| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) О единственности вероятностных решений уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова В. И. Богачевab, Т. И. Красовицкийac, С. В. Шапошниковab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9427 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеЦелью этой работы является положительное решение долго стоящей проблемы о единственности вероятностного решения задачи Коши для одномерного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова
$$
\begin{equation}
\partial_t\mu=\partial_x^2\mu -\partial_x(b\mu), \qquad \mu_0=\nu,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где начальное условие $\nu$ – произвольная борелевская вероятностная мера, а коэффициент сноса $b$ – локально ограниченная борелевская функция, не зависящая от времени $t$ (проблема оставалась открытой даже для бесконечно дифференцируемых сносов $b$). Решением называется семейство вероятностных мер $\mu=\{\mu_t\}_{t\geqslant 0}$ на прямой, борелевски измеримое по $t$, удовлетворяющее интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\int \varphi \, d\mu_t-\int \varphi \, d\nu=\int_0^t \int (\varphi''+b\varphi')\, d\mu_{s}\, ds
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
при почти всех $t\in [0,T]$ для каждой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$, где $T>0$ фиксировано. При наших предположениях меры $\mu_t$ при $t>0$ задаются вероятностными плотностями $\varrho(\cdot, t)$, поэтому уравнение (1.1) можно записать как уравнение относительно плотности $\varrho(x,t)$. Однако в рассматриваемой нами постановке важно, что все (или почти все) меры $\mu_t$ вероятностные. Существенность этого условия будет ясна из дальнейшего. Основной результат состоит в следующем. Теорема 1.1. Если вероятностное решение задачи Коши (1.1) существует, то оно единственно. Единственность понимается как равенство $\mu_t=\nu_t$ почти всюду для всяких двух решений $\{\mu_t\}$ и $\{\nu_t\}$. Подчеркнем, что нет никаких глобальных ограничений на коэффициент сноса и нет предположений о поведении решений на бесконечности или о каких-либо полугрупповых свойствах решений. В двумерном случае ($x\in \mathbb{R}^2$) утверждение теоремы 1.1 уже неверно, как показано в примере 4.7 (в трехмерном случае пример неединственности есть в [11; гл. 9]). Далее мы неоднократно ссылаемся на эту книгу, поэтому отметим, что ее русская версия доступна на сайте РФФИ (https://www.rfbr.ru/rffi/ru/books/o$_{-}$1896849$\#$29), а цитируемая несколько более полная английская версия может быть найдена в интернете. Кроме того, в настоящей работе исследована задача Коши
$$
\begin{equation}
\partial_t\mu_t=\partial_x^2(a\mu_t)-\partial_x(b\mu_t), \qquad \mu_0=\nu
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
с непостоянным коэффициентом диффузии $a$ и получен следующий результат. Теорема 1.2. Пусть $a$ – положительная локально липшицева функция, $b$ – локально ограниченная борелевская функция. Предположим, что Аналогичное утверждение верно для вероятностных решений одномерного стационарного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова (см. [11; предложение 4.1.2 и пример 4.1.1]). В случае одномерного стационарного уравнения легко выписать явную формулу для общего решения (см. [11; § 1.4]), что существенно упрощает исследование. В рассматриваемом нами параболическом случае такой формулы не существует и вопрос о единственности труден. В частности, для построения примера неединственности в теореме 1.2 приходится использовать нетривиальные результаты о разрешимости начально-краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения.