| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Лакуны в спектре тонкостенного прямоугольного бесконечного короба Дирихле с периодическим семейством перегородок С. А. Назаров Институт проблем машиноведения Российской академии наук, г. Санкт-Петербург
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9868e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Тонкостенный короб с перегородкамиЯчейка периодичности
$$
\begin{equation*}
\varpi^{h\varepsilon}=\omega^{h\varepsilon}_0\cup\bigcup_{j=1,2}\bigcup_\pm \omega^\varepsilon_{j\pm}\subset{\mathbb R}^3,
\end{equation*}
\notag
$$
изображенная на рис. 1, a, составлена из пяти тонких ($\varepsilon>0$ – малый параметр) “пластинок” прямоугольной формы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \omega^{h\varepsilon}_0= \biggl\{ x\colon |x_j|< a_j+\frac\varepsilon2,\,j=1,2,\, |x_3|< \frac{h\varepsilon}2\biggr\} , \\ \omega^\varepsilon_{j\pm}=\biggl\{x\colon |x_j\mp a_j|<\frac\varepsilon2,\,|x_{3-j}|<a_{3-j}+\frac\varepsilon2,\, |x_3|<\frac12\biggr\}, \qquad j=1,2 , \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $a_1$, $a_2$ и $h$ – фиксированные (не зависящие от $\varepsilon$) положительные размеры. Бесконечный в направлении оси $x_3$ волновод $\Pi^\varepsilon$ – связное открытое периодическое множество – задан формулами
$$
\begin{equation}
\overline{\Pi^{h\varepsilon}}=\bigcup_{k\in{\mathbb Z}} \overline{\varpi_k^{h\varepsilon}}, \qquad \varpi_k^{h\varepsilon}= \bigl\{ x \colon (x_1, x_2 , x_3-k)\in\varpi^{h\varepsilon}\bigr\}, \quad {\mathbb Z}=\{0,\pm1, \pm 2,\dots\}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Масштабированием период сведен к единице, т.е. декартова система координат $x$ и все геометрические параметры сделаны безразмерными. Иногда в статье будет удобно использовать обозначения $z=x_3$ для аппликаты и $y=(y_1,y_2)=(x_1,x_2)$ для абсциссы и ординаты. В области $\Pi^\varepsilon$ рассмотрим задачу Дирихле для оператора Лапласа
$$
\begin{equation}
-\Delta_xu^{h\varepsilon}(x)=\lambda^{h\varepsilon} u^{h\varepsilon}(x), \qquad x\in\Pi^{h\varepsilon},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
u^{h\varepsilon}(x)=0, \qquad x\in\partial \Pi^{h\varepsilon},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
спектр которой имеет зонное строение (см. [1]–[5] и др.):
$$
\begin{equation}
\wp^{h\varepsilon}=\bigcup_{p\in{\mathbb N}}B^{h\varepsilon}_n.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
При этом ${\mathbb N}:=\{1,2,3,\dots\}$ – натуральный ряд, а спектральные сегменты (зоны прохождения волн)
$$
\begin{equation}
B^{h\varepsilon}_p= \bigl\{\Lambda^{h\varepsilon}_p(\zeta) \mid\zeta\in[-\pi,\pi]\bigr\}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
определены собственными числами модельной задачи на ячейке периодичности
$$
\begin{equation}
-\Delta_xU^{h\varepsilon}(x;\zeta) =\Lambda^{h\varepsilon}(\zeta) U^{h\varepsilon}(x;\zeta), \qquad x\in\varpi^{h\varepsilon},
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$$
\begin{equation}
U^{h\varepsilon}(x;\zeta)=0, \qquad x\in\partial \varpi^{h\varepsilon}\setminus( \overline{\theta^\varepsilon_+}\cup\overline{\theta^\varepsilon_-}),
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
$$
\begin{equation}
U^{h\varepsilon}\biggl(y,\frac{1}{2};\zeta\biggr)= e^{i\zeta}U^{h\varepsilon}\biggl(y,-\frac{1}{2};\zeta\biggr), \qquad y\in\theta^\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial U^{h\varepsilon}}{\partial x_3}\biggl(y,\frac{1}{2};\zeta\biggr) =e^{i\zeta}\frac{\partial U^{h\varepsilon}}{\partial x_3}\biggl(y,-\frac{1}{2};\zeta\biggr), \qquad y\in\theta^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Здесь $\zeta$ – параметр Флоке, $\theta^\varepsilon_\pm=\theta^\varepsilon\times\{\pm 1/2\}$, а $\theta^\varepsilon\subset {\mathbb R}^2$ – тонкая прямоугольная рама (глубоко тонирована на рис. 1, a),
$$
\begin{equation}
\theta^\varepsilon= \biggl\{ y\in{\mathbb R}^2\colon \biggl(y,\pm\frac 12\biggr)\in\Pi^\varepsilon\biggr\}, \qquad \theta^\varepsilon_+\cup\theta^\varepsilon_-= \partial\varpi^\varepsilon \setminus\partial \Pi^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Вариационной формулировке задачи (1.7)–(1.10) как интегрального тождества (см. [6], [7]) с параметром $\zeta\in[-\pi,\pi]$
$$
\begin{equation}
(\nabla_xU^{h\varepsilon},\nabla_x\Psi^{h\varepsilon})_{\varpi^{h\varepsilon}}= \Lambda^{h\varepsilon}(U^{h\varepsilon}, \Psi^{h\varepsilon})_{\varpi^{h\varepsilon}} \quad \forall\,\Psi^{h\varepsilon}\in H^1_{0,\zeta}(\varpi^{h\varepsilon})
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
ставится в соответствие семейство положительно определенных самосопряженных операторов $\{A^\varepsilon(\zeta)\}_{\zeta\in[-\pi,\pi]}$ (см. [8; гл. 10, § 1]) в пространстве Лебега $L^2(\varpi^{h\varepsilon})$ с натуральным скалярным произведением $(\cdot,\cdot)_{\varpi^{h\varepsilon}}$. При этом $H^1_{0,\zeta}(\varpi^{h\varepsilon})$ – пространство Соболева функций, подчиненных условию Дирихле (1.8) и первому условию квазипериодичности (1.9). Поскольку вложение $H^1_{0,\zeta}(\varpi^{h\varepsilon}) \subset L^2(\varpi^{h\varepsilon})$ компактно, спектр оператора $A^\varepsilon(\zeta)$ (задач (1.7)–(1.10) или (1.12) соответственно в дифференциальной или вариационной постановках) дискретный, образующий монотонную неограниченную последовательность нормальных собственных чисел
$$
\begin{equation}
0<\Lambda^{h\varepsilon}_1(\zeta)\leqslant\Lambda^{h\varepsilon}_2(\zeta) \leqslant\dots\leqslant \Lambda^{h\varepsilon}_m(\zeta)\leqslant\dots\to+\infty.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Функции $[-\pi,\pi]\ni\zeta\mapsto\Lambda^{h\varepsilon}_m(\zeta)$ непрерывные и $2\pi$-периодические (см., например, [9] и [3]), а значит, в самом деле спектральные сегменты (1.6) – связные компактные множества на положительной полуоси ${\mathbb R}_+$. Отвечающие собственным числам (1.13) собственные функции подчиним условиям ортогональности и нормировки
$$
\begin{equation}
(U^{h\varepsilon}_p(\cdot;\zeta), U^{h\varepsilon}_q(\cdot;\zeta))_{\varpi^{h\varepsilon}}= \delta_{p,q}, \qquad p,q\in{\mathbb N},
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
где $\delta_{p,q}$ – символ Кронекера. 1.2. Цели работыВ случае цилиндрического волновода (например, при отсутствии перегородок $\omega^{h\varepsilon}_{0k}$, т.е. при $h=0$; ср. определения (1.1) и (1.2)) непрерывный спектр (1.5) задачи (1.3), (1.4) – связный луч $[\lambda^{0\varepsilon}_\unicode{8224},+\infty)$ с положительной точкой отсечки $\lambda^{0\varepsilon}_\unicode{8224}$, но в рассматриваемой ситуации зонное строение спектра $\wp^\varepsilon$ подразумевает возможность раскрытия лакун (зон торможения волн) – открытых интервалов, расположенных между сегментами и свободных от спектра, но имеющих обе концевые точки в нем. Далее в статье при определенных ограничениях будет найдено положение и оценены размеры нескольких спектральных сегментов и установлено раскрытие лакун. С этой целью в разных ситуациях будет изучено поведение собственных чисел (1.13) при $\varepsilon\to+0$. Согласно общим методам (см. [10]) построения асимптотик решений спектральных краевых задач с сингулярными возмущениями помимо предельной задачи на сочленении $\varpi^0$ пяти прямоугольников
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \omega^0_0=\bigl\{ x=(y,z)\colon |y_j|< a_j,\, j=1,2,\, z=0\bigr\}, \\ \omega^0_{j\pm}=\biggl\{ x\colon y_j=\pm a_j,\,|y_{3-j}|<a_{3-j},\, |z|<\frac12\biggr\}, \qquad j=1,2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
к которому стягивается ячейка периодичности $\varpi^{h\varepsilon}$ при $\varepsilon\to+0$, возникают разнообразные пограничные слои около иррегулярных подмногообразий границы. В рассматриваемой ситуации эти пограничные слои описываются при помощи решений задачи Дирихле в следующих двух плоских (рис. 2) и одной пространственной (рис. 3) областях:
$$
\begin{equation}
{\mathbb L}=\bigcup_{j=1,2}\biggl\{\eta=(\eta_1,\eta_2)\in{\mathbb R}^2 \colon \eta_j>-\frac{1}{2}, \,|\eta_{3-j}|<\frac{1}{2}\biggr\},
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathbb T}^h=\biggl\{\eta\colon \eta_1\in{\mathbb R}, |\eta_2|<\frac{1}{2}\biggr\}\cup \biggl\{\eta\colon |\eta_1|<\frac{h}{2}, \,\eta_2>-\frac{1}{2}\biggr\},
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathbb Y}^h=\bigl\{\xi\colon \xi'=(\xi_1,\xi_2)\in {\mathbb L},\, \xi_3\in{\mathbb R}\bigr\}\cup \biggl\{\xi\colon |\xi_3|<\frac{h}{2}, \,\xi_j>-\frac{1}{2},\,j=1,2\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
Если нужная информация о спектрах плоских задач в сочленениях нескольких полуполос (1.16) и (1.17) известна (см. п. 1.3), то существенный и дискретный спектры задачи в трехмерной области (1.18) требуют отдельного анализа, проведенного в § 2. Упомянем близкие по содержанию к соответствующему материалу статьи [11], [12], где, в частности, исследуются существенный и дискретный спектры задачи Дирихле в области, полученной объединением трех взаимно перпендикулярных четвертушек слоев единичной толщины и названной “слоем Фикеры” по аналогии с “многогранным углом Фикеры” (см. [13]). Проверка формулы для существенного спектра задачи в ${\mathbb Y}^h$, разумеется, в п. 2.2 и в [11] почти одинакова – применение критерия Вейля и построение регуляризатора (параметрикса), но приведенный в п. 2.3 способ проверки непустоты дискретного спектра отличается от использованного в работе [12]. Кроме того, при дополнительных условиях найдена кратность дискретного спектра задачи Дирихле в области ${\mathbb Y}^h\subset {\mathbb R}^3$; для слоя Фикеры этот вопрос оставлен авторами статей [11], [12] открытым. 1.3. Дискретные спектры вспомогательных плоских задачДвумерная задача Дирихле в $\mathsf L$-образной области (1.16) (см. рис. 2, a)
$$
\begin{equation}
-\Delta_\eta V(\eta)=\beta V(\eta), \qquad \eta\in{\mathbb L},
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
была исследована в полном объеме (см. первоисточник [14], а также публикации [15]–[17] и др.). Ее непрерывный спектр – луч $[\beta_\unicode{8224},+\infty)$ с точкой отсечки $\beta_\unicode{8224}= \pi^2$, а дискретный состоит из единственного собственного числа $\beta_1\in(\pi^2/2,\pi^2)$ (приближенное значение $\beta_1\approx0,93\pi^2$ вычислено в [14]). Спектр еще одной плоской задачи в $\mathsf T$-образной области (1.17), зависящей от параметра $h>0$ – ширины патрубка, направленного вдоль оси $\eta_2$ (см. рис. 2, b),
$$
\begin{equation}
-\Delta_\eta W^h(\eta)=M^h W^h(\eta), \qquad \eta\in{\mathbb T}^h,
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
изучен в работе [18] (см. также [19]). Сообщим полученную в ней информацию. Непрерывный спектр – луч $[M^h_\unicode{8224},+\infty)$ с точкой отсечки Существует такая точка $h_0\in (1,2)$, что при $h\in(0,h_0)$ имеется изолированное собственное число $M^h_1\in(0,M^h_\unicode{8224})$, но при $h\geqslant h_0$ дискретный спектр пуст. В любом случае его кратность не превосходит единицы. В силу принципа сравнения и включения ${\mathbb L}\subset{\mathbb T}^1$ справедливо неравенство $M^1_1<\beta_1$. Кроме того, согласно [9; гл. 7, § 6] и [8; гл. 10, § 2] функция $(0,1]\ni h\mapsto M^h_1$ непрерывная и строго монотонно убывающая, причем $M^h_1\to\pi^2-0$ при $h\to+0$. В итоге находим такую точку $h_1\in(0,1)$, что
$$
\begin{equation}
h <h_1\quad \Longleftrightarrow\quad M^h_1>\beta_1,
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
т.е. $M^h_1<\beta_1$ при $h \in(h_1,1]$. При $h<h_1$ называем перегородки $\omega^{h\varepsilon}_{0k}$ тонкими, а при $h>h_0$ – толстыми. В следующих параграфах рассматриваем именно такие случаи. К сожалению, поведение при $\varepsilon\to+0$ спектра (1.5) волновода (1.2) с перегородками “средней” толщины и “не очень толстыми” (т.е. соответственно при $h\in[h_1,h_0]$ и при $h\in[h_0,2]$) осталось неизученным – причины поясняются в § 5. Установим еще одно свойство спектров задач (1.19), (1.20) в ${\mathbb L}$ и (1.21), (1.22) в ${\mathbb T}^h$, не упомянутое в цитированных публикациях, но проверяемое также при помощи простых средств и относящееся к понятию порогового резонанса (см. [20]–[22]). Порог $\pi^2$ в задаче (1.19), (1.20) и порог (1.23) в задаче (1.21), (1.22) внешние, простые и невырожденные (терминология из [22]), и поэтому пороговые резонансы в них характеризуются наличием нетривиального ограниченного решения у задач с пороговым значением спектрального параметра – либо захваченной волны, затухающей на бесконечности, либо почти стоячей волны, стабилизирующейся хотя бы в одном рукаве. В последнем случае резонанс называется правильным. Лемма 1. 1) Пороговый резонанс в задаче (1.19), (1.20) отсутствует. 2) При $h>h_0$ в задаче (1.21), (1.22) порогового резонанса нет, но он появляется при $h=h_0$. Доказательство. Сначала обратимся к более содержательному случаю $\mathsf T$-образной области ${\mathbb T}^h$, из которой вырежем прямоугольник ${\mathbb Q}^h=(-h/2,h/2)\times(-1/2,1/2)$ (тонирован на рис. 2, b). Благодаря условиям Дирихле (1.22) в оставшихся трех полубесконечных полосах $\Pi^\pm$ и $\Pi^h$, которые именуем “рукавами” и “патрубком” соответственно, выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\|\nabla_\eta W; L^2(\Pi^\pm)\|^2 \geqslant\pi^2\|W; L^2(\Pi^\pm)\|^2,
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
$$
\begin{equation}
\|\nabla_\eta W; L^2(\Pi^\pm)\|^2 \geqslant h^{-2}\pi^2\|W; L^2(\Pi^\pm)\|^2.
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
Кроме того, при $h\geqslant2$ первое собственное число смешанной краевой задачи для оператора Лапласа в ${\mathbb Q}^h$ с условием Дирихле только на одной стороне $\{-1/2\}\times (-h/2,h/2)$ равно $\pi^2/4\geqslant M^h_\unicode{8224}$ (ср. формулу (1.23)). Соответствующее неравенство Фридрихса вместе с оценками (1.25), (1.26) гарантирует пустоту дискретного спектра задачи (1.21), (1.22) при $h\geqslant2$ (минимальный принцип; см., например, [8; теорема 10.2.1]) и отсутствие порогового резонанса при $h>2$ (достаточное условие из статей [21], [23] или первый критерий из статьи [24]). Поскольку собственные числа из дискретного спектра устойчивы по отношению к малым возмущениям оператора (в рассматриваемом случае – области, так как имеется диффеоморфизм, переводящий ${\mathbb T}^h$ в ${\mathbb T}^1$), возникновение собственного числа на интервале $(0,M^h_\unicode{8224})$ возможно только вследствие его отцепления от порога, которое происходит именно при пороговом резонансе (см. [22]), а именно при $h=h_0$ согласно определению величины $h_0$. Рассуждения, демонстрирующие отсутствие резонанса, но не использующие упомянутые достаточные условия и критерий, приведены в работах [19], [25].
Рассматривая задачу (1.19), (1.20), разобьем область $\mathbb L$ на квадрат ${\mathbb Q}^1$ и две полубесконечные полосы $\Pi_1$ и $\Pi_2$ так, как изображено на рис. 2, a (квадрат тонирован). В полуполосах выполнены неравенства Фридрихса (1.25). Первые два собственных числа смешанной краевой задачи в ${\mathbb Q}^1$ с условиями Дирихле на двух смежных сторонах $\partial{\mathbb L}\,{\cap}\,\partial{\mathbb Q}^1$ равны соответственно $\pi^2/2<\beta_\unicode{8224}$ и $5\pi^2/2>\beta_\unicode{8224}$. Эти простые наблюдения вместе с упомянутыми общими инструментами спектрального анализа обеспечивают все затребованные в статье и перечисленные в данном пункте сведения о задаче в области (1.16). 1.4. Содержание статьиВ п. 1.5 приводятся абстрактная формулировка вариационной задачи (1.12) (или задачи (1.7)–(1.10) в дифференциальной форме) и классическая лемма 2 о “почти собственных” числах и векторах, которая затем применяется в § 3 и § 4 для обоснования асимптотики собственных чисел (1.13). В § 2 изучается спектр задачи Дирихле для оператора Лапласа в трехмерной области (1.18) с тонкой ($h<h_1$) перегородкой (см. рис. 3) – вертикальный “толстостенный” двугранный угол раствором $\pi/4$ с горизонтальной “полкой” $(1/2,+\infty)^2\times(-h/2,h/2)$. Найден существенный спектр
$$
\begin{equation}
\sigma^h_{\mathrm{ess}}=[\mu_\unicode{8224}, +\infty), \quad\text{где }\ \mu_\unicode{8224}=\beta_1,
\end{equation}
\tag{1.27}
$$
оператора этой задачи (теорема 1), а также доказано существование изолированного собственного числа $\mu^h_1$ ниже точки отсечки $\mu_\unicode{8224}$ (теорема 2) и при дополнительном ограничении – его единственность (теорема 3). Подчеркнем, что именно непустота дискретного спектра $\sigma^h_d$ в случае тонких перегородок предопределяет превалирование экспоненциальных пограничных слоев, возникающих около точек
$$
\begin{equation}
P_{(\pm,\pm)}=(\pm a_1,\pm a_2, 0), \qquad P_{(\pm,\mp)}=(\pm a_1,\mp a_2, 0),
\end{equation}
\tag{1.28}
$$
т.е. вершин прямоугольника (1.15), над всеми другими асимптотическими конструкциями для собственных функций в задаче (1.7)–(1.10). Точки (1.28) далее обозначаем $P_\vartheta$, где $\vartheta\in\circledast:=\{(++),(+-),(-+),(--)\}$. Подчеркнем, что область (1.18) получается из ячейки $\varpi^{h\varepsilon}$ растяжением координат
$$
\begin{equation}
x\mapsto\varepsilon^{-1}\Theta_\vartheta(x-P_\vartheta)
\end{equation}
\tag{1.29}
$$
и формальным переходом к $\varepsilon=0$, причем $\Theta_\vartheta$ – ортогональная ($3\times3$)-матрица поворота декартовой системы координат, $\Theta_{--}= {\mathbb I}$ – единичная матрица и $\Theta_{++}=-{\mathbb I}$. По-другому устроена асимптотика собственных пар $\bigl\{\Lambda^{h\varepsilon}_n(\zeta);\, U^{h\varepsilon}_n(\cdot;\zeta)\bigr\}$ задачи (1.7)–(1.10) в случае толстой перегородки $\omega^{h\varepsilon}_0$. Собственные числа (1.13) оказываются близкими к членам монотонной последовательности
$$
\begin{equation}
0<\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}+\nu_1<\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}+\nu_2\leqslant \frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}+\nu_3\leqslant\dots\leqslant \frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}+\nu_m\leqslant\dots\to+\infty
\end{equation}
\tag{1.30}
$$
“сдвинутых” собственных чисел
$$
\begin{equation}
\nu_{p,q}=\frac{\pi^2p^2}{4a_1^2}+\frac{\pi^2q^2}{4a_1^2}, \qquad p,q\in {\mathbb N},
\end{equation}
\tag{1.31}
$$
предельной краевой задачи в прямоугольнике $\omega^0_0$ (см. список фигур (1.12)) Разумеется, набор чисел (1.31) перегруппирован (1.30) в упорядоченную последовательность
$$
\begin{equation}
\frac{\pi^2}{4}\biggl(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}\biggr)=: \nu_1<\nu_2\leqslant\nu_3\leqslant\dots\leqslant\nu_m\leqslant\dots\to+\infty.
