| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Гензелевы алгебры с делением и приведенные унитарные группы Уайтхеда для внешних форм анизотропных алгебраических групп типа В. И. Янчевский Институт математики НАН Беларуси, г. Минск, Беларусь
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9660e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и формулировка основных результатовПусть $K$ – поле (для простоты бесконечное). Одним из первых важных примеров бесконечных проективно простых (т.е. без нецентральных простых подгрупп) групп, доставляемых линейной алгеброй, являются специальные линейные группы $\operatorname{SL}_n(K)$, $n>1$ (более общо, специальные линейные группы $\operatorname{SL}_n^+(D)$ над телами, см. [1], [2]). Эти группы возникают как ядра гомоморфизма определителя полной линейной группы $\operatorname{GL}_n(K)$ – группы невырожденных $K$-линейных автоморфизмов $n$-мерного $K$-векторного пространства $V_n(K)$. Они могут быть определены и как коммутанты $\operatorname{GL}_n(K)'$ групп $\operatorname{GL}_n(K)$ (ниже для произвольной группы $G$ $G'$ означает коммутант группы $G$). Другие примеры подобного рода получаются с помощью линейных классических групп. Например, предположим, что $\operatorname{char} K\neq2$ и пространство $V_n(K)$ обладает невырожденной билинейной знакопеременной формой $f\colon V_n(K)\times V_n(K)\to K$ (т.е. $f(v,w)=-f(w,v)$ для произвольной пары $v,w\in V_n(K)$). Пусть $\operatorname{Sp}_n(K)$ – симплектическая группа формы $f$ (см. [1]–[3]):
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sp}_n(K)=\bigl\{s\,{\in}\, \operatorname{GL}_n(K) \mid f(s(v),s(w))=f(v,w) \text{ для любой пары }v,w\,{\in}\, V_n(K)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда снова $\operatorname{Sp}_n(K)$ – проективно простая группа (см. [1; теорема 5.2]). Заметим, что $\operatorname{Sp}_n(K)=\operatorname{Sp}_n(K)'$ (следует из [1; теорема 5.1]). Оставляя в стороне другие примеры бесконечных проективно простых групп, связанных с классическими группами, отметим, что весьма полезным расширяющим спектр таких примеров явился переход к полупростым линейным алгебраическим группам, который привел к появлению новых содержательных гипотез и результатов (в особенности в арифметической теории алгебраических групп). Этот подход позволил выделить общие свойства, отражающие феномен проективной простоты. Все необходимые определения, ниже используемые в статье (такие, например, как определение односвязности, простоты, изотропности, параболических подгрупп и пр.), могут быть без труда найдены в монографиях [4]–[7]. Пусть $G$ – простая линейная алгебраическая группа, определенная над полем $K$, которое не предполагается алгебраически замкнутым, $G_K$ – группа $K$-рациональных точек группы $G$. Рассмотрим последовательно случаи, когда $G$ изотропна над $K$ и $G$ анизотропна. Напомним, что группа $G$ анизотропна, если у нее нет собственных параболических подгрупп, определенных над $K$. При этом параболическая подгруппа – это подгруппа, содержащая борелевскую подгруппу. Обозначим через $G_K^+$ нормальную подгруппу $G_K$, порожденную рациональными над $K$ элементами унипотентных радикалов $K$-определенных параболических подгрупп. В этой ситуации Ж. Титс установил следующий важный факт (1964 г.). Теорема 1 (см. [8]). Пусть $K$ содержит по меньшей мере четыре элемента. Тогда любая подгруппа в $G_K$, нормализуемая группой $G_K^+$, либо содержит $G_K^+$, либо центральна. В частности, $G_K^+$ проективно проста. Таким образом, возникает новый класс проективно простых групп. Естественно считать структуру группы $G_K$ известной, если $G_K=G_K^+$. Для специальных групп $G$ и многих полей $K$ этот факт был известен ко времени доказательства теоремы 1, в связи с чем следующее предположение казалось довольно естественно. Гипотеза (Кнезер–Титс). Для односвязной простой группы $G$, определенной и изотропной над полем $K$, $G_K^+=G_K$. Заметим, что гипотеза Кнезера–Титса очевидно справедлива в случае, когда поле $K$ алгебраически замкнуто. Отметим также, что Э. Картаном была установлена справедливость гипотезы в случае, когда $K=\mathbb{R}$, а $G$ – простая односвязная алгебраическая группа. Долгое время считалось, что гипотеза Кнезера–Титса справедлива в связи с подтверждением ее в ряде специальных случаев. Однако в 1975 г. В. П. Платонов показал в [9], что в общем случае гипотеза неверна. Последнее привело к определению Титсом групп Уайтхеда редуктивных алгебраических $K$-групп $W(K,G)=G_K/G_K^+$ (о дальнейшем развитии этой тематики см. [10], [11]). Пусть, по-прежнему, $G$ – односвязная $K$-определенная простая алгебраическая группа. Тогда $G$ принадлежит одному из следующих типов: $A_n$, $B_n$, $C_n$, $D_n$, $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$ и $G_2$. Среди групп этих типов наиболее интересными (и трудно поддающимися исследованию) являются группы типа $A_n$. В частности, группы $G_K$ $K$-рациональных точек односвязных групп этого типа исчерпываются следующими (см. [7; § 2.3, предложения 17 и 18]). 1) Внутренние формы: $\operatorname{SL}_m(D)=\{ a \in M_m(D) \colon \operatorname{Nrd}_{M_m(D)}(a)=1 \}$, где $M_m(D)$ – алгебра $(m \times m)$-$K$-матриц с элементами в центральной $K$-алгебре $D$ с делением индекса $d$, $\operatorname{Nrd}_{M_m(D)} \colon M_m(D) \to K$ – отображение приведенной нормы и $n=md-1$. 2) Внешние формы: $\operatorname{SU}_m(D, f)=\{ u \in U_m(D, f) \colon \operatorname{Nrd}_{M_m(D)}(u)=1 \}$, где $D$ – алгебра с делением индекса $d$, наделенная унитарной инволюцией $\tau$ (т.е. с нетривиальным ограничением на центре $D$), причем $K$ совпадает с полем $\tau$-инвариантных элементов центра $D$, $f$ – невырожденная $m$-мерная эрмитова форма, $U_m(D,f)$ – унитарная группа формы $f$ и $n=md-1$. Если группа $G$ – внутренняя форма типа $A_n$ и $K$-изотропна, то условие $K$-изотропности влечет $m\geqslant2$. Рассмотрим подгруппу $\operatorname{SL}_m^+(D)$ группы $G_K=\operatorname{SL}_m(D)$, порожденную трансвекциями, т.е. такими матрицами, которые в некотором базисе пространства $V_n(K)$ являются элементарными (см. [1]). Поскольку каждая элементарная матрица унипотентна (и даже больше, лежит в унипотентном радикале подходящей параболической группы), то $\operatorname{SL}_m^+(D)$ содержится в $G_K^+$. Более того, группа $\operatorname{SL}_m^+(D)$ нормальна в $\operatorname{GL}_m(D)$, поэтому по теореме 1 $G_K^+=\operatorname{SL}_m^+(D)$ и, значит, группа $G_K/G_K^+$ изоморфна $\operatorname{SL}_m(D)/\operatorname{SL}_m^+(D)$. Далее с помощью определителя Дьедонне (см. [1], [2]) заключаем, что группа $\operatorname{SL}_m(D)/\operatorname{SL}_m^+(D)$ изоморфна приведенной группе Уайтхеда $\operatorname{SK}_1(D)=\operatorname{SL}_1(D)/{D^*}'$ алгебры $D$. Если же $G$ – внешняя форма типа $A_n$, то $G\,{=}\operatorname{SU}_m(D,f)$ для подходящей невырожденной $m$-мерной эрмитовой формы над $D$ с инволюцией $\tau$, ограничение которой на центре $D$ нетривиально, а $K$ совпадает с подполем $\tau$-инвариантных элементов центра алгебры $D$. Условие $K$-изотропности $G$ означает изотропность формы $f$, и в этом случае группа $G_K^+$ совпадает с подгруппой $\operatorname{TU}_m(f)$, порожденной унитарными трансвекциями (см. [2]) и совпадает почти во всех случаях с коммутантом группы $U_m(D,f)$. Далее с помощью нормы Уолла (см. [2]) приходим к изоморфизму факторгруппы $\operatorname{SU}_m(D,f)/\operatorname{TU}_m(f)$ на приведенную унитарную группу Уайтхеда $\operatorname{SUK}_1(D)=\Sigma'/\Sigma$, где $\Sigma$ – подгруппа $D^*$, порожденная $\tau$-инвариантными элементами, а $\Sigma'$ состоит из элементов с $\tau$-инвариантными приведенными нормами. Эта группа называется приведенной унитарной группой Уайтхеда алгебры $D$ и на самом деле зависит только от ограничения $\tau|_K$. Детали можно найти в [12]. Имеется большое множество публикаций, посвященных вычислению этих групп (см. [9], [10], [12]–[29]). Заметим, что внутренние формы анизотропных групп типа $A_n$ связаны с группами $\operatorname{SK}_1(D)$. Что касается внешних форм анизотропных групп, то это всегда унитарные группы, связанные с анизотропными формами $f$. Наиболее важным в этой ситуации является первоначальное рассмотрение групп $\operatorname{SU}_1(D, f)/U_1(D, f)'$. Несмотря на то что первые работы по этой тематике относятся к началу 2000-х гг., изучение таких групп остается по-прежнему малоприступным и к настоящему времени известно лишь несколько разрозненных первоначальных результатов об этих группах. Поскольку такие группы будут играть в статье ключевую роль, то важным является следующее Определение 1. Группа называется специальной унитарной группой Уайтхеда анизотропной формы $f$ (по аналогии с приведенными изотропными группами Уайтхеда $\operatorname{SK}_1(D)$ и $\operatorname{SK}_1(D,\tau)$. 1. Для кватернионных алгебр с делением, обладающих унитарными инволюциями, Б. Сури в [30] получил явные формулы вычисления групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$. 2. В [31] Б. Сетураман и Б. Сури установили бесконечность группы $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ для специальных символ-алгебр $D$. 3. В [32] автор установил существование эпиморфизма группы $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ на группу $\operatorname{SUK}_1(D, \tau)$, что позволило в общем случае решить проблему нетривиальности группы $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ при условии нетривиальности групп $\operatorname{SUK}_1(D, \tau)$. Кроме того, ввиду этой связи легко выводится бесконечность группы $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ при бесконечных группах $\operatorname{SUK}_1(D, \tau)$. Поскольку в настоящее время отсутствуют какие-либо существенные результаты по проблеме проективной простоты внешних форм анизотропных групп типа $A_n$, то вычисление групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)$ следует рассматривать как важный шаг в накоплении информации для будущих исследований по этой проблеме. Отметим, что первые основные результаты, связанные с вычислением нетривиальных приведенных групп Уайтхеда, были получены в рамках класса гензелевых алгебр с делением и использовали идею редукции проблемы вычисления этих групп к определению некоторых специальных подгрупп мультипликативных групп их алгебр вычетов. Строение конечномерных общих гензелевых алгебр впервые было получено В. П. Платоновым и В. И. Янчевским в [33]–[35]. Завершенное и расширенное доказательство этих результатов можно найти в статье [36]. Целью работы является получение формул вычисления приведенных анизотропных унитарных групп Уайтхеда $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ для гензелевых алгебр $D$ с помощью упомянутой идеи редукции. Работа состоит из двух частей. В первой части мы устанавливаем ряд структурных результатов о строении гензелевых инволютивных алгебр с делением. Некоторые из этих результатов могут быть получены на языке градуированных алгебр (см. [23]). Мы, однако, предпочитаем оставаться в рамках гензелевой ситуации и, как нам кажется, уместно использование тут гензелевого языка. Во второй части полученные результаты используются при описании приведенных анизотропных унитарных групп Уайтхеда $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ для гензелевых алгебр $D$. Для формулировки результатов нам потребуются следующие определения. Далее $Z(R)$ – центр кольца $R$, $C_R(S)$ – централизатор подкольца $S$ в $R$. Если $S\subseteq Z(R)$, то $R$ называется $S$-алгеброй. Предполагается, что все кольца обладают единичными элементами и что $1_S=1_R$, если $S$ – подкольцо в $R$. Кроме того, при гомоморфизмах единичные элементы отображаются друг в друга. Ядра гомоморфизмов $f$ обозначаются через $\operatorname{Ker} (f)$. Через $R^*$ обозначается мультипликативная подгруппа кольца $R$. Если $a\in R^*$, то через $i_a$ будет обозначаться внутренний автоморфизм кольца $R$, задаваемый формулой $r^{i_a}=a^{-1} r a$ для произвольного $r\in R$. Иногда для удобства ссылок под $i_a$ будет пониматься автоморфизм, определяемый по формуле $r^{i_a}=a r a^{-1}$ для произвольного $r\in R$ (впрочем, из контекста всегда будет понятно, какая используется интерпретация). Для подалгебры $E$ алгебры с делением $D$ через $[D:E]$ обозначается размерность $D$ как левого векторного пространства над $E$. Повсюду ниже будет предполагаться, что все рассматриваемые алгебры конечномерны. Для поля $K$ и конечномерной центральной простой $K$-алгебры $A$ через $[A]$ обозначается ее класс $A$ в группе Брауэра $\operatorname{Br}(K)$. По теореме Ведербарна $A\cong M_n(D)$ для $K$-центральной алгебры $D$ с делением, где $M_n(D)$ – алгебра $(n\times n)$-матриц над $D$. Алгебра с делением $D$ определяется с точностью до $K$-изоморфизма и будет называться основой алгебры $A$. Мы будем писать для $K$-алгебр $A$ и $B$ $A\sim B$, если основы этих алгебр $K$-изоморфны По определению индекс $\operatorname{ind} A$ алгебры $A$ совпадает с $\sqrt{[D:K]}$, степень $\operatorname{deg} A=n\cdot \operatorname{ind} A$, а экспонента $\exp A$ алгебры $A$ есть порядок $[A]$ в $\operatorname{Br}(K)$. Кроме того, положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}(K)=\{D \colon D \text{ - центральная $K$-алгебра с делением}\} \quad\text{и }\ [D:K]<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого расширения полей $F/K$ и произвольного $D\in \mathcal{D}(K)$ через $D_F\in \mathcal{D}(F)$ будет обозначаться основа $F$-алгебры $D\otimes_K F$. Известно, что для $K\subset F\subset D$ $D_F\cong C_D(F)$. Обозначим через $\operatorname{Br}(F/K)$ ядро гомоморфизма расширения скаляров $\operatorname{Br}(F)\to \operatorname{Br}(K)$. Для любого подрасширения $L/K$ алгебры $D\in \mathcal{D}(K)$ имеет место следующая формула: $\operatorname{ind} D=\operatorname{ind} C_D(L) [L:K]^2$. Определение 2. Унитарной инволюцией алгебры $D\in \mathcal{D}(K)$ называется ее антиавтоморфизм $\tau$ второго порядка с нетривиальным ограничением на $K$. Для поля $k=\{a\in K \mid a^{\tau}=a\}$ $K$ является его квадратичным расширением Галуа. В этом случае $\tau$ называется $K/k$-инволюцией, а множество $K/k$-инволюций алгебры $D$ обозначается $\operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Пусть алгебра $D$ обладает унитарной инволюцией $\tau$ и $k=\{a\in K \mid a^{\tau}=a\}$. В этом случае пишут $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Пусть $\operatorname{Nrd}_D \colon D \to K$ обозначает отображение приведенной нормы алгебры $D$. Унитарной группой $U(D,\tau)$ алгебры $D$ (относительно $\tau$) называется группа $U(D,\tau)=\{d\in D^*\mid d^{\tau}d=1\}$, а специальной унитарной группой $\operatorname{SU}(D,\tau)$ – ее подгруппа $U(D,\tau)\cap \operatorname{SL}(D)$, где $\operatorname{SL}(D) :=\operatorname{SL}_1(D)$. Кроме того, для конечного расширения полей $L/K$ через $\operatorname{SL}(L/K)$ будет обозначаться группа $\{l\in L^*\mid N_{L/K}(l)=1\}$. Если еще расширение $L/K$ обладает автоморфизмом второго порядка $\tau$ таким, что $K^{\tau}=K$, то через $U(L,\tau)$ обозначается подгруппа $\{l\in L^* \mid l^{\tau}l=1\}$, а через $\operatorname{SU}(L,\tau)$ – подгруппа $U(L,\tau)\cap \operatorname{SL}(L/K)$. Нам также потребуются некоторые сведения об алгебрах с делением, обладающих нормированиями. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$. Нормированием $v$ на $D$ называется функция $v\colon D^* \to \Gamma$ (здесь $\Gamma$ – вполне упорядоченная абелева группа, записываемая аддитивно) со следующими свойствами: для всех $a,b\in D^*$ (i) $v(ab)=v(a)+v(b)$; (ii) $v(a+b)\geqslant \min(v(a),v(b))$, если $b\neq -a$. Для нормирования $v$ на $D$ определены: $\bullet$ кольцо нормирования $V_D=\{d\in D^*\mid v(d)\geqslant 0\}\cup \{0\}$; $\bullet$ идеал нормирования $M_D=\{d\in D^*\mid v(d)>0\}\cup \{0\}$ (единственный двусторонний максимальный идеал кольца $V_D$); $\bullet$ группа $v$-единиц $U_D=V_D\setminus M_D=V_D^*$ и ее подгруппа $1+M_{D}=\{1+m\mid m\in M_D\}$; $\bullet$ $V_K/ M_K$ – алгебра $\overline{D}=V_D/M_D$ нормирования $v$ и группа значений $\Gamma_D=v(D^*)$. Более общо, для произвольного подмножества $S \subset V_D$ через $\overline{S}$ будем обозначать совокупность образов элементов из $S$ при каноническом гомоморфизме (гомоморфизме редукции, гомоморфизме перехода к вычетам) из $V_D$ в $\overline{D}$. Так как $V_D^\tau=V_D$ и $M_D^\tau=M_D$, то вместе с инволюцией $\tau$ определена ее редукция $\overline{\tau} \colon \overline{D} \to \overline{D}$, при этом $(d+M_D)^{\overline{\tau}}=d^\tau+M_D$ для произвольного $d \in V_D$. Если $E$ – $K$-подалгебра $K$-алгебры $D$ с нормированием $(D,v)$, то ограничение $v|_E$ нормирования $v$ на $E^*$ – нормирование на $E$. В этом случае индекс ветвления алгебры $D$ над $E$ определяется как индекс $|\Gamma_D:\Gamma_E|$ подгруппы $\Gamma_E$ в $\Gamma_D$. Для произвольного $d\in D^*$ внутренний автоморфизм $i_d$ переводит $V_D$ в $V_D$ и $M_D$ в $M_D$; и потому $i_d$ индуцирует $\overline{K}$-автоморфизм $\overline{D}$, который при ограничении на $Z(\overline{D})$ дает $\overline{K}$-автоморфизм, обозначаемый ниже через $\overline{i_d}$. Окончательно, отображение $d\mapsto \overline{i_d}$ задает гомоморфизм $\alpha\colon D^*\to \operatorname{Gal}(Z(\overline{D})/ \overline{K})$. Для произвольного $u\in U_D$ автоморфизм $\overline{i_u}$ есть сопряжение с помощью $\overline{u}$, поэтому $u\in \operatorname{Ker}(\alpha)$. Кроме того, $K^*\subseteq \operatorname{Ker}(\alpha)$. Поскольку $D^*/U_DK^* \cong \Gamma_D/\Gamma_K$, отображение $\alpha$ индуцирует корректно определенный гомоморфизм $\theta_D\colon\Gamma_D/\Gamma_K \to \operatorname{Gal}(Z(\overline{D})/ \overline{K})$, задаваемый следующим образом: $\overline{v}(d)\mapsto \overline{i_d}$, где $\overline{v}(d)=v(d)+\Gamma_K$. Хорошо известно следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
[D:E]\geqslant [\overline{D}:\overline{E}]\cdot[\Gamma_D : \Gamma_E].
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
По теореме Островского–Драксла (см. [21]) имеет место соотношение $[D\,{:}\,K]\,{=} q^r[\overline{D}:\overline{K}]\cdot |\Gamma_D:\Gamma_K|$, где $q=\operatorname{char}(\overline{D})$, если $\operatorname{char}(\overline{D})\neq0$, и $q=1$ при $\operatorname{char}(\overline{D})=0$, а $r$ – неотрицательное целое число. Алгебра $D$ называется бездефектной над $K$ (относительно $v$), если $[D:K]<\infty$ и $[D:K]=[\overline{D}:\overline{K}]\cdot |\Gamma_D:\Gamma_K|$. Алгебра $D$ называется неразветвленной над $K$, если $[D:K]=[\overline{D}:\overline{K}]<\infty$ и $Z(\overline{D})$ сепарабельно над $\overline{K}$. Выражение “бездефектная (соответственно неразветвленная) алгебра $D$” будет означать “бездефектная (соответственно неразветвленная) алгебра над $Z(D)$”. Ясно, что в случае, когда $\operatorname{char}(\overline{D})=0$ либо $\operatorname{char}(\overline{D})\nmid [D:K]$, алгебра $D$ бездефектна. Алгебра $D\in \mathcal{D}(K)$ называется вполне разветвленной, если $[D:K]=[\Gamma_D :\Gamma_K]$. Наконец, алгебра $D/K$ называется непосредственной, если $[\overline{D}:\overline{K}]\cdot |\Gamma_D:\Gamma_K|=1$. Известно, что гомоморфизм редукции (перехода к вычетам) определяет эпиморфизм $\theta_D$ группы $\Gamma_D/\Gamma_K$ в группу $\overline{K}$-автоморфизмов центра $Z(\overline{D})$ алгебры вычетов $\overline{D}$ (см. [36]). С гомоморфизмом редукции и гомоморфизмом $\theta_D$ связан так называемый дефект редукции $\lambda_D$ $(\lambda_D=\operatorname{ind} D /\operatorname{ind} \overline{D} [Z(\overline{D}):\overline{K}])$. Ниже, допуская некоторую вольность, будем опускать индекс $D$ и писать вместо $\lambda_D$ просто $\lambda$. Напомним, что редукция называется ручной, если расширение $Z(\overline{D})/\overline{K}$ сепарабельно и $\operatorname{char} (\overline{K})$ не делит порядок $\operatorname{Ker} (\theta_D)$. Основной интерес для нас будут представлять слабо разветвленные алгебры. Определение 3. Пусть $K$ – гензелево поле и $D\in \mathcal{D}(K)$. Алгебра $D$ называется слабо разветвленной, если (i) $\operatorname{char}(\overline{K})=0$ или (ii) $\operatorname{char}(\overline{K})\neq 0$, $D$ бездефектна с ручной редукцией. Повсюду ниже множество слабо разветвленных над $K$ алгебр с делением обозначается через $\operatorname{TR}(K)$. Замечание 1. Из определения (см. также [36; лемма 6.1]) немедленно следует, что элементы из $\operatorname{Br}(K)$, представленные слабо разветвленными центральными $K$-алгебрами с делением, образуют подгруппу $\operatorname{Br}(K)$. Кроме того, если алгебра $A\in \operatorname{TR}(K)$ и $L/K$ – расширение поля $K$, то алгебра $A_L\in \operatorname{TR}(K)$. Важным является следующее свойство слабо разветвленных алгебр. Лемма 1. Пусть $D\in \operatorname{TR}(K)$ и $D=D_1\otimes_K D_2$, где $D_1$, $D_2$ – центральные $K$-алгебры взаимно простых индексов. Тогда алгебры $D_1,D_2\in \operatorname{TR}(K)$. Доказательство. Если $\operatorname{char} \overline{K}=0$, то результат немедленно следует из определения слабо разветвленных алгебр. Если же $\operatorname{char} \overline{K}\neq0$, то все следует из [36; лемма 6.1, (i)] и взаимной простоты индексов $D_1$ и $D_2$. Для $D\in \operatorname{TR}(K)$ индекс ветвления $D$ над $K$, определяемый как индекс группы $\Gamma_K$ в $\Gamma_D$, есть произведение верхнего индекса ветвления, совпадающего с $\lambda^2_D$, и нижнего, совпадающего с $[Z(\overline{D}):\overline{K}]$ (см. [33]). К случаю алгебры $D$ с унитарной инволюцией $\tau$ для гензелевого поля $k$ применимы все предыдущие обозначения, поскольку если поле $k$ обладает гензелевым нормированием $v_k$, то оно однозначно продолжается до нормирования $v_K$ поля $K$ и $v_D=v$ алгебры $D\in \mathcal{D}(K)$ по формуле: для произвольного $d\in D^*$ $v_D(d)=n^{-1} v_K(\operatorname{Nrd}_D(d))$, $n=\operatorname{ind} D$. Таким образом, $\operatorname{SL}(D)$ содержится в $U_D$, поэтому на $\operatorname{SL}(D)$ определен гомоморфизм редукции (см. [37]). Как уже упоминалось, вторая часть работы посвящена получению формул для вычисления групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$, в терминах подгрупп мультипликативной группы алгебры вычетов $\overline{D}^{\,*}$. Основное утверждение, связанное с вычислением групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$, формулируется в терминах следующих групп:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{SL}^v(D)=\bigl\{d \in \operatorname{SL}(D)\mid N_{Z(\overline{D})/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{d}))=1\bigr\}; \\ &\operatorname{SU}^v(D, \tau)=\bigl\{d \in \operatorname{SU}(D, \tau)\mid N_{Z(\overline{D})/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{d}))=1\bigr\}; \\ &\operatorname{SUK}_1^v(D, \tau)=\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)} / U(\overline{D}, \overline{\tau})'; \\ &E_{\lambda}=C_{\lambda}(\overline{K})\cap N_{Z(\overline{D})/\overline{K}}\circ \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D})^{\overline{\tau}-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{\lambda}(\overline{K})$ – группа корней степени $\lambda$ из $1$, принадлежащих полю $\overline{K}$. В конце работы мы рассматриваем несколько важных примеров вычисления групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ для специальных алгебр $D$, $\overline{D}$ и групп значений $\Gamma_D$. Следующее утверждение является основным при вычислении групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)$. Теорема 2. Пусть алгебра $D\in \operatorname{TR}(K)$, $\operatorname{char} \overline{k}\neq 2$ и $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$, причем $k$ гензелево. Тогда во введенных выше обозначениях имеет место следующая коммутативная диаграмма с точными столбцом и строками: где $E=((1+M_D) \cap \operatorname{SU}(D, \tau)) U(D, \tau)' / U(D, \tau)'$. Помимо этого, точны также последовательности Доказательство теоремы 2 содержится в § 6. Замечание 2. Возникающие в теореме точные последовательности связывают подгруппы группы $D^*$ и $\overline{D}^{\,*}$, реализуется с помощью гомоморфизма редукции, а гомоморфизмы, входящие в точные последовательности, также индуцируются этим гомоморфизмом и легко восстанавливаются из контекста, поэтому для краткости мы оставляем описание этих гомоморфизмов читателю. Таким образом, задача вычисления вышеупомянутых групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ редуцируется к вычислению подгрупп $\overline{D}^{\,*}$ и группы $E$, которая, очевидно, изоморфна группе $((1+M_D) \cap \operatorname{SU}(D, \tau))/(U(D, \tau)' \cap (1+M_D))$. Ясно, что последняя группа тривиальна, если $((1+M_D) \cap \operatorname{SU}(D, \tau)) \subset U(D, \tau)'$. Если последнее условие выполнено, то будем говорить, что для группы $\operatorname{SU}(D, \tau)$ справедлива конгруэнц-теорема или что группа $\operatorname{SU}(D,\tau)$ обладает конгруэнц-свойством. Замечание 3. Отметим, что аналогичные утверждения справедливы и для групп $\operatorname{SL}_m(D)$ и групп $\operatorname{SU}_m(D, f)$ изотропных форм $f$ (см. [22], [23]). Ниже справедливость конгруэнц-теоремы будет установлена для одномерных анизотропных форм $f$ при некоторых специальных необременительных предположениях. Более точно, важную роль в дальнейшем будут играть так называемые циклические инволюции, сопровожденные унитарными элементами (ср. с определением 5). Определение 4. Для циклического расширения $L/K$ степени $n$ с группой $\operatorname{Gal}(L/K)$ центральная $K$-алгебра $A$ называется циклической, связанной с расширением $L/K$, если содержит $L$ в качестве максимального подполя. В этом случае существует элемент $u\in A^*$ такой, что внутренний автоморфизм $i_u$ индуцирует на $L$ образующую $\sigma\in \operatorname{Gal}(L/K)$. Тогда $u^n$ содержится в $K$ и для алгебры $A$ обычно употребляется обозначение $(L,\sigma, a)$, где $a=u^n$. Для алгебры $A$ будет использоваться и другое обозначение: $\langle L, \sigma, u\rangle$. Определение 5. Унитарная $K/k$-инволюция $\tau$ алгебры $D\in \mathcal{D}(K)$ называется циклической (и обозначается $\tau_L$), если $D=\langle L, \sigma, u\rangle$, $L^{\tau}=L$ и $L_\tau=\{l\in L\mid l^{\tau}=l\}$ циклично над $k$. Циклическая инволюция $\tau_L$ называется инволюцией, сопровождаемой (или сопровожденной) унитарным элементом, если существует такой элемент $u \in U(D, \tau_L)$, что автоморфизм $\sigma$ совпадает с ограничением внутреннего автоморфизма $i_u$ на поле $L$. Ниже такая инволюция будет обозначаться через $\tau_L(u)$ и называться инволюцией вида $\tau_L(u)$. В этих обозначениях имеет место важная Теорема 3. Пусть $D\in \operatorname{TR}(K)$, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Тогда группа $\operatorname{SU}(D, \tau)$ обладает конгруэнц-свойством в следующих двух случаях: (i) $\overline{D}$ – поле; (ii) $\overline{D}$ не поле, $(\operatorname{ind} D, \operatorname{char} \overline{k})=1$ (если $\operatorname{char} \overline{k}>0$) и $\overline{\tau}$ сопровождена унитарным элементом. Доказательство см. в § 7. Оказывается, что класс инволюцией вида $\tau_L(u)$ достаточно широк. Так, например, будет показано, что среди циклических $K/k$-инволюций $\tau_L$ алгебры $D$ с фиксированным полем $L$ всегда существует инволюция вида $\tau_L(u)$. Кроме того, для всякой инволюции $\tau_L(u)$ мы получим условия ее “размножения”. Не всякая $K/k$-инволюция алгебры $D$ имеет вид $\tau_L(u)$ (и даже циклична, см. [38]). Однако всегда существует регулярное центральное расширение $N$ центра $K$ такое, что инволюция $\tau$ продолжается до унитарной инволюции $\tau_E(v)$ для подходящих поля $E\subset D\otimes_K N$ и элемента $v\in U(D\otimes_K N, \tau_E(v))$. Напомним следующее определение. Определение 6. Пусть $\varepsilon_n$ – примитивный корень из 1 степени $n$ в поле $K$. Для любых $a,b\in K^*$ обозначим через $A(a, b; K, \varepsilon_n)$ $K$-алгебру с образующими $i$, $j$ и соотношениями $i^n=a$, $j^n=b$, $i j=\varepsilon_n j i$. Традиционно такие алгебры называются символ-алгебрами. При доказательстве основного результата мы будем пользоваться следующим инволютивным аналогом (теорема 9) одной теоремы П. Драксла (см. [21]). Пусть $K/k$ – слабо разветвленное расширение, алгебра $D\in \operatorname{TR}(K)$ и вполне разветвлена $(D\neq K)$, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Тогда для некоторого натурального $r$ алгебра $D=D_1 \otimes_K \dots \otimes_K D_r$, где $D_i$ – подходящее тензорное произведение $\tau$-инвариантных символ-алгебр $A(a_{ij}, b_{ij}, K,\varepsilon_{p_i^{\alpha_j}})$, экспоненты которых равны их индексам ($1\leqslant i\leqslant r$, $j\in \mathbb{Z}$), а соответствующие канонические образующие $\tau$-инвариантны, $p_i$ – простые делители индекса $\operatorname{ind} D$. В частности, алгебра $D$ есть произведение своих $\tau$-инвариантных примарных компонент. Автор посвящает эту статью памяти академика А. Н. Паршина. § 2. Унитарные инволюции алгебр с делениемЦелью этого параграфа является описание специальных унитарных инволюций алгебр с делением $D$. Для всякого $N\subset D$ и отображения $\mu\colon N \to N$ пусть $N_{\mu}=\{n\in N\mid n^{\mu}=n\}$. В частности, $S_\tau(D)=\{ s\in D\mid s^{\tau}=s\}$. Критерий непустоты множества $\operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ состоит в следующем: множество $\operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ является непустым в том и только в том случае, если класс алгебры $D$ в группе Брауэра поля $K$ принадлежит ядру гомоморфизма коограничения $\operatorname{cor}_{K/k} \colon \operatorname{Br}(K) \to \operatorname{Br}(k)$. Если $\operatorname{Inv}_{K/k}(D) \neq \varnothing$ и $\tau \in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$, то все остальные элементы $\mu \in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ имеют вид $\mu=\tau i_{s_\mu}$ для $s_\mu \in S_\mu(D)$. Из предыдущего критерия легко выводится необходимое и достаточное условие существования $K/k$-инволюций в специальных циклических алгебрах. Теорема 4 (см. [39; Алберт]). Пусть $K/k $ – квадратичное сепарабельное расширение с нетривиальным $k$-автоморфизмом $\tau$, $E/k$ – циклическое расширение Галуа, линейно разделенное с $K$ над $k$, и $L=E\otimes_k K$. Тогда алгебра $A=(L, \sigma, a)$ $(\langle\sigma\rangle=\operatorname{Gal}(L/K))$ обладает $K/k$-инволюцией, продолжающей $\mathrm{id}\otimes \tau$, в том и только том случае, если алгебра $(E/k, \langle\sigma|_E \rangle, a a^{\tau})$ – тривиальная $k$-алгебра (т.