Отметим, что даже для бесконечно дифференцируемого коэффициента сноса $b$ может случиться, что помимо единственного вероятностного решения с гладким начальным распределением существует другое семейство неотрицательных ограниченных мер, являющееся решением с тем же начальным условием (см. пример 4.5). Уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова для переходных вероятностей и стационарных распределений диффузионных процессов в математически строгом виде были впервые получены в фундаментальных работах А. Н. Колмогорова [40], [41], в которых, в частности, сформулирована проблема об исследовании единственности решения задачи Коши для таких уравнений. В § 15 “Постановка вопроса об однозначности и о существовании решений для второго дифференциального уравнения” из первой работы речь идет об одномерных уравнениях, ставится вопрос о существовании единственного вероятностного решения, а многомерные уравнения рассмотрены во второй работе. Отметим, что термин “уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова” употребляется для “второго дифференциального уравнения” по терминологии самого А. Н. Колмогорова. В книге [11] можно найти ссылки на предшествующие работы в физической литературе, в том числе работы А. Фоккера и М. Планка. В работе А. Н. Колмогорова [41] единственность решения установлена для уравнения на компактном римановом многообразии (в случае коэффициентов с двумя непрерывными производными и начального распределения с непрерывной плотностью). Проблема единственности решений уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова в одномерном случае была рассмотрена такими классиками, как У. Феллер (см. [28]), К. Иосида (см. [70]) и Э. Хилле (см. [37]), однако в несколько иной постановке, связанной с полугруппами. Так, в [37] речь идет не о единственности в классе вероятностных решений, а о существовании и единственности решений с некоторыми свойствами и начальными условиями из области определения соответствующего эллиптического оператора (см. ниже более точный комментарий в замечании 4.6, а также пример, показывающий неравносильность такой задачи и изучаемой здесь проблемы). Поскольку уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова в случае достаточно регулярных коэффициентов являются классическими параболическими уравнениями, то к ним, конечно, применимы известные результаты о единственности решений классической теории параболических уравнений, краткий обзор которых мы сейчас дадим. Согласно известному примеру А. Н. Тихонова (см. [65]) уже для уравнения теплопроводности $\partial_tu=\partial_x^2u$ задача Коши может иметь несколько решений. Однако, как доказал Д. В. Уиддер (см. [68]), в классе неотрицательных функций задача Коши для уравнения теплопроводности имеет единственное решение. В случае параболического уравнения общего вида единственность зависит не только от класса функций, в котором решается уравнение, но и от коэффициентов уравнения. В работах Г. Д. Аронсона и П. Бесала [2], [3], А. Фридмана [32], [33] и Г. Н. Смирновой [61], [62] получены разнообразные результаты о единственности, а именно исследована единственность в следующих классах функций $u$: 1) функция $u$ имеет предел при $|x|\to\infty$, 2) для подходящего веса $\omega$ функция $u\omega$ принадлежит пространству $L^{\infty}(\mathbb{R}^d\times[0, T])$, 3) для подходящего веса $\omega$ функция $u\omega$ принадлежит пространству $L^p(\mathbb{R}^d\times[0, T])$. Единственность решения, имеющего заданный предел на бесконечности, устанавливается с помощью принципа максимума и требует ограниченности сверху коэффициента при самом решении $u$, а единственность решений, интегрируемых с весом или растущих не быстрее некоторой функции, устанавливается в предположении, что коэффициенты имеют не более чем линейный рост. Значительное число работ посвящено изучению проблемы единственности в классе неотрицательных решений параболических уравнений на $\mathbb{R}^d$ и на гладких римановых многообразиях (см. [38], [48], [50], [52], [53], [58]). Типичные результаты в этом направлении устанавливают единственность при ограничениях на рост коэффициентов и в предположении, что для решений имеет место параболическое неравенство Харнака. В случае параболических уравнений с негладкими и вырождающимися коэффициентами отметим метод перенормированных решений (см., например, работу К. Ле Бри и П. Л. Лионса [44]), когда единственность устанавливается в классе решений, удовлетворяющих некоторым дифференциальным неравенствам. Однако класс вероятностных решений уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова отличается от всех перечисленных выше традиционных классов. Более того, есть примеры (см. [11; гл. 9] и пример 4.5 ниже), когда вероятностное решение единственно, а в классах интегрируемых, ограниченных и неотрицательных функций задача Коши имеет по крайней мере два различных