\end{equation}
\tag{1.34}
$$
При постановке в предельной задаче условий Дирихле (1.33) решающую роль играет лемма 1, 2), указывающая отсутствие пороговых резонансов в задаче (1.21), (1.22) при $h>h_0$ (см. п. 5.2). Проверенные в § 3 предложения 3 и 4, в которых установлена локализация собственных функций на перемычке и равномерная относительно параметра Флоке $\zeta\in[-\pi,\pi]$ сходимость при $\varepsilon\to+0$ разностей $\Lambda^{h\varepsilon}_n(\zeta)-\pi^2(h\varepsilon)^{-2}$ к собственным числам $\nu_n$ задачи (1.32), (1.33), потребовали введения ограничения означающего “достаточную толщину” перегородок. Это требование сохранено в теоремах 5 и 6 об асимптотиках собственных чисел задачи (1.7)–(1.10) на ячейке и лакунах в спектре (1.5) задачи (1.3), (1.4) на бесконечном волноводе, хотя формальные асимптотические конструкции в п. 3.1 и даже их частичное обоснование в п. 3.2 годятся для просто толстых перегородок, т.е. при $h> h_0$. Полученная при всех $h\in(h_0,2]$ информация указывает на появление коротких спектральных сегментов (1.6) в малых окрестностях точек ${\pi^2(h\varepsilon)^{-2}+\nu_m}$, однако отсутствие “посторонних” сегментов в этом частотном диапазоне проверено только в случае $h>2$ (см. замечание 2). Причины такого сужения результатов из § 3 пояснены в § 5.В § 4 рассматривается задача (1.7)–(1.10) в случае тонкой ($h<h_1$) перегородки $\omega^{h\varepsilon}_0$. В теореме 7 доказано экспоненциальное затухание собственных функций
$$
\begin{equation*}
\varpi^{h\varepsilon}\ni x\mapsto U^{h\varepsilon}_1(x;\zeta),\ \dots,\ U^{h\varepsilon}_4(x;\zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
при удалении точки $x$ от вершин (1.28). Получены асимптотические формулы для первых четырех членов последовательности (1.13), которые (формулы) позволили сделать выводы о сегментах (1.6) при $n=1,\dots,5$, а именно, первые четыре из них располагаются в $C_he^{-K_h/\varepsilon}$-окрестности точки $\varepsilon^{-2}\mu^h_1$, где $K_h>0$ и $C_h>0$ – некоторые величины, а $\mu^h_1$ – собственное число задачи (1.21), (1.22); кроме того, между $B^{h\varepsilon}_4$ и $B^{h\varepsilon}_5$ раскрыта лакуна шириной $O(\varepsilon^{-2})$ (теорема 8). Отметим, что общая схема асимптотического анализа в § 3 и § 4 одинакова, однако исполнение каждого из шагов схемы различается из-за совершенно разного поведения собственных пар задачи (1.7)–(1.10) для толстых и тонких перегородок. Наконец, в § 5 формулируются открытые вопросы и обсуждаются причины, почему не удалось исследовать спектр задачи (1.7)–(1.10) с перегородками средней толщины (т.е. в случаях $h\in[h_1,h_0]$ и $h\in[h_0,2]$) и получить полную информацию о собственных числах $\Lambda^\varepsilon_n(\zeta)$ при $n\geqslant5$ в ситуации $h<h_1$. 1.5. Абстрактная формулировка задачи на ячейке периодичностиВ гильбертовом пространстве ${\mathcal H}^{h\varepsilon}_\zeta= H^1_{0,\zeta}(\varpi^{h\varepsilon})$ введем скалярное произведение
$$
\begin{equation}
\langle U^{h\varepsilon},\Psi^{h\varepsilon}\rangle_{h\varepsilon}=(\nabla_x U^{h\varepsilon},\nabla_x\Psi^{h\varepsilon})_{\varpi^{h\varepsilon}},
\end{equation}
\tag{1.36}
$$
а также положительно определенный непрерывный и симметричный, а значит, самосопряженный оператор ${\mathcal T}_\zeta^{h\varepsilon}$ при помощи тождества
$$
\begin{equation}
\langle{\mathcal T}^{h\varepsilon}_\zeta U^{h\varepsilon},\Psi^{h\varepsilon}\rangle_{h\varepsilon}= (U^{h\varepsilon},\Psi^{h\varepsilon})_{\varpi^{h\varepsilon}} \quad \forall\, U^{h\varepsilon},\Psi^{h\varepsilon} \in{\mathcal H}_\zeta^{h\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{1.37}
$$
Нужные свойства билинейной формы (1.36) обеспечены условием Дирихле (1.8) и неравенством Фридрихса–Пуанкаре. Оператор ${\mathcal T}_\zeta^{h\varepsilon}$ компактный, а значит, согласно [8; теоремы 10.1.5 и 10.2.2] его существенный спектр состоит из единственной точки $\tau=0$, а дискретный образует бесконечно малую монотонную положительную последовательность
$$
\begin{equation*}
\tau_1^{h\varepsilon}(\zeta)\geqslant\tau_2^{h\varepsilon}(\zeta) \geqslant\dots\geqslant\tau_m^{h\varepsilon}(\zeta)\geqslant\cdots \to+0.
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая определения (1.36) и (1.37) с интегральным тождеством (1.12), видим, что вариационная постановка задачи (1.7)–(1.10) эквивалентна абстрактному уравнению
$$
\begin{equation*}
{\mathcal T}^{h\varepsilon}_\zeta U^{h\varepsilon}=\tau^{h\varepsilon}(\zeta) U^{h\varepsilon} \quad\text{в }\ {\mathcal H}_\zeta^{h\varepsilon}
\end{equation*}
\notag
$$
с новым спектральным параметром
$$
\begin{equation}
\tau^{h\varepsilon}(\zeta)=\Lambda^{h\varepsilon}(\zeta)^{-1}.
\end{equation}
\tag{1.38}
$$
Следующее утверждение, известное как теорема о почти “собственных” числах (ср. первоисточник [26]), является непосредственным следствием спектрального разложения резольвенты (см., например, [8; гл. 6]). Лемма 2. Пусть $\mathbf U^{h\varepsilon}\in{\mathcal H}_\zeta^{h\varepsilon}$ и $\mathbf T^{h\varepsilon}\in{\mathbb R}_+$ таковы, что § 2. Спектр пространственной задачи2.1. ПрелюдияВ этом параграфе будет изучен спектр задачи Дирихле
$$
\begin{equation}
-\Delta_\xi w(\xi)=\mu w(\xi), \qquad \xi\in{\mathbb Y}^h,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
в области (1.18) при условии (1.24), т.е. в случае тонкой перегородки. Случаи $h\in(h_1,h_0)$ и $h>h_0$ исследуются по той же схеме (см. далее п. 2.5), но требуют иного написания формул и не рассматриваются ввиду невостребованности в последующем асимптотическом анализе. Если в плоских задачах (1.19), (1.20) и (1.21), (1.22) формулы для точек отсечки их непрерывных спектров очевидны, то существенный спектр задачи (2.1), (2.2) нуждается в отдельном и детальном анализе. Еще раз упомянем публикации [11], [12], содержащие похожие результаты для тела иной геометрической формы. Подчеркнем, что качество существенного спектра не анализируется ни в [11], [12], ни в настоящей статье. Точка дискретного спектра находится по стандартной схеме, а проверка ее единственности осуществлена при дополнительном ограничении на относительную толщину $h$. 2.2. Существенный спектрПрименим критерий Вейля (см., например, [8; гл. 9, § 1]). Вариационной формулировке задачи (2.1), (2.2)
$$
\begin{equation}
(\nabla_\xi w,\nabla_\xi \psi)_{{\mathbb Y}^h}=\mu ( w,\psi)_{{\mathbb Y}^h} \quad \forall\,\psi\in H^1_0({\mathbb Y}^h)
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
на пространстве Соболева $H^1_0({\mathbb Y}^h):=H^1_0({\mathbb Y}^h;\partial{\mathbb Y}^h)$ функций, обращающихся в нуль на поверхности $\partial{\mathbb Y}^h$ (условие Дирихле (1.8)), отвечает (см. [8; гл. 10, § 1]) неограниченный положительно определенный самосопряженный оператор ${\mathbb A}^h$ в гильбертовом пространстве $L^2({\mathbb Y}^h)$. Убедимся в том, что для существенного спектра этого оператора (задачи (2.1), (2.2) или (2.3)) в самом деле верна формула (1.27). Сначала проверим включение $[\mu_\unicode{8224},+\infty)\subset\sigma^h_{\mathrm{ess}}$. Сингулярную последовательность для оператора ${\mathbb A}^h$ в точке $\mu\geqslant\mu_\unicode{8224}$ определим формулами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag z_p=\|Z_p; L^2({\mathbb Y}^h)\|^{-1}Z_p, \qquad p\in{\mathbb N}, \\ Z_p(\xi)=\chi(\xi_3-2^p) (1-\chi(\xi_3-2^{p+1}+1))e^{i\xi_3\sqrt{\mu-\mu_\unicode{8224}}} V_1(\xi_1,\xi_2), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $V_1$ – собственная функция задачи (1.20), отвечающая ее собственному числу $\beta_1$, нормированная в пространстве $L^2({\mathbb L})$ и затухающая на бесконечности со скоростью $O(e^{-|\eta|\sqrt{\pi^2-\beta_1}})$, а $\chi$ – эталонная срезающая функция,
$$
\begin{equation}
\chi(t)=1\quad\text{при }\ t\geqslant1, \qquad\chi(t)=0\quad\text{при }\ t\leqslant\frac 12; \qquad 0\leqslant\chi\leqslant1.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Носитель функции (2.4) расположен на множестве
$$
\begin{equation*}
\mathbf V^p=\bigl\{ \xi=(\xi',\xi_3)\colon \xi'\in {\overline{\mathbb L}},\, \xi_3\in[2^p, 2^{p+1}]\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, очевидны два свойства сингулярной последовательности Вейля (см., например, [8; гл. 9, § 1]): $1^\circ)$ $\|z_p ; L^2({\mathbb Y}^h)\|=1$; $2^\circ)$ $z_p\to0$ слабо в $L^2({\mathbb Y}^h)$. Проверим третье: $3^\circ)$ $\|{\mathbb A}^hz_p -\mu z_p; L^2({\mathbb Y}^h)\|\to0$. Прежде всего,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|Z_p ; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2 &=\|Z_p ; L^2(\mathbf V^p)\|^2 \\ &\geqslant \int_{2^p+1}^{2^{p+1}-1}\int_{\mathbb L} |e^{i\xi_3\sqrt{\mu-\mu_\unicode{8224}}} V_1(\xi_1,\xi_2)|^2\,d\xi' \,d\xi_3=2^{p+1}-2^p-2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как оба первых сомножителя в правой части (2.4) равны единице при $\xi_3\in [2^p+1,2^{p+1}-1]$. Кроме того, $(\Delta_\xi+\mu)Z_p=0$ при тех же значениях аппликаты $\xi_3$ и согласно формулам (1.37) и (2.5) интегралы по множествам ${\mathbb L}\times(2^p,2^p+1)$ и ${\mathbb L}\times(2^{p+1}-1,2^{p+1})$ оцениваются не зависящими от $p\in{\mathbb N}$ величинами, т.е.
$$
\begin{equation*}
\|(\Delta_\xi+\mu)Z_p; L^2(\mathbf V^p)\|\leqslant2C_{\chi\mu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведенные неравенства гарантируют свойство $3^\circ$), и, следовательно, искомое включение $\mu\in\sigma^h_{\mathrm{ess}}$ выполнено. Теперь докажем, что $(0,\mu_\unicode{8224})\cap\sigma^h_{\mathrm{ess}}=\varnothing$. С этой целью при $\mu\in(0,\beta_1)$ рассмотрим вспомогательную задачу
$$
\begin{equation}
(\nabla_\xi w,\nabla_\xi \psi)_{{\mathbb Y}^h}-\mu ( w,\psi)_{{\mathbb Y}^h}+t( w,\psi)_{{\mathbb Y}^h(T)}=f(\psi) \quad \forall\,\psi\in H^1_0({\mathbb Y}^h),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
в которой
$$
\begin{equation}
{\mathbb Y}^h(T)=\bigl\{\xi\in{\mathbb Y}^h \colon \xi_j<T,\, j=1,2,3\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
а $f\in H^1_0({\mathbb Y}^h)^\ast$ – линейный непрерывный функционал на пространстве $H^1_0({\mathbb Y}^h)$. Подберем положительные числа $t$ и $T$ так, чтобы задача (2.6) стала однозначно разрешимой. Именно такое ее свойство обеспечит формулу (1.27), так как третье – дополнительное – слагаемое $t( w,\psi)_{{\mathbb Y}^h(T)}$ в левой части интегрального тождества (2.6) порождает компактный оператор, а значит, обратный для оператора задачи (2.6) – регуляризатор (параметрикс) для той же задачи при $t=0$, т.е. для самой задачи (2.3). Таким образом, на интервале $(0,\mu_\unicode{8224})$ может располагаться только дискретный спектр. Введем усечения бесконечных областей (1.16) и (1.17), а именно
$$
\begin{equation*}
{\mathbb L}_R=\bigl\{\eta\in{\mathbb L}\colon \eta_j<R,\, j=1,2\bigr\}, \qquad {\mathbb T}^h_R=\bigl\{\eta\in{\mathbb T}^h\colon |\eta_1|<R, \,\eta_2<R\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
На усекающих отрезках $\Upsilon^j_R=\{\eta \colon \eta_j=R,\,|\eta_{3-j}|<1/2\}$, $j=1,2$, и $\Upsilon^\pm_R=\{\eta \colon \eta_1=\pm R,\,|\eta_2|<1/2\}$, $\Upsilon^h_R=\{\eta \colon \eta_2= R,\,|\eta_1|<h/2\}$ назначим условия Неймана, а на остальных частях границ $\partial{\mathbb L}_R$ и $ \partial{\mathbb T}^h_R$ сохраним условия Дирихле. Первые собственные числа полученных смешанных краевых задач обозначим $\beta_{1R}$ и $M^h_{1R}$ соответственно. Доказательство. Поскольку первые собственные числа обеих задач простые, достаточно вывести асимптотические формулы – их обоснование получается элементарными средствами. Исследуем собственное число происходящей от (1.21), (1.22) задачи
$$
\begin{equation}
-\Delta_\eta W^h_R(\eta)=M^h_RW^h_R(\eta), \qquad \eta\in{\mathbb T}^h_R,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
При этом $\partial_n$ – производная вдоль внешней нормали. Задача в области ${\mathbb L}_R$ рассматривается аналогично.
При $R\to+\infty$ примем обычные (см., например, [27], [10; гл. 5, § 6] и др.) асимптотические анзацы с малыми остатками
$$
\begin{equation}
M^h_{1R}=M^h_1-\mathbf m^h e^{-2R\sqrt{\pi^2-M^h_1}}+{\widetilde{M}}^{h}_{1R},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} W^h_{1R}(\eta) &=W^h_1(\eta)+e^{-2R\sqrt{\pi^2-M^h_1}}\sum_\pm \chi(\pm\eta_1)K_1 \cos(\pi\eta_2)e^{\pm\eta_1\sqrt{\pi^2-M^h_1}} \\ &\qquad +e^{-2R\sqrt{\pi^2-M^h_1}} \mathbf w^h(\eta)+{\widetilde{W}}^{h}_{1R}(\eta). \end{split}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Здесь $\chi$ – срезающая функция (2.5) и $\{M^h_1;V^h_1\}$ – первая собственная пара задачи (1.22), причем собственная функция $V^h_1$, четная относительная переменной $\eta_1$, положительная в области ${\mathbb T}^h$ и нормированная в пространстве $L^2({\mathbb T}^h)$, допускает представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag W^h_1(\eta) &={\widetilde{W}}^{h}_1(\eta)+\sum_\pm \chi(\pm\eta_1) K_1\cos(\pi\eta_2)e^{\mp\eta_1\sqrt{\pi^2-M^h_1}} \\ &\qquad+\chi(\eta_2)K_1^h\cos\biggl(\pi\frac{\eta_1}{h}\biggr) e^{-\eta_2\sqrt{h^{-2}\pi^2-M^h_1}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
При этом остаток ${\widetilde{W}}^{h}_1$ затухает при $\eta_1\to\pm\infty$ и $\eta_2\to+\infty$ со скоростями $O(e^{-|\eta_1|\sqrt{4\pi^2-M^h_1}})$ и $O(e^{-\eta_2\sqrt{4h^{-2}\pi^2-M^h_1}})$ соответственно, а коэффициенты $K_1$ и $K^h_1$ положительны, так как, например, в полуполосе $\{\eta \colon \eta_1>2,\, |\eta_2|<1/2\}$ функция $W^h_1$ раскладывается в сходящийся ряд Фурье с членами
$$
\begin{equation*}
K_k\sin\biggl(k\pi\biggl(\eta_2+\frac12\biggr)\biggr) e^{-\eta_1\sqrt{k^2\pi^2-M^h_1}}, \qquad k\in{\mathbb N},
\end{equation*}
\notag
$$
среди которых только первый, помещенный в разложение (2.13), имеет постоянный знак.
