| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Логарифмический характер асимптотики решений нелинейного уравнения типа Соболева с кубической нелинейностью П. И. Наумкин Center for Mathematical Sciences, National Autonomous University of Mexico, Mexico City, Mexico
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9515e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеРассмотрим задачу Коши для нелинейного уравнения типа Соболева с кубической нелинейностью в одномерном по пространственной переменной случае
$$
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\partial_{t}(u-\partial_{x}^{2}u)+\partial_{x}^{2}u-a\,\partial_{x}^{4}u=u^{3},&t>0,\ \ x\in\mathbb{R}, \\ u(0,x) =u_{0}(x),&x\in\mathbb{R}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $a>1/5$, $a\neq1$. Мы исключили случай $a=1$, поскольку при этом уравнение (1) легко сводится к нелинейному уравнению Шрёдингера. Уравнения типа Соболева были впервые выведены в работе [1] при описании малых осцилляций во вращающейся жидкости. Также уравнения типа Соболева встречаются в теории плазмы и при моделировании квазистационарных процессов в непрерывных электромагнитных средах (см. книгу [2]). Обсуждение теории нелинейных уравнений типа Соболева можно найти в работах [3]–[6]. Кубические нелинейности в одномерном по пространственной переменной случае зачастую ведут себя критически при больших временах. Так, например, асимптотика решений нелинейного уравнения Шрёдингера
$$
\begin{equation*}
i\,\partial_{t}u+\frac{1}{2}\,\partial_{x}^{2}u=u^{3}
\end{equation*}
\notag
$$
была изучена в работах [7]–[9], где было показано, что решение приобретает дополнительное логарифмическое убывание по сравнению с линейным уравнением Шрёдингера. Насколько нам известно, асимптотика при больших временах решений задачи Коши для нелинейного уравнения типа Соболева (1) не была исследована до сих пор. В настоящей работе мы восполним этот пробел, развивая для этой цели технику факторизации, предложенную в работах [10]–[14]. Также мы применим известные оценки в норме $\mathbf{L}^{2}$ для псевдодифференциальных операторов, чтобы оценить производные операторов дефекта. Введем некоторые обозначения. Через $\mathbf{L}^{p}$ обозначим пространство Лебега с нормой
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\phi\|_{\mathbf{L}^{p}}= \biggl(\int_{\mathbb{R}}|\phi(x)|^{p}\,dx\biggr)^{1/p} \quad\text{при }\ 1\leqslant p<\infty, \\ \|\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in \mathbb{R}}|\phi(x)| \quad\text{при }\ p=\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем весовое пространство Соболева
$$
\begin{equation*}
\mathbf{H}^{m,s}= \bigl\{ \phi\in\mathbf{S}';\|\phi\|_{\mathbf{H}^{m,s}} =\|\langle x\rangle^{s}\langle i\,\partial_{x}\rangle^{m}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}<\infty\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $m,s\in\mathbb{R}$, где $\langle x\rangle =\sqrt{1+x^{2}}$, $\langle i\,\partial_{x}\rangle =\sqrt{1-\partial_{x}^{2}}$, $\mathbf{S}'$ – пространство распределений Шварца. Также будем обозначать $\mathbf{H}^{m}=\mathbf{H}^{m,0}$. Через $\mathbf{C}(\mathbf{I};\mathbf{B})$ будем обозначать пространство непрерывных функций, отображающих интервал $\mathbf{I}$ в некоторое банахово пространство $\mathbf{B}$. Аналогично, $\mathbf{C}^{1}(\mathbf{I};\mathbf{B})$ обозначает пространство непрерывно дифференцируемых функций из $\mathbf{I}$ в $\mathbf{B}$. Обозначим через $\mathcal{F}\phi$ или $\widehat{\phi}$ преобразование Фурье
$$
\begin{equation*}
\widehat{\phi}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}\phi(x)\,dx;
\end{equation*}
\notag
$$
тогда обратное преобразование Фурье $\mathcal{F}^{-1}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}^{-1}\phi=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{ix\xi}\phi (\xi)\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Различные положительные постоянные будем обозначать одной и той же буквой $C$. Мы будем изучать решения уравнения (1) из пространства $\mathbf{C}([ 0,\infty);\mathbf{H}^{5}) \cap\mathbf{C}^{1}((0,\infty) ;\mathbf{H}^{3}) $, так что уравнение (1) понимается в классическом смысле. Умножив уравнение (1) на оператор $(1-\partial_{x}^{2})^{-1}$, перепишем его в псевдодифференциальной форме
$$
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\partial_{t}u-\mathbf{\Lambda}u =\langle i\,\partial_{x}\rangle^{-2}u^{3},&t>0,\ \ x\in\mathbb{R}, \\ u(0,x) =u_{0}(x), &x\in\mathbb{R}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\langle i\,\partial_{x}\rangle^{-2}=(1-\partial_{x}^{2})^{-1}$, а линейный псевдодифференциальный оператор $\mathbf{\Lambda}=( 1-\partial_{x}^{2})^{-1}(-\partial_{x}^{2}+a\,\partial_{x}^{4}) $ характеризуется своим символом При условии $a>1/5$ имеем $\Lambda''(\xi) >0$ для всех $\xi\in\mathbb{R}$, что гарантирует невырожденность стационарной точки $\mu(x) $, определяемой как корень уравнения
$$
\begin{equation*}
\Lambda'(\xi) =\frac{2\xi(1+2a\xi^{2}+a\xi^{4})}{(1+\xi^{2})^{2}}=x
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in\mathbb{R}$. Затем с помощью невозмущенной эволюционной группы $\mathcal{U}(t) =\mathcal{F}^{-1}e^{-it\Lambda(\xi)}\mathcal{F}$ перепишем задачу Коши (2) в виде интегрального уравнения
$$
\begin{equation}
u(t) =\mathcal{U}(t) u_{0}{-}\int_{0}^{t}\mathcal{U}(t-\tau) \langle i\,\partial_{x}\rangle^{-2}u^{3}(\tau)\,d\tau.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Зададим оператор растяжения $\mathcal{D}_{t}\phi=t^{-1/2}\phi(x/t)$, масштабное преобразование $(\mathcal{B}\phi)(x) =\phi(\mu(x)) $ и множитель $M=e^{it\Theta(x)}$, $\Theta(x) =-\Lambda(x) +x\Lambda'(x) $. Обозначим также $\widetilde{x}=x\sqrt{t}$. Целью настоящей работы является доказательство следующего результата. Теорема 1.1. Существуют $\varepsilon_{0}>0$ и постоянная $C>0$ такие, что если начальное данное $u_{0}\in\mathbf{H}^{5}\cap\mathbf{H}^{0,1}$ удовлетворяет неравенствам Замечание 1.1. Асимптотическая формула (4) описывает дополнительное логарифмическое убывание по сравнению с соответствующим линейным случаем. Опишем кратко дальнейшее содержание работы. В § 2 мы сформулируем технику факторизации. Затем мы оценим операторы дефекта в равномерной метрике. После этого, применяя известные оценки псевдодифференциальных операторов в норме $\mathbf{L}^{2}$, мы установим оценки производных операторов дефекта. В § 3 приведем доказательство априорных оценок решения в норме $\|\mathcal{FU}(-t) u(t)\|_{\mathbf{X}_{T}}$, где
$$
\begin{equation*}
\|\phi\|_{\mathbf{X}_{T}} =\sup_{t\in[ 1,T]} \bigl(\|\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+W^{1/2}\|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma} \phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+t^{-\gamma}\| \langle \xi\rangle^{5}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}+K^{-1}\| \partial_{\xi}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}\bigr);
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $W(t)=1+\varepsilon^{2}\ln(1+t) $, $K(t) =t^{\gamma}+\varepsilon^{2}t^{1/4}W^{-3/2}(t) $, $\gamma>0$ мало. Наконец, мы докажем теорему 1.1 в § 4.