решения. Отдельным, но близким по духу вопросом является единственность полугруппы, порождаемой соответствующим эллиптическим оператором. Исследованию единственности в классах марковских, феллеровских полугрупп или полугрупп на пространстве $L^p$ по фиксированной мере посвящены известные работы У. Феллера [29], [30], К. Иосиды [70], Э. Хилле [37], А. Д. Вентцеля [66], [67], а информацию о недавних результатах можно найти в [11; гл. 5], [1], [4], [24], [25], [45], [49], [64], [69]. Единственность полугруппы также требует ограничений на рост коэффициентов и дополнительных краевых условий, фактически являющихся необходимыми ограничениями на область определения генератора полугруппы. В настоящей работе мы не предполагаем, что вероятностное решение является результатом применения какой-либо полугруппы к начальной вероятностной мере. Единственность вероятностных решений уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова также исследовалась во многих работах, см. [7], [8], [10], [15]–[18], [42], [47], [59], [60], а также [11; гл. 9], в которых, в частности, получены следующие результаты. Пусть $b$ – локально ограниченное борелевское векторное поле на $\mathbb{R}^d\times[0, T]$. Тогда для единственности вероятностного решения задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\partial_t\mu_t=\Delta\mu_t-\operatorname{div}(b\mu_t), \qquad \mu_0=\nu
\end{equation*}
\notag
$$
достаточно выполнения неравенства Достаточно также, чтобы хотя бы для одного вероятностного решения $\mu=\{\mu_t\}$ выполнялось какое-либо из следующих условий:(i) $(1+|x|)^{-1}|b|\in L^1(\mu_t\,dt, \mathbb{R}^d\times[0, T])$; (ii) $|b-\beta_{\mu}|\in L^1(\mu_t\,dt, \mathbb{R}^d\times[0, T])$, где $\beta_{\mu}$ – логарифмическая производная меры $\mu$, т.е. $\beta_{\mu}(x,t)=\nabla_x \varrho(x,t)/\varrho(x,t)$, где $\mu$ задана плотностью $\varrho(x,t)$. Кроме того, во всех размерностях $d\geqslant 3$ были построены примеры (см. [11; пример 9.2.1]), когда задача Коши имеет бесконечно много линейно независимых вероятностных решений. Вопрос о единственности в размерностях $d=1$ и $d=2$ оставался открытым. В настоящей работе мы даем полное решение проблемы единственности при $d\leqslant 2$ в случае, когда коэффициент сноса $b$ зависит только от $x$. Кроме того, получены вспомогательные для доказательства основных теорем 1.1 и 1.2, но представляющие самостоятельный интерес результаты: 1) показано, что специальная полугруппа $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant0}$, построенная в [11; гл. 5] по всякому вероятностному решению $\mu$ стационарного уравнения, задает минимальное неотрицательное решение задачи Коши для первого уравнения Колмогорова относительно функций (т.е. обычного параболического уравнения), а соответствующая ей полугруппа $\{K_t^{*}\}_{t\geqslant 0}$ на пространстве мер задает минимальное неотрицательное решение уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова; 2) показано, что если для какой-то вероятностной меры $\nu$ на $\mathbb{R}^d$ семейство мер $K_t^{*}\nu$, порожденное указанной полугруппой, является вероятностным решением уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, то для всякого начального условия вероятностное решение этого уравнения единственно. Поскольку далее мы обсуждаем не только одномерный случай, но и многомерный, то дадим определение решения в общем случае и перечислим результаты о регулярности решений, которые будут использоваться в настоящей работе. Через $L^p(U)$ будем обозначать обычное пространство $L^p$ функций на области $U$ в $\mathbb{R}^d$ с мерой Лебега (которая не указывается в этом обозначении), а $L^p(\mu)$ будет обозначать пространство $L^p$ относительно меры $\mu$. Через $W^{p,1}(U)$ обозначим пространство Соболева функций $f$ из $L^p(U)$, для которых обобщенные частные производные $\partial_{x_i}f$ также лежат в $L^p(U)$. Норма в $W^{p,1}(U)$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{W^{p,1}(U)}=\|f\|_{L^p(U)}+\sum_{i\leqslant d} \| \partial_{x_i} f\|_{L^{p}(U)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для сокращения записи второе слагаемое будем обозначать через $\|\partial_x f\|_{L^p(U)}$. Аналогично вводится пространство Соболева $W^{p,2}(U)$ функций из $L^p(U)$ с обобщенными производными первого и второго порядка из $L^p(U)$ с его естественной нормой $\|f\|_{W^{p,2}(U)}$. Пусть $a^{ij}$, $b^i$ – борелевские функции на $\mathbb{R}^d$. Напомним, что здесь и далее коэффициенты уравнения зависят только от $x$ и не зависят от $t$. Предположим, что матрица $A(x)=(a^{ij}(x))$ симметрична и неотрицательно определена. Пусть $T>0$. Набор вероятностных борелевских мер $\{\mu_t\}_{t\in[0, T]}$ на $\mathbb{R}^d$ (т.е. $\mu_t\geqslant 0$ и $\mu_t(\mathbb{R}^d)=1$) называется вероятностным решением задачи Коши