е. $aa^{\tau}\in N_{E/k}(E^*)$). Полезным оказывается также следующее утверждение. Теорема 5 (см. [40; Кнезер]). Пусть $D \in \mathcal{D}(K)$, $\tau \in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ и $A$ – $K$-подалгебра с унитарной инволюцией $\mu_A$, для которой $\mu_A|_K=\tau|_K$. Тогда существует инволюция $\mu \in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ такая, что $\mu|_A=\mu_A|_A$. В дальнейшем важную роль будет играть один специальный класс циклических $K/k$-инволюций. Важность класса циклических инволюций объясняется следующим утверждением, установленным Б. Сури. Лемма 2. Пусть $D \in \mathcal{D}(K)$ – алгебра простого нечетного индекса с инволюцией $\tau$, $d \in \operatorname{SU}(D, \tau)$ и $d \notin K$. Тогда если $\tau=\tau_{K(d)}$, то $d=y a y^{-1} a^{-1}$ для некоторого $y \in D^*$ и $a \in U(D, \tau) \cap K(d)$. Замечание 4. Для циклических инволюций $\tau_L$ при нечетном $\operatorname{ind} D$ обозначим через $\delta$ образующую группы Галуа $\operatorname{Gal}(L/k)$ и положим $\sigma=\delta^2$. Ясно, что $\sigma$ – образующая группы Галуа $L/K$, а $\sigma|_{L_{\tau}}$ – образующая $\operatorname{Gal}(L_\tau/k)$. Замечание 5. Алгебры с циклическими инволюциями существуют. Действительно, пусть $L/k$ – циклическое расширение степени $2 n$ с нечетным $n$, большим $1$, и образующей группы Галуа $\mu$. Положим $\tau$ равным $\mu^n$ и $\sigma$ равным $\mu^2$. Предположим, что элемент $a \in K$, $a,a^2,\dots,a^{n-1}\notin N_{L/K}(L^*)$ и $a a^{\tau}\in N_{L_{\tau}/k}$. Тогда $D=(L, \sigma, a)$ – алгебра с делением, обладающая унитарной $K/k$-инволюцией. Кроме того, по теореме 5 $K/k$-инволюция $\tau$ поля $L$ продолжается до циклической инволюции $\tau_L$ алгебры $D$. Лемма 3. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$ – алгебра нечетного индекса $n$ с циклической инволюцией $\tau_L$. Тогда существует элемент $u \in D$ такой, что $u|_L$ является образующей группы $\operatorname{Gal}(L/K)$ и $u^{\operatorname{ind} D} \in U(K, \tau_L|_K)$. Доказательство. Ввиду существования инволюции $\tau_L$, алгебра $D$ представляется в виде $D=(L, \sigma, a)$. Тогда $D=(L,\sigma^2, a^2)$ ввиду нечетности числа $n$. Поскольку $D$ обладает унитарной $K/k$-инволюцией, то имеют место следующие соотношения (см. теорему 4): где $\chi \in L_\tau$. Обозначим через $b$ норму $N_{L_\tau/k}(\chi)$. Тогда Таким образом, элемент $a^2 b^{-1}$ унитарен и $D=(L, \sigma^2, a^2)=(L, \sigma^2, a^2 b^{-1})$, поскольку $b=N_{L_\tau/k}(\chi)=N_{L/K}(\chi)$. Из последнего представления для алгебры $D$ вытекает существование элемента $u$ такого, что $u^n=a^2 b^{-1} \in U(K, \tau)$ и ограничение $i_u$ на поле $L$ совпадает с $\sigma$. Лемма доказана. В связи с леммой 3 возникает вопрос: может ли элемент $u$ быть выбран всегда в группе $U(D, \tau_L)$? Это приводит к рассмотрению инволюций вида $\tau_L(u)$, где $u\in U(D,\tau_L)$ (см. определение 5). Отметим, что существование инволюции вида $\tau_L(u)$ не зависит от выбора образующей группы $\operatorname{Gal}(L/K)$. Так как циклические инволюции $\tau_L(u)$ будут играть ниже важную роль, приведем критерий существования инволюций $\mu_L(u)$ при фиксированной циклической инволюции $\tau_L$. Лемма 4. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$ – циклическая алгебра $(L,\sigma, \gamma)$ с циклической инволюцией $\tau=\tau_L$ и элемент $\Gamma\in D$ обладает свойством $i_{\Gamma}|_{L}=\sigma$, $\Gamma^{\operatorname{ind} D}=\gamma$. Тогда алгебра $D$ обладает циклической $K/k$-инволюцией $\mu_L$ вида $\mu_L(u)$ с тем же ограничением на $L$, что и $\tau$, в том и только том случае, если $\mu_L=\tau i_a$, $a\in L_{\tau}$, причем выполнено условие, что для подходящего $l\in L^*$ Доказательство. Положим $\chi_{\Gamma}=\Gamma\Gamma^{\tau}$ и покажем, что $\chi_{\Gamma}\in L_{\tau}$. Обозначим через $x$ примитивный элемент $L_{\tau}$ над $k$. Тогда по условию леммы $\Gamma^{-1}x\Gamma=x^{\sigma}$. Применяя к обеим частям этого равенства $\tau$, получим $\Gamma^{\tau}x^{\tau}\Gamma^{-\tau}=x^{\sigma\tau}=x^{\sigma}$. Заметим, что ввиду перестановочности $\sigma$ и $\tau$ и неподвижности $x$ при действии $\tau$ из последней цепочки равенств извлекается следующее соотношение: $\Gamma^{\tau}x\Gamma^{-\tau}\,{=}\,x^{\sigma}$. С учетом предыдущего получаем $\Gamma\Gamma^{\tau}x(\Gamma\Gamma^{\tau})^{-1}=x$, что влечет $\Gamma\Gamma^{\tau}=\chi_{\Gamma}\in L$, а так как элемент $\Gamma\Gamma^{\tau}$ неподвижен при действии $\tau$, то $\chi_{\Gamma}\in L_{\tau}$. Ясно, что $\Gamma^{\tau}=\Gamma^{-1}\chi_{\Gamma}$. Ввиду $\Gamma^{\tau}=\Gamma^{-1}\chi_{\Gamma}$ равенство (2.1) может быть переписано в следующем эквивалентном виде: $a^{-\sigma^{-1}}a\,{=}\,\chi_{\Gamma}^{-1}N_{L/L_{\tau}}(l^{-1})$. Пусть $\mu_L\,{=}\,\tau i_a$ (заметим, что ограничение $i_{l\Gamma}$ на $L$ совпадает с $\sigma|_L$). Ввиду соотношения $\Gamma^{\tau}\,{=}\,\Gamma^{-1}\chi_{\Gamma}$ и равенства $a^{-\sigma^{-1}}a\,{=}\,\chi_{\Gamma}^{-1}N_{L/L_{\tau}}(l^{-1})$ будем иметь $la^{-\sigma^{-1}}a\chi_{\Gamma} l^{\tau}\,{=}\,1$. Далее заметим, что $la^{-\sigma^{-1}}a\chi_{\Gamma} l^{\tau}{=}\,l\Gamma a^{-1}\Gamma^{-1} a\chi_{\Gamma} l^{\tau}{=}\,(l\Gamma)a^{-1}\Gamma^{-1} \chi_{\Gamma} a l^{\tau}$. Поскольку $\Gamma\Gamma^{\tau}{=}\,\chi_{\Gamma}$, то предыдущее выражение может быть переписано в виде $(l\Gamma)a^{-1}\Gamma^{\tau} a l^{\tau}$, что совпадает с произведением $l\Gamma (l\Gamma)^{\mu_L}$. Так как мы исходили из равенства $la^{-\sigma^{-1}}a\chi_{\Gamma} l^{\tau}\,{=}\,1$, то предыдущие вычисления показывают, что $l\Gamma \in U(D,\mu_L)$, т.е. инволюция $\mu_L$ имеет вид $\mu_L(l\Gamma)$. Обратно, пусть алгебра $D$ обладает инволюцией $\mu_L(u)$, где $\mu_L$ – циклическая $K/k$-инволюция с ограничением $\mu_L$ на $L$ совпадающим с $\tau|_L$, а $u\in U(D, \mu_L)$. Ясно, что $\mu_L=\tau i_a$ для подходящего $a\in L_{\tau}$. Далее, ввиду совпадения ограничений $\tau$ и $\mu_L$ на $L$ можно считать, что $a^{\mu_L}=l \Gamma$ для некоторого $l\in L$. В этих обозначениях, так как $a^{\mu_L}=a$, элемент $l\Gamma$ удовлетворяет соотношению $(l\Gamma)(l\Gamma)^{\mu_L}=1$. Для левой части последнего равенства будем иметь $(l\Gamma)(l\Gamma)^{\mu_L}=(l\Gamma)a^{-1}(l\Gamma)^{\tau} a=(l\Gamma)a^{-1}\Gamma^{\tau}l^{\tau}a=(l\Gamma)a^{-1}\Gamma^{\tau}a l^{\tau}$. С учетом $\Gamma^{\tau}=\Gamma^{-1}\chi_{\Gamma}$ имеем далее $(l\Gamma)a^{-1}\Gamma^{-1}\chi_{\Gamma} a l^{\tau}$, т.е. $l (\Gamma a^{-1}\Gamma^{-1}) a \chi_{\Gamma} l^{\tau}=l a^{-\sigma^{-1}} a \chi_{\Gamma} l^{\tau}$. Возвращаясь к равенству $(l\Gamma)(l\Gamma)^{\mu_L}=1$, заключаем, что $a^{-\sigma^{-1}} a \chi_{\Gamma}=l^{-1}l^{-\tau}$. Таким образом, $a^{-\sigma^{-1}}a=\chi_{\Gamma}^{-1} N_{L/L_{\tau}}(l^{-1})$. Лемма доказана. Оказывается, что всякая инволюция $\tau_L(v)$ порождает целый класс подобных себе инволюций. Предложение 1. Если $\tau=\tau_L(v)$, то $\tau i_{g^{-\tau} g^{-1}}=\tau_{g L g^{-1}}(g v g^{-1})$, где $g \in D^*$. Доказательство. Заметим сначала, что поле $g L g^{-1}$ является $\tau i_{g^{-\tau} g^{-1}}$-инвариантным. Действительно, ввиду $\tau$-инвариантности поля $L$ имеем Кроме того, $g v g^{-1} \in U(D, \tau i_{g^{-\tau}g^{-1} })$, поскольку $v \in U(D, \tau)$ и
$$
\begin{equation*}
(g v g^{-1})^{\tau i_{g^{-\tau}g^{-1}}} =g g^\tau g^{-\tau} v^{-1} g^\tau g^{-\tau} g^{-1}=(g v g^{-1})^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду условия предложения для произвольного $l\in L$ имеем $v^{-1}l v=l^{\sigma}$. Перенос образующей $\sigma$ на расширение $gLg^{-1}$ приводит к образующей $\widetilde{\sigma}$ группы Галуа $\operatorname{Gal}(gLg^{-1}/K)$, переводящей произвольный элемент $glg^{-1}\in \operatorname{Gal}(gLg^{-1}/K)$ в элемент $gl^{\sigma}g^{-1}$. Таким образом, для завершения доказательства предложения достаточно показать, что $(gvg^{-1})^{-1}(glg^{-1})(gvg^{-1})=(glg^{-1})^{\widetilde{\sigma}}$. Предложение доказано. Предложение 2. Зафиксируем инволюцию $\tau=\tau_L$ вида $\tau_L(u)$. Пусть $\mu\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ такая, что $\mu|_L=\tau_L(u)|_L$. Ясно, что $\mu=\tau_L(u) i_a$, где $a \in L_\tau$. Тогда если индекс $D$ нечетен, то циклическая инволюция $\mu$ имеет вид $\tau_L(v)$ тогда и только тогда, когда $a=c b^\tau b$ для подходящих $c \in k$ и $b \in L$. Доказательство. Действительно, если искомый $v$ существует, то ввиду совпадения ограничений $i_v|_L$ и $ i_u|_L$ элемент $v$ имеет вид $u z$, где $z \in L$. Поскольку $v \in U(D, \mu)$, то $(u z)^{\tau i_a}=z^{-1} u^{-1}$, $a^{-1} z^\tau u^\tau a=z^{-1} u^{-1}$, поскольку $a, z\in L$, то $a^{-1}z^\tau u^{\tau} a=z^{\tau}a^{-1} u^{-1}a=z^{-1} u^{-1}$, что влечет $z^\tau z=u^{-1} a^{-1} u a=a^{-\sigma} a=(a^{-1})^{\sigma}(a^{-1})^{-1}$. Применим отображение $N_{L/K}$ к обеим частям последнего равенства и получим, что $ N_{L/K}(z) N_{L/K}(z)^\tau=1$. Стало быть, по теореме Гильберта 90$z=t^{\theta-1}$, где $\theta$ – образующая группы $\operatorname{Gal}(L/k)$ и $b \in L$. Можно считать, что $\theta=\sigma \tau$. Тогда $(t^{\theta-1}) (t^{\theta-1})^\tau=(t^{\sigma\tau} t^{-1})(t^{\sigma} t^{-\tau}) =(t^{\tau+1})^{\sigma}(t^{\tau+1})^{-1}=(a^{-1})^{\sigma}(a^{-1})^{-1}$. Откуда следует, что $(a t^{\tau+1})^{\sigma} (at^{\tau+1})^{-1}=1$, что влечет $at^{\tau+1}=c\in K$. Поскольку $a$ и $t^{\tau+1}\in L_{\tau}^*$, то $c\in k$. Положив $b=t^{-1}$, получим, что $a=c b b^{\tau}$. Обратно, пусть $a=c b^\tau b$, где $c \in k$ и $b \in L$. Тогда $\tau i_a=\tau i_{c b^\tau b }=\tau i_{b b^\tau}$, и потому $\tau i_{b b^\tau}$ имеет вид $\tau_{b L b^{-1}} (b u b^{-1})$ ввиду предыдущего предложения. Поскольку $b \in L$, то $b L b^{-1}=L$ и $\tau i_a$ имеет вид $\tau_L(v)$, где $v=b u b^{-1}$. Предложение доказано. Следующее предложение – адаптированный вариант одного наблюдения Б. Сури. Предложение 3. Пусть $\tau_L$ – циклическая инволюция алгебры $D\in \mathcal{D}(K)$ нечетного индекса $(\operatorname{char} k\neq2)$. Если инволюция $\tau_L$ имеет вид $\tau_L(u)$, то $(\operatorname{SU}(D, \tau) \cap (L\setminus K) )\subset U(D, \tau)'$. Доказательство. Рассмотрим поле $K(d)$, где элемент $d\,{\in}\operatorname{SU}(D, \tau) \cap (L \setminus K)$. Тогда $\operatorname{Nrd}_D(d)=N_{L/K}(d)=1$. По теореме Гильберта 90 для некоторого $b \in L$ и $\sigma=i_u|_L$. Поскольку группа $\operatorname{Gal}(L/k)$ абелева, то $\sigma$ коммутирует с $\tau$, поэтому $b^{-\sigma} b=d^{-1}=d^\tau=(b^\sigma b^{-1})^\tau=(b^\tau)^\sigma (b^\tau)^{-1}$. Откуда следует, что $(bb^\tau)^\sigma=bb^\tau$, т.е. $bb^\tau \in K$. Ввиду $\tau$-инвариантности элемента $bb^\tau$ получаем, что $bb^\tau=\lambda \in k$, иначе говоря $\lambda=l_1^2-\alpha l_2^2$ для подходящих $l_1,l_2\in L_{\tau}$. Кроме того, поскольку циклическая $K$-алгебра $(K,\tau|_K, \lambda)$ является матричной алгеброй над $K$, то квадратичная форма $x^2-\alpha y^2$ изотропна над $K$, т.е. существуют $t_1,t_2\in K$ такие, что $t_1^2-\alpha t_2^2=\lambda$. Тогда нетрудно видеть, что для $t=t_1+\sqrt{\alpha} t_2$ $b t^{-1}\in U(1, L)$. Поскольку автоморфизм $\sigma$ индуцируется ограничением внутреннего автоморфизма унитарного элемента $u$, то $d=u^{-1} (bt^{-1}) u (bt^{-1})^{-1}$, что влечет $d\in U(D,\tau)'$. Предложение доказано. Докажем утверждение, устанавливающее для алгебры с делением с унитарной инволюцией $\tau$ существование регулярного расширения ее центра такого, что полученная алгебра с делением обладает унитарной инволюцией, являющейся продолжением инволюции $\tau$ исходной алгебры и имеющей специальный вид. Теорема 6. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$, $\tau \in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ и $\operatorname{char} k \neq 2$. Тогда существуют регулярное расширение $N/K$ и продолжение $\tau$ до инволюции $\widetilde{\tau}$ алгебры $D_N=D \otimes_K N$ такие, что: 1) $D_N$ – циклическая алгебра с делением; 2) $\widetilde{\tau}$ имеет вид $\tau_L(u)$ для подходящих $L\subset D_N$ и $u\in U(D_N, \widetilde{\tau})$. Доказательство. Пусть $n=\operatorname{ind} D$. Ввиду [41; лемма 2.9] существует башня расширений $k \subset R \subset T$ такая, что $T/k$ – конечно порожденное чисто трансцендентное расширение, $T/R$ – циклическое расширение Галуа степени $n$. Положим $F=K R$ и $E=K T$, и пусть $A=(E(w)/F(w), \sigma, w)$ – циклическая $F(w)$-алгебра, где $\sigma$ – образующая группы Галуа расширения $E(z)/F(z)$, $z$ – трансцендентная над $F$ переменная и $w=(1+z\sqrt{\alpha})/(1-z\sqrt{\alpha})$. Нетрудно видеть, что экспонента и индекс этой алгебры равны $n$. Поскольку $F(z)=F(w)$, то алгебру $A$ можно представить в следующем виде: $(E(z)/F(z), \sigma, w)$. Далее заметим, что $A \sim A \otimes_{F(z)} D^{\mathrm{op}}_{F(z)} \otimes_{F(z)} D_{F(z)}$, где алгебра $D^{\mathrm{op}}_{F(z)}$ антиизоморфна алгебре $D_{F(z)}$. Пусть $M$ – поле функций многообразия Севери–Брауэра $\operatorname{SB}(A \otimes_{F(z)} D^{\mathrm{op}}_{K(z)})$. Тогда $A \otimes_{F(z)} M{\sim}\, D_{F(z)} \otimes_{F(z)} M$. Поскольку $\operatorname{deg}(A \otimes_{F(z)} M)\,{=}\operatorname{deg}(D_{F(z)} \otimes_{F(z)} M)$, то $A \otimes_{F(z)} M \cong D_{F(z)} \otimes_{F(z)} M$. Далее, пусть $\mu=\tau|_K$. Тогда автоморфизм $\mu$ может быть продолжен до изоморфизма $M$ и другого регулярного расширения $K$, обозначенного нами через $M_\mu$. Следовательно, имеет место следующая коммутативная диаграмма: Обозначим через $N$ свободный композит $MM_{\mu}$ полей $M$ и $M_\mu$ над $K$, а через $\widetilde{\mu}$ – естественное продолжение автоморфизма $\mu$ на поле $N$. Пусть $Q=T_{K/k}(N)$ – перенос поля $N$ относительно ограничения скаляров $K/k$ (т.е. $Q$ является подполем инвариантных элементов в $N$ относительно $\widetilde{\mu}$). Поскольку расширение $N/K$ регулярно (см. [42]), то алгебра $D_N$ имеет тот же индекс и экспоненту, что и алгебра $D_M$, причем $D_N$ – циклическая алгебра с унитарной инволюцией $\widetilde{\tau}$, определяемой следующим образом: где $d \in D$ и $n \in N$. Таким образом, $\widetilde{\tau}$ является продолжением инволюции $\tau$ на алгебру $D_N$. Заметим, что инволюция $\widetilde{\tau}$ имеет вид $\tau_L(u)$, поскольку в $D_N$ есть циклическое расширение $(E(z)N)/F(z)N$ и элемент $w$ такой, что $\sigma=i_w$ и $w^{\widetilde{\tau}}=w^{-1}$. Теорема доказана.В заключение приведем лемму, часто редуцирующую доказательства утверждений об инволюциях $\tau_L(u)$ к случаю алгебр примарных индексов. Лемма 5. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$ и $\tau_L(u)\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Предположим, что $p_1^{\alpha_1}\dotsb p_s^{\alpha_s}$ – разложение числа $\operatorname{ind} D$ на взаимно простые примарные делители. Тогда алгебра $D$ является тензорным произведением над $K$ алгебр $D_1, \dots, D_s$, где каждая алгебра $D_i$ имеет примарный индекс $p_i^{\alpha_i}$ и может быть представлена в виде $\langle L_i, u^{\operatorname{ind} D / p_i^{\alpha_i}}\rangle$, где $L_i$ – расширение поля $K$, возникающее из $p_i^{\alpha_i}$-части расширения $L_{\tau}/k$. В частности, алгебру $D$ можно представить в виде $D=D_i \otimes_K T_i$, где Доказательство леммы является прямым вычислением, вытекающим из вида алгебры $D$ и инволюции $\tau_L(u)$. Заметим также, что алгебры $D_i$ $\tau_{L_i}( u^{\operatorname{ind} D / p_i^{\alpha_i}})$-инвариантны. § 3. Гензелевы конечномерные центральные алгебры с делениемНиже нам потребуются следующие обозначения и факты о конечномерных центральных простых алгебрах над гензелевыми полями. Часто в дальнейшем оказывается полезной следующая известная Теорема 7 (Сколема–Нётер). Пусть $D \in \mathcal{D}(K)$, $A$ и $B$ – $K$-изоморфные $K$-подалгебры алгебры $D$. Тогда существует внутренний автоморфизм алгебры $D$, продолжающий $K$-автоморфизм алгебр $A$ и $B$. Ниже мы часто будем использовать следующее утверждение из [36]. Теорема 8. Пусть $F$, как и выше, – гензелево поле, $D$ – алгебра с делением над $F$. Если $\widetilde{E}$ – $\overline{F}$-подалгебра алгебры $\overline{D}$ и расширение $Z(\widetilde{E})/\overline{F}$ сепарабельно, то $D$ содержит неразветвленный подъем алгебры $\widetilde{E}/\overline{F}$ (т.е. $D$ содержит $F$-подалгебру $E$, не разветвленную над $F$, с алгеброй вычетов $\widetilde{E}$). Важным в дальнейшем является понятие алгебры инерции. Определение 7. Пусть алгебра $D \in \mathcal{D}(F)$ и $Z(\overline{D})/\overline{F}$ – сепарабельное расширение. Тогда неразветвленный подъем расширения $\overline{D}/\overline{F}$ называется алгеброй инерции алгебры $D$. Обратимся к случаю слабо разветвленных алгебр. Ясно, что определение слабой разветвленности – обобщение аналогичного определения для расширения полей. Нетрудно видеть, что всякая слабо разветвленная центральная алгебра с делением $D$ обладает максимальным слабо разветвленным подполем. Из последнего несложно получается следующее Предложение 4. Пусть алгебра $D\,{\in}\operatorname{TR}(K)$. Тогда $\operatorname{Nrd}_D(1\,{+}\,M_D)\,{=}\,1\,{+}\,M_K$. Кроме того, $(1+M_K)^m=(1+M_K)$, если $\operatorname{char}(\overline{K})=0$ либо $m$ взаимно просто с $\operatorname{char}(\overline{K})$ в случае $\operatorname{char}(\overline{K})\neq0$. Вычеты (редукции) приведенных норм элементов из $V_D$ в слабо разветвленных алгебрах вычисляются следующим образом. Предложение 5. Пусть $d\in V_D$. Тогда $\overline{\operatorname{Nrd}_D(d)} =N_{Z(\overline{D})/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(d))^\lambda$. Лемма 6. Пусть $E$ – слабо разветвленное расширение поля $F$. Тогда $\operatorname{Ker}(N_{E/F})|_{(1+M_E)}=(1+M_E)^{\tau-1}$, где $\langle\tau\rangle=\operatorname{Gal}(E/F)$. Доказательство. По теореме Гильберта 90 для любого $a\in \operatorname{Ker}(N_{E/F})(E^*)$ $a=b^{\tau-1}$, где $b=t^{\alpha}u$, $u\in U_E$, $\alpha\in \mathbb{Z}$, а $v(t)+\Gamma_F$ – образующая группы $\Gamma_E/\Gamma_F$. Заметим, что в качестве элемента $t$ можно взять либо $1$, либо $\sqrt{f}$, где $f$ – подходящий элемент из $F$ такой, что $v(f)\in \Gamma_E\setminus \Gamma_F$. В случае $t=1$ будем иметь $\overline{a}=\overline{u}^{\,\overline{\tau}-1}$, т.е. $\overline{u}^{\,\overline{\tau}-1}=1$. Значит, $\overline{u}\in \overline{F}^*$ и потому $u=c(1+m)$, где $c\in F^*$ и $m\in M_F$. Откуда следует, что $a\in (1+M_E)^{\tau-1}$. Остается рассмотреть случай слабо вполне разветвленного расширения $E/F$. В этом случае $(\sqrt{f})^{\tau}=-\sqrt{f}$. Тогда при нечетном $\alpha$ $a=-1(1+m)^{\tau-1}$, где $m\in M_E$, но характеристика $\operatorname{char} \overline{F}\neq 2$ и потому $\overline{a}\neq 1$. Таким образом, $\alpha\in 2\mathbb{Z}$, что редуцирует этот случай к случаю $t=1$. Стало быть, установлена справедливость включения $\operatorname{Ker}(N_{E/F})|_{(1+M_E)}\subset (1+M_E)^{\tau-1}$. Обратное включение $(1+M_E)^{\tau-1}\subset \operatorname{Ker}(N_{E/F})|_{(1+M_E)}$ очевидно. Лемма доказана. Из последнего предложения легко получается Следствие 1. Справедливо $\overline{\operatorname{SL}(D)}=\{\,\widetilde{d}\in\overline{D} \mid N_{Z(\overline{D})/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}} (\widetilde{d})^\lambda)=1\,\}$. § 4. Гензелевы инволютивные слабо вполне разветвленные центральные алгебры с делениемОсновной результат этого параграфа – описание структуры слабо вполне разветвленных (т.е. слабо разветвленных и вполне разветвленных) гензелевых алгебр с делением $D$, обладающих унитарными инволюциями. Заметим, что в этом случае $\overline{D}=\overline{K}$. Для получения такого описания нам потребуются следующие предварительные утверждения. Лемма 7. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}$ c гензелевым полем $k$ и $g\in D^*$. Тогда $g^{\tau}=ug$, где $u\in U_D$. Доказательство. Нетрудно видеть, что $\operatorname{Nrd}_D(g^{\tau})=(\operatorname{Nrd}_D(g))^{\tau}$. Положим $c=\operatorname{Nrd}_D(g)$. Тогда $v_K(c)=v_K(c^{\tau})$. Следовательно, $v_K(\operatorname{Nrd}_D(g))=v_K((\operatorname{Nrd}_D(g))^{\tau})$. Откуда получаем, что $v_D(g)\,{=}\,v_D(g^{\tau})$, что влечет $v_D(g^{\tau-1})\,{=}\,0$. Стало быть, $g^{\tau-1}\in U_D$. Лемма доказана. Для удобства читателя мы приводим следующую известную лемму. Напомним, что $\varepsilon_e$ обозначает примитивный корень из 1 степени $e$ в поле $K$. Лемма 8. Пусть $k$ – гензелево поле и число $e$ взаимно просто с $\operatorname{char} \overline{k}$ при $\operatorname{char} \overline{k}\neq0$. Если $K=k(\varepsilon_e)$ – квадратичное расширение поля $k$, то $K/k$ – неразветвленное расширение Галуа. Лемма 9. Пусть алгебра $D\in \operatorname{TR}(K)$ вполне разветвлена и элемент $b \in D$ таков, что $v_D(b^e) \in \Gamma_K$ для некоторого $e$, взаимно простого с $\operatorname{char} \overline{k}$. Тогда существуют $\pi_K \in K^*$ и $m \in M_{K(b^e)}$ такие, что $b^e=\pi_K (1+m)^e$. Кроме того, если $K/k$ слабо разветвлено, $D$ обладает унитарной $K/k$-инволюцией $\tau$ и $b^e$ – $\tau$-инвариантный элемент, то $m \in M_{k(b^e)}$, откуда следует, что $\pi_K \in k^*$. Доказательство. Доказательство первой части леммы содержится в [21]. Пусть теперь $b^e$ – $\tau$-инвариантный элемент и $v_D(b^e)\in \Gamma_K$. Тогда $b^e=\pi_K u$ для подходящих элементов $\pi_K$ из поля $K$ и элемента $u$ из $U_{K(b^e)}$. Если расширение $K/k$ не разветвлено, то, не ограничивая общности, можно считать $\pi_K$ элементом из $k^*$, что влечет $\tau$-инвариантность элемента $\pi_K^{-1} b^e$. Ввиду последнего заключаем, что элемент $\overline{u}$ $\overline{\tau}$-инвариантен. Рассмотрев его прообраз $z$ в $k$, получим, что $b^e=\pi_K z (1+q)$, где $q \in M_{K(b^e)}$. Так как элемент $b^e \pi_K^{-1} z^{-1}$ $\tau$-инвариантен, то таков же и элемент $1+q$. Ввиду $D\in \operatorname{TR}(K)$ в поле $k(b^e)$ существует корень $1+m$ степени $e$ из $1+q$. В случае вполне разветвленного расширения $K/k$ для любого элемента $\Pi_K \in K \setminus k$ имеем $\Pi_K=\delta_k \sqrt{\alpha}\, u$, где $u \in U_K$, $\delta_k \in k$ и $K=k(\sqrt{\alpha})$, $\sqrt{\alpha}^{\,\tau}=-\sqrt{\alpha}$. Поскольку расширение $K/k$ вполне разветвлено, то, не ограничивая общности, можно считать, что $u=1+p$, где $p \in M_K$. Ввиду $\tau$-инвариантности элемента $b^e$ и первой части леммы получаем, что $\Pi_K^\tau (1+m^\tau)^e=\Pi_K (1+m)^e$. Поскольку $\Pi_K=\delta_k \sqrt{\alpha}\, (1+p)$, то $-\delta_k \sqrt{\alpha}\, (1+p^\tau) (1+m^\tau)^e=\delta_k \sqrt{\alpha}\, (1+m)^e$. Тогда $-(1+p^\tau) (1+m^\tau)^e=(1+p) (1+m)^e$. Переход к вычетам в последнем равенстве приводит к противоречию, поскольку $\operatorname{char} \overline{k} \neq 2$ (напомним, что расширение $K/k$ слабо вполне разветвлено). Следовательно, $\pi_K \in k^*$ и $\pi_K^{-1} b^e$ – $\tau$-инвариантный элемент. Таким образом, $m \in M_{k(b^e)}$, что и требовалось. Лемма доказана. Предложение 6. Пусть $D\in \operatorname{TR}(K)$ и алгебра $D$ вполне разветвлена, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$, $e=\exp(\Gamma_D/\Gamma_K)$. Тогда существуют элементы $s\in S_{\tau}(D)$ и $g\in D$ такие, что $s^e, g^e\in K$, порядки элементов $v_D(s)+\Gamma_K$, $v_D(g)+\Gamma_K$ равны $e$, $[s,g]=g s g^{-1} s^{-1}$ – примитивный корень $\varepsilon_e$ степени $e$ из $1$ и Доказательство. Заметим прежде всего, что ввиду условия предложения по [33; теорема 3.10] $\varepsilon_e\in K$. Установим существование ненулевого $s\in S_{\tau}(D)$ со свойством: $v_D(s)+\Gamma_K\in \Gamma_D/\Gamma_K$ – элемент порядка $e$. Пусть $x\in D^*$ такой, что $v_D(x)+\Gamma_K$ – элемент порядка $e$. Положим $s=x$ при $x\in S_{\tau}(D)$. В противном случае если $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$, то по крайней мере один из элементов $1-u$ или $1+u$ обратим в $V_{D}$. Положим тогда $s=x^{\tau}+x$ при $1+u\in U_D$ и $s=x\sqrt{\alpha}\, (1-u)$, где, как обычно, $K=k(\sqrt{\alpha})$. Наконец, в случае $\operatorname{char} \overline{k}=2$ положим $s=xx^{\tau}$. Прямое вычисление показывает, что порядки элементов $v_D(x)+\Gamma_K$ и $v_D(s)+\Gamma_K$ совпадают. Теперь в силу [21; лемма 2] получаем $s^e=\pi_K (1+m)^e$ для подходящих элементов $\pi_K$ из $K$ и $m$ из $M_{K(s^e)}$. Рассматривая вместо $s$ элемент $s(1+m)^{-1}$, заключаем, что $s^e \in K$ и $K(s)/K$ – циклическое расширение степени $e$, поскольку $\varepsilon_e\in K$. Обозначим через $\varphi$ образующую группы Галуа $K(s)/K$ такую, что $s^\varphi=s \varepsilon_e$. По теореме Сколема–Нётер существует элемент $g \in D$, для которого $gsg^{-1}\,{=}\,s^\varphi$. Так как группа $\Gamma_D / \Gamma_K$ имеет экспоненту, равную $e$, то $v_D(g^e) \in \Gamma_K$. Тогда в силу [21; лемма 2] получаем, что $g^e=\pi_K (1+m)^e$ для подходящих элементов $\pi_K\in K$ и $m\in M_{K(g^e)}$. Рассмотрев вместо $g$ элемент $g(1+m)^{-1}$, будем считать, что $g^e \in K$ и $K(g)/K$ – циклическое расширение степени $e$. Не ограничивая общности, можно предположить, что $g\in V_D$. Чтобы установить справедливость равенства (4.1) покажем, что пересечение групп $\Gamma_{K(g)}/\Gamma_K$ и $\Gamma_{C_D(K(s))}/\Gamma_K$ совпадает с $\Gamma_K$. Пусть не так. Тогда для подходящего $m\in\{1,2,\dots, e-1\}$ $g^m=c(1+q)$, где $c\in C_D(K(s))$, $q\in M_D$. Из последнего равенства вытекает, что ограничения автоморфизмов $i_{g^m}$ и $i_{1+q}$ на $K(s)$ совпадают. Рассмотрим алгебру $R$, порожденную над $K$ элементами $s$ и $g^m$. Нетрудно видеть, что алгебра $R$ является циклической с максимальным подполем $Z(R)(s)$ над полем $Z(R)=((K(s))_{i_{g^m}}, (1+q)^m)$ c образующим элементом $(1+q)^m$. Тогда $((1+q)^{m})^{\operatorname{ind}(R)} \in 1+M_{Z(R)}$. Ввиду слабой разветвленности $R$ последний элемент принадлежит $N_{Z(R)(s)|Z(R)}$, что влечет тривиальность алгебры с делением $R$, т.е. ее коммутативность. С другой стороны, алгебра $R$ некоммутативна по построению. Таким образом, $(\Gamma_{K(g)}/\Gamma_K) \cap (\Gamma_{C_D(K(s))}/\Gamma_K)=\Gamma_K$. Последний же элемент в степени индекса алгебры $R$ принадлежит $1+M_Z$ и потому ввиду слабой разветвленности алгебры $R/Z$ является нормой соответствующего элемента максимального циклического над $Z(R)$ подполя $R$, что влечет тривиальность алгебры $R$. С другой стороны, $R$ некоммутативна. Полученное противоречие показывает, что пересечение подгрупп $\Gamma_{K(g)}/\Gamma_K$ и $\Gamma_{C_D(K(s))}/\Gamma_K$ совпадает с $\Gamma_K$. Ввиду размерностных соображений порядок группы $\Gamma_D/\Gamma_K$ есть произведение порядков групп $\Gamma_{K(s)}/\Gamma_K$, $\Gamma_{C_D(K(s))}/\Gamma_K$. Так как порядки групп $\Gamma_{K(s)}/\Gamma_K$ и $\Gamma_{K(g)}/\Gamma_K$ совпадают, то ввиду равенства $\Gamma_{K(g)}/\Gamma_K\cap \Gamma_{C_D(K(s))}/\Gamma_K=\Gamma_K$ заключаем, что $\Gamma_D/\Gamma_K=\Gamma_{K(g)}/\Gamma_K\oplus \Gamma_{C_D(K(s))}/\Gamma_K$. Предложение доказано. Следующая теорема является аналогом теоремы Драксла (см. [21]) в случае алгебр с унитарными инволюциями. Теорема 9. Пусть $K/k$ – слабо разветвленное расширение, алгебра $D\in \operatorname{TR}(K)$ и вполне разветвлена $(D\neq K)$, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Тогда для некоторого натурального $r$ алгебра $D=D_1 \otimes_K \dots \otimes_K D_r$, где $D_i$ – подходящее тензорное произведение $\tau$-инвариантных символ-алгебр $A(a_{ij}, b_{ij}, K,\varepsilon_{p_i^{\alpha_j}})$, $1\leqslant i\leqslant r$, $j\in \mathbb{Z}$, экспоненты которых равны их индексам, а соответствующие канонические образующие $\tau$-инвариантны, $p_i$ – простые делители индекса $\operatorname{ind} D$. В частности, алгебра $D$ есть произведение своих $\tau$-инвариантных примарных компонент. Доказательство. Пусть $e=\exp(\Gamma_D/\Gamma_K)$ и элементы $s\in S_{\tau}(D)$, $g\in D$ из предложения 6. Таким образом, $g^e\in K$ и $K(g)/K$ – циклическое расширение степени $e$. Покажем, что элемент $g$ может быть выбран $\tau$-инвариантным. Пусть $g^{\tau}\neq g$. Если $g^{\tau}=-g$, то вместо $g$ следует рассмотреть элемент $\delta g\in S_{\tau}(D)$, где $\delta \in K$ и $\delta^{\tau}=-\delta$. Поэтому ниже будем предполагать, что $g^{\tau}\neq \pm g$. Положим $g^{\tau}=ug$ и покажем, что $u\in C_D(K(s))$. Имеем
