| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О мультипликаторах рядов Фурье по ортогональным многочленам Соболева Б. П. Осиленкер г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9556e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Постановка задачиПусть $\theta(x)$ – конечная положительная борелевская мера, сосредоточенная на промежутке $[-1, 1]$, с бесконечным числом точек роста и точки $a_k$, $-1\leqslant a_k \leqslant 1$, $k=1,2,\dots,m$. Для функций $f$ и $g$ из $L^2_{\theta}$ таких, что существуют их производные в точках $a_k$, введем скалярное произведение
$$
\begin{equation}
\langle f, g\rangle =\int^1_{-1} f(x)g(x)\,d\theta(x)+\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0}M_{k, i}f^{(i)}(a_k)g^{(i)}(a_k),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $M_{k,i}>0$, $i=0,1,\dots,N_k$, $k=1,2,\dots,m$,
$$
\begin{equation}
\theta(\{a_k\})=0, \quad k=1,2,\dots,m, \qquad \theta'(x)> 0 \quad\text{почти всюду}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Если мера $d\theta(x)$ абсолютно непрерывна и ${d\theta(x)}/{dx}=\omega(x)$, то функция $\omega(x)$ называется весовой функцией (весом). Линейные пространства со скалярным произведением (1.1) называются континуально-дискретными пространствами Соболева с мерой (соответственно весовыми пространствами Соболева). Частным случаем континуально-дискретных пространств Соболева являются нагруженные пространства (дискретные нагруженные пространства) со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\langle f, g\rangle=\int^1_{-1} f(x)g(x)\,d\theta(x)+\sum^m_{k=1} M_kf(a_k)g(a_k), \qquad M_k>0, \quad k=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\{\widehat{q}_n(x)\}$, $n\in\mathbb{Z}_+$, $\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\dots \}$ – система многочленов степени $n$, ортонормированных относительно скалярного произведения (1.1):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \widehat{q}_n(x)=k(\widehat{q}_n)x^n+r(\widehat{q}_n)x^{n-1}+\dotsb, \qquad k(\widehat{q}_n)>0, \quad n\in\mathbb{Z}_+, \\ \begin{split} \langle \widehat{q}_n, \widehat{q}_m\rangle &=\int^1_{-1}\widehat{q}_n(x)\widehat{q}_m(x)\,d\theta(x) \\ &\qquad+\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0}M_{k,i}\widehat{q}_n^{\,(i)}(a_k)\widehat{q}_m^{\,(i)}(a_k) =\delta_{n,m},\qquad n,m\in\mathbb{Z}_+. \end{split} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Многочлены $\widehat{q}_n(x)$, $n\in\mathbb{Z}_+$, называются многочленами Соболева(или многочленами типа Соболева). Эти системы (и их дифференциальные аналоги) возникли в классической книге [1] при исследовании краевых задач для дифференциального оператора второго порядка, в задаче о классификации собственных функций линейных дифференциальных операторов четвертого порядка (см. [2], [3]) и в задаче о наилучшем полиномиальном приближении в дискретных пространствах Соболева (см. [4]). Ортогональным системам в пространствах Соболева в последние годы посвящено большое число работ (см. обзор [5], отметим цикл работ И. И. Шарапудинова [6]–[8] (см. также литературу в них)). Скалярное произведение (1.1) и соответствующие ортогональные системы (и их дифференциальные аналоги) играют важную роль во многих проблемах теории функций, функционального анализа, квантовой механики, математической физики и вычислительной математики (см. [9]–[18]). Обозначим через $\mathfrak{R}_p$, $1\leqslant p<\infty$, множество функций
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{R}_p=\begin{Bmatrix} f, \quad \displaystyle\int_{-1}^1|f(x)|^p\,d\theta(x)<\infty; \quad f^{(i)}(a_k)\text{ существуют} \\ i=0,1,2,\dots,N_k; \quad -1\leqslant a_k\leqslant 1, \quad k=1,2,\dots,m \end{Bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{R}_1\equiv \mathfrak{R}=\begin{Bmatrix} f, \quad \displaystyle\int_{-1}^1|f(x)|\,d\theta(x)<\infty;\ f^{(i)}(a_k)\text{ существуют} \\ i=0,1,2,\dots,N_k; \quad -1\leqslant a_k\leqslant 1, \quad k=1,2,\dots,m \end{Bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{R} \supset\mathfrak{R}_p, \qquad 1<p<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то доказательство (и формулировки) утверждений ниже приводятся (и проводятся) обычно для случая $p=1$. Каждой функции $f\in\mathfrak{R}$ поставим в соответствие ряд Фурье–Соболева
$$
\begin{equation}
f(x) \sim\sum^\infty_{k=0}c_k(f)\widehat{q}_k(x), \qquad x\in[-1,1],
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
c_k(f)=\langle f,\widehat{q}_k\rangle=\int^1_{-1} f(x)\widehat{q}_k(x)\,d\theta(x)+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\widehat{q}_k^{\,(i)}(a_s), \qquad k\in\mathbb{Z}_+.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Рассмотрим последовательность вещественных чисел
$$
\begin{equation}
\Phi=\bigl\{\phi_k,\ k\in\mathbb{Z}_+;\ \phi_0=1,\ \{\phi_k\}\in1^\infty\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Для каждой функции $f\in\mathfrak{R}$ по ее ряду Фурье (1.4), (1.5) введем $T$ – линейное отображение, задаваемое формулой
$$
\begin{equation}
f(x)\sim\sum^\infty_{k=0}c_k(f)\widehat{q}_k(x) \quad\Longrightarrow\quad T(f;x;\Phi)=\sum^\infty_{k=0}\phi_kc_k(f)\widehat{q}_k(x), \quad x\in[-1,1].
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Отображение $T$ называется мультипликаторным оператором, последовательность $\Phi=\{\phi_k\}^\infty_{k=0}$ – мультипликатором (мультипликаторная последовательность), а ряд (1.7) – мультипликаторным рядом. Нашей целью является рассмотрение следующей задачи: найти условия на систему $\{\widehat{q}_n(x)\}$ и элементы мультипликаторной последовательности (1.6), при которых справедлива корректность определения мультипликаторного оператора и выполняется оценка нормы мультипликаторного оператора в континуально-дискретных пространствах Соболева. Как известно, по обобщенной теореме Фавара в пространстве Соболева (см. [19]) задания ортогональной системы полиномов с помощью меры или с помощью рекуррентных соотношений эквивалентны. В настоящей работе рассматривается подход, связанный с рекуррентными соотношениями (см. соотношения (3.7), (3.36), (4.8)). Было бы интересно изучить задачу в случае, когда система ортогональных полиномов задается с помощью меры (скалярного произведения). Отметим лишь, что вопрос о выполнении соотношения (3.7) можно решить с помощью работы [20; лемма 3.2]. Отметим, что в отличие от работ [6]–[8] предмет наших исследований – другие системы ортогональных полиномов и нами изучаются другие задачи. Ряд полученных ниже результатов анонсированы в [21], [22]. § 2. Вспомогательные утвержденияПусть $N^*_k$ – натуральное число, определяемое следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag N^*_k=\begin{cases} N_k+1,&\text{если }N_k\text{ нечетно}, \\ N_k+2,&\text{если }N_k\text{ четно}, \end{cases} \\ w_N(x)=\prod^m_{k=1} (x-a_k)^{N^*_k}, \qquad N=\sum^m_{k=1}N^*_k. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Лемма 2.1 (см. [20; теорема 2.3]). Ортонормированные многочлены $\widehat{q}_n(x)$ удовлетворяют рекуррентному соотношению Кроме того, если $\theta'(x)> 0$ почти всюду, то Введем обозначение
$$
\begin{equation}
\varepsilon_m:=(-1,1)\setminus\bigcup^m_{s=1}\{a_s\}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Доказательство соотношения (2.4) см. в [20; лемма 3.1]. Из (2.4) следует
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty} \widehat{q}^{\,(i)}_n(a_s)=0, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \quad s=1,2,\dots,m.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Пусть задан фиксированный интервал $(a,b)$ (открытый или замкнутый) и абсолютно непрерывная положительная борелевская мера $\rho$ на $(a,b)$. Для функции $f\in L^1_\rho((a,b))$ максимальная функция Харди–Литтлвуда $M_\rho f$ определяется по формуле
$$
\begin{equation}
M_\rho f(x)=\sup\frac{1}{\rho(J)}\int_J |f(x)|\,d\rho(x),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где супремум берется по всему семейству $\{J\}$ открытых интервалов $J$ с центром в точке $x\in(a,b)$. Для функции $f\in L^1_\rho((a,b))$ при каждом $n\in\mathbb{Z}_+$ определим оператор $I_n$ формулой
$$
\begin{equation}
I_nf(x)=I_n(f):=\int^b_a f(t)H_n(t,x)\,d\rho(t), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in(a,b).