§ 2. Предварительные оценки2.1. Техника факторизацииРассмотрим представление невозмущенной эволюционной группы
$$
\begin{equation*}
\mathcal{U}( t) =\mathcal{F}^{-1}e^{-it\Lambda(\xi)}\mathcal{F}, \quad\text{где }\ \Lambda(\xi) =\frac{\xi^{2}+a\xi^{4}}{1+\xi^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При условии $a>1/5$ имеем
$$
\begin{equation*}
\Lambda''(\xi) =\frac{2(1+(6a-3)\xi^{2}+3a\xi^{4}+a\xi^{6})}{(1+\xi^{2})^{3}}>0 \quad\text{для всех }\ \xi\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому существует единственная невырожденная стационарная точка $\mu(x) $, определяемая как корень уравнения
$$
\begin{equation*}
\Lambda'(\xi) =\frac{2\xi(1+2a\xi^{2}+a\xi^{4})}{(1+\xi^{2})^{2}}=x \quad\text{для всех }\ x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем $\mathcal{U}(t) \mathcal{F}^{-1}\phi=\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\mathcal{Q}\phi$, где $\mathcal{D}_{t}\phi=t^{-1/2}\phi(x/t) $ – оператор растяжения, $(\mathcal{B}\phi) (x) =\phi(\mu(x)) $ – масштабное преобразование, $M=e^{it\Theta(\xi)}$ – множитель с фазой
$$
\begin{equation*}
\Theta(\xi) =-\Lambda(\xi) +\xi\Lambda'(\xi) =\frac{\xi^{2}(1+\xi^{2}(3a-1) +a\xi^{4})}{(1+\xi^{2})^{2}}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}(t) \phi=\frac{t^{1/2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS( \xi,\eta)}\phi(\xi) \,d\xi
\end{equation*}
\notag
$$
– оператор дефекта с фазовой функцией $S(\xi,\eta)=\Lambda(\xi) -\Lambda(\eta) -\Lambda'(\eta) (\xi-\eta) $. Также нам понадобится представление для обратной невозмущенной эволюционной группы $\mathcal{FU}(-t) =\mathcal{Q}^{\ast}\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t}^{-1}$, где $\mathcal{D}_{t}^{-1}\phi=t^{1/2}\phi(xt) $ – обратный оператор растяжения, $\mathcal{B}^{-1}\phi=\phi(\Lambda'(\eta)) $ – обратное масштабное преобразование и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}^{\ast}(t) \phi=\frac{t^{1/2}}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}}e^{itS(\xi,\eta)}\phi(\eta) \Lambda''(\eta)\,d\eta
\end{equation*}
\notag
$$
– сопряженный оператор дефекта. Заметим, что операторы дефекта можно записать также в виде $\mathcal{Q}(t) =\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t}^{-1}\mathcal{F}^{-1}e^{-it\Lambda( \xi)}$ и $\mathcal{Q}^{\ast}(t) =M\mathcal{BD}_{t}e^{it\Lambda(\xi)}\mathcal{F}$, откуда видно, что они действуют из $\mathbf{L}^{2}$ в $\mathbf{L}^{2}$, а также, что $\mathcal{Q}^{\ast}(t) $ является сопряженным к $\mathcal{Q}(t) $. Введем новую функцию $\widehat{\varphi}=\mathcal{FU}(-t) u(t) $. Поскольку $\mathcal{FU}(-t) \mathcal{L}=i\,\partial_{t}\mathcal{FU}(-t) $ с оператором $\mathcal{L}=i\,\partial_{t}-\mathbf{\Lambda}$, то, применяя оператор $\mathcal{FU}(-t) $ к уравнению (2), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, i\,\partial_{t}\widehat{\varphi} & =i\,\partial_{t}\mathcal{FU}(-t)u(t) =\mathcal{FU}(-t) \mathcal{L}u =\langle\xi\rangle^{-2}\mathcal{FU}(-t) (\mathcal{U}(t) \mathcal{F}^{-1}\widehat{\varphi})^{3} \\ & =\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast} \overline {M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t}^{-1} (\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\mathcal{Q}\widehat{\varphi})^{3} =t^{-1}\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}v^{3}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $v=\mathcal{Q}\widehat{\varphi}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
S(\xi,\eta) +k\Theta(\eta) =\Omega_{k+1}(\xi) +(1+k) S\biggl(\frac{\xi}{1+k},\eta\biggr) ,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Omega_{k+1}=\Lambda(\xi) -(k+1) \Lambda\biggl(\frac{\xi}{k+1}\biggr) \quad\text{при }\ k\neq-1.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению сопряженного оператора дефекта $\mathcal{Q}^{\ast}(t) $ найдем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{Q}^{\ast}(t) M^{k}\phi &=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{it(S(\xi,\eta) +k\Theta(\eta))}\phi(\eta) \Lambda''(\eta)\,d\eta \\ &=e^{it\Omega_{k+1}}\mathcal{D}_{k+1}\sqrt{\frac{(1+k) t}{2\pi}} \int_{\mathbb{R}}e^{i(1+k) tS(\xi,\eta)}\phi(\eta) \Lambda''(\eta)\,d\eta \\ & =e^{it\Omega_{k+1}}\mathcal{D}_{k+1}\mathcal{Q}^{\ast}((k+1) t) \phi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{D}_{k+1}\phi=(k+1)^{-1/2}\phi(x/(k+1)) $. Взяв $k=2$ в этом тождестве, получим основное уравнение метода факторизации
$$
\begin{equation}
i\,\partial_{t}\widehat{\varphi}=t^{-1}\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}v^{3}=t^{-1}\langle \xi\rangle ^{-2}e^{it\Omega}\mathcal{D}_{3}\mathcal{Q}^{\ast}(3t) v^{3},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где мы обозначили
$$
\begin{equation*}
\Omega=\Omega_{3}=\Lambda(\xi) -3\Lambda\biggl(\frac{\xi}{3}\biggr) =\frac{2\xi^{2}(9+(13a-3) \xi^{2}+a\xi^{4})}{27( 1+\xi^{2}) (1+\xi^{2}/9)}\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим операторы
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_{k}\phi=\frac{1}{t\Lambda''(\eta)} \overline{M}^{\,k}\,\partial_{\eta}M^{k}\phi,\qquad k=0,1,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\mathcal{A}_{1}=i\eta+\mathcal{A}_{0}$. Имеют место тождества $i\xi\mathcal{Q}^{\ast}=\mathcal{Q}^{\ast}\mathcal{A}_{1}$ и $\mathcal{Q}i\xi=\mathcal{A}_{1}\mathcal{Q}$. 2.2. Оценки оператора дефекта $\mathcal{Q}$ в равномерной метрикеОпределим ядро $A(t,\eta)$ как
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS(\xi,\eta)}\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Асимптотика ядра $A(t,\eta) $ при больших временах может быть вычислена с помощью метода стационарной фазы (см. [15]). Однако нам необходима оценка остатка равномерно по параметру $\eta\in\mathbb{R}$. Поэтому для удобства читателя мы приведем доказательство асимптотики. Отметим, что справедливо представление где
$$
\begin{equation*}
P_{1}^{2}(\xi,\eta) =\langle \xi\rangle^{-2}\langle \eta\rangle^{-4}P_{2}(\xi,\eta), \qquad P_{2}(\xi,\eta) =(1-a) (\langle \xi\rangle^{2}-(\eta+\xi)^{2}) +a\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $a\geqslant1$, то
$$
\begin{equation*}
P_{2}(\xi,\eta) =(a-1) (\eta+\xi)^{2} +\langle \xi\rangle^{2}(a\langle\eta\rangle^{4}-(a-1)) \geqslant C\langle\xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\xi,\eta\in\mathbb{R}$. В случае $1/5<a<1$, используя неравенство $\eta^{2}\langle \eta\rangle^{-4}\leqslant1/4$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_{2}(\xi,\eta) &\geqslant a\langle \eta\rangle^{4}\biggl(\xi-\frac{1-a}{a}\frac{\eta}{\langle \eta\rangle^{4}}\biggr)^{2}+a\biggl( \eta^{2}+\frac{3a-1}{2a}\biggr)^{2} +\frac{(1-a) (5a-1)}{2a} \\ &\geqslant C\langle\xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\xi,\eta\in\mathbb{R}$. Таким образом, $P_{2}(\xi,\eta) \geqslant C\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4}$, и мы можем записать
$$
\begin{equation*}
S(\xi,\eta) =z^{2},\quad\text{где}\quad z=( \xi-\eta) P_{1}(\xi,\eta), \quad P_{1}(\xi,\eta) \geqslant C>0,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\xi,\eta\in\mathbb{R}$. С другой стороны, поскольку $P_{2}(\xi,\eta) $ оценивается сверху как $C\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4}$ с некоторой константой $C>0$, то функция $P_{1}(\xi,\eta) $ ограничена сверху и снизу положительными константами равномерно по $\xi,\eta\in\mathbb{R}$. Теперь мы можем заменить переменную интегрирования $\xi$ на $z=( \xi-\eta) P_{1}$, так что
$$
\begin{equation*}
A(t,\eta) =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}f(\eta,z)\, dz,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
f(\eta,z) =\frac{1}{\partial z(\xi,\eta)/\partial\xi} =\frac{2z}{\partial S(\xi,\eta)/\partial\xi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $z=0$ отвечает $\xi=\eta$. Запишем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial S( \xi,\eta)}{\partial\xi}=2(\xi -\eta) \langle \xi\rangle^{-4}\langle \eta \rangle^{-4}P_{3}(\xi,\eta) ,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_{3}(\xi,\eta) &=-(1-a) \eta\xi(2+\xi^{2}+\eta^{2})+1+2a\eta^{2}+a\eta^{4}+2a\xi^{2}+a\xi^{4} \\ &\qquad+(5a-1) \eta^{2}\xi^{2}+2a\eta^{2}\xi^{2}(\xi^{2}+\eta^{2})+a\eta^{4}\xi^{4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $a>1$, то легко видеть, что $P_{3}(\xi,\eta) \geqslant C\langle \xi\rangle^{4}\langle \eta\rangle^{4}$ для всех $\xi,\eta\in\mathbb{R}$. Чтобы установить эту оценку в случае $1/5<a<1$, воспользуемся неравенствами