$$
\begin{equation}
g^\tau g s g^{-1} g^{-\tau}=g^{\tau} s g^{-\tau} \varepsilon_e =(g^{-1} s g)^\tau \varepsilon_e=s \varepsilon_e^{-\tau} \varepsilon_e,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
т.е. $(g^{\tau}g) s (g^{\tau} g)^{-1}=s \varepsilon_e^{-\tau} \varepsilon_e$. Откуда следует, что $usu^{-1}=s\varepsilon_e^{-(\tau+1)}$. Ввиду $u\in U_D$ и полной разветвленности алгебры $D$ можно считать, что $u=(1+m)u_K$, где $m\in M_D$, $u_K\in U_K$. Тогда $s^{-1}us u^{-1}\in 1+M_D$. Следовательно, $\varepsilon_e^{-(\tau+1)}=1$, т.е. $\varepsilon_e^{\tau}=\varepsilon_e^{-1}$. Так как $g^2 s g^{-2}=s \varepsilon_e^2$ и $(g^{\tau}g)s (g^{\tau}g)^{-1}=s \varepsilon_e^2$, то $u\in C_D(K(s))$. Ввиду (4.1) предложения 6 порядок элемента $v_D(g+g^{\tau})+\Gamma_K$ равен наименьшему общему кратному порядков элементов $v_D(g)+\Gamma_K$ и $v_D(1+u)+\Gamma_K\in \Gamma_{C_D(K(s))}$. Далее из определения $e$ следует совпадение порядка $v_D(g+g^{\tau})+\Gamma_K$ с $e$. Поэтому можно предполагать, что $g\in S_{\tau}(D)$. Заметим также, что $v_D(g^e) \in \Gamma_K$, поскольку экспонента группы $\Gamma_D / \Gamma_K$ равна $e$. В силу леммы 9 и так как $g\in S_{\tau}(D)$, заключаем, что $g^e=\pi_k (1+m)^e$ для подходящих элементов $\pi_k\in k$ и $m\in M_{k(g^e)}$. Поскольку элементы из $k(g^e)$ перестановочны с $s$, то с $s$ перестановочен и элемент $1+m$. Кроме того, $1+m$ перестановочен с $g$, так как является элементом из $k(g^e)$. Переходя от элемента $g$ к элементу $g(1+m)^{-1}$, получаем, что можно предполагать, что $g^e \in k$ и $K(g)/K$ – циклическое расширение степени $e$. Рассмотрим $K$-подалгебру $A$ алгебры $D$, порожденную элементами $s$ и $g$. Нетрудно видеть, что алгебра $A$ совпадает с символ-алгеброй $A(s^e, g^e, K,\varepsilon_e)$. Всякий элемент $a\in A$ имеет вид $\sum_{l,r}c_{l,r} s^l g^r$, где $c_{l,r} \in K$, и, стало быть, его образ $a^{\tau}$ при действии $\tau$ совпадает с $\sum_{l,r}c^\tau_{l,r} g^r s^l$. Так как $c^\tau_{l,r}\in K$, а степени элементов $s$ и $g$ коммутируют с точностью до степеней корня $\varepsilon_e$, то $a^{\tau}\in A$. Таким образом, алгебра $A$ $\tau$-инвариантна. Если $A$ совпадает с $D$, то $D$ – $\tau$-инвариантная символ-алгебра. В противном случае $D=A\otimes_K C_D(A)$. Ясно, что $\operatorname{ind} C_D(A)< \operatorname{ind} D$. Повторяя предыдущие рассуждения для алгебры $C_D(A)$ приходим к выводу, что алгебра $D$ может быть представлена в виде тензорных произведений $\tau$-инвариантных символ-алгебр над $K$, канонические образующие которых $\tau$-инвариантны. Для завершения доказательства теоремы теперь достаточно воспользоваться следующими двумя замечаниями. (i) Пусть $D=A(a,b,K,\varepsilon_{mn})$, где $m$ и $n$ взаимно простые, и пусть $i$, $j$ – $\tau$-инвариантные канонические образующие алгебры $A$. Тогда $K\langle i^m,j^m\rangle=A(a,b, K, \varepsilon_{mn}^m)$, $K\langle i^n, j^n\rangle=A(a,b, K, \varepsilon_{mn}^n)$, элементы $i^m$, $j^m$ и $i^n$, $j^n$ – $\tau$-инвариантные канонические образующие первой и второй алгебр соответственно и $D=A(a,b, K, \varepsilon_{mn}^m) \otimes_K A(a,b, K, \varepsilon_{mn}^n)$. (ii) Пусть алгебра $A=A(a,b,K,\varepsilon_q)$ слабо вполне разветвлена над $K$. Тогда ее экспонента совпадает с индексом. Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться [36; предложение 6.9]. Теорема доказана. Из доказательства теоремы вытекает Следствие 2. Не существует слабо вполне разветвленных некоммутативных алгебр с делением с унитарными инволюциями при условии, что $\operatorname{char} \overline{k}=2$ и расширение $K/k$ не является неразветвленным. Доказательство. Поскольку $K/k$ не является неразветвленным, то в силу леммы 8, где $e=\exp(\Gamma_D/\Gamma_K)$, $\varepsilon_e\in k$, а тогда, как было установлено в доказательстве теоремы, $\operatorname{ind} D$ $2$-примарен. С другой стороны, так как $D\in \operatorname{TR}(K)$ и $\operatorname{char} \overline{k}=2$, то ввиду теоремы 9 $\operatorname{ind} D$ нечетен. Это рассуждение об $\operatorname{ind} D$ завершает доказательство следствия. Оказывается, индексы алгебр $D$ из теоремы 9 в значительной мере зависят от того, каким является расширение $K/k$. Следствие 3. Пусть $D$ – алгебра из теоремы 9, $p$ – нечетное простое число такое, что $\overline{\varepsilon_p}\in \overline{k}$. Тогда $(\operatorname{ind} D, p)=1$. Доказательство. Предположим, что $p$ делит $\operatorname{ind} D$. В силу теоремы 9 алгебру $D$ можно представить в виде $D_1\otimes_K D_2$, где $D_2$ – $\tau$-инвариантна и алгебра $D_1$ имеет $p$-примарный индекс, совпадающий с ее экспонентой. Пусть $L$ – $\tau$-инвариантное максимальное подполе в $D_2$. Тогда централизатор $C_D(L)$ – $\tau$-инвариантная $L$-алгебра, изоморфная $D_1\otimes_K L$. Нетрудно видеть, что экспонента и индекс последней алгебры совпадают и равны индексу алгебры $D_1$. Таким образом, $C_D(L)$ – символ-алгебра $A(a_1,b_1,L,\varepsilon_{p^n})$, где $a_1,b_1\in L^*_{\tau}$. Тогда $p^{n-1}$-я тензорная степень последней алгебры Брауэр-эквивалентна $\tau$-инвариантной символ-алгебре $A(a_1,b_1,L,\varepsilon_{p})$. С другой стороны, $A(a_1,b_1,L,\varepsilon_{p})=A(a_1,b_1,L_{\tau},\varepsilon_{p})\otimes_{L_{\tau}} L$. Поскольку $A(a_1,b_1,L_{\tau},\varepsilon_{p})$ $\tau$-инвариантна и ограничение $\tau$ на $L_{\tau}$ тождественно, то $\exp A(a_1,b_1,L_{\tau},\varepsilon_{p})=2$, что противоречит нечетности индекса алгебры $A(a_1,b_1,L,\varepsilon_{p})$. Следствие доказано. Далее, имеет место Следствие 4. Пусть алгебра $D$ такая же, как в теореме 9, $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$ и $\varepsilon_{\operatorname{rad}(\operatorname{ind} D)}\in k$ (здесь $\operatorname{rad}(\operatorname{ind} D)$ – множество всех различных простых делителей $\operatorname{ind} D$). Тогда $\operatorname{ind} D$ $2$-примарен. В частности, если $\tau$ – циклическая инволюция, то $\operatorname{ind} D$ $2$-примарен. Доказательство. Предположим, что $\operatorname{ind} D$ имеет нечетный простой делитель. Рассмотрев подходящую $2$-примарную тензорную степень алгебры $D$, можно считать, не ограничивая общности, что $\operatorname{ind} D$ нечетен. Следовательно, нечетен и $\operatorname{rad}(\operatorname{ind} D)$, и потому в силу следствия 3 $(\operatorname{ind} D, p)=1$ для любого делителя $p\in \operatorname{rad}(\operatorname{ind} D)$, так как $\varepsilon_{\operatorname{rad}(\operatorname{ind} D)}\in k$. Полученное противоречие показывает, что исходная алгебра $D$ является алгеброй $2$-примарного индекса. Следствие доказано. Следствие 5. Пусть алгебра $D$ такая же, как в теореме 9. Если $\overline{K}=\overline{k}$, то $D$ представляется в виде произведения $\tau$-инвариантных кватернионных алгебр $D_1,\dots,D_r$, где $D_i=A_i \otimes_k K$ и $A_i$ – кватернионные $\tau$-инвариантные $k$-алгебры (ср. с леммой 8). Доказательство. Поскольку $D\in \operatorname{TR}(K)$ и вполне разветвлена, то $\overline{\varepsilon}_e \in \overline{K}$ (см. [33]), откуда следует, что $\varepsilon_e \in k$ ввиду леммы 8. В силу теоремы 9 всякая алгебра $A(a_{ij},b_{ij},K, \varepsilon_{p_i^{\alpha_j}})$ может быть представлена как тензорное произведение центральной $k$-алгебры $E_{ij}$ с каноническими $\tau$-инвариантными образующими и расширения $K/k$. Тогда алгебры $E_{ij}$ $\tau$-инвариантны и $\exp E_{ij}=\operatorname{ind} E_{ij}$. Так как ограничение $\tau$ на $k$ тождественно, то $E_{ij}$ имеет экспоненту и индекс, равные $2$. Следствие доказано. Из предыдущего следствия выводится Следствие 6. В вышеприведенных обозначениях при $\overline{K}=\overline{k}$ не существует нетривиальных слабо вполне разветвленных алгебр $D/K$, индексы которых не $2$-примарны. Доказательство. В случае $\overline{K}=\overline{k}$ ввиду следствия 5 $D$ есть произведение кватернионных алгебр, что противоречит условию не $2$-примарности индекса алгебры $D$. Следствие доказано. Из доказательства теоремы 9 вытекает следующее описание слабо вполне разветвленных алгебр с делением. Следствие 7. Пусть алгебра $D$ из теоремы 9 и индекс алгебры $D$ взаимно прост с $\operatorname{char} \overline{k}$. Тогда $D$ – радикальная $K$-алгебра, т.е. обладает над $K$ конечной системой образующих, состоящей из $\tau$-инвариантных радикалов (напомним, что элемент $\Delta$ называется $K$-радикалом, если $\Delta^n\in K$; $\tau$-инвариантность означает $\Delta^\tau=\Delta$). § 5. Гензелевы слабо разветвленные алгебры с делением, обладающие унитарными инволюциямиОсновной объект рассмотрения этого параграфа – слабо разветвленные алгебры с делением, обладающие унитарными инволюциями. Ниже предполагается, что $k$ – гензелево поле, $K/k$ – квадратичное сепарабельное расширение, $D\in \operatorname{TR}(K)$, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ (т.е. $\operatorname{Inv}_{K/k}(D) \neq \varnothing$). Для таких $K$-алгебр $D$ можно получить явное описание их структуры в терминах алгебр инерции и образующих с простыми определяющими соотношениями. Обратимся вначале к случаю неразветвленных алгебр $D$. Тогда имеет место Лемма 10. Пусть алгебра $D$ не разветвлена над $K$, $\operatorname{ind} D\neq1$. Если $\operatorname{Inv}_{K/k}(D) \neq \varnothing$, то либо экспонента алгебры $D$ равна 2, либо $K/k$ неразветвлено. Доказательство. Пусть экспонента алгебры $D$ не равна 2 и $\overline{K}=\overline{k}$, либо $\overline{K}/\overline{k}$ чисто несепарабельно. Тогда ограничение $\overline{\tau}|_{\overline{K}}$ тождественно. Поскольку редукция $\overline{\tau}$ – инволюция алгебры $\overline{D}$ с тривиальным ограничением на $\overline{K}$ и $\operatorname{ind} \overline{D}\neq1$, то экспонента алгебры $\overline{D}$ равна $2$. Ввиду неразветвленности алгебры $D$ над $K$ алгебра $D$ той же экспоненты, что и $\overline{D}$. Это противоречит нашему предположению. Значит, либо $\exp D=2$, либо $K/k$ неразветвлено. Лемма доказана. Для алгебр нечетных индексов имеем Следствие 8. Пусть алгебра $D$ не разветвлена над $K$ и $\operatorname{ind} D$ нечетен. Тогда при $D\neq K$ расширение $K/k$ неразветвлено. Опишем теперь связь между множествами $\operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ и $\operatorname{Inv}_{\overline{K}/\overline{k}}(\overline{D})$. Для этого заметим, что на множестве $\operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ определено следующее отношение эквивалентности: для $f_1$, $f_2\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ инволюции $f_1$ и $f_2$ считаются эквивалентными $(f_1\sim f_2)$ в том и только том случае, когда их редукции $\overline{f_1}$ и $\overline{f_2}$ совпадают. Классы эквивалентности этого отношения таковы. Лемма 11. Для $f_1$, $f_2\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ $(\operatorname{char} k\neq2)$ инволюции $f_1\sim f_2$ в том и только том случае, когда существует элемент $m\in (1+M_D)\cap S_{f_1}(D) K$ такой, что для произвольного $d\in D$ $f_2=f_1 i_m$. Доказательство. Покажем вначале, что $f_1\sim f_2$ тогда и только тогда, когда существует элемент $m\in (1+M_D)\cap (S_{f_1}(D)\cup K_{f_1}(D)) K$ такой, что $f_2=f_1 i_m$, где $K_{f_1}(D)=\{d\in D\colon d^{\tau}=-d\}$. В силу предыдущего определения $f_1 \sim f_2$ тогда и только тогда, когда $\overline{f_1}=\overline{f_2}$. Так как $f_1 f_2$ –$K$-автоморфизм с тождественной редукцией на $\overline{D}$, то по [43; теорема 1] существует элемент $m\in (1+M_D)$ такой, что $f_2=f_1 i_m$. С другой стороны, поскольку $f_1$ и $f_2$ – $K/k$-инволюции, то $i_m=i_t$ для подходящего $t\in S_{f_1}(D)\cup K_{f_1}(D)$, что влечет $m=st$, где $s \in K$. Заметим, что $K_{f_1}(D)=\sqrt{\alpha}\, S_{f_1}(D)$, где $K=k(\sqrt{\alpha})$, $\alpha\in k$. Тогда по доказанному $m\in (S_{f_1}(D)\cup \sqrt{\alpha}\, S_{f_1}(D))K$, т.е. $m\in S_{f_1}(D) K$. Обратно, если $f_2=f_1 i_m$, то $\overline{f_1}=\overline{f_2}$, т.е. $f_1\sim f_2$. Лемма доказана. Замечание 6. Лемма 11 уточняется в специальных случаях. Предположим, что $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$ и $\Gamma_K=\Gamma_k$. Заметим, что $K_{f_1}(D)=\sqrt{\alpha}\, S_{f_1}(D)$ для подходящего $\alpha\in U_k$. Учитывая, что $K_{f_1}(D)=\sqrt{\alpha}\, S_{f_1}(D)$, получаем $(S_{f_1}(D) \cup K_{f_1}(D))K=S_{f_1}(D)K$. Таким образом, можно считать, что $f_2=f_1 i_{m}=f_1 i_s$, где $m\in 1+M_D$, $s^{f_1}=s$. Совпадение автоморфизмов $i_m$ и $i_s$ влечет равенство $st=m$ для подходящего $t\in K$. Так как $\Gamma_K=\Gamma_k$, то можно считать, что $t=\pi_k u_K$ для $\pi_k\in k$, $u_K\in U_K$. Ввиду равенства $m=st$ элемент $s$ представим в виде $\pi_k^{-1} u_s$, где $u_s \in U_D$, откуда следует, что $u_s^{\tau}=u_s$, и потому можно считать с самого начала, что $s \in U_D$. Тогда из равенства $su_K=m$ вытекает, что $\overline{s}\, \overline{u_K}=1$. Поэтому $\overline{s} \in \overline{K}$. Более того, $\overline{s} \in \overline{k}$. Но тогда и $\overline{u_K}\in \overline{k}$. Для элемента $u_K$ будем иметь $u_K=u_k (1+q)$ для подходящего $u_k \in k$ и $q \in M_K$. Стало быть, $m (1+q)^{-1} \in S_{f_1}(D)$. Значит, $f_2=f_1 i_{m (1+q)^{-1} }=f_1 i_{ s\pi_k u_k }$. Таким образом, в приведенном выше определении эквивалентности инволюций $f_1$ и $f_2$ достаточно ограничиться требованием существования элемента $m\in (1+M_D)\cap S_{f_1}(D)$. Пусть по-прежнему $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$, а $\Gamma_k$ – подгруппа индекса $2$ в группе $\Gamma_K$ и $K=k(\sqrt{\pi})$, где $\pi\in k$ и значение $v_k(\pi)\notin 2\Gamma_k$. Заметим, что элемент $v_K(\sqrt{\pi})\,{+}\,\Gamma_k$ является образующим в факторгруппе $\Gamma_K/\Gamma_k$. Поскольку алгебра $D/K$ неразветвлена, то всякий элемент $d \in D$ имеет вид $\sqrt{\pi}^{\,n} u_d \delta_k$ для подходящих элементов $u_d \in U_D$, $\delta_k \in k$ и $n \in \mathbb{Z}$. Для $f_1\sim f_2$, ввиду леммы 11, существует элемент $m\in (1+M_D)\cap S_{f_1}(D)K$ со свойством $f_2=f_1i_m$. Пусть $m=st$, где $s \in S_{f_1}(D)$ и $t \in K$. Нетрудно видеть, что поскольку $v_D(m)=v_D(st)=0$, то $s=\sqrt{\pi}^{\,\beta} u_s \delta_s$ и $t=\sqrt{\pi}^{\,-\beta} u_t \delta_t$ для подходящих элементов $u_s \in U_D$, $u_t \in U_K$, $\delta_s, \delta_t \in k$ и $\beta \in \mathbb{Z}$. Так как $s \in S_{f_1}(D)$, в зависимости от четности или нечетности числа $\beta$ элемент $u_s$ обладает свойством: $ u_s^{f_1}=\pm u_s$. Стало быть, $m=st=\delta_s \delta_t u_t u_s$. Заметим, что $\delta_s \delta_t u_t \in U_K$, и, переходя к вычетам, заключаем, что $\overline{u_s} \in \overline{K}$. Поскольку $\overline{K}=\overline{k}$, то $u_s=\delta_k (1+p)$ для подходящих элементов $\delta_k \in k$ и $1+p \in 1+M_D$. Нетрудно видеть, что $1+p \in S_{f_1}(D) \cup K_{f_1}(D)$. Так как $i_{st}=i_{u_s}=i_{1+p}$, где $1+p \in (1+M_D) \cap (S_{f_1}(D) \cup K_{f_1}(D))$, то существует $n \in (1+M_D) \cap (S_{f_1}(D) \cup K_{f_1}(D))$ такой, что $f_2=f_1 i_n$. Замечание 7. Предыдущие рассуждения показывают, что в случае, когда $\operatorname{char}\overline{k} \neq 2$, наше отношение эквивалентности совпадает с отношением из [43]. Отметим еще одно полезное утверждение. Для этого заметим, что отношение эквивалентности индуцирует с помощью перехода к редукциям отображение $\mu_D$ на фактормножестве $\overline{\operatorname{Inv}_{K/k}(D)}$: $\mu_D \colon \overline{\operatorname{Inv}_{K/k}(D)} \to \operatorname{Inv}_{\overline{K}/\overline{k}}(\overline{D})$. Легко видеть, что $\mu_D$ – инъективное отображение. Что касается сюръективности отображения $\mu_D$, то при достаточно слабых ограничениях на расширение $K/k$ мы устанавливаем справедливость следующего утверждения, в котором не предполагается, что $\operatorname{char} \overline{k}\neq 2$. Теорема 10. Пусть алгебра $D$ не разветвлена над $K$ и расширение $\overline{K}/\overline{k}$ не является чисто несепарабельным. Тогда отображение $\mu_D$ – биекция. Замечание 8. Эта теорема является усилением [43; теорема 2], где она доказана в случае $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$. Таким образом, ниже мы рассматриваем и случай, когда $\operatorname{char} \overline{k}=2$. При доказательстве теоремы нам потребуются два утверждения. Лемма 12. Пусть $D\in \operatorname{TR}(K)$. Предположим также, что $D$ обладает инволюцией $\tau$ и $\langle\tau|_K \rangle=\operatorname{Gal}(K/k)$. Тогда для всякого $\overline{\tau}$-инвариантного сепарабельного расширения $\widetilde{Z}/\overline{K}$ в алгебре $D$ существует его неразветвленный $\tau$-инвариантный подъем $Z/K$. Доказательство. Если $\widetilde{Z}=\overline{K}$, то можно положить $Z=K$. Пусть далее $\widetilde{Z}\neq\overline{K}$ и $K_{\tau}=k$. Определим элемент $\widetilde{\beta}\in \widetilde{Z}$ следующим образом: если $K/k$ неразветвлено, то пусть $\widetilde{Z}_{\overline{\tau}}=\overline{k}(\widetilde{\beta})$. В остальных случаях пусть $\overline{k}(\widetilde{\beta})/\overline{k}$ – максимальное сепарабельное подрасширение расширения $\widetilde{Z}/\overline{k}$. Пусть $\beta$ – прообраз $\widetilde{\beta}$ в $D$, а
$$
\begin{equation*}
E=\begin{cases} k(\beta+\beta^{\tau}), & \operatorname{char} \overline{k}\neq2, \\ k(\beta \beta^{\tau}), & \operatorname{char} \overline{k}=2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\tau|_E=\mathrm{id}$. Пусть $N(E)$ – максимальное неразветвленное над $k$ подполе в $E$. Поскольку $\overline{E}=\overline{N(E)}$, то $\widetilde{\beta}\in \overline{N(E)}$. В самом деле, при $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$ $\overline{\beta+\beta^{\tau}}=2\widetilde{\beta}\in \overline{N(E)}$, а в случае $\operatorname{char} \overline{k}=2$ имеем $\widetilde{\beta}^2=\overline{\beta}\,\overline{\beta}^{\,\overline{\tau}}\in \overline{N(E)}$ и, кроме того, в этом случае $\overline{k}(\widetilde{\beta}^2)=\overline{k}(\widetilde{\beta})$, так как $\overline{k}(\widetilde{\beta})$ одновременно чисто несепарабельно и сепарабельно над $\overline{k}(\widetilde{\beta}^2)$. Ясно, что поле $\overline{k}(\widetilde{\beta})$ поднимается в $N(E)$ до неразветвленного расширения $\widehat{Z}/k$. Положим $Z=\widehat{Z}K$. Лемма доказана. Лемма 13. Пусть $L/K$ – неразветвленное расширение гензелевых полей с инволюцией $\tau$, $\tau|_K\neq \mathrm{id}$ и $k=K_{\tau}$. Пусть при $\operatorname{char} k\neq2$ $K=k(\sqrt{\alpha})$, а при $\operatorname{char} k=2$ $K=k(\beta)$, где $\beta$ – корень подходящего неприводимого над $k$ многочлена вида $x^2+x+b$, $b\in k$. Положим $N/k$ – максимальное неразветвленное над $k$ подрасширение в $L/k$. Тогда для расширения $L/L_{\tau}$ имеются следующие возможности. (i) Если $K/k$ неразветвлено, то неразветвленным является расширение $L/L_{\tau}$. (ii) Если $K/k$ слабо вполне разветвлено, то при $\tau|_N=\mathrm{id}$ расширение $L/L_{\tau}$ слабо вполне разветвлено. В противном случае $L/L_{\tau}$ не разветвлено. (iii) Если $K/k$ не является слабо разветвленным, то при $\tau|_N\neq \mathrm{id}$ расширение $L/L_{\tau}$ не разветвлено. Если же $\tau|_N=\mathrm{id}$, то $L/L_{\tau}$ не является слабо разветвленным. Доказательство леммы является рутинным вычислением в теории гензелевых расширений Галуа, и потому мы оставляем его читателю в качестве простого упражнения. Доказательство теоремы 10. Ввиду замечания 8 можно ограничиться рассмотрением случая, когда $\operatorname{char} \overline{k}=2$. Пусть алгебра $\overline{D}$ обладает некоторой $\overline{K}/\overline{k}$-инволюцией $\widetilde{\tau}$. Тогда ввиду рассуждений из [43; теорема 2], которые не зависят от характеристики $\overline{k}$, немедленно устанавливается существование $K/k$-инволюции $\sigma$ алгебры $D$. Поскольку $\sigma$ – $K/k$-инволюция, то $\overline{\sigma}|_{\overline{K}}=\widetilde{\tau}|_{\overline{K}}$, поэтому существует подходящий $\overline{\sigma}$-инвариантный элемент $\widetilde{h}$ такой, что $\overline{\sigma}=\widetilde{\tau} i_{\widetilde{h}}$. Рассмотрим поле $\overline{K}(\widetilde{h})$. Можно считать, что $\widetilde{h} \notin \overline{K}$. В противном случае $\widetilde{\tau}$ поднимается до инволюции $\sigma$. Ввиду леммы 12 поле $\overline{K}(\widetilde{h})$ поднимается неразветвленно до поля $F$, не совпадающего с $K$. Теперь если показать, что элемент $\widetilde{h}$ поднимается до $\sigma$-инвариантного элемента $h$ в $F$, то инволюция $\sigma i_h^{-1}$ будет подъемом инволюции $\widetilde{\tau}$. Чтобы показать существование такого $h$, рассмотрим два случая: $F/F_\sigma$ не является слабо разветвленным и $F/F_\sigma$ слабо разветвлено. Пусть $F/F_\sigma$ не является слабо разветвленным. Тогда в силу леммы 13 $\sigma$ действует тривиально на максимальном неразветвленном подрасширении $N/k$ в расширении $F/k$. В самом деле, если предположить, что $\sigma|_N\neq \mathrm{id}$, то ввиду леммы 13 заключаем, что расширение $F/F_\sigma$ неразветвлено, что противоречит нашему предположению о том, что $F/F_\sigma$ не является слабо разветвленным. Заметим, что в силу условия теоремы $\overline{K}/\overline{k}$ не является чисто несепарабельным и $\overline{N}=\overline{F}_{\overline{\sigma}}$ (поскольку $\overline{N} \subset \overline{F}_{\overline{\sigma}}$), заключаем, что из сепарабельности расширения $\overline{F}/\overline{K}$ вытекает сепарабельность расширения $\overline{F}/\overline{k}$, откуда следует, что $[\overline{F}:\overline{N}]=1$, т.е. $\overline{F}_{\overline{\sigma}}=\overline{N}$. Стало быть, $\widetilde{h} \in \overline{N}$ и, обозначив через $h$ подъем элемента $\widetilde{h}$ в поле $N$, получим требуемое. Теперь рассмотрим случай слабо разветвленного расширения $F/F_\sigma$. Пусть $h$ – подъем элемента $\widetilde{h}$ в поле $F$. Из $\overline{\sigma}$-инвариантности элемента $\widetilde{h}$ следует, что $h^\sigma=h (1+m)$. Применим $\sigma$ к обеим частям последнего равенства и подставим вместо $h^\sigma$ элемент $h (1+m)$. Тогда получим $h=(1+m)^\sigma h (1+m)$. Заметим, что $h$ и $h^\sigma$ перестановочны, и потому $h$ и $(1+m)$ также перестановочны. Последнее равенство влечет следующее: $(1+m)^\sigma (1+m)=1$. Предыдущее равносильно тому, что $N_{F/F_\sigma}(1+m)=1$. Стало быть, по теореме Гильберта 90 и в силу слабой разветвленности расширения $F/F_\sigma$ сумма $1+m=(1+p)^{\sigma-1}$ для подходящего элемента $p \in M_F$. Тогда, переобозначив элемент $h (1+p)^{-1}$ через $h$, получим требуемое. Значит, отображение $\mu_D$ сюръективно. Теорема доказана. Докажем теперь следующее усиление следствия 8. Теорема 11. Пусть $D\,{\in}\operatorname{TR}(K)$ – алгебра нечетного индекса, $\tau\,{\in} \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$, тогда $D=K$, если $\overline{D}$ – поле, и $K/k$ неразветвлено, если $\overline{D}$ не поле. При доказательстве теоремы нам потребуются следующие леммы. Лемма 14. Пусть $D$ – вполне разветвленная некоммутативная алгебра, тогда вполне разветвленным над $K$ является любое подполе $L$ алгебры $D$, содержащее $K$. Кроме того, централизатор $C_D(L)$ вполне разветвлен. Доказательство. Достаточно просто применить “фундаментальное неравенство” (1.1) из [36] и учесть полную разветвленность алгебры $D$ над $K$. Действительно, поскольку $[D:C_D(L)][C_D(L):L][L:K]=[\Gamma_D:\Gamma_{C_D(L)}][\Gamma_{C_D(L)}:\Gamma_L][\Gamma_L:\Gamma_K]$ и $[D:C_D(L)]\geqslant [\Gamma_D:\Gamma_{C_D(L)}]$, $[C_D(L):L]\geqslant [\Gamma_{C_D(L)}:\Gamma_{L}]$, $[L:K]\geqslant [\Gamma_L:\Gamma_{K}]$, то все неравенства являются на самом деле равенствами, что и требовалось. Лемма доказана. Лемма 15. Пусть индекс алгебры $D$ нечетен и $D$ слабо разветвлена над $K$. Тогда: (i) любое подполе $L/K$ алгебры $D$, содержащее $K$, и централизатор $C_D(L)$ слабо разветвлены над $K$ и $L$ соответственно; (ii) всякое $\tau$-инвариантное расширение $L$ поля $K$ содержится в максимальном $\tau$-инвариантном подполе $M_L$. Доказательство. Доказательство (i) аналогично доказательству леммы 14 и использует размерностные соображения. Доказательство (ii) использует индукцию по $\operatorname{ind} D$. Пусть вначале $\operatorname{ind} D$ – простое число. Тогда лемма, очевидно, справедлива. Если $\operatorname{ind} D$ составной, то рассматривая нецентральный $\tau$-инвариантный элемент $s$, получаем, что либо $L(s)/K$ максимально (и $\tau$-инвариантно), либо $C_D(L(s)) \neq L(s)$ и $C_D(L(s))$ имеет индекс, меньший чем индекс алгебры $C_D(L)$. Повторяя этот процесс (если необходимо) несколько раз, получаем башню $\tau$-инвариантных подполей в $D$, которая начинается с $L$ и заканчивается максимальным $\tau$-инвариантным подполем. Лемма доказана. Лемма 16. Пусть расширение $K/k$ не является неразветвленным. Если $\operatorname{ind} D$ нечетен, $D$ вполне разветвлена и $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$, то $D=K$. Доказательство. Предположим противное. Можно считать, что $D$ имеет $p$-примарный индекс. Далее ввиду теоремы 9 можно считать, что $D$ – символ-алгебра, скажем, $D=A(a,b,K,\varepsilon_{p^m})$ с $\tau$-инвариантными каноническими образующими $A$ и $B$, где $\varepsilon_{p^m}\in K$ – примитивный корень степени $p^m$. Ввиду $D\in \operatorname{TR}(K)$ и примарности $\operatorname{ind} D$ имеем $(\operatorname{char} \overline{k},p)=1$. Если $\varepsilon_{p^m}\notin k$, то по лемме 8 $K/k$ – неразветвленное расширение, что не так по предположению. Если же $\varepsilon_{p^m}\in k$, то центральная $k$-алгебра $\langle A, B, \varepsilon_{p^m}\rangle$ обладает инволюцией, тривиально действующей на $k$, и потому ее индекс не превосходит 2. С другой стороны, индекс $D$ нечетен, что влечет $D=K$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 11. Можно считать, что $\operatorname{ind} D$ $p$-примарен, поскольку вместо $\tau$ достаточно рассмотреть $\mu\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ со свойством $\mu$-инвариантности примарных компонент алгебры $D$. Предположим, что расширение $K/k$ не является неразветвленным. Тогда $\overline{\tau}|_{\overline{K}}=\mathrm{id}$. Ввиду следствия 8 можно считать, что $K$-алгебра $D$ не является неразветвленной над $K$. Так как степень $[Z(\overline{D}):\overline{K}]$ нечетна, то $\overline{\tau}|_{Z(\overline{D})}=\mathrm{id}$. Пусть вначале $\overline{D}$ не поле. Тогда $\overline{\tau}|_{\overline{D}}\neq \mathrm{id}$, $\overline{\tau}|_{Z(\overline{D})}=\mathrm{id}$. Стало быть, $\exp D\leqslant2$. А с другой стороны, $\operatorname{ind} D$ нечетен. Следовательно, $\exp D=1$. Пусть теперь $\overline{D}$ – поле, $\operatorname{ind} D=p$. Если $\overline{D}=Z(\overline{D})$, то в силу леммы 16 $D=K$, что противоречит условию $\operatorname{ind} D=p$. Пусть $\overline{D}\neq \overline{K}$. Ввиду слабой разветвленности $D/K$ $\overline{D}$ – циклическое расширение степени $p$ поля $\overline{K}$. Пусть $Z(\overline{D})_s$ – максимальное сепарабельное над $\overline{k}$ подполе поля $Z(\overline{D})$. Ясно, что $Z(\overline{D})_s/\overline{k}$ – циклическое расширение степени $p$. В силу теоремы 8 $Z(\overline{D})_s/\overline{k}$ поднимается до неразветвленного $\tau$-инвариантного циклического расширения $X/k$ в $k$-алгебре $D$. Пусть $\widetilde{\beta}$ – примитивный элемент расширения $\overline{X}/\overline{k}$, а $\beta$ – его прообраз в $X$. Обозначим через $f_\beta(x)$ минимальный многочлен $\beta$ расширения $X/k$. Так как $\beta$ – одновременно примитивный элемент расширения $XK/K$, то $\beta^\tau=g \beta g^{-1}$ для некоторого элемента $g\in D$. Поэтому $\beta^\tau (g+g^\tau)=(g+g^\tau)\beta$. Для $g+g^\tau=0$ положим $\mu=\tau i_{g^{-1}}$. При $g+g^\tau \neq 0$ пусть $\mu=\tau i_{(g+g^\tau)^{-1}}$. Тогда $\mu\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ и $\beta^\mu=\beta$. Переход к инволюции $\mu$ позволяет, не ограничивая общности, считать, что композит $XK$ имеет вид $X \otimes_k K$ и $\tau|_X=\mathrm{id}$. Ясно, что $D$ – циклическая алгебра с максимальным подполем $Z$, где $Z=X\otimes_k