_{2n-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n \geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где матричные элементы $B_i$ такие же, как в теореме 2.1; (f) $\nu \in (-\infty,b) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} J_{1} & J_{2} &\dots &J_{m} \\ J_{2} & J_{3} &\dots &J_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ J_{m} &J_{m+1} &\dots &J_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{\varepsilon(X-c)(X-\nu)}{(X-a)(X-b)}}=J_0+J_1X+J_2X^2+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
– тейлоровское разложение в точке $X=0$; (g) $\nu \in (b,0)$ и
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} F_{1} &F_{2} &\dots &F_{m} \\ F_{2} & F_{3} &\dots &F_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ F_{m} &F_{m+1} &\dots &F_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где матричные элементы $F_i$ такие же, как в (b); (h) $\nu \in (0,a)$ и
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} K_{1} & K_{2} &\dots &K_{m} \\ K_{2} & K_{3} &\dots &K_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ K_{m} & K_{m+1} &\dots &K_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 4,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-c)}{(X-b)(X-\nu)}}=K_0+K_1X+K_2X^2+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
– тейлоровское разложение в точке $X=0$; (i) $\nu \in (-\infty, b) \cup (b, 0) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} I_{2} & I_{3} &\dots & I_{m+1} \\ I_{3} & I_{4}&\dots &I_{m+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ I_{m+1} &I_{m+2} &\dots &I_{2m} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m+1 \geqslant 3,
\end{equation*}
\notag
$$
где матричные элементы $I_i$ такие же, как в (b); (j) $\nu \in (-\infty, b) \cup (0,a) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и где – тейлоровское разложение в точке $X=0$. Доказательство. Мы докажем (c) и заметим, что остальные части теоремы доказываются аналогично. В доказательстве (c) используются условия на дивизор (iii) и (vi) из теоремы 2.3.
Сначала рассмотрим случай $n=2m$ и условие на дивизор из (iii): Оно эквивалентно существованию мероморфной функции с нулем порядка $m\,{+}\,1$ в точке $Q_-$, полюсом порядка $m-1$ в $Q_+$ и простыми полюсами в $P_a$ и $P_b$. Базис в пространстве $\mathcal{L}((m-1)Q_{+}+P_a+P_c)$ имеет вид $\{1,f_1, \dots, f_m\}$, где Существование функций нужного вида эквивалентно рассматриваемому условию на дивизор.Теперь рассмотрим случай $n=2m+1$ и условие на дивизор из (vi): Оно эквивалентно существованию мероморфной функции с нулем порядка $m\,{+}\,1$ в точке $Q_-$, полюсом порядка $m$ в $Q_+$ и простым полюсом в $P_c$. В пространстве мероморфных функций $\mathcal{L}(mQ_{+}+ P_c)$ имеется базис $\{1,\dots, g_m\}$, где Существование функции нужного вида эквивалентно второму условию на дивизор в (c).Теорема 2.5 доказана. Пример 2.6 (эллиптическая 2-периодичность). В воротниковом $\mathcal{H}$-эллипсе эллиптически $2$-периодическую траекторию можно найти, наложив условие $B_3=0$ либо $F_1=0$, что эквивалентно соотношениям соответственно. Ясно, что решения уравнения $F_1=0$ также удовлетворяют условию $B_3=0$. В трансверсальном $\mathcal{H}$-эллипсе эллиптически 2-периодическую траекторию можно найти, наложив условие $B_3=0$ или $F_1=0$, или $J_1=0$. Первые два условия приведены выше, а третье эквивалентно равенству Решение уравнения $F_1=0$ или $J_1=0$ также удовлетворяет уравнению $B_3=0$.Соответствующие траектории изображены на рис. 3. Пример 2.7 (эллиптическая 3-периодичность). В воротниковом $\mathcal{H}$-эллипсе эллиптически $3$-периодическую траекторию можно найти, наложив одно из условий В трансверсальном $\mathcal{H}$-эллипсе эллиптически 3-периодическую траекторию можно найти, наложив одно из условий Первые два условия приведены выше, а третье эквивалентно равенствуСоответствующие эллиптически 3-периодические траектории изображены на рис. 4. § 3. Топологические свойства биллиардных систем в софокусных семействахКак описано в § 2, внутри софокусных квадрик на гиперболоиде $\mathcal{H}$ биллиарды бывают двух геометрически различных типов. В этом параграфе с помощью инвариантов Фоменко (см. [12], [11], [10]) дается топологическое описание биллиардных систем для каждой ситуации. Такие описания давались ранее для эллиптических биллиардов на евклидовой плоскости (см. [20], [21]), в областях, ограниченных софокусными параболами (см. [33]), биллиардов с потенциалом Гука (см. [42]), биллиардов на плоскости Минковского и геодезических на эллипсоидах в $\mathbf{M}^{3}$ (см. [25]), невыпуклых биллиардов (см. [45]), биллиардов с проскальзыванием (см. [35]) и для более общих классов биллиардных систем и гамильтоновых систем со столкновениями (см. [49], [34], [41]). Другие работы по этой теме можно найти в списках литературы перечисленных статей. 3.1. Трансверсальный $\mathcal{H}$-эллипсВ случае трансверсального $\mathcal{H}$-эллипса константы удовлетворяют неравенствам $b < 0 < a < c$, а софокусные кривые имеют эллиптический тип при $\lambda \in (b,a)\cup(a,c)$ и гиперболический тип при $\lambda \in (-\infty, b] \cup [c,\infty)$; см. детали в п. 2.2. В качестве биллиардного стола $\mathcal{T}$ рассматривается множество точек с $z>0$, лежащих на трансверсальном $\mathcal{H}$-эллипсе $\mathcal{C}_0$ и внутри него. Топологически $\mathcal{T}$ гомеоморфен замкнутому кругу на плоскости. Рассмотрим точку $P \in \mathcal{C}_0$, и пусть $u,v \in T_P\mathcal{H}$ – единичные векторы; их множество гомеоморфно $\mathbf{S}^{1}$. Пусть $\sim$ – следующее отношение эквивалентности на полнотории $\mathcal{T} \times \mathbf{S}^{1}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (P,u) \sim (P,v) \quad &\Longleftrightarrow\quad P \in \mathcal{C}_0, \text{ а } u,v \in \mathbf{S}^{1} \text{ переходят друг в друга} \\ &\qquad\qquad\text{при отражении от } \mathcal{C}_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Биллиардная траектория внутри $\mathcal{T}$ индуцирует траекторию на $\mathcal{T} \times \mathbf{S}^{1} / \sim$. Это соответствие траекторий индуцирует проекцию фазового пространства биллиарда на $\mathcal{T} \times \mathbf{S}^{1} / \sim$, сохраняющую траектории и листы слоения Лиувилля. Теорема 3.1. Слоение Лиувилля на многообразии $\mathcal{T} \times \mathbf{S}^{1}/\sim$ представляется графом Фоменко на рис. 5. Доказательство. Каждый лист слоения Лиувилля на многообразии (множество уровня) соответствует биллиардным движениям с каустикой, являющейся некоторой фиксированной софокусной кривой $\mathcal{C}_{\lambda}$, где $\lambda \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$.