$$
\begin{equation*}
\xi\eta\leqslant\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\eta^{2}\xi^{2}, \qquad \xi^{2}\eta^{2}\leqslant \frac{1}{2}(\xi^{4}+\eta^{4}), \qquad \xi^{2}\eta^{2}\leqslant\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\eta^{4}\xi^{4};
\end{equation*}
\notag
$$
тогда для первого слагаемого в $P_{3}(\xi,\eta) $ находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (1-a) \eta\xi(2+\xi^{2}+\eta^{2}) &\leqslant \frac{5(1-a)}{4}+\frac{1-a}{4}( \xi^{4}+\eta^{4})+\frac{1-a}{4}\eta^{4}\xi^{4} \\ &\qquad+\frac{1-a}{2}(\xi^{2}+\eta^{2}) +\frac{1-a}{2}\eta^{2}\xi^{2}(\xi^{2}+\eta^{2}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
P_{3}(\xi,\eta) \geqslant\frac{5a-1}{4}\langle \xi\rangle^{4}\langle \eta\rangle^{4}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\xi,\eta\in\mathbb{R}$. В частности,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial S(\xi,\eta)/\partial\xi}{\xi -\eta} \geqslant C,
\end{equation*}
\notag
$$
а поскольку $z/(\xi-\eta) $ ограничено, то
$$
\begin{equation*}
0<f(\eta,z) =\frac{2z/( \xi-\eta)}{S_\xi(\xi,\eta)/(\xi-\eta)}\leqslant C.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично устанавливается ограниченность $1/f(\eta,z)$. Далее воспользуемся равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}\,dz=\frac{1}{\sqrt{2i}}, \qquad P_{1}(\eta,\eta) =\sqrt{\frac{1}{2}\Lambda''(\eta)}, \\ P_{3}(\eta,\eta) =\frac{1}{2}\langle \eta\rangle^{4}\Lambda''(\eta), \qquad f(\eta,0) =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\Lambda''(\eta)}}; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда получим
$$
\begin{equation*}
A(t,\eta) =\frac{1}{\sqrt{i\Lambda''( \eta)}}+\sqrt{\frac{t}{2\pi}}R,
\end{equation*}
\notag
$$
где остаток $R$ равен $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}(f(\eta,z) -f(\eta,0)) \,dz$. Интегрируя в $R$ по частям, с помощью тождества $e^{-itz^{2}}=(1-2itz^{2})^{-1}\partial_{z}(ze^{-itz^{2}})$ находим
$$
\begin{equation*}
R=-\int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}\frac{z\,\partial_{z} f(\eta,z)}{1-2itz^{2}}\,dz-\int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}\frac{4itz^{2}(f( \eta,z) -f(\eta,0))}{(1-2itz^{2})^{2}}\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\partial_{z}f(\eta,z) =\frac{1}{\partial z(\xi,\eta)/\partial\xi}\,\partial_{\xi}f(\eta,z) =\frac {1}{2}\,\partial_{\xi}f^{2}(\eta,z) =\frac{1}{2}\,\partial_{\xi}\frac{\langle \xi\rangle^{6}\langle \eta\rangle^{4}P_{2}(\xi,\eta)}{P_{3}^{2}(\xi,\eta)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, пользуясь оценками
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |P_{2}(\xi,\eta)|\leqslant C\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4}, \qquad |\partial_{\xi}P_{2}(\xi,\eta)|\leqslant C\langle \xi\rangle \langle \eta\rangle^{4}, \qquad P_{3}(\xi ,\eta) \geqslant C\langle\xi\rangle^{4}\langle \eta\rangle^{4}, \\ |\partial_{\xi}P_{3}(\xi ,\eta)|\leqslant C\langle \xi\rangle^{3}\langle \eta\rangle^{4}, \qquad |\partial_{\xi}\langle \xi\rangle^{6}|\leqslant C\langle \xi\rangle^{5}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\partial_{z}f(\eta,z)| &=2\biggl|\partial_{\xi}\frac{\langle \xi\rangle^{6}\langle \eta\rangle^{4}P_{2}(\xi,\eta)}{P_{3}^{2}(\xi,\eta)}\biggr| \\ &\leqslant C\biggl|\frac{\langle\xi\rangle^{6}\langle \eta\rangle^{4}}{P_{3}^{2}(\xi,\eta)}\biggr| \,|\partial_{\xi}P_{2}(\xi,\eta)| +C\biggl|\frac{\langle \xi\rangle^{6}\langle\eta\rangle^{4}P_{2}(\xi,\eta)}{P_{3}^{3}(\xi,\eta)}\biggr|\, |\partial_{\xi}P_{3}(\xi,\eta)| \\ &\qquad+C\biggl|\frac{\langle \eta\rangle^{4}P_{2}(\xi,\eta)}{P_{3}^{2}(\xi,\eta)}\biggr|\, |\partial_{\xi}\langle \xi\rangle^{6}| \\ &\leqslant C\langle \xi\rangle^{-1} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\xi,\eta\in\mathbb{R}$. Также имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |f(\eta,z) -f( \eta,0)|\leqslant C|z| \quad\text{при }\ |z|\leqslant1, \\ |f(\eta,z) -f(\eta,0)|\leqslant f( \eta,z) +f(\eta,0) \leqslant C \quad\text{при }\ |z|\geqslant1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |R| & \leqslant C\int_{0}^{1}\frac{z\,dz}{1+tz^{2}}+Ct^{-1}\int_{1}^{\infty}\langle \xi\rangle^{-1}z^{-1}\,dz+Ct^{-1}\int_{1}^{\infty}z^{-2}\,dz \\ & \leqslant C\int_{0}^{1}\frac{z\,dz}{1+tz^{2}}+Ct^{-1}\int_{1}^{\infty}\frac {dz}{z^{2}}+Ct^{-1}\int_{\mathbb{R}}\frac{d\xi}{\langle \xi\rangle^{2}}\leqslant Ct^{-1}\ln t. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, приходим к асимптотике
$$
\begin{equation*}
A(t,\eta) =\frac{1}{\sqrt{i\Lambda''(\eta)}}(1+O(t^{-1/2}\ln t))
\end{equation*}
\notag
$$
при $t\to\infty$ равномерно по $\eta\in\mathbb{R}$. Определим первообразную для всех $\xi\neq0$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\partial_{\xi}^{-1}f= \begin{cases} \displaystyle -\int_{\xi}^{\infty}f(\zeta)\, d\zeta&\text{при }\xi>0, \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\xi}f(\zeta)\, d\zeta&\text{при }\xi<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим ядро
$$
\begin{equation*}
G(t,\xi,\eta) =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\,\partial_{\xi}^{-1}(e^{-itS(\eta-\xi,\eta)}) .
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрирование по частям в интеграле $\mathcal{Q}\phi$ дает
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}\phi =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS( \eta-\xi,\eta)}\phi(\eta-\xi)\, d\xi =A(t,\eta) \phi(\eta) +\int_{\mathbb{R}}G( t,\xi,\eta) \phi_{\eta}(\eta-\xi)\, d\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $-G(t,+0,\eta) +G(t,-0,\eta) =A(t,\eta) $. В следующей лемме мы дадим оценку ядра $G(t,\xi,\eta) $. Введем автомодельную переменную $\widetilde{\xi}=\xi\sqrt{t}$. Доказательство. Чтобы оценить ядро $G(t,\xi,\eta) $, мы проинтегрируем по частям в силу тождества
$$
\begin{equation*}
e^{-itS(\eta-\xi,\eta)}\,{=}\,H(t,\xi,\eta) \,\partial_{\xi}(\xi e^{-itS(\eta-\xi,\eta)}), \ \ \text{где }H(t,\xi,\eta) \,{=}\,( 1\,{-}\,it\xi\,\partial_{\xi}S(\eta\,{-}\,\xi,\eta))^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим при $\xi>0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G(t,\xi,\eta) &=-\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\xi}^{\infty}e^{-itS(\eta-\zeta,\eta)}\,d\zeta \\ & =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\, e^{-itS(\eta-\xi,\eta)}\xi H(t,\xi,\eta) +\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\xi}^{\infty} e^{-itS(\eta-\zeta,\eta)}\zeta\,\partial_{\zeta}(H(t,\zeta,\eta)) \,d\zeta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $|\partial_{\zeta}S(\eta-\zeta,\eta)|\geqslant C|\zeta|$, то справедлива оценка Отсюда следует, что при $\xi>0$ Случай $\xi<0$ рассматривается аналогично.
Лемма доказана. В следующей лемме мы найдем асимптотику оператора дефекта $\mathcal{Q}$ при больших временах. Доказательство. Используя оценку леммы 2.1 и применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathcal{Q}\phi-A\phi| &=\biggl|\int_{\mathbb{R}}G(t,\xi,\eta) \phi_{\eta}( \eta-\xi)\, d\xi\biggr| \leqslant C\|\phi_{\xi}\|_{\mathbf{L}^{2}} \biggl(\int_{\mathbb{R}}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}\,d\xi\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant Ct^{-1/4}\| \phi_{\xi}\|_{\mathbf{L}^{2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. 2.3. Оценки сопряженного оператора дефекта в равномерной метрикеОпределим сопряженный оператор дефекта $\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi$ как
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{itS_{3}( \xi,\eta)}h(t,\xi,\eta) \phi(\eta) \Lambda''(\eta) \,d\eta
\end{equation*}
\notag
$$
с весом
$$
\begin{equation*}
h(t,\xi,\eta) =\biggl(-\frac{1}{2}+itS_{3}(\xi ,\eta)\biggr)^{-2}, \quad\text{где }\ S_{3}(\xi,\eta) =S(\xi,\eta) +2\Theta(\eta) .