K$. Очевидно, что для образующей $\varphi$ группы Галуа $\operatorname{Gal}(X/k)$ $\varphi \otimes_k \mathrm{id}$ – образующая группы Галуа $\operatorname{Gal}(Z/K)$. Пусть $\Gamma\in D$ со свойством $i_\Gamma |_X=\varphi$. Положим $\gamma=\Gamma^p$. Тогда $D=(Z, \varphi \otimes_K \mathrm{id}, \gamma)$. По теореме 4 для существования унитарной инволюции, тривиально действующей на $X$, необходимо, чтобы для подходящего $x \in X$ выполнялось равенство $\gamma \gamma^\tau=N_{X/k}(x)$. Не ограничивая общности, можно считать $\gamma\in V_K$. Покажем тогда, что $\gamma\in M_K$. Действительно, пусть $\gamma \in U_K$. Тогда $\Gamma\in U_D$ и $\Gamma\beta\Gamma^{-1}=\beta^{\varphi}$. Переход к вычетам $\overline{\Gamma}\,\overline{\beta}\,\overline{\Gamma}^{-1} =\overline{\beta^{\varphi}}=\overline{\beta}^{\,\overline{\varphi}}$ приводит к противоречию, поскольку $\overline{D}$ – поле и $\overline{\beta}\neq \overline{\beta}^{\,\overline{\varphi}}$. Следовательно, $\gamma \in M_K$. Заметим, что $v_K(\gamma) \notin p \Gamma_K$. В самом деле, пусть $v_K(\gamma)=p v_K(\delta)$ для подходящего $\delta \in K$. Рассмотрим элемент $\gamma \delta^{-p}\in U_K$. Так как $D=(Z, \varphi \otimes_K \mathrm{id}, \gamma \delta^{-p})$, то мы приходим к уже рассмотренному случаю $\gamma \in U_K$. Ввиду неразветвленности расширения $X/k$ $v_K(N_{X/k}(x)) \in p \Gamma_K$. Поскольку $(2,p)=1$ и $v_K(\gamma) \notin p \Gamma_K$, то $v_K(\gamma \gamma^\tau)=2 v_K(\gamma) \notin p \Gamma_K$, что снова ведет к противоречию. Стало быть, не существует алгебр нечетного простого индекса $p$ с $K/k$-инволюцией. Воспользуемся индукцией по $\operatorname{ind} D$. Пусть $D$ – некоммутативная $K$-алгебра индекса $p^r$ $(r>1)$ такая, что $\overline{D}$ – поле, и предположим, что не существует слабо разветвленных алгебр индекса, меньшего чем $p^r$, $r>1$, с коммутативными алгебрами вычетов. Напомним, что $Z(\overline{D}) \neq \overline{K}$. Пусть снова $Z(\overline{D})_s$ максимальное сепарабельное подрасширение расширения $Z(\overline{D})/\overline{k}$. Тогда $Z(\overline{D})_s/\overline{k}$ – $\overline{\tau}$-инвариантное расширение. Ввиду леммы 12, примененной к $k$-алгебре $D$ и расширению $Z(\overline{D})_s/\overline{k}$, возникает $\tau$-инвариантный неразветвленный подъем $\widehat{Z}$ последнего расширения. В силу нечетности степени расширения $Z(\overline{D})_s/\overline{k}$, $\overline{\tau}$ – тождественный автоморфизм $Z(\overline{D})_s/\overline{k}$. Следовательно, $\tau|_{\widehat{Z}}=\mathrm{id}$. Ввиду неразветвленности расширения $\widehat{Z}/k$, оно абелево (поскольку абелевым над $\overline{k}$ является поле вычетов поля $\widehat{Z}$). Пусть $\widetilde{Z_p}/\overline{k}$ – подрасширение расширения $Z(\overline{D})_s/\overline{k}$ такое, что $\widetilde{Z_p}/\overline{k}$ – циклическое расширение степени $p$, и рассмотрим $\tau$-инвариантный неразветвленный подъем $Z_p/k$ расширения $\widetilde{Z_p}/\overline{k}$. Ясно, что $\widetilde{Z_p}$ $\overline{\tau}$-инвариантно, и потому по лемме 12 существует неразветвленный $\tau$-инвариантный подъем $Z_p$ расширения $\widetilde{Z_p}/\overline{k}$. Тогда централизатор $C_D(Z_pK)$ $\tau$-инвариантен и слабо разветвлен над $Z_pK$, $\operatorname{ind} C_D(Z_pK)=p^{r-1}$, что приводит к противоречию с предположением $r>1$. Теорема доказана. В общем случае из леммы 12 немедленно вытекает Следствие 9. В алгебре $D\in \operatorname{TR}(K)$ существует неразветвленный $\tau$-инвариантный подъем $Z/K$ поля $Z(\overline{D})$. Действительно, в формулировке леммы 12 $\widetilde{Z}=Z(\overline{D})$. Тогда ввиду $D\in \operatorname{TR}(K)$ поле $\widetilde{Z}$ – сепарабельное расширение поля $\overline{K}$. Ниже ключевую роль играет Доказательство. Ввиду следствия 9 расширение $Z(\overline{D})/\overline{K}$ сепарабельно. Пусть $Z$ – неразветвленный $\tau$-инвариантный подъем $Z(\overline{D})/\overline{K}$, существующий ввиду леммы 12. К $\tau$-инвариантной алгебре $C_D(Z)$ применимо [36; следствие 2.11]. Поэтому $C_D(Z)=I\otimes_Z T$, где $I$ – алгебра инерции алгебры $C_D(Z)$, а $T$ – вполне разветвленная $Z$-алгебра. Если $T$ – поле, то $T=Z$, и наша теорема верна. Покажем, что в случае $\operatorname{char} \overline{k}=2$ это условие выполнено. Действительно, ввиду $D\in \operatorname{TR}(K)$ индекс $T$ нечетен. Так как $\overline{D}=\overline{I}$, то $\overline{I}$ обладает инволюцией $\overline{\tau}$. Тогда в $\overline{I}$ существует максимальное сепарабельное $\overline{\tau}$-инвариантное расширение, которое по лемме 12 поднимается до максимального $\tau$-инвариантного неразветвленного расширения $L/Z$ в $I$. Рассмотрим расширение $C_D(Z)\otimes_Z L$, изоморфное $L$-алгебре $(I\otimes_Z L)\otimes_L (T\otimes_Z L)$. Ввиду [36; теорема 3.1] алгебра $T\otimes_Z L$ вполне разветвлена, имеет нечетный индекс и обладает инволюцией, приходящей с естественной инволюции алгебры $C_D(Z)\otimes_Z L$. По теореме 11 $\operatorname{ind}(T\otimes_Z L)=1$ и совпадает с $\operatorname{ind} T$. Таким образом, в дальнейшем можно считать, что $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$ и алгебра $T$ некоммутативна. Если $I^{\tau}=I$, то теорема доказана. Предположим, что $I^\tau \neq I$. Воспользовавшись теоремой 10, поднимем $\overline{\tau}$ до инволюции алгебры $I$, которая продолжается до инволюции $s$ алгебры $D$ (теорема 5). Поскольку $s|_K=\tau|_K$, то $s=\tau i_g$ для некоторого $g \in S_\tau(D)$. Имеем $i_g|_Z \colon Z \to gZg^{-1}=gZ^\tau g^{-1}=Z^s$. Поскольку $I^s=I$, то и $Z^s=Z$, а потому $i_g|_Z \in \operatorname{Gal}(Z/K)$. Так как $\tau s=i_g$, то $\overline{\tau} \overline{s}=\overline{i_g}$, что влечет $\overline{i_g}|_{\overline{Z}}=\mathrm{id}_{\overline{Z}} \in \operatorname{Gal}(\overline{Z}/\overline{K})$. Ввиду неразветвленности расширения $Z/K$ имеем $\operatorname{Gal}(Z/K) \cong \operatorname{Gal}(\overline{Z}/\overline{K})$, и потому $i_g|_Z=\mathrm{id}_Z$. Следовательно, $g \in C_D(Z)$ и $v(g) \in \Gamma_T$. Пусть $g=u n^\tau$, где $u \in U_D$, $n^{\tau}\in T$ (заметим, что $\Gamma_T=\Gamma_{T^{\tau}})$ и $v(n)=v(g)$. Тогда для $i \in I$ $i^s=g i^\tau g^{-1}=u n^\tau i^\tau n^{-\tau} u^{-1}=u (n^{-1} i n)^\tau u^{-1}=u i^\tau u^{-1}$. Таким образом, поскольку $\overline{s}=\overline{\tau}$ и $s|_I=\tau i_u |_I$, то и $\overline{i_u}=i_{\overline{u}}=\mathrm{id}_{\overline{I}}$. Следовательно, $u=u_z (1+m)$ для подходящих элементов $u_z \in U_Z$ и $m \in M_D$. Ясно теперь, что можно считать, что $u=1+m$. Применим $s$ к обеим частям равенства $i^s=u i^{\tau}u^{-1}$. Тогда $i=(u i^{\tau} u^{-1})^s$. Так как $u i^{\tau}u^{-1}\in I$, то $i=(u i^{\tau} u^{-1})^s=(ui^{\tau} u^{-1})^{\tau i_u}=(u u^{-\tau})i (u u^{-\tau})^{-1}$. Таким образом, $i=(u u^{-\tau})i (u u^{-\tau})^{-1}$ и потому $u u^{-\tau}\in T$ (поскольку $T=C_D(I))$. Пусть $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$. Тогда $\overline{u+u^{\tau}}=\overline{2}$ и потому $u+u^{\tau}\in U_D$. Тогда $u+u^{\tau}=(t^{-1}+1)u$, где $t=u u^{-\tau}$. Для $i\in I$
$$
\begin{equation*}
i^s=(t^{-1}+1)^{-1}i^s(t^{-1}+1)=(t^{-1}+1)ui^{\tau} u^{-1}(t^{-1}+1)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Но $(t^{-1}+1)u=u+u^{\tau}$. Следовательно, Ясно, что $\overline{\bigl((u+u^{\tau})/2\bigr)}=\overline{1}$. Положим $(u+u^{\tau})/2=1+p$. Тогда $1+p \in (1+M_D) \cap S_\tau(D)$, $i^s=(1+p) i^\tau (1+p)^{-1}$. Ввиду слабой разветвленности расширения $K/k$ слабо разветвленным является расширение $K(1+p)/k(1+p)$. Тогда элемент $1+p$ – норма некоторого элемента $1+q \in 1+M_{K(1+p)}$, т.е. $1+p=(1+q)(1+q)^\tau$. Положим $J=(1+q)^{-1}I(1+q)$. Тогда Стало быть, $J$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции алгебры $D$. Теорема доказана. Теорема 12 усиляется с помощью следующих двух утверждений. Лемма 17. Пусть $A$ – подалгебра $F$-алгебры $D$ с инволюцией $\tau$, $A$ – неразветвленная $\tau$-инвариантная $F$-алгебра с делением, $F\subset Z(A)$, причем $F^{\tau}=F$, $\widetilde{R}$ – центральная $\overline{\tau}$-инвариантная $\overline{F}$-алгебра такая, что $\overline{A}=\widetilde{R} \otimes_{\overline{F}} \widetilde{L}$, где $\widetilde{L}$ – сепарабельное расширение поля $\overline{F}$. Тогда существует неразветвленный $\tau$-инвариантный подъем $\overline{F}$-алгебры $\widetilde{R}$ в $A$. Доказательство. По теореме 8 алгебра $A$ может быть представлена в виде $A=\widehat{R} \otimes_F L$, где алгебра $\widehat{R}$ – неразветвленная алгебра над $F$ с алгеброй вычетов $\widetilde{R}$, а $L$ – $\tau$-инвариантное неразветвленное расширение поля $F$. Предположим, что $\widehat{R}^{\tau} \neq \widehat{R}$. Поднимем $\overline{\tau}\mid \widetilde{R}$ до инволюции алгебры $\widehat{R}$, которая, в свою очередь, продолжается до инволюции $s$ алгебры $A$, если положить ее действие на $L$ совпадающим с действием инволюции $\tau$. Так как $s|_{Z(A)}=\tau|_{Z(A)}$, то $s=\tau i_g$ для некоторого $g \in A$. Поскольку $Z(A)$-алгебра $A$ – неразветвленная алгебра, то $g=\pi_{Z(A)} u$, где $\pi_{Z(A)} \in M_{Z(A)}$, $u \in U_A$. Оставшаяся часть доказательства копирует рассуждения из доказательства теоремы 12. Более точно, при произвольном $r \in \widehat{R}$ Ввиду $\overline{s}=\overline{\tau}$ и $s|_{\widehat{R}}=\tau i_u |_{\widehat{R}}$ имеем $\overline{i_u}=i_{\overline{u}}$, и потому последний автоморфизм – тождественный автоморфизм алгебры вычетов алгебры $\widehat{R}$. Следовательно, $u=u_l (1+m)$ для подходящих элементов $u_l \in U_L$ и $m \in M_A$. Ясно теперь, что можно считать, что $u=1+m$. Применим $s$ к обеим частям равенства $r^s=u r^{\tau}u^{-1}$. Тогда получим $r=(u r^{\tau} u^{-1})^s$. Так как $u r^{\tau}u^{-1}\in \widehat{R}$, то $r=(u r^{\tau} u^{-1})^s=(ur^{\tau} u^{-1})^{\tau i_u}=(u u^{-\tau})r (u u^{-\tau})^{-1}$. Таким образом, $r=(u u^{-\tau})r (u u^{-\tau})^{-1}$, и потому $u u^{-\tau}\in C_A(\widehat{R})$. Так как $\operatorname{char} \overline{Z(A)}\neq2$, а вычет элемента $u+u^{\tau}$ равен $\overline{2}$, то $u+u^{\tau}\in U_A$. Положим $t=u u^{-\tau}$. Тогда $u+u^{\tau}=(t^{-1}+1)u$. Кроме того, имеем
$$
\begin{equation*}
r^s=(t^{-1}+1)^{-1}r^s(t^{-1}+1)=(t^{-1}+1)ur^{\tau} u^{-1}(t^{-1}+1)^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
но $(t^{-1}+1)u=u+u^{\tau}$. Следовательно, Ясно, что $\overline{\bigl((u+u^{\tau})/2\bigr)}=\overline{1}$. Положим $(u+u^{\tau})/2=1+p$. Тогда $1+p \in (1+M_A) \cap S_\tau(A)$, Ввиду слабой разветвленности расширения $Z(A)/Z(A)_{\tau}$ слабо разветвленным является и расширение $Z(A)(1+p)/Z(A)_{\tau}(1+p)$. Тогда элемент $1+p$ – норма некоторого элемента $1+q \in 1+M_{Z(A)(1+p)}$, т.е. $1+p=(1+q)(1+q)^\tau$. Обозначим через $J$ алгебру $(1+q)^{-1}\widehat{R}(1+q)$. Она $\tau$-инвариантна: Стало быть, $J$ – $\tau$-инвариантный подъем алгебры $\widetilde{R}$ в $A$. Лемма доказана. Лемма 18. Пусть $A$ – неразветвленная алгебра с делением, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(A)$, и $F$ – $\tau$-инвариантное подполе поля $Z(A)$. Тогда для всякой $\overline{\tau}$-инвариантной алгебры $\widetilde{S}$, являющейся подалгеброй $\overline{A}$, с условием $Z(\widetilde{S}) $ – сепарабельное расширение поля $\overline{F}$, в алгебре $A$ существует $\tau$-инвариантный неразветвленный подъем алгебры $\widetilde{S}$. Доказательство. Рассмотрим $\overline{Z(A)} Z(\widetilde{S})$ – $\overline{Z(A)}$-линейную оболочку поля $Z(\widetilde{S})$. Ясно, что она является $\overline{\tau}$-инвариантным расширением поля $\overline{Z(A)}$. Ее централизатор в $\overline{A}$ также $\overline{\tau}$-инвариантен, и потому $C_{\overline{A}} (\overline{Z(A)} Z(\widetilde{S}))=\widetilde{S} \otimes_{Z(\widetilde{S})} \overline{Z(A)} Z(\widetilde{S})$, что позволяет редуцировать доказательство леммы к применению леммы 17. Лемма доказана. Теорема 13. У всякой $\overline{\tau}$-инвариантной $\overline{K}$-подалгебры $\widetilde{E}\subset \overline{D}$ такой, что центр $Z(\widetilde{E})$ алгебры $\widetilde{E}$ сепарабелен над $\overline{K}$, существует $\tau$-инвариантный неразветвленный подъем $\widehat{E}\subset D$ (над $K$). Доказательство. Доказательство теоремы может быть редуцировано к случаю, когда $D$ – неразветвленная $K$-алгебра. Действительно, по теореме 12 в алгебре $D$ существует $\tau$-инвариантная алгебра инерции $I$. Обозначим через $\widetilde{E'}$ $Z(\overline{I})$-линейную оболочку алгебры $\widetilde{E}$. Ясно, что $\widetilde{E'}\subset \overline{I}$. Заметим, что $Z(\widetilde{E'})$ – сепарабельное расширение поля $Z(\overline{I})$ $($как композит полей $Z(\widetilde{E})$ и $Z(\overline{I}))$. Следовательно, $Z(\overline{I})Z(\widetilde{E'}) \subset \widetilde{E'} \subset \overline{I}$. Рассматривая вместо алгебры $D$ алгебру $I$, которая не разветвлена над $Z(I)$, установим вначале (лемма 18) существование $E'$-неразветвленного $\tau$-инвариантного подъема $\widetilde{E'}$ в $I$, а затем (лемма 17) существование $\widehat{E}$-неразветвленного $\tau$-инвариантного подъема в алгебре $E'$. В силу леммы 12 в $I$ существует $\tau$-инвариантный подъем поля $Z(\overline{I})Z(\widetilde{E})$. Значит, мы приходим к случаю, когда $K$-алгебра $D$ не разветвлена над $K$. Ввиду леммы 12 расширение $Z(\widetilde{E})/\overline{K}$ обладает $\tau$-инвариантным неразветвленным подъемом $Z$ в алгебре $D$. По теореме 8 алгебра $\widetilde{E}$ обладает неразветвленным подъемом $E/K$. Заметим, что поскольку $Z(E^{\tau})=Z^{\tau}$, а $Z^{\tau}=Z$, то алгебры $E$ и $E^{\tau}$ имеют одинаковые центры. Предположим, что $E^{\tau}\neq E$. Поднимем $\overline{\tau}$ до инволюции алгебры $E$ (см. [43]), которая, в свою очередь, продолжается до инволюции $s$ алгебры $D$ (теорема 5). Поскольку ограничения инволюций $s$ и $\tau$ на $K$ одинаковы, то $s=\tau i_g$ для подходящего элемента $g \in D$. Из неразветвленности алгебры $D$ над $K$ следует, что $g=\pi_K u$, $\pi_K \in K \setminus U_K$, $u\in U_D$. Оставшаяся часть доказательства копирует рассуждения из доказательства теоремы 12 и леммы 17. Более точно, при произвольном $e \in E$ имеем
$$
\begin{equation*}
e^s=g e^\tau g^{-1}=u \pi_K^\tau e^\tau \pi_K^{-\tau} u^{-1}=u (\pi_K^{-1} e \pi_K)^\tau u^{-1}=u e^\tau u^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, поскольку $\overline{s}=\overline{\tau}$ и $s|_E=\tau i_u |_E$, то и $\overline{i_u}=i_{\overline{u}}=\mathrm{id}_{\overline{E}}$. Следовательно, $u=u_z (1+m)$ для подходящих элементов $u_z \in U_Z$ и $m \in M_D$. Ясно теперь, что можно считать, без ограничения общности, $u=1+m$. Применим $s$ к обеим частям равенства $e^s=u e^{\tau}u^{-1}$. Тогда $e=(u e^{\tau} u^{-1})^s$. Так как $u e^{\tau}u^{-1}\in E$, то $e=(u e^{\tau} u^{-1})^s=(ue^{\tau} u^{-1})^{\tau i_u}=(u u^{-\tau})e (u u^{-\tau})^{-1}$. Подобно рассуждениям, например, из доказательства леммы 17, получим $u u^{-\tau}\in C_D(E)$. Кроме того, нетрудно видеть, что $u+u^{\tau}\in U_D$. Далее имеем $(u+u^{\tau})/2=1+p$, причем $1+p \in (1+M_D) \cap S_\tau(D)$ и $e^s=(1+p) e^\tau (1+p)^{-1}$. Ввиду слабой разветвленности расширения $K(1+p)/k(1+p)$ элемент $1+p$ – норма некоторого элемента $1+q \in 1+M_{K(1+p)}$, т.е. $1+p=(1+q)(1+q)^\tau$. Обозначим через $J$ алгебру $(1+q)^{-1}E(1+q)$. Она $\tau$-инвариантна: Значит, $J$ – $\tau$-инвариантный подъем алгебры $\widetilde{E}$ в $D$. Теорема доказана. Пусть $I$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции алгебры $D$, тогда центр $Z$ этой алгебры $\tau$-инвариантен и $(C_D(Z))^{\tau}=C_D(Z)$. Заметим, что алгебра $C_D(Z)$ бездефектна над $Z$, и потому ввиду [36; следствие 2.11] $C_D(Z)=T \otimes_Z I$, где $T$ вполне разветвлена над $Z$. Поскольку $C_D(Z)$ и $I$ $\tau$-инвариантны, то $\tau$-инвариантным является и $T$ (так как $T=C_D(I)$). Одной из главных целей этого параграфа является перенос на слабо разветвленные алгебры с унитарными инволюциями основного факта о строении конечного слабо разветвленного расширения гензелевого поля, утверждающего, что всякое такое расширение может быть получено как башня вполне разветвленных (радикальных) расширений максимального неразветвленного подрасширения. Для формулировки основной теоремы параграфа о разложении в $\tau$-инвариантную радикальную башню над $\tau$-инвариантной алгеброй инерции $I$ найдем систему образующих алгебры $D$, являющихся корнями из элементов, принадлежащих $C_D(Z)$ и порождающих вполне разветвленные расширения. В общем случае нам также потребуются сведения о существовании внешних автоморфизмов алгебры $C_D(Z)$. Теперь несколько слов об обобщенных группах диэдра. Определение 8. Пусть $n$ – нечетное число, большее $1$. Группа $G$ порядка $2n$ называется обобщенной группой диэдра, если обладает абелевой подгруппой $H$ порядка $n$ и элементом $a$ порядка $2$ с определяющими соотношениями $aha^{-1}=h^{-1}$ для произвольного $h\in H$. Нетрудно видеть, что последнее определение эквивалентно следующему. Определение 9. Пусть $n$ – нечетное число, большее $1$. Группа $G$ порядка $2n$ называется ообобщенной группой диэдра, если обладает абелевой подгруппой $H$ такой, что $[G:H]=2$, и любой элемент, принадлежащий $G \setminus H$, имеет порядок 2. В этих обозначениях справедливо Предложение 7. Пусть $Z(\overline{D}) \neq \overline{K}$, $I$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции для $D$. Тогда в $D$ существует неразветвленное $\tau$-инвариантное абелево расширение $Z/K$ (например, $Z=Z(I)$) и такая система $\tau$-инвариантных элементов $\{ \Pi_1, \dots, \Pi_r \}\subset M_D$, что (i) $\overline{Z}=Z(\overline{D})$; (ii) $Z=Z_1\times \dots \times Z_r$ (прямой композит $Z_1,\dots,Z_r$ над $K$), $Z_j/K$ – $\tau$-инвариантное циклическое расширение с группой Галуа, порожденной $i_{\Pi_j}|_{Z_j}$, $j=1,\dots, r$; (iii) $(\tau|_{Z_j}\circ i_{\Pi_j}|_{Z_j})^2=\mathrm{id}_{Z_j}$, т.е. $\operatorname{Gal}(Z_j/k)$ – обобщенная группа диэдра либо абелева группа экспоненты $2$. Доказательство. Поскольку алгебра $I$ $\tau$-инвариантна и не разветвлена над $K$, то этими же свойствами обладает ее центр $Z(I)$. Кроме того, $\overline{Z(I)}=Z(\overline{D})$. Положим $Z=Z(I)$. Ясно, что $Z^{\tau}=Z$. Так как расширение $Z(\overline{D})/\overline{K}$ абелево, а $Z/K$ – его неразветвленный подъем в $D$, то $Z/K$ также абелево и потому его группа Галуа есть прямое произведение циклических групп $\langle\varphi_j\rangle$, $j=1,\dots,r$, где $\langle\varphi_j\rangle$ – циклическая группа с образующей $\varphi_j$. По теореме Сколема– Нётер автоморфизм $\varphi_j$ продолжается до некоторого внутреннего автоморфизма $i_{\Pi_j}$, причем заменяя $\varphi_j$ на $\varphi_j^{-1}$ (если необходимо), можно считать, что $\Pi_j\in M_D$. Заметим, что $\Pi_j^{\tau}=u_j\Pi_j$, где $u_j \in U_D$. Заменяя $\Pi_j$ (если необходимо) на подходящий элемент $\Pi_j v_j$, где $v_j \in U_Z$, можно, не ограничивая общности, считать, что $u_j+1\in U_D$. Действительно, пусть $u_j+1 \in M_D$ и $(\Pi_j v_j)^{\tau}=w_j\Pi_j v_j$, где $w_j+1 \in M_D$, для любого $v_j \in U_Z$. Тогда $v_j^{\tau} \Pi_j^{\tau}=w_j\Pi_j v_j$. Так как $\Pi_j^{\tau}=u_j\Pi_j$ и $\Pi_j v_j \Pi_j^{-1}=v_j^{\varphi_j}$, получаем $v_j^\tau u_j=w_j v_j^{\varphi_j}$ Прибавляя к обеим частям последнего равенства элемент $v_j^{\varphi_j}+v_j^\tau$, получаем $v_j^{\tau} (u_j+1)+v_j^{\varphi_j}=(w_j+1) v_j^{\varphi_j}+v_j^\tau$. Поскольку $u_j+1 \in M_D$ и $w_j+1 \in M_D$, заключаем, что $v_j^{\varphi_j}=v_j^\tau+m$, где $m \in M_D$. Последнее равенство влечет $\overline{v_j}^{\,\overline{\varphi_j}}=\overline{v_j}^{\,\overline{\tau}}$. Пусть теперь $v_j \in U_{Z_\tau}$. Тогда $\overline{v_j}^{\,\overline{\varphi_j}}=\overline{v_j}$. Поскольку $\overline{\varphi_j}$ – нетождественный автоморфизм поля $\overline{Z_\tau}$, то в $\overline{Z_\tau}$ найдется элемент $\widetilde v_j$ такой, что $\widetilde{v_j}^{\,\overline{\varphi_j}} \neq \widetilde{v_j}$. Если $v_j$ – прообраз $\widetilde{v_j}$ в $Z_\tau$, то мы получаем противоречие. Откуда заключаем, что можно считать $u_j+1 \in U_D$. Рассмотрим ограничение на $\overline{Z}$ редукции инволюции $\tau i_{\Pi_j^{\tau}+\Pi_j}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\overline{\tau i_{\Pi_j^{\tau}+\Pi_j}}|_{\overline{Z}} =\overline{\tau}|_{\overline{Z}}\,\overline{i_{\Pi_j^{\tau}+\Pi_j}}|_{\overline{Z}} =\overline{\tau}|_{\overline{Z}}\,\overline{i_{(u_j+1)\Pi_j}}_{\overline{Z}} =\overline{\tau}|_{\overline{Z}}(\overline{i_{\Pi_j}}|_{\overline{Z}}\, \overline{i_{u_j+1}}|_{\overline{Z}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\overline{i_{u_j+1}}|_{\overline{Z}}$ – тождественное отображение $\overline{Z}$, то мы получаем, что ограничение редукции $\overline{\tau}|_{\overline{Z}}\,\overline{i_{\Pi_j}}|_{\overline{Z}}$ – инволюция в $\operatorname{Gal}(Z(\overline{D})/\overline{k})$, т.е. $(\overline{\tau}|_{Z(\overline{D})}\,\overline{\varphi}_j)^2=1$ или $\overline{\tau}_{Z(\overline{D})} \overline{\varphi}_j \overline{\tau}_{Z(\overline{D})}=\overline{\varphi}_j^{-1}$. Стало быть, $\operatorname{Gal}(Z(\overline{D})/\overline{k})$ – обобщенная группа диэдра в случае $\overline{\tau}|_{Z(\overline{D})} \neq \mathrm{id}_{Z(\overline{D})}$, или она является абелевой группой экспоненты $2$. Если $K/k$ – неразветвленное расширение, то $\overline{\tau} \neq \mathrm{id}_{Z(\overline{D})}$, и потому группа Галуа $\operatorname{Gal}(Z/k)$ – обобщенная группа диэдра, поскольку $Z/k$ – неразветвленный подъем $Z(\overline{D})/\overline{k}$. Если $K/k$ вполне разветвлено, то $Z=Z_\tau \times K$ – прямой композит полей $Z_{\tau}/k$ и $K/k$ и потому $\operatorname{Gal}(Z/k)=\operatorname{Gal}(Z_\tau/k) \times \operatorname{Gal}(K/k)$ – снова обобщенная группа диэдра. Рассмотрим следующее равенство: $\Pi_j z \Pi_j^{-1}=z^{\varphi_j}$, где $z \in Z$, и применим к его обеим частям $\tau$. Поскольку $\operatorname{Gal}(Z/k)$ – обобщенная группа диэдра, то
$$
\begin{equation*}
\Pi_j^{-\tau} z^\tau \Pi_j^\tau=z^{\varphi_j \tau}=z^{\tau \varphi_j^{-1}}=\Pi_j^{-1} z^\tau \Pi_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $Z^{\tau}=Z$, то $z=\Pi_j^\tau \Pi_j^{-1} z \Pi_j \Pi_j^{-\tau}$ Таким образом, $\Pi_j^\tau=c_j \Pi_j$, где $c_j \in C_D(Z) \cap U_D$. Нетрудно видеть, что $i_{\Pi_j+\Pi_j^\tau}|_Z=i_{\Pi_j}|_Z$, и потому, не ограничивая общности, можно считать, что $\Pi_j^{\tau}=\Pi_j$. Пусть теперь $\Phi_j$ – подгруппа $\operatorname{Gal}(Z/K)$, порожденная $\varphi_i$, $i\,{\in}\, \{1,2,\dots ,r\}\,{\setminus}\, \{j\}$. Обозначим через $Z_j$ поле инвариантов группы $\Phi_j$. Тогда $Z_j/K$ – расширение Галуа с группой $\langle\varphi_j|_{Z_j} \rangle$. Покажем, что $Z_j^{\tau}=Z_j$. Для любого $z\in Z_j$ и любого $g\in \Phi_j$ имеем $z^g=z$. Применяя к обеим частям последнего равенства $\tau$, получим $z^{g\tau}=z^{\tau}$. Но $g=\varphi_1^{\alpha_1}\dotsb \varphi_r^{\alpha_r}$, где $\alpha_j=0$. Тогда $z^{g\tau}=z^{\tau g^{-1}}=z^{\tau}$. Если $g$ пробегает группу $\Phi_j$, то то же самое верно и для $g^{-1}$. Значит, $z^{\tau}$ принадлежит полю инвариантов группы $\Phi_j$. Следовательно, $Z_j^{\tau}\subseteq Z_j$. Обратное очевидно. Предложение доказано. Лемма 19. Пусть снова $D, \tau, I, Z$ и $\Pi_1, \dots, \Pi_r$ такие, как в предыдущем предложении. Если $C_D(Z)=T \otimes_Z I$ и $i_{\Pi_j}|_Z \in \operatorname{Gal}(Z/K)$, то для любого $j\in\{1,2,\dots,r\}$ существует $\tau$-инвариантный элемент $\Gamma_j$ такой, что $I^{i_{\Gamma_j}}=I$ и $i_{\Gamma_j}|_Z=i_{\Pi_j}|_Z$. Доказательство. Пусть $i_{\Pi_j}|_Z \in \operatorname{Gal}(Z/K)$. Рассмотрим редукцию инволюции $\tau i_{\Pi_j}$. Эта редукция поднимается до инволюции $\widehat{\mu}_j$ алгебры $I$, которая, в свою очередь, продолжается до $K/k$-инволюции $\mu_j$ алгебры $D$. Тогда $\mu_j=\tau i_{\Gamma_j}$, где $\Gamma_j^{\tau}=\Gamma_j$. Элементы $\Gamma_1, \dots, \Gamma_r$ обладают требуемыми свойствами. Лемма доказана. Лемма 20. Если $C_D(Z)=T \otimes_Z I$ и $i_{\Gamma_j}|_Z \in \operatorname{Gal}(Z/K)$, то существуют такие $\tau\varphi_j$-инвариантные элементы $i_j\in I$ и $t_j\in T$, что $\Gamma_j^{e_j}=t_j i_j$. Доказательство. Пусть $i_{\Gamma_j}|_Z \in \operatorname{Gal}(Z/K)$ и $I^{i_{\Gamma_j}}=I$ (см. лемму 19). Тогда $i_{\Gamma_j^{e_j}}|_Z=\mathrm{id}_Z$. Стало быть, $i_{\Gamma_j^{e_j}}|_I=i_{i_j}|_I$ для подходящих $i_j\in I$. Следовательно, $i_{\Gamma_j^{e_j} i_j^{-1}}|_I=\mathrm{id}_I$, и потому $\Gamma_j^{e_j}=i_j t_j$, где $t_j \in C_D(I)=T$. Покажем, что $t_j$ и $i_j$ можно выбрать $\tau\varphi_j$-инвариантными. Действительно,
$$
\begin{equation*}
i_j t_j=\Gamma_j^{e_j}=(\Gamma_j^{e_j})^{\varphi_j^{-1}}=i_j^{\varphi_j^{-1}} t_j^{\varphi_j^{-1}}, \qquad i_j t_j=\Gamma_j^{e_j}=(\Gamma_j^{e_j})^{\tau}=i_j^{\tau} t_j^{\tau}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу последнего равенства заключаем, что $i_j^{\tau} t_j^{\tau}=i_j^{\varphi_j^{-1}} t_j^{\varphi_j^{-1}}$. Применяя $\tau$ к обеим частям этого равенства, получаем, что $i_jt_j=i_j^{\varphi_j^{-1}\tau} t_j^{\varphi_j^{-1}\tau}$. Но $\varphi_j^{-1}\tau=\tau \varphi_j$. Следовательно, $t_j^{\tau\varphi_j}t_j^{-1}=(i_j^{\tau\varphi_j})^{-1} i_j \in Z$. Пусть $z_j=\delta_j^{\tau\varphi_j-1}$, $\delta_j\in Z $. Тогда элементы $t_j \delta_j^{-1}$ и $i_j \delta_j$ являются $\tau\varphi_j$-инвариантными. Лемма доказана. Заметим, что по теореме 9 центральная вполне разветвленная над $Z$ алгебра $T$ представляется в следующем виде: $T=\langle \Delta_1, \dots, \Delta_s, Z \rangle$, где $\Delta_i$, $i=1,\dots,s$, – $\tau$-инвариантные радикалы над $Z(I)$. Тогда имеют место следующие теоремы. Теорема 14. Пусть $Z(\overline{D}) \neq \overline{K}$ и $I$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции алгебры $D$. Тогда $D=\langle \Gamma_1, \dots, \Gamma_r, \Delta_1, \dots, \Delta_s, I \rangle$. Теорема 15. Пусть $Z(\overline{D}) \neq \overline{K}$ и $I$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции алгебры $D$. Тогда $D=\langle \Gamma_1, \dots, \Gamma_r, C_D(Z(I)) \rangle$. Следствие 10. В обозначениях теоремы 14 верны следующие равенства: С помощью предыдущего доказывается усиление теоремы 12. Теорема 16. Пусть $D\in \operatorname{TR}(K)$ – $\tau$-инвариантная алгебра с делением такая, как в лемме 12. Тогда для всякой неразветвленной над $K$ $\tau$-инвариантной подалгебры $M$ в $D$ существует $\tau$-инвариантная алгебра инерции алгебры $D$, содержащая $M$. Доказательство. Пусть $D$ – поле. Поскольку $D\in \operatorname{TR}(K)$ – $\tau$-инвариантная алгебра и расширение $M/K$ неразветвлено, то алгебра $M$ содержится в максимальном неразветвленном над $K$ подрасширении $N/K$, содержащемся в $D$, которое есть алгебра инерции алгебры $D$ (над $K$). Окончательно заметим, что $N^{\tau}=N$ ввиду $D^{\tau}=D$, что доказывает наше утверждение в случае коммутативной алгебры $D$. Пусть $D$ не поле. Покажем, что при доказательстве теоремы можно ограничиться случаем, когда $K=Z(D)$. Действительно, пусть $K$ и $Z(D)$ не совпадают. Рассмотрим $MZ(D)$ – композит $M$ и $Z(D)$ над $K$, совпадающий с $Z(D)$-линейной оболочкой поля $M$. Тогда, так как $M$ и $Z(D)$ являются $\tau$-инвариантными и неразветвленными расширениями $K$, то таковым же будет и их композит. Теперь, если показать, что подалгебра $MZ(D)$ содержится в какой-либо $\tau$-инвариантной алгебре инерции алгебры $D$, то, не ограничивая общности, можно считать, что $K=Z(D)$. Пусть вначале $\overline{D}$ – поле. Заметим, что в случае, когда $\overline{D}=\overline{K}$, $M=K$ и потому теорема справедлива ввиду теоремы 12. Пусть теперь $\overline{D}\neq\overline{K}$. Тогда, ввиду коммутативности $\overline{D}$ выполнено $\overline{D}=Z(\overline{D})$, и таким образом, $\overline{D}=Z(\overline{I})$, где $I$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции алгебры $D$. Ясно, что $Z(I)$ – $\tau$-инвариантное расширение поля $K$. Ввиду леммы 12 существует промежуточное ($K\subset \widetilde{M}\subset Z(I)$) поле $\widetilde{M}$, которое $\tau$-инвариантно и неразветвлено над $K$, причем $\overline{\widetilde{M}}=\overline{M}$. Ввиду $\overline{K}$-изоморфизма $\overline{M}$ и $\overline{\widetilde{M}}$ поля $M$ и $\widetilde{M}$ $K$-изоморфны. Можно считать, что поле $\widetilde{M}$ не совпадает с $Z(I)$. В противном случае $M$ – максимальное подполе в $D$ и теорема верна очевидным образом. Покажем, что среди $K$-изоморфизмов полей $\widetilde{M}$ и $M$ существует индуцируемый внутренним автоморфизмом алгебры $D$ приходящий с элемента из $1+M_D$. Пусть $v\in D$ таков, что автоморфизм $i_v$ индуцирует при ограничении на $\widetilde{M}$ $K$-изоморфизм $\varphi$ полей $\widetilde{M}$ и $M$. Заметим, что $i_v$ индуцирует также изоморфизм $Z(I)$ на $vZ(I)v^{-1}$, являющийся подъемом изоморфизма $\varphi$. Пусть $v=g u_Z \Pi$, где $g\in 1+M_D$, $u_Z\in Z(I)$, $\Pi$ – подходящее произведение степеней элементов $\Delta_1,\dots,\Delta_s$ и $\Gamma_1,\dots,\Gamma_r$ из теоремы 14. С учетом $vZ(I)v^{-1}=g Z(I)g^{-1}$ получаем искомый $K$-изоморфизм $\widetilde{M}$ и $M$, индуцируемый автоморфизмом $i_g$. Предположим, что теорема неверна для алгебры $M$. Тогда можно считать, что $M$ не содержится ни в какой большей $\tau$-инвариантной неразветвленной над $K$ алгебре $\widehat{M}$. Это предположение ведет к противоречию. В самом деле, определим элемент $\widetilde{\beta}\in Z(\overline{I})$ следующим образом. Если $\widetilde{M}/\overline{M}_{\tau}$ неразветвлено, то пусть $Z(\overline{I})_{\overline{\tau}}=\overline{\widetilde{M}}(\widetilde{\beta})$. В остальных случаях пусть $\overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}(\widetilde{\beta})/ \overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}$ – максимальное сепарабельное подрасширение расширения $Z(\overline{I})/\overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}$. Нетрудно видеть, что $\overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}(\widetilde{\beta})$ – $\overline{\tau}$-инвариантное расширение $\overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}$. Обозначим через $\beta$ прообраз $\widetilde{\beta}$ в $Z(I)$ и положим