Сумма первых слагаемых в правой части (2.12) оставляет пренебрежимо малую невязку в краевом условии (2.10) на $\Upsilon^\pm_R$, а невязка самой функции (2.13) в условии Неймана на $\Upsilon^h_R$ мала благодаря быстрому затуханию в патрубке, т.е. полуполосе шириной $h<1$. Таким образом, пару $\{m^h;v^h\}\in{\mathbb R}\times H^1_0({\mathbb T}^h)$ как основные поправочные члены анзацев (2.12) и (2.11) следует искать из задачи Дирихле для уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\Delta_\eta \mathbf w^h(\eta)-M^h_1\mathbf w^h(\eta)=\mathbf f^h(\eta) \\ &\qquad :=-\mathbf m^hW^h_1(\eta)+K_1\sum_\pm \cos(\pi\eta_2)\biggl[\frac{d^2}{d\eta_1^2},\chi(\pm\eta_1)\biggr] e^{\pm\eta_1\sqrt{\pi^2-M^h_1}}, \qquad \eta\in {\mathbb T}^h. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь фигурирует коммутатор дифференциального оператора со срезкой. Ввиду простоты собственного числа $M^h_1$ у сформированной задачи имеется одно условие разрешимости в классе $H^1_0({\mathbb T}^h)$, а именно равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{{\mathbb T}^h} \mathbf f^h(\eta)W^h_1(\eta)\,d\eta=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которому при помощи формулы интегрирования по частям придаем вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\begin{aligned} \, \mathbf m^h &=\mathbf m^h\|W^h_1; L^2({\mathbb T}^h)\|^2 \\ &=K_1\sum_\pm \int_{{\mathbb T}^h} W^h_1(\eta) \cos(\pi\eta_2)\biggl[\frac{d^2}{d\eta_1^2},\chi(\pm\eta_1)\biggr] e^{\pm\eta_1\sqrt{\pi^2-M^h_1}}\,d\eta \\ &=K_1\lim_{T\to+\infty}\sum_\pm\pm\int_{-1/2}^{1/2} \cos(\pi\eta_2)e^{T\sqrt{\pi^2-M^h_1}}\biggl(\pm \sqrt{\pi^2-M^h_1}\, W^h_1(\pm T,\eta) \\ &\qquad\mp\frac{\partial W^h_1}{\partial \eta_1}(\pm T,\eta)\biggr)\,d\eta_2 \\ &=2K_1\sqrt{\pi^2-M^h_1}\int_{-1/2}^{1/2}\cos^2(\pi\eta_2)\,d\eta_2 \end{aligned} \\ &\Longrightarrow\quad\mathbf m^h=K_1^2\sqrt{\pi^2-M^h_1}>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Последние соотношения получены при помощи подстановки в подынтегральное выражение разложения (2.13), а также непосредственных вычислений. Модуль остатка ${\widetilde{M}}^{h}_{1R}$ в представлении (2.11) не превосходит $ce^{-R\varsigma_h}$ (см. замечание 2), где $\varsigma_h=\min\{3\sqrt{\pi^2-M^h_1},\,2\sqrt{h^{-2}\pi^2-M^h_1}\}>0$, а значит, при больших $R$ величина $M^h_{1R}$ монотонно возрастает до $M^h_1$.
Для проверки монотонности функции $R\mapsto M^h_{1R}$ при всех $R>1/2$, действуя так же, как в работах [11], [24], сравним собственные числа $M^h_{1R}$ и $M^h_{1R-r}$ при малом $r>0$. Примем элементарные асимптотические анзацы (см. [10; гл. 5])
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M^h_{1R-r}=M^h_{1R}-r M^{h\prime}_R+O(r^2), \\ W^h_{1R-r}(\eta)=W^h_{1R}(\eta)-r W^{h\prime}_R(\eta)+O(r^2). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Функция $W^h_{1R}$ по крайней мере трижды непрерывно дифференцируема в концах отрезков $\Upsilon^\pm_R$ и $\Upsilon^h_R$ – угловых точках раствором $\pi/2$ (см., например, [4; гл. 2, § 3 и § 4]), и потому согласно формуле Тейлора и уравнению (2.8) для пары $\{M^h_{1R};W^h_{1R}\}$ находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial W^h_{1R}}{\partial \eta_2}(\eta_1,R-r) &=0-r \,\frac{\partial^2 W^h_{1R}}{\partial \eta^2_2}(\eta_1,R)+O(r^2) \\ &=r\biggl(\frac{\partial^2 W^h_{1R}}{\partial \eta^2_1}(\eta_1,R)+M^h_{1R}W^h_{1R}(\eta_1,R) \biggr)+O(r^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные соотношения выполнены и на торцах $\Upsilon^\pm_R$. Таким образом, подставив разложения (2.15) в задачу (2.8)–(2.10) и собрав множители при малом параметре $r$, обнаруживаем, что пара $\{M^{h\prime}_R; W^{h\prime}_R\}$ удовлетворяет условию Дирихле (2.9), а также следующим уравнению и краевым условиям Неймана:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta_\eta W^{h\prime}_R(\eta)-M^h_{1R}W^{h\prime}_R(\eta)=- M^{h\prime}_RW^h_{1R}(\eta), \qquad \eta\in{\mathbb T}^h, \\ \pm\frac{\partial W^{h\prime}_R}{\partial \eta_1}(\eta)=\mp\biggl( \frac{\partial^2 W^h_{1R}}{\partial \eta^2_2}(\eta)+M^h_{1R}W^h_{1R}(\eta)\biggr), \qquad \eta\in\Upsilon^\pm_R, \\ \frac{\partial W^{h\prime}_R}{\partial \eta_2}(\eta)= -\frac{\partial^2 W^h_{1R}}{\partial \eta^2_1}(\eta)-M^h_{1R}W^h_{1R}(\eta), \qquad \eta\in\Upsilon^h_R. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу нормировки собственной функции $W^h_{1R}$ в пространстве $L^2({\mathbb T}^h)$ и по причине простоты первого собственного числа $M^h_{1R}$ единственное условие разрешимости полученной задачи принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag M^{h\prime}_R &=M^{h\prime}_R\|W^h_{1R};L^2({\mathbb T}^h)\|^2= \int_{{\mathbb T}^h}W^h_{1R}(\eta)\bigl(\Delta_\eta W^{h\prime}_R(\eta)+M^h_{1R}W^{h\prime}_R(\eta)\bigr)\,d\eta \\ \notag &=\sum_{\pm}\pm\int_{\Upsilon^\pm_R} W^h_{1R}(\pm R,\eta_2)\, \frac{\partial W^{h\prime}_R}{\partial\eta_1}(\pm R,\eta_2)\,d\eta_2 \\ \notag &\qquad+\int_{\Upsilon^h_R} W^h_{1R}(\eta_1,R)\,\frac{\partial W^{h\prime}_R}{\partial\eta_2}(\eta_1,R)\,d\eta_1 \\ \notag &=\sum_\pm \int_{-1/2}^{1/2} \biggl(\biggl|\frac{\partial W^h_{1R}}{\partial\eta_2}(\pm R,\eta_2)\biggr|^2-M^h_{1R}|W^h_{1R}(\pm R\eta_2)|^2\biggr)\,d\eta_2 \\ \notag &\qquad +\int_{-h/2}^{h/2} \biggl(\biggl|\frac{\partial W^h_{1R}}{\partial\eta_1} (\eta_1,R)\biggr|^2-M^h_{1R}|W^h_{1R}(\eta_1,R)|^2\biggr)\,d\eta_1 \\ \notag &\geqslant\sum_\pm (\pi^2-M^h_{1R})\int_{-1/2}^{1/2}|W^h_{1R}(\pm R\eta_2)|^2\,d\eta_2 \\ &\qquad +\biggl(\frac{\pi^2}{h^2}-M^h_{1R}\biggr)\int_{-h/2}^{h/2} |W^h_{1R}(\eta_1,R)|^2\,d\eta_1>0 \quad\text{при }\ M^h_{1R}<\pi^2, \quad h\leqslant1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
В конце выкладки применены формула интегрирования по частям и одномерные неравенства Фридрихса, основанные на краевом условии (2.9) и на непрерывной дифференцируемости решения $W^h_{1R}$ в концах отрезков $\Upsilon^\pm_R$ и $\Upsilon^h_R$. Кроме того, функция $W^h_{1R}$ не обращается в нуль тождественно на упомянутых отрезках благодаря теореме о единственности продолжения (см., например, [28]).
Оценки остатков в асимптотических анзацах (2.15) вытекают из общих результатов теории возмущений линейных операторов (см. [9; гл. 7, § 6]), так как “почти тождественное” при малом $r$ отображение
$$
\begin{equation*}
\eta \mapsto \eta(1-\chi(\eta_2)) \prod_\pm (1-\chi(\pm\eta_1)) +\chi(\eta_2)(\eta_1,\eta_2+r)+\sum_\pm \chi(\pm\eta_1)(\eta_1\pm r,\eta_2)
\end{equation*}
\notag
$$
трансформирует область ${\mathbb T}^h_{R-r}$ в область ${\mathbb T}^h_R$ и порождает малое возмущение оператора Лапласа.
Итак, в силу соотношений (2.15) и (2.16) функция $R\mapsto M^h_{1R}$ строго монотонно возрастает при условии $M^h_{1R}<\pi^2$, которое не может быть нарушено, потому что в силу формул (2.11) и (2.14) выполнено при больших $R$. Лемма 1 доказана в полном объеме. Вернемся к рассмотрению задачи (2.6) со спектральным параметром $\mu\in(0,\beta_1)$ и разобьем область ${\mathbb Y}^h$ на пять множеств, а именно на конечный многогранник (2.7) и бесконечные части слоев
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf L^\pm_T=\bigl\{\xi\in{\mathbb Y}^h \colon \pm\xi_3>T,\,\xi_p <|\xi_1| ,\, p=1,2\bigr\}, \\ \mathbf T^q_T=\bigl\{\xi\in{\mathbb Y}^h \colon \xi_q>T,\,|\xi_3|<\xi_q,\, \xi_{3-q}<\xi_q\bigr\}, \qquad q=1,2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
При учете леммы 1 зафиксируем размер $T$ так, что
$$
\begin{equation}
\beta_{1R},M^h_{1R}\geqslant\frac{1}{2}(\mu+\mu_\unicode{8224}) \quad\text{при }\ R\geqslant T.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Справедливо представление
$$
\begin{equation*}
\mathbf L^\pm_T=\bigl\{\xi\in{\mathbb R}^3 \colon \pm \xi_3>T,\, \xi'=(\xi_1,\xi_2)\in {\mathbb L}_{\xi_3}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\nabla_\xi w; L^2(\mathbf L^\pm_T)\|^2 &\geqslant\int_R^{+\infty} \int_{\mathbf L^+_{\xi_1}}\bigl|\nabla_{\xi'} w(\xi',\pm\xi_3)\bigr|^2\,d\xi'\,d\xi_3 \\ &\geqslant\int_R^{+\infty}\beta_{1\xi_3} \int_{\mathbf L^+_{\xi_3}}|w(\xi',\pm\xi_3)|^2\, d\xi'\, d\xi_3 \geqslant\frac{1}{2}(\mu+\mu_\unicode{8224})\| w; L^2(\mathbf L^\pm_T)\|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Аналогично выводим неравенства на других множествах (2.17)
$$
\begin{equation}
\|\nabla_\xi w; L^2(\mathbf T^q_T)\|^2\geqslant\frac{1}{2}(\mu+\mu_\unicode{8224})\| w; L^2(\mathbf T^q_T)\|^2, \qquad q=1,2.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Итак, при любом $\delta\in(0,1]$ левая часть интегрального тождества (2.6) c $\psi=w$ оценивается снизу суммой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \delta\|\nabla_\xi w; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2+ \biggl(\frac{1}{2}(\mu_\unicode{8224}+\mu)(1-\delta)-\mu\biggr)\|w; L^2({\mathbb Y}^h \setminus {\mathbb Y}^h(T))\|^2 \\ &\qquad +(t-\mu)\|w; L^2({\mathbb Y}^h(T))\|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Осталось зафиксировать $\delta\in(0,(\mu_\unicode{8224}+\mu)^{-1}(\mu_\unicode{8224}-\mu))$ и $t>\mu$, сделав все множители при нормах функции $w$ положительными, и применить теорему Рисса о представлении линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве. Итак, задача (2.6) стала однозначно разрешимой, т.е., как пояснялось, доказано следующее утверждение. Теорема 1. При условии (1.24) существенный спектр задачи (2.2) на сочленении ${\mathbb Y}^h\subset {\mathbb R}^3$ имеет вид (1.27), а точка отсечки $\mu_\unicode{8224}$ – собственное число $\beta_1$ из дискретного спектра задачи (1.20) в $\mathsf L$-образной области ${\mathbb L}\subset {\mathbb R}^2$. 2.3. Дискретный спектрМинимальный принцип (см. [8; теорема 10.2.1]) показывает, что нижняя грань $\underline{\sigma}^h$ всего спектра задачи (2.2) находится по формуле
$$
\begin{equation*}
\underline{\sigma}^h=\min_{\psi\in H^1_0({\mathbb Y}^h)}\, \frac{\|\nabla_\xi\psi; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2}{\|\psi; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2} .
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, дискретный спектр $\sigma^h_d$ непустой и $\underline{\sigma}^h$ – первое (наименьшее) собственное число в нем, если нашлась пробная функция $\psi^\delta\in H^1_0({\mathbb Y}^h)$, для которой
$$
\begin{equation}
\|\nabla_\xi\psi^\delta; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2< \mu_\unicode{8224}\|\psi^\delta; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2 .
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Воспользовавшись приемом из работы [29], нужную пробную функцию возьмем такой:
$$
\begin{equation}
\psi^\delta(\xi)=E_\delta(\xi_3)V_1(\xi_1,\xi_2)+\sqrt{\delta}\Psi(\xi).
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
E_\delta(\xi_3)=e^{-\delta(|\xi_3|-3)} \quad\text{при }\ |\xi_3|\geqslant3, \qquad E_\delta(\xi_3)=1 \quad\text{при }\ |\xi_3|<3,
\end{equation*}
\notag
$$
$V_1\in H^1_0({\mathbb L})$ – первая собственная функция задачи (1.20), положительная в ${\mathbb L}$ и продолженная нулем с прямого “двугранного угла” ${\mathbb V}={\mathbb L}\times{\mathbb R}$ единичной толщины на содержащую его область ${\mathbb Y}^h$, а $\Psi$ – бесконечно дифференцируемая функция с малым носителем около точки $P^0=(1,1/2,0)\in {\mathbb Y}^h$. Точка $P^0\in\partial {\mathbb V}$ выбрана достаточно произвольно, и важно лишь то, что в силу строгого принципа максимума Число $\delta$ мы возьмем малым положительным, а значит, при $\operatorname{supp} \Psi\subset \{\xi$: $|\xi-P^0|\leqslant\varrho\}$, $\varrho<h/2$, функция (2.23) попадает в пространство $H^1_0({\mathbb Y}^h)$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\psi^\delta; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2 &=2\biggl(\int_3^{+\infty}e^{-2\delta(|\xi_3|-3)}\,d\xi_3+3\biggr)\|V_1; L^2({\mathbb L})\|^2 \\ &\qquad+2\sqrt{\delta}(V_1,\Psi)_{{\mathbb V}}+O(\delta), \\ \|\nabla_\xi\psi^\delta; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2 &=2\biggl(\int_3^{+\infty}e^{-2\delta(|\xi_3|-3)}\,d\xi_3+3\biggr) \|\nabla_{\xi'}V_1; L^2({\mathbb L})\|^2 \\ &\qquad +2\sqrt{\delta}(\nabla_\xi V_1,\nabla_\xi \Psi)_{{\mathbb V}}+O(\delta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Подставим эти соотношения в неравенство (2.22) и заметим, что в его левой и правой частях слагаемые $O(\delta^{-1})$ и $O(1)$, появившиеся в формулах (2.25), взаимно уничтожаются. В результате, учитывая определения ингредиентов представления (2.23) и интегрируя по частям, обнаруживаем, что неравенство (2.22) выполнено, если только
$$
\begin{equation*}
C\delta>2\sqrt{\delta}((\nabla_\xi V_1,\nabla_\xi \Psi)_{{\mathbb V}}- \beta_1(V_1,\Psi)_{{\mathbb V}})=2\sqrt{\delta}(\partial_nV_1, \Psi)_{\partial{\mathbb V}\cap\operatorname{supp} \Psi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно усмотреть, что благодаря соотношению (2.24) выбор функции $\Psi$ позволяет сделать последнее скалярное произведение отрицательным и тем самым соблюсти требование (2.22). Теорема 2. При условии (1.24) дискретный спектр $\sigma^h_d$ задачи (2.1), (2.2) включает хотя бы одно собственное число. Первое (наименьшее) собственное число $\mu^h_1$ простое, а соответствующую собственную функцию $w^h_1\in H^1_0({\mathbb Y}^h)$ можно зафиксировать положительной в области ${\mathbb Y}^h$ и нормировать в пространстве $L^2({\mathbb Y}^h)$. Проверим еще одно утверждение, для чего понадобится простая лемма (ср. лемму 5.1 в статье [30]). Лемма 4. Пусть $H>0$ – фиксированный размер. Первое собственное число $\tau_1=\tau^K_1(H)>\pi^2/4$ задачи Доказательство. Первая собственная функция задачи (2.26), (2.27) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, U(t)=\sin\biggl(\sqrt{\tau}\biggl(t+\frac{1}{2}\biggr)\biggr) \quad\text{при }\ t\in\biggl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\biggr), \\ U(t)=A\bigl(e^{K(t-H-1/2)}+e^{-K(t-H-1/2)}\bigr) \quad\text{при }\ t\in\biggl(\frac{1}{2},H+\frac{1}{2}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а множитель $A$ находится из условий сопряжения (2.27) в точке $t=1/2$, порождающих трансцендентное алгебраическое уравнение Свойство первого корня $t^K_1(H)$ обеспечено строгим монотонным возрастанием возникших функций переменных $\sqrt{\tau}$ и $K$ соответственно, причем Теорема 3. При условии (1.24) найдется такая величина $h_2\in(0,h_0]$, что при $h\in(0,h_2]$ кратность дискретного спектра $\sigma^h_d$ задачи (2.1), (2.2) равна единице. Доказательство. Сначала рассмотрим смешанную краевую задачу в параллелепипеде $\mathbf Q^h\,{=}\,(-1/2, b\,{-}\,1/2)^2\times(-h/2, h/2)\,{\subset}\,{\mathbb Y}^h$ с ребром $b\,{=}\,\sqrt{5/2}\,\,{>}\,3/2$, назначив условия Дирихле только на тех гранях, которые лежат на поверхности $\partial {\mathbb V}=\partial {\mathbb L}\times{\mathbb R}$. Неравенство Пуанкаре показывает, что одно условие ортогональности
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf Q^h}\sin\biggl(\frac{\pi}{2b}\biggl(\xi_1+\frac{1}{2}\biggr)\biggr) \sin\biggl(\frac{\pi}{2b}\biggl(\xi_2+\frac{1}{2}\biggr)\biggr) \psi(\xi)\,d\xi=0
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
обеспечивает соотношение
$$
\begin{equation}
\|\nabla_\xi\psi; L^2(\mathbf Q^h)\|^2\geqslant\pi^2\|\psi; L^2(\mathbf Q^h)\|^2 \quad\text{для }\ \psi\in H^1_0(\mathbf Q^h;\partial\mathbf Q^h\cap \partial{\mathbb V}).
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Подчеркнем, что $\pi^2/(4b^2)$ и $5\pi^2/(2b^2)=\pi^2$ – первые два собственных числа указанной задачи, а в подынтегральном выражении из (2.28) фигурирует ее первая собственная функция.