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим ядро
$$
\begin{equation*}
A_{h}^{\ast}(t,\xi) =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{itS_{3}( \xi,\eta)}h(t,\xi,\eta) \Lambda''(\eta) \,d\eta.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав замену переменной интегрирования $\widetilde{\eta}=t^{1/2}\eta$, найдем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_{h}^{\ast}(t,0) & =\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{3i\widetilde{\eta}^{\,2}(1+O( t^{-1}\widetilde{\eta}^{\,2}))}\frac{\Lambda''(\widetilde{\eta}t^{-1/2})\, d\widetilde{\eta}}{(-1/2+3i\widetilde{\eta}^{\,2}( 1+O(t^{-1}\widetilde{\eta}^{\,2})))^{2}} \\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{3i\widetilde{\eta}^{\,2}} \frac{d\widetilde{\eta}}{(-1/2+3i\widetilde{\eta}^{\,2})^{2}}+O(t^{-1/2}) =\frac{\sqrt{8i}}{\sqrt{3}}+O(t^{-1/2}) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Также получим
$$
\begin{equation*}
A_{h}^{\ast}(t,\xi) =\frac{\sqrt{8i}}{\sqrt{3}}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}+O(t^{-1/2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}+|\widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим ядро
$$
\begin{equation*}
G_{h}^{\ast}(t,\xi,\eta) =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\,\partial_{\eta}^{-1} (e^{itS(\xi,\xi-\eta)}h(t,\xi,\xi-\eta) \Lambda''(\xi-\eta))
\end{equation*}
\notag
$$
и проинтегрируем по частям в интеграле $\mathcal{V}_{h}^{\ast}$; получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi &=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{itS_{3}( \xi,\xi-\eta)}h(t,\xi,\xi-\eta) \phi(\xi-\eta) \Lambda''(\xi-\eta) \,d\eta \\ & =A_{h}^{\ast}(t,\xi) \phi(\xi) +\int_{\mathbb{R}}G_{h}^{\ast}( t,\xi,\eta) \phi_{\xi}(\xi -\eta)\,d\eta, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $-G_{h}^{\ast}(t,\xi,+0) +G_{h}^{\ast}(t,\xi,-0) =A_{h}^{\ast}( t,\xi) $. В следующей лемме мы оценим оператор $\mathcal{V}_{h}^{\ast}$ в равномерной метрике. Доказательство. Поскольку $h(t,\xi,\xi-\eta) \leqslant C\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1}\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-3}$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
|G_{h}^{\ast}(t,\xi,\eta)|\leqslant Ct^{1/2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1}\int_{\eta}^{\infty}\langle \widetilde{y}\rangle^{-3}\,dy \leqslant C\langle\widetilde{\xi}\rangle^{-1}\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда с помощью неравенства Коши–Буняковского, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi-A_{h}^{\ast}\phi| &=\biggl|\int_{\mathbb{R}}G_{h}^{\ast}(t,\xi,\eta) \phi_{\xi }(\xi-\eta)\,d\eta\biggr| \\ & \leqslant C\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-2}\,\partial_{\eta}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}} \biggl(\int_{\mathbb{R}}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}\langle \widetilde{\eta }\rangle^{-4}\langle \widetilde{\xi}-\widetilde{\eta}\rangle^{2}\,d\eta\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant Ct^{-1/4}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-2}\,\partial_{\eta}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. 2.4. Ограниченность псевдодифференциальных операторовИмеется много результатов об $\mathbf{L}^{2}$-ограниченности псевдодифференциальных операторов
$$
\begin{equation*}
\mathbf{a}(t,x,\mathbf{D}) \phi=\int_{\mathbb{R}}e^{ix\xi}\mathbf{a}(t,x,\xi) \widehat{\phi}(\xi)\, d\xi
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [16]–[19]). Ниже мы будем использовать следующий результат (см. [18]). Лемма 2.4. Пусть символ $\mathbf{a}(t,x,\xi) $ удовлетворяет оценкам при $k,l=0,1$. Тогда Аналогичный результат справедлив для сопряженного оператора
$$
\begin{equation*}
\mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,\mathbf{D}) \phi=\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}\mathbf{a}^{\ast}(t,x,\xi) \overline{\widehat{\phi}(x)}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2.5. Пусть символ $\mathbf{a}^{\ast}(t,x,\xi) $ удовлетворяет оценкам при $k,l=0,1$. Тогда 2.5. Оценки производных оператора дефектаОпределим оператор дефекта с весом $h(t,\xi,\eta) $ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}\phi=t^{1/2}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS(\xi ,\eta)}h(t,\xi,\eta) \phi(\xi)\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
В следующей лемме мы докажем $\mathbf{L}^{2}$-ограниченность оператора $\mathcal{V}_{h}$ равномерно по $t\geqslant1$. Лемма 2.6. Пусть ядро $h$ удовлетворяет оценкам для всех $\xi,\eta\in\mathbb{R}$, $t\geqslant1$, где $m,n=0,1$. Тогда выполнена оценка Доказательство. Сделаем замену переменной $\eta=\mu(x) $; тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}\phi=t^{1/2}\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\int_{\mathbb{R}}e^{itx\xi}h(t,\xi,\mu(x)) e^{-it\Lambda(\xi)}\phi(\xi) \,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
После этого сделаем замену переменной интегрирования $\xi=t^{-1/2}\xi'$ (штрих затем опустим):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{V}_{h}\phi &=\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1} \int_{\mathbb{R}}e^{ix\xi}h\biggl(t,\frac{\xi}{\sqrt{t}},\mu\biggl( \frac{x}{\sqrt{t}}\biggr)\biggr) \mathcal{D}_{t^{1/2}}e^{-it\Lambda(\xi)}\phi(\xi) \,d\xi \\ & =\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\mathbf{a}( t,x,\mathbf{D}) \mathcal{F}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}e^{-it\Lambda}\phi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где символ $\mathbf{a}(t,x,\xi)$ равен $h(t,{\xi}/{\sqrt{t}},\mu({x}/{\sqrt{t}}))$. Поскольку $\mu(x) =O(x) $, $\mu'(x) ={1}/{\Lambda''(\mu(x))}=O(1) $, получаем
$$
\begin{equation*}
|\partial_{x}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}\mathbf{a}(t,x,\xi) |=O\biggl(\frac{t^{-m/2}}{(\Lambda ''(\eta))^{m}}\,\partial_{\eta}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}h(t,\xi t^{-1/2},\eta)\bigg|_{\eta=\mu(xt^{-1/2})}\biggr) \leqslant C
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x,\xi\in\mathbb{R}$, $t\geqslant1$, $m,n=0,1$. Применение леммы 2.4 дает
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf{a}(t,x,\mathbf{D}) \phi\|_{\mathbf{L}_x^2}\leqslant C\|\phi\|_{\mathbf L^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, используя равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \| \sqrt{\Lambda''}\mathcal{B}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \qquad \| \mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\| \phi\|_{\mathbf L^2}, \\ \| \mathcal{F}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \qquad \|\mathcal{D}_{t^{1/2}}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
\|\sqrt{\Lambda''}\mathcal{V}_{h}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\| \sqrt{\Lambda''}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\mathbf{a}( t,x,\mathbf{D}) \mathcal{F}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}e^{-it\Lambda}\phi\| _{\mathbf L^2}\leqslant C\|\phi\|_{\mathbf L^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Теперь мы оценим производную $\partial_{\eta}\mathcal{Q}$. Доказательство. Интегрирование по частям дает
$$
\begin{equation*}
\partial_{\eta}\mathcal{Q}\phi=C\mathcal{V}_{q_{1}}\, \partial_{\xi}\phi+C\mathcal{V}_{q_{2}}\phi,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, q_{1}(\xi,\eta) =\frac{\partial_{\eta}S(\xi,\eta)}{\partial_{\xi}S( \xi,\eta)}=\frac{\Lambda''( \eta)}{\int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta) z)\,dz}=O(1), \\ q_{2}(\xi,\eta) =\partial_{\xi}\biggl(\frac{\partial_{\eta }S(\xi,\eta)}{\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}\biggr) =\partial_{\xi}\biggl(\frac{\Lambda''(\eta)}{\int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta)z) \,dz}\biggr) =O(1), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следуют оценки $\sup_{\eta,\xi\in\mathbb{R}}| \partial_{\eta}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}q_{j}(\eta,\xi)|\leqslant C$ при $k,l=0,1$, $j=1,2$. Поэтому, применяя лемму 2.6, получаем
Лемма доказана. В следующей лемме мы оценим производную $\mathcal{Q}_{t}$. Лемма 2.8. Справедливо тождество где весовые функции $h_{j}$ определены ниже. Более того, имеют место оценки Доказательство. Интегрирование по частям дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, t\mathcal{Q}_{t}\phi & =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS( \xi,\eta)}\biggl(\frac{1}{2}-itS(\xi,\eta)\biggr) \phi(\xi) \,d\xi \\ & =\frac{1}{2}\mathcal{Q}\phi-\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS( \xi,\eta)}\,\partial_{\xi} \biggl(\frac{S(\xi,\eta)}{\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}\phi(\xi)\biggr) \,d\xi \\ & =-\mathcal{V}_{h_{1}}\xi\,\partial_{\xi}\phi +\eta\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi+\mathcal{V}_{q_{3}}\phi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $h_{1}(\xi,\eta) =\dfrac{S(\xi,\eta)}{\sqrt{2\pi}(\xi-\eta) \,\partial_{\xi}S( \xi,\eta)}$, и где
Отметим, что $q_{3}(\eta,\eta) =0$. Поэтому, проинтегрировав еще раз по частям, получим
$$
\begin{equation*}
V_{q_{3}}\phi=\frac{1}{t}V_{q_{4}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}V_{q_{5}}\phi,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
q_{4}(\xi,\eta) =\frac{q_{3}(\xi,\eta)}{i\,\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}, \qquad q_{5}(\xi,\eta) =\partial_{\xi}\frac{q_{3}(\xi,\eta) }{i\,\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $f_{3}(\xi,\eta)=f_{1}(\xi,\eta) -\frac{1}{2}f_{2}^{2}(\xi,\eta) $. Так как $f_{3}( \eta,\eta) =0, $ то можем записать
$$
\begin{equation*}