$$
\begin{equation*}
E=\begin{cases} \widetilde{M}_{\tau}(\beta+\beta^{\tau}), & \operatorname{char} \overline{k}\neq2, \\ \widetilde{M}_{\tau}(\beta\cdot \beta^{\tau}), & \operatorname{char} \overline{k}=2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\tau|_E=\mathrm{id}$ и пусть $N(E)$ – максимальное неразветвленное над $\widetilde{M}_{\tau}$ подполе в $E$. Поскольку $\overline{E}=\overline{N(E)}$, то $\widetilde{\beta}\in \overline{N(E)}$. В самом деле, в случае, когда $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$, $\overline{\beta+\beta^{\tau}}=2\widetilde{\beta}\in \overline{N(E)}$, а в случае, когда $\operatorname{char} \overline{k}=2$, имеем $\widetilde{\beta}^2=\overline{\beta}\,\overline{\beta^{\,\tau}}\in \overline{N(E)}$. Кроме того, в этом случае $\overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}(\widetilde{\beta}^2) =\overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}(\widetilde{\beta})$, так как $\overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}(\widetilde{\beta})$ одновременно чисто несепарабельно и сепарабельно над $\overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}(\widetilde{\beta}^2)$. Теперь уже ясно, что поле $\overline{\widetilde{M}}_{\overline{\tau}}(\widetilde{\beta})$ поднимается в $N(E)$ до неразветвленного расширения $Z(I)_{\tau}/\widetilde{M}_{\tau}$. Откуда следует, что $Z(I)=Z(I)_{\tau}\widetilde{M}$. Пусть $\widetilde{\beta}$ – примитивный элемент неразветвленного расширения $Z(I)/\widetilde{M}$. Тогда элемент $\beta^{i_g}$ порождает неразветвленное расширение поля $M$ степени, равной $[Z(I):\widetilde{M}]$. Положим $s=\widetilde{\beta}^{i_g}+\widetilde{\beta}^{i_g \tau}$. Так как $g\in 1+M_D$, то $\overline{s}=2\overline{\widetilde{\beta}}$ и потому при $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$ расширение $M(s)$ содержит в качестве вычетов поле $\overline{M}(\overline{\widetilde{\beta}})$. Так как расширение $M(s)$ $\tau$-инвариантно, то приходим к противоречию. Если же $\operatorname{char} \overline{k}=2$, то вместо расширения $M(s)$ рассмотрим расширение элементом $\widetilde{\beta}^{i_g}\widetilde{\beta}^{i_g \tau}$. Таким образом, случай, когда $\overline{D}$ – поле, рассмотрен. Пусть $\overline{D}$ не поле. Покажем, что теорема верна в случае алгебр простых индексов. Ввиду слабой разветвленности $D$ и того, что $\overline{D}$ не поле, имеем $D$ – неразветвленная алгебра, и потому является своей алгеброй инерции в силу простоты индекса алгебры, что влечет справедливость теоремы. Пусть $\operatorname{ind} D$ – составное число, и теорема справедлива для подалгебр индексов делителей $\operatorname{ind} D$, меньших чем $\operatorname{ind} D$. Поскольку для подалгебр, рассматриваемых ниже, их индексы – всегда делители $\operatorname{ind} D$, то предыдущее условие сводится к тому, что эти индексы строго меньше $\operatorname{ind} D$. Рассмотрим теперь последовательно возможные варианты для $D$ и $M$. Напомним, что из неразветвленности $Z(M)/K$ следует $\overline{Z(M)}=Z(\overline{M})$ и $\overline{\tau}$-инвариантность и сепарабельность расширения $Z(\overline{D})/\overline{K}$. Кроме того, из совпадения $M^{\tau}$ и $M$ вытекает $Z(M)=Z(M)^{\tau}$. Ясно, что $Z(M)\subset C_D(M)$. Заметим, что $M$ содержится в некоторой алгебре инерции $A$ алгебры $D$. Действительно, рассмотрим алгебру $\overline{M}\subset \overline{D}$, тогда по результатам [36; теорема 2.9], примененным к произвольной алгебре инерции $J$ алгебры $D$ и алгебре $\overline{M}$, существует неразветвленный подъем $\widetilde{M}\subset J$. По [36; теорема 2.8] существует изоморфизм $\widetilde{M}$ и $M$, который продолжается по теореме 5 до автоморфизма $\varphi$ алгебры $D$. Тогда $J^{\varphi}$ – алгебра инерции алгебры $D$, содержащая алгебру $M$, причем $M\subset J^{\varphi}$. В случае $A^{\tau}=A$ теорема доказана. Пусть $A^{\tau}\neq A$. С учетом $[D:K]<\infty$ можно считать, что $K$-алгебра $M$ удовлетворяет следующему условию: (a) не существует $K$-подалгебры $\widehat{M}$ алгебры $D$, отличной от $M$, содержащей $M$, $\tau$-инвариантной и неразветвленной над $K$. Заметим далее, что для полей $Z(\overline{M})$ и $Z(\overline{D})$ возможны два случая: (1) $Z(\overline{M})Z(\overline{D})=Z(\overline{M})$; (2) $Z(\overline{D})Z(\overline{M})\neq Z(\overline{M})$. Пусть $M$ не поле. Тогда алгебра $C_D(M)$ некоммутативна. В самом деле, если $C_D(M)$ – поле, то $C_D(M)=Z(M)$. Так как в противном случае центр алгебры $C_D(Z(M))$, совпадающий с $C_D(M)$, отличен от $Z(M)$, что не так, поэтому $C_D(M)$ не поле. Рассмотрим централизатор $C_D(Z(M))$ и применим [36; теорема 3.1] к алгебре $D$ и неразветвленному расширению $Z(M)/K$. Получим $Z(\overline{C_D(Z(M))})\cong Z(\overline{D})Z(\overline{M})$, и ввиду нашего предположения $Z(\overline{D})Z(\overline{M})\neq Z(\overline{M})$. С другой стороны, если алгебра $C_D(M)$ вполне разветвлена над $Z(M)$, то в силу [36; предложение 1.4] $\overline{C_D(Z(M))}=\overline{M}$. Таким образом, с учетом $\tau$-инвариантности и некоммутативности $C_D(M)$ в силу теоремы 12 существует $\tau$-инвариантная алгебра инерции $I$ алгебры $C_D(M)$, что противоречит максимальности $M$ в смысле условия (a) (достаточно рассмотреть $I$-оболочку алгебры $M$). Пусть $M$ – поле и имеет место случай (2). Тогда композит $Z(\overline{D})Z(\overline{M})$ над $\overline{K}$ сепарабелен. Обозначим через $\widetilde{\alpha}$ примитивный элемент этого расширения. Поскольку $Z(M)$ – $\tau$-инвариантное расширение $K$, то $\tau$-инвариантным является и $Z(M)$-алгебра $C_D(Z(M))$. По лемме 12 существует элемент $\alpha$ в $C_D(Z(M))$ такой, что $\overline{\alpha}=\widetilde{\alpha}$, и такой, что расширение $Z(M)(\alpha)/Z(M)$ $\tau$-инвариантно и неразветвлено. Поскольку $M$ – поле, то $Z(M)=M$, и, таким образом, мы доказали существование расширения $M(\alpha)$, строго содержащего $M$ и не совпадающего с $D$, что противоречит условию (а) для $M$. Стало быть, мы оказываемся в рамках случая (1). Таким образом, можем считать, что $Z(\overline{M})Z(\overline{D})=Z(\overline{M})$. Пусть $Z\subset Z(M)$ – неразветвленный над $K$ $\tau$-инвариантный подъем расширения $Z(\overline{D})/\overline{K}$ (заметим, что последнее существует ввиду равенства $Z(\overline{M})Z(\overline{D})=Z(\overline{M})$). Покажем, что $Z$ можно считать совпадающим с $K$. Действительно, предположим, что $Z\neq K$. Рассмотрим централизатор $C_D(Z)$. Нетрудно видеть, что $Z$-алгебра $C_D(Z)$ – $\tau$-инвариантная центральная алгебра над $Z$. Для этой алгебры априори возможны два варианта зависимости от коммутативности или некоммутативности $C_D(Z)$. В первом случае заметим, что ввиду $Z\subset Z(M)$ верно $M\subset C_D(Z)$, и $C_D(Z)$, рассматриваемая как $K$-алгебра, является алгеброй инерции алгебры $D$. Таким образом, мы находимся в рамках предыдущих рассмотрений для $Z$-алгебр $C_D(Z)$ и $M$, причем $\operatorname{ind} C_D(Z)$ делит $\operatorname{ind} D$. В случае же, когда $C_D(Z)$ некоммутативна, она может быть представлена в виде $C_D(Z)=I\otimes_Z T$, где $I$ является алгеброй инерции алгебры $C_D(Z)$, а $T$ – вполне разветвленная подалгебра $C_D(Z)$. Ясно, что алгебра $C_D(Z)$ имеет индекс, делящий $\operatorname{ind} D$. То есть произведение индексов $T$ и $I$ делит $\operatorname{ind} D$, откуда следует, что либо $\operatorname{ind} I$ меньше $\operatorname{ind} D$, либо они совпадают. В последнем случае алгебра $D$ неразветвлена над $K$, что приводит нас к рассмотренному выше случаю. Если же $\operatorname{ind} I<\operatorname{ind} C_D(Z)$, то, поскольку индекс $C_D(Z)$ меньше индекса $D$ и $\operatorname{ind} I<\operatorname{ind} D$, мы оказываемся в случае подалгебр меньшего индекса, для которых достаточно убедиться в справедливости утверждения теоремы для делителей простого индекса (мы снова оказываемся в случае алгебр меньших индексов, для которых имеет место индуктивное предположение). Значит, можно считать, что $Z=K$. Заметим тогда, что теорема верна в случае, когда $\operatorname{char} \overline{k}=2$. Действительно, так как $D\in \operatorname{TR}(K)$, то индекс алгебры $T$ нечетен. В силу теоремы 12 существует алгебра инерции $I$ алгебры $D$, которая $\tau$-инвариантна. Тогда $D=I\otimes_K E$, где $E$ – вполне разветвленная $\tau$-инвариантная алгебра над $K$. Теперь, применяя к алгебре $E$ теорему 11, получаем $\operatorname{ind} T=\operatorname{ind} E=1$. Значит, алгебра $D$ неразветвлена, и потому $M$ содержится в $\tau$-инвариантной алгебре инерции $D$. Пусть теперь $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$. Тогда в силу [36; следствие 2.11] $D$ является тензорным произведением над $K$ некоторой алгебры инерции алгебры $D$ и вполне разветвленной центральной $K$-алгебры. Поскольку все алгебры инерции сопряжены, то, не ограничивая общности, можно считать, что $D=A\otimes_K T$, где $T$ – вполне разветвленная центральная $K$-алгебра. Воспользовавшись теоремой 10, поднимем $\overline{\tau}|_{\overline{A}}$ до инволюции $\mu$ алгебры $A$. Применив теорему 5 к алгебре $A$ с инволюцией $\mu$ и подалгебре $M$ с инволюцией $\tau|_M$, заключаем, что существует $K/k$-инволюция $\delta$ алгебры $A$ со свойством $\delta|_M=\tau|_M$. Второе применение теоремы 5 для алгебры $D$ с инволюцией $\tau$ и подалгеброй $A$ с инволюцией $\delta$ влечет существование $K/k$-инволюции $s\colon D\to D$ такой, что $s|_M=\tau|_M$. Поскольку $s|_K=\tau|_K$, то $s=\tau i_g$ для подходящего элемента $g \in S_\tau(D)$. Кроме того, $v_D(g) \in \Gamma_T$. Теперь подобно доказательству теоремы 12 пусть $g=u n^\tau$, где $u \in U_D$, $n^{\tau}\in T$ (заметим, что $\Gamma_T=\Gamma_{T^{\tau}})$ и $v_D(n)=v_D(g)$. Тогда для $a \in A$ $a^s=g a^\tau g^{-1}=u n^\tau a^\tau n^{-\tau} u^{-1}=u (n^{-1} a n)^\tau u^{-1}=u a^\tau u^{-1}$. Поскольку $\overline{s}=\overline{\tau}$ и $s|_A=\tau i_u |_A$, то и $\overline{i_u}=i_{\overline{u}}=\mathrm{id}_{\overline{A}}$. Следовательно, $u=u_z (1+m)$ для некоторых элементов $u_z \in U_{Z(A)}$ и $m \in M_D$. Можно считать, что $u=1+m$. Применим $s$ к обеим частям равенства $a^s=u a^{\tau}u^{-1}$. Тогда $a=(u a^{\tau} u^{-1})^s$. Так как $u a^{\tau}u^{-1}\in A$, то $a=(u a^{\tau} u^{-1})^s=(ua^{\tau} u^{-1})^{\tau i_u}=(u u^{-\tau})a (u u^{-\tau})^{-1}$. Значит, $a=(u u^{-\tau})a (u u^{-\tau})^{-1}$ и потому $u u^{-\tau}\in T$ (поскольку $T=C_D(A))$. Заметим, что $\overline{u+u^{\tau}}=\overline{2}$, что влечет $u+u^{\tau}\in U_D$. Положим $t=u u^{-\tau}$. Тогда $u+u^{\tau}=(t^{-1}+1)u$. Имеем для любого $a\in A$ $a^s=(t^{-1}+1)^{-1}a^s(t^{-1}+1)=(t^{-1}+1)ua^{\tau} u^{-1}(t^{-1}+1)^{-1}$. Далее, ввиду $(t^{-1}+1)u=u+u^{\tau}$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
a^s=(u+u^{\tau})a^{\tau}(u+u^{\tau})^{-1}=\frac{u+u^{\tau}}{2}a^{\tau} \biggl(\frac{u+u^{\tau}}{2}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\overline{\bigl((u+u^{\tau})/2\bigr)}=\overline{1}$. Положим $(u+u^{\tau})/2=1+p$. Тогда $1+p \in (1+M_D) \cap S_\tau(D)$, $a^s=(1+p) a^\tau (1+p)^{-1}$. Ввиду слабой разветвленности расширения $K/k$ слабо разветвленным является расширение $K(1+p)/k(1+p)$. Тогда элемент $1+p$ – норма некоторого элемента $1+q \in 1+M_{K(1+p)}$, т.е. $1+p=(1+q)(1+q)^\tau$. Пусть $I=(1+q)^{-1}A(1+q)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
I^{\tau}=(1+q)^\tau A^{\tau}(1+q)^{-\tau}=(1+q)^\tau (1+p)^{-1}A^s (1+p) (1+q)^{-\tau}=(1+q)^{-1}A(1+q).
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $I$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции алгебры $D$. Из предыдущего следует, что $1+p$ перестановочен с элементами из $M$. Ясно, что все элементы из поля $K(1+p)$ перестановочны с элементами из $M$. А тогда и элемент $1+q$ перестановочен с элементами из $M$. Следовательно, $(1+q)^{-1}M(1+q)=M$ и является подалгеброй $\tau$-инвариантной алгебры $I$. Теорема 16 доказана. Пусть $D\in \operatorname{TR}(K)$, $Z$ – $\tau$-инвариантный подъем $Z(\overline{D})$. Тогда $C_D(Z)=T\otimes_Z I$. В этих обозначениях справедливо Предложение 8. Если $\operatorname{char} \overline{k}=2$ и расширение $Z/Z_{\tau}$ не является неразветвленным, то $\lambda_D=1$. Действительно, напомним, что алгебра $T$ $\tau$-инвариантна и слабо вполне разветвлена. Тогда все вытекает из следствия 2, так как $\lambda_D=\lambda_{C_D(Z)}=\lambda_T$. Сюда же примыкает Лемма 21. Если $\operatorname{char} k\neq2$, а $\operatorname{char} \overline{k}=2$ и $K/k$ не является неразветвленным, то $\lambda_D=1$. Доказательство. Пусть вначале $Z(\overline{D})=\overline{K}$. Ввиду [36; следствие 2.11] $D=T \otimes_K I$, где алгебра $T/K$ вполне разветвлена, $I$ – алгебра инерции алгебры $D$.
Если $\overline{D}$ – поле, то $I=K$, и потому $D=T$. Откуда следует, что $D$ слабо вполне разветвлена. Стало быть, ввиду следствия 2 $D=K$, отсюда вытекает, что $\lambda_D=1$. Если $\overline{D}$ не поле, пусть $\widetilde{E}$ – максимальное подполе $\overline{D}$, сепарабельное над $\overline{K}$. Рассмотрим максимальное сепарабельное подрасширение $\widetilde{L}/\overline{k}$ в расширении $\widetilde{E}/\overline{k}$ и обозначим через $L$ неразветвленный подъем $\widetilde{L}$ как $\overline{k}$-алгебры в алгебре $I$. Расширение $L/k$ не содержит поля $K$ (так как $K/k$ не является слабо разветвленным). Пусть $b$ – примитивный элемент расширения $L/k$. Поскольку $[K(b):K]=[k(b):k]$, то коэффициенты минимального многочлена элемента $b$ над $K$ принадлежат на самом деле полю $k$. Значит, $b^\tau=g b g^{-1}$ для подходящего $g \in D$. Покажем, что существует инволюция $\mu$ с тем же ограничением на $K$, что и у $\tau$, со свойством $b^\mu=b$. Заметим, что $b^\tau (g+g^\tau)=(g+g^\tau) b $. Если $g+g^\tau=0$, то положим $\mu=\tau i_{\sqrt{\alpha}\, g}$, где $\sqrt{\alpha}\in K$ и $(\sqrt{\alpha})^{\tau}=-\sqrt{\alpha}$ (напомним, что $\operatorname{char} k\neq2$). Если же $g+g^{\tau}\neq0$, то пусть $\mu=\tau i_{(g+g^\tau)^{-1}}$. В обоих случаях элемент $b$ $\mu$-инвариантен, что влечет $\mu$-инвариантность поля $L$. Нетрудно видеть, что $KL$ – максимальное $\mu$-инвариантное подполе алгебры $I$. Действительно, $KL$ $\mu$-инвариантно, поскольку $K$ и $L$ $\mu$-инвариантны и их элементы коммутируют, и так как $\overline{KL}=\widetilde{E}$ – максимальное подполе в $\overline{I}$, то $KL$ – максимальное подполе в $I$ (ввиду неразветвленности алгебры $I$ над $K$). Итак, $KL$ – максимальное $\mu$-инвариантное подполе алгебры $I$. Ясно, что $C_D(KL)=T \otimes_K KL$, причем $C_D(KL)$ – $\mu$-инвариантная слабо вполне разветвленная $KL$-алгебра. Поскольку $\operatorname{char} \overline{k}=2$ и $KL/(KL)_{\mu}$ не является неразветвленным, то ввиду следствия 2 $\operatorname{ind} (T \otimes_K KL)=1$, что влечет $\operatorname{ind} T=1$. Таким образом, в этом случае $D=I$ – не разветвленная $K$-алгебра и поэтому $\lambda_D=1$. Пусть $Z(\overline{D}) \neq \overline{K}$. Поскольку расширение $Z(\overline{D})/\overline{K}$ сепарабельно, то существует максимальное сепарабельное подрасширение $\widetilde{L}/\overline{k}$ расширения $Z(\overline{D})/\overline{k}$. Обозначим через $L$ неразветвленный подъем $\widetilde{L}$ как $\overline{k}$-алгебры в алгебре $I$. Как и ранее, замечаем, что $K$ не содержится в $L$ ввиду неразветвленности расширения $L/k$. Аналогично предыдущему устанавливается существование инволюции $\mu$, центроинвариантной $\tau$ и такой, что $L^\mu=L$. Из последнего следует, что композит $Z$ полей $K$ и $L$ над $k$ $\mu$-инвариантен и, кроме того, расширение $Z/K$ неразветвлено, причем $\overline{Z}=Z(\overline{D})$. Стало быть, $C_D(Z)=T \otimes_Z I$, где алгебра $T/Z$ вполне разветвлена, алгебра $I/Z$ неразветвлена, причем $\lambda_D=\lambda_{C_D(Z)}$. Центр $Z(\overline{C_D(Z)})$ совпадает с $\overline{Z}$, что приводит нас к случаю, рассмотренному в начале доказательства. Значит, $\lambda_D=\lambda_{C_D(Z)}=1$. Лемма доказана. § 6. Группы $U(D,\tau)$, $\operatorname{SU}(D,\tau)$, $\operatorname{SU}^v(D,\tau)$, $U(D,\tau)'$ и их редукцииВ этом параграфе мы приступаем к описанию структуры групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$. Вычислим сначала редукции групп: $U(D,\tau)$, $\operatorname{SU}(D,\tau)$, $U(D,\tau)'$ и $\operatorname{SU}^v(D,\tau)=\{ d \in \operatorname{SU}(D, \tau) \mid N(\overline{d})=1 \}$, где $N$ – композиция $N_{Z(\overline{D})/\overline{K}}\circ \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}$. Ниже $D\in \operatorname{TR}(K)$, $k$ – гензелево поле, причем расширение $K/k$ слабо разветвлено (это так, если $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$, что мы для определенности и будем предполагать ниже). Для краткости вместо $\lambda_D$ будем писать $\lambda$. Заметим, что $\overline{Z}=\overline{Z(D)}$. Тогда справедливо Предложение 9. Имеет место $\overline{U(D,\tau)}=U(\overline{D},\overline{\tau})$ и для $N=N_{\overline{Z}/\overline{K}} \circ \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}$ Доказательство. Ясно, что $\overline{U(D,\tau)}\subseteq U(\overline{D},\overline{\tau})$, поэтому для доказательства первого утверждения достаточно установить обратное включение. Пусть $\widetilde{d}\in U(\overline{D},\overline{\tau}) \cap \overline{\operatorname{SL}(D)}$ и $d$ – прообраз $\widetilde{d}$ в $D$. Тогда $dd^{\tau}=1+m$, где $m\in M_{K(dd^{\tau})_{\tau}}$. Поскольку $K(dd^{\tau})=(K(dd^{\tau}))^{\tau}$, то расширение $K(dd^{\tau})/K(dd^{\tau})_{\tau}$ квадратично и сепарабельно. Ввиду $dd^{\tau}\in 1+M_{K(dd^{\tau})_{\tau}}$ и слабой разветвленности расширения $K(dd^{\tau})/k(dd^{\tau})$, существует элемент $c\in 1+M_{K(dd^{\tau})}$ такой, что $N_{K(dd^{\tau})/K(dd^{\tau})_{\tau}}(c)=dd^{\tau}$. Значит, $cc^{\tau}=dd^{\tau}$. Следовательно, $c^{-1}d\in U(D,\tau)$ и $\overline{c^{-1}d}=\widetilde{d}$. Таким образом, $U(\overline{D},\overline{\tau})\subseteq \overline{U(D,\tau)}$, что влечет $\overline{U(D,\tau)}=U(\overline{D},\overline{\tau})$. Покажем, что $\overline{\operatorname{SU}(D,\tau)}\subset U(\overline{D},\overline{\tau}) \cap \overline{\operatorname{SL}(D)}$. Для этого заметим, что $\overline{U(D,\tau)} \subset U(\overline{D},\overline{\tau})$ и $\overline{\operatorname{SL}(D)}=\{\widetilde{d}\in\overline{D} \mid N(\widetilde{d})^\lambda=1\}$ (см., например, [37]). В случае, когда $\overline{D}$ – поле, $\overline{\operatorname{SL}(D)}=\{\widetilde{d}\in\overline{D} \mid N_{\overline{Z(D)}/\overline{K}}(\widetilde{d})^\lambda=1\}$. Переходя к вычету $\overline{d}\in \overline{D}$ элемента $d\in \operatorname{SU}(D,\tau)$, получаем требуемое включение. Предположим, что $\overline{D}$ не поле. По теореме 12 существует $\tau$-инвариантная алгебра инерции $I$ алгебры $D$. Пусть $Z=Z(I)$. Тогда $I$ является одновременно алгеброй инерции алгебры $C_D(Z)$. Ввиду установленного выше $\overline{U(I,\tau|_I)}=U(\overline{D},\overline{\tau})$. Пусть $b$ – прообраз $\widetilde{d}$ в группе $U(I,\tau|_I)$. Поскольку $\widetilde{d}\in U(\overline{D},\overline{\tau})\cap \overline{\operatorname{SL}(D)}$, то для элемента $b$ имеем $N_{Z/K}(\operatorname{Nrd}_I(b))^\lambda=(1+m)^{\tau-1}$, где $m\in M_K$. Так как $(\lambda,\operatorname{char} \overline{k})=1$, можно считать, что $1+m=(1+e)^\lambda$, $e \in M_K$. Тогда $N_{Z/K}(\operatorname{Nrd}_I(b))=(1+e)^{\tau-1}$. Напомним, что ввиду предложения 4 $\operatorname{Nrd}_D(1+M_D)=1+M_K$. Более того, отображение $N_{Z/K} \circ \operatorname{Nrd}_I$ переводит $1+M_I$ в $1+M_K$. Пусть $p \in M_I$ со свойством $N_{Z/K}(\operatorname{Nrd}_I(1+p))=1+e$. Тогда $b (1+p)^{1-\tau} \in \operatorname{SU}(D, \tau)$ и $\overline{b (1+p)^{1-\tau}}=\widetilde{d}$. Если $\overline{D}$ – поле, рассуждения аналогичны. Предложение доказано. Из предложения 9 вытекает описание редукции группы $\operatorname{SU}^v(D, \tau)$. Следствие 11. Справедливо равенство где $\operatorname{SL}^v(D)=\{ d \in \operatorname{SL}(D) \mid N(\overline{d})=1 \}$. Доказательство. Включение $\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)} \subseteq \{ \widetilde{d} \in U(\overline{D},\overline{\tau}) \mid N(\widetilde{d})=1\}$ вытекает из определения группы $\operatorname{SU}^v(D, \tau)$. Обратно, пусть $\widetilde{d} \in U(\overline{D},\overline{\tau})$ и $N(\widetilde{d})=1$. Тогда $N(\widetilde{d})^{\lambda}=1$. Ввиду предложения 9 в группе $\operatorname{SU}(D, \tau)$ может быть выбран прообраз элемента $\widetilde{d}$, который на самом деле принадлежит $\operatorname{SU}^v(D, \tau)$. Следствие доказано. Наконец, установим справедливость следующего утверждения. Доказательство. Включение $\overline{U(D,\tau)'}\,{\subseteq}\, U(\overline{D},\overline{\tau})'$ очевидно. Обратно, пусть $a,b\in U(\overline{D},\overline{\tau})$. Тогда из рассуждений в доказательстве предыдущего предложения следует существование прообразов $u,v\in U(D,\tau)$ элементов $a$ и $b$ соответственно. Ясно, что $uvu^{-1}v^{-1}\in U(D,\tau)'$ и $\overline{uvu^{-1}v^{-1}}=aba^{-1}b^{-1}$, что доказывает обратное включение. Лемма доказана. Пусть $UK_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)=U(D,\tau)/U(D,\tau)'$. Тогда аналогично предыдущему получаем, что $\overline{UK_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)}\cong UK_1^{\mathrm{an}}(\overline{D},\overline{\tau})$. Пусть далее $E=((1+M_D) \cap \operatorname{SU}(D, \tau))U(D,\tau)'/U(D, \tau)'$. Важную роль будет играть группа $\operatorname{SUK}^v_1(D,\tau)=\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}/(U(\overline{D},\overline{\tau}))'$. Положим $E_{\lambda}=N(\overline{\operatorname{SU}(D, \tau)})$. Тогда справедлива Лемма 23. Имеет место точная последовательность Группа $E_{\lambda}$ вычисляется следующим образом: (i) $E_{\lambda}=1$, если $K/k$ вполне разветвлено; (ii) если $K/k$ неразветвлено, то где $C_{\lambda}(\overline{K})$ – группа корней степени $\lambda$ из $1$ из $\overline{K}$. Доказательство. Заметим, что $U(\overline{D}, \overline{\tau})'\subseteq \overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}$. Пусть $[\widetilde{a},\widetilde{b}]$, где $\widetilde{a}$, $\widetilde{b}\in U(\overline{D},\overline{\tau})$. Ввиду предложения 9 у $\widetilde{a}$ и $\widetilde{b}$ существуют прообразы $a$ и $b$ в $U(D,\tau)$. Тогда $[a,b]\in \operatorname{SU}(D,\tau)$. Далее, $\overline{[a,b]}=[\widetilde{a},\widetilde{b}]$. Кроме того, $N([\widetilde{a},\widetilde{b}])=N_{\overline{Z}/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}([\widetilde{a},\widetilde{b}]))=N_{\overline{Z}/\overline{K}}(1)=1$. Таким образом, $[\widetilde{a},\widetilde{b}]\in \overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}$. По определению $\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}\subset \overline{\operatorname{SU}(D,\tau)}$. Таким образом, имеем цепочку подгрупп Так как $\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}$ – ядро ограничения гомоморфизма $N$ на $\overline{\operatorname{SU}(D,\tau)}$, то $\overline{\operatorname{SU}(D, \tau)} /\overline{ \operatorname{SU}^v(D,\tau)}\cong E_{\lambda}$, что приводит к точной последовательности леммы. При доказательстве формулы (6.1) рассмотрим два случая: (i) $K/k$ вполне разветвлено; (ii) $K/k$ неразветвлено. (i) Рассмотрим случай вполне разветвленного расширения $K/k$. В этом случае будем иметь для $s\in \operatorname{SU}(D,\tau)$ $N(\overline{s})=N_{\overline{Z}/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{s}))$, где $s$ можно, не ограничивая общности, считать принадлежащим $U(I,\tau|_I)$. Имея ввиду формулу Меркурьева (см. [44; предложение 6.1]): $\operatorname{Nrd}_I(U(I,\tau|_I))=\operatorname{Nrd}_I(I)^{\tau-1}$, получим $\operatorname{Nrd}_{I}(s)=\operatorname{Nrd}_{I}(i)^{\tau-1}$, где $i\in I$. Переход к вычетам приводит к равенству $\overline{\operatorname{Nrd}_{I}(s)}=\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{s}) =\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{i})^{\overline{\tau}-1}$. Образ гомоморфизма $N_{\overline{Z}/\overline{K}}$ правой и левой частей последнего равенства влечет $N(\overline{s})=N(\overline{i})^{\overline{\tau}-1}$. Поскольку ограничение $\overline{\tau}$ на $\overline{K}$ тождественно, то $N(\overline{s})=1$. Откуда заключаем, что $E_{\lambda}=1$. (ii) Пусть $\varepsilon \in C_{\lambda}(\overline{K})\cap N(\overline{D})^{\overline{\tau}-1}$ – примитивный корень степени $\mu$, делящий $\lambda$. Тогда в силу $(\lambda, \operatorname{char} \overline{k})=1$ у $\varepsilon$ существует в $K$ единственный прообраз $\widehat{\varepsilon}$, являющийся примитивным корнем степени $\mu$ из $1$. Заметим, что так как $N_{\overline{K}/\overline{k}}(\varepsilon)=1$, то $N_{K/k}(\widehat{\varepsilon})=1+m_K$, где $m_K\in M_K$. Далее, $(1+m_K)^{\lambda}=1$, поэтому ввиду $(\lambda, \operatorname{char} \overline{k})=1$ получаем, что $m_K=0$. Значит, $N_{K/k}(\widehat{\varepsilon})=1$, и потому $\widehat{\varepsilon}=(\widehat{u})^{\tau-1}$. Обозначим через $\widehat{N}$ композицию $N_{Z/K}\circ \operatorname{Nrd}_{I}$. Из равенства $\varepsilon=N(d)^{\overline{\tau}-1}$ следует $\widehat{\varepsilon}=\widehat{N}(\widehat{d})^{\tau-1}(1+m_K)$, где $\widehat{d}$ – прообраз $d$ в $I$. Из последнего равенства заключаем, что $N_{K/k}(1+m_K)=(1+n_K)^{\tau-1}$. Следовательно, $\widehat{\varepsilon}=(\widehat{N}(\widehat{d})(1+n_K))^{\tau-1}$. Ясно, что $1+n_K=N_{Z/K}(1+v_K)$, где $v_K\in M_Z$, что ввиду неразветвленности $I/Z$ влечет $1+v_K\in \operatorname{Nrd}_{I}(I)$. Окончательно получаем $\widehat{\varepsilon}=\widehat{N}(i)^{\tau-1}=N_{Z/K}(\operatorname{Nrd}_I(i))^{\tau-1}$ для подходящего $i\in I$. По формуле Меркурьева (см. [44; предложение 6.1]): $\operatorname{Nrd}_I(I)^{\tau-1}=\operatorname{Nrd}_I(U(I,\tau|_I))$, получаем $N_{Z/K}(\operatorname{Nrd}_I(i))^{\tau-1}=N_{Z/K}(\operatorname{Nrd}_I(u))$ для подходящего $u\in U(I,\tau|_I)\subset U(D,\tau)$. Заметим, что предыдущие рассуждения верны и в случае, когда $I$ – поле. В этом случае отображение $\operatorname{Nrd}_I$ тождественно, и потому $\operatorname{Nrd}_I(i)^{\tau-1}=i^{\tau-1}\in U(I,\tau|_I)$, т.е. имеем $\operatorname{Nrd}_I(i)^{\tau-1}=\operatorname{Nrd}_I(u)$ для $u\in U(D,\tau)$. Кроме того имеем $\operatorname{Nrd}_D(u)=N_{Z/K}(\operatorname{Nrd}_I(u))^{\lambda}=1$, т.е. $u\in \operatorname{SU}(D,\tau)$. Откуда следует, что $C_{\lambda}(\overline{K})\cap N(\overline{D})^{\overline{\tau}-1}\subset E_{\lambda}$. Обратно, пусть $e\in E_{\lambda}$. Тогда $e=N(\overline{s})$ для подходящего $s\in \operatorname{SU}(D,\tau)$ (в силу предложения 9). Так как $e=N_{\overline{Z}/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{s}))$, где $s\in \operatorname{SU}(D,\tau)$, то $s\in U(D,\tau)$, а $\overline{s}\in U(\overline{D},\overline{\tau})$. Пусть теперь $u$ – прообраз $\overline{s}$ в $U(I,\tau|_I)$. Теперь из формулы Меркурьева следует, что $e\in N_{\overline{Z}/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}))^{\overline{\tau}-1}$. Кроме того, $e^{\lambda}=(N_{\overline{Z}/\overline{K}} (\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{s}))^{\overline{\tau}-1})^{\lambda} =\overline{\operatorname{Nrd}_{D}(s)}=1$, т.е. $e\in C_{\lambda}(\overline{K})$. Значит, $E_{\lambda}\subset C_{\lambda}(\overline{K})\cap N(\overline{D})^{\overline{\tau}-1}$. Лемма доказана. Для группы $\operatorname{SUK}_1^v(D, \tau)$ имеем Предложение 10. Следующая последовательность точна: Доказательство. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau}) \cap \overline{\operatorname{SL}^v(D)})=\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) \cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)}).