При $\lambda \notin \{a,b,c\}$ множества уровня невырожденны. В случае, когда каустика гиперболического типа, т.е. $\lambda \in (-\infty, b) \cup (c,\infty) \cup \{\infty\}$, каждое из них является тором. В случае, когда каустика эллиптического типа и пересекает $\mathcal{C}_0$ в четырех различных точках (т.е. когда $\lambda \in (b,a)$), множество уровня является объединением двух торов. А когда $\mathcal{C}_{\lambda}$ эллиптического типа, но не пересекает $\mathcal{C}_0$ (т.е. когда $\lambda \in (a,c)$), множество уровня – снова один тор. Если $\lambda=a$, то множество уровня состоит из единственной замкнутой траектории, являющейся 2-периодической и лежащей в плоскости $x=0$, и из двух гомоклинических сепаратрис. Любая траектория на сепаратрисе лежит по одну сторону от координатной плоскости $yz$, а ее отрезки попеременно проходят через фокусы $F_{-+}^x$ и $F_{++}^x$. При $\lambda \to a^-$ каустика эллиптического типа пересекает $\mathcal{C}_0$. Каждая траектория лежит в одной из двух областей, ограниченных $\mathcal{C}_0$ и $\mathcal{C}_{\lambda}$, так что множество уровня – объединение двух торов. При $\lambda \to a^+$ каустика также эллиптического типа, но она не пересекает $\mathcal{C}_0$, так что множество уровня – один тор. Такая система множеств уровня представляется атомом Фоменко $B$. Для $\lambda=b$ подобный анализ приводит к аналогичному результату. При $\lambda=c$ отрезки траекторий описываются похожим образом. Плоскости, задающие отрезки биллиардной траектории, попеременно проходят через антиподальные пары фокусов (т.е. плоскость, задающая один отрезок, содержит $F_{++}^z$ и $F_{--}^z$, а плоскость, задающая следующий отрезок, содержит $F_{+-}^z$ и $F_{-+}^z$). Такие траектории не обязательно периодические, как раньше. Хотя значение $\lambda=c$ является пороговым для перехода от каустики гиперболического типа к эллиптическому типу, ни одна из этих каустик не пересекает $\mathcal{C}_0$, так что биллиардная система как таковая не меняется кардинально при $\lambda=c$. Если $\lambda=\infty$, то все траектории светоподобны, так что их отрезки лежат на образующих гиперболоида $\mathcal{H}$. Качественное поведение траекторий такое же, как при $\lambda \in (-\infty, b) \cup (a, \infty)$. В окрестности значения $\lambda=b$ анализ аналогичен случаю $\lambda=a$. Рассмотрим предельный случай $\lambda=0$. При $\lambda \to 0^-$ биллиардное движение происходит в одной из двух областей, ограниченных $\mathcal{C}_0$ и $\mathcal{C}_{\lambda}$; каждая из них лежит по одну сторону от плоскости $y=0$. Предельное движение вдоль границы периодическое: траектория идет вдоль времениподобной дуги границы. Это периодическое движение представляется двумя атомами Фоменко $A$ на рис. 5. При $\lambda \to 0^+$ анализ приводит к тем же выводам, однако области между $\mathcal{C}_0$ и $\mathcal{C}_{\lambda}$ лежат теперь по разные стороны от плоскости $x=0$, а предельные периодические траектории идут вдоль пространственноподобных дуг кривой $\mathcal{C}_0$. Теорема 3.1 доказана. Замечание 3.2. Траектории с каустиками $\mathcal{C}_{\lambda}$ при $\lambda>0$ пространственноподобные, а при $\lambda<0$ они времениподобные. 3.2. Воротниковый $\mathcal{H}$-эллипсВ случае воротникового $\mathcal{H}$-эллипса константы удовлетворяют неравенствам $0 < a < b < c$, а софокусные кривые имеют эллиптический тип при $\lambda \in (-\infty,a)$ и гиперболический тип при $\lambda \in (b,c)$; см. детали в п. 2.2. Пусть $\mathcal{E}$ – биллиардный стол, т.е. множество точек на воротниковом $\mathcal{H}$-эллипсе $\mathcal{C}_0$ и внутри него. Топологически $\mathcal{E}$ гомеоморфен замкнутому круговому кольцу. Рассмотрим точку $P \in \mathcal{C}_0$, и пусть $u,v \in T_P\mathcal{H}$, где $u$, $v$ – единичные векторы. Их множество гомеоморфно $\mathbf{S}^{1}$. Пусть $\sim$ – отношение эквивалентности на “утолщенном” торе $\mathcal{E} \times \mathbf{S}^{1}$, заданное условием
$$
\begin{equation*}
(P,u) \sim (P,v) \quad\Longleftrightarrow\quad P \in \mathcal{C}_0\ \text{ и } u,v \in \mathbf{S}^{1} \text{ отражаются друг в друга от } \mathcal{C}_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая биллиардная траектория на $\mathcal{E}$ индуцирует траекторию в $\mathcal{E} \times \mathbf{S}^{1} / \sim$. Это соответствие траекторий индуцирует проекцию фазового пространства биллиарда на $\mathcal{E} \times \mathbf{S}^{1} / \sim$, сохраняющую траектории и листы слоения Лиувилля. Теорема 3.3. Слоение Лиувилля на многообразии $\mathcal{E} \times \mathbf{S}^{1} /\sim$ представляется графом Фоменко на рис. 6. Доказательство. Как и выше, каждый лист слоения Лиувилля на многообразии (множестве уровня) соответствует биллиардному движению с каустикой, являющейся фиксированной софокусной кривой $\mathcal{C}_{\lambda}$, где $\lambda \in (-\infty, a] \cup [b,\infty) \cup \{\infty\}$.