f_{3}(\xi,\eta) =(\xi-\eta) ( f_{4}(\xi,\eta) +f_{5}(\xi,\eta) +f_{6}(\xi,\eta)),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{4}(\xi,\eta) & =\int_{0}^{1}\Lambda'''(\eta+(\xi-\eta) z_{1}) \int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta) z_{1}z) (1-z) \,dz\,dz_{1}, \\ f_{5}(\xi,\eta) & =\int_{0}^{1}\Lambda''( \eta+(\xi-\eta) z_{1}) \int_{0}^{1}\Lambda'''(\eta+(\xi-\eta) z_{1}z) z( 1-z) \,dz\,dz_{1}, \\ f_{6}(\xi,\eta) & =-\int_{0}^{1}\biggl(\int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta) z_{1}z)\,dz\biggr) \biggl(\int_{0}^{1}\Lambda'''(\eta+(\xi-\eta)z_{1}z)z\,dz\biggr)\,dz_{1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_{4}(\xi,\eta) &=\frac{f_{4}(\xi,\eta) +f_{5}(\xi,\eta) +f_{6}(\xi,\eta)}{i\sqrt{2\pi}f_{2}^{3}( \xi,\eta)}, \\ q_{5}(\xi,\eta) &=\partial_{\xi}\frac{f_{4}(\xi,\eta) +f_{5}(\xi,\eta) +f_{6}(\xi,\eta)}{i\sqrt{2\pi}f_{2}^{3}( \xi,\eta)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Также ввиду того, что $S(\xi,\eta) =(\xi-\eta)^{2}f_{1}(\xi ,\eta) $, находим
$$
\begin{equation*}
h_{1}(\xi,\eta) =\frac{f_{1}(\xi,\eta)}{\sqrt{2\pi}f_{2}( \xi,\eta)}=O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, используя оператор $\mathcal{A}_{1}=\dfrac{1}{t\Lambda''(\eta)}\overline{M}\,\partial_{\eta}M$, можем записать
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h_{1}}\xi\,\partial_{\xi}\phi=-i\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi+t^{-1}\mathcal{V}_{q_{6}}\,\partial_{\xi}\phi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $q_{6}(\xi,\eta) =it\mathcal{A}_{0}h_{1}(\xi,\eta) $. Таким образом, приходим к представлению
$$
\begin{equation*}
t\mathcal{Q}_{t}\phi=i\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}} \,\partial_{\xi}\phi+\eta\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +t^{-1}\mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}\mathcal{V}_{h_{3}}\phi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $h_{2}\,{=}\,q_{4}\,{-}\,q_{6}$, $h_{3}\,{=}\,q_{5}$. Так как справедливы оценки $\sup_{\eta,\xi\in\mathbb{R}}| \partial_{\eta}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}h_{j}(\eta,\xi)|\,{\leqslant}\, C$ при $k,l=0,1$, $j=1,2,3$, то, применяя лемму 2.6, находим
$$
\begin{equation*}
\| \mathcal{V}_{h_{j}}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\| \sqrt{\Lambda''}\mathcal{V}_{h_{j}}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\|\phi\|_{\mathbf L^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2.8 доказана. 2.6. Оценки производных сопряженного оператора дефекта $\mathcal{Q}^{\ast}$Установим $\mathbf{L}^{2}$-ограниченность сопряженного оператора дефекта с весом
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi=t^{1/2}\int_{\mathbb{R}}e^{itS( \xi,\eta)}h(t,\xi,\eta) \phi(\eta)\Lambda''(\eta)\, d\eta.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2.9. Предположим, что весовая функция $h$ удовлетворяет оценкам для всех $\xi,\eta\in\mathbb{R}$, $t\geqslant1$ при $m,n=0,1$. Тогда имеет место оценка Доказательство. Сделаем замену переменной интегрирования $\eta=\mu(x) $; тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi=e^{it\Lambda(\xi)}t^{1/2}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx\xi}h(t,\xi,\mu(x)) \mathcal{B}M\phi\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
После этого сделаем замену переменной интегрирования $x=t^{-1/2}x'$ (штрих мы затем опустим); тогда найдем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi=e^{it\Lambda(\xi)}\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}h(t,\xi t^{-1/2},\mu(xt^{-1/2})) \mathcal{D}_{t^{-1/2}}\mathcal{B}M\phi \, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим псевдодифференциальный оператор как с символом $\mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,x)=h(t,\xi t^{-1/2},\mu(xt^{-1/2}))$. Тогда можем записать
Чтобы установить $\mathbf{L}^{2}$-ограниченность псевдодифференциального оператора $\mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,\mathbf{D})$, оценим символ $\mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,x) =h(t,\xi t^{-1/2},\eta)|_{\eta=\mu(xt^{-1/2})}$. Поскольку $\mu'(x) ={1}/{\Lambda''(\mu(x))}=O(1) $, имеем
$$
\begin{equation*}
|\partial_{x}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}\mathbf{a}^{\ast}( t,\xi,x)|=O\biggl(\frac{t^{-m/2}}{( \Lambda''(\eta))^{m}}\,\partial_{\eta}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}h(t,\xi t^{-1/2},\eta)\bigg|_{\eta=\mu(xt^{-1/2})}\biggr) \leqslant C
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x,\xi\in\mathbb{R}$, $t\geqslant1$, $m,n=0,1$. Поэтому в силу леммы 2.5 получаем $\|\mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,\mathbf{D}) \phi\|_{\mathbf{L}_{\xi}^2}\leqslant C\|\phi\|_{\mathbf L^2}$, откуда, используя равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \qquad \| \mathcal{F}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \\ \|\mathcal{D}_{t^{1/2}}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \qquad \| \mathcal{B}\phi\|_{\mathbf L^2}=\| \sqrt{\Lambda''}\phi\|_{\mathbf L^2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}=\|\mathbf{a}^{\ast}( t,\xi,\mathbf{D}) \mathcal{F}^{-1}\overline{\mathcal{D}_{t^{1/2}}\mathcal{B}M\phi}\|_{\mathbf{L}_{\xi}^{2}}\leqslant C\|\sqrt{\Lambda''}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Доказательство. Интегрирование по частям дает
$$
\begin{equation*}
\partial_{\xi}\mathcal{Q}^{\ast}\phi=C\mathcal{V}_{q_{7}}^{\ast}\,\partial_{\eta}\phi +C\mathcal{V}_{q_{8}}^{\ast}\phi,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_{7}(\xi,\eta) &=\frac{\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}{\partial_{\eta}S( \xi,\eta)}=\frac{1}{\Lambda''(\eta)}\int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+( \xi-\eta) z)\, dz=O(1), \\ q_{8}(\xi,\eta) & =\frac{1}{\Lambda''( \eta)}\,\partial_{\eta}\biggl(\frac{\partial_{\xi}S(\xi ,\eta)}{\partial_{\eta}S(\xi,\eta)}\Lambda ''(\eta)\biggr) \\ & =\frac{1}{\Lambda''(\eta)}\, \partial_{\eta} \int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta)z)\, dz=O(1) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду оценок $\sup_{\eta,\xi\in\mathbb{R}}| \partial_{\eta}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}q_{j}(\xi,\eta)|\leqslant C$ при $k,l=0,1$, $j=7,8$, применяя лемму 2.9, получаем
Лемма доказана. В следующей лемме мы оценим коммутатор $[ \langle \xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}] $. Доказательство. Интегрируя по частям, получаем
$$
\begin{equation*}
t[ \langle \xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}] \phi=CV_{q_{9}}^{\ast}\,\partial_{\eta}\phi+CV_{q_{10}}^{\ast}\phi,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_{9}(\xi,\eta) &=\frac{\langle \xi\rangle^{-2} -\langle \eta\rangle^{-2}}{\partial_{\eta}S(\xi,\eta)} =\frac{\xi+\eta}{\langle \xi\rangle ^{2}\langle \eta\rangle^{2}\Lambda''( \eta)}=O(1), \\ q_{10}(\xi,\eta) & =\frac{1}{\Lambda''( \eta)}\,\partial_{\eta}\biggl(\frac{\langle \xi\rangle ^{-2}-\langle \eta\rangle^{-2}}{\partial_{\eta}S(\xi ,\eta)}\Lambda''(\eta)\biggr) =\frac{1}{\Lambda''(\eta)}\,\partial_{\eta} \biggl(\frac{\xi+\eta}{\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{2}}\biggr) =O(1) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду оценок $\sup_{\eta,\xi\in\mathbb{R}}| \partial_{\eta}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}q_{j}(\xi,\eta)|\leqslant C$ при $k,l=0,1$, $j=9,10$, применяя лемму 2.9, находим
Лемма доказана. § 3. Априорные оценки решенияСначала мы сформулируем результат о локальном по времени существовании решения задачи Коши (2) в функциональном пространстве $\mathbf{C}([ 0,\infty); \mathbf{H}^{5}\cap\mathbf{H}^{0,1}) \cap\mathbf{C}^{1}((0,\infty);\mathbf{H}^{3}) $ (доказательство см. в [20]). Теорема 3.1. Пусть имеем начальное данное $u_{0}\in\mathbf{H}^{5}\cap\mathbf{H}^{0,1}$. Тогда для некоторого времени $T>0$ существует единственное решение Чтобы установить глобальное по времени существование решений, нам нужно доказать априорные оценки решений в норме $\|\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{X}_{T}}$ равномерно по $T\geqslant1$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\phi\|_{\mathbf{X}_{T}} &=\sup_{t\in[ 1,T] }(\|\phi(t)\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+W^{1/2}(t)\|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}\phi(t)\|_{\mathbf{L}^{\infty}} \\ &\qquad +t^{-\gamma}\|\langle \xi\rangle ^{5}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}+K^{-1}(t)\| \partial_{\xi}\phi(t)\|_{\mathbf{L}^{2}}) , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$W(t) =1+\varepsilon^{2}\ln(1+t) $, $K(t) =t^{\gamma}+\varepsilon^{2}t^{1/4}W^{-3/2}(t) $, $\widetilde{\xi}=\xi\sqrt{t}$, $\gamma>0$ мало. 3.1. Оценка производнойВ следующей лемме мы оценим функцию
$$
\begin{equation*}
\Phi=\partial_{\xi}\widehat{\varphi}-\langle \xi\rangle ^{-2}\Omega'(\xi) \int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}(\tau) v^{3}(\tau) \,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.1. Предположим, что $\|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{X}_{T}}\leqslant C\varepsilon$. Тогда имеет место оценка Доказательство. Дифференцируя уравнение (5), получаем
$$
\begin{equation*}
i\,\partial_{t}\widehat{\varphi}_{\xi}=i\langle \xi\rangle ^{-2}\Omega'(\xi) e^{it\Omega(\xi)}\mathcal{D}_{3}\mathcal{Q}^{\ast}(3t) v^{3}+R=i\langle \xi\rangle^{-2}\Omega'(\xi) \mathcal{Q}^{\ast }(t) M^{2}(t) v^{3}(t) +R,
\end{equation*}
\notag
$$
где $R=t^{-1}e^{it\Omega}\,\partial_{\xi}(\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{D}_{3}\mathcal{Q}^{\ast}(3t) v^{3}) $, откуда находим $i\,\partial_{t}\Phi=R$. Чтобы оценить остаток $R$, применим лемму 2.10; тогда $\|R\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant Ct^{-1}\|v^{3}\|_{\mathbf{H}^{1}}$. Также в силу леммы 2.7 находим
$$
\begin{equation*}
\|\partial_{\eta}v\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{H}^{1}}\leqslant C\varepsilon K(t) .