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau}) \cap \overline{\operatorname{SL}^v(D)})\subseteq \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) \cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Обратно, если $d \in \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) \cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)})$, то существует $u \in U(\overline{D}, \overline{\tau})$ такой, что $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(u)=d$ и $N(u)=1$, поскольку $d \in \overline{\operatorname{SL}^v(D)}$. Покажем также, что ядром ограничения гомоморфизма $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}$ на группу $\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}$ является группа $\operatorname{SU}(\overline{D}, \overline{\tau})$. Действительно, ввиду следствия 11 группа $\operatorname{SU}(\overline{D}, \overline{\tau}) \subseteq \overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}$. Очевидно, что $\operatorname{SU}(\overline{D}, \overline{\tau})$ принадлежит ядру. С другой стороны, пусть $d$ – элемент этого ядра, тогда $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(d)=1$, и поскольку $d \in \overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}$, то $d \in \operatorname{SU}(\overline{D}, \overline{\tau})$. Ввиду последнего заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}/\operatorname{SU}(\overline{D}, \overline{\tau}) \cong \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, обе группы $\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}$ и $\operatorname{SU}(\overline{D}, \overline{\tau})$ содержат коммутант $U(\overline{D},\overline{\tau})'$, поэтому (см. лемму 22)
$$
\begin{equation*}
\bigl(\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)}/U(\overline{D},\overline{\tau})'\bigr)/ \bigl(\operatorname{SU}(\overline{D}, \overline{\tau})/U(\overline{D},\overline{\tau})'\bigr) \cong \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}( \overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)} ).
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства предложения заметим, что $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SU}^v(D, \tau)})=\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) \cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)})$. Предложение доказано. Далее, так как $(U(\overline{D}, \overline{\tau}))'\subset \operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau}) \subset \overline{\operatorname{SU}(D,\tau)}$, то имеем следующую очевидную короткую точную последовательность:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &\to\operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau})/(U(\overline{D}, \overline{\tau}))' \to \overline{\operatorname{SU}(D, \tau)}/ (U(\overline{D}, \overline{\tau}))' \\ &\to (\overline{\operatorname{SU}(D, \tau)} /(U(\overline{D}, \overline{\tau}))')/( \operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau})/(U(\overline{D}, \overline{\tau}))') \to 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме об изоморфизме получаем
$$
\begin{equation*}
(\overline{\operatorname{SU}(D, \tau)} /(U(\overline{D}, \overline{\tau}))')/( \operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau})/(U(\overline{D}, \overline{\tau}))') \cong\overline{\operatorname{SU}(D, \tau)}/\operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau}).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом последнего приходим к точной последовательности:
$$
\begin{equation*}
1 \to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D},\overline{\tau}) \to \overline{\operatorname{SU}(D, \tau)} /U(\overline{D},\overline{\tau})' \to \overline{\operatorname{SU}(D, \tau)} / U(\overline{D},\overline{\tau})' \to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним формулировку теоремы 2. Пусть алгебра $D\in \operatorname{TR}(K)$, $\operatorname{char} \overline{k}\neq 2$ и $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$, причем $k$ гензелево. Тогда во введенных выше обозначениях имеет место следующая коммутативная диаграмма с точными столбцом и строками где $E=((1+M_D) \cap \operatorname{SU}(D, \tau)) U(D, \tau)' / U(D, \tau)'$. Помимо этого, точны также последовательности:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 1\to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau}) \to \operatorname{SUK}_1^v(D, \tau) \to\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{U(D, \tau)})\cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D, \tau)}) \to 1, \quad (3) \\ \quad\quad\ 1 \to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau}) \to \overline{\operatorname{SU}(D, \tau)}/U(\overline{D},\overline{\tau})' \to \overline{\operatorname{SU}(D, \tau)}/\operatorname{SU}(\overline{D}, \overline{\tau})\to 1. \quad\quad\ \ (4) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\pi\colon \operatorname{SU}(D,\tau)/ (U(D,\tau))' \to \overline{\operatorname{SU}(D,\tau)}/ U(\overline{D},\overline{\tau})',
\end{equation*}
\notag
$$
определяемый следующим образом: для $s\in \operatorname{SU}(D,\tau)$ пусть $\pi (s (U(D,\tau))')=\overline{s} U(\overline{D},\overline{\tau})'$. Ясно, что $\pi$ сюръективен, а его ядро по лемме 22 совпадает с группой $E$. По теореме об изоморфизме $E\cong ((1+M_D)\cap \operatorname{SU}(D,\tau)) / ((1+M_D)\cap U(D,\tau)')$. Таким образом, имеем точную последовательность Собирая все предыдущее вместе с учетом $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)/E{\kern1pt}{\cong}{\kern1pt} \overline{\operatorname{SU}(D, \tau)}/U(\overline{D},\overline{\tau})'$, без труда устанавливаем справедливость теоремы 2. Замечание 9. Группа $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) \cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)})$ вычисляется с помощью следующих подгрупп группы $\overline{D}^{\,*}$: Предложение 11. Имеет место точная последовательность Кроме того, $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) \cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)}) =(\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}})^{\overline{\tau}-1}$. Доказательство. Установим точность последовательности. Отображение $\overline{\tau}-1$ – сюръективный гомоморфизм группы $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ в группу $(\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}})^{\overline{\tau}-1}$. Ясно, что $\operatorname{Ker} (\overline{\tau}-1)=\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$. Действительно, если $x \in \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ и $x^{\overline{\tau}-1}=1$, то $x \in S_{\overline{\tau}}(\overline{D})$, и потому $x \in \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$. Обратно, если $y \in \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$, то $y^{\overline{\tau}-1}=1$, а также $N_{\overline{Z}/\overline{K}}(y) \in \overline{k}$, поскольку $\overline{Z}/\overline{k}$ является обобщенным диэдральным (или абелевым) расширением Галуа. Откуда следует, что $y \in \operatorname{Ker}(\overline{\tau}-1)$. Значит, $(\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}})^{\overline{\tau}-1} \cong \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}} / \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$. В заключение покажем, что $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) \cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)}) =(\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}})^{\overline{\tau}-1}$. Ввиду $(\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}})^{\overline{\tau}-1} \subset \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^{\,*})^{\overline{\tau}-1}$ и $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) =\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^{\,*})^{\overline{\tau}-1}$ при $\operatorname{char} \overline{k}\neq 2$ (см. [44; предложение 6.1]) достаточно показать, что $(\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}})^{\overline{\tau}-1}\subseteq \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)})$. Пусть элемент $\widetilde{x} \in \overline{D}$ такой, что $N_{\overline{Z}/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\widetilde{x})) \in \overline{k}$. Тогда $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\widetilde{x})^{\overline{\tau}-1} \in (\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}})^{\overline{\tau}-1}$. Пусть $x$ – прообраз элемента $\widetilde{x}$ в $D$ и рассмотрим элемент $x^{\tau-1} (1+m)$, где $m \in M_D$. Заметим, что $\overline{x^{\tau-1} (1+m)}=\widetilde{x}^{\overline{\tau}-1}$. Ясно, что $N_{\overline{Z}/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{x^{\tau-1}(1+m)}))=1$. Покажем, что для некоторого $m\,{\in}\, M_D$ $ x^{\tau-1} (1+ m) \in \operatorname{SL}^v(D)$. Действительно, $N(\overline{x^{\tau-1} (1+m)})=N(\widetilde{x})^{\overline{\tau}-1}=\overline{1}$. Рассмотрим цепочку $\overline{\operatorname{Nrd}_D(x^{\tau-1} (1+m))}=N(\overline{x^{\tau-1} (1+m)})^{\lambda_D}=\overline{1}$. Значит, $\operatorname{Nrd}_D(x^{\tau-1} (1+m))=1+p$, где $p \in M_K$, что влечет $\operatorname{Nrd}_D(x^{\tau-1})=1+q$, где $q\in M_K$. Так как $D\in \operatorname{TR}(K)$, то $1+q$ – приведенная норма подходящего элемента $1+c$, где $c\in M_D$. Тогда $\operatorname{Nrd}_D(x^{\tau-1} (1+c)^{-1})=1$. Стало быть, $x^{\tau-1} (1+c)^{-1}\in \operatorname{SL}(D)$ и, нетрудно видеть, что $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{ x^{\tau-1} (1+c)^{-1}})=\overline{1}$, это доказывает включение $(\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}})^{\overline{\tau}-1} \subseteq \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)})$. Обратно, пусть $y \in \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) \cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)})$. Тогда для подходящего $d \in \overline{D}$ элемент $y=\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(d)^{\overline{\tau}-1}$, и поскольку $y \in \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)})$, то $1=N_{\overline{Z}/\overline{K}}(y)=N_{\overline{Z}/\overline{K}} (\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(d)^{\overline{\tau}-1})$, стало быть, $N_{\overline{Z}/\overline{K}}(\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(d)) \in \overline{k}$. Тогда $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(U(\overline{D},\overline{\tau})) \cap \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)}) \subseteq (\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}})^{\overline{\tau}-1}$. Предложение доказано. Из теоремы 2 следует, что важной при вычислениях является группа $E$. Говорят, что для группы $\operatorname{SU}(D, \tau)$ выполнено конгруэнц-свойство, если $E=1$. Последнее эквивалентно следующему утверждению. Теорема 17 (конгруэнц-теорема). Пусть $D \in \mathcal{D}(K)$ – слабо разветвленная алгебра, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Тогда $(1+M_D) \cap \operatorname{SU}(D, \tau) \subset U(D, \tau)'$. Остановимся теперь на нескольких специальных случаях теоремы 2. (i) $E=1$. Тогда из теоремы 2 вытекает точность последовательностей
$$
\begin{equation}
1\to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D},\overline{\tau})\to \operatorname{SUK}_1^v(D,\tau) \to \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}} \to 1,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
$$
\begin{equation}
1\to \operatorname{SUK}_1^{v}(D,\tau) \to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)\to E_{\lambda} \to 1.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Следовательно, группа $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)$ является расширением абелевой группы $\operatorname{SUK}_1^{v}(D,\tau)$ с помощью некоторой подгруппы группы корней степени $\lambda$, принадлежащих полю $K$, а группа $\operatorname{SUK}_1^{v}(D,\tau)$ является расширением группы $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D},\overline{\tau})$ с помощью группы $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ . (ii) $E_{\lambda}=1$. В этом случае точны последовательности
$$
\begin{equation}
1\to E \to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau) \to \operatorname{SUK}_1^v(D,\tau) \to 1,
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
$$
\begin{equation}
1\to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D},\overline{\tau})\to \operatorname{SUK}_1^{v}(D,\tau)\to \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}\to 1.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
(iii) $E=E_{\lambda}=1$. Тогда точна последовательность
$$
\begin{equation}
1\to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D},\overline{\tau})\to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau) \to \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}} \to 1.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
§ 7. Конгруэнц-свойство групп $\operatorname{SU}(D, \tau)$. Случай коммутативных алгебр вычетовПусть $D\in \operatorname{TR}(K)$ ($\operatorname{char} \overline{k}\neq2$), $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$, $Z$ – неразветвленный $\tau$-инвариантный подъем поля $Z(\overline{D})$. Тогда $C_D(Z)=I \otimes_Z T$, где $I$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции и алгебра $T$ вполне разветвлена над $Z$. Пусть также $\overline{D}$ – поле. Для получения основного результата (предложение 12) установим истинность двух лемм, в первой из которых $\overline{D}$ не предполагается полем. Лемма 24. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$ – кватернионная алгебра, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ и $\varepsilon_2\in \overline{k}$. Тогда $(1+M_D)\cap \operatorname{SU}(D,\tau)\subseteq U(D,\tau)'$. Доказательство. Так как $\operatorname{char} k\neq 2$, то существует кватернионная алгебра $A\in \mathcal{D}(k)$ такая, что $D=A \otimes_k K$ и $\tau$ индуцируется канонической инволюцией на $A$ и нетривиальным автоморфизмом расширения $K/k$ (см. [39], [45]). В [30] показано, что $\operatorname{SU}(D,\tau)$ совпадает со множеством $\{x\otimes 1\mid x\in \operatorname{SL}(A)\}$. Ввиду [30; предложение 1.3] для группы $G=\{ a \in A^*\mid \operatorname{Nrd}_A(a) \in N_{K/k}(K) \}$ сюръективный гомоморфизм $\pi\colon \operatorname{SU}(D, \tau) \to \operatorname{SL}(A)/G'$, задаваемый следующим образом: $x\otimes 1 \mapsto x G'$, индуцирует изоморфизм групп $\operatorname{SU}(D, \tau)/U(D, \tau)'$ и $\operatorname{SL}(A)/G'$. Значит, для доказательства конгруэнц-свойства группы $\operatorname{SU}(D, \tau)$ достаточно показать, что для произвольного элемента $x \otimes 1 \in \operatorname{SU}(D, \tau) \cap (1+M_D)$ ($x \in \operatorname{SL}(A)$) образ $\pi(x) \in G'$. Это очевидно, если $x \in k$. Далее, поскольку $\operatorname{Nrd}_A(x)=1$, то $x=b^{\sigma-1}$, где $b \in k(x)$ и $\sigma$ – образующая группы Галуа $\operatorname{Gal}(k(x)/k)$. Если $b \in U_A$, то $\overline{b}^{\,\overline{\sigma}}=\overline{b}$, и потому $b=u_k (1+p)$, где $u_k \in U_k$ и $p \in M_A$. Так как $b \notin U_A$, то $b=\sqrt{q}^{\,\beta} u$ для подходящего $q \in M_k$, а $u\in U_{K(x)}$. Тогда $b^{\sigma-1}=(-1)^{\beta} u^{\sigma-1}=x$, $\overline{u}^{\,\overline{\sigma}}=(-1)^{\beta} \overline{u}$. Таким образом, если элемент $\overline{u}$ $\overline{\tau}$-инвариантен, то $u \in k$. Нетрудно видеть, что можно считать, что $b \in 1+ M_D$. Если же $\overline{u}^{\,\overline{\tau}}=-\overline{u}$, то расширение $k(b)/k$ не разветвлено и потому $b \delta \in U_D$ для подходящего $\delta \in k$. Стало быть, $x=b^{\sigma-1}$, где $b \in 1+M_A$. Пусть $\sigma$ – ограничение подходящего автоморфизма $i_g$, $g \in A$. Тогда $x=g b g^{-1} b^{-1}=g g^{-i_b}$. Аналогичными рассуждениями для элемента $b$ устанавливается, что $g \in 1+M_A$. Так как $A \in \operatorname{TR}(k)$ и расширения $K/k$ слабо разветвлено, то Тогда $1+M_A \subset G$, стало быть, $x=gbg^{-1}b^{-1} \in G'$. Значит, $x \in \operatorname{Ker} \pi=U(D,\tau)'$, что влечет выполнение конгруэнц-свойства для группы $\operatorname{SU}(D, \tau)$. Лемма доказана.Ниже нам потребуется вторая лемма. Лемма 25. Пусть $F$ – гензелево поле $(\operatorname{char} \overline{F}\neq2)$, $E$ – его квадратичное слабо разветвленное либо непосредственное расширение и $a\in (1+M_E)\cap \operatorname{SL}(1,E/F)$. Тогда $a=b^{\tau-1}$ для подходящего элемента $b\in 1+M_E$ и образующей $\tau$ группы $\operatorname{Gal}(E/F)$. Доказательство. Пусть вначале $E/F$ слабо вполне разветвлено. По теореме Гильберта 90$a=c^{\tau-1}$, где $c\in E$. Так как расширение $E/F$ слабо вполне разветвлено, то существует элемент $\pi\in M_F$ такой, что $v_F(\pi)\notin 2\Gamma_F$, тогда $E=F(\sqrt{\pi})$. Поскольку расширение квадратичное, то $c^{\tau}=\alpha-\beta\sqrt{\pi}$, где $\alpha+\beta\sqrt{\pi}=c$. Можно считать, что $\alpha, \beta\in V_E$. Так как $[\Gamma_E: \Gamma_F]=2$, то $v(\alpha)\neq v(\beta\sqrt{\pi})$, где $v$ – нормирование поля $E$. Пусть $v(\alpha)> v(\beta\sqrt{\pi})$. Тогда Так как $\alpha/(\beta\sqrt{\pi})\in M_E$, то $\overline{a}=-1$. Тогда получаем противоречие, поскольку $\overline{a}=1$ и $\operatorname{char} \overline{E} \neq 2$. Пусть $v(\alpha)< v(\beta\sqrt{\pi})$. Тогда
$$
\begin{equation*}
a=(\alpha-\beta\sqrt{\pi})(\alpha+\beta\sqrt{\pi})^{-1} =\biggl(1-\frac{\beta\sqrt{\pi}}{\alpha}\biggr)\biggl(1+\frac{\beta\sqrt{\pi}}{\alpha}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\beta\sqrt{\pi}/\alpha\in M_E$, то $a=b^{\tau}/b$, где $b=1+\beta\sqrt{\pi}/\alpha\in 1+M_E$. Если расширение $E/F$ неразветвлено, то по теореме Гильберта $90$ $a=b^{\tau-1}$. Заменив $b$ (если потребуется) на подходящий элемент из $V_F$, можно считать, что $b$ является обратимым в $V_E$. Переходя к вычетам в равенстве $a=b^{\tau-1}$, получаем $1=\overline{b^{\tau}}\, \overline{b}^{\,-1}=\overline{b}^{\,\overline{\tau}} \overline{b}^{\,-1}$. Отсюда следует, что $\overline{b}\in \overline{F}$. Пусть $e$ – прообраз элемента $\overline{b}$ в $F$, тогда $b=e(1+m)$, где $m\in M_E$, что влечет $a=(1+m)^{\tau-1}$. Лемма доказана. Напомним, что индекс ветвления $e(D/K)$ равен $\lambda^2_D r(D/K)$, где $r(D/K)=[Z(\overline{D}):\overline{K}]$. Предложение 12. Пусть $D\in \operatorname{TR}(K)$, $\overline{D}$ – поле, $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$. Тогда Доказательство. Заметим, что по теореме 11 $\operatorname{ind} D$ $2$-примарен. Действительно, если $\operatorname{ind} D$ делится на нечетное число большее $1$, то $D$ можно представить как $D_1\otimes_K D_2$, где $\operatorname{ind} D_1$ нечетен, а $\operatorname{ind} D_2=2^m$, причем $D_1$, $D_2\in \operatorname{TR}(K)$ и $\mu$-инвариантны относительно подходящей $K/k$-инволюции. Тогда $\operatorname{ind} D_1=1$ ввиду теоремы 11. Напомним, что $\operatorname{char} \overline{k}\neq 2$, и потому $(\operatorname{ind} D,\operatorname{char} \overline{k})=1$. Пусть $a \in (1+M_D)\cap \operatorname{SU}(D,\tau)$. Если $a \in K$, то $1=a^{\operatorname{ind} D} \in 1+M_K$. Тогда $a=1$, ибо $(\operatorname{ind} D, \operatorname{char} \overline{k})=1$, и потому $a \in U(D, \tau)'$. Таким образом, ниже $a\notin K$. Пусть $M/K$ – подрасширение $D/K$ и $M^{\tau}\,{=}\,M$. Покажем, что $M$ содержит циклическое квадратичное подрасширение $L/K$ такое, что $L^{\tau}=L$. Поскольку $M/K$ 2-примарно, то общий случай сводится к двум: (i) $M/K$ вполне разветвлено; (ii) $\overline{M}\neq \overline{K}$. В случае (i) пусть $\gamma\in \Gamma_M$ такой, что $\gamma+\Gamma_K$ – элемент порядка 2 в группе $\Gamma_M/\Gamma_K$, и $b\in M$ со свойством $v_{M}(b)=\gamma$. Тогда расширение $K(b)/K(b^2)$ слабо вполне разветвлено и $v_{M}(b^2)\in\Gamma_K$. Значит, $b^2=t u$, где $u\in V_M$. Поскольку $M/K$ – вполне разветвленное расширение, то можно считать, что элемент $u=1+m$, где $m\in M_{M}$. Ввиду $(\operatorname{ind} D, \operatorname{char} \overline{k})=1$, заключаем, что $u=c^2$ для подходящего $c\in 1+M_{M}$. Рассматривая с самого начала вместо элемента $b$ элемент $b c^{-1}$, получим, что можно считать $b^2\in K$. Если $b^2\in k$, то $L=K(b)$ – $\tau$-инвариантное расширение поля $K$ и циклично над $K$. Если же $b^2\notin k$, то рассмотрим $\tau$-инвариантное расширение $K(b^{\tau-1})$. Заметим, что $[K(b^{\tau-1}):K]\leqslant 2$ ввиду выбора значения нормирования элемента $u$. Кроме того, $K(b^{\tau-1})\neq K$ (в противном случае $K(b)^{\tau}=K(b)$). Положим $L=K(b^{\tau-1})$. Пусть теперь $\overline{M}\neq \overline{K}$. Переходя к максимальному неразветвленному подрасширению $M/K$ (которое $\tau$-инвариантно, ибо $M^{\tau}=M$), можем считать, что $M/K$ – неразветвленное расширение. Так как $\overline{M} \subseteq Z(\overline{D})$, то расширение $M/K$ абелево. Тогда существует циклическое квадратичное расширение $E/K$, $E \subseteq M$, имеющее вид $E=K(\sqrt{\beta})$, $\beta\in K$. Если $\beta^{\tau-1}=c^2$, $c\in K$, то $K(\sqrt{\beta})$ $\tau$-инвариантно. Положим $L=K(\sqrt{\beta})$. В случае $\beta^{\tau-1}\neq c^2$, $[K(\sqrt{\beta^{\tau-1}}):K]=2$ и $(\sqrt{\beta^{\tau-1}})^{\tau}=\sqrt{\beta^{1-\tau}} \varepsilon_2^m$. Положим $L=K(\sqrt{\beta^{\tau-1}})$. Таким образом, и в этом случае $L$ $\tau$-инвариантно. Так как $K(a)^{\tau}=K(a)$, то предыдущий результат о расширении $M/K$ применим к расширению $K(a)/K$. Ясно, что $L(a)/L(a)_{\tau}$ слабо разветвлено. Заметим, что при $\operatorname{ind} D=2$ справедливость предложения уже установлена леммой 24. Пусть $\operatorname{ind} D$ не является простым. Предположим, что для $K$-подалгебр алгебры $D$ 2-примарного индекса, меньшего чем $\operatorname{ind} D$, конгруэнц-теорема имеет место. Установим тогда существование элемента $l\,{\in}\, (1\,{+}\,M_L) \cap \operatorname{SU}(C_D(L), \tau|_{C_D(L)})$ такого, что $\operatorname{Nrd}_D(l)=1$ и $\operatorname{Nrd}_{C_D(L)}(a)=\operatorname{Nrd}_{C_D(L)}(l)$. Для такого $l$ будем иметь $\operatorname{Nrd}_{C_D(L)} (al^{-1})=1$ и $L(a l^{-1})=L(a)$. Поскольку $\operatorname{ind} C_D(L)< \operatorname{ind} D$ и 2-примарен, то к элементу $al^{-1}$ применимо наше предположение. Значит, $a l^{-1} \in U(C_D(L), \tau|_{C_D(L)})'$. Покажем, что элемент $l\in U(D, \tau)'$. Пусть $\operatorname{Gal}(L/K)=\langle\sigma\rangle$. По теореме 7 существует элемент $g \in D$ такой, что $i_g|_L=\sigma$, причем можно считать, что $g^{\tau}\neq -g$. Заметим, что $L/k$ сепарабельно. Положим $L_\tau=k(\beta)$. Тогда $g \beta g^{-1}=\beta^\sigma$. Применяя $\tau$ к обеим частям последнего равенства, получим, что $g^{-\tau} \beta g^\tau=\beta^{\sigma \tau}$. Для группы Галуа $\operatorname{Gal}(L/k)$ имеем $\operatorname{Gal}(L/k)\cong C_2\times C_2$, где $C_2$ – группа порядка 2, что влечет $\beta^{\sigma \tau}=\beta^{\sigma^{-1}}=g^{-1} \beta g$. Значит, $g^\tau g^{-1} \in C_D(L)$. Стало быть, $g^\tau=c g$ для подходящего $c \in C_D(L)$. Заметим, что $\sigma$ продолжается до автоморфизма всего централизатора $C_D(L)$, поскольку сопряжение с помощью элемента $g$ переводит поле $L$ в себя. Рассмотрим элемент $g^\tau+g=(c+1) g$. Тогда $(g^\tau+g)^2=(c+1) g (c+1) g=(c+1) (c+1)^{\sigma} g^2$. Пусть $C=(c+1) (c+1)^{\sigma} \in C_D(L)$. Тогда алгебра $A=\langle L(C g^2), g^\tau+g \rangle$ – $\tau$-инвариантная кватернионная алгебра. Если $l\in (1+M_L)\cap \operatorname{SL}(1,D)$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Nrd}_{D}(l) N_{L/K}(\operatorname{Nrd}_{C_D(L)}(l))=N_{L/K}(l)^{\operatorname{ind} C_D(L)}=1 \in 1+M_K.
\end{equation*}
\notag
$$
Из $(\operatorname{ind} C_D(L), \operatorname{char} \overline{k})=1$ следует, что $N_{L/K}(l)=1$. Далее, В противном случае, из квадратичности расширения $L/K$ следует $L(Cg^2)=K(Cg^2)$, но это противоречит тому, что $g^\tau+g$ нетривиально действует на $L$ и тривиально на $Cg^2$ ввиду построения этого элемента. Значит, $l \in \operatorname{SU}(A, \tau|_A) \cap (1+M_A)$, а потому к алгебре $A$ и элементу $l$ применима лемма 24, т.е. $l\,{\in}\,U(D, \tau)'$. Завершим доказательство предложения установив существование $l$ с вышеупомянутыми свойствами. Пусть $M$ – максимальное подполе $D$, содержащее $a$, $K(a)\subset M$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Nrd}_{C_D(L)}(a)=N_{M/L}(a)=N_{L(a)/L}(N_{M/L(a)}(a))=N_{L(a)/L}(a)^{[M:L(a)]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $a a^{\tau}=1$, то $N_{L(a)/L(a)_\tau} (a)=1$ и по теореме Гильберта 90$a=t^{\tau-1}$, $t \in L(a)$. Ввиду леммы 25, примененной к расширению $L(a)/L(a)_\tau$, можно считать, что $t \in 1+M_{L(a)}$. Поскольку $L(a)^{\tau}=L(a)$, то $N_{L(a)/L}(t^{\tau-1})=N_{L(a)/L}(t)^{\tau-1}$. Пусть $e=N_{L(a)/L}(t)$. Положим $l=\sqrt[{[L(a):L]}]{e^{\tau-1}}$, тогда $l$ – искомый элемент. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Nrd}_{C_D(L)}(al^{-1}) &=N_{L(a)/L}(al^{-1})^{[M:L(a)]}=\bigl(N_{L(a)/L}(a) N_{L(a)/L}(l)^{-1}\bigr)^{[M:L(a)]} \\ &=\bigl(e^{\tau-1} l^{-[L(a):L]}\bigr)^{[M:L(a)]} =\bigl(e^{\tau-1} e^{1-\tau}\bigr)^{[M:L(a)]}=1, \\ \operatorname{Nrd}_D(l) &=N_{M/K}(l)=N_{L/K}(N_{M/L}(l))=N_{L/K}(\operatorname{Nrd}_{C_D(L)}(l))= \\ &=N_{L/K}(\operatorname{Nrd}_{C_D(L)}(a))=\operatorname{Nrd}_D(a)=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Замечание 10. Как отмечалось выше, всякая алгебра с делением $D{\kern1pt}{\in}{\kern1pt} \mathrm{TR}(K)$ ($\operatorname{char} \overline{k}\neq2$), обладающая унитарной $K/k$-инволюцией, имеет $2$-примарный индекс. Кроме того, справедливо Следствие 12. Пусть алгебра $D\,{\in} \operatorname{TR}(K)$ вполне разветвлена $(\operatorname{char} \overline{k}\,{\neq}\,2)$. Тогда для группы $\operatorname{SU}(D, \tau)$ верна конгруэнц-теорема. В самом деле, $\overline{D}=\overline{K}$. Следствие 13. Пусть $D\in \operatorname{TR}(K)$ $(\operatorname{char} \overline{k}\neq2)$ и обладает максимальным вполне разветвленным расширением. Тогда для $\operatorname{SU}(D, \tau)$ выполняется конгруэнц-свойство. Доказательство. Пусть $L/K$ – максимальное вполне разветвленное расширение полей в $D$ и $n=\operatorname{ind} D$. Тогда $n^2=[D:L]\cdot n$, поэтому $n=[D:L]$. С другой стороны, ввиду неравенства (1.1) имеем $[\overline{D}:\overline{L}][\Gamma_L:\Gamma_K]\leqslant [D:L]$, что влечет $n=[\overline{D}:\overline{L}]\leqslant 1$, т.е. $\overline{D}$ – поле и применимо предложение 12. Следствие доказано. Справедливо также (случай $\lambda_D=1$ не исключается) Предложение 13. Пусть $D\in \operatorname{TR}(K)$, $K/k$ слабо разветвлено и $\varepsilon_{\operatorname{rad} \lambda_D}\in \overline{k}$ ($\operatorname{rad} \lambda_D$ – произведение различных простых делителей числа $\lambda_D$) в случае, когда $\operatorname{char} \overline{k}=2$ и $K/k$ неразветвлено. Тогда $\lambda_D=2^m$. Доказательство. Пусть $T$ – вполне разветвленная часть централизатора $C_D(Z)$, где $Z/K$ – $\tau$-инвариантный неразветвленный подъем расширения $Z(\overline{D})/\overline{K}$. Поскольку $\lambda_D=\lambda_T$, то достаточно установить 2-примарность $\operatorname{ind} T$. Таким образом, предложение справедливо в случае $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$, поскольку $\operatorname{ind} D$ 2-примарен (как было показано в начале доказательства предложения 12). Следовательно, остается рассмотреть случай, когда $\operatorname{char} \overline{k}=2$, $\operatorname{ind} T$ не 2-примарен. Поскольку $\operatorname{ind} T$ не 2-примарен (в противном случае утверждение снова справедливо), то $T$ имеет вид $T_o\otimes_Z T_e$, где $\operatorname{ind} T_o$ нетривиален и нечетен, а $\operatorname{ind} T_e$ 2-примарен, ввиду $\lambda_T=\lambda_{T_o}\cdot \lambda_{T_e}$. Для завершения доказательства предложения покажем, что $\lambda_{T_o}=1$. Пусть не так, т.е. $\lambda_{T_o}>1$. Представим $T_o$ в виде $T_1\otimes_Z \dots \otimes_Z T_s$, где $T_1$, … , $T_s$ имеют примарные попарно взаимно простые индексы. Ввиду предположения о нетривиальности индекса $\lambda_{T_o}$ существует $i$, $1\leqslant i\leqslant s$, для которого $\lambda_{T_i}>1$. Положим $\operatorname{ind} T_i=p_i^{\alpha_i}$. Поскольку $\varepsilon_{\operatorname{rad} \lambda_D}\in \overline{k}$, то $\varepsilon_{p_i}\in \overline{k}$. Рассмотрим расширение $k(\varepsilon_{i})/k$, где $\varepsilon_{i}$ – примитивный корень из 1 степени $\exp(\Gamma_{T_{i}} / \Gamma_Z)$. Тогда для подходящего $m$ $\varepsilon_{i}^{m} \in k$ – примитивный корень степени $p_{i}$ из $1$. Предположим, что $\varepsilon_{i} \notin Z_\tau$. Тогда $\varepsilon_{i}^{m}=(\varepsilon_{i}^{m})^\tau=\varepsilon_{i}^{-m}$, поэтому $\varepsilon^2_{p_{i}}=\varepsilon_{i}^{2m}=1$, что противоречит тому, что $\varepsilon_{p_{i}}$ – примитивный корень из 1 степени $p_{i}$, ввиду нечетности числа $p_{i}$. Следовательно, $\varepsilon_i \in Z_\tau$. Стало быть, $T_i=A_i \otimes_{Z_\tau} Z$, где $A_i$ – $\tau$-инвариантная центральная $Z_\tau$-алгебра с делением. Последнее противоречит $\tau$-инвариантности алгебры $A_i$, нечетности индекса $A_i$ и тривиальности ограничения $\tau$ на $Z_\tau$. Следовательно, $\lambda_{T_i}=1$. Таким образом, $\lambda_{T_o}=\lambda_{T_1} \lambda_{T_2} \cdots \lambda_{T_s}=1$. Предложение доказано.