При $\lambda \notin \{a,b,c\}$ множества уровня невырожденны. Если каустика гиперболического типа, т.е. $\lambda \in (b, c)$, то каждое из них – это объединение двух торов. Каждый из торов соответствует биллиардному движению в одной из двух областей, симметричных относительно плоскости $z=0$ и ограниченных кривой $\mathcal{C}_{\lambda}$ из софокусного семейства и границей $\mathcal{C}_0$. На гиперболоиде $\mathcal{H}$ нет софокусных кривых с с $\lambda \in (c,+\infty)$, так как пересечение конуса (2.3) с гиперболоидом пусто. Однако поскольку соответствующие геодезические – это пересечения $\mathcal{H}$ с плоскостями, касающимися конуса, мы все же можем определить отрезки соответствующих биллиардных траекторий. В этом случае множество уровня – объединение двух торов, по одному для каждого из направлений, в которых биллиардная траектория обходит $\mathcal{E}$ вокруг оси $x$. При $\lambda=\infty$ траектории светоподобны и каждый тор соответствует траектории, закручивающейся вокруг $\mathcal{E}$ по правилу правой или левой руки. В случае когда $\lambda \in (-\infty,0) \cup (0,a)$, множество уровня остается объединением двух торов, по одному для каждого из направлений, в которых траектория закручивается по $\mathcal{E}$. Для каждого случая есть своя геометрическая интерпретация. При $\lambda \in (-\infty,0)$ каустика эллиптического типа и лежит снаружи от $\mathcal{E}$, а $\lambda \in (0,a)$ соответствует каустике эллиптического типа внутри $\mathcal{E}$. Это движение замечательно в следующем смысле: каждый тор, соответствующий $\lambda \in (0,a)$, является просто периодическим геодезическим потоком на пространственноподобной траектории. Биллиардное движение не доходит до границы, так что каждая траектория замкнута (рис. 7). Значит, каждый тор из этого множества уровня резонансный. В пределе, когда $\lambda \to 0^\pm$, множество уровня опять оказывается объединением двух резонансных торов, каждый из которых снова соответствует направлению, в котором траектория обходит $\mathcal{E}$.  Рис. 7.Периодическая биллиардная траектория, касающаяся софокусной кривой и не отражающаяся от границы $\mathcal{C}_0$ (в терминологии п. 2.4 это эллиптически 1-периодическая траектория). Теперь рассмотрим вырожденные случаи. При $\lambda=b$ траектория периодическая и лежит в плоскости $y=0$, отражаясь попеременно от каждой компоненты границы стола $\mathcal{E}$. Этому предельному движению соответствуют два атома $A$, по одному для каждой из двух периодических траекторий. При $\lambda \to b^+$ множество уровня – объединение двух торов, как описано выше для $\lambda \in (b,c)$. При $\lambda=c$ траектория периодическая и лежит в плоскости $z=0$, а множество уровня вырожденное. При $\lambda \to c^-$ множество уровня является объединением двух торов, по одному на каждую из областей биллиардного стола, в которых траектории касаются каустики гиперболического типа. При $\lambda \to c^+$ множество уровня также является объединением двух торов, соответствующих направлению обхода траектории по $\mathcal{E}$. Поскольку этому значению параметра соответствуют четыре окружности и четыре сепаратрисы, при $\lambda=c$ возникает атом $C_2$. Если $\lambda=a$, то траектория периодическая, пространственноподобная и “наматывается” на гиперболоид $\mathcal{H}$, оставаясь в плоскости $x=0$, а множество уровня вырожденное. Каждое направление закручивания этого периодического решения соответствует своему атому $A$. При $\lambda \to a^-$ движение такое же, как при $\lambda \in (0,a)$, а множество уровня – объединение двух торов. При $\lambda \to a^+$ множество уровня пусто. Напомним обозначения для матриц склейки и базисных циклов на торах:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \lambda^+ \\ \mu^+ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha &\beta \\ \gamma &\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^- \\ \mu^- \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [12], [11]). Для двух ребер слева матрица склейки равна Новые базисные циклы $(\lambda^+,\mu^+)$ геометрически отвечают движению по окружности в пересечении плоскости $yz$ с гиперболоидом и 2-периодической траектории в плоскости $y=0$ соответственно. Для двух ребер справа матрица склейки есть Геометрически нестягиваемый базисный цикл $\lambda^+$ отвечает круговому периодическому движению по воротнику в плоскости $x=0$, а второй базисный цикл $\mu^+$ является дополнительным к $\lambda^+$. Теорема 3.3 доказана. Замечание 3.4. В рассматриваемом случае пространственноподобные траектории отвечают каустикам $\mathcal{C}_{\lambda}$ с $\lambda < a$, а времениподобные отвечают каустикам с $\lambda>b$. (Ср. замечание 3.2.) 3.3. Замечания об эквивалентных системахЗаметим, что граф Фоменко на рис. 5, отвечающий биллиарду в трансверсальном $\mathcal{H}$-эллипсе, совпадает с графом Фоменко, отвечающим биллиарду внутри эллипса на плоскости Минковского (см. [25]). Поскольку отмеченные графы Фоменко этих двух биллиардных систем совпадают, сами системы лиувиллево эквивалентны. В случае воротникового $\mathcal{H}$-эллипса меченая молекула такая же, как в одном из подслучаев интегрируемого случая Чаплыгина динамики твердого тела (см. [32]), так что эти интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны. 3.4. Биллиардные книжкиНесколько гипотез Фоменко описывают связь между интегрируемыми системами и эллиптическими биллиардами на евклидовой плоскости. Рассматриваются области внутри эллипса, ограниченные дугами софокусных гипербол и эллипсов. Гипотезы заключаются в том, что любую интегрируемую систему можно представить, склеивая такие области подходящим образом, что приводит к обобщенным биллиардным областям, называемым биллиардными книжками; см. подробности в [49]. В случае трансверсального $\mathcal{H}$-эллипса граф Фоменко на рис. 5 (без меток) представляется биллиардной книжкой, получаемой склейкой двух экземпляров биллиардной книжки, представляющей 3-атом $B$; наглядную конструкцию этой биллиардной книжки см. в [31; § 2]. В случае воротникового $\mathcal{H}$-эллипса граф Фоменко на рис. 6 (без меток) представляется биллиардной книжкой для 3-атома $C_2$. Такая книжка строится в соответствии с алгоритмом 1 из