\end{equation*}
\notag
$$
Применение леммы 2.2 дает неравенство
$$
\begin{equation*}
|v|\leqslant C|\widehat{\varphi}|+Ct^{-1/4}\| \partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\|R\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant Ct^{-1}\|v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{2}\|v\|_{\mathbf{H}^{1}}\leqslant C\varepsilon^{3}t^{-1}K(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, Интегрирование по времени приводит к неравенству
Лемма доказана. Теперь мы оценим производную $\partial_{\xi}\widehat{\varphi}$. Доказательство. Ввиду леммы 3.1 нам нужно оценить интеграл
$$
\begin{equation*}
I=\langle \xi\rangle^{-2}\Omega'(\xi) \int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}(\tau)v^{3}(\tau) \,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя тождество $t^{1/2}e^{itS_{3}(\xi,\eta)}=H_{1}\,\partial_{t}(t^{3/2} e^{itS_{3}(\xi,\eta)}) $, где $H_{1}( t,\xi,\eta) =(3/2+itS_{3}(\xi,\eta))^{-1}$, $S_{3}(\xi,\eta) =S(\xi,\eta) +2\Theta(\eta) $, и интегрируя по частям, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}\phi \,d\tau=t\mathcal{Q}^{\ast}( t) M^{2}(t) H_{1}(t) \phi(t) -\mathcal{Q}^{\ast}(1) M^{2}(1) H_{1}(1) \phi(1) \\ &\qquad\qquad -\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}(\tau) H_{2}(\tau) \phi(\tau) \,d\tau-\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}(\tau) H_{1}(\tau) \tau\,\partial_{\tau}\phi(\tau) \,d\tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $H_{2}=\frac{3}{2}H_{1}^{2}-H_{1}$. Отметим, что $S(\xi,\eta) +2\Theta(\eta) =\Omega(\xi) +3S({\xi}/{3},\eta) $, откуда вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
S_{3}(\xi,\eta) =\frac{3}{4}\Omega(\xi) +\frac {1}{2}\Theta(\eta) +\frac{3}{4}\biggl(S(\xi,\eta)+S\biggl(\frac{\xi}{3},\eta\biggr)\biggr) \geqslant\frac{1}{8}( \xi^{2}+\eta^{2}),
\end{equation*}
\notag
$$
так как
$$
\begin{equation*}
S(\xi,\eta) =\frac{1}{2}\int_{\eta}^{\xi}\Lambda''(z) (\xi-z)\, dz\geqslant C(\xi-\eta)^{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
|H_{1}(t,\xi,\eta)|\leqslant\frac {C}{1+t(\xi^{2}+\eta^{2})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\tau\,\partial_{\tau}v(\tau) =\mathcal{Q}\tau\widehat{\varphi}_{\tau} +\tau\mathcal{Q}_{\tau}\widehat{\varphi}$, имеем представление
$$
\begin{equation*}
I=\langle \xi\rangle^{-2}\frac{\Omega'(\xi)}{\xi}\sum_{j=1}^{4}I_{j},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{1} & =t\xi\mathcal{Q}^{\ast}(t) M^{2}(t) H_{1}(t) v^{3}(t) -\xi\mathcal{Q}^{\ast}( 1) M^{2}(1) H_{1}(1) v^{3}(1) , \\ I_{2} & =-\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}( \tau) H_{2}(\tau) v^{3}(\tau)\, d\tau, \\ I_{3} & =-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}( \tau) H_{1}(\tau) v^{2}\mathcal{Q}\tau\widehat{\varphi}_{\tau}\,d\tau, \\ I_{4} & =-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}( \tau) H_{1}(\tau) v^{2}\tau\mathcal{Q}_{\tau}\widehat{\varphi}\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 2.2 имеем
$$
\begin{equation*}
\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}|v|\leqslant C\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}| \widehat{\varphi}|+Ct^{-1/4}\|\partial_{\xi}\widehat{\varphi} \|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon W^{-1/2}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1/2-2\gamma }v\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon W^{-1/2}( t)\|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1/2-\gamma}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon t^{-1/4}W^{-1/2}(t) .
\end{equation*}
\notag
$$
После этого, применяя лемму 2.9 с $h(t,\xi,\eta) =\widetilde{\xi}\langle \widetilde{\eta}\rangle H_{1}$, находим оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|t\xi\mathcal{Q}^{\ast}(t) M^{2}H_{1}v^{3}( t)\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant Ct^{1/2}\| \langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1}v^{3}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{3}t^{1/4}W^{-3/2}(t) \leqslant C\varepsilon K(t), \\ \|\xi\mathcal{Q}^{\ast}(1) M^{2}(1) H_{1}(1) v^{3}(1)\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\|\langle \xi\rangle^{-1}v^{3}(1) \|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{3}\leqslant C\varepsilon K(t), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\|I_{1}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon K(t) $. Аналогично получаем
$$
\begin{equation*}
\|I_{2}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant\biggl\|\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{2}v^{3}(\tau)\,d\tau\biggr\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-3/4}W^{-3/2}(\tau)\,d\tau\leqslant C\varepsilon K(t) .
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из уравнения (5) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}t\widehat{\varphi}_{t}=-i\mathcal{Q}\langle \xi \rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}v^{3}=-i\mathcal{Q}\langle \xi\rangle^{-2}e^{i\tau\Omega}\mathcal{D}_{3}\mathcal{Q}^{\ast}(3\tau) v^{3},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{Q}\tau\widehat{\varphi}_{\tau } =-i\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{Q}e^{i\tau\Omega}\mathcal{D}_{3}\langle 3\xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}( 3\tau) v^{3} \\ &\qquad =-i\mathcal{Q}^{\ast}M^{4}H_{1}\langle 3\eta\rangle^{-2}v^{5}-i\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{Q}e^{i\tau\Omega}\mathcal{D}_{3}[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}( 3\tau) ] v^{3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеем $I_{3}=I_{5}+I_{6}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{5} & =3i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{4}H_{1}\langle 3\eta\rangle^{-2}v^{5}\,d\tau, \\ I_{6} & =3i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{Q} e^{i\tau\Omega}\mathcal{D}_{3}[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3\tau) ] v^{3}\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как и выше, в силу леммы 2.9 с $h=\widetilde{\xi}\langle \widetilde{\eta}\rangle H_{1}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\|I_{5}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\int_{1}^{t}\tau^{-1/2}\| \langle \widetilde{\eta}\rangle^{-1}v^{5}( \tau)\|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}\int _{1}^{t}\tau^{-3/4}W^{-5/2}(\tau)\,d\tau\leqslant C\varepsilon K(t) .
\end{equation*}
\notag
$$
Также, используя лемму 2.11, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{6}\|_{\mathbf{L}^{2}}&\leqslant C\varepsilon^{2}\int_{1}^{t}\tau^{-1/2}\|[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3\tau) ] v^{3}\|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau \\ &\leqslant C\varepsilon^{2}\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}\|v^{3}\|_{\mathbf{H}^{1}}\,d\tau\leqslant C\varepsilon^{4}\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}K(\tau)\, d\tau\leqslant C\varepsilon K(t) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, оценим слагаемое $I_{4}$. Из леммы 2.8 имеем
$$
\begin{equation*}
t\mathcal{Q}_{t}\phi=i\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +\eta\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}\mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}\mathcal{V}_{h_{3}}\phi.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому справедливо представление $I_{4}=\sum_{j=7}^{10}I_{j}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{7} =-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi} \,\frac{d\tau}{\tau}, \qquad I_{8}=-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{2}} \,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,\frac{d\tau}{\tau}, \\ I_{9} =-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}\eta v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \\ I_{10}=-3i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}} \,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, используя равенства $\mathcal{Q}^{\ast}(t) \mathcal{A}_{1}(t) =i\xi\mathcal{Q}^{\ast}(t) $ и $v_{1}=\mathcal{A}_{1}v=\mathcal{Q}i\xi\widehat{\varphi}=i\eta v+\mathcal{A}_{0}v$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{A}_{1}\phi =\mathcal{Q}^{\ast}\frac{1}{t\Lambda''(\eta)}\overline{M}H_{1}( Mv)^{2}\,\partial_{\eta}M\phi \\ &\quad =\mathcal{Q}^{\ast}\mathcal{A}_{1}(M^{2}H_{1}v^{2}\phi) -2\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}vv_{1}\phi-\mathcal{Q}^{\ast}(t) M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{1}) v^{2}\phi \\ &\quad =i\xi\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\phi-2i\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}\eta v^{2}\phi-2\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}(\mathcal{A}_{0}v) v\phi-\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{1}) v^{2}\phi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, справедливо представление $I_{10}=\sum_{j=11}^{14}I_{j}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{11} =3\xi^{2}\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}} \,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \qquad I_{12}=-6\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}\eta v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \\ I_{13} =3i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{1}) v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \\ I_{14}=6i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}( \mathcal{A}_{0}v) v\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 2.8 и леммы 2.9 с $h=\widetilde{\xi}\langle \widetilde{\eta}\rangle H_{1}$ выводим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{7}\|_{\mathbf{L}^{2}} &\leqslant C\biggl\|\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi}\,\frac{d\tau}{\tau}\biggr\|_{\mathbf{L}^{2}} \\ &\leqslant C\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau \leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{\gamma-3/2}\,d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}K(t) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{8}\|_{\mathbf{L}^{2}}+\|I_{9}\| _{\mathbf{L}^{2}} &\leqslant C\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}\| \langle \widetilde{\eta}\rangle^{-1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{2}}\, \partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau +C\int_{1}^{t}\tau^{-1}\| v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi} \|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau \\ & \leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}K(\tau)\, d\tau+C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-1}K(\tau)\, d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}K(t) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Также, применяя лемму 2.8 и лемму 2.9, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{11}\|_{\mathbf{L}^{2}}+\|I_{12}\| _{\mathbf{L}^{2}}+\|I_{13}\|_{\mathbf{L}^{2}} &\leqslant C\int _{1}^{t}\tau^{-1}\| v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau \\ &\leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-1}K(\tau)\,d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}K(t) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в силу неравенства $\|\mathcal{Q}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\|\phi\|_{\mathbf{L}^{1}}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{14}\|_{\mathbf{L}^{2}} &\leqslant C\int_{1}^{t}\| \langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1}\|_{\mathbf{L}^{2}}\| \mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}\widetilde{\xi}\langle \widetilde{\xi}\rangle H_{1}(\mathcal{A}_{0}v) v\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{\infty}}\,d\tau \\ & \leqslant C\varepsilon\int_{1}^{t}\tau^{-5/4}\|(\tau\mathcal{A}_{0}v) \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat {\varphi}\|_{\mathbf{L}^{1}}\,d\tau \\ &\leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-5/4}K^{2}(\tau) \,d\tau \leqslant C\varepsilon^{3} \int_{1}^{t}\tau^{-1}K(\tau)\, d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}K(t), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует результат леммы для всех $t\in[ 1,T] $.