§ 8. Конгруэнц-свойство групп $\operatorname{SU}(D, \tau)$ неразветвленных алгебр с инволюциями вида $\tau_L(u)$Как и выше, $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$ и расширение $K/k$ слабо разветвлено. Рассмотрим вначале случай неразветвленных алгебр $D$. Лемма 26. Пусть $D\,{\in}\, \mathcal{D}(K)$ – неразветвленная алгебра и $\tau\,{=}\,\tau_L\,{\in} \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Тогда представление инволюции $\tau_L$ в виде $\tau_L(u)$ эквивалентно представлению инволюции $\overline{\tau}$ в виде $\overline{\tau}_{\overline{L}}(v)$ для подходящего $v\in U(\overline{D},\overline{\tau}_{\overline{L}})$ (в случае $K/k$ вполне разветвлено, $\overline{\tau}_{\overline{L}}(v)$ для подходящего $v\in U(\overline{D},\overline{\tau}_{\overline{L}})$ означает инволюцию $\overline{D}$, действующую на $\overline{L}$ как $\overline{\tau}$ и такую, что $i_v|_{\overline{L}}$ – образующая группы $\operatorname{Gal}(\overline{L}/\overline{k})$). Доказательство. Пусть $D=\langle L, \sigma, u \rangle$, где $\langle\sigma\rangle=\operatorname{Gal}(L/K)$. Переходя к подходящему элементу, $L$-пропорциональному к $u$, можем считать, что $\overline{D}=\langle\overline{L},\overline{\sigma},\overline{u} \rangle$. Откуда следует, что $\overline{\tau}$ имеет вид $\overline{\tau}_{\overline{L}}(\overline{u})$. Обратно, по условию леммы существует элемент $v\in U(\overline{D},\overline{\tau})$ такой, что $\overline{D}=\langle \overline{L}, \overline{\sigma}, v \rangle$, и, не ограничивая общности, можно считать, что $\overline{u}=v$. Заметим, что для произвольного $l\in L$ имеем $u^{-1}lu=l^{\sigma}$ и $u^{\tau}l^{\tau}u^{-\tau}={l^{\sigma}}^{ \tau}$. Последнее равенство, ввиду $\sigma\tau=\tau \sigma$, влечет, что $u^{\tau}l u^{-\tau}=l^{\sigma}$. Тогда получаем, что $uu^{\tau}\in L$. Кроме того, переход к вычетам влечет, что $\overline{uu^{\tau}}=\overline{1}$. Откуда заключаем, что $u u^{\tau}\in 1+M_{L}$ и ввиду $\tau$-инвариантности элемента $uu^{\tau}$ на самом деле этот элемент принадлежит $1+M_{L_{\tau}}$. Поскольку расширение $L/L_{\tau}$ слабо разветвлено, то существует элемент $y\in L$ такой, что $yy^{\tau}=uu^{\tau}$. Откуда следует, что $(y^{-1}u) (u^{\tau}y^{-\tau})=1$. Переходя от элемента $u$ к элементу $y^{-1}u$ получаем, что наша инволюция $\tau_L$ имеет вид $\tau_L(y^{-1}u)$. Лемма доказана. Отметим, что не всякая циклическая инволюция $\tau_L$ является инволюцией вида $\tau_L(u)$. Лемма 27. Пусть $K/k$ – слабо вполне разветвленное расширение, $D$ – неразветвленная $K$-алгебра и $\tau_L\,{\in} \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ – циклическая инволюция алгебры $D$. Обозначим через $L_2$ расширение $K$, лежащее в $L$ и такое, что $[L: L_2]\,{=}\,2$. Предположим, что $L_2/{L_{2}}_{\tau}$ вполне разветвлено, тогда $\tau_L\neq \tau_L(u)$ ни для какого $u\in U(D,\tau_L)$ в следующих двух случаях: (1) $-1\in L_{2_\tau}^2$; (2) $-1\notin D^2$. Доказательство. Рассмотрим вначале случай (1), т.е. пусть $-1\in {L_2^2}_{\tau}$. Предположим, что $\tau_L=\tau_L(u)$. Тогда ввиду леммы 10 $\operatorname{ind} D$ 2-примарен. Поскольку $L/K$ неразветвлено, то $\overline{L}/\overline{K}$ – циклическое расширение с 2-группой Галуа. Ввиду $\overline{K}=\overline{k}$ получаем, что $\overline{L}/\overline{k}$ – циклическое расширение с 2-группой Галуа. Рассмотрим расширение $L_2/{L_{2}}_{ \tau}$. Заметим, что централизатор $C_{D}(L_2)$ – кватернионная $L_{2}$-алгебра такая, что ограничение $\tau$ на этом централизаторе является инволюцией вида $\tau_L(u)$. Так как еще расширение $L_2/{L_2}_{\tau}$ вполне разветвлено, то достаточно доказать лемму в случае, когда $\operatorname{ind} D=2$, $K/k$ вполне разветвлено и $-1\in k^2$. Поскольку $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$, можно считать, что $D=(\alpha,\beta)\otimes_k k(\sqrt{\pi})$, где $(\alpha, \beta)$ – $\tau$-инвариантная неразветвленная кватернионная $k$-алгебра ограничение $\tau$ на которой задается следующим образом: $\sqrt{\alpha}^{\,\tau}=-\sqrt{\alpha}$, $\sqrt{\beta}^{\,\tau}=-\sqrt{\beta}$, $\sqrt{\pi}^{\,\tau}=-\sqrt{\pi}$, а $\pi\in M_k$ такой, что $v_k(\pi)\notin 2\Gamma_k$. Из неразветвленности алгебры $(\alpha,\beta)$ вытекает, что, без ограничения общности, можно считать, что $\alpha, \beta \in U_K$ и алгебра $(\overline{\alpha},\overline{\beta})$ – $\overline{k}$-алгебра с делением. Наша цель – доказать, что инволюция $\tau_L$ не может быть инволюцией вида $\tau_L(u)$. Предположим, напротив, что $\tau_L$ – циклическая инволюция, имеющая вид $\tau_L(u)$, где $u\in U(D,\tau)$. Ввиду каноничности базиса $\{1, \sqrt{\alpha}, \sqrt{\beta}, \sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}\}$ кватернионной алгебры $(\alpha, \beta)$ имеем $\sqrt{\beta}^{\,-1}\sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}=-\sqrt{\alpha}$ и также $u^{-1}\sqrt{\alpha} u=-\sqrt{\alpha}$. Откуда следует, что $\sqrt{\beta}^{\,-1}\sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}=u^{-1}\sqrt{\alpha} u$, что влечет $u\sqrt{\beta}^{\,-1}\in k(\sqrt{\pi}, \sqrt{\alpha})$, т.е. $u\sqrt{\beta}^{\,-1}=a+b\sqrt{\alpha}$, где $a,b \in k(\sqrt{\pi})$. Следовательно, поскольку $u\in U(D,\tau)$, то $1=uu^{\tau}=-\beta (a+b\sqrt{\alpha}) (a^{\tau}-b^{\tau}\sqrt{\alpha})$. Окончательно заключаем, что $-\beta^{-1}=(aa^{\tau}-\alpha bb^{\tau})+(-ab^{\tau}+ba^{\tau})\sqrt{\alpha}$. Поскольку $\beta^{-1}, aa^{\tau}-\alpha bb^{\tau}\in k$, то необходимо выполнение $-ab^{\tau}+ba^{\tau}=0$. Откуда следует, что $a/b\in S_{\tau}(D)$. Из предыдущего вытекает, что $\beta^{-1}=(\alpha bb^{\tau}-aa^{\tau})+(ab^{\tau}-ba^{\tau})\sqrt{\alpha}$. Заметим, что возможность – $a$ целое, $b$ нецелое (равно как и $b$ целое, $a$ нецелое) – не реализуется. В первом случае из предыдущего равенства будем иметь: $\alpha bb^{\tau}$ не является целым и равно $b^{-1}+aa^{\tau}$ – противоречие. Аналогично рассматривается второй случай. Таким образом, $a$ и $b$ либо одновременно целые, либо не целые. Рассмотрим теперь случай, когда $a$ и $b$ целые. Тогда $\overline{\beta}^{\,-1}=\overline{\alpha} \,\overline{b}\, \overline{b}^{\,\overline{\tau}}- \overline{a}\,\overline{a}^{\,\overline{\tau}}$. Ввиду слабо и вполне разветвленности расширения $k(\sqrt{\pi})/k$ следует, что $\overline{b^{\tau}}= \overline{b}$. Аналогично, $\overline{a^{\tau}}=\overline{a}$, что влечет $\overline{\beta}^{\,-1}=\overline{\alpha}\, \overline{b}^{\,2}-\overline{a}^{\,2}$. А с учетом $-1\in \overline{k}^{\,2}$ получаем, что $(\overline{\alpha}, \overline{\beta})=(\overline{\alpha},\overline{\beta}^{\,-1})$. Откуда заключаем, что $(\overline{\alpha},\overline{\beta})$ не является алгеброй с делением, что не так. Пусть $a$ и $b$ – оба не целые и $a=u_a/(\sqrt{\pi})^{m}$, а $b=u_b/(\sqrt{\pi})^n$, где $u_a, u_b\in U_{k(\sqrt{\pi})}$. Тогда $\beta^{-1}=\alpha u_b u_b^{\tau}/((\sqrt{\pi})^{n}((\sqrt{\pi})^n)^{\tau})-u_a u_a^{\tau} /( (\sqrt{\pi})^m ((\sqrt{\pi})^m)^{\tau} )$. Если $m\neq n$, то домножая обе части равенства на меньшую степень $\sqrt{\pi}$, приходим к случаю, рассматривавшемуся выше. Следовательно, остается рассмотреть случай, когда $m=n$. Поднимая знаменатели в обеих частях и переходя к вычетам, получаем $\overline{u_a}^2-\overline{\alpha}\, \overline{u_b}^{\,2}=0$. Таким образом, $\overline{\alpha}\in \overline{k}^{\,2}$, что противоречит тому, что $(\overline{\alpha},\overline{\beta})$ – алгебра с делением, что завершает рассмотрение случая, когда $-1\in {L_{2}}_{\tau}^2$. Предположим, что $-1\notin D^2$ и $D$ обладает инволюцией вида $\tau_L(u)$ для $u\in U(D,\tau)$. Тогда инволюция $\tau_L(u)$ продолжается до инволюции $\tau_L(i)$ алгебры $D(i)=D\otimes_K K(i)$, где $i^2=-1$, если положить $i^{\tau}=i$. Поскольку $-1\notin D^2$ и $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$, то $k(i)/k$ неразветвлено, а $K(i)/k(i)$ вполне разветвлено. Кроме того, $L\otimes_K K(i)$ – максимальным циклическое подполе этой алгебры и $u\otimes_K 1\in U(D(i), \tau_L(i))$. Откуда следует, что $\tau_{L(i)}$ имеет вид $\tau_{L(i)} (u\otimes_K 1)$. Заметим, что алгебра $D(i)$ неразветвлена над $K(i)$, причем $K(i)/ K(i)_{\tau_L(i)}$ – вполне разветвленное расширение. Таким образом, мы оказываемся в рамках случая (1), если предположить, что расширение $L(i)_2 / {L(i)_2}_{\tau_L(i)}$ вполне разветвлено, что влечет отсутствия на $D(i)$ инволюции вида $\tau_{L(i)}(u\otimes_K 1)$, что противоречит предыдущему. Лемма доказана. Следующее техническое утверждение будет неоднократно нами использоваться как для расширений полей $K$, так и для расширений полей $\overline{K}$. Пусть $N/F$ – расширение Галуа бесконечного поля $F$ ($\operatorname{char} F\neq2$) такое, что группа $\operatorname{Gal}(N/F)$ – прямое произведение двух групп $G\times G_2$, где $G$ – абелева, а $G_2$ – группа второго порядка. Пусть $G_2=\langle\widetilde{\mu}\rangle$ и положим $\mu=\mathrm{id}_{G}\otimes \widetilde{\mu}$. Заметим, что если $E=N_{G}$, то $N=N_{\mu} \otimes_F E$. Справедливо Предложение 14. Пусть $E=F(\sqrt{\beta})$. Тогда существует примитивный элемент $z$ расширения $N_{G_2}/F$ такой, что среди элементов вида $v_z=\bigl((1+z\sqrt{\beta})/(1-z\sqrt{\beta})\bigr)^{\gamma-1}$, $\gamma\in \operatorname{Gal}(N/E)$, найдется примитивный элемент расширения $N/E$. Доказательство. Заметим, прежде всего, что для произвольного промежуточного подполя $L$ такого, что $E\subset L\subseteq N$, для произвольного простого делителя $p$ степени $[L:E]$ существует подрасширение $T_p$ такое, что $T_p\subset L$ и $[L:T_p]=p$. В самом деле, если $G_L=\operatorname{Gal}(L/E)$, а $G_p$ – подгруппа $G_L$ простого порядка $p$, то пусть $T_p$ – поле инвариантов группы $G_p$ в $N$. Тогда нетрудно видеть, что $[N:T_p]=p$ и $N/T_p$ – циклическое расширение степени $p$. Нетрудно видеть, что элемент $v_z$ может быть представлен в виде
$$
\begin{equation*}
v_z=\frac{1-z^{\gamma} z\beta+(z^{\gamma}-z)\sqrt{\beta}}{1-z^{\gamma}z \beta+(z-z^{\gamma})\sqrt{\beta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $A=1-z^{\gamma} z\beta $, $B=z^{\gamma}-z$. Тогда
$$
\begin{equation*}
E(v_z)=E\biggl( 1+\frac{2B\sqrt{\beta}}{A-B\sqrt{\beta}}\biggl) = E\biggl(\frac{ A}{B\sqrt{\beta}}\biggl) =E\biggl(\frac{1-z^{\gamma} z\beta}{z^{\gamma}-z}\biggl).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что для любого примитивного элемента $z$ расширения $N_{\mu}/F$ элемент $(1-z^{\gamma} z\beta)/(z^{\gamma}-z)$ не является примитивным для расширения $N/E$. Тогда он принадлежит подходящему полю $T_p$. Ограничимся в дальнейшем случаем, когда $\langle\gamma\rangle=\operatorname{Gal}(N/T_p)$, а $N_{G_2}/F$ – циклично. Пусть $p=2$. Так как $z^{\gamma} z=N_{N|T_2}(z)\in T_2$, то $1-z^{\gamma}z\beta \in T_2$, и потому $z^{\gamma}-z \in T_2$. Тогда либо $z\in T_2$, что не так ввиду примитивности элемента $z$ в расширении $N/T_2$, либо $z$ является корнем неприводимого многочлена степени $2$ с коэффициентами в $T_2$. Но в последнем случае в силу $[N:T_2]=2$ элемент $z^{\gamma}-z$ не может принадлежать $T_2$. Пусть теперь $p\neq2$ и $(1-z^{\gamma} z\beta)/(z^{\gamma}-z) \in T_p$. Ввиду нашего предположения для произвольного элемента $m\in F$ элемент $\bigl(1-(z+m)^{\gamma} (z+m)\beta\bigr)/(z^{\gamma}-z)$ также принадлежит $T_p$. Тогда частное этих двух элементов снова принадлежит $T_p$. Значит, Аналогично имеем $(n+z^{\gamma}+z)/(1-z^{\gamma} z\beta)\in T_p$ для $n\in F$ и $n\neq m$. Переходя к частному этих двух элементов, заключаем, что $(m+z^{\gamma}+z)/(n+z^{\gamma}+z)\in T_p$. Так как то $(m-n)/(n+z^{\gamma}+z)\in T_p$, откуда следует $z^{\gamma}+z\in T_p$. Положим $z^{\gamma}=-z+t$, $t\in T_p$. При таком $z^{\gamma}$ элемент $(1-z^{\gamma} z\beta)/(z^{\gamma}-z)$ преобразуется в элемент $(1-(t-z)z\beta)/(t-z-z)=(1+z^2\beta-tz\beta)/(t-2 z)$. Поскольку последний элемент принадлежит $T_p$, то приходим к равенству $\widetilde{t}=(1+z^2\beta-tz\beta)/(t-2 z)$, где $\widetilde{t}\in T_p$. Отсюда немедленно следует, что $z$ является корнем многочлена степени $2$ с коэффициентами из $T_p$. С другой стороны, $z$, являясь примитивным элементом расширения $N_{\mu}/F$, – примитивный элемент $N/E$ и, в частности, примитивный элемент расширения $N/T_p$. Следовательно, так как степень $[N: T_p]=p$, и $N=T_p(z)$, то приходим к противоречию. Предложение доказано.Следствие 14. Пусть алгебра $D\in \mathcal{D}(K)$ неразветвлена, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$ и $\overline{D}$ содержит максимальное подполе $N$, удовлетворяющее условиям, предшествующим предложению 14 при $F=\overline{k}$, $E=\overline{K}$, $\mu=\overline{\tau}|_N$ и $\beta=\overline{\alpha}$, где $\alpha\in U_k$ и $\overline{K}=\overline{k}(\sqrt{\overline{\alpha}})$. Тогда существуют неразветвленный $\tau$-инвариантный подъем $L$ расширения $N/\overline{k}$ и такой элемент $z\in U_{L_\tau}$ и $\gamma\in \operatorname{Gal}(L/K)$, что $\bigl((1+\overline{z} \sqrt{\overline{\alpha}})/(1-\overline{z} \sqrt{\overline{\alpha}})\bigr)^{\gamma-1} $ – примитивный элемент расширения $N / \overline{K}$. Доказательство. Обозначим $\tau$-инвариантный неразветвленный подъем расширения $N/\overline{k}$ через $L/k$. В силу предыдущего предложения существует примитивный элемент расширения $N/\overline{K}$ вида $\bigl((1+\widetilde{t} \sqrt{\overline{\alpha}})/(1-\widetilde{t} \sqrt{\overline{\alpha}})\bigr)^{\gamma-1}$, где $\widetilde{t}$ – подходящий примитивный элемент расширения $N_{\overline{\tau}}/\overline{k}$. Пусть $z$ – прообраз $\widetilde{t}$ в $L_\tau$. Тогда элемент $\bigl((1+\overline{z} \sqrt{\overline{\alpha}})/(1-\overline{z} \sqrt{\overline{\alpha}})\bigr)^{\gamma-1}$ примитивен для расширения $N/\overline{K}$. Следствие доказано. Если $\lambda$ – подъем автоморфизма $\gamma$ в поле $L$, то справедливо Следствие 15. Если $\lambda\,{=}\,i_u|_L$, где $u\,{\in}\, U(D, \tau)$, то $\bigl((1+z \sqrt{\alpha})/(1-z\sqrt{\alpha})\bigr)^{\lambda-1}{\in} U(D, \tau)'$. Доказательство. Действительно, элемент $d=(1+z \sqrt{\alpha})/(1-z \sqrt{\alpha}) \in U(D, \tau)$, откуда следует, что $d^{\lambda-1}=u d u^{-1} d^{-1} \in U(D, \tau)'$. Сформулируем одно достаточное условие для того, чтобы группа $\operatorname{SU}(D, \tau)$ обладала конгруэнц-свойством. Предложение 15. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$ – неразветвленная алгебра нечетного индекса и $\tau_L\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Предположим, что инволюция $\overline{\tau}=\overline{\tau}_{\overline{L}}$ имеет вид $\overline{\tau}_{\overline{L}}(\widetilde{u})$. Тогда группа $\operatorname{SU}(D, \tau)$ обладает конгруэнц-свойством. Доказательство. Пусть $a \in (\operatorname{SU}(D, \tau) \cap (1+M_D)) \setminus K$. Заметим, что $\overline{D}=\langle \overline{L}, \overline{\sigma}, \widetilde{u}\rangle$, где $\langle\overline{\sigma}\rangle=\operatorname{Gal}(\overline{L}/\overline{K})$ и $\widetilde{u}\in U(\overline{D},\overline{\tau})$. Заметим, что $\overline{\tau}|_{\overline{L}}$ перестановочно с элементами из $\operatorname{Gal}(\overline{L}/\overline{K})$. Положим $N=\overline{L}$, $E=\overline{K}$, $\mu=\overline{\tau}|_{\overline{L}}$ и $F=\overline{k}$. Ввиду предложения 14 существует примитивный элемент $\widetilde{z}$ расширения $\overline{L}_{\overline{\tau}}/\overline{k}$ такой, что элемент $ \widetilde{d}_{\widetilde{z}}=\bigl((1+\widetilde{z}\sqrt{\overline{\alpha}})/(1- \widetilde{z}\sqrt{\overline{\alpha}})\bigr)^{\gamma-1}$ является примитивным элементом расширения $\overline{L}/\overline{K}$. Для подъема $\lambda$ автоморфизма $\overline{\sigma}$ в $L$ пусть $d_z=\bigl((1+z\sqrt{\alpha})/(1-z\sqrt{\alpha})\bigr)^{\lambda-1}$, где $\overline{z}=\widetilde{z}$. В силу леммы 26 существует элемент $u\in U(D,\tau)$ такой, что $i_u |_L=\lambda$. Тогда ввиду следствия 15 $d_z\in U(D,\tau)'$. Обозначим через $L'$ поле $K(d_z a)$. Так как $\overline{d_z a}=\widetilde{d}_{\widetilde{z}}$ – примитивный элемент расширения $\overline{L}/\overline{K}$, то $\overline{L'}=\overline{L}$. Поскольку $\overline{D}=\langle\overline{L'}, \widetilde{\sigma}, \widetilde{u}\rangle$, где $\langle\widetilde{\sigma}\rangle=\operatorname{Gal}(\overline{L'}/\overline{K})$, тогда в силу предыдущей леммы $D=\langle L', \sigma', u\rangle$, где $\langle\sigma'\rangle=\operatorname{Gal}(L'/K)$, причем $\overline{\sigma'}=\widetilde{\sigma}$, и $u \in U(D, \tau)$. Применяя предложение 3 к последней алгебре и элементу $d_z a$, получаем, что $d_z a \in U(D, \tau)'$. Стало быть, $a \in U(D, \tau)'$. Пусть теперь $a \in \operatorname{SU}(D, \tau) \cap (1+M_D)\cap K$ и $d_z$ – элемент, рассматривавшийся выше. Рассмотрим элемент $d_z a$. Тогда снова $d_z a\in (L'\setminus K)$. Снова ввиду предложения 3 $d_z a\in U(D,\tau)'$, что влечет $a=(d_za)d^{-1}_z\in U(D,\tau)'$. Предложение доказано. Ниже нам потребуется Предложение 16. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$ – неразветвленная алгебра $2$-примарного индекса, $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$, $\tau=\tau_L(u)$ и $\operatorname{char} \overline{k} \neq 2$. Тогда группа $\operatorname{SU}(D, \tau)$ обладает конгруэнц-свойством. Доказательство. Если $D$ – алгебра кватернионов, то группа $\operatorname{SU}(D, \tau)$ обладает конгруэнц-свойством ввиду леммы 24. Предположим, что $\operatorname{ind} D>2$ и что специальные унитарные группы циклических подалгебр алгебры $D$ с инволюциями, удовлетворяющих условию предложения, обладают конгруэнц-свойством. Ввиду предложения 14 существует примитивный элемент $\widetilde{z}$ расширения $\overline{L}_{\overline{\tau}}/\overline{k}$ такой, что $\widetilde{d}=\bigl((1+\widetilde{z}\sqrt{\overline{\alpha}})/ (1-\widetilde{z}\sqrt{\overline{\alpha}})\bigr)^{\gamma-1}$ – примитивный элемент расширения $\overline{L}/\overline{K}$. Пусть, далее, $\widetilde{E}$ – квадратичное расширение $k$, содержащееся в $L_{\tau}$. Положим $E=\widetilde{E}\times_k K$. Тогда $E/K$ – $\tau$-инвариантное квадратичное расширение $K$. Для прообраза $z$ в $L_{\tau}$ элемента $\widetilde{z}$ положим $d_z=\bigl((1+z\sqrt{\alpha})/(1-z\sqrt{\alpha})\bigr)^{\nu-1}$, где $\nu$ – прообраз $\gamma$. Так как $\overline{L}=\overline{K}(\widetilde{d}) \subset \overline{K(d_z)} $, $L$ – максимальное поле и алгебра $D/K$ не разветвлена, то $K(d_z)=L$, причем $d_z \in U(D, \tau)'$, поскольку $(1+z\sqrt{\alpha})/(1-z\sqrt{\alpha})\in U(D,\tau)$, $\nu=i_u|_L$, $u\in U(D,\tau)$. Далее, пусть $a \in (1+M_D) \cap \operatorname{SU}(D,\tau)\setminus K$. Положим $L'=K(d_z a)$. Так как расширение $\overline{K}(\overline{d_z})/\overline{K}$ максимально и $\overline{K}(\overline{d_z}) \subset \overline{K(d_z a)}$, заключаем, что $\overline{L'}=\overline{L}$. Тождественный автоморфизм полей $\overline{L'}$ и $\overline{L}$ является естественно ограничением тождественного автоморфизма $\overline{D}$. Обозначим через $\varphi$ $K$-автоморфизм $D$, переводящий $L'$ в $L$ такой, что $\overline{\varphi}|_{\overline{L'}}=\mathrm{id}_{\overline{L'}}$. Тогда в силу [43] и неразветвленности алгебры $D$ заключаем, что $\varphi=i_{(1+m)^{-1}}$, где $m \in M_D$. Следовательно, $L'=(1+m)^{-1} L (1+m)$. Применим $\tau$ к обеим частям последнего равенства. Тогда ${L'}^\tau=(1+m)^{\tau} L^\tau (1+m)^{-\tau}$. Так как $L'=K(d_z a)$, то $L'$ $\tau$-инвариантно (ввиду $d_z a\in U(D,\tau)$). Значит, $L'=(1+m)^{\tau} L (1+m)^{-\tau}$. Отсюда следует, что $(1+m)^{-1}L(1+m)=(1+m)^{\tau} L(1+m)^{-\tau}$, что влечет $L=(1+m)(1+m)^{\tau}L ((1+m)(1+m)^{\tau})^{-1}$. Тогда ограничение автоморфизма $i_{(1+m)(1+m)^{\tau}}$ – автоморфизм $L$ с тождественной редукцией. Поэтому $(1+m)(1+m)^{\tau}\in C_D(L)=L$. Отметим, что $(1+m)(1+m)^\tau \in 1+M_L$, и, значит, для подходящего $1+p \in 1+M_L$ произведение $(1+m)(1+m)^\tau=N_{L/L_\tau}(1+p)=(1+p)(1+p)^\tau$, так как $L/L_\tau$ слабо разветвлено. Следовательно, $(1+p)^{-1}(1+m) \in U(D,\tau)$, поэтому можем считать, не ограничивая общности, что $(1+m) \in (1+M_D) \cap U(D, \tau)$, поскольку $1+p$ – центральный элемент $C_D(L)$. Для завершения доказательства предложения покажем, что элемент $b=(1+m)^{-1}(d_za)(1+m)$ принадлежит $U(D,\tau)'$. Для этого установим существование элемента $e\in (1+M_E)\cap \operatorname{SU}(C_D(E),\tau|_{C_D(E)})$ такого, что $\operatorname{Nrd}_{C_D(E)}(b)=\operatorname{Nrd}_{C_D(E)}(e)$ и, кроме того, $\operatorname{Nrd}_D(e)=1$. Для такого элемента $e$ будем иметь $E(be^{-1})\,{=}\,E(b)$ и $\operatorname{Nrd}_{C_D(E)}(be^{-1})\,{=}\,1$, т.е. $be^{-1}{\in}\, (1+M_{C_D(E)}\cap \operatorname{SU}(C_D(E),\tau|_{C_D(E)})$. Поскольку $\operatorname{ind} C_D(E)< \operatorname{ind} D$, то к элементу $be^{-1}$ применимо индуктивное предположение, и потому $be^{-1}\in U(C_D(E),\tau|_{C_D(E)})'$. Установим, что $e\in U(D,\tau)'$, следствием чего будет $b\in U(D,\tau)'$. Пусть $\langle\sigma \rangle=\operatorname{Gal}(E/K)$. По теореме 7 существует элемент $g\in D$ такой, что $i_{g^{-1}}|_E=\sigma$. Пусть $E_{\tau}=k(\beta)$. Тогда $g\beta g^{-1}=g^{\sigma}$. Применим $\tau$ к обеим частям последнего равенства и получим, что $g^{-\tau} \beta g^{\tau}=\beta^{\sigma\tau}$. Так как $\operatorname{Gal}(E/k)=C_2\times C_2$, то $\beta^{\sigma \tau}\,{=}\,\beta^{\sigma^{-1}}\,{=}\,g^{-1}\beta g$. Ввиду последнего $g^{\tau}g^{-1}\in C_D(E)$. Стало быть, $g^{\tau}=c g$ для подходящего $c\in C_D(E)$. Заметим, что $\sigma$ продолжается до автоморфизма всего централизатора $C_D(E)$, поскольку сопряжение с помощью элемента $g$ переводит поле $E$ в себя. Не ограничивая общности, можно считать, что $g^{\tau}\neq -g$. В противном случае вместо $g$ можно рассмотреть элемент $\alpha g$, где $K=k(\alpha)$. Рассмотрим элемент $g^{\tau}+g=(c+1)g$. Тогда $(g^{\tau}+g)^2=(c+ 1)g(c+ 1)g=(c+1)(c+1)^{\sigma}g^2$. Обозначим через $C$ элемент $(c+1)(c+1)^{\sigma}\in C_D(E)$. Тогда алгебра $A=\langle E(Cg^2), g^{\tau}+g\rangle$ – $\tau$-инвариантная центральная алгебра индекса $2$ над $K(Cg^2)$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
N_{E/K}(\operatorname{Nrd}_{C_D(E)}(e))=N_{E/K}(e)^{\operatorname{ind} C_D(E)}=1\in1+M_K.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду взаимной простоты чисел $\operatorname{ind} C_D(E)$ и $\operatorname{char} \overline{k}$ заключаем, что $N_{E/K}(e)\,{=}\,1$. Нетрудно видеть, что $N_{E/K}(e)=N_{E(Cg^2)/K(Cg^2)}(e)=1$. В противном случае, поскольку расширение $E/K$ квадратично, то $E(Cg^2)=K(Cg^2)$, но это противоречит тому, что $i_{g^{\tau}+g}$ нетривиально действует на $E$ и тривиально на $Cg^2$ ввиду построения этого элемента. Таким образом, $e\in \operatorname{SU}(A,\tau|_A)\cap (1+M_A)$, а потому к алгебре $A$ и элементу $e$ применима лемма 24. Стало быть, $e\in U(D,\tau)'$. Теперь остается доказать существование элемента $e$, удовлетворяющего вышеупомянутым свойствам. Далее,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Nrd}_{C_D(E)}(b)=N_{L/E}(b)=N_{E(b)/E}(N_{L/E(b)}(b))=N_{E(b)/E}(b)^{[L:E(b)]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $bb^{\tau}=1$, то $N_{E(b)/E(b)_{\tau}}(b)=1$ и по теореме Гильберта 90 $b=t^{\tau-1}$, $t\in E(b)$. Ввиду леммы 25, примененной к расширению $E(b)/E(b)_{\tau}$, не ограничивая общности, можно считать, что $t\in 1+M_{E(b)}$. Пусть $r=N_{E(b)/E}(t)$. Положим $e=\sqrt[{[E(b):E]}]{r^{\tau-1}}$. Покажем, что $e$ – искомый элемент. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Nrd}_{C_D(E)}(be^{-1}) &=N_{E(b)/E}(b e^{-1})^{[L:E(b)]}=\bigl(N_{E(b)/E}(b) N_{E(b)/E}(e)^{-1}\bigr)^{[L:E(b)]} \\ &=\bigl(r^{\tau-1} e^{-[E(b):E]}\bigr)^{[L:E(b)]}=\bigl(r^{\tau-1}r^{1-\tau}\bigr)^{[L:E(b)]}=1. \\ \operatorname{Nrd}_D(e) &=N_{L/K}(e)=N_{E/K}(N_{L/E}(e))=N_{E/K}(\operatorname{Nrd}_{C_D(E)}(e)) \\ &=N_{E/K}(\operatorname{Nrd}_{C_D(E)}(b))=\operatorname{Nrd}_{D}(b)=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 16 доказано. Теорема 18. Пусть $D\in \mathcal{D}(K)$ – неразветвленная алгебра и $\tau=\tau_L(u)$ – циклическая инволюция из $\operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Тогда группа $\operatorname{SU}(D, \tau)$ обладает конгруэнц-свойством. В частности, условие теоремы выполнены в случае, когда $D$ – кватернионная алгебра, неразветвленная над $K$. Доказательство. Как и выше, замечаем, что элемент $a\in(1+M_D)\cap \operatorname{SU}(D,\tau) \cap K $ принадлежит $U(D, \tau)'$.
