| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Логарифмический характер асимптотики решений нелинейного уравнения типа Соболева с кубической нелинейностью П. И. Наумкин Center for Mathematical Sciences, National Autonomous University of Mexico, Mexico City, Mexico
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9515e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРассмотрим задачу Коши для нелинейного уравнения типа Соболева с кубической нелинейностью в одномерном по пространственной переменной случае где a>1/5, a≠1. Мы исключили случай a=1, поскольку при этом уравнение (1) легко сводится к нелинейному уравнению Шрёдингера. Уравнения типа Соболева были впервые выведены в работе [1] при описании малых осцилляций во вращающейся жидкости. Также уравнения типа Соболева встречаются в теории плазмы и при моделировании квазистационарных процессов в непрерывных электромагнитных средах (см. книгу [2]). Обсуждение теории нелинейных уравнений типа Соболева можно найти в работах [3]–[6].Кубические нелинейности в одномерном по пространственной переменной случае зачастую ведут себя критически при больших временах. Так, например, асимптотика решений нелинейного уравнения Шрёдингера была изучена в работах [7]–[9], где было показано, что решение приобретает дополнительное логарифмическое убывание по сравнению с линейным уравнением Шрёдингера. Насколько нам известно, асимптотика при больших временах решений задачи Коши для нелинейного уравнения типа Соболева (1) не была исследована до сих пор. В настоящей работе мы восполним этот пробел, развивая для этой цели технику факторизации, предложенную в работах [10]–[14]. Также мы применим известные оценки в норме L2 для псевдодифференциальных операторов, чтобы оценить производные операторов дефекта.Введем некоторые обозначения. Через Lp обозначим пространство Лебега с нормой Введем весовое пространство Соболева при m,s∈R, где ⟨x⟩=√1+x2, ⟨i∂x⟩=√1−∂2x, S′ – пространство распределений Шварца. Также будем обозначать Hm=Hm,0. Через C(I;B) будем обозначать пространство непрерывных функций, отображающих интервал I в некоторое банахово пространство B. Аналогично, C1(I;B) обозначает пространство непрерывно дифференцируемых функций из I в B.Обозначим через Fϕ или ˆϕ преобразование Фурье тогда обратное преобразование Фурье F−1 имеет вид Различные положительные постоянные будем обозначать одной и той же буквой C.Мы будем изучать решения уравнения (1) из пространства C([0,∞);H5)∩C1((0,∞);H3), так что уравнение (1) понимается в классическом смысле. Умножив уравнение (1) на оператор (1−∂2x)−1, перепишем его в псевдодифференциальной форме где ⟨i∂x⟩−2=(1−∂2x)−1, а линейный псевдодифференциальный оператор Λ=(1−∂2x)−1(−∂2x+a∂4x) характеризуется своим символом При условии a>1/5 имеем Λ″(ξ)>0 для всех ξ∈R, что гарантирует невырожденность стационарной точки μ(x), определяемой как корень уравнения для всех x∈R. Затем с помощью невозмущенной эволюционной группы U(t)=F−1e−itΛ(ξ)F перепишем задачу Коши (2) в виде интегрального уравненияЗададим оператор растяжения Dtϕ=t−1/2ϕ(x/t), масштабное преобразование (Bϕ)(x)=ϕ(μ(x)) и множитель M=eitΘ(x), Θ(x)=−Λ(x)+xΛ′(x). Обозначим также ˜x=x√t. Целью настоящей работы является доказательство следующего результата. Теорема 1.1. Существуют ε0>0 и постоянная C>0 такие, что если начальное данное u0∈H5∩H0,1 удовлетворяет неравенствам при \varepsilon\in( 0,\varepsilon_{0}) , то существует единственное глобальное по времени решение
\begin{equation*}
u\in\mathbf{C}([ 0,\infty) ;\mathbf{H}^{5}\cap \mathbf{H}^{0,1}) \cap\mathbf{C}^{1}((0,\infty) ;\mathbf{H}^{3})
\end{equation*}
\notag
задачи Коши (1). Более того, справедлива асимптотика
\begin{equation}
u(t,x) =\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}\frac{M|\widehat{u_{0}}|}{\sqrt{1 +\dfrac{|\widehat{u_{0}}|^{2}}{\sqrt{3}}\ln(t\langle x\rangle^{2}\langle \widetilde{x}\rangle^{-2})}} +O(t^{-1/2}(\ln(t\langle x\rangle^{2}\langle \widetilde{x}\rangle^{-2}))^{-3/4})
\end{equation}
\tag{4}
при t\to\infty равномерно по x\in\mathbb{R}. Замечание 1.1. Асимптотическая формула (4) описывает дополнительное логарифмическое убывание по сравнению с соответствующим линейным случаем. Опишем кратко дальнейшее содержание работы. В § 2 мы сформулируем технику факторизации. Затем мы оценим операторы дефекта в равномерной метрике. После этого, применяя известные оценки псевдодифференциальных операторов в норме \mathbf{L}^{2}, мы установим оценки производных операторов дефекта. В § 3 приведем доказательство априорных оценок решения в норме \|\mathcal{FU}(-t) u(t)\|_{\mathbf{X}_{T}}, где
\begin{equation*}
\|\phi\|_{\mathbf{X}_{T}} =\sup_{t\in[ 1,T]} \bigl(\|\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+W^{1/2}\|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma} \phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+t^{-\gamma}\| \langle \xi\rangle^{5}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}+K^{-1}\| \partial_{\xi}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}\bigr);
\end{equation*}
\notag
здесь W(t)=1+\varepsilon^{2}\ln(1+t) , K(t) =t^{\gamma}+\varepsilon^{2}t^{1/4}W^{-3/2}(t) , \gamma>0 мало. Наконец, мы докажем теорему 1.1 в § 4.
§ 2. Предварительные оценки2.1. Техника факторизацииРассмотрим представление невозмущенной эволюционной группы
\begin{equation*}
\mathcal{U}( t) =\mathcal{F}^{-1}e^{-it\Lambda(\xi)}\mathcal{F}, \quad\text{где }\ \Lambda(\xi) =\frac{\xi^{2}+a\xi^{4}}{1+\xi^{2}}.
\end{equation*}
\notag
При условии a>1/5 имеем
\begin{equation*}
\Lambda''(\xi) =\frac{2(1+(6a-3)\xi^{2}+3a\xi^{4}+a\xi^{6})}{(1+\xi^{2})^{3}}>0 \quad\text{для всех }\ \xi\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому существует единственная невырожденная стационарная точка \mu(x) , определяемая как корень уравнения
\begin{equation*}
\Lambda'(\xi) =\frac{2\xi(1+2a\xi^{2}+a\xi^{4})}{(1+\xi^{2})^{2}}=x \quad\text{для всех }\ x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Запишем \mathcal{U}(t) \mathcal{F}^{-1}\phi=\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\mathcal{Q}\phi, где \mathcal{D}_{t}\phi=t^{-1/2}\phi(x/t) – оператор растяжения, (\mathcal{B}\phi) (x) =\phi(\mu(x)) – масштабное преобразование, M=e^{it\Theta(\xi)} – множитель с фазой
\begin{equation*}
\Theta(\xi) =-\Lambda(\xi) +\xi\Lambda'(\xi) =\frac{\xi^{2}(1+\xi^{2}(3a-1) +a\xi^{4})}{(1+\xi^{2})^{2}}
\end{equation*}
\notag
и
\begin{equation*}
\mathcal{Q}(t) \phi=\frac{t^{1/2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS( \xi,\eta)}\phi(\xi) \,d\xi
\end{equation*}
\notag
– оператор дефекта с фазовой функцией S(\xi,\eta)=\Lambda(\xi) -\Lambda(\eta) -\Lambda'(\eta) (\xi-\eta) . Также нам понадобится представление для обратной невозмущенной эволюционной группы \mathcal{FU}(-t) =\mathcal{Q}^{\ast}\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t}^{-1}, где \mathcal{D}_{t}^{-1}\phi=t^{1/2}\phi(xt) – обратный оператор растяжения, \mathcal{B}^{-1}\phi=\phi(\Lambda'(\eta)) – обратное масштабное преобразование и
\begin{equation*}
\mathcal{Q}^{\ast}(t) \phi=\frac{t^{1/2}}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}}e^{itS(\xi,\eta)}\phi(\eta) \Lambda''(\eta)\,d\eta
\end{equation*}
\notag
– сопряженный оператор дефекта. Заметим, что операторы дефекта можно записать также в виде \mathcal{Q}(t) =\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t}^{-1}\mathcal{F}^{-1}e^{-it\Lambda( \xi)} и \mathcal{Q}^{\ast}(t) =M\mathcal{BD}_{t}e^{it\Lambda(\xi)}\mathcal{F}, откуда видно, что они действуют из \mathbf{L}^{2} в \mathbf{L}^{2}, а также, что \mathcal{Q}^{\ast}(t) является сопряженным к \mathcal{Q}(t) . Введем новую функцию \widehat{\varphi}=\mathcal{FU}(-t) u(t) . Поскольку \mathcal{FU}(-t) \mathcal{L}=i\,\partial_{t}\mathcal{FU}(-t) с оператором \mathcal{L}=i\,\partial_{t}-\mathbf{\Lambda}, то, применяя оператор \mathcal{FU}(-t) к уравнению (2), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, i\,\partial_{t}\widehat{\varphi} & =i\,\partial_{t}\mathcal{FU}(-t)u(t) =\mathcal{FU}(-t) \mathcal{L}u =\langle\xi\rangle^{-2}\mathcal{FU}(-t) (\mathcal{U}(t) \mathcal{F}^{-1}\widehat{\varphi})^{3} \\ & =\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast} \overline {M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t}^{-1} (\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\mathcal{Q}\widehat{\varphi})^{3} =t^{-1}\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}v^{3}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где v=\mathcal{Q}\widehat{\varphi}. Имеем
\begin{equation*}
S(\xi,\eta) +k\Theta(\eta) =\Omega_{k+1}(\xi) +(1+k) S\biggl(\frac{\xi}{1+k},\eta\biggr) ,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\Omega_{k+1}=\Lambda(\xi) -(k+1) \Lambda\biggl(\frac{\xi}{k+1}\biggr) \quad\text{при }\ k\neq-1.