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Неотрицательная функция $H^*_n(t,x)$, $n\in\mathbb{Z}_+$, $x\in(a,b)$, называется горбатой мажорантой для последовательности $H_n(t,x)$ (ядра интеграла) по переменной $t$ в точке $x\in(a,b)$, если выполняются условия: 1) для всех $n\in\mathbb{Z}_+$ и всех $t,x\in(a,b)$ 2) при фиксированных $n\in\mathbb{Z}_+$ и $x\in(a,b)$ функция $H^*_n(t,x)$ неубывающая по переменной $t$ на $(a,x)$ и невозрастающая на $(x,b)$. Если для горбатой мажоранты $H^*_n(t,x)$ выполняется соотношение где постоянная $C>0$ не зависит от $n\in\mathbb{Z}_+$ и $x\in(a,b)$, то мажоранта $H^*_n(t,x)$ называется интегрируемой горбатой мажорантой функции $H_n(t,x)$ на множестве $(a,b)$.Лемма 2.3 (см. [23], [24; гл. 6.3, с. 249], [25]). Пусть $\rho$ – абсолютно непрерывная положительная борелевская мера на интервале $(a,b)$ и функция $H_n(t,x)$ имеет интегрируемую горбатую мажоранту $H^*_n(t,x)$. Тогда для интеграла $I_n(f;x)$ (см. (2.7)) справедливы следующие утверждения: 1) если $f$ принадлежит $L^1_\rho((a,b))$, то
$$
\begin{equation}
\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|I_nf(x)|\leqslant CM_\rho f(x),\qquad x\in(a,b),
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где постоянная $C>0$ не зависит от функции $f$ и $x\in(a,b)$; 2) если $f\in L^p_\rho((a,b))$, $1<p<\infty$, то где $C_p>0$ не зависит от функции $f$, иЗамечание 2.1. В определении $H^*_n(t,x)$ и в дальнейших утверждениях вместо $x\in(a,b)$ можно рассматривать случай, когда $x$ принадлежит множеству $F\subseteq(a,b)$ (с соответствующими изменениями). Лемма 2.4 (П. Фату; см. [26; гл. 3, § 16], [27; гл. III, 19, § 6, упражнение 35]). Если последовательность измеримых и неотрицательных функций $f_1(x),f_2(x),\dots$ почти всюду на множестве $E$ сходится к функции $F(x)$, то § 3. Поведение частных сумм ряда Фурье–СоболеваОбозначим через
$$
\begin{equation*}
S_nf(x)=\sum^n_{k=0} c_k(f)\widehat{q}_k(x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in[-1,1],
\end{equation*}
\notag
$$
частные суммы ряда Фурье–Соболева (1.4), (1.5) и рассмотрим вопрос о поведении $S_nf(x)$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_nf(x) &=\int^1_{-1} f(t)D_n(t;x)\,d\theta(t) \nonumber \\ &\qquad +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s; x),\qquad n\in\mathbb{Z}_+,\quad x\in[-1,1], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $D_n(t,x)$ – ядро Дирихле системы $\{\widehat{q}_n\}^\infty_{n=0}$:
$$
\begin{equation*}
D_n(t,x)=\sum^n_{l=0}\widehat{q}_l(t)\widehat{q}_l(x), \qquad t,x\in[-1,1], \quad n\in\mathbb{Z}_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (1.3) следует
$$
\begin{equation}
\int^1_{-1} D_n(t,x)\,d\theta(t)+\sum^m_{s=1} M_{s,0}D_n(a_s, x)=1, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in[-1,1].
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Если $x_0\in[-1,1]$, то многочлен $w_N(x)-w_N(x_0)$ может иметь больше чем один нуль в $[-1, 1]$, и это неудобно для дальнейших оценок. Вместо $w_N(x)$ введем многочлен $\displaystyle\pi_{N+1}(x)=\int^x_{-1} w_N(t)\,dt$, и из положительности $w_N(x)$, когда $x_0\neq a_s$, $s=1,2,\dots,m$, уравнение $\pi_{N+1}(x)-\pi_{N+1}(x_0)$ будет иметь только один нуль $x_0$ в $[-1,1]$. Так как производные $\pi_{N+1}(x)$ равны нулю в точках $a_s$, то имеем $\langle \pi_{N+1}\widehat{q}_n, \widehat{q}_m\rangle=\langle \widehat{q}_n, \pi_{N+1}\widehat{q}_m\rangle$ и, значит, многочлены $\widehat{q}_n(x)$ удовлетворяют рекуррентному соотношению (см. [20])
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \pi_{N+1}(x)\widehat{q}_n(x)=\sum^{N+1}_{j=0} d_{n+j,j}\widehat{q}_{n+j}(x)+\sum^{N+1}_{j=1} d_{n,j}\widehat{q}_{n-j}(x), \\ n\,{\in}\,\mathbb{Z}_+, \qquad \widehat{q}_{-j}(x)\,{=}\,0, \quad j\,{=}\,1,2,\dots, \qquad d_{n,j}\,{=}\,0, \quad j\,{>}\,n, \qquad x\,{\in}\,[-1,1], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
при этом коэффициенты $d_{n,j}$ ограничены при всех $j$, $n$ (см. [20]), Так как $\{\pi_{N+1}(t)\}'=w_N(t)$, где $w_N(t)$ имеет вид (2.1), то в каждой точке $x$ из $\varepsilon_m$ (см. (2.3))
$$
\begin{equation}
\frac{|t-x|}{|\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)|}\leqslant C_x, \qquad t\in(-1,1), \quad x\in\varepsilon_m,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
и оценка (3.5) равномерна по $x$ на всех компактных подмножествах $K\subset\varepsilon_m$:
$$
\begin{equation}
\frac{|t-x|}{|\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)|}\leqslant C, \qquad t\in(-1,1), \quad x\in K,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
при этом постоянная $C$ не зависит от $t\in(-1,1)$ и $x\in K$. Замечание 3.1. Если многочлен $w_N(x)-w_N(x_0)$ может иметь лишь один нуль в $[-1, 1]$, то в дальнейшем можно ограничиться рекуррентным соотношением (2.2), надо лишь проверять соотношения (3.5), (3.6) и дальнейшие условия, налагаемые на систему $\widehat{q}_n(x)$, $n\in\mathbb{Z}_+$. Лемма 3.1. Для ядра Дирихле $D_n(t,x)$ ортонормированной системы многочленов $\{\widehat{q}_n\}^\infty_{n=0}$ справедлив следующий аналог формулы Кристоффеля–Дарбу: Доказательство формулы Кристоффеля–Дарбу непосредственно вытекает из рекуррентного соотношения (3.3) (см. [20; лемма 3.3], где представление ядра приведено в иной форме), а предельный случай получается применением правила Лопиталя. Лемма 3.2. Пусть существует положительная, непрерывная, $\theta$-интегрируемая на $\varepsilon_m$ функция $h(x)$ такая, что выполняется Тогда для функции $f\in\mathfrak{R}_p$, $1\leqslant p <\infty$, в каждой точке $x\in\varepsilon_m$ и сходимость равномерна на всех компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$. Доказательство. Рассмотрим По формуле Кристоффеля–Дарбу ясно, что
$$
\begin{equation*}
\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s,x)
\end{equation*}
\notag
$$
есть сумма конечного числа (зависящего от $N$) слагаемых вида
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_{s,i}f^{(i)}(a_s) d_{l+j,j}\frac{\widehat{q}^{\,(i)}_{l+j}(a_s)\widehat{q}_l(x)- \widehat{q}_l(a_s)\widehat{q}^{\,(i)}_{l+j}(x)}{\pi_{N+1}(a_s)-\pi_{N+1}(x)}, \\ s=1,2,\dots,m, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \qquad j=1,2,\dots,N+1, \\ l=n-j+1,n-j+2,\dots, n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку коэффициенты $d_{l, j}$, $M_{s,i}$ ограничены, $|\widehat{q}_n(x)|\leqslant h(x)$, $x\in\varepsilon_m$, где $h(x)$ непрерывна на $\varepsilon_m$, равномерно ограничена на компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$, и $\lim_{n\to\infty}\widehat{q}_n^{\,(i)}(a_s)=0$ (см. (2.5)), то лемма 3.2 доказана. Замечание 3.2. Отметим, что по существу было также доказано, что в условиях леммы 3.2 в каждой точка $x\in\varepsilon_m$(и равномерно на $K$) выполняется соотношение Лемма 3.3. Пусть выполняется условие (3.7) и на $\varepsilon_m$ мера $d\theta(x)$ абсолютно непрерывна, ${d\theta(x)}/{dx}=\omega(x)$ и положительная интегрируемая функция $\omega(x)$ непрерывна на $\varepsilon_m$ (напомним, что $\theta(\{a_k\})=0$, $k=1,2,\dots,m$, см. (1.2)), Тогда функция имеет горбатую мажоранту $\widetilde{D}^*_n(t,x)$, для которой выполняется постоянная $C>0$ не зависит от $n\in\mathbb{Z}_+$ и $x\in K$, где $K$ – произвольное компактное множество из $\varepsilon_m$. Доказательство. В силу формулы Кристоффеля–Дарбу, соотношений (3.4), (3.6), (3.7) Поэтому
$$
\begin{equation}
|\widetilde{D}_n(t,x)|\leqslant C(n+1), \qquad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K, \quad 0\leqslant |t-x|\leqslant \frac{1}{n+1},
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
$$
\begin{equation}
|\widetilde{D}_n(t,x)|\leqslant C\frac{1}{|t-x|}, \qquad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K, \quad \frac{1}{n+1}<|t-x|,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где постоянная $C>0$ не зависит от $n\in\mathbb{Z}_+$, $t\in(-1,1)$, $x\in K$. 1. Покажем, что ядро $\widetilde{D}_n(t,x)$ имеет горбатую мажоранту
$$
\begin{equation*}
\widetilde{D}^*_n(t,x)=\frac{2C(n+1)}{1+(n+1)|t-x|}, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
В силу (3.13) и (3.14) получаем $|\widetilde{D}_n(t,x)|\leqslant \widetilde{D}^*_n(t,x)$. 2. Монотонность мажоранты. Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}\widetilde{D}^*_n(t,x)=\frac{\partial}{\partial t}\biggl\{\frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(x-t)}\biggr\} > 0, \qquad t\leqslant x, \\ \frac{\partial}{\partial t}\biggl\{\frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(x-t)}\biggr\} < 0, \qquad t> x, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то отсюда вытекает соответствующее условие монотонности в определении горбатой мажоранты. 3. Покажем, что справедлива оценка (3.10). Положим
$$
\begin{equation}
\varepsilon_m=\bigcup^m_{k=0}(a_k, a_{k+1}), \qquad k=0,1,\dots,m, \qquad a_0=-1, \quad a_{m+1}=1.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Пусть $K$ – компактное множество в $\varepsilon_m$, оно покрывается конечным числом компактных подмножеств, лежащих в $(a_{k},a_{k+1})$, $k=0,1,\dots,m$ (некоторые из них могут быть пустыми). Докажем, что рассматриваемая оценка имеет место на любом компактном подмножестве $[a_k+h^{(k)},a_{k+1}+h^{(k+1)}]$, лежащем в $(a_k,a_{k+1})$. Пусть при некотором $k_0$, $0\leqslant k_0\leqslant m$, точка $x\in K\cap (a_{k_0},a_{k_0+1})$. Обозначим через $h$, $0<h<(a_{k_0+1}-a_{k_0})/2$, число такое, что $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ (мы рассмотрели случай $h^{(k_0)}=h^{(k_{0}+1)}=h$, это не меняет доказательство). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_n(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^1_{-1} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)} \int^{a_{k_0+1}}_{a_{k_0}} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t)+\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\substack{ t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m}} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\widetilde{I}^{(1)}_n(x)+\widetilde{I}^{(2)}_n(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем натуральное число $n$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\biggl[x-\frac{1}{n+1}, x+\frac{1}{n+1}\biggr] \subset\biggl(a_{k_0}+\frac h2, a_{k_0+1}-\frac h2\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу симметрии рассмотрим лишь случай $t\geqslant x$. Положим
$$
\begin{equation*}
\delta_1=\biggl[x, x+\frac{1}{n+1}\biggr],\qquad \delta_2=\biggl[x+\frac{1}{n+1}, a_{k_0+1}-\frac{h}{2}\biggr], \qquad \delta_3=\biggl[a_{k_0+1}-\frac{h}{2}, a_{k_0+1}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde{I}^{(1)}_n(x)=\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\delta_1}+\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\delta_2}+\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\delta_3}=I^{(1)}_n(x)+I^{(2)}_n(x)+I^{(3)}_n(x).