работы [49]; в обозначениях из этой работы книжка склеена из четырех листов $A_0'$, причем склейка вдоль ребер задается перестановками $\sigma_3=\sigma_4=\mathrm{id}$, $\sigma_1=(12)(34)$ и $\sigma_2=(14)(23)$; рис. 8. § 4. Дискриминантно разложимые и дискриминантно отделимые многочленыДискриминантно разложимые многочлены были введены в статье [15]. Там они определены свойством, что их дискриминанты, рассматриваемые как многочлены от нескольких переменных, раскладываются на нетривиальные множители. В случаях евклидовой плоскости (см. [26]) и плоскости Минковского (см. [1]) известно, что за условиями типа Кэли стоит богатая алгебро-геометрическая структура, связанная с дискриминантно отделимыми многочленами, введенными в [16]. Определение 4.1 (см. [16]). Многочлен $F(x_1, \dots, x_n)$ дискриминантно отделим, если существуют такие многочлены $f_1(x_1), \dots, f_n(x_n)$, что дискриминант $\mathcal{D}_{x_i}F$ многочлена $F$ по переменной $x_i$ имеет вид для всех $1 \leqslant i \leqslant n$. Исследуем условия периодичности из теоремы 2.1 с этой точки зрения. (Отметим, что условия эллиптической периодичности могут быть рассмотрены аналогично.) Условия типа Кэли содержат числители, являющиеся многочленами от параметра каустики $\nu$, с коэффициентами, выражающимися через переменные $a$, $b$, $c$. Для простоты обозначений в формулах ниже элементарные симметрические многочлены выражаются через три переменные $p :=a+b+c,$ $q :=ab+ac+bc$, $r :=abc$. Пример 4.2 (период 3). Условие $D_2=0$ эквивалентно поиску нулей относительно $\nu$ у выражения его дискриминант по $\nu$ равен Пример 4.3 (период 4). Решение уравнения $B_3=0$ эквивалентно отысканию нулей относительно $\nu$ у выражения его дискриминант по $\nu$ равен Пример 4.4 (период 5). Формула $D_2D_4 - D_3^2=0$ эквивалентна отысканию корней уравнения относительно $\nu$ у выражения Пример 4.5 (период 6). Поиск решений уравнения $B_3B_5 - B_4^2=0$ эквивалентен отысканию корней уравнения относительно $\nu$ у выражения Пример 4.6 (период 7). Условие Все многочлены $G_i(a,b,c,\nu)$ из примеров 4.2–4.6 дискриминантно разложимые. Однако, в отличие от примеров из [1], здесь не существует очевидных замен переменных, приводящих к дискриминантно отделимым многочленам. Все же некоторые из них являются почти дискриминантно отделимыми по переменным $a$, $d=b/a$ и $e=c/a$. К примеру,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}_\nu G_4=64 a^{30} (d-1)^2 d^8 (e-1)^2 e^8 (d-e)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $(d-e)^2$ – “вредоносный” множитель. Аналогичные вычисления после той же замены переменных приводят к выражениям, являющимся произведениями многочленов вида
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}_\nu G_i (a,b,c,\nu)=f_1(a)f_2(d)f_3(e)f_4(d,e).
\end{equation*}
\notag
$$
Еще одна возможная замена переменных мотивирована аналогией между $G_3$ и многочленом $G_2(a,b,\gamma)$ из [1]. Используя элементарные симметрические многочлены $p$, $q$ и $r$, сначала сделаем преобразование $(p,q,r) \mapsto (AB, A+B,1)$. Тогда После еще одного преобразования $(A,B) \mapsto(A,C :=B/A)$ получим дискриминантно отделимый многочлен Однако эта пара замен переменных не приводит к дискриминантно отделимым многочленам больше ни в каком из приведенных выше примеров. Так, используя ее в примере 4.3, получим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}_\nu G_4=2^6 (A^6 (-1+C)^2 C^2 - A^3 (4 - 6 C - 6 C^2+4 C^3)-27),
\end{equation*}
\notag
$$
что говорит о дискриминантной разложимости, но не о дискриминантной отделимости.
§ 5. Периодические траектории и экстремальные многочлены5.1. Полиномиальные уравнения как условия периодичностиУсловия периодичности из теоремы 2.1 можно сформулировать в терминах разрешимости некоторых полиномиальных уравнений. Теорема 5.1. Биллиардные траектории с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ в трансверсальном или воротниковом $\mathcal{H}$-эллипсе $n$-периодичны, если и только если найдется такая пара многочленов некоторых степеней $d_1$ и $d_2$ соответственно, что выполнены следующие условия, где $k=e_{d_1}^2 - \varepsilon f_{d_2}^2$: (a) если $n=2m$, то $d_1=m$, $d_2=m-2$ и условие имеет вид
$$
\begin{equation}
p_m^2(s) - \biggl(\frac{1}{a}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{b}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{c}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{\nu}-s\biggr) q_{m-2}^2(s)=\operatorname{sign}{k};
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
(b) если $n=2m+1$, то $d_1=m$, $d_2=m-1$ и условие имеет вид Доказательство. Сначала рассмотрим случай $n=2m$. Тогда найдутся вещественные многочлены $p_m^*(X)$ и $q_{m-2}^*(X)$ степеней $m$ и $m\,{-}\,2$ соответственно, для которых выражение
$$
\begin{equation*}
p_m^*(X) - q_{m-2}^*(X)\sqrt{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет нуль порядка $2m$ в точке $X=0$. Умножив на алгебраически сопряженное выражение
$$
\begin{equation*}
p_m^*(X)+q_{m-2}^*(X)\sqrt{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)},
\end{equation*}
\notag
$$
получим многочлен степени $2m$ вида
$$
\begin{equation*}
[p_m^*(X)]^2 - \varepsilon[q_{m-2}^*(X)]^2 (X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)
\end{equation*}
\notag
$$
с нулем порядка $2m$ в точке $X=0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
[p_m^*(X)]^2 - \varepsilon[q_{m-2}^*(X)]^2 (X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)=k X^{2m}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторой ненулевой постоянной $k$. Используем тождество $x=|x|\operatorname{sign}{x}$ и поделим обе части этого равенства на $|k| X^{2m}$. Получим
$$
\begin{equation*}
\frac{[p_m^*(X)]^2}{|k| X^{2m}} - \frac{\varepsilon[q_{m-2}^*(X)]^2 (X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)}{|k| X^{2m}}=\operatorname{sign}{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $s=1/X$. Положим
$$
\begin{equation*}
p_m(s)=\frac{s^m p_m^*(1/s)}{\sqrt{|k|}}, \qquad q_{m-2}(s)=\frac{s^{m-2}q_{m-2}^*(1/s)\sqrt{ac|b\nu|}}{\sqrt{|k|}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученные многочлены $p_m(s)$ и $q_{m-2}(s)$ удовлетворяют уравнению (5.1), что доказывает часть (a).