\end{equation*}
\notag
По определению сопряженного оператора дефекта \mathcal{Q}^{\ast}(t) найдем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{Q}^{\ast}(t) M^{k}\phi &=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{it(S(\xi,\eta) +k\Theta(\eta))}\phi(\eta) \Lambda''(\eta)\,d\eta \\ &=e^{it\Omega_{k+1}}\mathcal{D}_{k+1}\sqrt{\frac{(1+k) t}{2\pi}} \int_{\mathbb{R}}e^{i(1+k) tS(\xi,\eta)}\phi(\eta) \Lambda''(\eta)\,d\eta \\ & =e^{it\Omega_{k+1}}\mathcal{D}_{k+1}\mathcal{Q}^{\ast}((k+1) t) \phi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \mathcal{D}_{k+1}\phi=(k+1)^{-1/2}\phi(x/(k+1)) . Взяв k=2 в этом тождестве, получим основное уравнение метода факторизации
\begin{equation}
i\,\partial_{t}\widehat{\varphi}=t^{-1}\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}v^{3}=t^{-1}\langle \xi\rangle ^{-2}e^{it\Omega}\mathcal{D}_{3}\mathcal{Q}^{\ast}(3t) v^{3},
\end{equation}
\tag{5}
где мы обозначили
\begin{equation*}
\Omega=\Omega_{3}=\Lambda(\xi) -3\Lambda\biggl(\frac{\xi}{3}\biggr) =\frac{2\xi^{2}(9+(13a-3) \xi^{2}+a\xi^{4})}{27( 1+\xi^{2}) (1+\xi^{2}/9)}\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
Зададим операторы
\begin{equation*}
\mathcal{A}_{k}\phi=\frac{1}{t\Lambda''(\eta)} \overline{M}^{\,k}\,\partial_{\eta}M^{k}\phi,\qquad k=0,1,
\end{equation*}
\notag
так что \mathcal{A}_{1}=i\eta+\mathcal{A}_{0}. Имеют место тождества i\xi\mathcal{Q}^{\ast}=\mathcal{Q}^{\ast}\mathcal{A}_{1} и \mathcal{Q}i\xi=\mathcal{A}_{1}\mathcal{Q}. 2.2. Оценки оператора дефекта \mathcal{Q} в равномерной метрикеОпределим ядро A(t,\eta) как
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS(\xi,\eta)}\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
Асимптотика ядра A(t,\eta) при больших временах может быть вычислена с помощью метода стационарной фазы (см. [15]). Однако нам необходима оценка остатка равномерно по параметру \eta\in\mathbb{R}. Поэтому для удобства читателя мы приведем доказательство асимптотики. Отметим, что справедливо представление где
\begin{equation*}
P_{1}^{2}(\xi,\eta) =\langle \xi\rangle^{-2}\langle \eta\rangle^{-4}P_{2}(\xi,\eta), \qquad P_{2}(\xi,\eta) =(1-a) (\langle \xi\rangle^{2}-(\eta+\xi)^{2}) +a\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4}.
\end{equation*}
\notag
Если a\geqslant1, то
\begin{equation*}
P_{2}(\xi,\eta) =(a-1) (\eta+\xi)^{2} +\langle \xi\rangle^{2}(a\langle\eta\rangle^{4}-(a-1)) \geqslant C\langle\xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4}
\end{equation*}
\notag
для всех \xi,\eta\in\mathbb{R}. В случае 1/5<a<1, используя неравенство \eta^{2}\langle \eta\rangle^{-4}\leqslant1/4, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_{2}(\xi,\eta) &\geqslant a\langle \eta\rangle^{4}\biggl(\xi-\frac{1-a}{a}\frac{\eta}{\langle \eta\rangle^{4}}\biggr)^{2}+a\biggl( \eta^{2}+\frac{3a-1}{2a}\biggr)^{2} +\frac{(1-a) (5a-1)}{2a} \\ &\geqslant C\langle\xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для всех \xi,\eta\in\mathbb{R}. Таким образом, P_{2}(\xi,\eta) \geqslant C\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4}, и мы можем записать
\begin{equation*}
S(\xi,\eta) =z^{2},\quad\text{где}\quad z=( \xi-\eta) P_{1}(\xi,\eta), \quad P_{1}(\xi,\eta) \geqslant C>0,
\end{equation*}
\notag
для всех \xi,\eta\in\mathbb{R}. С другой стороны, поскольку P_{2}(\xi,\eta) оценивается сверху как C\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4} с некоторой константой C>0, то функция P_{1}(\xi,\eta) ограничена сверху и снизу положительными константами равномерно по \xi,\eta\in\mathbb{R}. Теперь мы можем заменить переменную интегрирования \xi на z=( \xi-\eta) P_{1}, так что
\begin{equation*}
A(t,\eta) =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}f(\eta,z)\, dz,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
f(\eta,z) =\frac{1}{\partial z(\xi,\eta)/\partial\xi} =\frac{2z}{\partial S(\xi,\eta)/\partial\xi}.
\end{equation*}
\notag
Отметим, что z=0 отвечает \xi=\eta. Запишем
\begin{equation*}
\frac{\partial S( \xi,\eta)}{\partial\xi}=2(\xi -\eta) \langle \xi\rangle^{-4}\langle \eta \rangle^{-4}P_{3}(\xi,\eta) ,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_{3}(\xi,\eta) &=-(1-a) \eta\xi(2+\xi^{2}+\eta^{2})+1+2a\eta^{2}+a\eta^{4}+2a\xi^{2}+a\xi^{4} \\ &\qquad+(5a-1) \eta^{2}\xi^{2}+2a\eta^{2}\xi^{2}(\xi^{2}+\eta^{2})+a\eta^{4}\xi^{4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если a>1, то легко видеть, что P_{3}(\xi,\eta) \geqslant C\langle \xi\rangle^{4}\langle \eta\rangle^{4} для всех \xi,\eta\in\mathbb{R}. Чтобы установить эту оценку в случае 1/5<a<1, воспользуемся неравенствами
\begin{equation*}
\xi\eta\leqslant\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\eta^{2}\xi^{2}, \qquad \xi^{2}\eta^{2}\leqslant \frac{1}{2}(\xi^{4}+\eta^{4}), \qquad \xi^{2}\eta^{2}\leqslant\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\eta^{4}\xi^{4};
\end{equation*}
\notag
тогда для первого слагаемого в P_{3}(\xi,\eta) находим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (1-a) \eta\xi(2+\xi^{2}+\eta^{2}) &\leqslant \frac{5(1-a)}{4}+\frac{1-a}{4}( \xi^{4}+\eta^{4})+\frac{1-a}{4}\eta^{4}\xi^{4} \\ &\qquad+\frac{1-a}{2}(\xi^{2}+\eta^{2}) +\frac{1-a}{2}\eta^{2}\xi^{2}(\xi^{2}+\eta^{2}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует, что
\begin{equation*}
P_{3}(\xi,\eta) \geqslant\frac{5a-1}{4}\langle \xi\rangle^{4}\langle \eta\rangle^{4}
\end{equation*}
\notag
для всех \xi,\eta\in\mathbb{R}. В частности,
\begin{equation*}
\frac{\partial S(\xi,\eta)/\partial\xi}{\xi -\eta} \geqslant C,
\end{equation*}
\notag
а поскольку z/(\xi-\eta) ограничено, то
\begin{equation*}
0<f(\eta,z) =\frac{2z/( \xi-\eta)}{S_\xi(\xi,\eta)/(\xi-\eta)}\leqslant C.
\end{equation*}
\notag
Аналогично устанавливается ограниченность 1/f(\eta,z). Далее воспользуемся равенствами
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}\,dz=\frac{1}{\sqrt{2i}}, \qquad P_{1}(\eta,\eta) =\sqrt{\frac{1}{2}\Lambda''(\eta)}, \\ P_{3}(\eta,\eta) =\frac{1}{2}\langle \eta\rangle^{4}\Lambda''(\eta), \qquad f(\eta,0) =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\Lambda''(\eta)}}; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
тогда получим
\begin{equation*}
A(t,\eta) =\frac{1}{\sqrt{i\Lambda''( \eta)}}+\sqrt{\frac{t}{2\pi}}R,
\end{equation*}
\notag
где остаток R равен \displaystyle \int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}(f(\eta,z) -f(\eta,0)) \,dz. Интегрируя в R по частям, с помощью тождества e^{-itz^{2}}=(1-2itz^{2})^{-1}\partial_{z}(ze^{-itz^{2}}) находим
\begin{equation*}
R=-\int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}\frac{z\,\partial_{z} f(\eta,z)}{1-2itz^{2}}\,dz-\int_{\mathbb{R}}e^{-itz^{2}}\frac{4itz^{2}(f( \eta,z) -f(\eta,0))}{(1-2itz^{2})^{2}}\,dz.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что
\begin{equation*}
\partial_{z}f(\eta,z) =\frac{1}{\partial z(\xi,\eta)/\partial\xi}\,\partial_{\xi}f(\eta,z) =\frac {1}{2}\,\partial_{\xi}f^{2}(\eta,z) =\frac{1}{2}\,\partial_{\xi}\frac{\langle \xi\rangle^{6}\langle \eta\rangle^{4}P_{2}(\xi,\eta)}{P_{3}^{2}(\xi,\eta)}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому, пользуясь оценками
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |P_{2}(\xi,\eta)|\leqslant C\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{4}, \qquad |\partial_{\xi}P_{2}(\xi,\eta)|\leqslant C\langle \xi\rangle \langle \eta\rangle^{4}, \qquad P_{3}(\xi ,\eta) \geqslant C\langle\xi\rangle^{4}\langle \eta\rangle^{4}, \\ |\partial_{\xi}P_{3}(\xi ,\eta)|\leqslant C\langle \xi\rangle^{3}\langle \eta\rangle^{4}, \qquad |\partial_{\xi}\langle \xi\rangle^{6}|\leqslant C\langle \xi\rangle^{5}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\partial_{z}f(\eta,z)| &=2\biggl|\partial_{\xi}\frac{\langle \xi\rangle^{6}\langle \eta\rangle^{4}P_{2}(\xi,\eta)}{P_{3}^{2}(\xi,\eta)}\biggr| \\ &\leqslant C\biggl|\frac{\langle\xi\rangle^{6}\langle \eta\rangle^{4}}{P_{3}^{2}(\xi,\eta)}\biggr| \,|\partial_{\xi}P_{2}(\xi,\eta)| +C\biggl|\frac{\langle \xi\rangle^{6}\langle\eta\rangle^{4}P_{2}(\xi,\eta)}{P_{3}^{3}(\xi,\eta)}\biggr|\, |\partial_{\xi}P_{3}(\xi,\eta)| \\ &\qquad+C\biggl|\frac{\langle \eta\rangle^{4}P_{2}(\xi,\eta)}{P_{3}^{2}(\xi,\eta)}\biggr|\, |\partial_{\xi}\langle \xi\rangle^{6}| \\ &\leqslant C\langle \xi\rangle^{-1} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для всех \xi,\eta\in\mathbb{R}. Также имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |f(\eta,z) -f( \eta,0)|\leqslant C|z| \quad\text{при }\ |z|\leqslant1, \\ |f(\eta,z) -f(\eta,0)|\leqslant f( \eta,z) +f(\eta,0) \leqslant C \quad\text{при }\ |z|\geqslant1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
откуда вытекает, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |R| & \leqslant C\int_{0}^{1}\frac{z\,dz}{1+tz^{2}}+Ct^{-1}\int_{1}^{\infty}\langle \xi\rangle^{-1}z^{-1}\,dz+Ct^{-1}\int_{1}^{\infty}z^{-2}\,dz \\ & \leqslant C\int_{0}^{1}\frac{z\,dz}{1+tz^{2}}+Ct^{-1}\int_{1}^{\infty}\frac {dz}{z^{2}}+Ct^{-1}\int_{\mathbb{R}}\frac{d\xi}{\langle \xi\rangle^{2}}\leqslant Ct^{-1}\ln t. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, приходим к асимптотике
\begin{equation*}
A(t,\eta) =\frac{1}{\sqrt{i\Lambda''(\eta)}}(1+O(t^{-1/2}\ln t))
\end{equation*}
\notag
при t\to\infty равномерно по \eta\in\mathbb{R}. Определим первообразную для всех \xi\neq0 следующим образом:
\begin{equation*}
\partial_{\xi}^{-1}f= \begin{cases} \displaystyle -\int_{\xi}^{\infty}f(\zeta)\, d\zeta&\text{при }\xi>0, \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\xi}f(\zeta)\, d\zeta&\text{при }\xi<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим ядро
\begin{equation*}
G(t,\xi,\eta) =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\,\partial_{\xi}^{-1}(e^{-itS(\eta-\xi,\eta)}) .