\end{equation*}
\notag
$$
При оценке первых двух слагаемых воспользуемся ограниченностью весовой функции (3.8):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_n^{(1)}(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int_{\delta_1} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^{x+1/(n+1)}_x \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(t-x)}\omega(t)\,dt \\ &\leqslant \frac{1}{\ln(n+2)}\int^{x+1/(n+1)}_x \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(t-x)}\,dt=O(1), \\ I_n^{(2)}(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int_{\delta_2} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(t-x)}\omega(t)\,dt \\ &\leqslant \frac{2C(n+1)}{\ln(n+2)}\int^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)}\frac{dt}{1+(n+1)(t-x)} \\ & =\frac{C}{\ln(n+2)}\ln[1+(n+1)(t-x)]\Big|^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)}\leqslant C(h). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как при $t\in\delta_3$ и $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1} -h]$ справедливо $t-x\geqslant h/2$, $1+(n+1)(t-x)\geqslant1+(n+1)h/2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_n^{(3)}(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int_{\delta_3} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^{a_{k_0+1}}_{a_{k_0+1}-h/2} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(t-x)}\omega(t)\,dt \\ &\leqslant\frac{C(h)}{\ln(n+2)} \int^1_{-1} d\theta(t) \leqslant C(h). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, где постоянная $C(h)>0$ не зависит от $n\in\mathbb{Z}_+$ и $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$.Для оценки последнего слагаемого $\widetilde{I}^{(2)}_n(x)$ воспользуемся тем, что при $t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})$ и $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ имеем $|t-x|\geqslant h$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{I}^{(2)}_n(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m}} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m}} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)|t-x|}\omega(t)\,dt \\ &\leqslant \frac{C(h)}{\ln(n+2)} \int^1_{-1} \omega(t)\,dt \leqslant C(h), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и заканчивает доказательство леммы 3.3. Следствие 3.1. Пусть выполняются предположения леммы 3.3. Тогда для функции Лебега равномерно на всех компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценкаДействительно, функция Лебега имеет оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_n(x) &=\int^1_{-1} |D_n(t,x)|\,d\theta(t)= h(x)\int^1_{-1} |\widetilde{D}_n(t,x)| h(t)\,d\theta(t) \\ &\leqslant C\int^1_{-1} |\widetilde{D}_n(t,x)| h(t)\,d\theta(t), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in K. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мера $\theta$ обладает свойствами (1.2) и (3.8): $\theta\{a_k\}=0$, $k=1,2,\dots,m$, и $d\theta(x)=\omega(x)\,dx$, где $\omega(x)$ – положительная непрерывная интегрируемая функция. Мажоранта $h(x)$ является положительной непрерывной $\omega$-интегрируемой функцией (см. (3.7)): Поэтому интеграл $\displaystyle\int^1_{-1}|\widetilde{D}_n(t,x)|h(t)\omega(t)\,dt$ может быть так же, как и интеграл $\displaystyle\int^1_{-1}\widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t)$, $n\in\mathbb{Z}_+$, $x\in K$, оценен следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\int^1_{-1}|\widetilde{D}_n(t,x)|h(t)\omega(t)\,dt\leqslant C \ln(n+2), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in K,
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает оценку (3.16). Напомним, что точка $x\in(-1,1)$ называется точкой Лебега функции $f\in L^p_\rho([-1,1])$, если выполняется условие
$$
\begin{equation}
\int_{x-h}^{x+h} |f(t)-f(x)|^p\,d\rho(t)=o(h), \qquad h\to0.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Как хорошо известно (см. [28; гл. IV, с. 142–145], [24; гл. 1, с. 11]), $\rho$-почти все точки промежутка $[-1,1]$ есть точки Лебега функции $f$. Теорема 3.1. Пусть выполняются условия (3.7) и при некотором $p$, $1\leqslant p <\infty$, функция $f\in\mathfrak{R}_p$ и где $h(t)$ – мажоранта $\widehat{q}_n(t)$. Имеют место следующие утверждения: (i) в каждой точке Лебега $x\in\varepsilon_m$ функции $f$ для частных сумм $S_nf(x)$ ряда Фурье–Соболева (1.4), (1.5) справедлива оценка (ii) пусть функция $f$ непрерывна на $[-1,1]$ и на $\varepsilon_m$ мера $d\theta(x)$ удовлетворяет (3.8). Тогда равномерно для всех компактных подмножеств $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка (iii) если функция $f$ из $L^2_\theta ([-1,1])$, то Доказательство. Утверждение (iii) доказано в [16; следствие 3.1]. Утверждение (i) будет доказано для случая $p=1$, общий случай рассматривается аналогичным образом. Имеем (см. (3.1), (3.2)) Согласно лемме 3.2 (см. также замечание 3.2) из (3.21) следует
$$
\begin{equation}
S_nf(x)-f(x)=\int^1_{-1}[f(t)-f(x) ]D_n(t,x)\,d\theta(t)+o_x(1), \qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Пусть $x\in\varepsilon_m$ – точка Лебега (3.17) при $p=1$. Как и выше (см. (3.15)), положим
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_m=\bigcup^m_{k=0}(a_k,a_{k+1}), \qquad a_0=-1, \quad a_{m+1}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при некотором $k_0$, $0\leqslant k_0\leqslant m$, точка $x\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})$. Введем натуральное число $n$ такое, что $[x-1/(n+1), x+1/(n+1)]\subset (a_{k_0}, a_{k_0+1})$. Представим интеграл в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int^1_{-1} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) =\int_{\substack{|t-x|\leqslant1/(n+1),\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) \\ \notag &\qquad+\int_{\substack{1/(n+1)<|t-x|,\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &\qquad+\int_{t\in\varepsilon_m\setminus (a_{k_0}, a_{k_0+1})} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) =I^{(1)}_n(x)+I^{(2)}_n(x)+I^{(3)}_n(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Определение точки Лебега (3.17) при $p=1$, оценка (3.11) и условия (3.18) дают
$$
\begin{equation}
|I^{(1)}_n(x) |\leqslant C(n+1)h(x) \int_{\substack{|t-x|\leqslant1/(n+1),\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t)=o_x(1), \qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
В силу формулы Кристоффеля–Дарбу и соотношений (3.4), (3.5) и (3.7) имеем
$$
\begin{equation}
|I^{(2)}_n(x) |\leqslant C_x \int_{\substack{1/(n+1)<|t-x|,\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} \frac{|f(t)-f(x)|}{|t-x|}h(t)\,d\theta(t).
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Для оценки интеграла (3.25) рассмотрим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{I}^{(2)}_n(x)=C_x \int^{a_{k_0+1}}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t),
\end{equation*}
\notag
$$
так как интеграл $\displaystyle\int^{x-1/(n+1)}_{a_{k_0}} \frac{|f(t)-f(x)|}{x-t}h(t)\,d\theta(t)$ оценивается аналогичным способом. Обозначим Тогда в силу определения точки Лебега (3.17) и условий (3.18) при $p=1$ для заданного $\epsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что $\Phi_x(x+h)\leqslant \epsilon h$ при $h\leqslant \delta$.Пусть $1/(n+1)\leqslant \delta$, тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde{I}^{(2)}_n(x)=C_x \int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)}\frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t) +C_x \int^{a_{k_0+1}}_{x+\delta} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Во втором интеграле $|t-x|\geqslant \delta$ и потому
$$
\begin{equation}
\int^{a_{k_0+1}}_{x+\delta} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t)=O_x(1).