Лемма 3.2 доказана. 3.2. Оценки в равномерной метрикеОбозначим
$$
\begin{equation*}
y=\widehat{\varphi}+i\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{3},
\end{equation*}
\notag
$$
где $H_{3}(t,\xi,\eta) =(-1/2+itS_{3}(\xi ,\eta))^{-1}$, $S_{3}(\xi,\eta) =S(\xi,\eta) +2\Theta(\eta)$. Лемма 3.3. Предположим, что $\|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{X}_{T}}\leqslant C\varepsilon$. Тогда $y=\widehat{\varphi}+O(\varepsilon^{3}W^{-3/2}) $. Более того, функция $y(t,\xi) $ удовлетворяет уравнению для всех $t\geqslant1$, $x\in\mathbb{R}$, где Доказательство. Применяя тождество $e^{itS_{3}(\xi,\eta)}\,{=}\,H_{3}t^{3/2}\,\partial_{t}(t^{-1/2} e^{itS_{3}(\xi,\eta)})$ и интегрируя по частям, получаем
$$
\begin{equation*}
t^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}v^{3}=\partial_{t}( \mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{3}) -t^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{4}v^{3} -3\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\,\partial_{t}v,
\end{equation*}
\notag
$$
где $H_{4}=-\frac{1}{2}H_{3}^{2}$. Поэтому из уравнения (5) следует
$$
\begin{equation}
i\,\partial_{t}y=-iR_{0}-3\langle \xi\rangle^{-2}R_{1},
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $R_{0}=-it^{-1}\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{4}v^{3}$ и $R_{1}=\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\,\partial_{t}v$. Имеем $\partial_{t}v=\mathcal{Q}\widehat{\varphi}_{t} +(\mathcal{Q})_{t}\widehat{\varphi}$, поэтому мы можем положить $R_{1}=R_{2}+R_{3}$, где
$$
\begin{equation*}
R_{2}=\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\mathcal{Q}\widehat{\varphi}_{t},\qquad R_{3}=\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}(\mathcal{Q})_{t}\widehat{\varphi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из уравнения (5) вытекает
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}\widehat{\varphi}_{t}=-it^{-1}M^{2}\langle 3\eta \rangle^{-2}v^{3}-it^{-1}\mathcal{Q}e^{it\Omega}\mathcal{D}_{3}[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3t) ] v^{3},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому можем записать $R_{2}=R_{4}+R_{5}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{4} & =-it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{4}H_{3}v^{5}\langle 3\eta \rangle^{-2}, \\ R_{5} & =-it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\mathcal{Q}e^{it\Omega}\mathcal{D}_{3}[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3t) ] v^{3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 2.2 находим $\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant C\varepsilon W^{-1/2}$, откуда, пользуясь неравенством $\|\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\|h\phi\|_{\mathbf{L}^{1}}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\|R_{4}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{5}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{5\gamma-2}\|_{\mathbf{L}^{1}}\leqslant C\varepsilon^{5}t^{-1}W^{-5/2}\leqslant C|g_{1}|,
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу леммы 2.11 находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|R_{5}\|_{\mathbf{L}^{\infty}} &\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{2\gamma-2}\|_{\mathbf{L}^{2}}\|[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3t) ] v^{3}\|_{\mathbf{L}^{2}} \\ & \leqslant C\varepsilon^{2}t^{-7/4}\|v^{3}\|_{\mathbf{H}^{1}}\leqslant C|g_{1}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее из леммы 2.8 имеем
$$
\begin{equation*}
t(\mathcal{Q})_{t}\phi=t^{-1}\eta\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +t^{-2}\mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\phi+t^{-2}\mathcal{V}_{h_{3}}\phi +it^{-1}\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $R_{3}=\sum_{j=6}^{9}R_{j}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_{6}=t^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}\eta v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \qquad R_{7}=t^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2} \mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \\ R_{8}=t^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2} \mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi}, \qquad R_{9}=it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2} \mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство $\|\mathcal{Q}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\|\phi\|_{\mathbf{L}^{1}}$ и лемму 2.8, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|R_{6}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+\| R_{7}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+\|R_{8}\|_{\mathbf{L}^{\infty}} \\ &\qquad\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v^{2}\eta\mathcal{V}_{h_{1}} \,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{1}} \\ &\qquad\qquad +Ct^{-3/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-2}v^{2}\mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi} \|_{\mathbf{L}^{1}}+Ct^{-3/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v^{2}\mathcal{V}_{h_{3}} \widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{1}} \\ &\qquad \leqslant Ct^{-1}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{2\gamma-1}\|_{\mathbf{L}^{2}}(\| \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}+\| \mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\widehat {\varphi}\| _{\mathbf{L}^{2}}+\|\mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{2}}) \\ &\qquad \leqslant C\varepsilon^{2}t^{-5/4}W^{-1}(\|\partial _{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}+\|\widehat {\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}) \\ &\qquad \leqslant C\varepsilon^{3}t^{-5/4}W^{-1}K(t) \leqslant C|g_{1}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя тождества $\mathcal{Q}^{\ast}(t) \mathcal{A}_{1}(t) =i\xi\mathcal{Q}^{\ast}(t) $ и $v_{1}=\mathcal{A}_{1}v=\mathcal{Q}i\xi\widehat{\varphi}= i\eta v+ \mathcal{A}_{0}v$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\mathcal{A}_{1}\phi &= i\xi\mathcal{Q}^{\ast} M^{2}H_{3}v^{2}\phi-2i\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}\eta v^{2}\phi \\ &\qquad -2\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}(\mathcal{A}_{0}v) v\phi-\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{3}) v^{2}\phi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, можем записать $R_{9}=\sum_{j=10}^{13}R_{j}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_{10} =-t^{-1}\xi\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\, \partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \qquad R_{11}=2t^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}\eta v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \\ R_{12}=-it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{3}) v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \qquad R_{13}=-2it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}(\mathcal{A}_{0}v) v\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $(\mathcal{A}_{0}H_{3}) =O(t^{-1/2}\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}) $, поэтому, применяя неравенство $\| \mathcal{Q}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\| \phi\|_{\mathbf{L}^{1}} $ и лемму 2.8, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|R_{10}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+\| R_{11}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+\|R_{12}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{-1}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\, \partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{1}} \\ &\qquad \leqslant Ct^{-1}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{2\gamma-1}\|_{\mathbf{L}^{2}}\| \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{2}t^{-5/4}W^{-1}\| \partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}} \\ & \qquad\leqslant C\varepsilon^{3}t^{-5/4}W^{-1}K(t) \leqslant C|g_{1}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим слагаемое $R_{13}$ с помощью неравенства $\| \mathcal{Q}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\| \phi\|_{\mathbf{L}^{1}}$, леммы 2.8 и леммы 2.7:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|R_{13}\|_{\mathbf{L}^{\infty}} &\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v(\mathcal{A}_{0}v) \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{1}} \\ &\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\| \mathcal{A}_{0}v\|_{\mathbf{L}^{2}}\| \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}} \\ & \leqslant C\varepsilon^{3}t^{-3/2}W^{-1/2}K^{2}(t) \leqslant C\varepsilon^{3}t^{-5/4}W^{-1}K(t) \leqslant C| g_{1}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, приходим к оценке $\|R_{1}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant C|g_{1}|$.
Теперь рассмотрим асимптотику первого слагаемого $R_{0}$ в правой части уравнения (7). Как и выше, ввиду леммы 2.7 имеем
$$
\begin{equation*}
\| \partial_{\eta}v^{3}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v^{2}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\| \partial_{\eta}v\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{3}W^{-1}K(t) .
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому применение леммы 2.3 дает
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}v^{3}=\frac{\sqrt{8i}}{\sqrt{3}}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}v^{3}+O(\varepsilon^{3}| \widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle ^{-2}) +O(\varepsilon^{3}t^{-1/4}W^{-1}K(t)) .
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
R_{0}=\frac{i}{2t\langle \xi\rangle^{2}}\mathcal{V}_{h}^{\ast }v^{3}=\frac{i\sqrt{2i}}{t\sqrt{3}\langle \xi\rangle ^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}v^{3}(t,\xi) +O(\varepsilon^{3}(|\widetilde{\xi}| \langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}+t^{-1/4}W^{-1}K(t))) .
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 2.2 следует асимптотика $v(t,\xi) =\dfrac{1}{\sqrt{2i}}\,\widehat{\varphi}(t,\xi) +O(\varepsilon t^{-1/4}K(t)) $. Поэтому получаем
$$
\begin{equation*}
R_{0}=\frac{1}{2t\sqrt{3}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}\, \widehat{\varphi}^{3}(t,\xi) +O(\varepsilon^{3}( |\widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}+t^{-1/4}W^{-1}K(t))) .
\end{equation*}
\notag
$$
Также имеем оценку
$$
\begin{equation*}
|y-\widehat{\varphi}|\leqslant\| \mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{3}\|_{\mathbf{L}^{\infty}} \leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{3\gamma -2}\|_{\mathbf{L}^{1}}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{3}\leqslant C\varepsilon^{3}W^{-3/2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует уравнение (6).