\end{equation*}
\notag
Интегрирование по частям в интеграле \mathcal{Q}\phi дает
\begin{equation*}
\mathcal{Q}\phi =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS( \eta-\xi,\eta)}\phi(\eta-\xi)\, d\xi =A(t,\eta) \phi(\eta) +\int_{\mathbb{R}}G( t,\xi,\eta) \phi_{\eta}(\eta-\xi)\, d\xi,
\end{equation*}
\notag
так как -G(t,+0,\eta) +G(t,-0,\eta) =A(t,\eta) . В следующей лемме мы дадим оценку ядра G(t,\xi,\eta) . Введем автомодельную переменную \widetilde{\xi}=\xi\sqrt{t}. Доказательство. Чтобы оценить ядро G(t,\xi,\eta) , мы проинтегрируем по частям в силу тождества
\begin{equation*}
e^{-itS(\eta-\xi,\eta)}\,{=}\,H(t,\xi,\eta) \,\partial_{\xi}(\xi e^{-itS(\eta-\xi,\eta)}), \ \ \text{где }H(t,\xi,\eta) \,{=}\,( 1\,{-}\,it\xi\,\partial_{\xi}S(\eta\,{-}\,\xi,\eta))^{-1}.
\end{equation*}
\notag
Получим при \xi>0
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G(t,\xi,\eta) &=-\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\xi}^{\infty}e^{-itS(\eta-\zeta,\eta)}\,d\zeta \\ & =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\, e^{-itS(\eta-\xi,\eta)}\xi H(t,\xi,\eta) +\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\xi}^{\infty} e^{-itS(\eta-\zeta,\eta)}\zeta\,\partial_{\zeta}(H(t,\zeta,\eta)) \,d\zeta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поскольку |\partial_{\zeta}S(\eta-\zeta,\eta)|\geqslant C|\zeta|, то справедлива оценка
\begin{equation*}
|H(t,\zeta,\eta)|+|\zeta\,\partial_{\zeta}(H( t,\zeta,\eta))|\leqslant C\langle \widetilde{\zeta}\rangle^{-2}, \quad\text{где }\ \widetilde{\zeta}=\zeta\sqrt{t}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует, что при \xi>0
\begin{equation*}
|G(t,\xi,\eta)|\leqslant C|\widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2} +Ct^{1/2}\int_{\xi}^{\infty}\langle \widetilde{\zeta}\rangle ^{-2}\,d\zeta\leqslant C\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1}.
\end{equation*}
\notag
Случай \xi<0 рассматривается аналогично.
Лемма доказана. В следующей лемме мы найдем асимптотику оператора дефекта \mathcal{Q} при больших временах. Доказательство. Используя оценку леммы 2.1 и применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathcal{Q}\phi-A\phi| &=\biggl|\int_{\mathbb{R}}G(t,\xi,\eta) \phi_{\eta}( \eta-\xi)\, d\xi\biggr| \leqslant C\|\phi_{\xi}\|_{\mathbf{L}^{2}} \biggl(\int_{\mathbb{R}}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}\,d\xi\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant Ct^{-1/4}\| \phi_{\xi}\|_{\mathbf{L}^{2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. 2.3. Оценки сопряженного оператора дефекта в равномерной метрикеОпределим сопряженный оператор дефекта \mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi как
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{itS_{3}( \xi,\eta)}h(t,\xi,\eta) \phi(\eta) \Lambda''(\eta) \,d\eta
\end{equation*}
\notag
с весом
\begin{equation*}
h(t,\xi,\eta) =\biggl(-\frac{1}{2}+itS_{3}(\xi ,\eta)\biggr)^{-2}, \quad\text{где }\ S_{3}(\xi,\eta) =S(\xi,\eta) +2\Theta(\eta) .
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим ядро
\begin{equation*}
A_{h}^{\ast}(t,\xi) =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{itS_{3}( \xi,\eta)}h(t,\xi,\eta) \Lambda''(\eta) \,d\eta.
\end{equation*}
\notag
Сделав замену переменной интегрирования \widetilde{\eta}=t^{1/2}\eta, найдем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_{h}^{\ast}(t,0) & =\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{3i\widetilde{\eta}^{\,2}(1+O( t^{-1}\widetilde{\eta}^{\,2}))}\frac{\Lambda''(\widetilde{\eta}t^{-1/2})\, d\widetilde{\eta}}{(-1/2+3i\widetilde{\eta}^{\,2}( 1+O(t^{-1}\widetilde{\eta}^{\,2})))^{2}} \\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{3i\widetilde{\eta}^{\,2}} \frac{d\widetilde{\eta}}{(-1/2+3i\widetilde{\eta}^{\,2})^{2}}+O(t^{-1/2}) =\frac{\sqrt{8i}}{\sqrt{3}}+O(t^{-1/2}) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Также получим
\begin{equation*}
A_{h}^{\ast}(t,\xi) =\frac{\sqrt{8i}}{\sqrt{3}}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}+O(t^{-1/2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}+|\widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}).
\end{equation*}
\notag
Обозначим ядро
\begin{equation*}
G_{h}^{\ast}(t,\xi,\eta) =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\,\partial_{\eta}^{-1} (e^{itS(\xi,\xi-\eta)}h(t,\xi,\xi-\eta) \Lambda''(\xi-\eta))
\end{equation*}
\notag
и проинтегрируем по частям в интеграле \mathcal{V}_{h}^{\ast}; получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi &=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{itS_{3}( \xi,\xi-\eta)}h(t,\xi,\xi-\eta) \phi(\xi-\eta) \Lambda''(\xi-\eta) \,d\eta \\ & =A_{h}^{\ast}(t,\xi) \phi(\xi) +\int_{\mathbb{R}}G_{h}^{\ast}( t,\xi,\eta) \phi_{\xi}(\xi -\eta)\,d\eta, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
так как -G_{h}^{\ast}(t,\xi,+0) +G_{h}^{\ast}(t,\xi,-0) =A_{h}^{\ast}( t,\xi) . В следующей лемме мы оценим оператор \mathcal{V}_{h}^{\ast} в равномерной метрике. Доказательство. Поскольку h(t,\xi,\xi-\eta) \leqslant C\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1}\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-3}, получаем неравенство
\begin{equation*}
|G_{h}^{\ast}(t,\xi,\eta)|\leqslant Ct^{1/2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1}\int_{\eta}^{\infty}\langle \widetilde{y}\rangle^{-3}\,dy \leqslant C\langle\widetilde{\xi}\rangle^{-1}\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-2}.
\end{equation*}
\notag
Тогда с помощью неравенства Коши–Буняковского, находим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi-A_{h}^{\ast}\phi| &=\biggl|\int_{\mathbb{R}}G_{h}^{\ast}(t,\xi,\eta) \phi_{\xi }(\xi-\eta)\,d\eta\biggr| \\ & \leqslant C\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-2}\,\partial_{\eta}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}} \biggl(\int_{\mathbb{R}}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}\langle \widetilde{\eta }\rangle^{-4}\langle \widetilde{\xi}-\widetilde{\eta}\rangle^{2}\,d\eta\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant Ct^{-1/4}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-2}\,\partial_{\eta}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. 2.4. Ограниченность псевдодифференциальных операторовИмеется много результатов об \mathbf{L}^{2}-ограниченности псевдодифференциальных операторов
\begin{equation*}
\mathbf{a}(t,x,\mathbf{D}) \phi=\int_{\mathbb{R}}e^{ix\xi}\mathbf{a}(t,x,\xi) \widehat{\phi}(\xi)\, d\xi
\end{equation*}
\notag
(см. [16]–[19]). Ниже мы будем использовать следующий результат (см. [18]). Лемма 2.4. Пусть символ \mathbf{a}(t,x,\xi) удовлетворяет оценкам
\begin{equation*}
\sup_{x,\xi\in\mathbb{R},\, t\geqslant1}| \partial_{x}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}\mathbf{a}(t,x,\xi)|\leqslant C
\end{equation*}
\notag
при k,l=0,1. Тогда Аналогичный результат справедлив для сопряженного оператора
\begin{equation*}
\mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,\mathbf{D}) \phi=\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}\mathbf{a}^{\ast}(t,x,\xi) \overline{\widehat{\phi}(x)}\,dx.
\end{equation*}
\notag
Лемма 2.5. Пусть символ \mathbf{a}^{\ast}(t,x,\xi) удовлетворяет оценкам
\begin{equation*}
\sup_{x,\xi\in\mathbb{R},\,t\geqslant1}| \partial_{x}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}\mathbf{a}^{\ast}(t,x,\xi)|\leqslant C
\end{equation*}
\notag
при k,l=0,1. Тогда 2.5. Оценки производных оператора дефектаОпределим оператор дефекта с весом h(t,\xi,\eta) следующим образом:
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}\phi=t^{1/2}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS(\xi ,\eta)}h(t,\xi,\eta) \phi(\xi)\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
В следующей лемме мы докажем \mathbf{L}^{2}-ограниченность оператора \mathcal{V}_{h} равномерно по t\geqslant1. Лемма 2.6. Пусть ядро h удовлетворяет оценкам
\begin{equation*}
|\partial_{\eta}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}h(t,\xi,\eta)|\leqslant Ct^{(m+n)/2}
\end{equation*}
\notag
для всех \xi,\eta\in\mathbb{R}, t\geqslant1, где m,n=0,1. Тогда выполнена оценка Доказательство. Сделаем замену переменной \eta=\mu(x) ; тогда
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}\phi=t^{1/2}\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\int_{\mathbb{R}}e^{itx\xi}h(t,\xi,\mu(x)) e^{-it\Lambda(\xi)}\phi(\xi) \,d\xi.