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Проинтегрируем по частям в первом интеграле:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t) \\ &\qquad=\frac{1}{t-x}\biggl\{\int^t_0|f(u)-f(x)|h(u)\,d\theta (u)\biggr\}\Bigr|_{x+1/(n+1)}^{x+\delta} \\ &\qquad\qquad +\int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)}\frac{1}{(t-x)^2} \biggl\{\int^t_0|f(u)-f(x)|h(u)\,d\theta(u)\biggr\}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По определению функции $\Phi_x(t)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t) \\ &\qquad =\frac {1}{\delta}\Phi_x(x+\delta) -(n+1)\Phi_x\biggl(x+\frac{1}{n+1}\biggr) +\int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)}\frac{\Phi_x(t)}{(t-x)^2}\,dt \\ &\qquad=O_x(1)+\epsilon+\epsilon \int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)}\frac{dt}{t-x} =O_x(1)+\epsilon\ln(n+1){\delta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, объединяя последнее соотношение с (3.26), получаем
$$
\begin{equation*}
\int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t)=o_x(1)\ln(n+2), \qquad n \to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда В силу (3.12) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I^{(3)}_n(x)| &\leqslant C_x\int_{t\in\varepsilon_m\setminus (a_{k_0}, a_{k_0+1})} \frac{|f(t)-f(x)|}{|t-x|}h(t)\,d\theta(t) \\ &=O_x(1)\int^1_{-1} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, используя условия (3.18) при $p=1$, имеем Оценка (3.19) теперь следует из соотношений (3.22)–(3.24), (3.27), (3.28). (ii) Докажем равномерную оценку (3.20). Функция $f$ непрерывна на $[-1, 1]$ и, следовательно, равномерно непрерывна на $[-1,1]$. Для заданного $\varepsilon>0$ найдем $\delta >0$ такое, что $|f(t)-f(x)|<\varepsilon$ для $|t-x|<\delta$. Пусть при некотором $k_0$, $0\leqslant k_0\leqslant m$, $x\in K_0=K\cap (a_{k_0},a_{k_0+1})$ и $\delta>0$ таково, что интервал $|t-x|<\delta\subset K_0$ (в случае попадания точки $x$ на границу рассматривается односторонняя $\delta$-окрестность точки). Как и выше, ограничимся рассмотрением интеграла Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int^1_{-1} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) \\ \notag &\qquad =\int_{|t-x|<\delta}[f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) +\int_{|t-x|\geqslant\delta}[f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &\qquad =R_n^{(1)}(x)+R_n^{(2)}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Оценка (3.16) дает
$$
\begin{equation}
|R^{(1)}_n(x)| \leqslant\varepsilon L_n(x)\leqslant C\varepsilon \ln(n+2).
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
С помощью неравенств (3.8), (3.12) последовательно получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |R^{(2)}_n(x)| &=\biggl|\int_{|t-x|\geqslant\delta}[f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr| \\ &\leqslant Ch(x)\int_{|t-x|\geqslant\delta}\frac{|f(t)-f(x)|}{|t-x|}h(t)\,d\theta(t) \\ &=O(1) \int_{|t-x|\geqslant\delta}|f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, используя условия (3.18) при $p=1$, равномерно для $x\in K$ и $n\in\mathbb{Z}_+$ имеем Подставляя соотношения (3.30) и (3.31) в (3.29), получаем оценку (3.20). Теорема 3.1 полностью доказана. Рассмотрим пространство $W^p_\theta ([-1,1])$, $1\leqslant p <\infty$, как множество функций $f$ из $\mathfrak{R}_p$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W^p_\theta ([-1,1]) &=\biggl\{f,\ \|f\|_{W^p_\theta([-1,1])}<+\infty, \\ &\qquad\|f\|^p_{W^p_\theta([-1,1])}=\|f\|^p_{L^p_\theta([-1,1])} +\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0} M_{k,i}|f^{(i)}(a_k)|^p \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично можно ввести и пространство $W^p_\theta(F)$ для подмножества $F$ из $[-1,1]$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag W^p_\theta (F) &=\biggl\{f,\ \|f\|_{W^p_\theta(F)}<+\infty, \\ &\qquad\|f\|^p_{W^p_\theta(F)}=\|f\|^p_{L^p_\theta(F)} +\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0} M_{k,i}|f^{(i)}(a_k)|^p \biggr\} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
(теорию этих пространств см. в [29]–[31] и в ссылках в них). Отметим, что пространство $W^p_\theta ([-1,1])$, $1\leqslant p<\infty$, не является полным. Каждой функции $f$, принадлежащей $W^p_\theta ([-1,1])$ при некотором $p$, $1\,{\leqslant}\, p\,{<}\,\infty$, поставим в соответствие ряд Фурье–Соболева (1.4), (1.5) и рассмотрим оценку нормы мажоранты частных сумм $S_nf(x)$. Введем
$$
\begin{equation}
G_nf(x)=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^1_{-1} f(t)D_n(t,x)\,d\theta(t), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m,
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
и положим
$$
\begin{equation}
G_*f(x) :=\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|G_nf(x)|, \qquad x\in\varepsilon_m.
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Лемма 3.4. Пусть для системы многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ и меры $d\theta(x)$ выполняются соответственно условия (3.7) и (3.8). Тогда справедливы следующие утверждения. (i) Eсли функция $f\in\mathfrak{R}_p$, $1<p<\infty$, удовлетворяет (3.18), то для любого компактного подмножества $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\|G_*f\|_{L^p_\theta(K)}\leqslant C_p\|f\|_{L^p_\theta(K)},
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
где постоянная $C_p>0$ не зависит от функции $f\in L^p_\theta(K)$. (ii) Eсли, кроме того, имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
\sum^{\infty}_{j=0}|\widehat{q}^{\,(i)}_j(a_s)|<\infty, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \quad s=1,2,\dots,m,
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
то справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\biggl\| \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0}M_{s,i} f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^iD_n}{\partial t^i}(a_s, x)\biggr| \biggr\|_{L^p_\theta(K)} \leqslant C_p\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|^p\biggr\}^{1/p},
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
где постоянная $C_p>0$ не зависит от функции $f$. Доказательство. (i) Нетрудно видеть, что В силу лемм 2.3, 3.3 и условий (3.18) оценка (2.8) дает соотношение (см. (3.34))
$$
\begin{equation*}
G_*f(x)\leqslant CM_\theta[fh](x)h(x), \qquad x\in K,
\end{equation*}
\notag
$$
где максимальная функция $M_\theta$ определена по формуле (2.6) и постоянная $C\,{>}\,0$ не зависит от функции $f\in L^p_\theta(K)$. Тогда из ограниченности функции $h(x)$ на $K$ и леммы 2.3 следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|G_*f\|_{L^p_\theta(K)} &=\biggl(\int_K[G_*f(x)]^p\,d\theta(x)\biggr)^{1/p} \leqslant C_p\biggl(\int_K\{M_\theta[fh](x)\}^ph^p(x)\,d\theta(x)\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant C_p\biggl(\int_K|f(x)|^ph^{2p}(x)\,d\theta(x)\biggr)^{1/p} \leqslant C_p\biggl(\int_K|f(x)|^p\,d\theta(x)\biggr)^{1/p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать в п. (i). (ii) Нетрудно видеть, что из (3.7) и (3.36) следует
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr| =\biggl|\sum^n_{j=0}\widehat{q}^{\,(i)}_j(a_s)\widehat{q}_j(x)\biggr| \leqslant Ch(x), \qquad x\in\varepsilon_m, \quad n\in\mathbb{Z}_+.