Лемма 3.3 доказана. Теперь рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от параметра $\xi\in\mathbb{R}$,
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \partial_{t}y(t,\xi) =-\dfrac{1}{2t\sqrt{3}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}\, y^{3}(t,\xi) +g(t,\xi) , \quad t\geqslant1, \\ y(1,\xi) =y_{1}(\xi) , \end{cases}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $g(t,\xi) =O(\varepsilon^{5}t^{-1}W^{-5/2}(t) +\varepsilon^{3}t^{\gamma-5/4}+\varepsilon^{3}t^{-1}| \widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}W^{-3/2}) $. Лемма 3.4. Предположим, что начальное возмущение $y_{1}$ удовлетворяет следующим условиям: Доказательство. В случае $|\xi|>1$ имеем $\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}\leqslant t^{-1}$, так что из уравнения (8) находим $y_{t}=O(\varepsilon^{3}t^{-2})+O(\varepsilon^{5}t^{-1}W^{-5/2})$. Отсюда, интегрируя по времени, получаем $|y(t)|\leqslant\varepsilon+\varepsilon^{2}\leqslant2\varepsilon\Psi^{-1/2}$. Теперь рассмотрим случай $|\xi|\leqslant1$. Сделаем замену функции $y=re^{i\omega}$, где $r>0$ и $\omega$ – вещественная функция. Беря реальную и мнимую части, получаем из уравнения (8)
$$
\begin{equation}
r_{t}=-\frac{1}{2t\sqrt{3}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}\, r^{3}\cos2\omega+\operatorname{Re}(ge^{-i\omega}) ,
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\omega_{t}=-\frac{1}{2t\sqrt{3}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}\, r^{2}\sin2\omega+\operatorname{Im}(gr^{-1}e^{-i\omega})
\end{equation}
\tag{10}
$$
с начальными условиями $r(1,\xi) =|y_{1}(\xi)|$, $\omega(1,\xi) =\arg y_{1}(\xi) $. Докажем следующие неравенства:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\Psi<\frac{|y_{1}(\xi)|^{2}}{r^{2}(t)}<2\Psi, \qquad | \omega( t,\xi)|<\frac{\pi}{8}
\end{equation}
\tag{11}
$$
для всех $t\in[ 1,T] $, $|\xi|\leqslant1$. Рассуждая от противного, предположим, что существует максимальное время $\widetilde{T}\in(1,T] $ такое, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\Psi\leqslant\frac{|y_{1}(\xi)|^{2}}{r^{2}(t)}\leqslant2\Psi, \qquad |\omega(t,\xi)|\leqslant\frac{\pi}{8}
\end{equation}
\tag{12}
$$
для всех $t\in[ 1,\widetilde{T}] $, $|\xi|\leqslant1$. Разделив уравнение (9) на $r^{3}$, получим
$$
\begin{equation*}
\partial_{t}r^{-2}=\frac{\cos2\omega}{t\sqrt{3}\,\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}-2\operatorname{Re}(ge^{-i\omega}),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда находим
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{t\sqrt{6}\,\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}-2r^{-3}|g| \leqslant\partial_{t}r^{-2}\leqslant\frac{1}{t\sqrt {3}\,\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}+2r^{-3}|g|.
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрировав по времени, найдем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1+\frac{\varepsilon^{2}}{\sqrt{6}}\ln\frac{t\langle \xi\rangle^{2}} {\langle\widetilde{\xi}\rangle^{2}}-2\varepsilon^{2} \int_{1}^{t}r^{-3}|g|\,d\tau \\ &\qquad\leqslant\frac{|y_{1}(\xi)|^{2}}{r^{2}(t)} \leqslant1 +\frac{\varepsilon^{2}}{\sqrt{3}}\ln\frac{t\langle \xi\rangle^{2}}{\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}+2\varepsilon^{2}\int_{1}^{t}r^{-3}|g|\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как
$$
\begin{equation*}
\int_{1}^{t}\langle \sqrt{\tau}\,\xi\rangle^{-2}\,\frac{d\tau}{\tau} =\int_{\xi^{2}}^{\widetilde{\xi}^{\,2}}\,\frac{dz}{(1+z) z} =\ln\frac{t\langle \xi\rangle^{2}}{\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (12) и предположения о $g$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{1}^{t}r^{-3}|g|\,d\tau&\leqslant C\int_{1}^{t}(1+\varepsilon^{2}\ln(\tau\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}))^{3/2}(\varepsilon^{5}\tau^{-1}W^{-5/2}(\tau) \\ &\qquad\qquad +\varepsilon^{3}\tau^{\gamma-5/4}+\varepsilon^{3}\tau^{-1}|\widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}W^{-3/2}(\tau))\, d\tau \\ &\leqslant C\Psi^{-1/2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in[ 1,\widetilde{T}] $, $|\xi|\leqslant1$. Таким образом, откуда следует, что ${|y_{1}(\xi)|^{2}}/{r^{2}(t)}<2\Psi$. Аналогично найдем оценку снизу
$$
\begin{equation*}
\frac{|y_{1}(\xi)|^{2}}{r^{2}( t)}\geqslant1+\frac{\varepsilon^{2}}{\sqrt{6}}\ln\frac{t\langle \xi\rangle^{2}}{\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}-2\varepsilon^{2}\int_{1}^{t}r^{-3}|g|\,d\tau >\frac{1}{3}\Psi
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in[ 1,\widetilde{T}] $, $|\xi|\leqslant1$. Значит, оценка (11) справедлива для всех $t\in[ 1,\widetilde{T}] $, $|\xi| \leqslant1$. Умножая обе части уравнения (10) на $\omega$, имеем поскольку $2\omega\sin2\omega\geqslant\omega^{2}$ при $|\omega| \leqslant{\pi}/{8}$. Отсюда, проинтегрировав по времени, получим для всех $t\in[ 1,\widetilde{T}] $, $|\xi|\leqslant1$. Следовательно, $| \omega(t,\xi)|<{\pi}/{8}$ для всех $t\in[ 1,\widetilde{T}] $, $|\xi|\leqslant1$. Полученное противоречие доказывает оценки леммы для всех $t\in[ 1,T] $.
Лемма 3.4 доказана. В следующей лемме мы установим априорные оценки решений. Лемма 3.5. Предположим, что $\|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{X}_{T}}\leqslant C\varepsilon$. Тогда справедлива оценка Доказательство. Из уравнения (5) следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\| \langle \xi\rangle^{5}\widehat{\varphi}(t)\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{2}t^{-1}\|\langle \xi\rangle^{3}\widehat{\varphi}(t)\| _{\mathbf{L}^{2}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда интегрирование по времени дает $\|\langle \xi\rangle^{5}\widehat{\varphi}(t)\|_{\mathbf{L}^{2}}<C\varepsilon t^{\gamma}$. Применяя лемму 3.4 и лемму 3.3, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, |\widehat{\varphi}(t,\xi)| &\leqslant |y(t,\xi)|+C\varepsilon^{3}W^{-3/2} \\ &\leqslant C\varepsilon(1+\varepsilon^{2}\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}))^{-1/2}+C\varepsilon^{3}W^{-3/2}<C\varepsilon, \end{aligned} \\ \langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}|\widehat {\varphi}(t,\xi)|\leqslant C\varepsilon\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}(1+\varepsilon^{2}\ln( t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle ^{-2}))^{-1/2}+C\varepsilon^{3}W^{-3/2}<C\varepsilon W^{-1/2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in[ 1,T] $. Также, используя лемму 3.2, получим оценку производной $\|\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon K(t) $. Таким образом, находим $\|\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{X}_{T}}<C\varepsilon$.
Лемма доказана. § 4. Доказательство теоремы 1.1Глобальное по времени существование решения
$$
\begin{equation*}
u\in\mathbf{C}([ 0,\infty) ;\mathbf{H}^{5}\cap \mathbf{H}^{0,1}) \cap\mathbf{C}^{1}((0,\infty) ;\mathbf{H}^{3})
\end{equation*}
\notag
$$
задачи Коши (1), удовлетворяющего оценке $\|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{X}_{T}}<C\varepsilon$, следует из леммы 3.5 и локального существования, гарантируемого теоремой 3.1. Так что нам остается только доказать асимптотику (4). Из формул метода факторизации, леммы 2.2 и леммы 3.3 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u(t) &=\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\mathcal{Q}\widehat{\varphi} =\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\frac{\widehat{\varphi}}{\sqrt {i\Lambda''}}+O(t^{-3/4}\|\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}) \\ & =\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\frac{re^{i\omega}}{\sqrt{i\Lambda''}}+O(t^{-1/2}(\ln t)^{-3/2}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $t\to\infty$. Как и при доказательстве леммы 3.4, получим
$$
\begin{equation*}
r^{-2}(t,\xi) =|\widehat{u_{0}}(\xi)|^{-2} +\frac{1}{\sqrt{3}}\ln(t\langle \xi\rangle ^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}) +O(\Psi^{1/2})
\end{equation*}
\notag
$$
и $|\omega(t,\xi)|\leqslant C\Psi^{-1/4}$, где $\Psi=1+\varepsilon^{2}\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}) $. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
r(t,\xi) =|\widehat{u_{0}}(\xi)|\biggl(1+\frac{|\widehat{u_{0}}(\xi) |^{2}}{\sqrt{3}}\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2})\biggr)^{-1/2} +O(\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2})^{-3/4}) .
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u(t) & =\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M|\widehat{u_{0}}(\xi)| \biggl( 1+\frac{|\widehat{u_{0}}(\xi)|^{2}}{\sqrt{3}}\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2})\biggr)^{-1/2} \\ &\qquad +O(t^{-1/2}(\ln(t\langle \xi\rangle ^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}))^{-3/4}) , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует асимптотика (4). Теорема 1.1 доказана. БлагодарностьАвтор выражает благодарность рецензенту статьи за весьма ценные замечания и предложения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nau23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|