\end{equation*}
\notag
После этого сделаем замену переменной интегрирования \xi=t^{-1/2}\xi' (штрих затем опустим):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{V}_{h}\phi &=\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1} \int_{\mathbb{R}}e^{ix\xi}h\biggl(t,\frac{\xi}{\sqrt{t}},\mu\biggl( \frac{x}{\sqrt{t}}\biggr)\biggr) \mathcal{D}_{t^{1/2}}e^{-it\Lambda(\xi)}\phi(\xi) \,d\xi \\ & =\overline{M}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\mathbf{a}( t,x,\mathbf{D}) \mathcal{F}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}e^{-it\Lambda}\phi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где символ \mathbf{a}(t,x,\xi) равен h(t,{\xi}/{\sqrt{t}},\mu({x}/{\sqrt{t}})). Поскольку \mu(x) =O(x) , \mu'(x) ={1}/{\Lambda''(\mu(x))}=O(1) , получаем
\begin{equation*}
|\partial_{x}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}\mathbf{a}(t,x,\xi) |=O\biggl(\frac{t^{-m/2}}{(\Lambda ''(\eta))^{m}}\,\partial_{\eta}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}h(t,\xi t^{-1/2},\eta)\bigg|_{\eta=\mu(xt^{-1/2})}\biggr) \leqslant C
\end{equation*}
\notag
для всех x,\xi\in\mathbb{R}, t\geqslant1, m,n=0,1. Применение леммы 2.4 дает
\begin{equation*}
\|\mathbf{a}(t,x,\mathbf{D}) \phi\|_{\mathbf{L}_x^2}\leqslant C\|\phi\|_{\mathbf L^2}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому, используя равенства
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \| \sqrt{\Lambda''}\mathcal{B}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \qquad \| \mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\| \phi\|_{\mathbf L^2}, \\ \| \mathcal{F}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \qquad \|\mathcal{D}_{t^{1/2}}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
находим
\begin{equation*}
\|\sqrt{\Lambda''}\mathcal{V}_{h}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\| \sqrt{\Lambda''}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\mathbf{a}( t,x,\mathbf{D}) \mathcal{F}^{-1}\mathcal{D}_{t^{1/2}}e^{-it\Lambda}\phi\| _{\mathbf L^2}\leqslant C\|\phi\|_{\mathbf L^2}.
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. Теперь мы оценим производную \partial_{\eta}\mathcal{Q}. Доказательство. Интегрирование по частям дает
\begin{equation*}
\partial_{\eta}\mathcal{Q}\phi=C\mathcal{V}_{q_{1}}\, \partial_{\xi}\phi+C\mathcal{V}_{q_{2}}\phi,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, q_{1}(\xi,\eta) =\frac{\partial_{\eta}S(\xi,\eta)}{\partial_{\xi}S( \xi,\eta)}=\frac{\Lambda''( \eta)}{\int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta) z)\,dz}=O(1), \\ q_{2}(\xi,\eta) =\partial_{\xi}\biggl(\frac{\partial_{\eta }S(\xi,\eta)}{\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}\biggr) =\partial_{\xi}\biggl(\frac{\Lambda''(\eta)}{\int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta)z) \,dz}\biggr) =O(1), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
откуда следуют оценки \sup_{\eta,\xi\in\mathbb{R}}| \partial_{\eta}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}q_{j}(\eta,\xi)|\leqslant C при k,l=0,1, j=1,2. Поэтому, применяя лемму 2.6, получаем
Лемма доказана. В следующей лемме мы оценим производную \mathcal{Q}_{t}. Лемма 2.8. Справедливо тождество
\begin{equation*}
t\mathcal{Q}_{t}\phi =i\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +\eta\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}\mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}\mathcal{V}_{h_{3}}\phi,
\end{equation*}
\notag
где весовые функции h_{j} определены ниже. Более того, имеют место оценки Доказательство. Интегрирование по частям дает
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, t\mathcal{Q}_{t}\phi & =\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS( \xi,\eta)}\biggl(\frac{1}{2}-itS(\xi,\eta)\biggr) \phi(\xi) \,d\xi \\ & =\frac{1}{2}\mathcal{Q}\phi-\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-itS( \xi,\eta)}\,\partial_{\xi} \biggl(\frac{S(\xi,\eta)}{\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}\phi(\xi)\biggr) \,d\xi \\ & =-\mathcal{V}_{h_{1}}\xi\,\partial_{\xi}\phi +\eta\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi+\mathcal{V}_{q_{3}}\phi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где h_{1}(\xi,\eta) =\dfrac{S(\xi,\eta)}{\sqrt{2\pi}(\xi-\eta) \,\partial_{\xi}S( \xi,\eta)}, и где
Отметим, что q_{3}(\eta,\eta) =0. Поэтому, проинтегрировав еще раз по частям, получим
\begin{equation*}
V_{q_{3}}\phi=\frac{1}{t}V_{q_{4}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}V_{q_{5}}\phi,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
q_{4}(\xi,\eta) =\frac{q_{3}(\xi,\eta)}{i\,\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}, \qquad q_{5}(\xi,\eta) =\partial_{\xi}\frac{q_{3}(\xi,\eta) }{i\,\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}.
\end{equation*}
\notag
Обозначим f_{3}(\xi,\eta)=f_{1}(\xi,\eta) -\frac{1}{2}f_{2}^{2}(\xi,\eta) . Так как f_{3}( \eta,\eta) =0, то можем записать
\begin{equation*}
f_{3}(\xi,\eta) =(\xi-\eta) ( f_{4}(\xi,\eta) +f_{5}(\xi,\eta) +f_{6}(\xi,\eta)),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{4}(\xi,\eta) & =\int_{0}^{1}\Lambda'''(\eta+(\xi-\eta) z_{1}) \int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta) z_{1}z) (1-z) \,dz\,dz_{1}, \\ f_{5}(\xi,\eta) & =\int_{0}^{1}\Lambda''( \eta+(\xi-\eta) z_{1}) \int_{0}^{1}\Lambda'''(\eta+(\xi-\eta) z_{1}z) z( 1-z) \,dz\,dz_{1}, \\ f_{6}(\xi,\eta) & =-\int_{0}^{1}\biggl(\int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta) z_{1}z)\,dz\biggr) \biggl(\int_{0}^{1}\Lambda'''(\eta+(\xi-\eta)z_{1}z)z\,dz\biggr)\,dz_{1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поэтому имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_{4}(\xi,\eta) &=\frac{f_{4}(\xi,\eta) +f_{5}(\xi,\eta) +f_{6}(\xi,\eta)}{i\sqrt{2\pi}f_{2}^{3}( \xi,\eta)}, \\ q_{5}(\xi,\eta) &=\partial_{\xi}\frac{f_{4}(\xi,\eta) +f_{5}(\xi,\eta) +f_{6}(\xi,\eta)}{i\sqrt{2\pi}f_{2}^{3}( \xi,\eta)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Также ввиду того, что S(\xi,\eta) =(\xi-\eta)^{2}f_{1}(\xi ,\eta) , находим
\begin{equation*}
h_{1}(\xi,\eta) =\frac{f_{1}(\xi,\eta)}{\sqrt{2\pi}f_{2}( \xi,\eta)}=O(1).
\end{equation*}
\notag
Поэтому, используя оператор \mathcal{A}_{1}=\dfrac{1}{t\Lambda''(\eta)}\overline{M}\,\partial_{\eta}M, можем записать
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h_{1}}\xi\,\partial_{\xi}\phi=-i\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi+t^{-1}\mathcal{V}_{q_{6}}\,\partial_{\xi}\phi,
\end{equation*}
\notag
где q_{6}(\xi,\eta) =it\mathcal{A}_{0}h_{1}(\xi,\eta) . Таким образом, приходим к представлению
\begin{equation*}
t\mathcal{Q}_{t}\phi=i\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}} \,\partial_{\xi}\phi+\eta\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +t^{-1}\mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}\mathcal{V}_{h_{3}}\phi,
\end{equation*}
\notag
где h_{2}\,{=}\,q_{4}\,{-}\,q_{6}, h_{3}\,{=}\,q_{5}. Так как справедливы оценки \sup_{\eta,\xi\in\mathbb{R}}| \partial_{\eta}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}h_{j}(\eta,\xi)|\,{\leqslant}\, C при k,l=0,1, j=1,2,3, то, применяя лемму 2.6, находим
\begin{equation*}
\| \mathcal{V}_{h_{j}}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\| \sqrt{\Lambda''}\mathcal{V}_{h_{j}}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\|\phi\|_{\mathbf L^2}.
\end{equation*}
\notag
Лемма 2.8 доказана. 2.6. Оценки производных сопряженного оператора дефекта \mathcal{Q}^{\ast}Установим \mathbf{L}^{2}-ограниченность сопряженного оператора дефекта с весом
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi=t^{1/2}\int_{\mathbb{R}}e^{itS( \xi,\eta)}h(t,\xi,\eta) \phi(\eta)\Lambda''(\eta)\, d\eta.
\end{equation*}
\notag
Лемма 2.9. Предположим, что весовая функция h удовлетворяет оценкам
\begin{equation*}
|\partial_{\eta}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}h(t,\xi,\eta)| \leqslant Ct^{(m+n)/2}
\end{equation*}
\notag
для всех \xi,\eta\in\mathbb{R}, t\geqslant1 при m,n=0,1. Тогда имеет место оценка Доказательство. Сделаем замену переменной интегрирования \eta=\mu(x) ; тогда
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi=e^{it\Lambda(\xi)}t^{1/2}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx\xi}h(t,\xi,\mu(x)) \mathcal{B}M\phi\,dx.
\end{equation*}
\notag
После этого сделаем замену переменной интегрирования x=t^{-1/2}x' (штрих мы затем опустим); тогда найдем
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi=e^{it\Lambda(\xi)}\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}h(t,\xi t^{-1/2},\mu(xt^{-1/2})) \mathcal{D}_{t^{-1/2}}\mathcal{B}M\phi \, dx.