В случае $n=2m+1$ найдутся такие многочлены $p_m^*(X)$ и $q_{m-1}^*(X)$ степеней соответственно $m$ и $m-1$, что у выражения
$$
\begin{equation*}
p_m^*(X) - q_{m-1}^*(X)\sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)}{(X-\nu)}}
\end{equation*}
\notag
$$
имеется нуль порядка $2m+1$ в точке $X=0$. Умножая на
$$
\begin{equation*}
(X-\nu) \biggl(p_m^*(X)+q_{m-1}^*(X)\sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)}{(X-\nu)}} \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
получим многочлен вида
$$
\begin{equation*}
(X-\nu)[p_m^*(X)]^2 - \varepsilon[q_{m-1}^*(X)]^2(X-a)(X-b)(X-c)
\end{equation*}
\notag
$$
с нулем порядка $2m+1$ в $X=0$. Поскольку степень этого выражения $2m+1$, имеем
$$
\begin{equation*}
(X-\nu)[p_m^*(X)]^2 - \varepsilon[q_{m-1}^*(X)]^2(X-a)(X-b)(X-c)=k X^{2m+1}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого ненулевого коэффициента $k$. Снова используем тождество $k=|k|\operatorname{sign}{k}$ и поделим обе части равенства на $|k| X^{2m+1}$. Получим
$$
\begin{equation*}
\frac{(X-\nu)[p_m^*(X)]^2}{|k| X^{2m+1}} - \frac{\varepsilon[q_{m-1}^*(X)]^2(X-a)(X-b)(X-c)}{|k| X^{2m+1}}=\operatorname{sign}{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Опять положим $s=1/X$ и введем многочлены
$$
\begin{equation*}
p_m(s)=\frac{s^m p_m^*(1/s)\sqrt{|\nu|}}{\sqrt{|k|}}, \qquad q_{m-1}(s)=\frac{s^{m-1}q_{m-1}^*(1/s)\sqrt{a|b|c}}{\sqrt{|k|}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Они удовлетворяют уравнению (5.2), что доказывает часть (b).
Теорема 5.1 доказана. Следствие 5.2. Если внутри воротникового или трансверсального $\mathcal{H}$-эллипса биллиардные траектории с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ $n$-периодические, то найдутся вещественные многочлены $\widehat{p}_n$ и $\widehat{q}_{n-2}$ степеней $n$ и $n-2$ соответственно, удовлетворяющие уравнению Пелля Для доказательства достаточно при $n=2m$ положить
$$
\begin{equation*}
\widehat{p}_n=2p_m^2-\operatorname{sign}{k}, \qquad \widehat{q}_{n-2}=2p_m q_{m-2},
\end{equation*}
\notag
$$
а при $n=2m+1$ положить
$$
\begin{equation*}
\widehat{p}_n=2\biggl(\frac{1}{\nu}-s \biggr) p_m^2-\operatorname{sign}{k\nu}, \qquad \widehat{q}_{n-2}=2p_m q_{m-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения типа Пелля возникали выше в качестве полиномиальных функциональных условий периодичности. Такие решения уравнений Пелля имеют и другие связи с геометрическими свойствами биллиардных траекторий. Эти результаты можно сравнить с [1]. 5.2. Число вращенияПусть заданы постоянные $c_0<c_1<c_2<c_3$; положим Тогда многочлены $\widehat{p}_n$ и $\widehat{q}_{n-2}$ степеней соответственно $n$ и $n-2$, для которых существуют тогда и только тогда, когда найдется такое целое $n_1>0$, что
$$
\begin{equation*}
n_1\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} =n\int_{c_3}^{+\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $n_1$ окажется числом нулей многочлена $\widehat{p}_n$ на интервале $(c_0,c_1)$; см. [38]. Таким образом, число вращения можно определить равенством
$$
\begin{equation*}
\rho:=\frac{n_1}{n} =\int_{c_3}^{+\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}\bigg/\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим ситуацию, когда граница области – воротниковый $\mathcal{H}$-эллипс. Тогда существуют три возможных типа биллиардных траекторий. (i) Каустика имеет эллиптический тип и лежит снаружи $\mathcal{E}$, а траектория проходит внутри $\mathcal{E}$. Тогда $\nu < 0$ и $(\lambda_1,\lambda_2) \in [0,a]\times [b,c]$. При этом условие $n$-периодичности имеет вид
$$
\begin{equation*}
m_0\int_0^{a}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} +m_1\int_{b}^{c}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав замену $s=1/\lambda$, положим $c_0=1/\nu$, $c_1=1/c$, $c_2=1/b$ и $c_3=1/a$. Получаем условие
$$
\begin{equation*}
m_0\int_{\infty}^{c_3}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} +m_1\int_{c_2}^{c_1}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства
$$
\begin{equation*}
-m_1\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}=m_0\int_{c_3}^{\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}
\end{equation*}
\notag
$$
и леммы 5.3 можно заключить, что
$$
\begin{equation*}
m_1<0, \qquad -m_1=n_1<m_0=n, \qquad \rho=-\frac{m_1}{m_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) Каустика эллиптического типа лежит снаружи $\mathcal{E}$ и биллиардная траектория проходит снаружи $\mathcal{E}$. Тогда в соответствии с [37; § 3] биллиардные траектории пространственноподобные и отражаются от одной из компонент $\mathcal{C}$. Тогда $\nu<0$ и $(\lambda_1,\lambda_2) \in [\nu, 0]\times[b,c]$. Частица движется между одной из компонент $\mathcal{C}$ и каустикой, не пересекая координатную плоскость $x=0$, но обязательно пересекая плоскости $y=0$ и $z=0$ четное число раз. Только в этом случае период может быть нечетным. Условие $n$-периодичности имеет вид
$$
\begin{equation*}
m_2\int_0^{\nu}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} +m_3\int_{b}^{c}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Добавляя и вычитая слагаемое
$$
\begin{equation*}
m_2\int_a^{0}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}},
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
m_2\int_a^{\nu}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} +m_3\int_{b}^{c}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =m_2\int_a^{0}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку циклы, обходящие вокруг отрезков $[\nu, a]$ и $[b, c]$, гомологичны, получаем
$$
\begin{equation*}
(m_3-m_2)\int_{b}^{c}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =m_2\int_a^{0}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