Возьмем какую-либо функцию $\psi\in H^1_0({\mathbb Y}^h)$. Опираясь на условие Дирихле при $\xi'\in\partial{\mathbb L}$, приведем еще одну очевидную формулу
$$
\begin{equation}
\biggl\|\nabla_\xi\psi; L^2\biggl({\mathbb L}\times \biggl({\mathbb R}\setminus\biggl(-\frac h2,\frac h2\biggr)\biggr)\biggr)\biggr\|^2 \geqslant \beta_1\biggl\|\psi;L^2\biggl({\mathbb L}\times \biggl({\mathbb R}\setminus\biggl(-\frac h2,\frac h2\biggr)\biggr)\biggr)\biggr\|^2.
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Кроме того, в силу условий $\psi(\xi',\pm h/2)=0$, реализующихся на квадранте ${\mathbb K}=\{\xi'=(\xi_1,\xi_2)\in{\mathbb R}^2\colon \xi_j>1/2,\,j =1,2\}$, неравенство Фридрихса показывает, что верна оценка
$$
\begin{equation}
\int_{-h/2}^{h/2}\biggl|\frac{\partial \psi}{\partial\xi_3}(\xi',\xi_3)\biggr|^2\, d\xi_3 \geqslant \frac{\pi^2}{h^2}\int_{-h/2}^{h/2}|\psi(\xi',\xi_3)|^2\,d\xi_3.
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Теперь применим лемму 2 при $H=b-1$ и $K^2=\pi^2h^{-2}-\beta_1$, а затем подберем величину $h_2$ так, чтобы при $h\in(0,h_2)$ выполнялись соотношения $\tau^K(H)\geqslant\beta_1$ и
$$
\begin{equation}
\int_{-1/2}^{1/2} \biggl|\frac{\partial \psi}{\partial\xi_j}(\xi)\biggr|^2\,d\xi_j+ \biggl(\frac{\pi^2}{h^2}-\beta_1\biggr)\int_{1/2}^{b-1/2} |\psi(\xi)|^2\,d\xi_j\geqslant\beta_1\int_{1/2}^{b-1/2} |\psi(\xi)|^2\,d\xi_j.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Проинтегрируем дополнительно неравенство (2.31) по $\xi'\in{\mathbb K}$ и неравенства (2.32), $j =1,2$, по $(\xi_{3-j},\xi_3)\in (b-1/2,+\infty)\times(-h/2,h/2)$. Сложим результаты и добавим к сумме неравенства (2.30) и (2.29). В итоге обнаружим, что только одно условие ортогональности (2.28) гарантирует такую оценку для дроби Рэлея:
$$
\begin{equation*}
\frac{\|\nabla_\xi\psi; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2}{\|\psi; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2}\geqslant\beta_1=\mu_\unicode{8224}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь максиминимальный принцип (см. [8; теорема 10.2.2]) гарантирует отсутствие второго собственного числа в дискретном спектре задачи (2.1), (2.2) при $h\in(0,h_2]$.
Теорема 3 доказана. Замечание 1. При проверке теоремы 3 многие мажоранты в оценках были сознательно завышены для упрощения формул, так как значительное загромождение выражений все равно не позволит найти хорошее приближение к величине $h_2$ без применения вычислительных методов. 2.4. Экспоненциальное затухание собственных функцийВведем непрерывные кусочно-гладкие весовые функции
$$
\begin{equation}
\mathbf R^\kappa_{R,T}(\xi)=\prod_{j=1}^3\mathbf e_{R,T}(\xi_j)^\kappa, \qquad \mathbf e_{R,T}(t)= \begin{cases} e^{T}&\text{при }|t|\leqslant T, \\ e^{|t|}&\text{при }|t|\in(R,T), \\ e^{R}&\text{при }|t|\geqslant R, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
где $\kappa$ и $R$, $T$ – положительные числа, $R>T$. Теорема 4. Существует такой показатель $\kappa_h>0$, что для нормированной в пространстве $L^2({\mathbb Y}^h)$ собственной функции $w^h_1\in H^1_0({\mathbb Y}^h)$ задачи (2.1), (2.2), отвечающей ее собственному числу $\mu^h_1\in \sigma^h_d$, справедливы включение $e^{\kappa_h|\xi|}w^h_1\in H^1_0({\mathbb Y}^h)$ и оценка Доказательство. В интегральное тождество (2.3) для собственной пары $\{\mu^h_1;w^h_1\}$ подставим пробную функцию $\psi=\mathbf R^\kappa_{R,T}\mathbf w$, где $\mathbf w=\mathbf R^\kappa_{R,T}w^h_1$. Поскольку первая весовая функции (2.33) и ее градиент ограничены, верны включения $\mathbf w\in H^1_0({\mathbb Y}^h)$ и $\psi\in H^1_0({\mathbb Y}^h)$. После несложных преобразований (коммутирование оператора-градиента и весовой функции) получаем равенство
$$
\begin{equation}
\|\nabla_\xi\mathbf w;L^2({\mathbb Y}^h)\|^2=\mu^1_h\|\mathbf w;L^2({\mathbb Y}^h)\|^2+ \|\mathbf w\mathbf R^{-\kappa}_{R,T}\nabla_\xi\mathbf R^\kappa_{R,T};L^2({\mathbb Y}^h)\|^2.
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nabla_\xi\mathbf R^\kappa_{R,T}(\xi)=0 \quad\text{при }\ \xi\in{\mathbb Y}^h(T), \\ \mathbf R^{-\kappa}_{R,T}(\xi)|\nabla_\xi\mathbf R^\kappa_{R,T}(\xi)|\leqslant 3\kappa \quad\text{при }\ \xi\in{\mathbb Y}^h\setminus{\mathbb Y}^h(T). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
При учете соотношений (2.33), (2.36) и нормировки собственной функции $w^h_1$ перепишем равенство (2.36) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mu^h_1e^{6T} &\geqslant\mu^h_1\|\mathbf w;L^2({\mathbb Y}^h(T))\|^2 \\ \notag &=\|\nabla_\xi\mathbf w;L^2({\mathbb Y}^h)\|^2 -\mu^h_1\|\mathbf w; L^2({\mathbb Y}^h\setminus{\mathbb Y}^h(T))\|^2 \\ &\qquad - \|\mathbf w \mathbf R^{-\kappa}_{R,T}\nabla_\xi\mathbf R^\kappa_{R,T};L^2({\mathbb Y}^h \setminus{\mathbb Y}^h(T))\|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
Подчинив параметр $T$ условию (2.18) при $\mu=\mu^h_1$, применим оценки (2.19), (2.20) и аналогично выкладке (2.21) придадим формуле (2.37) вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mu^h_1e^{6T} &\geqslant\delta \|\nabla_\xi\mathbf w;L^2({\mathbb Y}^h)\|^2 \\ &\qquad +\biggl(\frac{1}{2}(\mu^h_1+\mu_\unicode{8224})(1-\delta)- \mu^h_1-9\kappa^2\biggr)\|\mathbf w; L^2({\mathbb Y}^h\setminus{\mathbb Y}^h(T))\|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Взяв положительные $\delta$ и $\kappa$ малыми и прокоммутировав $\nabla_\xi$ и $\mathbf R^\kappa_{R,T}$ еще раз, получим оценку
$$
\begin{equation}
\|\mathbf R^\kappa_{R,T}\nabla_\xi w^h_1;L^2({\mathbb Y}^h)\|^2+ \|\mathbf R^\kappa_{R,T}w^h_1;L^2({\mathbb Y}^h)\|^2 \leqslant \mathbf C_{R,\kappa}
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
с не зависящей от $T$ мажорантой $\mathbf C_{R,\kappa}$. Для того чтобы вывести из (2.39) искомое неравенство (2.34), осталось заметить, что левая часть (2.39) – монотонная функция переменной $T$, перейти к пределу при $T\to+\infty$ и воспользоваться связью весовых функций с некоторыми положительными показателем $\kappa_h$ и множителем $\mathbf c_{R,\kappa}$. 2.5. Толстые и средние перегородкиКак уже упоминалось, представленная в п. 2.2 схема проверки формулы для существенного спектра работает и в других ситуациях. Так, нетрудно проверить, что для толстых перегородок верна формула Если же $h\in(h_1,h_0)$, то точка отсечки $\mu^h_\unicode{8224}$ существенного спектра $\sigma^h_{\mathrm{ess}}$ задачи (2.1), (2.2) – собственное число $M^h_1$ задачи (1.21), (1.22). У автора возникли проблемы с применением приведенной схемы в крайних случаях $h=h_1$ и $h= h_0$, однако формулы $\mu^{h_1}_\unicode{8224}=\beta_1$ и $\mu^{h_0}_\unicode{8224}=\pi^2h_0^{-2}$ для точек отсечки конечно же сохраняются.Остался открытым вопрос о качестве существенного спектра: появляются ли в нем собственные числа (точечный спектр) и могут ли они приобретать бесконечную кратность (коллапс спектрального сегмента)? Автор высказывает гипотезу о том, что $h_2=h_0$ в теореме 3, но не знает, как убедиться в ее справедливости. § 3. Спектр короба Дирихле при толстых перегородках3.1. Формальные асимптотические конструкцииВ этом и следующем пунктах считаем, что $h>h_0$, но далее принимаем более строгое ограничение (1.35). Распространим условия Дирихле (1.8) на всю границу параллелепипеда $\omega^{h\varepsilon}_0$ (см. определение в (1.1)) и заметим, что собственные пары полученной задачи
$$
\begin{equation}
-\Delta_x v^{h\varepsilon}(x)= \nu^{h\varepsilon}v^{h\varepsilon}(x), \qquad x\in\omega^{h\varepsilon}_0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
v^{h\varepsilon}(x)= 0, \qquad x\in\partial\omega^{h\varepsilon}_0,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\{\nu^{h\varepsilon}_{p,q};v^{h\varepsilon}_{p,q}(x)\bigr\} \\ &\quad =\biggl\{\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}+ \frac{\pi^2}{4}\biggl(\frac{p^2}{a_1^2}+\frac{q^2}{a_2^2}\biggr); \cos\biggl(\frac{\pi z}{\varepsilon}\biggr)\sin\biggl(\frac{\pi p}{2a_1}(y_1-a_1)\biggr) \sin\biggl(\frac{\pi q}{2a_2}(y_2-a_2)\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Собственные числа, зависящие от двух индексов $p,q\in{\mathbb N}$, нуждаются в перегруппировке для образования монотонной последовательности (1.30) с членами $\nu^{h\varepsilon}_m$, а для нормировки собственных функций $v^{h\varepsilon}_m=v^{h\varepsilon}_{p,q}$ в пространстве $L^2(\omega^{h\varepsilon}_0)$ требуется умножение на величину
$$
\begin{equation*}
\alpha^{h\varepsilon}_{p,q}=\sqrt{\frac{2}{h\varepsilon}}\, \sqrt{\frac{1}{a_1a_2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее будет установлена асимптотическая формула
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{h\varepsilon}_m(\zeta)=\nu^{h\varepsilon}_m +{\widetilde{\Lambda}}^{h\varepsilon}_m(\zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
с малым остатком ${\widetilde{\Lambda}}^{h\varepsilon}_m(\zeta)$. Вместе с тем выражения $v^{h\varepsilon}_{p,q}(x)$ из определения (3.3), продолженные нулем с перегородки $\omega^{h\varepsilon}_0$ на всю ячейку $\varpi^\varepsilon$, не могут служить приемлемым приближением к собственным функциям исходной задачи (1.7)–(1.10) из-за скачка производных на “внутренних рамах” $\theta^\varepsilon\times\{\pm h\varepsilon/2\}\subset \partial\omega^{h\varepsilon}_0 \cap\varpi^{h\varepsilon}$ и нуждаются в исправлении около зон присоединения перегородки $\omega^{h\varepsilon}_0$ к стенкам $\omega^\varepsilon_{j\pm}$ (ср. формулы (1.11) и (1.1)). Чтобы построить приемлемое приближение к собственной функции, введем специальное решение однородной задачи (1.21), (1.22) в области ${\mathbb Y}^h$ с пороговым параметром $M_\unicode{8224}^h=\pi^2h^{-2}$
$$
\begin{equation}
W^h_\ell(\eta)={\widehat{W}}_\ell^{h}(\eta)+ \chi(\eta_2)\eta_2\cos\biggl(\pi\frac{\eta_1}{h}\biggr)= {\widetilde{W}}_\ell^{h}(\eta)+ \chi(\eta_2)(\eta_2+K_\ell^h)\cos\biggl(\pi\frac{\eta_1}{h}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
При этом остаток ${\widetilde{W}}_\ell^{h}$ затухает с экспоненциальной скоростью во всех трех выходах на бесконечность: весовые гёльдеровские оценки (см. [31], а также [4; гл. 3, § 6]) показывают, что при $h>h_0>1$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |{\widetilde{W}}_\ell^{h}(\eta)| +\bigl|\nabla_\eta{\widetilde{W}}_\ell^{h}(\eta)\bigr| \leqslant ce^{-\pi h^{-1}\sqrt{3}\eta_2}, \qquad \eta\in{\mathbb T}^h, \quad\eta_2\geqslant1, \\ |{\widetilde{W}}_\ell^{h}(\eta)| +\bigl|\nabla_\eta{\widetilde{W}}_\ell^{h}(\eta)\bigr| \leqslant ce^{-\pi h^{-1}\sqrt{h^2-1}|\eta_1|}, \qquad \eta\in{\mathbb T}^h, \quad |\eta_1|\geqslant h. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Существование нужного решения с линейным ростом в патрубке $\{\eta\in{\mathbb R}^2$: $\eta_1> 1/2, \,|\eta_2|<h/2\}$ обеспечено общими результатами (см. [4; гл. 5]), но для удобства читателя приведем краткие пояснения. Предложение 1. При $h>h_0$ отсутствие порогового резонанса в задаче (1.21), (1.22) (ср. лемму 1, 2)) обеспечивает существование решения (3.4). Доказательство. Следуя [4; гл. 5], введем в патрубке комплексные линейные волны
$$
\begin{equation*}
\mathbf w^\pm_\ell(\eta)=(\eta_1\mp i)\cos\biggl(\pi\frac{\eta_1}{h}\biggr), \qquad i=\sqrt{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
приходящую (минус) и уходящую (плюс) согласно энергетическому принципу излучения. Важно то, что в силу общих результатов (см. [4; гл. 5, §§ 3, 4]) в любых условиях (при наличии или отсутствии захваченных волн) в задаче (1.21), (1.22) на пороге (1.23) непрерывного спектра появляется дифракционное решение
$$
\begin{equation*}
W^h_{\mathrm{dif}}(\eta)={\widetilde{W}}_{\mathrm{dif}}^{h}(\eta)+ \chi(\eta_2)(\mathbf w^-_\ell(\eta)+s^h\mathbf w^+_\ell(\eta)),
\end{equation*}
\notag
$$
которое порождено приходящей волной и имеет затухающий остаток, а также пороговый коэффициент рассеяния $s^h\in{\mathbb C}$ при уходящей волне, причем $|s^h|=1$ в силу закона сохранения энергии. В работах [25], [22], [24] установлен критерий $s^h=-1$ наличия правильного порогового резонанса. Ввиду отсутствия последнего (лемма 1, 2)) имеем $s^h\not=-1$, т.е., как нетрудно проверить, искомое решение (3.4) принимает вид Разумеется, решение $W^h_\ell$ и коэффициент $K_\ell^h=i(1+s^h)^{-1}(s^h-1)$ в нем (преобразование Кэли коэффициента рассеяния) вещественны. Более подробное изложение этого вспомогательного материала можно найти в работе [25]. Комментарии к проверке предложения 1 закончились. Соорудим подходящее асимптотическое приближение к собственной функции $U^{h\varepsilon}_m$ задачи (1.7)–(1.10). С этой целью в рамках метода составных асимптотических разложений (см. статью [26], монографию [10] и многие другие источники) по эталонной срезке (2.5) определим срезающие функции $X_j^\varepsilon\in C_c^\infty(-a_j , a_j)$,
$$
\begin{equation}
X_j^\varepsilon(y_j)=\chi(\varepsilon^{-1}(y_j+a_j)) \chi(\varepsilon^{-1}(a_j-y_j)), \qquad j=1,2,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
и $X_3(z)=1-\chi(2|z|)$ с носителем на сегменте $[-1/4,1/4]\ni z=x_3$. При учете преобразования координат (1.29) положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathbf V^{h\varepsilon}_{p,q}(x) =X^\varepsilon_1(x_1) X^\varepsilon_2(x_2)\cos\biggl(\frac{\pi z}{h\varepsilon}\biggr)v_{p,q}(y) \\ &\ \ +\varepsilon X_3(z)\sum_{j=1,2}\sum_{\pm}\pm \frac{\partial v_{p,q}}{\partial y_j} (y) \Big|_{y_j=\pm a_j} X_{3-j}^\varepsilon(y_{3-j}) \chi\biggl(1\mp \frac{y_j}{a_j}\biggr){\widehat{W}}^{h}_\ell\biggl(\frac{z}{\varepsilon}, \frac{a_j\mp y_j}{\varepsilon}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Собственная функция $v_{p,q}$ задачи (1.32), (1.33), появившаяся в собственной паре (3.3) задачи (3.1), (3.2) вследствие разделения переменных, умножена на срезки (3.6) для того, чтобы обеспечить гладкое продолжение на стенки ячейки, а главные члены невязок, возникших в результате умножения, компенсируются суммами (по $j=1,2$ и по $\pm$) слагаемых, которые можно лишь условно назвать пограничными слоями по причине отсутствия затухания в патрубке функции ${\widehat{W}}^{h}_\ell$ (ср. формулу (3.4)), которое (отсутствие), впрочем, не помешает в следующем пункте обосновать асимптотику собственных чисел задачи (1.7)–(1.10). 3.2. Асимптотика собственных чиселВыполним упоминавшуюся подмену индексов $(p,q)\mapsto m$, т.е. положим
$$
\begin{equation}
\nu_m=\frac{\pi^2}{4}\biggl(\frac{p^2}{a_1^2}+\frac{q^2}{a_2^2}\biggr), \qquad v_m(y)=\sin\biggl(\frac{\pi p}{2a_1}(y_1+a_1)\biggr)\sin\biggl(\frac{\pi q}{2a_2}(y_2+a_2)\biggr).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Возьмем пары
$$
\begin{equation}
\bigl\{\mathbf T^{h\varepsilon}_m;\mathbf U^{h\varepsilon}_m\bigr\}=\bigl\{\varepsilon^2h^2(\pi^2+ \varepsilon^2h^2\nu_m)^{-1};\|\mathbf V_m^{h\varepsilon};{\mathcal H}^{h\varepsilon}\|^{-1} \mathbf V^{h\varepsilon}_m\bigr\}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
с ингредиентами из формул (1.31) и (3.7) в качестве почти собственных пар оператора ${\mathcal T}^{h\varepsilon}$. Благодаря присутствию срезок (3.6) и $X_3$ функция $\mathbf U^{h\varepsilon}$ обращается в нуль на границе $\partial \varpi^{h\varepsilon}$ и при $|z|>1/4$, а значит, удовлетворяет условию Дирихле (1.8) и условиям квазипериодичности (1.9) при любом параметре Флоке $\zeta\in[-\pi,\pi]$. Таким образом, она попадает в пространство ${\mathcal H}^{h\varepsilon}_\zeta$ со скалярным произведением (1.36). Прежде всего заметим, что $(v_m,v_n)_{\omega^0_0}=a_1a_2\delta_{m,n}$, и в силу формул (3.6)–(3.8) верны оценки
$$
\begin{equation}