\end{equation*}
\notag
Определим псевдодифференциальный оператор как
\begin{equation*}
\mathbf{a}^{\ast}( t,\xi,\mathbf{D}) \phi=\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}\mathbf{a}^{\ast}( t,\xi,x) \overline{\widehat{\phi}(x)}\,dx
\end{equation*}
\notag
с символом \mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,x)=h(t,\xi t^{-1/2},\mu(xt^{-1/2})). Тогда можем записать
Чтобы установить \mathbf{L}^{2}-ограниченность псевдодифференциального оператора \mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,\mathbf{D}), оценим символ \mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,x) =h(t,\xi t^{-1/2},\eta)|_{\eta=\mu(xt^{-1/2})}. Поскольку \mu'(x) ={1}/{\Lambda''(\mu(x))}=O(1) , имеем
\begin{equation*}
|\partial_{x}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}\mathbf{a}^{\ast}( t,\xi,x)|=O\biggl(\frac{t^{-m/2}}{( \Lambda''(\eta))^{m}}\,\partial_{\eta}^{m}\,\partial_{\xi}^{n}h(t,\xi t^{-1/2},\eta)\bigg|_{\eta=\mu(xt^{-1/2})}\biggr) \leqslant C
\end{equation*}
\notag
для всех x,\xi\in\mathbb{R}, t\geqslant1, m,n=0,1. Поэтому в силу леммы 2.5 получаем \|\mathbf{a}^{\ast}(t,\xi,\mathbf{D}) \phi\|_{\mathbf{L}_{\xi}^2}\leqslant C\|\phi\|_{\mathbf L^2}, откуда, используя равенства
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\mathcal{D}_{t^{1/2}}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \qquad \| \mathcal{F}^{-1}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \\ \|\mathcal{D}_{t^{1/2}}\phi\|_{\mathbf L^2}=\|\phi\|_{\mathbf L^2}, \qquad \| \mathcal{B}\phi\|_{\mathbf L^2}=\| \sqrt{\Lambda''}\phi\|_{\mathbf L^2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
находим
\begin{equation*}
\|\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}=\|\mathbf{a}^{\ast}( t,\xi,\mathbf{D}) \mathcal{F}^{-1}\overline{\mathcal{D}_{t^{1/2}}\mathcal{B}M\phi}\|_{\mathbf{L}_{\xi}^{2}}\leqslant C\|\sqrt{\Lambda''}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}.
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. Доказательство. Интегрирование по частям дает
\begin{equation*}
\partial_{\xi}\mathcal{Q}^{\ast}\phi=C\mathcal{V}_{q_{7}}^{\ast}\,\partial_{\eta}\phi +C\mathcal{V}_{q_{8}}^{\ast}\phi,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_{7}(\xi,\eta) &=\frac{\partial_{\xi}S(\xi,\eta)}{\partial_{\eta}S( \xi,\eta)}=\frac{1}{\Lambda''(\eta)}\int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+( \xi-\eta) z)\, dz=O(1), \\ q_{8}(\xi,\eta) & =\frac{1}{\Lambda''( \eta)}\,\partial_{\eta}\biggl(\frac{\partial_{\xi}S(\xi ,\eta)}{\partial_{\eta}S(\xi,\eta)}\Lambda ''(\eta)\biggr) \\ & =\frac{1}{\Lambda''(\eta)}\, \partial_{\eta} \int_{0}^{1}\Lambda''(\eta+(\xi-\eta)z)\, dz=O(1) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Ввиду оценок \sup_{\eta,\xi\in\mathbb{R}}| \partial_{\eta}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}q_{j}(\xi,\eta)|\leqslant C при k,l=0,1, j=7,8, применяя лемму 2.9, получаем
Лемма доказана. В следующей лемме мы оценим коммутатор [ \langle \xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}] . Доказательство. Интегрируя по частям, получаем
\begin{equation*}
t[ \langle \xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}] \phi=CV_{q_{9}}^{\ast}\,\partial_{\eta}\phi+CV_{q_{10}}^{\ast}\phi,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_{9}(\xi,\eta) &=\frac{\langle \xi\rangle^{-2} -\langle \eta\rangle^{-2}}{\partial_{\eta}S(\xi,\eta)} =\frac{\xi+\eta}{\langle \xi\rangle ^{2}\langle \eta\rangle^{2}\Lambda''( \eta)}=O(1), \\ q_{10}(\xi,\eta) & =\frac{1}{\Lambda''( \eta)}\,\partial_{\eta}\biggl(\frac{\langle \xi\rangle ^{-2}-\langle \eta\rangle^{-2}}{\partial_{\eta}S(\xi ,\eta)}\Lambda''(\eta)\biggr) =\frac{1}{\Lambda''(\eta)}\,\partial_{\eta} \biggl(\frac{\xi+\eta}{\langle \xi\rangle^{2}\langle \eta\rangle^{2}}\biggr) =O(1) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Ввиду оценок \sup_{\eta,\xi\in\mathbb{R}}| \partial_{\eta}^{k}\,\partial_{\xi}^{l}q_{j}(\xi,\eta)|\leqslant C при k,l=0,1, j=9,10, применяя лемму 2.9, находим
Лемма доказана. § 3. Априорные оценки решенияСначала мы сформулируем результат о локальном по времени существовании решения задачи Коши (2) в функциональном пространстве \mathbf{C}([ 0,\infty); \mathbf{H}^{5}\cap\mathbf{H}^{0,1}) \cap\mathbf{C}^{1}((0,\infty);\mathbf{H}^{3}) (доказательство см. в [20]). Теорема 3.1. Пусть имеем начальное данное u_{0}\in\mathbf{H}^{5}\cap\mathbf{H}^{0,1}. Тогда для некоторого времени T>0 существует единственное решение
\begin{equation*}
u\in\mathbf{C}([ 0,\infty) ;\mathbf{H}^{5}\cap \mathbf{H}^{0,1}) \cap\mathbf{C}^{1}((0,\infty) ;\mathbf{H}^{3})
\end{equation*}
\notag
задачи Коши (2) такое, что \|u\|_{\mathbf{X}_{T}}<C. При этом если норма \|u_{0}\|_{\mathbf{H}^{5}\cap\mathbf{H}^{0,1}} мала, то время существования T больше 1. Чтобы установить глобальное по времени существование решений, нам нужно доказать априорные оценки решений в норме \|\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{X}_{T}} равномерно по T\geqslant1, где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\phi\|_{\mathbf{X}_{T}} &=\sup_{t\in[ 1,T] }(\|\phi(t)\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+W^{1/2}(t)\|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}\phi(t)\|_{\mathbf{L}^{\infty}} \\ &\qquad +t^{-\gamma}\|\langle \xi\rangle ^{5}\phi\|_{\mathbf{L}^{2}}+K^{-1}(t)\| \partial_{\xi}\phi(t)\|_{\mathbf{L}^{2}}) , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
W(t) =1+\varepsilon^{2}\ln(1+t) , K(t) =t^{\gamma}+\varepsilon^{2}t^{1/4}W^{-3/2}(t) , \widetilde{\xi}=\xi\sqrt{t}, \gamma>0 мало. 3.1. Оценка производнойВ следующей лемме мы оценим функцию
\begin{equation*}
\Phi=\partial_{\xi}\widehat{\varphi}-\langle \xi\rangle ^{-2}\Omega'(\xi) \int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}(\tau) v^{3}(\tau) \,d\tau.
\end{equation*}
\notag
Лемма 3.1. Предположим, что \|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{X}_{T}}\leqslant C\varepsilon. Тогда имеет место оценка Доказательство. Дифференцируя уравнение (5), получаем
\begin{equation*}
i\,\partial_{t}\widehat{\varphi}_{\xi}=i\langle \xi\rangle ^{-2}\Omega'(\xi) e^{it\Omega(\xi)}\mathcal{D}_{3}\mathcal{Q}^{\ast}(3t) v^{3}+R=i\langle \xi\rangle^{-2}\Omega'(\xi) \mathcal{Q}^{\ast }(t) M^{2}(t) v^{3}(t) +R,
\end{equation*}
\notag
где R=t^{-1}e^{it\Omega}\,\partial_{\xi}(\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{D}_{3}\mathcal{Q}^{\ast}(3t) v^{3}) , откуда находим i\,\partial_{t}\Phi=R. Чтобы оценить остаток R, применим лемму 2.10; тогда \|R\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant Ct^{-1}\|v^{3}\|_{\mathbf{H}^{1}}. Также в силу леммы 2.7 находим
\begin{equation*}
\|\partial_{\eta}v\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{H}^{1}}\leqslant C\varepsilon K(t) .
\end{equation*}
\notag
Применение леммы 2.2 дает неравенство
\begin{equation*}
|v|\leqslant C|\widehat{\varphi}|+Ct^{-1/4}\| \partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
откуда получаем
\begin{equation*}
\|R\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant Ct^{-1}\|v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{2}\|v\|_{\mathbf{H}^{1}}\leqslant C\varepsilon^{3}t^{-1}K(t).
\end{equation*}
\notag
Таким образом, Интегрирование по времени приводит к неравенству
Лемма доказана. Теперь мы оценим производную \partial_{\xi}\widehat{\varphi}. Доказательство. Ввиду леммы 3.1 нам нужно оценить интеграл
\begin{equation*}
I=\langle \xi\rangle^{-2}\Omega'(\xi) \int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}(\tau)v^{3}(\tau) \,d\tau.