После замены $s=1/\lambda$, положив $c_0=1/\nu$, $c_1=1/c$, $c_2=1/b$, $c_3=1/a$, имеем
$$
\begin{equation*}
(m_2-m_3)\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}=m_2\int_{c_3}^{\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью леммы 5.3 можно заключить, что
$$
\begin{equation*}
m_3<m_2, \qquad m_2-m_3=n_1<m_2=n, \qquad \rho=1-\frac{m_3}{m_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) Каустика имеет гиперболический тип, а траектория проходит внутри $\mathcal{E}$. В этом случае каустика симметрична относительно плоскости $z=0$, а $\nu \in [b, c]$, так что $(\lambda_1,\lambda_2)\in [0,a]\times[b,\nu]$. Траектория должна коснуться каустики в некоторой точке внутри $\mathcal{E}$. Условие $n$-периодичности имеет вид
$$
\begin{equation*}
m_4\int_0^{a}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} +m_5\int_{b}^{\nu}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав замену $s=1/\lambda$, положим $c_0=1/c$, $c_1=1/\nu$, $c_2=1/b$, $c_3=1/a$. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
m_4\int_{\infty}^{c_3}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} +m_5\int_{c_2}^{c_1}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя равенство
$$
\begin{equation*}
-m_5\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}=m_4\int_{c_3}^{\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}
\end{equation*}
\notag
$$
и лемму 5.3, можно заключить, что
$$
\begin{equation*}
m_5<0, \qquad -m_5=n_1<m_4=n, \qquad \rho=-\frac{m_5}{m_4}.
\end{equation*}
\notag
$$
5.3. Многочлены Золотарёва и периодические траекторииХорошо известно, что многочлены Чебышёва можно определить рекуррентно соотношениями $T_0(x)=1$, $T_1(x)=x$ и при $n=1,2,\dots$ . Их также можно параметризовать по-другому, к примеру, см., например, [4]. Обратные величины к старшим коэффициентам этих многочленов имеют вид $L_n=2^{n-1}$ при $n=1, 2, \dots$ и $L_0=1$. Чебышёв доказал, что многочлены $L_nT_n(x)$ решают следующую задачу о минимаксе:Чебышёвым было также показано, что многочлены Чебышёва удовлетворяют полиномиальному уравнению Пелля, т.е. найдется многочлен $Q_{n-1}$ степени $n-1$, для которого Из изложенного выше ясно, что уравнение Пелля фундаментально важно для полиномиальной формы условий периодичности. Решения уравнений Пелля с точностью до масштабирования оказываются экстремальными многочленами относительно равномерной нормы на объединении пары отрезков, определяемых уравнением Пелля. Назовем такие обобщенные многочлены Чебышёва для пары отрезков многочленами Золотарёва, поскольку их ввел Золотарёв, выдающийся ученик Чебышёва, в работе [51]. Потом их исследовал Ахиезер (см. [2], а также [3], [4]). Недавние результаты по многочленам Золотарёва можно найти в [28]. Вслед за классиками рассмотрим объединение отрезков где
$$
\begin{equation*}
\alpha_{n,m}=1-2\operatorname{sn}^2\biggl(\frac{m}{n}K\biggr), \qquad \beta_{n,m}=2\operatorname{sn}^2\biggl(\frac{n-m}{n}K\biggr)-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
TA_{n}(x,m,\kappa)=L\biggl(v_{n.m}^{n}(u)+\frac{1}{v_{n,m}^{n}(u)}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_{n,m}(u)=\frac{\theta_1(u-\frac{m}{n}K)}{\theta_1(u+\frac{m}{n}K)}, \qquad x_{n,m}=\frac{\operatorname{sn}^2(u)\operatorname{cn}^2(\frac{m}{n}K) +\operatorname{cn}^2(u)\operatorname{sn}^2(\frac{m}{n}K)}{\operatorname{sn}^2(u) -\operatorname{sn}^2(\frac{m}{n}K)}, \\ L_{n,m}=\frac{1}{2^{n-1}} \biggl(\frac{\theta_0(0)\theta_3(0)}{\theta_0(\frac{m}{n}K)\theta_3(\frac{m}{n}K)}\biggr)^{2n}, \qquad \kappa_{n,m}^2=\frac{2(\beta_{n,m} -\alpha_{n,m})}{(1 -\alpha_{n,m})(1+\beta_{n,m})}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Ахиезер (см. [2]) установил следующий результат. Теорема 5.4 (Н. И. Ахиезер). (a) Функция $TA_{n}(x,m,\kappa)$ является многочленом степени $n$ по $x$ со старшим коэффициентом $1$ и следующим коэффициентом, равным $-n\tau_{1}^{(n,m)}$, где (b) Максимум модуля многочлена $TA_{n}$ на объединении отрезков $[-1,\alpha_{n,m}]\cup [\beta_{n,m}, 1]$ равен $L_{n,m}$. (c) Функция $TA_{n}$ принимает значения $\pm L_{n,m}$ чередующихся знаков в $\mu=n-m+1$ точках отрезка $ [- 1, \alpha]$ и $\nu=m+1$ точках отрезка $ [\beta, 1]$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
TA_{n}(\alpha_{n,m},m,\kappa_{n,m})=TA_{n}(\beta_{n,m},m,\kappa_{n,m})=(-1)^{m}L_{n,m}
\end{equation*}
\notag
$$
и при любом $x\in (\alpha_{n,m}, \beta_{n,m})$ выполнено неравенство (d) $TA_{n}(x,m,\kappa_{n,m})$ являются многочленами Золотарёва для пары отрезков $E_{n, m}=[-1,\alpha_{n,m}]\cup [\beta_{n,m}, 1]$ с нормой $L_{n,m}=||TA_{n}(x,m,\kappa_{n,m})||_{E_{n,m}}$, причем (e) Вне множества $E_{n,m}$ производная многочлена $TA_{n}(x,m,\kappa_{n,m})$ по переменной $x$ имеет единственный нуль $c_{n,m}$. Он лежит на отрезке $[\alpha_{n,m}, \beta_{n,m}]$ и
$$
\begin{equation}
c_{n,m}=\frac{\alpha_{n,m}+\beta_{n,m}}{2}-\tau_1^{(n,m)}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
(f) Пусть $F$ – многочлен степени $n$ по $x$ со старшим коэффициентом $1$ и со следующими свойствами: Тогда $F(x)=TA_{n}(x,m,\kappa_{n,m}).$ Приведенные формулы для $TA_n$ и $E_{n,m}$ предлагают параметризацию многочленов Золотарёва и их “носителей” в случае пары отрезков. Их можно использовать в нашем исследовании периодических траекторий. В качестве примера рассмотрим некоторый случай, когда траектории $3$-периодические. Аналогичные рассмотрения проходят для любых значений периода. Рассмотрим $3$-периодические траектории в случае трансверсального эллипса, когда выполнены неравенства $b<\nu<0<a<c$. Наша цель – построить аффинное преобразование
$$
\begin{equation*}
h(s)=\widehat ls+\widehat m\colon E_{3, m}=[-1,\alpha_{3,m}]\cup [\beta_{3,m}, 1]\to [c_0, c_1]\cup[c_2, c_3].