\biggl|\langle \mathbf V^{h\varepsilon}_m,\mathbf V^{h\varepsilon}_n\rangle_{h\varepsilon} -\delta_{m,n}\frac{2\pi^2}{h\varepsilon}\biggr| \leqslant C_{mn}\sqrt{\varepsilon} \quad\Longrightarrow \quad \|\mathbf V^{h\varepsilon}_m; {\mathcal H}^{h\varepsilon}\|\geqslant c_m\varepsilon^{-1/2}, \qquad c_m>0.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Подчеркнем, что для вывода этих соотношений достаточно выполнить дифференцирование по переменной $z$ в первом слагаемом из правой части равенства (3.7) – вклады остальных слагаемых заведомо меньше по порядку. Обработаем величину $\delta^{h\varepsilon}_m(\zeta)$ из второй формулы (1.39), вычисленную по паре (3.9). Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\delta^{h\varepsilon}_m(\zeta) =\|{\mathcal T}^{h\varepsilon}_\zeta \mathbf U^{h\varepsilon}_m-\mathbf T^{h\varepsilon}_m\mathbf U^{h\varepsilon}_m;{\mathcal H}^{h\varepsilon}_\zeta\|=\sup\bigl| \langle {\mathcal T}^{h\varepsilon}_\zeta \mathbf U^{h\varepsilon}_m-\mathbf T^{h\varepsilon}_m\mathbf U^{h\varepsilon}_m,\Psi^{h\varepsilon}_\zeta\rangle_{h\varepsilon}\bigr| \\ &\ =\mathbf T^{h\varepsilon}_m\|\mathbf V^{h\varepsilon}_m; {\mathcal H}^{h\varepsilon}_\zeta\|^{-1} \sup\bigl|(\nabla_x\mathbf V^{h\varepsilon}_m,\nabla_x \Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}} -(\pi^2h^{-2}\varepsilon^{-2}+\nu_m) (\mathbf V^{h\varepsilon}_m,\Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}\bigr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Здесь супремум вычисляется по единичному шару в ${\mathcal H}^{h\varepsilon}_\zeta$, т.е. $\|\Psi^{h\varepsilon}_\zeta;{\mathcal H}^{h\varepsilon}_\zeta\|\leqslant1$, а значит, согласно условию Дирихле (1.8) и неравенству Фридрихса–Пуанкаре верна оценка
$$
\begin{equation}
\|\Psi^{h\varepsilon}_\zeta; L^2(\varpi^{h\varepsilon})\|^2\leqslant c^h_\varpi\varepsilon^2 \|\nabla_x\Psi^{h\varepsilon}_\zeta; L^2(\varpi^{h\varepsilon})\|^2\leqslant c^h_\varpi\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Преобразуем выражение $(I^{h\varepsilon}_m,\Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}$ между последними знаками модуля в (3.11). Удобно использовать краткие обозначения ингредиентов функции (3.7):
$$
\begin{equation*}
\mathbf V^{h\varepsilon}_m=X^\varepsilon C^{h\varepsilon}v_m+ \varepsilon X_3\sum_{j=1,2} \sum_\pm X^\varepsilon_{3-j}\chi_\pm {\mathcal W}^{h\varepsilon}_{j\pm}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $X^\varepsilon =X_1^\varepsilon X_2^\varepsilon$, $ C^{h\varepsilon}(z)=\cos\bigl(\pi z/(h\varepsilon))$ и
$$
\begin{equation}
{\mathcal W}^{h\varepsilon}_{j\pm}(x)=v^{j\pm}_m(y_{3-j}) {\widehat W}^h_\ell\biggl(\frac{z}{\varepsilon},\frac{a_j\mp y_j}{\varepsilon}\biggr), \qquad v^{j\pm}_m(y_{3-j})=\pm \frac{\partial v_m}{\partial y_j}(y)\Big|_{y_j=\pm a_j}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
В упомянутом выражении проинтегрируем по частям при учете формул (3.7)–(3.9) и произведем коммутирование оператора Лапласа со срезающими функциями. В результате находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I^{h\varepsilon}_m &=X^\varepsilon C^{h\varepsilon}(\Delta_y+\nu_m)v_m+ C^{h\varepsilon}[\Delta_y,X^\varepsilon] v_m \\ \notag &\qquad +\varepsilon\sum_{j=1,2} \sum_\pm\biggl(X^\varepsilon_{3-j}\chi_{j\pm} [\partial^2_z,X_3]{\mathcal W}^{h\varepsilon}_{j\pm}+X_3X^\varepsilon_{3-j} [\Delta_y,\chi_{j\pm}]{\mathcal W}^{h\varepsilon}_{j\pm} \\ \notag &\qquad\qquad +X_3 \chi_{j\pm} [\Delta_y,X^\varepsilon_{3-j}]{\mathcal W}^{h\varepsilon}_{j\pm}+ X_3\chi_{j\pm}\biggl(\Delta_x+\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}+\nu_m\biggr) (X^\varepsilon_{3-j}{\mathcal W}^{h\varepsilon}_{j\pm})\biggr) \\ &=: I^{h\varepsilon}_{mv}+I^{h\varepsilon}_{mX}+\varepsilon\sum_{j=1,2} \sum_\pm( I^{h\varepsilon3}_{mj\pm}+I^{h\varepsilon\chi}_{mj\pm} +I^{h\varepsilon3-j}_{mj\pm}+ I^{h\varepsilon W}_{mj\pm}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Ясно, что $I^{h\varepsilon}_{mv}=0$. Благодаря формуле Тейлора
$$
\begin{equation}
v_m(y)=v^{j\pm}_m(y_{3-j})(a_j\mp y_j)+O(|a_j\mp y_j|^3)
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\biggl(I^{h\varepsilon X}_{mj\pm}-\sum_{j=1,2}\sum_\pm C^{h\varepsilon}J^\varepsilon_{j\pm},\Psi^{h\varepsilon}_\zeta\biggr)_{\varpi^{h\varepsilon}}\biggr|\leqslant c \varepsilon^3,
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
в котором согласно определениям (3.6) и (3.13) фигурируют выражения
$$
\begin{equation}
J^\varepsilon_{j\pm}(y)=\varepsilon^{-1}X^\varepsilon_{3-j}(y_{3-j})v^{j\pm}_m(y_{3-j}) \biggl[ \frac{\partial^2}{\partial \eta_2^2},\chi(\eta_2)\biggr]\eta_2\Big|_{\eta_2=\varepsilon^{-1}(a_j\mp y_j)}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
При оценивании учтено, что носители коэффициентов коммутатора
$$
\begin{equation*}
[\Delta_x,X^\varepsilon]=X^\varepsilon_2\biggl[\frac{d^2}{dy_1^2}, X_1^\varepsilon\biggr]+ X^\varepsilon_1\biggl[\frac{d^2}{dy_2^2}, X_2^\varepsilon\biggr]
\end{equation*}
\notag
$$
расположены в $C\varepsilon$-окрестности боковой поверхности перегородки $\omega^{h\varepsilon}_0$: объем этой окрестности равен $O(\varepsilon^2)$ и на ней остаток в формуле (3.15) и его градиент приобретают порядки $\varepsilon^3$ и $\varepsilon^2$ соответственно. Обработаем остальные слагаемые в правой части (3.14). Поскольку коэффициенты коммутатора $[\partial^2_z,X_3]$ обращаются в нуль при $|z|<1/8$ (в частности, на перегородке) и остаток ${\widetilde W}^h_j$ в представлении (3.4) экспоненциально затухает на бесконечности в угловом слое $\mathbb V$ (см. второе неравенство (3.5)), обнаруживаем, что
$$
\begin{equation}
\bigl|(I^{h\varepsilon3}_{mj\pm}, \Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}\bigr| \leqslant c e^{-\vartheta/\varepsilon}, \qquad \vartheta\in\biggl(0, \frac{\pi}{h}\sqrt{h^2-1}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Рассмотрим слагаемое $I^{h\varepsilon\chi}_{mj\pm}$. Коммутатор оператора Лапласа со срезкой $\chi_{j\pm}(y)=\chi(1\mp y_j/a_j)$ аннулируется при $|y_j\mp a_j|<1/2$, а значит, и на стенках $\omega^\varepsilon_{j\pm}$ ячейки $\varpi^{h\varepsilon}$. В силу представления (3.4) функции ${\widehat W}^h_j$ сама она ограничена, но ее производная $\partial{\widehat W}^h_j/\partial \eta_2$ затухает с экспоненциальной скоростью на полке ${\mathbb Y}^h\setminus{\mathbb V}$ сочленения ${\mathbb Y}^h$ (см. рис. 3) и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\bigl|(I^{h\varepsilon\chi}_{mj\pm}, \Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}\bigr|\leqslant c \varepsilon\bigl((1+\varepsilon^{-2}e^{-2\pi \sqrt{3} (h\varepsilon)^{-1}}|\omega^{h\varepsilon}_0|\bigr)^{1/2}\varepsilon \leqslant c \varepsilon\sqrt{\varepsilon}\, \varepsilon=c\varepsilon^{5/2}.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Первый и последний множители $\varepsilon$ пришли из соотношений (3.7) и (3.12), а множитель $\sqrt{\varepsilon}$ пропорционален квадратному корню из объема $|\omega^{h\varepsilon}_0|$. Аналогичные и другие степенные множители в мажоранте из (3.18) погашены экспоненциально малой величиной. При обработке скалярного произведения $(I^{h\varepsilon3-j}_{mj\pm}, \Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}$ заметим, что согласно определению (3.6) коэффициенты коммутатора $[\Delta_y,X^\varepsilon_{3-j}]$ обращаются в нуль на стенках ячейки и их носители $S^{h\varepsilon}_{3-j}$ расположены в $C\varepsilon$-окрестностях тех граней параллелепипеда $\omega^{h\varepsilon}_0$, где множитель $v^{j\pm}_m(y_{3-j})$ приобретает порядок $\varepsilon$. Учитывая, что дифференцирование срезающих функций (3.6) после возведения в квадрат привносит сомножитель $\varepsilon^{-2}$, получаем в итоге оценку
$$
\begin{equation*}
\bigl|(I^{h\varepsilon3-j}_{mj\pm}, \Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}\bigr|\leqslant c \varepsilon\bigl((\varepsilon^{-4}\varepsilon^2+\varepsilon^{-2}) |S^{h\varepsilon}_{3-j}|\bigr)^{1/2}\varepsilon \leqslant c\varepsilon^2
\end{equation*}
\notag
$$
с мажорантой, все-таки большей мажорант в оценках (3.18) и (3.19). Подчеркнем, что если бы остаток в формуле Тейлора (3.15) был равен $O(|a_j\mp y_j|^2)$, а не $O(|a_j\mp y_j|^3)$, то мажоранта в оценке (3.16) также превратилась бы в $c\varepsilon^2$. От слагаемого $I^{h\varepsilon W}_{mj\pm}$ отщепим выражение $I^{h\varepsilon\nu}_{mj\pm}=\nu_m X_3X^\varepsilon_{3-j}\chi_{j\pm}{\mathcal W}^{h\varepsilon}_{j\pm}$, для которого по упомянутым выше причинам верна оценка
$$
\begin{equation*}
\bigl|(I^{h\varepsilon\nu}_{mj\pm}, \Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}\bigr|\leqslant c\varepsilon^{5/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выполнив дифференцирование, находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & I^{h\varepsilon W}_{mj\pm}-I^{h\varepsilon\nu}_{mj\pm} \\ &\qquad = \varepsilon X_3 X^\varepsilon_{3-j}\chi_{j\pm}\biggl( v^{j\pm}_m \varepsilon^{-2}(\Delta_\eta+h^{-2}\pi^2){\widehat W}^h_\ell\pm \frac{\partial^3 v_m}{\partial y_j\,\partial y_{3-j}^2}\Big|_{y_j=\pm a_j} {\widehat W}^h_\ell\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Вспомнив данное в (3.4) определение функций $W^h_\ell$ и ${\widehat W}^h_\ell$, получим
$$
\begin{equation}
(\Delta_\eta+h^{-2}\pi^2){\widehat W}^h_\ell(\eta)=- \cos\biggl(\pi\frac{\eta_1}{h}\biggr)\biggl[ \frac{d^2}{d\eta_2^2},\chi(\eta_2)\biggr]\eta_2.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Следовательно, после уже ставшего привычным оценивания последнего слагаемого в (3.20) приходим к неравенству
$$
\begin{equation}
\bigl|(I^{h\varepsilon W}_{mj\pm}-I^{h\varepsilon \nu}_{mj\pm} +\varepsilon^{-1}C^{h\varepsilon}X_{3-j}J^\varepsilon_{j\pm}, \Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}\bigr|\leqslant c\varepsilon^{5/2}.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Срезка $X_3$ убрана потому, что носитель функции (3.17), обнаруженной уже в выражении (3.21), не пересекается со стенками ячейки. Собрав полученные неравенства, видим, что слагаемые, оставленные без обработки в выкладках (3.22) и (3.16), взаимно уничтожаются, а значит, в силу формул (3.9) и (3.10) выводим следующую оценку величины (3.11):
$$
\begin{equation*}
\delta^{h\varepsilon}_m(\zeta)\leqslant c_m\varepsilon^2\mathbf T^{h\varepsilon}_m \|\mathbf V^{h\varepsilon}_m; {\mathcal H}^{h\varepsilon}_\zeta\|^{-1}\leqslant C_m\varepsilon^{9/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге при помощи леммы 2 находим собственное число $\tau_{n^{h\varepsilon}(\zeta)}^{h\varepsilon}(\zeta)$ оператора ${\mathcal T}^{h\varepsilon}_\zeta$, подчиненное неравенству
$$
\begin{equation}
\bigl|\tau_{n_m^{h\varepsilon}(\zeta)}^{h\varepsilon}(\zeta)- \mathbf T^{h\varepsilon}_m\bigr|\leqslant C_m\varepsilon^{9/2}.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Связь (1.38) спектральных параметров и формула (3.9) переделывают оценку (3.23) в такое соотношение:
$$
\begin{equation}
\biggl|\Lambda_{n_m^{h\varepsilon}(\zeta)}^{h\varepsilon}(\zeta) -\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}- \nu_m\biggr|\leqslant C_m\varepsilon^{5/2}\Lambda_{n_m^{h\varepsilon}(\zeta)}^{h\varepsilon}(\zeta) \biggl(\frac{\pi^2}{h^2}+\varepsilon^2\nu_m\biggr).
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\Lambda_{n_m^{h\varepsilon}(\zeta)}^{h\varepsilon}(\zeta)\leqslant 2\biggl(\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}+ \nu_m\biggr) \quad\text{при }\ C_m\varepsilon^{5/2} \biggl(\frac{\pi^2}{h^2}+\varepsilon^2\nu_m\biggr) \leqslant\frac{1}{2}.
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Предложение 2. В случае толстых перегородок, т.е. при $h>h_1$, для любого $m\in{\mathbb N}$ найдутся такие положительные величины $\varepsilon_m$ и $c_m$, что при любом параметре Флоке $\zeta\in[-\pi,\pi]$ существует собственное число $\Lambda_{n_m^{h\varepsilon}(\zeta)}^{h\varepsilon}(\zeta)$ задачи (1.7)–(1.10), подчиненное неравенству Замечание 2. Похожие, но более простые выкладки позволяют вывести оценку асимптотического остатка в представлении (2.11) первого собственного числа задачи (2.8)–(2.10). При этом по причине простоты собственного числа и благодаря минимальному принципу (см., например, [8; теорема 10.2.1]) какие-либо дополнительные рассуждения и вычисления не требуются. По-другому дела обстоят в рассматриваемой в этом параграфе задаче, и потому в п. 3.3, содержащем дополнительные элементы анализа спектра, вводится ограничение (1.35). 3.3. Утверждение о сходимостях и теорема об асимптотике собственных чиселДалее считаем, что $h>2$. Очередная цель – уточнение номера собственного числа, предоставленного предложением 2, – будет достигнута при дополнительном требовании (1.35). Далее в замечании 6 будет показано, что для каждого $m\in{\mathbb N}$ найдутся такие не зависящие от параметра Флоке $\zeta$ положительные величины $\varepsilon^h_m$ и $\mathbf c^h_m$, что
$$
\begin{equation}
\Lambda_m^{h\varepsilon}(\zeta)\leqslant\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}+\mathbf c^h_m \quad\text{при }\ \varepsilon\in(0,\varepsilon^h_m].
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Таким образом, вдоль некоторой бесконечно малой положительной последовательности $\{\varepsilon_j\}_{j\in{\mathbb N}}$ имеет место равномерная относительно переменной $\zeta\in[-\pi,\pi]$ сходимость
$$
\begin{equation}
\Lambda_m^{h\varepsilon}(\zeta)-\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2} \to\boldsymbol{\Lambda}_m(\zeta).
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Далее индекс $j$ у параметра $\varepsilon$, а также переменную Флоке $\zeta$ по возможности не указываем для краткости. Проверим, что предел (3.28) – собственное число двумерной задачи (1.32), (1.33). Сначала убедимся в том, что соответствующая собственная функция $U^{h\varepsilon}_m$ сконцентрирована на перегородке $\omega^{h\varepsilon}_0$. Предложение 3. Пусть $h\,{>}\,2$ (достаточно толстая перегородка) и $m\,{\in}\,\mathbb N$. Тогда при любом параметре Флоке $\zeta\in[-\pi,\pi]$ для нормированной в пространстве $L^2(\varpi^{h\varepsilon})$ собственной функции $U^{h\varepsilon}_m\in H_{0,\zeta}^1(\varpi^{h\varepsilon})$ задачи (1.7)–(1.10), отвечающей собственному числу (3.27), выполнена оценка Доказательство. Принимая во внимание условие Дирихле (1.8) только на внешней боковой поверхности ячейки, выводим из одномерного неравенства Фридрихса соотношение
$$
\begin{equation}
\|\nabla_xU_m^{h\varepsilon};L^2(\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2 \geqslant \frac{\pi^2}{4\varepsilon^2} \|U_m^{h\varepsilon};L^2(\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Интегральное тождество (1.12) с пробной функцией $\Psi^{h\varepsilon}_\zeta$ перепишем в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Lambda^{h\varepsilon}_m\|U_m^{h\varepsilon};L^2(\varpi^\varepsilon)\|^2 &= \|\nabla_xU_m^{h\varepsilon};L^2(\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2+ \|\nabla_xU_m^{h\varepsilon};L^2(\omega^{h\varepsilon}_0\setminus\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2 \\ &\geqslant\frac{\pi^2}{4\varepsilon^2} \|\nabla_xU_m^{h\varepsilon};L^2(\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2+\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2} \|\nabla_xU_m^{h\varepsilon};L^2(\omega^{h\varepsilon}_0\setminus\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Формулы (3.31) и (3.30), (3.27) влекут за собой оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf c^h_m &= \mathbf c^h_m\|U_m^{h\varepsilon};L^2(\varpi^\varepsilon)\|^2 \\ &\geqslant \|\nabla_xU_m^{h\varepsilon};L^2(\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2 - \frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}\|U_m^{h\varepsilon}; L^2(\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2 \\ &\qquad+\|\nabla_xU_m^{h\varepsilon};L^2(\omega^{h\varepsilon}_0 \setminus\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2 - \frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}\|U_m^{h\varepsilon}; L^2(\omega^{h\varepsilon}_0\setminus\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2 \\ &\geqslant\delta\|\nabla_xU_m^{h\varepsilon};L^2(\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2+ \frac{\pi^2}{\varepsilon^2}\biggl(\frac{1}{4}-\delta-\frac{1}{h^2}\biggr) \|U_m^{h\varepsilon};L^2(\varpi^\varepsilon_\Box)\|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось при учете требования $h>2$ выбрать число
$$
\begin{equation*}
\delta\in\biggl(0,\frac{h^2-4}{4h^2}\biggr)\not=\varnothing
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым закончить проверку неравенства (3.29). Все возникшие множители не зависят от параметра Флоке $|\zeta|\leqslant\pi$.