\end{equation*}
\notag
Применяя тождество t^{1/2}e^{itS_{3}(\xi,\eta)}=H_{1}\,\partial_{t}(t^{3/2} e^{itS_{3}(\xi,\eta)}) , где H_{1}( t,\xi,\eta) =(3/2+itS_{3}(\xi,\eta))^{-1}, S_{3}(\xi,\eta) =S(\xi,\eta) +2\Theta(\eta) , и интегрируя по частям, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}\phi \,d\tau=t\mathcal{Q}^{\ast}( t) M^{2}(t) H_{1}(t) \phi(t) -\mathcal{Q}^{\ast}(1) M^{2}(1) H_{1}(1) \phi(1) \\ &\qquad\qquad -\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}(\tau) H_{2}(\tau) \phi(\tau) \,d\tau-\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}(\tau) H_{1}(\tau) \tau\,\partial_{\tau}\phi(\tau) \,d\tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где H_{2}=\frac{3}{2}H_{1}^{2}-H_{1}. Отметим, что S(\xi,\eta) +2\Theta(\eta) =\Omega(\xi) +3S({\xi}/{3},\eta) , откуда вытекает оценка
\begin{equation*}
S_{3}(\xi,\eta) =\frac{3}{4}\Omega(\xi) +\frac {1}{2}\Theta(\eta) +\frac{3}{4}\biggl(S(\xi,\eta)+S\biggl(\frac{\xi}{3},\eta\biggr)\biggr) \geqslant\frac{1}{8}( \xi^{2}+\eta^{2}),
\end{equation*}
\notag
так как
\begin{equation*}
S(\xi,\eta) =\frac{1}{2}\int_{\eta}^{\xi}\Lambda''(z) (\xi-z)\, dz\geqslant C(\xi-\eta)^{2}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, получаем неравенство
\begin{equation*}
|H_{1}(t,\xi,\eta)|\leqslant\frac {C}{1+t(\xi^{2}+\eta^{2})}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку \tau\,\partial_{\tau}v(\tau) =\mathcal{Q}\tau\widehat{\varphi}_{\tau} +\tau\mathcal{Q}_{\tau}\widehat{\varphi}, имеем представление
\begin{equation*}
I=\langle \xi\rangle^{-2}\frac{\Omega'(\xi)}{\xi}\sum_{j=1}^{4}I_{j},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{1} & =t\xi\mathcal{Q}^{\ast}(t) M^{2}(t) H_{1}(t) v^{3}(t) -\xi\mathcal{Q}^{\ast}( 1) M^{2}(1) H_{1}(1) v^{3}(1) , \\ I_{2} & =-\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}( \tau) H_{2}(\tau) v^{3}(\tau)\, d\tau, \\ I_{3} & =-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}( \tau) H_{1}(\tau) v^{2}\mathcal{Q}\tau\widehat{\varphi}_{\tau}\,d\tau, \\ I_{4} & =-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}( \tau) H_{1}(\tau) v^{2}\tau\mathcal{Q}_{\tau}\widehat{\varphi}\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В силу леммы 2.2 имеем
\begin{equation*}
\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}|v|\leqslant C\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}| \widehat{\varphi}|+Ct^{-1/4}\|\partial_{\xi}\widehat{\varphi} \|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon W^{-1/2}(t),
\end{equation*}
\notag
а также
\begin{equation*}
\|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1/2-2\gamma }v\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon W^{-1/2}( t)\|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1/2-\gamma}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon t^{-1/4}W^{-1/2}(t) .
\end{equation*}
\notag
После этого, применяя лемму 2.9 с h(t,\xi,\eta) =\widetilde{\xi}\langle \widetilde{\eta}\rangle H_{1}, находим оценки
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|t\xi\mathcal{Q}^{\ast}(t) M^{2}H_{1}v^{3}( t)\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant Ct^{1/2}\| \langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1}v^{3}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{3}t^{1/4}W^{-3/2}(t) \leqslant C\varepsilon K(t), \\ \|\xi\mathcal{Q}^{\ast}(1) M^{2}(1) H_{1}(1) v^{3}(1)\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\|\langle \xi\rangle^{-1}v^{3}(1) \|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{3}\leqslant C\varepsilon K(t), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
так что \|I_{1}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon K(t) . Аналогично получаем
\begin{equation*}
\|I_{2}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant\biggl\|\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{2}v^{3}(\tau)\,d\tau\biggr\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-3/4}W^{-3/2}(\tau)\,d\tau\leqslant C\varepsilon K(t) .
\end{equation*}
\notag
Далее, из уравнения (5) имеем
\begin{equation*}
\mathcal{Q}t\widehat{\varphi}_{t}=-i\mathcal{Q}\langle \xi \rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}v^{3}=-i\mathcal{Q}\langle \xi\rangle^{-2}e^{i\tau\Omega}\mathcal{D}_{3}\mathcal{Q}^{\ast}(3\tau) v^{3},
\end{equation*}
\notag
откуда следует, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{Q}\tau\widehat{\varphi}_{\tau } =-i\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{Q}e^{i\tau\Omega}\mathcal{D}_{3}\langle 3\xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}( 3\tau) v^{3} \\ &\qquad =-i\mathcal{Q}^{\ast}M^{4}H_{1}\langle 3\eta\rangle^{-2}v^{5}-i\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{Q}e^{i\tau\Omega}\mathcal{D}_{3}[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}( 3\tau) ] v^{3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, имеем I_{3}=I_{5}+I_{6}, где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{5} & =3i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{4}H_{1}\langle 3\eta\rangle^{-2}v^{5}\,d\tau, \\ I_{6} & =3i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{Q} e^{i\tau\Omega}\mathcal{D}_{3}[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3\tau) ] v^{3}\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Как и выше, в силу леммы 2.9 с h=\widetilde{\xi}\langle \widetilde{\eta}\rangle H_{1} получаем
\begin{equation*}
\|I_{5}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\int_{1}^{t}\tau^{-1/2}\| \langle \widetilde{\eta}\rangle^{-1}v^{5}( \tau)\|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}\int _{1}^{t}\tau^{-3/4}W^{-5/2}(\tau)\,d\tau\leqslant C\varepsilon K(t) .
\end{equation*}
\notag
Также, используя лемму 2.11, находим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{6}\|_{\mathbf{L}^{2}}&\leqslant C\varepsilon^{2}\int_{1}^{t}\tau^{-1/2}\|[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3\tau) ] v^{3}\|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau \\ &\leqslant C\varepsilon^{2}\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}\|v^{3}\|_{\mathbf{H}^{1}}\,d\tau\leqslant C\varepsilon^{4}\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}K(\tau)\, d\tau\leqslant C\varepsilon K(t) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Наконец, оценим слагаемое I_{4}. Из леммы 2.8 имеем
\begin{equation*}
t\mathcal{Q}_{t}\phi=i\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +\eta\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}\mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\phi +\frac{1}{t}\mathcal{V}_{h_{3}}\phi.
\end{equation*}
\notag
Поэтому справедливо представление I_{4}=\sum_{j=7}^{10}I_{j}, где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{7} =-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi} \,\frac{d\tau}{\tau}, \qquad I_{8}=-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{2}} \,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,\frac{d\tau}{\tau}, \\ I_{9} =-3\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}\eta v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \\ I_{10}=-3i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}} \,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
откуда, используя равенства \mathcal{Q}^{\ast}(t) \mathcal{A}_{1}(t) =i\xi\mathcal{Q}^{\ast}(t) и v_{1}=\mathcal{A}_{1}v=\mathcal{Q}i\xi\widehat{\varphi}=i\eta v+\mathcal{A}_{0}v, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{A}_{1}\phi =\mathcal{Q}^{\ast}\frac{1}{t\Lambda''(\eta)}\overline{M}H_{1}( Mv)^{2}\,\partial_{\eta}M\phi \\ &\quad =\mathcal{Q}^{\ast}\mathcal{A}_{1}(M^{2}H_{1}v^{2}\phi) -2\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}vv_{1}\phi-\mathcal{Q}^{\ast}(t) M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{1}) v^{2}\phi \\ &\quad =i\xi\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\phi-2i\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}\eta v^{2}\phi-2\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}(\mathcal{A}_{0}v) v\phi-\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{1}) v^{2}\phi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Значит, справедливо представление I_{10}=\sum_{j=11}^{14}I_{j}, где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{11} =3\xi^{2}\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}} \,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \qquad I_{12}=-6\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}\eta v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \\ I_{13} =3i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{1}) v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau, \\ I_{14}=6i\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{1}( \mathcal{A}_{0}v) v\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\,d\tau. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Из леммы 2.8 и леммы 2.9 с h=\widetilde{\xi}\langle \widetilde{\eta}\rangle H_{1} выводим оценку
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{7}\|_{\mathbf{L}^{2}} &\leqslant C\biggl\|\xi\int_{1}^{t}\mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}H_{1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi}\,\frac{d\tau}{\tau}\biggr\|_{\mathbf{L}^{2}} \\ &\leqslant C\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau \leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{\gamma-3/2}\,d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}K(t) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Аналогично,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{8}\|_{\mathbf{L}^{2}}+\|I_{9}\| _{\mathbf{L}^{2}} &\leqslant C\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}\| \langle \widetilde{\eta}\rangle^{-1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{2}}\, \partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau +C\int_{1}^{t}\tau^{-1}\| v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi} \|_{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau \\ & \leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-3/2}K(\tau)\, d\tau+C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-1}K(\tau)\, d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}K(t) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Также, применяя лемму 2.8 и лемму 2.9, находим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{11}\|_{\mathbf{L}^{2}}+\|I_{12}\| _{\mathbf{L}^{2}}+\|I_{13}\|_{\mathbf{L}^{2}} &\leqslant C\int _{1}^{t}\tau^{-1}\| v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{2}}\,d\tau \\ &\leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-1}K(\tau)\,d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}K(t) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Наконец, в силу неравенства \|\mathcal{Q}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\|\phi\|_{\mathbf{L}^{1}} получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_{14}\|_{\mathbf{L}^{2}} &\leqslant C\int_{1}^{t}\| \langle \widetilde{\xi}\rangle^{-1}\|_{\mathbf{L}^{2}}\| \mathcal{Q}^{\ast}(\tau) M^{2}\widetilde{\xi}\langle \widetilde{\xi}\rangle H_{1}(\mathcal{A}_{0}v) v\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{\infty}}\,d\tau \\ & \leqslant C\varepsilon\int_{1}^{t}\tau^{-5/4}\|(\tau\mathcal{A}_{0}v) \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat {\varphi}\|_{\mathbf{L}^{1}}\,d\tau \\ &\leqslant C\varepsilon^{3}\int_{1}^{t}\tau^{-5/4}K^{2}(\tau) \,d\tau \leqslant C\varepsilon^{3} \int_{1}^{t}\tau^{-1}K(\tau)\, d\tau\leqslant C\varepsilon^{3}K(t), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда следует результат леммы для всех t\in[ 1,T] .