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s, x)\biggr|\biggr\|^p_{L^p_\theta(K)} \\ &\qquad\leqslant C_p\biggl\|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|h(x)\biggr\|^p_{L^p_\theta(K)} \\ &\qquad\leqslant C_p\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p \biggl\{\int_K h^p(x)\,d\theta(x)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $1/p+1/q=1$, $1<p<\infty$, то неравенство Гёльдера дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p &\leqslant \biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}\biggr\}^{p/q} \sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|^p \\ &\leqslant C_p\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|^p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Так как функция $h(x)$ ограничена на $K$, то получаем оценку (3.37). Лемма 3.4 доказана. Лемма 3.5. Пусть выполняются условия (3.7), (3.8), (3.36) леммы 3.4 и при некотором $p$, $1<p<\infty$, имеют место соотношения (3.18) и Тогда для любой функции $f\in W^p_\theta([-1,1])$ справедлива оценка где постоянная $C_p>0$ не зависит от функции $f$. Доказательство. Из формулы (3.1) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (S_n f)^{(j)}(a_k) &=\int^1_{-1} f(t)\biggl[\sum^n_{l=0}\widehat{q}_l(t)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr]\,d\theta(t) \\ &\qquad +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\biggl[\sum^n_{l=0}\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(S_n f(x))^{(j)}(a_k)| &\leqslant\int^1_{-1}|f(t)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^n_{l=0} \widehat{q}_l(t)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr|\,d\theta(t) \\ &\qquad+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)| \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^n_{l=0}\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенств (3.7) и (3.36) получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl|\sum^n_{l=0}\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr| \leqslant C, \qquad \biggl|\sum^n_{l=0}\widehat{q}_l(t)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr| \leqslant Ch(t), \\ s,k=1,\dots,m, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \qquad j=0,1,\dots,N_k, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
а из (3.41), (3.43) и интегрального неравенства Гёльдера следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int^1_{-1}|f(t)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^n_{l=0} \widehat{q}_l(t)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr|\,d\theta(t) \leqslant C_p\int^1_{-1}|f(t)|h(t)\,d\theta(t) \\ &\qquad \leqslant C_p\{\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])}\|h\|_{L^q_\theta([-1,1])}\} \leqslant C_p\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, используя (3.43), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum^{m}_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j} \Bigl[\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(S_n f)^{(j)}(a_k)|\Bigr]^p \\ &\qquad \leqslant C_p\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])} +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p \\ &\qquad \leqslant C_p\biggl\{\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])}+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
И тогда неравенство Минковского, определение нормы (3.32) и соотношение (3.40) дают оценку (3.42). Лемма 3.5 доказана. § 4. Средние Фейера рядов Фурье–СоболеваРассмотрим средние Фейера ряда Фурье–Соболева (1.4), (1.5) функции $f\in\mathfrak{R}_p$, $1\leqslant p<\infty$,
$$
\begin{equation}
\sigma_nf(x)=\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0}S_kf(x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in[-1,1],
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $S_k(f;x)$ – частные суммы ряда Фурье–Соболева. Введем ядро Фейера полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$:
$$
\begin{equation}
F_n(t,x)=\frac{1}{n+1}\sum^n_{i=0}D_i(t,x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad t,x \in[-1,1],
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $D_i(t,x)$ – ядро Дирихле. Как следует из формул (3.1), (4.1),
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma_nf(x)=\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s, x), \\ n\in\mathbb{Z}_+, \qquad t,x\in[-1,1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
С помощью рекуррентного соотношения (3.3) и формулы Кристоффеля–Дарбу получим представление ядра Фейера. Лемма 4.1. Для всех $t,x\in[-1,1]$ и $n\in\mathbb{Z}_+$ справедлива формула Доказательство. Рассмотрим левую часть соотношения (4.4) и воспользуемся формулой Кристоффеля–Дарбу, тогда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)]^2\sum^n_{k=0}D_k(t,x) \\ &\qquad =\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{k=0}\sum^{k}_{s=k-j+1} d_{s+j,j}[\pi_{N+1}(t)- \pi_{N+1}(x)][\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x)-\widehat{q}_s(t)\widehat{q}_{s+j}(x)] \\ &\qquad =\sum^{(N+1)}_n (t,x)+\sum^{(N+1)}_n (x,t), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum^{(N+1)}_n (t,x) &=\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{k=0}\sum^k_{s=k-j+1} d_{s+j,j}\pi_{N+1}(t)\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{k=0}\sum^k_{s=k-j+1} d_{s+j,j}\widehat{q}_{s+j}(t)\pi_{N+1}(x)\widehat{q}_{s}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся рекуррентным соотношением (3.3) и следующей формулой, справедливой для любой последовательности $\{\omega_s(j)\}$, $s\in\mathbb{Z}_+$, $j\in\mathbb{N}$, $\omega_s(j)=0$, $s=-1,-2,\dots$:
$$
\begin{equation*}
\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{k=0}\sum^k_{s=k-j+1}\omega_s(j) =\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{n-j+1}_{s=0}\omega_s(j) +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)\omega_s(j).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum^{(N+1)}_n (t,x) &=\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{n-j+1}_{s=0} d_{s+j,j}\pi_{n+1}(t)\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)d_{s+j,j}\pi_{N+1}(t)\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{n-j+1}_{s=0} d_{s+j,j}\widehat{q}_s(t)\pi_{n+1}(x)\widehat{q}_{s+j}(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)d_{s+j,j}\widehat{q}_s(t)\pi_{N+1}(x)\widehat{q}_{s+j}(x) \\ &=\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n-j+1}_{s=0}d_{s+j,j}d_{s+j+l,l} \widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n-j+1}_{s=0}d_{s+j,j}d_{s+j,l} \widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n}_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s+j+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n}_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s+j,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n-j+1}_{s=0} d_{s+j,j}d_{s+l,l}\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_{s+l}(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n-j+1}_{s=0} d_{s+j,j}d_{s,l}\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_{s-l}(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n}_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s+l,l}\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_{s+l}(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n}_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s,l}\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_{s-l}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum^{(N+1)}_n (t,x) &=\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{n}_{s=0}d_{s+j,j}[d_{s,0}-d_{s+j,0}] \widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=0}\sum^n_{s=0}(d_{s+j,j}d_{s+j+l,l}-d_{s+j+l,j}d_{s+l,l} ) \widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=0}(d_{s+j,j}d_{s+j,l}-d_{s+j-l,j}d_{s,l} ) \widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+l+2} d_{s+j-l,j}d_{s,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+2}d_{s+j,j} d_{s+j+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+2} d_{s+j,j}d_{s+j,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j-l+2} d_{s+j+l,j}d_{s+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s+j+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n-l}_{s=n-j-l+2}(n-s-l+1) d_{s+j+l,j}d_{s+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)d_{s+j,j} d_{s+j,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n+l}_{s=n-j+l+2}(n-s+l+1) d_{s+j-l,j}d_{s,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что отсюда вытекают формулы (4.4)–(4.7). Лемма 4.1 доказана. Лемма 4.2. Пусть полиномиальная система $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условию (3.7) и для рекуррентных коэффициентов (см. (3.3)) выполняется оценка Тогда для ядра Фейера справедливы оценки
$$
\begin{equation}
|F_n(t,x)|\leqslant (n+1)h(t)h(x), \qquad t,x\in\varepsilon_m, \quad |t-x|\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
|F_n(t,x)|\leqslant C_x\frac{h(t)h(x)}{(n+1)[\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)]^2}, \qquad t,x\in\varepsilon_m, \quad |t-x|> 0.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
При этом постоянная $C_x>0$ не зависит от $t\in\varepsilon_m$ и $n\in\mathbb{Z}_+$. Для любого компактного подмножества $K$ из $\varepsilon_m$ при этом постоянная $C>0$ не зависит от $t\in\varepsilon_m$, $x\in K$ и $n\in\mathbb{Z}_+$. Доказательство. Действительно, оценка (4.9) следует из (3.11), а соотношение (4.10) непосредственно вытекает из представления (4.4)–(4.7) и условий (3.4), (3.5), (3.7), (4.8). Равномерные оценки (4.11) и (4.12) вытекают соответственно из соотношений (4.9) и (3.4), (3.6), (3.7), (4.8) и представления (4.4)–(4.7). Лемма 4.2 доказана. Лемма 4.3. Пусть полиномиальная система $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условиям (3.7), (3.8), (4.8). Тогда функция имеет интегрируемую горбатую мажоранту $\widetilde{F}^*_n(t, x)$, для которой справедлива равномерная оценка где $K$ – компактное подмножество из $\varepsilon_m$. Доказательство. Учитывая оценки (4.11), (4.12), имеем где постоянные $C>1$ не зависят от $t\in\varepsilon_m$, $x\in K$ и $n\in\mathbb{Z}_+$. Откуда
$$
\begin{equation}
|\widetilde{F}_n(t,x)|\leqslant \begin{cases} C(n+1), &t\in\varepsilon_m,\ x\in K,\ 0\leqslant|t-x|\leqslant\dfrac{1}{n+1}, \\ \dfrac{C}{(n+1)(t-x)^2}, & t\in\varepsilon_m,\ x\in K,\ |t-x|> \dfrac{1}{n+1}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где постоянные $C>1$ не зависят от $t\in\varepsilon_m$, $x\in K$ и $n\in\mathbb{Z}_+$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{F}^*_n(t, x)=\frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}, \qquad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K, \quad n\in\mathbb{Z}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
и докажем, что $\widetilde{F}^*_n(t, x)$ является интегрируемой горбатой мажорантой ядра $\widetilde{F}_n(t, x)$. Действительно, воспользуемся соотношениями (4.15). 1. Для оценки $|\widetilde{F}_n(t,x)|\leqslant \widetilde{F}^*_n(t,x)$ имеем: при $|t-x|\leqslant 1/(n+1)$, $(n+1)|t-x|\leqslant 1$ оценка эквивалентна
$$
\begin{equation*}
C(n+1)\leqslant \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}, \qquad 1+(n+1)^2(t-x)^2\leqslant 2;
\end{equation*}
\notag
$$
при $|t-x|>1/(n+1)$, $(n+1)|t-x|> 1$ оценка эквивалентна соотношению
$$
\begin{equation*}
\frac{C}{(n+1)(t-x)^2}\leqslant \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}, \qquad 1+(n+1)^2(t-x)^2 \leqslant 2(n+1)^2(t-x)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Монотонность горбатой мажоранты $\widetilde{F}^*_n(t, x)$ очевидна. 3. Покажем интегрируемость горбатой мажоранты – оценку (4.14).
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_n(x) &=\int^1_{-1} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t)=\int^{a_{k_0+1}}_{a_{k_0}} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t) \\ &\qquad +\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m }} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t)=\widetilde{J}_n^{(1)}(x)+\widetilde{J}_n^{(2)}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в доказательстве леммы 3.3, рассмотрим случай $t\geqslant x$, введем число $h>0$ и промежутки $\delta_1=[x, x+1/(n+1)]$, $\delta_2=[x+1/(n+1), a_{k_0+1}-h/2]$, $\delta_3=[a_{k_0+1}-h/2,a_{k_0+1}]$, $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde{J}^{(1)}_n(x)=\int_{\delta_1}+\int_{\delta_2}+\int_{\delta_3} =J^{(1)}_n(x)+J^{(2)}_n(x)+J^{(3)}_n(x).