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого нужно определить $m$. Положим $Y=\operatorname{sn}(K/3)$. Мы вычислим $\operatorname{sn}(2K/3)$ двумя способами: первый способ – выразить $\operatorname{sn}(K-u)$ через $\operatorname{sn}(u), \operatorname{cn}(u), \operatorname{dn}(u)$; второй – выразить $\operatorname{sn}(2\cdot u)$ через $\operatorname{sn}(u), \operatorname{cn}(u), \operatorname{dn}(u)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sn}\biggl(\frac{2K}{3}\biggr) =\frac{\operatorname{cn}(K/3)}{\operatorname{dn}(K/3)},\qquad \operatorname{sn}\biggl(\frac{2K}{3}\biggr)=\frac{2\operatorname{sn}(K/3) \operatorname{cn}(K/3)\operatorname{dn}(K/3)} {1-\kappa^2\operatorname{sn}^4(K/3)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возводя в квадрат и используя формулы, выражающие $\operatorname{cn}^2(u)$ и $\operatorname{dn}^2(u)$ через $\operatorname{sn}(u)$ и $\kappa$, получаем
$$
\begin{equation*}
\kappa^2=\frac{2Y-1}{Y^3(2-Y)},\qquad \operatorname{sn}\biggl(\frac{2K}{3}\biggr)=Y(2-Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы хотим задать аффинное преобразование
$$
\begin{equation*}
h(s)=\widehat ls+\widehat m\colon E_{3, m}=[-1,\alpha_{3,m}]\cup [\beta_{3,m}, 1]\xrightarrow[]{} [c_0, c_1]\cup[c_2, c_3].
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенств $\widehat l+\widehat m=1/a$, $\widehat l\beta_{3,m}+\widehat m=1/b$ и $\widehat l\alpha_{3,m}+\widehat m=1/b$ получаем
$$
\begin{equation}
\frac{a-\beta_{3,m} c}{c(1-\beta_{3,m}}=\frac{a-\alpha_{3,m} b}{1-\alpha_{3,m}}.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Возможны два случая: (a) $m=1$; (b) $m=2$. (a) $m=1$. Тогда $\alpha_{3,1}=1-2Y^2$ и $\beta_{3,1}=-1+4Y-2Y^2$. Уравнение (5.6) дает равенство Используя, что $-\widehat l+\widehat m=1/\nu$, мы также получаем Однако равенства (5.7) и (5.8) несовместимы с уравнением на параметр каустики в $3$-периодическом случае
$$
\begin{equation}
3(abc)^2-2(abc)(ab+bc+ac)\nu+(4abc(a+b+c)-(ab+ac+bc)^2)\nu^2=0.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
(b) $m=2$. Тогда $\beta_{3,2}=1-2Y^2$ и $\alpha_{3,2}=1-4Y+2Y^2$. Уравнение (5.6) дает равенство Поскольку $\widehat l+\widehat m=1/\nu$, мы также видим, что Равенства (5.10) и (5.11) совместимы с уравнением каустики (5.9) в $3$-периодическом случае, которое в данной ситуации имеет вид где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P=(a-b)c-2b(c-a)Y+a(b-c)Y^2, \\ Q=a^2b^2(3c(a-b)+2(ab-2ac-bc)Y -a(b-c)Y^2), \\ R=(a-b+2bY-bY^2)^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы доказали следующий результат. Предложение 5.5. В $3$-периодическом случае для трансверсального эллипса, когда $b<\nu<0<a<c$, выполнены следующие соотношения, в которых $Y=\operatorname{sn}(K/3)$: Здесь знак $\sim$ означает, что многочлены равны с точностью до умножения на скаляр. График многочлена $\widehat p_3$ из предложения 5.5 показан на рис. 9, a. Многочлен на рис. 9, b не реализуется в рассматриваемом случае. Это контрастирует со случаем евклидовой плоскости, где ситуация прямо противоположная; см. [26]. 5.4. Периодические светоподобные траектории и многочлены Ахиезера на двух симметричных отрезкахПо определению на светоподобных траекториях скорость $v$ удовлетворяет условию $\langle{v},{v}\rangle=0$; каустика для них – это каустика на бесконечности $\mathcal{C}_\infty$. Как отмечалось в теореме 2.1, замкнутые светоподобные траектории могут иметь только четный период. Теперь мы можем скорректировать приведенные выше результаты применительно к ситуации светоподобных траекторий, рассмотрев пределы при $\nu \to \infty$. Предложение 5.6. Светоподобная траектория в воротниковом или трансверсальном $\mathcal{H}$-эллипсе является периодической с периодом $n=2m$, если и только если найдутся вещественные многочлены $\widehat{p}_n$ и $\widehat{q}_{n-2}$ степеней соответственно $n$ и $n-2$, удовлетворяющие уравнению Пелля Уравнение Пелля из этого предложения описывает экстремальные многочлены на паре отрезков $[0,1/c] \cup [1/b,1/a]$ или $[1/b,0]\cup[1/c,1/a]$ в случаях воротникового или трансверсального $\mathcal{H}$-эллипса соответственно. Каждый из них выражается суперпозициями с аффинным преобразованием $[c_1,c_2]\cup[c_3,c_4] \mapsto [-1,-\alpha]\cup[\alpha,1]$, где $0 < \alpha < 1$, некоторых многочленов четной степени, которые являются простейшим случаем многочленов Золотарёва, обсуждавшихся выше. В этой ситуации они называются многочленами Ахиезера, обозначаются через $A_{2m}$ и получаются из многочленов Чебышёва $T_m$ квадратичной заменой:
$$
\begin{equation}
A_{2m}(x;\alpha)=\frac{(1-\alpha^2)^m}{2^{2m-1}}T_m\biggl( \frac{2x^2-1-\alpha^2}{1-\alpha^2} \biggr).