Лемма 3.2 доказана. 3.2. Оценки в равномерной метрикеОбозначим
\begin{equation*}
y=\widehat{\varphi}+i\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{3},
\end{equation*}
\notag
где H_{3}(t,\xi,\eta) =(-1/2+itS_{3}(\xi ,\eta))^{-1}, S_{3}(\xi,\eta) =S(\xi,\eta) +2\Theta(\eta). Лемма 3.3. Предположим, что \|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{X}_{T}}\leqslant C\varepsilon. Тогда y=\widehat{\varphi}+O(\varepsilon^{3}W^{-3/2}) . Более того, функция y(t,\xi) удовлетворяет уравнению
\begin{equation}
\partial_{t}y(t,\xi) =-\frac{1}{2t\sqrt{3}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}y^{3}(t,\xi) +g(t,\xi)
\end{equation}
\tag{6}
для всех t\geqslant1, x\in\mathbb{R}, где Доказательство. Применяя тождество e^{itS_{3}(\xi,\eta)}\,{=}\,H_{3}t^{3/2}\,\partial_{t}(t^{-1/2} e^{itS_{3}(\xi,\eta)}) и интегрируя по частям, получаем
\begin{equation*}
t^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}v^{3}=\partial_{t}( \mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{3}) -t^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{4}v^{3} -3\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\,\partial_{t}v,
\end{equation*}
\notag
где H_{4}=-\frac{1}{2}H_{3}^{2}. Поэтому из уравнения (5) следует где R_{0}=-it^{-1}\langle \xi\rangle^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{4}v^{3} и R_{1}=\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\,\partial_{t}v. Имеем \partial_{t}v=\mathcal{Q}\widehat{\varphi}_{t} +(\mathcal{Q})_{t}\widehat{\varphi}, поэтому мы можем положить R_{1}=R_{2}+R_{3}, где
\begin{equation*}
R_{2}=\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\mathcal{Q}\widehat{\varphi}_{t},\qquad R_{3}=\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}(\mathcal{Q})_{t}\widehat{\varphi}.
\end{equation*}
\notag
Из уравнения (5) вытекает
\begin{equation*}
\mathcal{Q}\widehat{\varphi}_{t}=-it^{-1}M^{2}\langle 3\eta \rangle^{-2}v^{3}-it^{-1}\mathcal{Q}e^{it\Omega}\mathcal{D}_{3}[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3t) ] v^{3},
\end{equation*}
\notag
поэтому можем записать R_{2}=R_{4}+R_{5}, где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{4} & =-it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{4}H_{3}v^{5}\langle 3\eta \rangle^{-2}, \\ R_{5} & =-it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\mathcal{Q}e^{it\Omega}\mathcal{D}_{3}[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3t) ] v^{3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В силу леммы 2.2 находим \|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant C\varepsilon W^{-1/2}, откуда, пользуясь неравенством \|\mathcal{V}_{h}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\|h\phi\|_{\mathbf{L}^{1}}, получаем
\begin{equation*}
\|R_{4}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{5}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{5\gamma-2}\|_{\mathbf{L}^{1}}\leqslant C\varepsilon^{5}t^{-1}W^{-5/2}\leqslant C|g_{1}|,
\end{equation*}
\notag
и в силу леммы 2.11 находим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|R_{5}\|_{\mathbf{L}^{\infty}} &\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{2\gamma-2}\|_{\mathbf{L}^{2}}\|[ \langle 3\xi\rangle^{-2},\mathcal{Q}^{\ast}(3t) ] v^{3}\|_{\mathbf{L}^{2}} \\ & \leqslant C\varepsilon^{2}t^{-7/4}\|v^{3}\|_{\mathbf{H}^{1}}\leqslant C|g_{1}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Далее из леммы 2.8 имеем
\begin{equation*}
t(\mathcal{Q})_{t}\phi=t^{-1}\eta\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi +t^{-2}\mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\phi+t^{-2}\mathcal{V}_{h_{3}}\phi +it^{-1}\mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\phi.
\end{equation*}
\notag
Поэтому R_{3}=\sum_{j=6}^{9}R_{j}, где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_{6}=t^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}\eta v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \qquad R_{7}=t^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2} \mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \\ R_{8}=t^{-2}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2} \mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi}, \qquad R_{9}=it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2} \mathcal{A}_{1}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Применяя неравенство \|\mathcal{Q}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\|\phi\|_{\mathbf{L}^{1}} и лемму 2.8, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|R_{6}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+\| R_{7}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+\|R_{8}\|_{\mathbf{L}^{\infty}} \\ &\qquad\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v^{2}\eta\mathcal{V}_{h_{1}} \,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{1}} \\ &\qquad\qquad +Ct^{-3/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-2}v^{2}\mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi} \|_{\mathbf{L}^{1}}+Ct^{-3/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v^{2}\mathcal{V}_{h_{3}} \widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{1}} \\ &\qquad \leqslant Ct^{-1}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{2\gamma-1}\|_{\mathbf{L}^{2}}(\| \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}+\| \mathcal{V}_{h_{2}}\,\partial_{\xi}\widehat {\varphi}\| _{\mathbf{L}^{2}}+\|\mathcal{V}_{h_{3}}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{2}}) \\ &\qquad \leqslant C\varepsilon^{2}t^{-5/4}W^{-1}(\|\partial _{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}+\|\widehat {\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}) \\ &\qquad \leqslant C\varepsilon^{3}t^{-5/4}W^{-1}K(t) \leqslant C|g_{1}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теперь, используя тождества \mathcal{Q}^{\ast}(t) \mathcal{A}_{1}(t) =i\xi\mathcal{Q}^{\ast}(t) и v_{1}=\mathcal{A}_{1}v=\mathcal{Q}i\xi\widehat{\varphi}= i\eta v+ \mathcal{A}_{0}v, находим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\mathcal{A}_{1}\phi &= i\xi\mathcal{Q}^{\ast} M^{2}H_{3}v^{2}\phi-2i\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}\eta v^{2}\phi \\ &\qquad -2\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}(\mathcal{A}_{0}v) v\phi-\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{3}) v^{2}\phi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, можем записать R_{9}=\sum_{j=10}^{13}R_{j}, где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_{10} =-t^{-1}\xi\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\, \partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \qquad R_{11}=2t^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}\eta v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \\ R_{12}=-it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}(\mathcal{A}_{0}H_{3}) v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}, \qquad R_{13}=-2it^{-1}\mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}(\mathcal{A}_{0}v) v\mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Отметим, что (\mathcal{A}_{0}H_{3}) =O(t^{-1/2}\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}) , поэтому, применяя неравенство \| \mathcal{Q}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\| \phi\|_{\mathbf{L}^{1}} и лемму 2.8, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|R_{10}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+\| R_{11}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}+\|R_{12}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{-1}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-1}v^{2}\mathcal{V}_{h_{1}}\, \partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{1}} \\ &\qquad \leqslant Ct^{-1}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle ^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{2\gamma-1}\|_{\mathbf{L}^{2}}\| \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{2}t^{-5/4}W^{-1}\| \partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}} \\ & \qquad\leqslant C\varepsilon^{3}t^{-5/4}W^{-1}K(t) \leqslant C|g_{1}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Оценим слагаемое R_{13} с помощью неравенства \| \mathcal{Q}^{\ast}\phi\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant Ct^{1/2}\| \phi\|_{\mathbf{L}^{1}}, леммы 2.8 и леммы 2.7:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|R_{13}\|_{\mathbf{L}^{\infty}} &\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v(\mathcal{A}_{0}v) \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{L}^{1}} \\ &\leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\| \mathcal{A}_{0}v\|_{\mathbf{L}^{2}}\| \mathcal{V}_{h_{1}}\,\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}} \\ & \leqslant C\varepsilon^{3}t^{-3/2}W^{-1/2}K^{2}(t) \leqslant C\varepsilon^{3}t^{-5/4}W^{-1}K(t) \leqslant C| g_{1}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, приходим к оценке \|R_{1}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\leqslant C|g_{1}|.
Теперь рассмотрим асимптотику первого слагаемого R_{0} в правой части уравнения (7). Как и выше, ввиду леммы 2.7 имеем
\begin{equation*}
\| \partial_{\eta}v^{3}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-2}v^{2}\|_{\mathbf{L}^{\infty}}\| \partial_{\eta}v\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{3}W^{-1}K(t) .
\end{equation*}
\notag
Поэтому применение леммы 2.3 дает
\begin{equation*}
\mathcal{V}_{h}^{\ast}v^{3}=\frac{\sqrt{8i}}{\sqrt{3}}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}v^{3}+O(\varepsilon^{3}| \widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle ^{-2}) +O(\varepsilon^{3}t^{-1/4}W^{-1}K(t)) .
\end{equation*}
\notag
Значит,
\begin{equation*}
R_{0}=\frac{i}{2t\langle \xi\rangle^{2}}\mathcal{V}_{h}^{\ast }v^{3}=\frac{i\sqrt{2i}}{t\sqrt{3}\langle \xi\rangle ^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}v^{3}(t,\xi) +O(\varepsilon^{3}(|\widetilde{\xi}| \langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}+t^{-1/4}W^{-1}K(t))) .
\end{equation*}
\notag
Из леммы 2.2 следует асимптотика v(t,\xi) =\dfrac{1}{\sqrt{2i}}\,\widehat{\varphi}(t,\xi) +O(\varepsilon t^{-1/4}K(t)) . Поэтому получаем
\begin{equation*}
R_{0}=\frac{1}{2t\sqrt{3}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}\, \widehat{\varphi}^{3}(t,\xi) +O(\varepsilon^{3}( |\widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}+t^{-1/4}W^{-1}K(t))) .
\end{equation*}
\notag
Также имеем оценку
\begin{equation*}
|y-\widehat{\varphi}|\leqslant\| \mathcal{Q}^{\ast}M^{2}H_{3}v^{3}\|_{\mathbf{L}^{\infty}} \leqslant Ct^{-1/2}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{3\gamma -2}\|_{\mathbf{L}^{1}}\|\langle \widetilde{\eta}\rangle^{-\gamma}v\|_{\mathbf{L}^{\infty}}^{3}\leqslant C\varepsilon^{3}W^{-3/2},
\end{equation*}
\notag
откуда следует уравнение (6).