\end{equation*}
\notag
$$
При оценке первых двух слагаемых воспользуемся ограниченностью весовой функции $h(t)\omega(t)$ (см. (3.7), (3.8)):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J^{(1)}_n(x) &=\int_{\delta_1} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t) =\int^{x+1/(n+1)}_{x} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}h(t)\omega(t)\,dt \\ &\leqslant \int^{x+1/(n+1)}_{x} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}\,dt=O(1), \\ J^{(2)}_n(x) &=\int_{\delta_2} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t) =\int^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}h(t)\omega(t)\,dt \\ &\leqslant 2C(n+1)\int^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)} \frac{dt}{1+(n+1)^2(t-x)^2} \leqslant C\int^\infty_{-\infty}\frac{dz}{1+z^2}=C\pi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как при $t\in\delta_3$ и $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$, справедливо $t-x\geqslant h/2$, $1+(n+ 1)^2(t-x)^2\geqslant 1+(n+1)^2(h/2)^2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J^{(3)}_n(x) &=\int_{\delta_3} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t) =\int^{a_{k_0+1}}_{a_{k_0+1}-h/2} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}h(t)\omega(t)\,dt \\ &\leqslant C(h)\int^1_{-1}h(t)\omega(t)\,dt\leqslant C(h). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, где постоянная $C(h)>0$ не зависит от $n\in\mathbb{Z}_+$ и $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$.Для оценки последнего слагаемого $\widetilde{J}^{(2)}_n(x)$ воспользуемся тем, что при $t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})$ и $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ имеем $|t-x|\geqslant h$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde{J}^{(2)}_n(x) =\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m }} \widetilde{F}^*_n(t,x)h(t)\,d\theta(t) \\ &\quad=\int_{\substack{t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\notin\varepsilon_m}} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}h(t)\omega(t)\,dt \leqslant C(h)\int^1_{-1}h(t)\omega(t)\,dt\leqslant C(h), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и заканчивает доказательство леммы 4.3. Следствие 4.1. Пусть выполняются условия леммы 4.3. Тогда для функции Лебега равномерно на всех компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка Лемма 4.4. Пусть выполняются условия (3.7) и (4.8). Для любой функции $f\in\mathfrak{R}_p$, $1\leqslant p<\infty$, удовлетворяющей условиям (3.18), справедливы утверждения: (i) в каждой точке Лебега $x\in\varepsilon_m$ функции $f$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty} \int^1_{-1} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t)=0;
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
(ii) если, кроме того, для меры $d\theta(x)$ имеет место (3.8), то для непрерывной на $[-1,1]$ функции $f$ соотношение (4.17) выполняется равномерно на всех компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$. Доказательство. Как и выше (см. доказательство теоремы 3.1), докажем п. (i) при $p=1$. Пусть $x\in\varepsilon_m$ – точка Лебега и $x\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})$. Введем натуральное число $n$ такое, что $[x-1/(n+1), x+1/(n+1)]\subset(a_{k_0}, a_{k_0+1})$. Представим интеграл в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int^1_{-1} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t) =\int_{\substack{|t-x|\leqslant1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t) \\ \notag &\qquad+\int_{\substack{|t-x|>1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &\qquad+\int_{\substack{|t-x|>1/(n+1)\\ t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t)=J^{(1)}_n(x)+J^{(2)}_n(x)+J^{(3)}_n(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Применяя оценку (4.9), условия (3.18) и соотношение (3.17), имеем
$$
\begin{equation}
|J^{(1)}_n(x)|\leqslant C_x(n+1)\int_{\substack{|t-x|\leqslant1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1}) }} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t)=o_x(1), \qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Воспользуемся неравенством (4.10) и (3.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |J^{(2)}_n(x)| &\leqslant C_x\frac{1}{n+1} \int_{\substack{|t-x|>1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1}) }} \frac{|f(t)-f(x)|}{[\pi_{N+1}(t)- \pi_{N+1}(x)]^2}h(t)\,d\theta(t) \\ &\leqslant C_x\frac{1}{n+1}\int_{\substack{|t-x|>1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} \frac{|f(t)-f(x)|}{(t-x)^2}h(t)\,d\theta(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation*}
\widetilde J^{(2)}_n(x)\leqslant C_x\frac{1}{n+1} \int^{a_{k_0+1}}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{(t-x)^2}h(t)\,d\theta(t),
\end{equation*}
\notag
$$
так как интеграл
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n+1} \int^{x-1/(n+1)}_{a_{k_0}} \frac{|f(t)-f(x)|}{(t-x)^2}h(t)\,d\theta(t)
\end{equation*}
\notag
$$
оценивается аналогичным образом. Введем $M>0$, $M=M(n, x, k_0)$:
$$
\begin{equation*}
x+\frac{2^{M-1}}{n+1}\leqslant a_{k_0+1}<x+\frac{2^M}{n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\widetilde J^{(2)}_n(x)| &\leqslant C_x\frac{1}{n+1}\sum^M_{j=1} \biggl(\frac{n+1}{2^{j-1}}\biggr)^2 \int_{x+2^{j-1}/(n+1)}^{x+2^j/(n+1)} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \\ &=C_x\sum^M_{j=1}\frac{n+1}{2^{2j}}\int_{|t-x|\leqslant 2^j/(n+1)} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \\ &=o_x\biggl(\sum^{M}_{j=1}\frac{1}{2^j}\biggr)=o_x(1), \qquad n\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, Воспользуемся оценками (4.10), (3.5). Последовательно получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |J^{(3)}_n(x)| &\leqslant C_x\frac{1}{n+1} \int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ x\in K_0 }} \frac{|f(t)-f(x)|}{[\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)]^2}h(t)\,d\theta(t) \\ &\leqslant C_x\frac{1}{n+1}\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ x\in K_0 }} \frac{|f(t)-f(x)|}{(t-x)^2}h(t)\,d\theta(t) \\ &=O_x(1)\frac{1}{n+1}\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ x\in (a_{k_0}, a_{k_0+1}) }} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, в силу (3.18), имеем Подставляя (4.19)–(4.21) в (4.18), получаем соотношение (4.17). (ii) Равномерное выполнение соотношения (4.17) при $x\in K\subset\varepsilon_m$ следует стандартным способом из следствия 4.1 (см. доказательство теоремы 3.1, (ii)). Лемма 4.4 полностью доказана. Теорема 4.1. Пусть для ортонормированной полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ выполняются предположения (3.7) и (4.8). (i) Тогда для средних Фейера $\sigma_nf(x)$ ряда Фурье–Соболева (1.4)–(1.5) в каждой точке Лебега $x\in\varepsilon_m$ функции $f\in\mathfrak{R}_p$, $1\leqslant p<\infty$, удовлетворяющей (3.18), имеет место (ii) Если, кроме того, для меры $d\theta(x)$ имеет место условие (3.8), то для непрерывной на $[-1,1]$ функции $f$ равенство (4.22) выполняется равномерно на всех компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$. Доказательство. Из леммы 3.2 в силу регулярности по Тёплицу средних Фейера вытекает для $x\in\varepsilon_m$ равенство и сходимость равномерна на компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$. Остальная часть доказательства непосредственно следует из леммы 4.4. Теорема 4.1 доказана. Рассмотрим задачу об оценке нормы для мажоранты средних Фейера ряда Фурье–Соболева (см. (4.3))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_*f(x) &=\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|\sigma_nf(x)| =\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1}f(t) F_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &\qquad +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr|, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sigma_*f(x) &\leqslant \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1}f(t) F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr| \\ &\qquad +\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr|, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Рассмотрим
$$
\begin{equation}
\|\sigma_*f(x)\|^p_{L^p_\theta(K)},\qquad \sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i} \Bigl[\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(\sigma_nf)^{(i)}(a_s)|\Bigr]^p,
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
где $K$ – компактное подмножество из $\varepsilon_m$, и оценим первое выражение в (4.24). Лемма 4.5. Пусть для полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ выполняются условия (3.7), (3.8), (3.36), (4.8). Если функция $f\in\mathfrak{R}_p$ удовлетворяет (3.18) (при некотором $1<p<\infty$), то где постоянная $C_p>0$ не зависит от функции $f\in W^p_\theta(K)$. Доказательство. Из (4.23) следует в силу неравенства Минковского
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\sigma_*f\|_{L^p_\theta(K)}^{p} &\leqslant C_p \biggl\|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\|^p_{L_\theta^p(K)} \\ &\qquad +C_p \biggl\|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i} |f^{(i)}(a_s)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr|\biggr\|^p_{L^p_\theta(K)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
где постоянная $C_p>0$ не зависит от функции $f$. Из (2.8) в силу леммы 4.3 и условия (3.18) имеем
$$
\begin{equation*}
\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr| \leqslant C_p M_\theta[fh](x)h(x), \qquad x\in K,
\end{equation*}
\notag
$$
и тогда из ограниченности функции $h(x)$ на $K$ и оценки (2.9) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\|^p_{L_\theta^p(K)} \leqslant C_p \|M_\theta[fh](x)h(x)\|^p_{L_\theta^p(K)} \\ &\qquad\leqslant C_p \|M_\theta[fh](x)\|^p_{L_\theta^p(K)} \leqslant C_p \|fh\|^p_{L_\theta^p(K)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая вновь ограниченность функции $h(x)$ на $K$, получаем оценку
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\|^p_{L_\theta^p(K)} \leqslant C_p \|f\|^p_{L_\theta^p(K)},
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
где постоянная $C_p>0$ не зависит от функции $f$. Оценим второе слагаемое суммы (4.26). Условия (3.7), (3.36) дают
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr| =\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^n_{l=0} \biggl(1-\frac{l}{n+1}\biggr)\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s)\widehat{q}_l(x)\biggr| \\ &\qquad\leqslant Ch(x), \qquad x\in\varepsilon_m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Тогда в силу (3.40) и (4.28) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl\|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+} \biggl|\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr|\biggr\|^p_{L^p_\theta(K)} \\ &\qquad \leqslant C_p\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0}M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p \int_K h^p(x)\,d\theta(x) \leqslant C_p\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i} |f^{(i)}(a_s) |^p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Итак, учитывая (4.26), (4.27), (4.29) и (3.32), получаем