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Мы проиллюстрируем эти идеи на примере светоподобных траекторий с периодом 4. Как отмечено в [37], в воротниковом $\mathcal{H}$-эллипсе светоподобная орбита с периодом 4 возможна, если $c=ab/(b-a)$ и $a<b<2a$; в трансверсальном $\mathcal{H}$-эллипсе такая орбита возможна, если $b=ac/(a-c)$. При указанных ограничениях на $a$, $b$, $c$ с помощью многочленов Золотарёва в каждом случае строится функциональное решение, зависящее только от двух параметров из числа $a$, $b$, $c$. Предложение 5.7. Рассмотрим светоподобную траекторию с периодом $4$ в воротниковом $\mathcal{H}$-эллипсе. Тогда многочлен $\widehat{p}_4$ с точностью до постоянного множителя имеет вид где $T_2(x)=2x^2-1$ и $x=2as-1$. Доказательство. Прежде всего нам нужно найти аффинное преобразование
$$
\begin{equation*}
g\colon [-1,-\alpha] \cup [\alpha,1] \mapsto \biggl[0,\frac1c\biggr]\cup\biggl[\frac1b,\frac1a\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $g(x)=Ax+B$, мы получаем Решая эту систему, получим $A=B=1/(2a)$. Подставляя две другие концевые точки, получаем уравнения
$$
\begin{equation*}
-A\alpha+B=g(-\alpha)=\frac{1}{c}, \qquad A\alpha+B=g(\alpha)=\frac{1}{b}.
\end{equation*}
\notag
$$
Решая их, получаем значения $\alpha={2a}/{b}-1$ и $\alpha=-{2a}/{c}+1$, которые совпадают, поскольку $c={ab}/(b-a)$. Положим $g^{-1}(s)$. Вычисление суперпозиции $g$ с учетом (5.12) завершает доказательство.
Предложение доказано. Такое же рассуждение в случае трансверсального $\mathcal{H}$-эллипса приводит к аналогичному результату. Предложение 5.8. Рассмотрим светоподобную траекторию с периодом $4$ в трансверсальном $\mathcal{H}$-эллипсе. Тогда многочлен $\widehat{p}_4$ с точностью до постоянного множителя имеет вид где $T_2(x)=2x^2-1$ и $x=(2acs-a)/(2c-a)$. 5.5. Вырожденные случаи и классические многочлены ЧебышёваВ этом пункте рассматриваются случаи, когда каустика $\mathcal{C}_{\nu}$ вырождена, к примеру, когда $a<\nu=b<c$. Мы найдем условия $2m$-периодичности соответствующих траекторий. Заметим, что, как показывают обсуждения в § 3, на таком множестве уровня всего две замкнутые траектории и обе они $2$-периодические. Однако в пределе при $\nu\to b$ число вращения может приближаться и к другому значению. В следующем предложении приводятся условия резонанса в таком пределе. Предложение 5.9. При $a<\nu=b<c$ траектория является периодической с периодом $n=2m$, если и только если найдутся вещественные многочлены $\widehat{p}_m(s)$ и $\widehat{q}_{m-1}(s)$ степеней соответственно $m$ и $m-1$ такие, что: (a) $\widehat{p}_m^{\,2}(s)-\biggl(s-\dfrac1a\biggr)\biggl(s-\dfrac1c\biggr) \widehat{q}_{m-1}^{\,2}(s)=1$; (b) $\widehat{q}_{m-1}\biggl(\dfrac1b\biggr)=0$. Условие (a) здесь – это стандартное уравнение Пелля, описывающее экстремальные многочлены на отрезке $[1/c,1/a]$, так что многочлены $\widehat{p}_m$ получаются суперпозицией многочленов Чебышёва с аффинным преобразованием $[1/c,1/a]\to[-1,1]$. Условие (b) задает дополнительное ограничение на параметры $a$, $b$ и $c$. Имеет место следующий результат. Предложение 5.10. Многочлены $\widehat {p}_m$ и параметры $a$, $b$, $c$ обладают следующими свойствами: (a) $\widehat{p}_m(s)=T_m\biggl(\dfrac{2ac}{c-a}\biggl(s-\dfrac{a+c}{2ac}\biggr)\biggr)$, где $T_m$ определен равенством (5.4); (b) $\widehat{q}_{m-1}(1/b)=0$ эквивалентно условию где Доказательство. Монотонно возрастающее аффинное отображение задается формулой $h(s)=\widehat ls+\widehat m$, где
$$
\begin{equation*}
\widehat m=\frac{a+c}{2ac}, \qquad \widehat l=\frac{c-a}{2ac}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим следствие 5.2. Внутренние точки экстремума многочленов Чебышёва $T_m$ степени $m$ на отрезке $[-1, 1]$ выражаются формулами
$$
\begin{equation*}
x_k=\cos \biggl(\frac{k}{m}\pi\biggr), \qquad k=1, \dots, m-1,
\end{equation*}
\notag
$$
в соответствии с (5.4). Утверждение (а) доказано.
Утверждение (b) следует из равенства $h^{-1}(1/b)=x_k$. Предложение доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DraGasRad22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|