Лемма 3.3 доказана. Теперь рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от параметра \xi\in\mathbb{R},
\begin{equation}
\begin{cases} \partial_{t}y(t,\xi) =-\dfrac{1}{2t\sqrt{3}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}\, y^{3}(t,\xi) +g(t,\xi) , \quad t\geqslant1, \\ y(1,\xi) =y_{1}(\xi) , \end{cases}
\end{equation}
\tag{8}
где g(t,\xi) =O(\varepsilon^{5}t^{-1}W^{-5/2}(t) +\varepsilon^{3}t^{\gamma-5/4}+\varepsilon^{3}t^{-1}| \widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}W^{-3/2}) . Лемма 3.4. Предположим, что начальное возмущение y_{1} удовлетворяет следующим условиям:
\begin{equation*}
\varepsilon\leqslant|y_{1}(\xi)|\leqslant C\varepsilon, \quad |{\arg y_{1}(\xi)}|<\frac{\pi}{8} \quad\textit{при }\ |\xi|\leqslant1,
\end{equation*}
\notag
где \varepsilon>0 достаточно мало. Тогда для решения задачи Коши (8) выполнены оценки
\begin{equation*}
|y(t)|\leqslant C\varepsilon\Psi^{-1/2}, \qquad |{\arg y(t)}|\leqslant C\Psi^{1/2}
\end{equation*}
\notag
для всех t\in[ 1,T] , \xi\in\mathbb{R}, где \Psi=1+\varepsilon^{2}\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}) . Доказательство. В случае |\xi|>1 имеем \langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}\leqslant t^{-1}, так что из уравнения (8) находим y_{t}=O(\varepsilon^{3}t^{-2})+O(\varepsilon^{5}t^{-1}W^{-5/2}). Отсюда, интегрируя по времени, получаем |y(t)|\leqslant\varepsilon+\varepsilon^{2}\leqslant2\varepsilon\Psi^{-1/2}. Теперь рассмотрим случай |\xi|\leqslant1. Сделаем замену функции y=re^{i\omega}, где r>0 и \omega – вещественная функция. Беря реальную и мнимую части, получаем из уравнения (8)
\begin{equation}
r_{t}=-\frac{1}{2t\sqrt{3}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}\, r^{3}\cos2\omega+\operatorname{Re}(ge^{-i\omega}) ,
\end{equation}
\tag{9}
\begin{equation}
\omega_{t}=-\frac{1}{2t\sqrt{3}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}\, r^{2}\sin2\omega+\operatorname{Im}(gr^{-1}e^{-i\omega})
\end{equation}
\tag{10}
с начальными условиями r(1,\xi) =|y_{1}(\xi)|, \omega(1,\xi) =\arg y_{1}(\xi) . Докажем следующие неравенства:
\begin{equation}
\frac{1}{2}\Psi<\frac{|y_{1}(\xi)|^{2}}{r^{2}(t)}<2\Psi, \qquad | \omega( t,\xi)|<\frac{\pi}{8}
\end{equation}
\tag{11}
для всех t\in[ 1,T] , |\xi|\leqslant1. Рассуждая от противного, предположим, что существует максимальное время \widetilde{T}\in(1,T] такое, что
\begin{equation}
\frac{1}{2}\Psi\leqslant\frac{|y_{1}(\xi)|^{2}}{r^{2}(t)}\leqslant2\Psi, \qquad |\omega(t,\xi)|\leqslant\frac{\pi}{8}
\end{equation}
\tag{12}
для всех t\in[ 1,\widetilde{T}] , |\xi|\leqslant1. Разделив уравнение (9) на r^{3}, получим
\begin{equation*}
\partial_{t}r^{-2}=\frac{\cos2\omega}{t\sqrt{3}\,\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}-2\operatorname{Re}(ge^{-i\omega}),
\end{equation*}
\notag
откуда находим
\begin{equation*}
\frac{1}{t\sqrt{6}\,\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}-2r^{-3}|g| \leqslant\partial_{t}r^{-2}\leqslant\frac{1}{t\sqrt {3}\,\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}+2r^{-3}|g|.
\end{equation*}
\notag
Проинтегрировав по времени, найдем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1+\frac{\varepsilon^{2}}{\sqrt{6}}\ln\frac{t\langle \xi\rangle^{2}} {\langle\widetilde{\xi}\rangle^{2}}-2\varepsilon^{2} \int_{1}^{t}r^{-3}|g|\,d\tau \\ &\qquad\leqslant\frac{|y_{1}(\xi)|^{2}}{r^{2}(t)} \leqslant1 +\frac{\varepsilon^{2}}{\sqrt{3}}\ln\frac{t\langle \xi\rangle^{2}}{\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}+2\varepsilon^{2}\int_{1}^{t}r^{-3}|g|\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
так как
\begin{equation*}
\int_{1}^{t}\langle \sqrt{\tau}\,\xi\rangle^{-2}\,\frac{d\tau}{\tau} =\int_{\xi^{2}}^{\widetilde{\xi}^{\,2}}\,\frac{dz}{(1+z) z} =\ln\frac{t\langle \xi\rangle^{2}}{\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}.
\end{equation*}
\notag
Используя (12) и предположения о g, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{1}^{t}r^{-3}|g|\,d\tau&\leqslant C\int_{1}^{t}(1+\varepsilon^{2}\ln(\tau\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}))^{3/2}(\varepsilon^{5}\tau^{-1}W^{-5/2}(\tau) \\ &\qquad\qquad +\varepsilon^{3}\tau^{\gamma-5/4}+\varepsilon^{3}\tau^{-1}|\widetilde{\xi}|\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}W^{-3/2}(\tau))\, d\tau \\ &\leqslant C\Psi^{-1/2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для всех t\in[ 1,\widetilde{T}] , |\xi|\leqslant1. Таким образом, откуда следует, что {|y_{1}(\xi)|^{2}}/{r^{2}(t)}<2\Psi. Аналогично найдем оценку снизу
\begin{equation*}
\frac{|y_{1}(\xi)|^{2}}{r^{2}( t)}\geqslant1+\frac{\varepsilon^{2}}{\sqrt{6}}\ln\frac{t\langle \xi\rangle^{2}}{\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}-2\varepsilon^{2}\int_{1}^{t}r^{-3}|g|\,d\tau >\frac{1}{3}\Psi
\end{equation*}
\notag
для всех t\in[ 1,\widetilde{T}] , |\xi|\leqslant1. Значит, оценка (11) справедлива для всех t\in[ 1,\widetilde{T}] , |\xi| \leqslant1. Умножая обе части уравнения (10) на \omega, имеем
\begin{equation*}
\partial_{t}\omega^{2}=-\frac{1}{t\sqrt{3}\,\langle \widetilde{\xi}\rangle^{2}}r^{2}\omega\sin2\omega+2\omega r^{-1}\operatorname{Im}(ge^{-i\omega})\leqslant\omega^{2}\,\partial_{t}\ln r^{2}+Cr^{-1}| g|,
\end{equation*}
\notag
поскольку 2\omega\sin2\omega\geqslant\omega^{2} при |\omega| \leqslant{\pi}/{8}. Отсюда, проинтегрировав по времени, получим
\begin{equation*}
\omega^{2}(t) \leqslant r^{2}\biggl(\varepsilon^{-2}\omega^{2}( 0) +C\int_{1}^{t}r^{-3}|g|\,d\tau\biggr) \leqslant\Psi^{-1}(\omega^{2}(0) +C\varepsilon^{2}\Psi^{1/2})
\end{equation*}
\notag
для всех t\in[ 1,\widetilde{T}] , |\xi|\leqslant1. Следовательно, | \omega(t,\xi)|<{\pi}/{8} для всех t\in[ 1,\widetilde{T}] , |\xi|\leqslant1. Полученное противоречие доказывает оценки леммы для всех t\in[ 1,T] .
Лемма 3.4 доказана. В следующей лемме мы установим априорные оценки решений. Лемма 3.5. Предположим, что \|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{X}_{T}}\leqslant C\varepsilon. Тогда справедлива оценка Доказательство. Из уравнения (5) следует, что
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\| \langle \xi\rangle^{5}\widehat{\varphi}(t)\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon^{2}t^{-1}\|\langle \xi\rangle^{3}\widehat{\varphi}(t)\| _{\mathbf{L}^{2}},
\end{equation*}
\notag
откуда интегрирование по времени дает \|\langle \xi\rangle^{5}\widehat{\varphi}(t)\|_{\mathbf{L}^{2}}<C\varepsilon t^{\gamma}. Применяя лемму 3.4 и лемму 3.3, получаем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, |\widehat{\varphi}(t,\xi)| &\leqslant |y(t,\xi)|+C\varepsilon^{3}W^{-3/2} \\ &\leqslant C\varepsilon(1+\varepsilon^{2}\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}))^{-1/2}+C\varepsilon^{3}W^{-3/2}<C\varepsilon, \end{aligned} \\ \langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}|\widehat {\varphi}(t,\xi)|\leqslant C\varepsilon\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-\gamma}(1+\varepsilon^{2}\ln( t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle ^{-2}))^{-1/2}+C\varepsilon^{3}W^{-3/2}<C\varepsilon W^{-1/2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
для всех t\in[ 1,T] . Также, используя лемму 3.2, получим оценку производной \|\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}\leqslant C\varepsilon K(t) . Таким образом, находим \|\widehat{\varphi}\| _{\mathbf{X}_{T}}<C\varepsilon.
Лемма доказана. § 4. Доказательство теоремы 1.1Глобальное по времени существование решения
\begin{equation*}
u\in\mathbf{C}([ 0,\infty) ;\mathbf{H}^{5}\cap \mathbf{H}^{0,1}) \cap\mathbf{C}^{1}((0,\infty) ;\mathbf{H}^{3})
\end{equation*}
\notag
задачи Коши (1), удовлетворяющего оценке \|\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{X}_{T}}<C\varepsilon, следует из леммы 3.5 и локального существования, гарантируемого теоремой 3.1. Так что нам остается только доказать асимптотику (4). Из формул метода факторизации, леммы 2.2 и леммы 3.3 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u(t) &=\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\mathcal{Q}\widehat{\varphi} =\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\frac{\widehat{\varphi}}{\sqrt {i\Lambda''}}+O(t^{-3/4}\|\partial_{\xi}\widehat{\varphi}\|_{\mathbf{L}^{2}}) \\ & =\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M\frac{re^{i\omega}}{\sqrt{i\Lambda''}}+O(t^{-1/2}(\ln t)^{-3/2}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
при t\to\infty. Как и при доказательстве леммы 3.4, получим
\begin{equation*}
r^{-2}(t,\xi) =|\widehat{u_{0}}(\xi)|^{-2} +\frac{1}{\sqrt{3}}\ln(t\langle \xi\rangle ^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}) +O(\Psi^{1/2})
\end{equation*}
\notag
и |\omega(t,\xi)|\leqslant C\Psi^{-1/4}, где \Psi=1+\varepsilon^{2}\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}) . Следовательно,
\begin{equation*}
r(t,\xi) =|\widehat{u_{0}}(\xi)|\biggl(1+\frac{|\widehat{u_{0}}(\xi) |^{2}}{\sqrt{3}}\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2})\biggr)^{-1/2} +O(\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2})^{-3/4}) .
\end{equation*}
\notag
Таким образом, находим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u(t) & =\mathcal{D}_{t}\mathcal{B}M|\widehat{u_{0}}(\xi)| \biggl( 1+\frac{|\widehat{u_{0}}(\xi)|^{2}}{\sqrt{3}}\ln(t\langle \xi\rangle^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2})\biggr)^{-1/2} \\ &\qquad +O(t^{-1/2}(\ln(t\langle \xi\rangle ^{2}\langle \widetilde{\xi}\rangle^{-2}))^{-3/4}) , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда следует асимптотика (4). Теорема 1.1 доказана. БлагодарностьАвтор выражает благодарность рецензенту статьи за весьма ценные замечания и предложения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nau23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|