Предложение доказано. Замечание 3. При помощи приема из [30], уже использованного в п. 2.4 (см. лемму 4), ограничение (1.35), принятое в предложении 3, можно ослабить при сохранении оценки (3.29). Это не было сделано, потому что без информации о точном значении размера $h_0$, которой автор не владеет, не ясно, можно ли распространить предложение 3 на все значения $h\in[h_0,2]$, т.е. значительное усложнение выкладок все равно не приводит к исчерпывающему ответу. Замечание 4. Понятные изменения в вычислениях из доказательств предложения 3 и леммы 1 позволяют убедиться в отсутствии дискретного спектра у оператора задачи (2.1), (2.2) при $h>2$. Замечание 5. Благодаря предложению 3 собственные функции $U^{h\varepsilon}_m(\cdot;\zeta)$ вне перегородки $\omega^{h\varepsilon}_0$ оказываются малыми, т.е. при любом $\zeta$ произведения Используя обозначения, введенные перед формулой (3.13), определим следующие функции:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, U^{h\varepsilon}_{m0}(y)=\sqrt{\frac{2}{h\varepsilon}} \int_{-h\varepsilon/2}^{h\varepsilon/2} C^{h\varepsilon}(z)U_m^{h\varepsilon}(y,z)\,dz, \\ U^{h\varepsilon}_{m\bot}(y,z)=U_m^{h\varepsilon}(y,z)- \sqrt{\frac{2}{h\varepsilon}}\, C^{h\varepsilon}(z)U^{h\varepsilon}_{m0}(y). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Они заданы при $|y_j|<a_j-\varepsilon/2$, $j=1,2$, но операция
$$
\begin{equation}
U^{h\varepsilon}_{m0}\mapsto{\widehat{U}}^{h\varepsilon}_{m0}(y)= U^{h\varepsilon}_{m0}\biggl(\biggl(a_1-\frac{\varepsilon}{2}\biggr) \frac{y_1}{a_1}, \biggl(a_2-\frac{\varepsilon}{2}\biggr)\frac{y_2}{a_2}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
где ${\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0=\{y\in\omega^0_0\colon |y_j|<a_j-\varepsilon/2,\, j=1,2\}$, превращает первую из них в функцию из класса $H^1(\omega^0_0)$, незначительно изменяя лебегову норму. Для второй выполнено условие ортогональности
$$
\begin{equation}
\int_{-h\varepsilon/2}^{h\varepsilon/2}C^{h\varepsilon}(z)U^{h\varepsilon}_{m\bot}(y,z)\,dz=0 \quad \forall \, y\in{\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0,
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
а значит, и неравенство Пуанкаре с множителем – вторым собственным числом задачи Дирихле на отрезке длиной $h\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\int_{-h\varepsilon/2}^{h\varepsilon/2} |\partial_zU^{h\varepsilon}_{m\bot}(y,z)|^2\,dz \geqslant\frac{4\pi^2}{h^2\varepsilon^2} \int_{-h\varepsilon/2}^{h\varepsilon/2} |U^{h\varepsilon}_{m\bot}(y,z)|^2\,dz\quad \forall\, y\in{\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0.
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
В условиях предложения 3 при учете оценки (3.29) обнаруживаем, что
$$
\begin{equation}
\nonumber \|U^{h\varepsilon}_m;L^2(\varpi^{h\varepsilon})\|^2=1
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad \Longrightarrow\quad \bigl|\|U^{h\varepsilon}_{m0}; L^2({\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0)\|^2+ \|U^{h\varepsilon}_{m\bot}; L^2({\widehat{\omega}}^{h\varepsilon}_0)\|^2-1\bigr| =\|U^{h\varepsilon}_m; L^2(\varpi^{\varepsilon}_\square)\|^2\leqslant c_m^h\varepsilon^2,
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \|\nabla_xU^{h\varepsilon}_m;L^2(\varpi^{h\varepsilon})\|^2 =\Lambda^{h\varepsilon}_m \|U^{h\varepsilon}_m;L^2(\varpi^{h\varepsilon})\|^2
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \quad \Longrightarrow\quad \|\nabla_yU^{h\varepsilon}_{m0}; L^2({\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0)\|^2 +\|\nabla_xU^{h\varepsilon}_{m\bot}; L^2({\widehat{\omega}}^{h\varepsilon}_0)\|^2
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad\qquad -\frac{2\pi}{h\varepsilon}\sqrt{\frac{2}{h\varepsilon}} \int_{-h\varepsilon/2}^{h\varepsilon/2} \int_{{\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0} \sin\biggl(\frac{\pi z}{h\varepsilon}\biggr)U_{m0}^{h\varepsilon}(y)\, \partial_zU_{m\bot}^{h\varepsilon}(y,z)\,dz\, dy
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad -\biggl(\Lambda^{h\varepsilon}_n-\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}\biggr) \|U^{h\varepsilon}_{m0}; L^2({\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0)\|^2 -\Lambda^{h\varepsilon}_m\|U^{h\varepsilon}_{m\bot}; L^2({\widehat{\omega}}^{h\varepsilon}_0)\|^2 \leqslant C_m^h.
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Здесь ${\widehat{\omega}}^{h\varepsilon}_0=\omega^{h\varepsilon}_0 \setminus{\overline{\varpi^\varepsilon_\Box}}= {\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0\times(-h\varepsilon/2,h\varepsilon/2)$ – усеченная перегородка. “Перебрасывая” на синус производную по переменной $z$ в отделенном в выкладке (3.38) интеграле, обращаем его в нуль благодаря условию ортогональности (3.35). В итоге неравенство (3.36) и соотношение (3.27) позволяют придать высказыванию (3.38) следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl(\frac{4\pi^2}{h^2\varepsilon^2} -\Lambda^{h\varepsilon}_m\biggr) \|U^{h\varepsilon}_{m\bot}; L^2({\widehat{\omega}}^{h\varepsilon}_0)\|^2 \\ &\qquad \leqslant\biggl(\Lambda^{h\varepsilon}_m-\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}\biggr) \|U^{h\varepsilon}_{m0}; L^2({\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0)\|^2 +C^h_m\leqslant\mathbf c_m^h+ C_m^h \notag \\ &\Longrightarrow\quad \|U^{h\varepsilon}_{m\bot}; L^2({\widehat{\omega}}^{h\varepsilon}_0)\|^2\leqslant \mathbf C_m^h\varepsilon^2 \quad\text{при малом }\ \varepsilon>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Формулы (3.37)–(3.39) показывают, что
$$
\begin{equation*}
\|\nabla_yU^{h\varepsilon}_{m0}; L^2({\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0)\|^2 \leqslant c^h_{m1}, \qquad \|U^{h\varepsilon}_{m0}; L^2({\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0)\|^2-1\leqslant c^h_{m0}\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, элементарное следовое неравенство (см., например, [6; гл. 1]) вместе с формулой (3.29) и определениями (3.33), (3.34) дает оценку
$$
\begin{equation*}
\|U^{h\varepsilon}_{m0}; L^2(\partial{\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0 \setminus \partial\omega^{h\varepsilon}_0)\|^2 \leqslant c^h_{m1/2}\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, вдоль некоторой бесконечно малой положительной подпоследовательности $\{\varepsilon_j\}_{j\in{\mathbb N}}$ (сохраняем прежнее обозначение) имеют место сходимости
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &{\widehat{U}}^{h\varepsilon}_{m0}\to\mathbf U_m\in H^1_0(\omega^0_0) \quad\text{слабо в }\ H^1(\omega^0_0) \quad\text{и сильно в }\ L^2(\omega^0_0), \\ &\qquad\text{причем }\ \|\mathbf U_m;L^2(\omega^0_0)\|=1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Обозначим символом $\check{\ }$ операцию, обратную для (3.34), т.е. малое сжатие координат. При любой функции $\psi\in C^\infty_c(\omega^0_0)$ и достаточно малом параметре $\varepsilon>0$ подставим в интегральное тождество (1.12) пробную функцию
$$
\begin{equation*}
\Psi^{h\varepsilon}_\zeta(y,z)= \cos\biggl(\frac{\pi z}{h\varepsilon}\biggr)\check{\psi}(y),
\end{equation*}
\notag
$$
продолженную нулем с параллелепипеда ${\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0$ на всю ячейку $\varpi^{h\varepsilon}$ и потому попадающую в пространство $H^1_{0,\zeta}(\varpi^{h\varepsilon})$. Применив формулу интегрирования по частям и приняв во внимание соотношения (3.33) и (3.35), получим равенство
$$
\begin{equation*}
(U^{h\varepsilon}_{m0},\Delta_y \check{\psi})_{{\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0} +\biggl(\Lambda^{h\varepsilon}_m-\frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2}\biggr)( U^{h\varepsilon}_{m0}, \check{\psi})_{{\widehat{\omega}}^{\varepsilon}_0}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
После растяжения координат (см. замену (3.35)) выполним предельный переход на основании сходимостей (3.28), (3.40) и придем к интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
(\nabla_y\mathbf U_m,\nabla_y \psi)_{\omega^0_0} =\boldsymbol{\Lambda}_m(\mathbf U_m,\psi)_{\omega^0_0} \quad\forall\, \psi\in C^\infty_c(\omega^0_0),
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
обслуживающему предельную задачу (1.32), (1.33) в прямоугольнике $\omega^0_0$. Подчеркнем, что в тождестве (3.41) по замыканию допускаются пробные функции $\psi\in H^1_0(\omega^0_0)$. Укажем на одно важное наблюдение для случая достаточно толстых перегородок: ввиду оценки (3.35) из предложения 3 влияние параметра $\zeta\in[-\pi,\pi])$ из условий квазипериодичности (1.9), включенных в определение пространства $H^1_{0,\zeta}(\varpi^{h\varepsilon})$, на собственные пары задачи (1.7)–(1.10) ограничивается бесконечно малой $O(\varepsilon)$ (см. оценку (3.32)). Следовательно, найденные пределы $\Lambda_m$ и $\mathbf U_m$ не зависят от переменной Флоке, сходимости (3.28) и (3.40) равномерные относительно нее, т.е. отказ от написания аргумента $\zeta$ правомерен по крайней мере при ограничении (1.35). Итак, установлено следующее утверждение, которое позволит закончить асимптотический анализ в данном параграфе. Предложение 4. Пусть $h>2$ и $m\in{\mathbb N}$. Тогда при любом $\zeta\in[-\pi,\pi]$ предельные переходы (3.28) и (3.40) ставят в соответствие собственной паре $\bigl\{\Lambda^{h\varepsilon}_m(\zeta);U^{h\varepsilon}_m (\cdot;\zeta)\bigr\}$ трехмерной задачи (1.7)–(1.10) не зависящую от параметра $\zeta$ собственную пару $\bigl\{\Lambda_m; \mathbf U_m\bigr\}$ двумерной задачи (1.32), (1.33), причем функция $\mathbf U_m\in H^1_0(\omega^0_0)$ нормирована в пространстве $L^2(\omega^0_0)$. Вернемся к рассмотрению фигурирующих в оценке (3.26) собственных чисел и предположим, что собственное число $\nu_n$ предельной задачи кратное, т.е.
$$
\begin{equation}
\nu_{n-1}<\nu_n=\dots=\nu_{n+\varkappa_n-1}<\nu_{n+\varkappa_n}
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
при некотором $\varkappa_n>1$. Убедимся в том, что найдется не менее $\varkappa_n$ разных собственных чисел исходной задачи (1.7)–(1.10), для которых верна оценка вида (3.26). С этой целью воспользуемся второй частью леммы 2, в которой возьмем $\delta^{h\varepsilon}(\zeta)=\max\{\delta^{h\varepsilon}_n(\zeta), \dots,\delta^{h\varepsilon}_{n+\varkappa_n-1}(\zeta)\}$ и $\Delta^{h\varepsilon}(\zeta)= \delta^{h\varepsilon}(\zeta)/\varrho$, где знаменатель $\varrho\in(0,1)$ будет зафиксирован далее. При $m=n,\dots,n+\varkappa_n-1$ каждой почти собственной паре (3.9) поставлены в соответствие столбец $\mathbf c^{h\varepsilon}_{(m)}(\zeta)\in {\mathbb C}^{\mathbf X^{h\varepsilon}(\zeta)}$ (при необходимости приписываем в него нулевые компоненты) и сумма ${\mathcal S}^{h\varepsilon}_{(m)}(\zeta)$ собственных векторов ${\mathcal U}^{h\varepsilon}_j(\zeta)$, $j=\mathbf N^{h\varepsilon}(\zeta),\dots, \mathbf N^{h\varepsilon}(\zeta)+\mathbf X^{h\varepsilon}(\zeta)-1$, оператора ${\mathcal T}^{h\varepsilon}_\zeta$, фигурирующие в формулах (1.41). Благодаря условиям ортогональности и нормировки (1.42), а также оценкам (1.41) и (3.10), получаем соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl|(\mathbf c^{h\varepsilon}_{(m)}(\zeta), \mathbf c^{h\varepsilon}_{(p)}(\zeta))_{{\mathbb C}^{\mathbf X^{h\varepsilon}(\zeta)}}-\delta_{m,p}\bigr| =\bigl|\langle {\mathcal S}^{h\varepsilon}_{(m)}(\zeta),{\mathcal S}^{h\varepsilon}_{(p)}(\zeta) \rangle_{h\varepsilon}-\delta_{m,p}\bigr| \\ \notag &\qquad\leqslant \bigl|\langle \mathbf U^{h\varepsilon}_{m}-{\mathcal S}^{h\varepsilon}_{(m)}(\zeta), {\mathcal S}^{h\varepsilon}_{(p)}(\zeta) \rangle_{h\varepsilon}\bigr| \\ \notag &\qquad\qquad+ \bigl|\langle \mathbf U^{h\varepsilon}_{m},\mathbf U^{h\varepsilon}_{p}-{\mathcal S}^{h\varepsilon}_{(p)} (\zeta) \rangle_{h\varepsilon}\bigr| +\bigl|\langle \mathbf U^{h\varepsilon}_{m}, \mathbf U^{h\varepsilon}_{p} \rangle_{h\varepsilon} -\delta_{m,p}\bigr| \\ &\qquad\leqslant2\varrho+2\varrho+C_{mp}\sqrt{\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
Следовательно, при малых положительных $\varrho$ и $\varepsilon$ столбцы $\mathbf c^{h\varepsilon}_{(q)}(\zeta)\in {\mathbb C}^{\mathbf X^{h\varepsilon}(\zeta)}$, $q=n,\dots,n+\varkappa_n-1$, “почти ортонормированны”, что возможно лишь в случае Итак, зафиксировав подходящую величину $\varrho$, получаем собственные числа $\tau^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}(\zeta)}(\zeta), \dots,\tau^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}(\zeta)+\varkappa_n-1}(\zeta)$ оператора ${\mathcal T}^{h\varepsilon}_\zeta$, для которых верны оценки (3.23) с несколько увеличенными мажорантами
$$
\begin{equation}
C_n\varepsilon^{9/2}=\varrho\varepsilon^{9/2} \max\{c_n,\dots,c_{n+\varkappa_n-1}\}.
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
Теперь выкладки (3.24) и (3.25) показывают, что собственные числа
$$
\begin{equation}
\Lambda^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}(\zeta)}(\zeta),\ \dots,\ \Lambda^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}(\zeta)+\varkappa_n-1}(\zeta)
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
удовлетворяют модифицированной согласно формуле (3.44) оценке (3.26). Замечание 6. При $m\in{\mathbb N}$ и каждых $p=1,\dots,m$, $\zeta\in[-\pi,\pi]$ в малых окрестностях точек $\pi^2{h\varepsilon}^{-2}+\nu_p$ обнаружено не менее $\varkappa_p$ собственных чисел задачи (1.7)–(1.10); здесь $\varkappa_p$ – кратность собственного числа $\nu_p$ задачи (1.32), (1.33). Отсюда вытекает соотношение (3.27). Теорема 5. Пусть $h>2$, т.е. перегородки достаточно толстые, и $p\in \mathbb N$. Тогда найдутся такие положительные величины $\mathbf c^h_p$ и $\varepsilon^h_p$, что для любого параметра Флоке $\zeta\in[-\pi,\pi]$ соответственные члены последовательностей (1.13) и (1.34) собственных чисел задач, трехмерной (1.7)–(1.10) и двумерной (1.32), (1.33), связаны неравенствами Доказательство. Осталось убедиться в том, что нет “лишних”, т.е. не включенных в найденные асимптотические формулы, собственных чисел. Именно, пусть при некоторых $n\in{\mathbb N}$ и $\zeta\in[-\pi,\pi]$ существует бесконечно малая последовательность $\{\varepsilon_j\}_{j\in{\mathbb N}}$, для которой номер $n^{h\varepsilon_j}(\zeta)$ первого собственного числа в списке (3.45) строго больше $n$ (он не может быть строго меньше $n$ по указанной в замечании 6 причине). Тогда существует собственное число
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{h\varepsilon_j}_{N^{\varepsilon_j}_\bullet}(\zeta)\leqslant \frac{\pi^2}{h^2\varepsilon^2} +\nu_n+C_n\sqrt{\varepsilon_j}
\end{equation*}
\notag
$$
задачи (1.7)–(1.10), у которого нормированная в пространстве $L^2(\varpi^{h\varepsilon_j})$ собственная функция $U^{h\varepsilon_j}_{N^{\varepsilon_j}_\bullet} (\cdot;\zeta)$ подчинена условиям ортогональности (1.14), где $p=1,\dots,n+\varkappa_n-1$ и $q=N^{\varepsilon_j}_\bullet$. Предельные переходы (3.28) и (3.40) предоставляют собственные число $\Lambda_\bullet(\zeta)\in[0,\nu_m]$ и функцию $\mathbf U_\bullet(\cdot;\zeta)\in H^1_0(\omega^0_0)$ задачи (1.32), (1.33), причем сохраняются условия ортогональности $(\mathbf U_\bullet(\cdot;\zeta),v_p)_{\omega^0_0}=0$ в прежнем количестве. Последнее противоречит способу составления монотонной последовательности (1.34).