Пусть теперь $a \in (\operatorname{SU}(D, \tau) \cap (1+M_D)) \setminus K$. Отметим, что $\overline{D}=\langle \overline{L}, \widetilde{\sigma}, \overline{u}\rangle$, где $\langle\widetilde{\sigma}\rangle=\operatorname{Gal}(\overline{L}/\overline{K})$. Кроме того, ограничение $\overline{\tau}|_{\overline{L}}$ перестановочно со всеми элементами из $\operatorname{Gal}(\overline{L}/\overline{K})$. Положим $N=\overline{L}$, $E=\overline{K}$, $\mu=\overline{\tau}|_{\overline{L}}$ и $F=\overline{k}$. Ввиду предложения 14 существует примитивный элемент $\widetilde{z}$ расширения $\overline{L}_{\overline{\tau}}/\overline{k}$ такой, что элемент $ \widetilde{d}_{\widetilde{z}}=\bigl((1+\widetilde{z}\sqrt{\overline{\alpha}})/(1- \widetilde{z}\sqrt{\overline{\alpha}})\bigr)^{\gamma-1}$ для подходящего $\gamma \in \operatorname{Gal}(\overline{L}/\overline{K})$ является примитивным элементом расширения $\overline{L}/\overline{K}$. Для подъема $\overline{K}$-автоморфизма $\gamma$ до $K$-автоморфизма $\lambda$ поля $L$ пусть $d_z=\bigl((1+z\sqrt{\alpha})/(1-z\sqrt{\alpha})\bigr)^{\lambda-1}$, где $\overline{z}=\widetilde{z}$. В силу леммы 26 существует элемент $u\in U(D,\tau)$ такой, что $i_u |_L=\lambda$. Тогда ввиду следствия 15 $d_z\in U(D,\tau)'$. Обозначим через $L'$ поле $K(d_z a)$. Поскольку $\overline{d_z a}=\widetilde{d}_{\widetilde{z}}$ – примитивный элемент расширения $\overline{L}/\overline{K}$, то $\overline{L'}=\overline{L}$. Следовательно, $\overline{D}=\langle\overline{L'}, \widetilde{\sigma}, \overline{u}\rangle $ и в силу леммы 26 $D=\langle L', \sigma', u \rangle$, где $\langle\sigma'\rangle=\operatorname{Gal}(L'/K)$, а $u \in U(D,\tau)$. Применяя предложение 3, имеем, что $d_z a \in U(D, \tau)'$. Стало быть, $a \in U(D, \tau)'$. Теорема доказана. § 9. Конгруэнц-свойство групп $\operatorname{SU}(D, \tau)$. Смешанный случайПусть $D\in \operatorname{TR}(K)$, а $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$. Основной здесь является теорема 3, напомним ее формулировку. Пусть $\tau\in \operatorname{Inv}_{K/k}(D)$. Тогда группа $\operatorname{SU}(D, \tau)$ обладает конгруэнц-свойством в следующих двух случаях: (i) $\overline{D}$ – поле; (ii) $\overline{D}$ не поле (если $\operatorname{char} \overline{k}>0$, то $(\operatorname{ind} D, \operatorname{char} \overline{k})=1$) и инволюция $\overline{\tau}$ циклическая, сопровожденная унитарным элементом. Предварим доказательство теоремы 3 в случае (ii) следующей леммой. Лемма 28. Пусть $D$ – алгебра из случая (ii), $I$ – ее $\tau$-инвариантная алгебра инерции. Тогда $\tau|_I$ – циклическая инволюция алгебры $I$, сопровожденная унитарным элементом и имеющая вид $(\tau|_I)_L$, а $L/Z(I)$ – подходящее $\tau$-инвариантное циклическое расширение поля $Z(I)$. В этом случае существует элемент $l\in (1+M_L)\cap \operatorname{SU}(D,\tau)$ такой, что $\overline{L}=\overline{K(l)}$ и $l\in U(D,\tau)'$. Доказательство. Ясно, что в случае, когда $\operatorname{char} \overline{k}=0$, а в случае положительной характеристики $\overline{k}$, ввиду условия $(\operatorname{ind} D, \operatorname{char} \overline{k})=1$, все $K$-расширения, содержащиеся в $D$, являются слабо разветвленными. Пусть $I$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции алгебры $D$. Из условия леммы следует, что $\overline{\tau|_I}=(\overline{\tau}|_{\overline{I}})_{\widetilde{L}}(\widetilde{u})$, где $\widetilde{L}$ – подходящее циклическое расширение поля $Z(\overline{I})$ и $\widetilde{u}\in U(\overline{I},\overline{\tau|_{I}})$. Обозначим через $L/Z(I)$ неразветвленный $\tau$-инвариантный подъем расширения $\widetilde{L}/\overline{Z(I)}$. Стало быть, $\tau|_I$ – циклическая инволюция $(\tau|_I)_{L}$. Но тогда в силу (ii) и по лемме 26 $\tau|_I$ имеет вид $(\tau|_I)_{L}(u)$ для подходящего $u\in U(I,\tau|_I)$. Установим существование элемента $l$ из формулировки леммы. Нетрудно видеть, что существует примитивный $\tau$-инвариантный элемент $s\in U_L$ со свойством $\widetilde{L}=\overline{K}(\overline{s})$. Обозначим через $\widetilde{s_1}$ примитивный элемент расширения $\widetilde{L}_{\overline{\tau}}/\overline{Z(I)}_{\overline{\tau}}$, а через $\widetilde{s_2}$ примитивный элемент $\overline{Z(I)}_{\overline{\tau}}/\overline{k}$. Пусть $s_1$ – прообраз $\widetilde{s_1}$ в $L$, $s_2$ – прообраз $\widetilde{s_2}$ в $Z(I)$. Тогда $s_1+s_1^{\tau}$, $s_2+s_2^{\tau}$ – $\tau$-инвариантные примитивные элементы соответственно в $L$ и $Z(I)$. Заметим, что существует элемент $\widetilde{c}\in \overline{k}$ со свойством $\widetilde{s_1}+\widetilde{c}\widetilde{s_2}$ – примитивный элемент расширения $\widetilde{L}/\overline{K}$. Положим где $c$ – прообраз в $k$ элемента $\widetilde{c}$. С учетом $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$ и условия $(\operatorname{ind} D, \operatorname{char} \overline{k})\,{=}\,1$, элемент $s$ искомый. В случае вполне разветвленного расширения $K=k(\sqrt{\pi})$, $\pi\in M_k$, положим $l'=(1+\sqrt{\pi}s)/(1-\sqrt{\pi}s)$. Тогда $l'\in U(D,\tau)$. Пусть $l= (\sqrt[\operatorname{ind} D]{\operatorname{Nrd}_D(l')})^{-1} l'$. Ясно тогда, что $l\in (1+M_L)\cap \operatorname{SU}(D,\tau)$. В случае, когда $K/k$ неразветвлено, то для $q\in U_K$ такого, что $\overline{q}\ne \overline{k}$ и $q^{\tau}=-q$, положим $l'=(1+\pi q s)/(1-\pi q s)$. Далее, как и в случае вполне разветвленного расширения $K/k$, устанавливаем, что $l'\in U(D,\tau)$. Положим $l=(\sqrt[\operatorname{ind} D]{\operatorname{Nrd}_D(l')})^{-1} l'$. Тогда снова $l$ – искомый элемент.Обозначим, далее, через $N$ циклическое $\tau$-инвариантное расширение поля $K$ простой степени, содержащееся в $Z(I)$, если $Z(I)\neq K$, а в случае $Z(I)=K$ пусть $N$ – циклическое расширение $Z(I)$ простой степени, лежащее в $L$. Заметим, что $L$ – максимальное подполе в алгебре $D$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Nrd}_{C_D(N)}(l)=N_{L/N}(l)=N_{N(l)/N}(N_{L/N(l)}(l))=N_{N(l)/N}(l)^{[L:N(l)]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $l l^{\tau}=1$, то $N_{N(l)/N(l)_\tau} (l)=1$ и по теореме Гильберта 90 $l=t^{\tau-1}$, $t \in N(l)$. Ввиду слабой разветвленности расширения $N(l)/N(l)_\tau$, не ограничивая общности, можно считать, что $t \in 1+M_{N(l)}$. Так как $N(l)$ – $\tau$-инвариантное поле, то $N_{N(l)/N}(t^{\tau-1})=N_{N(l)/N}(t)^{\tau-1}$. Заметим, что $[N(l):N]$ делит индекс алгебры $D$, который взаимно прост с $\operatorname{char} \overline{k}$. Положим $m=N_{N(l)/N}(t)$, $c=\sqrt[{[N(l):N]}]{m^{\tau-1}} \in 1+M_N$. Покажем, что $c$ удовлетворяет следующим условиям:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname{Nrd}_{C_D(N)}(lc^{-1}) &=N_{N(l)/N}(lc^{-1})^{[L:N(l)]}=\bigl(N_{N(l)/N}(l) N_{N(l)/N}(c)^{-1}\bigr)^{[L:N(l)]} \\ &=\bigl(m^{\tau-1} c^{-[N(l):N]}\bigr)^{[L:N(l)]}=\bigl(m^{\tau-1} m^{1-\tau}\bigr)^{[L:N(l)]}=1, \\ \notag \operatorname{Nrd}_D(c) &=N_{L/K}(c)=N_{N/K}(N_{L/N}(c))=N_{N/K}(\operatorname{Nrd}_{C_D(N)}(c)) \\ &=N_{N/K}(\operatorname{Nrd}_{C_D(N)}(l))=\operatorname{Nrd}_D(l)=1. \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
Таким образом, $\operatorname{Nrd}_{C_D(N)}(lc^{-1})=1$ и $\operatorname{Nrd}_D(c)=1$. С учетом двух последних равенств доказательство леммы завершается следующим образом. Если элементы $lc^{-1}$ и $c$ принадлежат $U(D,\tau)'$, то то же самое верно для $l$. Для доказательства леммы применим индукцию по $\operatorname{ind} D$. В случае $\operatorname{ind} D$ – простое число, теорема 3 справедлива, а с ней и лемма. Пусть теперь $\operatorname{ind} D$ не является простым числом. Рассмотрим алгебру $D'=C_D(N)$ и элемент $l'=lc^{-1}$. По индуктивному предположению для алгебры $D'$, индекса меньшего чем $\operatorname{ind} D$, справедлива теорема 3, поэтому, в частности, $lc^{-1}\in U(D',\tau|_{D'})'$. Теперь для завершения доказательства леммы достаточно показать, что $c\in U(D,\tau)'$. Пусть $\langle\sigma\rangle=\operatorname{Gal}(N/K)$. Напомним, что $N/k$ – сепарабельное расширение, ввиду $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$ и условия взаимной простоты $\operatorname{ind} D$ и $\operatorname{char} \overline{k}$. Тогда существует элемент $g \in D$ такой, что $i_{g^{-1}}|_N=\sigma$. Пусть $N_\tau=k(\beta)$. Тогда $g\beta g^{-1}=\beta^\sigma$. Применим $\tau$ к обеим частям последнего равенства: $g^{-\tau} \beta g^\tau=\beta^{\sigma \tau}$. Поскольку $\operatorname{Gal}(N/k)$ – обобщенная группа диэдра либо прямое произведение групп порядка 2, то $\beta^{\sigma \tau}=\beta^{\sigma^{-1}}=g^{-1} \beta g$. Ввиду последних равенств заключаем, что $g^\tau g^{-1} \in C_D(N)$. Стало быть, $g^\tau=r g$ для подходящего $r \in C_D(N)$. Заметим, что $\sigma$ продолжается до автоморфизма всего централизатора $C_D(N)$, поскольку сопряжение с помощью элемента $g$ переводит поле $N$ в себя. Рассмотрим элемент $g^\tau+g=(r+1) g$. Заметим, что $(g^\tau+g)^p=(r+1) g (r+1) g \dotsb (r+1) g=(r+1) (r+1)^{\sigma} \dotsb (r+ 1)^{\sigma^{p-1}} g^p$. Пусть $r\neq -1$. Обозначим через $R$ элемент $(r+1) (r+1)^{\sigma} \dotsb (r+1)^{\sigma^{p-1}} \in C_D(N)$. Рассмотрим $\tau$-инвариантную ветвящуюся алгебру $A=\langle N(R g^p), g^\tau+g \rangle$ простого индекса, центральную над $K(R g^p)$. Если же $r=-1$, то пусть $A=\langle NK(g^p), g\rangle$. Заметим, что $c \in \operatorname{SU}(A, \tau|_A) \cap (1+M_A)$. В самом деле, покажем, прежде всего, что $N_{N(Rg^p)/K(R g^p)}(c)=1$. Для этого убедимся, что $N_{N/K}(c)=1$. Из (9.1) получаем $N_{N/K}(\operatorname{Nrd}_{C_D(N)}(c))=1$, и так как $\operatorname{Nrd}_{C_D(N)}(l)=\operatorname{Nrd}_{C_D(N)}(c)$, то $N_{N/K}( \operatorname{Nrd}_{C_D(N)}(c))=1$, что влечет $(N_{N/K}(c))^{\operatorname{ind} C_D(N)}=1\in 1+M_K$. Ввиду $(\operatorname{ind} C_D(N), \operatorname{char} \overline{k})=1$, имеем $N_{N/K}(c)=1$. Кроме того, из $c=\sqrt[{[N(l):N]}]{e^{\tau-1}}$ следует $c^{[N(l):N]}=e^{\tau-1}$. Тогда $(N_{N/N_{\tau}}(c))^{[N(l):N]}=1\in 1+M_{N_{\tau}}$. Следовательно, $N_{N/N_{\tau}}(c)=1$, т.е. $c\in U(D,\tau)$. Таким образом, $c\in \operatorname{SU}(A, \tau|_A) \cap (1+M_A)$. Отметим также, что алгебра $A$ ветвится над $K(R g^p)$ (соответственно $K(g^p)$), а потому для алгебры $A$ и элемента $c$ справедлива ввиду предложения 12 (для ветвящихся алгебр простого индекса) конгруэнц-теорема. Стало быть, $c \in U(D, \tau)'$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 3. Вначале напомним замечание 12. Пусть $a\in (1+M_D)\cap \operatorname{SU}(D, \tau)$. Если $a\in K$ и $n=\operatorname{ind} D$, то $a^n=1$, т.е. $a$ – корень $n$-й степени из 1. Тогда из $(\operatorname{ind} D, \operatorname{char} \overline{k})=1$ получаем, что $a=1$. Случай, когда $\operatorname{char} \overline{k}=0$, рассматривается аналогично. Итак, ниже $K(a)\neq K$.
При доказательстве теоремы мы можем ограничиться случаем, когда элемент $a$ обладает свойством $\overline{K(a)}\,{\neq}\, \overline{K}$. Действительно, если расширение $K(a)/K$ вполне разветвлено, то рассмотрим $\tau$-инвариантную алгебру $I$ инерции, содержащую элемент $l$ из леммы 28. Заметим, что $a=(al)l^{-1}$, причем $al\in \operatorname{SU}(D,\tau)$ и $\overline{K(al)}$ содержит $\overline{K(l)}$ и потому $\overline{K(al)}=\overline{K(l)}=\widetilde{L}$. Покажем, что к элементу $al$ применима лемма 28. Ввиду этой леммы $al$ и $l^{-1}\in U(D,\tau)'$. Будем иметь, что $a\in U(D,\tau)'$, и в дальнейшем можно считать, что $\overline{K(a)}\neq \overline{K}$. Покажем, что в случае, когда расширение $K(a)/K$ неразветвлено, не ограничивая общности, можно считать, что $Z(\overline{D})\neq \overline{K}$. В самом деле, если $Z(\overline{D})=\overline{K}$, то ввиду неразветвленности $K(a)/K$ (в силу теоремы 16) существует $\tau$-инвариантная алгебра инерции $I$, содержащая поле $K(a)$. Ввиду нашего предположения, $D=I\otimes_K T$, где $T$ – слабо вполне разветвленная алгебра. Поскольку $\operatorname{Nrd}_D(a)=1$ и
$$
\begin{equation*}
1=\operatorname{Nrd}_D(a)=(\operatorname{Nrd}_I(a))^{\lambda_D},
\end{equation*}
\notag
$$
то из взаимной простоты $\operatorname{ind} D$ и $\operatorname{char} \overline{k}$, немедленно следует, что $\operatorname{Nrd}_I(a)=1$, и потому $a\in U(I,\tau|_I)'$, поскольку $I$ – неразветвленная $Z(I)$-алгебра. Таким образом, если $K(a)/K$ неразветвлено, можно считать, что $Z(\overline{D})\,{\neq}\, \overline{K}$. Для доказательства теоремы в этом случае применим индукцию по $\operatorname{ind} D$. Пусть, по-прежнему, $a\in (\operatorname{SU}(D,\tau)\cap (1+M_D))\setminus K$. Нетрудно видеть, что теорема верна в случае алгебр $D$ простого индекса. Пусть $I$ – $\tau$-инвариантная алгебра инерции, $K(a)\subset I$, существующая ввиду $\tau$-инвариантности поля $K(a)$. Обозначим через $N/K$ – неразветвленное $\tau$-инвариантное циклическое расширение простой степени, содержащееся в $Z(I)$. Тогда элемент $a\in C_D(N)$ коммутирует с элементами из поля $N$. Поскольку $\operatorname{Nrd}_{D}(a)=1$, то ввиду $(\operatorname{ind} D, \operatorname{char} \overline{k})=1$ получаем $N_{K(a)/K}(a)=1$ (напомним, что $a\in 1+M_D$). Отсюда следует, что $N_{N(a)/N}(a)=1$. Рассмотрим централизатор $C_D(N)$. Заметим, что $\operatorname{ind} C_D(N)<\operatorname{ind} D$ и $\tau|_{C_D(N)}$ снова удовлетворяет условию, аналогичному условию (ii) теоремы 3. Тогда если предположить, что наше утверждение верно для алгебр индексов меньше чем $\operatorname{ind} D$, то из предыдущего будет следовать, что $a\in U(D,\tau)'$. Докажем теорему в случае, когда $K(a)$ ветвится над $K$. Применим индукцию по $\operatorname{ind} D$. Если $\operatorname{ind} D$ – простое число, то по предложению 12 $\operatorname{SU}(D, \tau)$ обладает конгруэнц-свойством. Пусть $\operatorname{ind} D$ не является простым. Обозначим через $N_a$ максимальное $\tau$-инвариантное неразветвленное расширение $K$, содержащееся в $K(a)$. Значит, $N_a/K(a)$ – вполне разветвленное расширение. Рассмотрим централизатор $C_D(N_a)$ и заметим, что $N_a\neq K$, так как в противном случае приходим к случаю: $K(a)/K$ – вполне разветвленное расширение, который рассматривался выше. Ввиду $\tau$-инвариантности $N_a$ имеем $C_D(N_a)^{\tau}=C_D(N_a)$. Кроме того, $\operatorname{ind} C_D(N_a)<\operatorname{ind} D$ и $\operatorname{Nrd}_{C_D(N_a)}(a)=1$. Последнее вытекает из того, что $a\in 1+M_D$ и Поскольку $[N_a:K]$ – делитель $\operatorname{ind} D$ и потому взаимно прост с $\operatorname{char} \overline{k}$, то $\operatorname{Nrd}_{C_D(N_a)}(a)=1$. Применяя теперь индуктивное предположение к $C_D(N_a)$ и элементу $a$, получаем $a\in U(D,\tau)'$.§ 10. Специальные случаи вычисления групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$В конце рассмотрим несколько примеров вычисления групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$. Ниже сохраняются предположения: $D\in \operatorname{TR}(K)$, $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$ и $k$ гензелево. Для неразветвленных алгебр $D$ имеет место следующее утверждение. Теорема 19. Пусть алгебра $D$ неразветвлена. Тогда группы $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ и $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})$ изоморфны, если инволюция $\overline{\tau}$ имеет вид $\overline{\tau}_{\overline{L}}(u)$, $u\in U(\overline{D}, \overline{\tau})$. Последнее условие выполнено для кватернионных алгебр $D$. Доказательство. Ввиду неразветвленности алгебры $D$ $\lambda_D=1$, а ввиду точности столбца диаграммы из теоремы 2 заключаем, что $\operatorname{SUK}_1^v(D, \tau)\cong \overline{\operatorname{SU}(D, \tau)}/\overline{U'}$. Заметим, что в нашем случае $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{\operatorname{SL}^v(D)})=1$, и потому точность последовательности $(3)$ влечет изоморфизм групп $\operatorname{SUK}_1^v(D, \tau)$ и $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})$, что приводит к точности следующей последовательности:
$$
\begin{equation*}
1 \to E \to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau) \to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau}) \to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом (см. теорему 3), если инволюция $\overline{\tau}$ имеет вид $\overline{\tau}_{L}(u)$ для $u\in U(\overline{D}, \overline{\tau})$, то $E=1$. Откуда следует, что $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau) \cong \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})$. В случае, когда $D$ – алгебра кватернионов, условие об инволюции $\overline{\tau}$ выполнено ввиду одного результата Алберта (см. [39]). Теорема доказана. Ниже будем предполагать, что алгебра $D$ будет обладать нетривиальным ветвлением. Для коммутативных алгебр $\overline{D}$ справедлива Теорема 20. Пусть $\overline{D}$ – поле. Тогда $E=1$ и имеет место точная последовательность В частности, если $E_{\lambda}=1$, то $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)\cong\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$. Доказательство. В силу предложения 12 $E=1$. Вначале заметим, что $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})\,{=}\, \operatorname{SU}(\overline{D}, \overline{\tau})\,{=}\,1$, так как $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}\,{=}\,\mathrm{id}_{\overline{D}}$. Значит, ввиду $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})\,{=}\, 1$ и точности последовательности (6.2) имеем $\operatorname{SUK}_1^v(D,\tau)\cong \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$. В силу последнего изоморфизма, с учетом последовательности (6.3), заключаем, что точна последовательность Теорема доказана. Обратимся к случаю, когда верхний индекс ветвления алгебры $D$ тривиален. Доказательство. Пусть $\lambda=1$. Отсюда следует, что $E_{\lambda}=1$. Так как еще $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)=\operatorname{SUK}_1^{v}(D, \tau)$, то из точности последовательности (6.5) следует точность последовательности Теорема доказана. Рассмотрим теперь случаи специальных полей $\overline{k}$. Предложение 17. Пусть $\overline{k}$ – поле и $\operatorname{dim} \overline{k}\leqslant1$ (см. [46; гл. 2, § 3]). Тогда имеет место следующая точная последовательность: Доказательство. Поскольку $\operatorname{dim}\overline{k}\leqslant1$, то для всякого его расширения $L$ конечной степени группа Брауэра $\operatorname{Br}(L)$ тривиальна, поэтому $\overline{D}$ – поле. Значит, группа $E$ тривиальна. Как показано выше, в этом случае имеет место точная последовательность Предложение доказано. Таким образом, группа $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ является расширением группы $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ с помощью подгруппы $E_{\lambda}$ группы корней степени $\lambda$ из 1, принадлежащих полю $K$. Обратимся к группе $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ . Заметим, что группа $\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ совпадает с мультипликативной группой $\overline{Z}^{\,*}_{\overline{\tau}}$ поля $\overline{Z}_{\overline{\tau}}$, а $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}=\overline{Z}^{\,*}_{\overline{\tau}} \operatorname{SL}(\overline{Z}/\overline{K})$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}=(\overline{Z}^{\,*}_{\overline{\tau}} \operatorname{SL}(\overline{Z}/\overline{K}))/ \overline{Z}^{\,*}_{\overline{\tau}},
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет по теореме об изоморфизме для групп
$$
\begin{equation*}
\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}\cong \operatorname{SL}(\overline{Z}/\overline{K}))/ (\operatorname{SL}(\overline{Z}/\overline{K}))\cap \overline{Z}^{\,*}_{\overline{\tau}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Обратимся к случаю конечного $\overline{k}$. Поскольку вычисления групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)$ тесно связаны с группами $E$, $E_{\lambda}$ и $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$, определение которых даются в терминах алгебр вычетов $\overline{D}$, то этим вычислениям предпошлем описание структуры алгебр $\overline{D}$. Так как $\operatorname{dim}\overline{k}\leqslant1$, то $\overline{D}=\overline{Z}$. Покажем, что степень $[\overline{Z}: \overline{K}]$ не превосходит $2$. Для этого покажем, что, если $[\overline{Z}:\overline{K}]\neq1$, то $[\overline{Z}:\overline{K}]=2$. В случае, когда $[\overline{Z}:\overline{K}]\neq1$, к алгебре $D$ применимо предложение 7. Покажем, что среди групп $\operatorname{Gal}(Z_j/k)$ из формулировки предложения 7 нет обобщенных групп диэдра. Пусть расширение $K/k$ неразветвлено. Тогда неразветвлено и расширение $Z/k$. Откуда $\operatorname{Gal}(Z/k)\cong \operatorname{Gal}(\overline{Z}/\overline{k})$. Ввиду предложения 7 $\operatorname{Gal}(\overline{Z}/\overline{k})$ – прямое произведение групп $\operatorname{Gal}(\overline{Z}_j/\overline{k})$, которые либо обобщенные группы диэдра, либо группы экспоненты 2. Предположим, что среди групп $\operatorname{Gal}(\overline{Z}_j/\overline{k})$, $1\leqslant j\leqslant r$, имеется группа $\operatorname{Gal}(\overline{Z}_{j_0}/\overline{k})$ – обобщенная группа диэдра. С другой стороны, ввиду конечности $\overline{k}$ эта группа циклична. Значит, что среди групп $\operatorname{Gal}(\overline{Z}_j/\overline{k})$ нет обобщенных групп диэдра. Пусть теперь $K/k$ вполне разветвлено и группа $\operatorname{Gal}(Z_{j_0}/k)$ – обобщенная группа диэдра. Тогда $\operatorname{Gal}(Z_{j_0}/K)$ имеет нечетный порядок. Ввиду теоремы 13 существует в $Z_{j_0}/k$ $\tau$-инвариантный неразветвленный подъем $N/k$ расширения $\overline{Z}_{j_0}/\overline{k}$. Поскольку $\overline{Z}_{j_0}/\overline{k}$ – расширение Галуа, то таковым же будет и расширение $N/k$. Нетрудно видеть теперь, что $Z_{j_0}/k$ изоморфно $(N\otimes_k K)/k$ и потому расширение $Z_{j_0}/k$ абелево. Откуда следует, что среди групп $\operatorname{Gal}(Z_j/k)$ нет обобщенных групп диэдра. Значит, все группы $\operatorname{Gal}(Z_{j}/k)$ экспоненты 2. Так как ввиду предложения 7 $Z=Z_1\times \dots \times Z_r$, и группа $\operatorname{Gal}(Z/K)$ – подгруппа группы $\operatorname{Gal}(Z/k)$, то эта группа – группа экспоненты 2. Расширение $Z/K$ неразветвлено и потому $\operatorname{Gal}(\overline{Z}/\overline{K})$ – группа экспоненты 2. Предположим, что $r>1$. Тогда группа $\operatorname{Gal}(\overline{Z}/\overline{K})$ содержит подполе, являющееся прямым композитом квадратичных расширений $Q_1$, $Q_2$. Ввиду конечности поля $\overline{k}$ поле $Q_1\times Q_2$ содержит делители нуля, чего быть не может. Следовательно, $r=1$. Таким образом, $[\overline{Z}:\overline{K}]=2$. Окончательно получаем, что $\overline{D}$ – поле такое, что $[\overline{D}:\overline{K}]\leqslant 2$. Обратимся теперь к группам $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)$. Заметим, что $E=1$, поскольку $\overline{D}$ – поле. Что касается группы $E_{\lambda}$, то рассмотрим отдельно случаи вполне разветвленного и неразветвленного расширения $K/k$. Пусть $K/k$ вполне разветвлено. В этом случае (лемма 23) $E_{\lambda}=1$. Пусть $K/k$ – неразветвленное расширение. Так как $D$ обладает унитарной инволюцией, то $D=D_1 \otimes_k K$, где $D_1$ – подходящая кватернионная $k$-алгебра. Заметим, что $\overline{D}_1$ не содержит неразветвленных квадратичных расширений над $k$. В противном случае у алгебры $\overline{D}_1\times_{\overline{k}} \overline{K}$ были бы делители нуля. Значит, $\overline{D}=\overline{Z}=\overline{K}$. Покажем, что и в этом случае $E_{\lambda}=1$. Ввиду $\overline{D}=\overline{Z}=\overline{K}$ (6.1) приобретает вид $E_{\lambda}=C_{\lambda}(\overline{K})\cap \overline{K}^{\,\overline{\tau}-1}$. При применении теоремы 2 нам потребуется также вычисление групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D},\overline{\tau})$, $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/ \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$. Так как $\overline{D}$ – поле, то $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D},\overline{\tau}) =\operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau})=1$. Обратимся к группам $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/ \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ . Пусть вначале $\overline{D}=\overline{Z}=\overline{K}$. Тогда $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}=\{z\in \overline{Z}\mid N_{\overline{Z}/\overline{K}}(z)\in \overline{k}\}=\overline{Z}_{\overline{\tau}}$ и $\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}=\overline{Z}_{\overline{\tau}}$. Откуда получаем, что $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}=\overline{Z}_{\overline{\tau}}$, которая совпадает с $\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ . Значит, $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/ \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}=1$. Как было отмечено выше, в случае, когда $[\overline{Z}:\overline{K}]=2$, расширение $K/k$ обязано быть вполне разветвленным. В этой ситуации группа $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ совпадает с $\overline{Z}^{\,*}$, так как $\overline{K}=\overline{k}$, а $\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ совпадает с $\overline{Z}^{\,*}_{\overline{\tau}}$. Значит, $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/ \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}=\overline{Z}^{\,*}/\overline{Z}^{\,*}_{\overline{\tau}}$. Применяя теорему 2 в случае, когда $K/k$ – вполне разветвленное расширение, получаем, что $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)\cong \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/ \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ . Окончательно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)= \begin{cases} 1, & \overline{Z}=\overline{K}, \\ \overline{Z}^{\,*}/\overline{Z}_{\overline{\tau}}^{\,*}\,, & [\overline{Z}:\overline{K}]=2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим случай неразветвленного $K/k$. Тогда точны следующие точные последовательности:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 1\to \operatorname{SUK}_1^v(D,\tau) \to \operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau) \to C_{\lambda}(\overline{K})\cap \overline{K}^{\overline{\tau}-1} \to 1, \\ 1\to \operatorname{SUK}_1^{v}(D,\tau) \to \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/ \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}} \to 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\overline{D}=\overline{Z}=\overline{K}$, то рассуждения, аналогичные применявшимся при рассмотрении случая: $K/k$ вполне разветвлено, показывают, что $\operatorname{SUK}_1^{v}(D,\tau) \cong \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/ \Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$. Окончательно $\operatorname{SUK}_1^{v}(D,\tau)=1$. Таким образом, $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau) \cong C_{\lambda}(\overline{K})\cap \overline{K}^{\,\overline{\tau}-1}$. Предыдущие рассуждения приводят к следующему утверждению. Предложение 18. Пусть $\overline{k}$ – конечное поле, $\operatorname{char} \overline{k}\neq2$, центральная алгебра $D\in \operatorname{TR}(K)$ с унитарной инволюцией $\tau$. Тогда группа $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)$ может быть вычислена следующим образом: если $K/k$ вполне разветвлено, то всегда $[\overline{Z}:\overline{K}]\leqslant 2$ и а если $K/k$ неразветвлено, то $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau) \cong C_{\lambda}(\overline{K})\cap \overline{K}^{\,\overline{\tau}-1}$. Замечание 13. Предыдущие рассуждения могут быть использованы и в случае бесконечных $\overline{k}$. Например, если $\overline{k}$ – поле формальных степенных рядов одной переменной с коэффициентами в алгебраически замкнутом поле характеристики $0$, то рассуждая буквально как и в случае конечного поля $\overline{k}$, получаем без труда окончательные похожие результаты о вычислении $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ и в этом случае. Замечание 14. Отметим, что если $k$ – локальное поле (конечное расширение поля $p$-адических чисел или поле формальных степенных рядов одной переменной с конечным полем констант), то вычисление группы $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$ может быть редуцировано к случаю, рассматривавшемуся выше. Действительно, поскольку $\overline{k}$ – гензелево поле с конечным полем вычетов, то на алгебре $D$ имеется гензелево нормирование с конечным полем вычетов (нормирование, составленное из исходного нормирования и нормирования поля $\overline{k}$). Рассмотрим еще один пример, когда $\overline{k}$ – вещественно замкнутое поле. Поскольку в этом случае рассуждения аналогичны применявшимся ранее, то мы ограничимся формулировками и указанием к доказательству соответствующих утверждений. Опишем вначале алгебры $\overline{D}$. Предложение 19. Пусть $\overline{k}$ вещественно замкнуто. Тогда структура алгебр вычетов $\overline{D}$ такова. 1. Если $\overline{D}$ – не поле, то $\overline{Z}=\overline{K}$. 2. Если $\overline{D}$ – поле, то $\overline{D}=\overline{Z}$ и для полей $\overline{Z}$, $\overline{K}$ и $\overline{k}$ имеются следующие возможности: i) $\overline{Z}=\overline{K}=\overline{k}$; ii) $\overline{Z}\neq \overline{K}=\overline{k}$; iii) $\overline{Z}=\overline{K}\neq \overline{k}$. Доказательство очевидно ввиду вещественной замкнутости $\overline{k}$ и конечности расширений $\overline{K}/\overline{k}$, $\overline{Z}/\overline{k}$, $\overline{D}/\overline{k}$. Обратимся к группам $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D, \tau)$. Для этого воспользуемся теоремой 2. Оказывается, что для всех алгебр из предыдущего списка $E=1$. В случае 1$E=1$ ввиду теоремы 18, а в остальных случаях $\overline{D}$ является полем и результат $E=1$ следует из предложения 12. Группа $E_{\lambda}=1$ для всех алгебр из предыдущего списка, за исключением алгебр из 2, iii), так как во всех этих случаях расширение $K/k$ вполне разветвлено. В случае 2, iii) композиция гомоморфизмов $N_{\overline{Z}/\overline{K}}\circ \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}$ тождественна. С учетом $\overline{s}=1$ для $s\in \operatorname{SU}(D,\tau)$ это влечет $E_{\lambda}=1$ и в этом случае. Обратимся теперь к вычислению групп $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})$. Если $\overline{D}$ – не поле, то в алгебре $\overline{D}$ существует кватернионная $\overline{k}$-алгебра $A$ такая, что $\overline{D}=A\,{\otimes_{\overline{k}}}\, \overline{K}$ и ограничение $\overline{\tau}$ на $A$ является стандартным кватернионным сопряжением. Заметим, что $U(\overline{D},\overline{\tau})=\{ u\in \overline{D}\mid u u^{\overline{\tau}}=1\}$. С другой стороны, уравнение $uu^{\overline{\tau}}=1$ эквивалентно уравнению $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(u)=1$. Значит, $\operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau})=\operatorname{SL}_1(\overline{D})$. По определению
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})=\operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau})/U(\overline{D},\overline{\tau})'=\operatorname{SL}_1(\overline{D}) /\operatorname{SL}_1(\overline{D})'.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\overline{D}^{\,\prime}\subset \operatorname{SL}_1(\overline{D})'.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, для $a,b\in \overline{D}^{\,*}$
$$
\begin{equation*}
[a,b]=[\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(a)^{-1}a, \operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(b)^{-1}b].
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку группа $\operatorname{SK}_1(\overline{D})$ тривиальна, то ввиду $\overline{D}^{\,\prime}\subseteq \operatorname{SL}_1(\overline{D})'$ заключаем, что группа $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})$ тривиальна. Пусть $\overline{D}$ – поле. Тогда $U(\overline{D},\overline{\tau})'=1$. Поэтому во всех оставшихся случаях $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})=\operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau})$. Пусть $s\in \operatorname{SU}(\overline{D},\overline{\tau})$, т.е. $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}/\overline{Z}}(s)=1$, так как $\overline{D}=\overline{Z}$, то $s=1$. Таким образом, во всех случаях $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(\overline{D}, \overline{\tau})=1$. Вычислим группы $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ в случаях 1), 2, iii) предложения 19. 1) $\overline{D}$ не поле. В этом случае приведенные нормы элементов из $\overline{D}$ представляются как нули квадратичной формы $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ от переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ над $\overline{K}$, а ввиду $\overline{K}=\overline{k}$ – квадратичной формой от этих переменных над $\overline{k}$. Откуда следует, что $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}=\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$, т.е. $\Sigma^1{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ тривиальна. 2, i) $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}=\mathrm{id}$, а так как $\overline{Z}=\overline{K}=\overline{k}$, то $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}=\overline{k}^{\,*}$. Что влечет, что $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}_{\overline{\tau}})$ также совпадает с $\overline{k}^{\,*}$. 2, ii) В этом случае принадлежность элемента $z\in \overline{Z}$ группе $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ означает, что $N_{\overline{Z}/\overline{K}}(z)\in \overline{k}$, поскольку $\overline{K}=\overline{k}$ $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ совпадает с $\overline{Z}^{\,*}$. Группа $\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ совпадает с $\overline{Z}_{\overline{\tau}}^*$. Значит, $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}\cong \overline{Z}^{\,*}/\overline{Z}_{\,\overline{\tau}}^*$. 2, iii) В этом случае для $z\in \overline{Z}$ $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(z)=z$, поэтому условие принадлежности $z$ группе $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ состоит в принадлежности $z$ группе $\overline{k}$. Заметим, что группа $\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D})_{\overline{\tau}}^* =\overline{Z}_{\overline{\tau}}^*$ . Следовательно, $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}\cong \overline{Z}^{\,*}/\overline{Z}_{\overline{\tau}}^*$, что влечет ввиду $\overline{Z}=\overline{K}$ изоморфизм групп $\Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ и $\overline{K}^{\,*}/\overline{k}$. Полученные результаты вместе с теоремой 2 влекут справедливость следующего предложения. Предложение 20. Пусть $\overline{k}$ вещественно замкнуто, тогда группа $\operatorname{SUK}_1^{\mathrm{an}}(D,\tau)$ тривиальна, за исключением случаев 2, ii) и 2, iii), где она изоморфна $\overline{Z}^{\,*}/\overline{Z}_{\overline{\tau}}^*$ и $\overline{K}^{\,*}/\overline{k}^{\,*}$ соответственно. Рассмотрим еще один важный пример поля $\overline{k}$. Предложение 21. Пусть $\overline{k}$ – расширение степени трансцендентности $1$ алгебраически замкнутого поля. Тогда $\operatorname{SUK}_1^{v}(D, \tau)\cong \Sigma^1_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}/\Sigma_{\operatorname{Nrd}_{\overline{D}}}$ и имеет место следующая точная последовательность: где $E_{\lambda}= \begin{cases} 1, &\text{если }K/k\text{ вполне разветвлено}, \\ 1, &K/k\text{ неразветвлено}, \lambda\text{ нечетна}, \\ 1, &\text{не существует элемента }s\in \operatorname{SU}(D,\tau)\text{ такого, что} \\ &\ N_{\overline{Z}/\overline{K}}(\overline{s})=\overline{-1}, \\ \mathbb{Z}/2 & \text{в оставшихся случаях}. \end{cases}$ С помощью теоремы 2 могут быть получены простые формулы и в случае поля алгебраических чисел $\overline{k}$ и алгебр $D$ нечетных индексов, которые мы не помещаем здесь ввиду объемности их доказательства. Автор глубоко признателен рецензенту, внимательно прочитавшему предварительный вариант статьи и сделавшему многочисленные полезные комментарии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Yan22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|