$$
\begin{equation*}
\|\sigma_*f\|_{L^p_\theta(K)}^p\leqslant C_p\biggl\{ \|f\|^p_{L_\theta^p(K)}+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i} |f^{(i)}(a_s)|^p\biggr\} =C_p\|f\|^p_{W_\theta^p(K)},
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает лемму 4.5. Лемма 4.6. Пусть для ортонормированной полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ при некотором $p$, $1<p<\infty$, выполняются условия (3.7), (3.8), (3.36), (4.8), (3.41). Если функция $f$ принадлежит $W^p_\theta([-1,1])$, то выполняется оценка где постоянная $C>0$ не зависит от функции $f$. Доказательство. Так как
$$
\begin{equation*}
(\sigma_nf)^{(j)}(a_k)=\int^1_{-1}f(t)\frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\,d\theta(t) +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^{j+i}F_n}{\partial x^j \, \partial t^i}(a_s, a_k),
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(\sigma_nf)^{(j)}(a_k)|\leqslant \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1}f(t)\, \frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\,d\theta(t)\biggr| \\ &\qquad +\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^{j+i}F_n}{\partial x^j\, \partial t^j}(a_s, a_k)\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\Bigl[\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(\sigma_nf)^{(j)}(a_k)|\Bigr]^p \\ \notag &\leqslant C_p \sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\sup_{n\in\mathbb{Z}_+} \biggl|\int^1_{-1} f(t)\, \frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\}^p \\ &\ +C_p \sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+} \biggl|\sum^n_{l=0}\biggl(1\,{-}\frac{l}{n+1}\biggr)\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s) \widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr|\biggr\}^p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Из оценок (3.7), (3.36), (4.28) следует
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl|\frac{\partial^{j+i}F_n}{\partial x^j\, \partial t^i}(a_s, a_k)\biggr| \leqslant C, \qquad \biggl|\frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\biggr|\leqslant C h(t), \\ n\in\mathbb{Z}_+, \qquad t\in\varepsilon_m, \quad j=0,1,\dots,N_k, \qquad i=0,1,\dots, N_s, \qquad s,k=1,\dots,m. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Из соотношений (3.41), (4.32) и неравенства Гёльдера следует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j} \biggl\{\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)\, \frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\}^p \\ &\qquad \leqslant C_p (\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])}\|h\|_{L^q_\theta([-1,1])})^p \leqslant C_p(\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])})^p, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
где постоянная $C_p>0$ не зависит от функции $f\in L^p_\theta([-1,1])$. Воспользуемся первой оценкой (4.32) и соотношением (3.40):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\frac{\partial^{j+i}F_n}{\partial x^j\, \partial t^i}(a_s, a_k)\biggr|\biggr\}^p \\ &\qquad \leqslant C_p \sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p \leqslant C_p\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|^p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
Подставляя соотношения (4.33) и (4.34) в (4.31), получаем оценку (4.30). Лемма 4.6 доказана полностью. Из определения (3.32) и лемм 4.5 и 4.6 вытекает следующее утверждение. Теорема 4.2. Пусть для полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ выполняются условия (3.7), (3.8), (3.36), (3.41), (4.8). Для любой функции $f$ удовлетворяющей (3.18) и $f\in W^p_\theta([-1,1])$ при некотором $p$, $1<p<\infty$, на произвольном компактном подмножестве $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка где постоянная $C_p>0$ не зависит от $n\in\mathbb{Z}_+$ и функции $f$. § 5. Мультипликаторы рядов Фурье–СоболеваРассмотрим частные суммы мультипликаторного ряда (1.7)
$$
\begin{equation}
T_nf(x;\Phi)=\sum^n_{k=0}\phi_k c_k(f)\widehat{q}_k(x), \qquad x\in[-1,1], \quad n\in\mathbb{Z}_+,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
порожденного последовательностью (1.6):
$$
\begin{equation*}
\Phi=\bigl\{\phi_n,\ n\in\mathbb{Z}_+;\ \phi_0=1,\ \{\phi_n\}^\infty_{n=0}\in l^\infty\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\Delta\phi_n=\phi_n-\phi_{n+1}, \quad \Delta^2\phi_n=\Delta(\Delta\phi_n)=\phi_n- 2\phi_{n+1}+\phi_{n+2}, \qquad n\in\mathbb{Z}_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательность $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ называется квазивыпуклой, если Лемма 5.1 (см. [32; гл. 7, 7.1.3]). (i) Если последовательность $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ квазивыпукла и ограничена, то она имеет ограниченную вариацию и последовательность $n\Delta\phi_n$ ограничена (ii) Если последовательность $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ квазивыпукла и имеет конечный предел, то она имеет ограниченную вариацию и для нее выполняется Замечание 5.1. Если последовательность $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ квазивыпукла и ограничена, то, как следует из (5.3), для нее справедлива оценка Лемма 5.2. Пусть $s_n$ и $\sigma_n$ соответственно частные суммы и средние арифметические ряда $\sum^\infty_{k=0}u_k$. Если $\sigma_n$ сходятся и если $s_n=o(\mu_n)$, где $\{{1}/{\mu_n}\}^\infty_{n=0}$ квазивыпукла и стремится к нулю при $n\to\infty$, то ряд $\sum^\infty_{k=0}{u_k}/{\mu_k}$ сходится. Доказательство. Действительно, применим дважды преобразование Абеля:
$$
\begin{equation*}
\sum^n_{k=0}\frac{u_k}{\mu_k} =\sum^{n-2}_{k=0}(k+1)\sigma_k\Delta^2\biggl(\frac{1}{\mu_k}\biggr) +n\Delta\biggl(\frac{1}{\mu_{n-1}}\biggr)\sigma_{n-1}+s_n\frac{1}{\mu_n}, \qquad n\in\mathbb{Z}_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Используем условия леммы 5.2 и утверждение (ii) леммы 5.1 (см. (5.4)). Тогда при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\sum^n_{k=0}\frac{u_k}{\mu_k}\to \sum^\infty_{k=0}(k+1)\sigma_k\Delta^2\biggl(\frac{1}{\mu_k}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и ясно, что ряд $\sum^\infty_{k=0}(k+1)\Delta^2(1/\mu_k)\sigma_k$ сходится абсолютно. Лемма 5.2 доказана. Теорема 5.1. Пусть ортонормированная система многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условиям (3.7), (4.8) и для элементов квазивыпуклой последовательности $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ имеет место соотношение Тогда если для функции $f\in\mathfrak{R}_p$, $1\leqslant p <\infty$, выполняются условия (3.18), то справедливы следующие утверждения: 1) в каждой точке Лебега $x\in\varepsilon_m$ мультипликаторный ряд (1.7) сходится,
$$
\begin{equation*}
Tf(x;\Phi)=\sum^\infty_{k=0} \phi_k c_k(f)\widehat{q}_k(x) \quad\textit{для $\theta$-почти всех }x\in[-1,1];
\end{equation*}
\notag
$$
2) если, кроме того, функция $f$ непрерывна на $[-1,1]$ и выполняется (3.8), то мультипликаторный ряд (1.7) равномерно сходится на каждом компактном подмножестве $K\subset\varepsilon_m$, т.е. есть сходимость в топологии равномерной сходимости на компактах. Следствие 5.1. Пусть система многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условиям (3.7), (4.8). Тогда если для функции $f \in \mathfrak{R}_p$, $1 \leqslant p < \infty$, выполняются (3.18), то оба ряда Действительно, нетрудно видеть, что последовательности $\phi_k={1}/{\ln(k+2)}$ и $\phi_k={1}/{(k+1)^\gamma}$, $\gamma>0$, удовлетворяют условию (5.5) теоремы 5.1. Рассмотрим вопрос об оценке нормы мажоранты частных сумм ряда (1.7). Теорема 5.2. Пусть ортонормированная система многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условиям теоремы 4.2. Если для элементов квазивыпуклой последовательности (1.6) имеет место оценка (5.5), то для любой функции $f\in W^p_\theta([-1,1])$, $1<p<\infty$, удовлетворяющей (3.18), на произвольном компактном подмножестве $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\|T_nf(x;\Phi)\|_{W^p_\theta(K)}\leqslant C_p\|f\|_{W^p_\theta([-1,1])},
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где постоянная $C_p>0$ не зависит от $n\in\mathbb{Z}_+$, функции $f$ и последовательности (1.6). Доказательство. Так как (см. (3.1))
$$
\begin{equation*}
S_nf(x)=\int^1_{-1}f(t)D_n(t,x)\,d\theta(t)+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s, x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу определения функции $G_nf(x)$ и условия (5.5) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\phi_nS_nf(x)| &\leqslant |\phi_n\ln(n+2)|\,\biggl|\frac{1}{\ln(n+2)}\int^1_{-1}f(t)D_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr| \\ &\qquad +|\phi_n|\,\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0}M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s, x)\biggr| \\ &\leqslant C|G_nf(x)|+C\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0}M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i} (a_s,x)\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применим леммы 3.4 и 3.5, учитывая (3.35), (3.37) и (3.42), получим
$$
\begin{equation}
\|\phi_nS_nf\|_{W^p_\theta(K)}\leqslant C_p\|f\|_{W^p_\theta([-1,1])},
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где постоянная $C_p>0$ не зависит от $n\in\mathbb{Z}_+$, функции $f\in W^p_\theta([-1,1])$ и последовательности $\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$. Нетрудно видеть, что, применяя дважды преобразование Абеля, получаем
$$
\begin{equation*}
T_nf(x;\Phi)=\phi_nS_nf(x)+n(\Delta\phi_{n-1})\sigma_{n-1}f(x) +\sum^{n-2}_{k=0}(k+1)(\Delta^2\phi_k)\sigma_kf(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |T_nf(x;\Phi)| &\leqslant |\phi_nS_nf(x)|+(n|\Delta\phi_{n-1}|)|\sigma_{n-1}f(x)| \\ &\qquad +\sup_{n\in\mathbb{Z}_+} \sum^{n-2}_{k=0}(k+1)|\Delta^2\phi_k|\,|\sigma_kf(x)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для окончания доказательства теоремы 5.2 следует обратиться к оценкам (4.35), (5.3) и (5.8). Теорема 5.2 доказана полностью. Основным результатом работы является следующее утверждение. Теорема 5.3. Пусть при некотором $p$, $1<p<\infty$, выполняются условия теоремы 5.2 на функцию $f$, систему ортонормированных многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ и мультипликаторную последовательность (1.6). Тогда для мультипликаторного оператора $T$ выполняется оценка Теорема 5.3 непосредственно следует из леммы Фату (лемма 2.4), теоремы 5.1 и оценки (5.7). Рассмотрим мультипликаторный ряд (5.6) и введем мультипликаторный оператор
$$
\begin{equation}
Pf(x)\sim\sum^\infty_{k=0}\frac{c_k(f)\widehat{q}_k(x)}{\ln(k+2)}, \qquad x\in[-1,1].