Теорема доказана. 3.4. Спектральные сегменты и лакуныАсимптотические формулы (3.46) в теореме 5 позволяют сделать выводы о строении спектра (1.5) оператора задачи (1.3), (1.4) в низкочастотном диапазоне для достаточно толстых перегородок. Теорема 6. Пусть $h\,{>}\,2$ и $\nu_n$ – собственное число предельной задачи (1.32), (1.33) с кратностью $\varkappa_n\geqslant1$ (см. соотношение (3.42)). Тогда спектральные сегменты (1.6) с номерами $p=n,\dots,n+\varkappa_n-1$ расположены в $C^h_n\sqrt{\varepsilon}$-окрестности точки $\pi^2(h\varepsilon)^{-2}+\nu_m$ и между ними и сегментами $B^{h\varepsilon}_{n-1}$ и $B^{h\varepsilon}_{n+\varkappa_n}$ раскрыты лакуны шириной $\nu_n-\nu_{n-1}+O(\sqrt{\varepsilon})$ и $\nu_{n+\varkappa_n}-\nu_n+O(\sqrt{\varepsilon})$ соответственно. К сожалению, остается невыясненным зонное строение спектра $\wp^{h\varepsilon}$ внутри окрестности самой точки $\pi^2(h\varepsilon)^{-2}+\nu_m$: для идентификации лакун между сегментами $B^{h\varepsilon}_n,\dots,B^{h\varepsilon}_{n+\varkappa_n-1}$ из теоремы 6 нужны младшие члены асимптотики собственных чисел (1.13) (проблемы их построения обсуждаются в § 5). Как уже упоминалось, при снятии ограничения (1.35) при помощи предложения 2 для просто толстых перегородок ($h\in(h_0,2]$) можно установить существование хотя бы одного спектрального сегмента длиной $O(\sqrt{\varepsilon})$ в окрестности точки $\pi^2(h\varepsilon)^{-2}+\nu_m$, однако узнать их количество и обнаружить раскрытые лакуны выше и ниже этой точки не удается без выяснения номера $n^{h\varepsilon}_m(\zeta)$ в оценке (3.26). Последнее сделано в настоящей работе только при $h>2$. § 4. Спектр короба Дирихле при тонких перегородках4.1. Асимптотика собственных чиселВсюду в этом параграфе $h<h_0$. Примем обозначения из п. 1.4 и п. 1.5. При каждом $\zeta\in[-\pi,\pi]$ введем четыре “почти собственные” пары
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bigl\{\mathbf T^{h\varepsilon}_\vartheta;\mathbf U^{h\varepsilon}_\vartheta \bigr\} =\bigl\{\varepsilon^2(\mu_1^h)^{-1},\|\mathbf w^{h\varepsilon}_\vartheta;{\mathcal H}^{h\varepsilon}_\zeta\|^{-1}\mathbf w^{h\varepsilon}_\vartheta \bigr\}, \\ \mathbf w^{h\varepsilon}_\vartheta(x)= X_\vartheta(x)w^h_1(\varepsilon^{-1}\Theta_\vartheta(x-P_\vartheta)). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
При этом $\vartheta\in\circledast$, $w^h_1$ – нормированная в $L^2({\mathbb Y}^h)$ собственная функция задачи (2.1), (2.2) (см. теорему 2), а $X_\vartheta$ – гладкая срезающая функция,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, X_\vartheta(x)=1 \quad\text{при }\ |x-P_\vartheta|<\frac{a_\varpi}3, \qquad X_\vartheta(x)=0 \quad\text{при }\ |x-P_\vartheta|>\frac{2a_\varpi}3, \\ a_\varpi=\min\biggl\{a_1,a_2,\frac 12\biggr\} . \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
В силу определений (1.1), (4.10) и (4.2) носители функций $X_\vartheta$ и $X_\alpha$ при $\vartheta\not=\alpha$ не пресекаются. Кроме того, $X_\vartheta$ обращается в нуль на торцах $\theta^\varepsilon_\pm$ ячейки $\varpi^{h\varepsilon}$, а значит, выполнены условия квазипериодичности и $\mathbf w^{h\varepsilon}_\vartheta\in {\mathcal H}^{h\varepsilon}_\zeta$. Оценим величину $\delta_\vartheta^{h\varepsilon}(\zeta)$, найденную согласно формуле (1.41) по паре (4.1). Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \delta^{h\varepsilon}_\vartheta &=\|{\mathcal T}_\zeta^{h\varepsilon}\mathbf U^{h\varepsilon}_\vartheta -\mathbf T^{h\varepsilon}_\vartheta\mathbf U^{h\varepsilon}_\vartheta; {\mathcal H}_\zeta^{h\varepsilon}\| =\sup\bigl|\langle {\mathcal T}_\zeta^{h\varepsilon} \mathbf U^{h\varepsilon}_\vartheta-\mathbf T^{h\varepsilon}_\vartheta \mathbf U^{h\varepsilon}_\vartheta,\Psi^{h\varepsilon}n_\zeta \rangle_{h\varepsilon}\bigr| \\ &=\mathbf T^{h\varepsilon}_\vartheta \|\mathbf w^{h\varepsilon}_\vartheta;{\mathcal H}_\zeta^{h\varepsilon}\|^{-1} \sup\bigl|(\nabla_x\mathbf w^{h\varepsilon}_\vartheta, \nabla_x\Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}-\varepsilon^{-2} \mu^h_1(\mathbf w^{h\varepsilon}_\vartheta, \Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}\bigr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Здесь, как и в п. 3.2, супремум вычисляется по единичному шару в пространстве ${\mathcal H}_\zeta^{h\varepsilon}$, т.е. $\|\Psi^{h\varepsilon}_\zeta;{\mathcal H}_\zeta^{h\varepsilon}\|\leqslant1$, и, следовательно, согласно условию Дирихле (1.8) и неравенству Фридрихса верна оценка (3.12) Обработаем скалярное произведение $(I^{h\varepsilon}_{\zeta\vartheta},\Psi^{h\varepsilon}_\zeta)_{\varpi^{h\varepsilon}}$ между последними знаками модуля в соотношении (4.3). Применим формулу интегрирования по частям и прокоммутируем оператор Лапласа со срезающей функцией $X_\vartheta$. В результате получим равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I^{h\varepsilon}_{\zeta\vartheta} &=-X_\vartheta(x)(\Delta_x+\varepsilon^{-2}\mu^h_1) w^h_1(\varepsilon^{-1}\Theta_\vartheta(x-P_\vartheta)) \nonumber \\ &\qquad+[\Delta_x,X_\vartheta(x)]w^h_1(\varepsilon^{-1}\Theta_\vartheta(x-P_\vartheta)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Первое слагаемое обращается в нуль, так как $\{\mu^h_1;w^h_1\}$ – собственная пара задачи (2.1), (2.2), а модуль второго не превосходит $c\,(1+\varepsilon^{-1})e^{-\kappa_ha_\varpi/(3\varepsilon)}$ в силу теоремы 4 и формулы (4.2); при этом множитель $\varepsilon^{-1}$ появился из-за того, что коммутатор $[\Delta_x,X_\vartheta]$ – дифференциальный оператор первого порядка, а функция $w^h_1$ зависит от быстрых переменных. Аналогично для индексов $\vartheta,\alpha\in\circledast$ обнаруживаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(\mathbf w^{h\varepsilon}_\vartheta, \mathbf w^{h\varepsilon}_\alpha)_{\varpi^{h\varepsilon}}= \delta_{\vartheta,\alpha}\|\nabla_\xi w^h_1; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2+O(\varepsilon(1+\varepsilon^{-2})e^{-2\kappa_h/(3\varepsilon)}) \\ &\quad\Longrightarrow\quad \bigl|(\mathbf w^{h\varepsilon}_\vartheta, \mathbf w^{h\varepsilon}_\alpha)_{\varpi^{h\varepsilon}}- \mu^h_1\delta_{\vartheta,\alpha}\bigr| \leqslant c_h\varepsilon^{-1}e^{-2\kappa_h/(3\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Множитель $\varepsilon$ в первой строке учитывает толщину $O(\varepsilon)$ элементов (1.1) сочленения $\varpi^{h\varepsilon}$, а появление остальных сомножителей уже объяснено. Итак, формулы (4.1), (4.5) и (4.4), (3.12) показывают, что
$$
\begin{equation}
\delta^{h\varepsilon}_\vartheta(\zeta)\leqslant c_h\varepsilon^2e^{-2\kappa_h/(3\varepsilon)} \leqslant C_h\varepsilon^2e^{-K_h/\varepsilon},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где положительные величины $C_h$ и $K_h$ на зависят от $\zeta\in[-\pi,\pi]$. При этом для того чтобы упростить показатель экспоненты (конечно же, не оптимальный по причине использования срезки (1.40), которую можно заместить другой и увеличить показатель, изменив непредсказуемым способом коэффициент $c_h$), зафиксировали какую-то величину $K_h\leqslant\kappa_h/3$. Подчеркнем, что при выделении в асимптотике только “степенных” членов $O(\varepsilon^{-2})$ точная экспоненциальная оценка остатка не обязательна. В результате лемма 3 предоставляет собственные числа $\tau^{h\varepsilon}_{n^\varepsilon_\vartheta(\zeta)}(\zeta)$, удовлетворяющие оценке (1.40) с последней мажорантой из (4.6). Действуя по схеме из п. 3.3, при помощи второй части леммы 2 убедимся в том, что эти числа можно считать различными для четырех индексов $\vartheta\in\circledast$. В качестве $\delta^{h\varepsilon}(\zeta)$ и $\Delta^{h\varepsilon}(\zeta)$ в этой лемме возьмем максимальную из величин $\delta^{h\varepsilon}_\vartheta(\zeta)$ при $\vartheta\in\circledast$ и произведение $\varrho^{-1}\delta^{h\varepsilon}(\zeta)$, где множитель $\varrho\in(0,1)$ зафиксируем позднее. Обозначим через $\mathbf c^{h\varepsilon}_{(\vartheta)}(\zeta)$ и $\mathbf S^{h\varepsilon}_{(\vartheta)}(\zeta)$ столбцы коэффициентов и суммы собственных векторов из формулы (1.41). Аналогично выкладке (3.43) в силу соотношений (1.42) и (1.39), (4.6) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl|\mathbf c^{h\varepsilon}_{(\vartheta)}(\zeta)\cdot \mathbf c^{h\varepsilon}_{(\alpha)}(\zeta)-\delta_{\vartheta,\alpha}\bigr| &= \bigl|\langle \mathbf S^{h\varepsilon}_{(\vartheta)}(\zeta), \mathbf S^{h\varepsilon}_{(\alpha)}(\zeta)\rangle_{h\varepsilon} -\delta_{\vartheta,\alpha}\bigr| \\ &\leqslant\bigl|\langle\mathbf U^{h\varepsilon}_{\vartheta}-\mathbf S^{h\varepsilon}_{(\vartheta)}(\zeta), \mathbf S^{h\varepsilon}_{(\alpha)}(\zeta)\rangle_{h\varepsilon}\bigr| +\bigl|\langle\mathbf U^{h\varepsilon}_{\vartheta}, \mathbf U^{h\varepsilon}_{\vartheta}- \mathbf S^{h\varepsilon}_{(\alpha)}(\zeta)\rangle_{h\varepsilon}\bigr| \\ &\qquad + \bigl|\langle\mathbf U^\varepsilon_{\vartheta}, \mathbf U^\varepsilon_{\vartheta}\rangle_{h\varepsilon} -\delta_{\vartheta,\alpha}\bigr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первые два слагаемых в правой части не превосходят $2\varrho$, а последнее не превосходит $c_h\varepsilon^2e^{-K_h/\varepsilon}$ (см. соотношения (1.39) и (4.6)). Следовательно, при малых $\varrho$ и $\varepsilon$ четыре ($\vartheta\in\circledast$) столбца $\mathbf c^{h\varepsilon}_{(\vartheta)}(\zeta)$ “почти ортонормированны” в ${\mathbb R}^{\mathbf X^{h\varepsilon}(\zeta)}$, что возможно лишь в случае $\mathbf X^{h\varepsilon}(\zeta)\geqslant4$. Подведем итог. Зафиксировав подходящие $\varrho>0$ и $\varepsilon^h_0>0$, обнаруживаем при $\varepsilon\in(0,\varepsilon^h_0]$ четыре различных собственных числа $\Lambda^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}_\vartheta(\zeta)}(\zeta)$ задачи (1.7)–(1.10), для которых
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|\tau^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}_\vartheta(\zeta)} (\zeta)-\varepsilon^2(\mu^h_1)^{-1}\bigr| \leqslant c_h \varepsilon^2e^{-K_h/\varepsilon} \\ &\quad\Longrightarrow\quad \bigl|\Lambda^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}_\vartheta(\zeta)} (\zeta)-\varepsilon^{-2}\mu^h_1\bigr| \leqslant c_h e^{-K_h/\varepsilon}\Lambda^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}_\vartheta (\zeta)}(\zeta)\mu^h_1 \\ &\quad\Longrightarrow\quad \Lambda^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}_\vartheta(\zeta)}(\zeta) <\varepsilon^{-2}\mu^h_1+c_h e^{-K_h/\varepsilon}\Lambda^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}_\vartheta (\zeta)}(\zeta)\mu^h_1 \\ &\quad\Longrightarrow\quad \Lambda^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}_\vartheta(\zeta)} (\zeta)<2\varepsilon^{-2}\mu^h_1 \quad\text{при }\ c_h e^{-K_h/\varepsilon}\mu^h_1\leqslant\frac{1}{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, при надлежащем выборе границы $\varepsilon^h_0$ изменения малого параметра имеем
$$
\begin{equation}
\bigl|\Lambda^{h\varepsilon}_{n^{h\varepsilon}_\vartheta(\zeta)} (\zeta)-\varepsilon^{-2}\mu^h_1\bigr| \leqslant 2c_h(\mu^h_1)^2 \varepsilon^{-2}e^{-K_h/\varepsilon} \quad\text{при }\ \varepsilon\in(0,\varepsilon^h_0].
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Осталось проверить, что номера собственных чисел, появившихся в оценке (4.7), образуют множество $\{1,2,3,4\}$. 4.2. Затухание собственных функцийПроверка следующего утверждения в значительной степени повторяет ход доказательства теоремы 4. Теорема 7. Пусть при $h\in(0,h_1)$ и при некотором $\zeta\in[-\pi,\pi]$ член $\Lambda^{h\varepsilon}_n(\zeta)$ последовательности (1.13) удовлетворяет соотношению Доказательство. Теперь определим весовую функцию ${\mathcal R}^{\varepsilon\kappa}_T$ следующим образом. Выберем какую-либо точку $P_\vartheta\in{\mathcal P}$, например, $P_{(-,-)}$, и при на четвертушке $\varpi^{h\varepsilon}_{(-,-)}=\{ x\in\varpi^{h\varepsilon}\colon x_1,x_2\leqslant0\}$ ячейки периодичности введем функцию
$$
\begin{equation}
{\mathcal R}^{\varepsilon,\kappa}_T(x)=\mathbf e_{+\infty, \varepsilon T}(\varepsilon^{-1}(x_1+a_1))^\kappa \mathbf e_{+\infty,\varepsilon T}(\varepsilon^{-1}(x_2+a_2))^\kappa \mathbf e_{+\infty,\varepsilon T}(\varepsilon^{-1}x_3)^\kappa,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
равную $e^T$ на множестве
$$
\begin{equation}
{\mathbb Y}^{h\varepsilon}_{(-,-)}(T)=\bigl\{ x\colon (\varepsilon^{-1}(x_1+a_1),\, \varepsilon^{-1}(x_2+a_2),\varepsilon^{-1}x_3)\in {\mathbb Y}^h(\varepsilon^{-1}T)\bigr\}\subset \varpi^{h\varepsilon},
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
но экспоненциально большую на удалении от него. Аналогично поступим в окрестностях других точек (1.28). Благодаря симметрии ячейки и определению (2.33) в результате получим непрерывную и $1$-периодическую по переменной $x_3$ весовую функцию на $\varpi^{h\varepsilon}$. Объединение множеств (4.12), отвечающих четырем точкам из $\mathcal P$, обозначим ${\mathbb Y}^{h\varepsilon}(R)$.
Пробная функция $\Psi^\varepsilon ={\mathcal R}^{\varepsilon,\kappa}_T\mathbf U^\varepsilon$ в интегральном тождестве (1.12) и произведение $\mathbf U^\varepsilon={\mathcal R}^{\varepsilon,\kappa}_TU_n^\varepsilon$ попадают в пространство $H^1_{0,\zeta}(\varpi^\varepsilon)$. Таким образом, повторив с понятными изменениями выкладки (2.35)–(2.38), находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Lambda^{h\varepsilon}_n(\zeta)e^{6t} &\geqslant\Lambda^{h\varepsilon}_n(\zeta)\|\mathbf U^{h\varepsilon}; L^2({\mathbb Y}^{h\varepsilon}(T))\|^2 \\ \notag &=\|\nabla_x\mathbf U^{h\varepsilon}; L^2(\varpi^\varepsilon)\|^2 -(\Lambda^{h\varepsilon}_n \|\mathbf U^{h\varepsilon};L^2(\varpi^{h\varepsilon}\setminus{\mathbb Y}^{h\varepsilon}(T))\|^2 \\ \notag &\qquad+\|\mathbf U^{h\varepsilon}{\mathcal R}^{\varepsilon,-\kappa}_T \nabla_x{\mathcal R}^{\varepsilon,\kappa}_T;L^2(\varpi^{h\varepsilon}\setminus {\mathbb Y}^{h\varepsilon}(T))\|^2) \\ \notag &\geqslant\delta\|\nabla_x\mathbf U^{h\varepsilon}; L^2(\varpi^{h\varepsilon})\|^2 \\ &\qquad +\frac{1}{\varepsilon^2}\biggl(\frac{1}{2}(2\beta_1-d)(1-\delta) -\varepsilon^2\Lambda^{h\varepsilon}_n-9\kappa^2\biggr) \|\mathbf U^{h\varepsilon};L^2(\varpi^{h\varepsilon}\setminus{\mathbb Y}^{h\varepsilon}(T))\|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Пояснение: множитель $\varepsilon^{-2}$ возник после растяжения координат (1.29) в неравенстве (2.19) на множестве $\{\xi\colon |\xi_3|\,{\in}\,(T,1/(2\varepsilon)),\, \xi'\,{\in}\,{\mathbb L}_{|\xi_3|}\}$ и неравенствах (2.20) на множествах $\{\xi\colon \xi_q\in(T,a_q/\varepsilon),\,|\xi_3|<\xi_q,\,\xi_{3-q}<\xi_q\}$, $q=1,2$, причем в условие (2.18) для $T$ вставлена мажоранта $ \frac{1}{2}((\beta_1-d)+\beta_1)$.
Осталось при учете ограничения (4.8) выбрать величины $\delta>0$ и $\kappa>0$ малыми настолько, чтобы последний множитель при последней норме функции $\mathbf U^{h\varepsilon}$ в оценке (4.13) стал больше $\delta\varepsilon^{-2}$, и заметить, что введенная весовая функция (4.11) превосходит $c_{a,h}e^{\kappa_d\rho_\varepsilon(x)}$ с некоторыми положительными $c_{a,h}$ и $\kappa_d$. Замечание 7. Как и в замечании 5, весовая оценка (4.9) из теоремы 7 устанавливает слабую зависимость собственных чисел задачи (1.7)–(1.10) от параметра Флоке $\zeta$, выраженную неравенством (3.32) с экспоненциально малой при $\varepsilon\to+0$ мажорантой. 4.3. СходимостиПусть $U^{h\varepsilon}_k(\cdot;\zeta)\in H^1_{0,\zeta}(\varpi^{h\varepsilon})$ – собственная функция задачи (1.7)–(1.10), нормированная в $L^2(\varpi^{h\varepsilon})$ и отвечающая ее собственному числу
$$
\begin{equation}
\Lambda^{h\varepsilon}_k(\zeta)\leqslant \varepsilon^{-2}\mu^h_1+c_k.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Вне некоторой положительной бесконечно малой последовательности $\{\varepsilon_j\}_{j\in{\mathbb N}}$ имеет место сходимость
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2\Lambda^{h\varepsilon}_k-\mu^h_1\to\alpha^h.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Здесь и далее индекс $j\in{\mathbb N}$ и параметр Флоке $\zeta\in[-\pi,\pi]$ не пишем (для последнего это можно делать в силу замечания 7). Введем следующие наборы чисел $W_k^{h\varepsilon}= \{w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}\}_{\vartheta\in\circledast}$ и функций $W^{{h\varepsilon}\bot}_k =\{w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}\}_{\vartheta\in\circledast}$ из пространства $H^1_0({\mathbb Y}^h)$:
$$
\begin{equation}
w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}=\varepsilon^{3/2}\int_{{\mathbb Y}^h}w^h_1(\xi)(X_\vartheta(x)U^{h\varepsilon}_k(x)) \big|_{x=P_\vartheta+\varepsilon\Theta_\vartheta^{-1}\xi}\,d\xi,
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}(\xi) =\varepsilon^{3/2}X_\vartheta(x)U^\varepsilon_k(x)) \big|_{x=P_\vartheta+\varepsilon\Theta_\vartheta^{-1}\xi} -w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}w^h_i(\xi), \\ \int_{{\mathbb Y}^h}w^h_i(\xi)w^{h\varepsilon\bot}_{k\vartheta}(\xi)\,d\xi=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Благодаря последнему условию ортогональности выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\|\nabla_\xi w^{h\varepsilon\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\|\geqslant m^h\|\nabla_\xi w^{h\varepsilon\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\| \quad\text{при }\ m^h\in(\mu^h_1,\beta_1].
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
При этом $m^h=\beta_1$ в случае $\sigma^h_d=\{\mu^h_1\}$, а иначе $m^h$ – второе собственное число задачи (2.1), (2.2) (см. [8; теорема 10.2.1] и ср. теорему 3). Поскольку $dx=\varepsilon^3d\xi$, при помощи теоремы 7, равенства $\|w^h_1; L^2({\mathbb Y}^h)\|=1$ и условия ортогональности из (4.17) находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 1&=\|U^{h\varepsilon}_k; L^2(\varpi^{h\varepsilon})\|^2=\sum_{\vartheta\in\circledast} \|X_\vartheta U^{h\varepsilon}_k; L^2(\varpi^{h\varepsilon})\|^2+O(e^{-K_h/\varepsilon}) \\ \notag &=\sum_{\vartheta\in\circledast} \|w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}w^h_1+ w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2+O(e^{-K_h/\varepsilon}) \\ &=\sum_{\vartheta\in\circledast}\bigl(|w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}|^2+ \|w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2\bigr)+O(e^{-K_h/\varepsilon}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Теперь в интегральное тождество (1.12) подставим пробную функцию
$$
\begin{equation*}
\Psi^{h\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-3} \sum_{\vartheta\in\circledast} X_\vartheta(x)^2U^{h\varepsilon}_k(x;\zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
и перенесем один множитель $X_\vartheta$ от функции $U^{h\varepsilon}_k$ на второй позиции в скалярном произведении к той же функции на первой позиции. В силу определения (4.2) возникшее при коммутировании оператора-градиента $\nabla_x$ и срезки $X_\vartheta$ выражение $U^{h\varepsilon}_k\nabla_x X_\vartheta$ приобретает носитель на множестве, где собственная функция экспоненциально мала благодаря весовой оценки (4.9). В результате получаем соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &O(e^{-K_h/\varepsilon}) \\ \notag &\quad =\sum_{\vartheta\in\circledast} \bigl(\varepsilon^{-2} \|w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}\nabla_\xi w^h_1+ \nabla_\xi w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2- \Lambda^{h\varepsilon}_k\|w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}w^h_1+ w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta};L^2({\mathbb Y}^h)\|^2\bigr) \\ \notag &\quad =\sum_{\vartheta\in\circledast}\biggl(\varepsilon^{-2}\biggl(\mu^h_1|w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}|^2+ \|\nabla_\xi w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta};L^2({\mathbb Y}^h)\|^2 \\ &\quad\qquad +2w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}\int_{{\mathbb Y}^h} \nabla_\xi w^h_1(\xi)\cdot\nabla_\xi w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}(\xi)\,d\xi -\Lambda^{h\varepsilon}_k(|w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}|^2 + \|w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2)\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Оставленный в правой части интеграл по области ${\mathbb Y}^h$ равен нулю: проинтегрировали по частям и воспользовались уравнением (2.1) для пары $\{\mu^h_1;w^h_1\}$, а также условием ортогональности из списка (4.17). В итоге соотношения (4.18), (4.14) и (4.19) дают цепочку неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon^{-2}c_k\sum_{\vartheta\in\circledast}\| w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2\leqslant (\varepsilon^{-2}m^h-\Lambda^{h\varepsilon}_k)\sum_{\vartheta\in\circledast} \|w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta};L^2({\mathbb Y}^h)\|^2 \\ &\qquad \leqslant\sum_{\vartheta\in\circledast}(\varepsilon^{-2} \|\nabla_\xi w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2- \Lambda^{h\varepsilon}_k\|w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\|^2) \\ &\qquad \leqslant\sum_{\vartheta\in\circledast}(\Lambda^{h\varepsilon}_k -\varepsilon^{-2}\mu^h_1 )|w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}|^2+ c_ee^{-K_h/\varepsilon}\leqslant C_k \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с положительными постоянными $c_k$ и $C_k$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\|w^{\varepsilon\bot}_{k\vartheta}; L^2({\mathbb Y}^h)\|\leqslant c_{k\circledast}\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, вдоль некоторой подпоследовательности $\{\varepsilon_j\}_{j\in{\mathbb N}}$ (сохраняем прежнее обозначение) имеют место сходимости
$$
\begin{equation}
w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}\to w^{h0}_{k\vartheta}\in{\mathbb R}, \quad\text{причем }\ \sum_{\vartheta\in\circledast}|w^{h0}_{k\vartheta}|^2=1,
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
$$
\begin{equation}
w^{{h\varepsilon}\bot}_{k\vartheta}\to 0 \quad\text{сильно в }\ L^2({\mathbb Y}^h), \quad \vartheta\in\circledast.
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
В интегральном тождестве (1.12) возьмем пробную функцию
$$
\begin{equation*}
\varpi^{h\varepsilon}\ni x\mapsto \psi^{h\varepsilon}(x)=\varepsilon^{1/2} \sum_{\vartheta\in\circledast}\phi_\vartheta X_\vartheta(x)w^h_1(\varepsilon^{-1} \Theta_\vartheta(x-P_\vartheta))
\end{equation*}
\notag
$$
с произвольным набором постоянных $\{\phi_\vartheta\}_{\vartheta\in\circledast}\in{\mathbb R}^4$. Повторив с мизерными изменениями преобразования, приведшие к соотношению (4.20), выполним предельный переход
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &=\sum_{\vartheta\in\circledast}\phi_\vartheta(w^{h\varepsilon}_{k\vartheta}w^h_1 +w^{h\varepsilon\bot}_{k\vartheta},\Delta_\xi w^h_1-\varepsilon^2\Lambda^{h\varepsilon}_k w^h_1)_{{\mathbb Y}^h}+O(e^{-K_h/\varepsilon}) \\ &\to\alpha^h\sum_{\vartheta\in\circledast}\phi_\vartheta w^0_{k\vartheta}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь приняты во внимание сходимости (4.15) и (4.21), (4.22). Ввиду произвольности величин $\phi_\vartheta$ и указанной в (4.21) нормировки выводим отсюда равенство придающее предельному переходу (4.15) желательный вид. Напомним, что условия квазипериодичности (1.9) назначены на удаленных от точек (1.28) торцах $\theta^\varepsilon_\pm$ ячейки $\varpi^{h\varepsilon}$, где собственные функции экспоненциально малы в силу теоремы 7 (ср. замечании 7). Таким образом, влияние переменной Флоке ослаблено и все пределы в самом деле не зависят от $\zeta\in[-\pi,\pi]$. 4.4. Спектральные сегменты и лакунаПоскольку для собственных функций, отвечающих числам (4.14), выполнены соотношения (4.16) и (4.21), существует не более четырех таких чисел $\Lambda^\varepsilon_1(\zeta),\dots,\Lambda^\varepsilon_4(\zeta)$ и именно они фигурируют в неравенствах (4.7), т.е. действительно
$$
\begin{equation*}
\bigl\{n^\varepsilon_\vartheta(\zeta)\}_{\vartheta\in\circledast} =\{1,2,3,4\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 8. Пусть $h\in(0,h_1)$ (см. формулу (1.24)). Существуют положительные величины $c^h_4$, $\varepsilon^h_4$ и $c^h_5$, $\varepsilon^h_5$, при которых выполнены следующие утверждения. 1) Спектральных сегменты (1.6) с номерами $n=1,2,3,4$ располагаются в $c^h_4e^{-K/\varepsilon}$-окрестности точки $\varepsilon^{-2}\mu^h_1$, где $\mu^h_1$ – первое собственное число задачи (2.2), а показатель $K>0$ взят из оценки (4.7). 2) При $n\geqslant5$ спектральные сегменты $B^\varepsilon_n$ попадают на луч $[\varepsilon^{-2}M^h,+\infty)$, где $M^h>\mu^h_1$, т.е. между сегментами $B^\varepsilon_4$ и $B^\varepsilon_5$ раскрыта лакуна шириной $O(\varepsilon^{-2}( M^h-\mu^h_1))$. Доказательство. Обратим внимание только на один момент. Если предположить, что при некоторых параметре Флоке $\zeta\in[-\pi,\pi]$ и бесконечно малой положительной последовательности $\{\varepsilon_j\}_{j\in{\mathbb N}}$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\varepsilon^2\bigl|\Lambda^{h\varepsilon_j}_5(\zeta) -\Lambda^{h\varepsilon_j}_4(\zeta)\bigr|\to0 \quad\text{при }\ j\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то для $\Lambda^{h\varepsilon_j}_5(\zeta)$ выполнено требование (4.14), а значит, при помощи проверенной в п. 4.3 сходимости (4.21) обнаруживаем, что
$$
\begin{equation}
W^\varepsilon_5\to W^0_5\in{\mathbb R}^4, \quad\text{причем }\ \|W^0_5;{\mathbb R}^4\|=1, \qquad (W^0_5, W^0_m)_{{\mathbb R}^4}=0, \quad m=1,2,3,4.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Поскольку векторы $W^0_1$, $W^0_2$, $W^0_3$, $W^0_4$ образуют базис в евклидовом пространстве ${\mathbb R}^4$, формула (4.23) невозможна.
Теорема доказана. Замечание 8. Для проверки утверждений теоремы 8 применялись совместно результаты из п. 4.1 и п. 4.3, но порознь эти результаты не позволяют сделать выводы о размерах сегментов и существовании лакуны. Теорема 8 оставила открытыми естественные вопросы: разделены ли лакунами спектральные сегменты $B^\varepsilon_1,\dots,B^\varepsilon_4$ и каково зонное строение спектра (1.5) выше сегмента $B^\varepsilon_5$ ? Для ответа на них имеются серьезные препятствия, обсуждаемые в следующем параграфе. § 5. Изъяны проведенного анализа5.1. Поведение на бесконечности решений задачи Дирихле в области $\mathbb{Y}^h$Ответы на многие вопросы асимптотического анализа, оставленные открытыми в настоящей работе, можно получить после вывода разложений при $|\xi|\to+\infty$ решений задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi w(\xi)-\mu w(\xi)=f(\xi),\qquad \xi\in{\mathbb Y}^h, \\ w(\xi)=g(\xi),\qquad \xi\in\partial {\mathbb Y}^h, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
с гладкими финитными правыми частями $f$ и $g$ в области (1.18), изображенной на рис. 3. Из-за специфического строения этой области затруднено какое-либо использование теории Кондратьева (см. [32]; ср. монографии [4], [33]), нашедшей широчайшее применение в разнообразных математических и прикладных исследованиях. Частные результаты (см., например, [34]) об асимптотике решений уравнения Пуассона в областях с выходами на бесконечность в виде сектора слоя относятся в основном к краевым условиям Неймана и, более того, предоставляют асимптотические формулы совершенно иного свойства, нежели прогнозируемые для решений задачи (5.1). Так, способ доказательства теоремы 4 подсказывает, что при $h\in(0,h_0)$ собственная функция $w^h_1\in H^1_0({\mathbb Y}^h)$, найденная в п. 2.3 и являющаяся решением задачи (5.1) при $\mu=\mu^h_1$ и $f=0$, $g=0$, сконцентрирована около ребра “толстостенного” двугранного угла ${\mathbb V}={\mathbb L} \times{\mathbb R}$ и экспоненциально затухает при удалении от него, в частности, на “полке” ${\mathbb Y}^h\setminus{\mathbb V}$. Вместе с тем логично предположить, что при $h>2$ решение задачи (5.1) локализуется на полке и быстро затухает в угле ${\mathbb V}$. В любом случае исследование поведения решений обсуждаемой задачи требует создания новых подходов и методов анализа. Необходимость выяснения поведения на бесконечности решений задачи (5.1) возникает и в других вопросах, не связанных напрямую с изучением асимптотик. Например, способ проверки свойства локализации собственных функций на перегородке $\omega^{h\varepsilon}_0$, избранный в предложении 3 при ограничении (1.35), не годится для случая “недостаточно толстых” перегородок, т.е. при $h\in(h_1,2]$. Можно надеяться, что к успеху приведет использованный в доказательстве теоремы 1 прием секториального рассечения области, однако для его реализации опять нужно знать асимптотику собственных чисел смешанной краевой задачи на усечении (2.7) области ${\mathbb Y}^h$ (ср. доказательство леммы 3), которую нельзя получить без указанной информации о решениях задачи (5.1). 5.2. Дискретный спектр и “реберная” локализацияК сожалению, не удалось полностью исследовать спектр $\sigma^h$ задачи (2.1), (2.2) в трехмерной области ${\mathbb Y}^h$. Прежде всего, при $h\in(h_2,h_0)$ осталась невыясненной кратность дискретного спектра $\sigma^h_d$ (ср. теорему 3). Впрочем, по большому счету это упущение некритично при $h\in(h_2,h_0)$, так как появление еще одного изолированного собственного числа не изменяет асимптотическую конструкцию (4.1), в которой появляется новая спектральная пара, а схема обоснования асимптотики в пп. 4.1–4.3 сохраняется полностью. Для перегородок средней толщины, т.е. при $h\in(h_1,h_0)$, влияние дискретного спектра $\sigma^h_d$ на спектр (1.5) задачи (1.3), (1.4) в волноводе $\Pi^{h\varepsilon}$ вторично по причине неравенства (ср. соотношение (1.24)). Именно, на первый план, вероятнее всего, выходит новый эффект локализации собственных функций около “утолщенных” ребер ячейки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathbb W}^\varepsilon_{(\alpha_1,\alpha_2)} &= \biggl\{ x \colon |y_j-\alpha_j a_j|<\frac \varepsilon2,\,|z|<\frac 12\biggr\}\subset \varpi^{h\varepsilon}_{(\alpha_1,\alpha_2)} \\ &:= \biggl\{x\in\varpi^{h\varepsilon} \colon |y_j-\alpha_j a_j|<\frac 12,\,j=1,2\biggr\}, \qquad (\alpha_1,a_2)\in\circledast. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Собственные пары $\{\Lambda^{h\varepsilon}_n(\zeta);U^{h\varepsilon}_n(\cdot;\zeta)\}$ надлежит искать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Lambda^{h\varepsilon}_n(\zeta)=\varepsilon^{-2}\beta_1+\gamma_n(\zeta)+\dotsb, \\ U^{h\varepsilon}_n(x;\zeta)=v_\vartheta(z;\zeta)V_1(\eta_\vartheta)+\dotsb, \qquad x\in\varpi^{h\varepsilon}_\vartheta\setminus\omega^{h\varepsilon}_0, \quad\vartheta\in\circledast. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь растянутые координаты $\eta_\vartheta\in{\mathbb R}^2$ определены по правилу
$$
\begin{equation*}
(\eta_\vartheta,0)=\varepsilon^{-1}\Theta_\vartheta((y,0)-P_\vartheta)
\end{equation*}
\notag
$$
(ср. формулу (4.1)), $\{\beta_1;V_1\}$ – собственная пара задачи (1.19), (1.20) в $\mathsf L$-образной области (1.16) (см. п. 1.3 и рис. 2, a), а число $\gamma_n(\zeta)$ и наборы функций $\{v_\vartheta(\cdot;\zeta)\}_{\vartheta\in\circledast}$ из пространства $C^\infty((-1/2,0)\cup(0,1/2))$ подлежат определению. Нетрудно предсказать появление следующих четырех ($\vartheta\in\circledast$) обыкновенных дифференциальных уравнений на проколотом отрезке и условий квазипериодичности, проистекающих от формул (1.7) и (1.9), (1.10):
$$
\begin{equation}
-\partial_z^2 v_\vartheta(z) =\gamma v_\vartheta(z),\qquad z\in\biggl(-\frac{1}{2},0\biggr)\cup \biggl(0,\frac{1}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
$$
\begin{equation}
v_\vartheta\biggl(-\frac{1}{2}\biggr) =e^{i\zeta}v_\vartheta\biggl(-\frac{1}{2}\biggr), \qquad \frac{d v_\vartheta}{dz}\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)=e^{i\zeta} \frac{d v_\vartheta}{dz}\biggl(-\frac{1}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Вместе с тем непонятно, какие условия сопряжения нужно назначить в точках $z=0$ на лучах ${\mathbb W}^0_\vartheta\ni P_\vartheta$, и это обстоятельство не позволяет закончить построение асимптотики. Если окажется, что правомерными являются условия Дирихле
$$
\begin{equation}
v_\vartheta(+0) =v_\vartheta(-0), \qquad \vartheta\in\circledast,
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
то собственные числа $\gamma_n=\pi^2n^2$ предельной задачи (5.2)–(5.4) не зависят от переменной Флоке $\zeta$, что провоцирует появление широких лакун и коротких (с длинами $O(\sqrt{\varepsilon})$) спектральных сегментов $B^{h\varepsilon}_n$ около точек $\varepsilon^{-2}\beta_1\,{+}\,\pi^2n^2$, $n\in{\mathbb N}$ (ср. теорему 6). Ежели вместо условий Дирихле возникают собственно условия сопряжения, например, классические условия Кирхгофа (см. [35]), то спектральные сегменты приобретают длины $O(1)$, а вопрос о раскрытии лакун в спектре (1.5) становится несоизмеримо более сложным. В следующем пункте намечаются пути выяснения граничных условий, замыкающих задачу (5.2), (5.3). 5.3. Пороговые резонансыПостановка условий Дирихле в предельной задаче (1.32), (1.33) на предельной – двумерной, но изначально “толстой” – перемычке $\omega^0_0=(-a_1,a_1)\times(-a_2,a_2)$ обусловлена леммой 1, 2), указывающей на отсутствие порогового резонанса в задаче (1.21), (1.22) на $\mathsf T$-образной области (1.17) при $h>h_1$. Это наблюдение, подтвержденное теоремой 5 об асимптотике собственных чисел в ситуации (1.35) достаточно толстых перегородок, вполне согласуются с общими результатами (см. [21]) об асимптотически осмысленной постановке условий сопряжения в вершинах одномерного графа, изображающего сетку тонких цилиндрических квантовых волноводов. Таким образом, для ответа на вопрос о качестве граничных условий для функций $v_\vartheta$ в точках $z=0$, удовлетворяющих уравнениям (4.23) и условиям квазипериодичности (5.3), необходимо исследовать явление порогового резонанса в задаче (2.1), (2.2). Вместе с тем из-за полного отсутствия результатов, упомянутых в п. 5.1, непонятно даже то, как определить этот феномен: согласно подходам, разработанным в [20]–[22], требуется хотя бы первичная информация о поведении при $|\xi|\to+\infty$ решений задачи (5.1). Пороговые резонансы заведомо усложняются при критических значениях толщины перегородок, т.е. при $h=h_0$ и $h=h_1$, что усугубляет осложнения при реализации асимптотических процедур. Похожие эффекты концентрации собственных функций $U^{h\varepsilon}_m(\cdot;\zeta)$ около ребер боковых стенок или на перегородке и сопутствующие асимптотические формулы для собственных чисел $\Lambda^{h\varepsilon}_m(\zeta)$, весьма возможно, проявляются в средне- или высокочастотных диапазонах спектра $\wp^{h\varepsilon}$ и при малых толщинах $h<h_0$. Их обнаружение – серьезная проблема по уже перечисленным причинам. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Naz23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|