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Полагая $\phi_k={1}/{\ln(k+2)}$ в теореме 5.3, получаем следующее утверждение. Следствие 5.2. Пусть система многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ и функция $f$ удовлетворяют всем условиям теоремы 5.2. Тогда ряд (5.9) сходится почти всюду в $[-1,1]$ и для его суммы $Pf(x)$ на любом компактном подмножестве $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка где постоянная $C_p>0$ не зависит от функции $f\in W^p_\theta([-1,1])$. Аналогичная оценка справедлива и для мультипликаторного оператора § 6. Симметричные многочлены Гегенбауэра–СоболеваРассмотрим линейное пространство со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle f,g\rangle_\alpha &=\int^1_{-1} f(x)g(x)\omega_\alpha(x)\,dx+M[f(1)g(1)+f(-1)g(-1)] \\ &\qquad +N[f'(1)g'(1)+f'(-1)g'(-1)], \qquad M\geqslant0, \quad N\geqslant0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\omega_\alpha(x)=\frac{\Gamma(2\alpha)}{2^{2\alpha+1}\Gamma^2(\alpha+1)} (1-x^2)^\alpha, \qquad \alpha>-\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)\equiv \widehat{B}^{(\alpha)}_n(x;M,N)\}$ – система симметричных ортонормированных многочленов Гегенбауэра–Соболева
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int^1_{-1} \widehat{B}^{(\alpha)}_n(x) \widehat{B}^{(\alpha)}_m(x)\omega_\alpha(x)\,dx +M[\widehat{B}^{(\alpha)}_n(1)\widehat{B}^{(\alpha)}_m(1) +\widehat{B}^{(\alpha)}_n(-1)\widehat{B}^{(\alpha)}_m(-1)] \\ &\qquad+N[\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n(1)\}'\{\widehat{B}^{(\alpha)}_m(1)\}' +\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n(-1)\}'\{\widehat{B}^{(\alpha)}_m(-1)\}']=\delta_{n,m}, \qquad n,m\,{\in}\,\mathbb{Z}_+. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $\alpha=0$ получаем систему симметричных ортонормированных многочленов Лежандра–Соболева. Многочлены $\widehat{B}_n^{(\alpha)}(x;M,N)$ при $M>0$, $N>0$ обладают рядом свойств, отличных от соответствующих свойств классических многочленов Гегенбауэра $\widehat{P}_n^{(\alpha)}(x)$ (ультрасферических), ортонормированных по весу $\omega_\alpha(x)$ (случай $M=0$, $N=0$). Приведем некоторые из них (см. [34]–[43] и литературу в них). 1. Для достаточно больших $n$ существует одна пара вещественных корней, лежащих вне промежутка $[-1,1]$ (все корни $\widehat{P}^{(\alpha)}_n(x)$ лежат в интервале $(-1,1)$). 2. Многочлены $\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)$ являются собственными функциями линейного дифференциального оператора (обычно бесконечного порядка). Только в случае, когда $\alpha=0,1,2,\dots$; этот класс содержит оператор конечного порядка:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2, &\quad\text{если }\ M=0,\ N=0, \\ 2\alpha+4, &\quad\text{если }\ M>0,\ N=0, \\ 2\alpha+8, &\quad\text{если }\ M=0,\ N>0, \\ 4\alpha+10, &\quad\text{если }\ M>0,\ N>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Значения в концах промежутка ортогональности:
$$
\begin{equation}
|\widehat{B}^{(\alpha)}_n(\pm 1)|\approx n^{-\alpha-3/2}, \qquad |\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n\}'(\pm 1)|\approx n^{-\alpha-7/2}, \qquad n\to\infty,
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
при этом соотношение $A_n\approx B_n(n\to\infty)$ означает $\lim_{n\to\infty}{A_n}/{B_n}=1$ (известно, что $|\widehat{P}^{(\alpha)}_n(\pm 1)|\approx n^{\alpha+1/2}$; $|\{\widehat{P}^{(\alpha)}_n\}'(\pm 1)|\approx n^{\alpha+5/2}$). 4. Справедливы рекуррентные соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (x^3-3x)\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x) &=a_{n+3}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n+3}(x)+b_{n+1}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n+1}(x) \\ &\qquad +b_n\widehat{B}^{(\alpha)}_{n-1}(x)+a_n\widehat{B}^{(\alpha)}_{n-3}(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\sum^\infty_{k=0}(|\Delta a_k|+|\Delta b_k|)<\infty,
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (x^2-1)^{2}\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x) &={\epsilon}_{n+4}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n+4}(x) +{\beta}_{n+2}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n+2}+{\gamma}_n\widehat {B}^{(\alpha)}_{n}(x) \\ &\qquad+{\beta}_{n}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n-2}(x)+{\epsilon}_{n}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n-4}(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sum^\infty_{k=0}(|\Delta {\epsilon}_k|+|\Delta {\beta}_k|+|\Delta{\gamma}_k|)<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для рекуррентного соотношения (6.4) ограниченная вариация для рекуррентных коэффициентов получена в [36], для рекуррентного соотношения (6.2) доказательство (6.3) аналогично. Напомним, что классические многочлены Гегенбауэра удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению. Условие (4.8) для многочленов $\widehat {B}^{(\alpha)}_n(x)$ выполняется, если имеет место оценка (6.3). Отметим, что для многочленов Гегенбауэра–Соболева можно ограничиться использованием рекуррентного соотношения (6.2). 5. Весовая оценка для многочленов $\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)$, как и для $\widehat{P}^{(\alpha)}_n(x)$, имеет вид
$$
\begin{equation*}
|\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)|\leqslant C(1-x^2)^{-(\alpha/2+1/4)}, \qquad -1<x<1, \quad\alpha>-\frac{1}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянная $C>0$ не зависит от $n=1,2,\dots$ и $x\in (-1,1)$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W^p_{\omega_\alpha}(F) &=\biggl\{f,\ \|f\|_{W^p_{\omega_\alpha}(F)}<\infty;\ \|f\|^p_{W^p_{\omega_\alpha}(F)}=\|f\|^p_{L^p_{\omega_\alpha}(F)} \\ &\qquad+\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0} M_{k,i} |f^{(i)}(a_k)|^p\biggr\}, \qquad F\subseteq [-1,1], \quad 1\leqslant p<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждой функции $f\in W^p_{\omega_\alpha}([-1,1])$, $\alpha>-1/2$, поставим в соответствие ряд Фурье–Гегенбауэра–Соболева (рассматривается случай $M>0$, $N>0$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(x)\sim\sum^\infty_{k=0} c_k^{(\alpha)}(f)\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x), \\ &c_k^{(\alpha)}(f)=\int^1_{-1} f(x)\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x)\omega_\alpha(x)\,dx +M\bigl[f(1)\widehat{B}^{(\alpha)}_n(1)+f(-1)\widehat{B}^{(\alpha)}_n(-1)\bigr] \\ &\qquad\qquad +N\bigl[f'(1)\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n\}'(1)+f'(-1)\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n\}'(-1)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем ряды
$$
\begin{equation}
\sum^\infty_{k=0} \frac{c_k^{(\alpha)}\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x)}{\ln(k+2)}, \qquad x\in[-1,1],
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
$$
\begin{equation}
\sum^\infty_{k=0} \frac{c_k^{(\alpha)}\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x)}{(k+1)^\gamma}, \qquad x\in[-1,1].
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Пусть $[a,b]$ – произвольный замкнутый промежуток из $(-1,1)$. Аналогично следствиям 5.1 и 5.2 получаем следующие утверждения. Теорема 6.1. Пусть $\alpha>-1/2$, $f\in W^p_{\omega_\alpha}([-1,1])$ и Тогда ряд (6.5) сходится почти всюду в $(-1,1)$. Для его суммы
$$
\begin{equation*}
P^{(\alpha)}f(x)=\sum^\infty_{k=0}\frac{c_k^{(\alpha)}(f)\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x)}{\ln(k+2)}, \qquad x\in[-1,1],
\end{equation*}
\notag
$$
на каждом компакте $[a,b]\subset(-1,1)$ при
$$
\begin{equation}
\frac{4(\alpha+1)}{2\alpha+3}<p<\frac{4(\alpha+1)}{2\alpha+1}
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\|P^{(\alpha)}f\|_{W^p_{\omega_\alpha}([a,b])}\leqslant C_p\|f\|_{W^p_{\omega_\alpha([-1,1])}},
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянная $C_p>0$ не зависит от функции $f$. Аналогичное утверждение справедливо для ряда (6.6). Доказательство. Проверим выполнение условий (3.18) и (3.41) на мажоранту $h(x)$ системы $\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)\equiv\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x;M,N)\}$. Так как $\omega_\alpha(x)=(1-x^2)^{-(\alpha/2+1/4)}$, $-1<x<1$, $\alpha>-1/2$, то условия (3.18) и (3.41) дают
$$
\begin{equation*}
\int^1_{-1} (1-x^2)^{\alpha-p(\alpha/2+1/4)}\,dx\,{<}\,\infty, \quad \int^1_{-1} (1-x^2)^{\alpha-q(\alpha/2+1/4)}\,dx\,{<}\,\infty,\qquad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,
\end{equation*}
\notag
$$
при этом из сходимости первого интеграла вытекает неравенство (6.7), а из сходимости обоих интегралов – соотношение (6.8). Условия (3.36) непосредственно следуют из (6.1), а (4.8) – из (6.3). Теорема доказана. Вопросы сходимости рядов Фурье–Гегенбауэра–Соболева (и их обобщений) изучались в статьях [44], [45].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Osi22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|