$$
\begin{equation}
\partial_t\mu_t=\partial_{x_i}\partial_{x_j}(a^{ij}\mu_t)-\partial_{x_i}(b^i\mu), \qquad \mu_0=\nu,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\nu$ – заданная вероятностная борелевская мера на $\mathbb{R}^d$ и в записи уравнения опускается суммирование по повторяющимся индексам, если для всякого борелевского множества $E$ функция $t\mapsto\mu_t(E)$ измерима по Борелю (что равносильно борелевости по $t$ интегралов по $\mu_t$ от гладких функций с компактными носителями), функции $a^{ij}$ и $b^i$ интегрируемы на компактах по мере $\mu_t\, dt$ на $\mathbb{R}^d\times (0,T)$ и для всякой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ при почти всех $t\in[0, T]$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
\int \varphi \, d\mu_t-\int \varphi \, d\nu= \int_0^t\int (a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi+b^i\partial_{x_i}\varphi)\, d\mu_{s}\, ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Решением можно называть также меру $\mu:=\mu_t\, dt$, заданную формулой Если меры $\mu_t$ заданы плотностями $\varrho(\cdot, t)$ (как это имеет место при наших предположениях), то такая мера $\mu$ задается плотностью $\varrho(x,t)$ от двух переменных. Далее мы пишем $\mu=\{\mu_t\}$ или $\mu=\mu_t\, dt$. Следует отметить, что борелевскую измеримость функций $t\mapsto \mu_t(E)$ можно ослабить до лебеговской измеримости, так как можно брать эквивалентные версии, более того, можно выбрать борелевскую версию, для которой равенство выше (или (1.2) в одномерном случае) верно для всех $t$, если разрешить, чтобы $\mu_t$ была вероятностной мерой лишь для почти всех $t$. Помимо вероятностных решений, точно также вводятся решения ограниченной вариации $\mu=\mu_t\, dt$, в том числе знакопеременные, от которых требуется ограниченность $|\mu_t|\, dt$ (такие решения называют также интегрируемыми). Решение называется неотрицательным, если меры $\mu_t$ неотрицательны. Однако такое решение не обязано быть вероятностным, даже если мера $\mu=\mu_t\, dt$ оказалось вероятностной. Известно (см. [11; гл. 6]), что для неотрицательного решения $\mu$ локально ограниченная мера $(\det A)^{1/(d+1)}\mu$ всегда абсолютно непрерывна, а если матрица $A(x)$ невырождена при всех $x$, то сама мера $\mu$ абсолютно непрерывна. Если же для всякого шара $U$ существует число $C(U)>0$ такое, что $A(x)\geqslant C(U)I$ для всех $x\in U$, причем $a^{ij}\in W^{p,1}(U)$, $b^i\in L^p(U)$ с некоторым $p>d+2$, то мера $\mu=\mu_t\,dt$ имеет локально гёльдеровскую положительную плотность $\varrho$ относительно меры Лебега на $\mathbb{R}^d\times[0, T]$, для которой функции $x\mapsto \varrho(x, t)$ входят в локальный класс Соболева $W^{p,1}_{\mathrm{loc}}$. О свойствах плотностей решений см. также [9], [12]–[14], [19]. Если $d=1$, $A=I$ и $b$ – локально ограниченная функция, то при $t>0$ функции $x\mapsto \varrho(x,t)$ входят во все локальные классы Соболева $W_{\mathrm{loc}}^{p,1}$ с $p\geqslant 1$, в частности имеют локально абсолютно непрерывные версии, причем при всех $\tau>0, R>0$ конечны интегралы
$$
\begin{equation*}
\int_\tau^T \int_{-R}^{R} |\partial_x\varrho(x,t)|^p\, dx\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Следует отметить, что для гёльдеровой версии плотности $\varrho$ известно лишь, что вероятностными будут почти все плотности $\varrho(\cdot, t)$, но неизвестно, обязаны ли быть вероятностными все эти плотности непрерывной версии. При столь широких предположениях о коэффициентах, которые должны быть лишь локально интегрируемы относительно решения $\mu$, но могут быть локально неограниченными, нетрудно построить примеры неединственности вероятностных решений даже в размерности $1$ как для стационарного уравнения с единичным сносом, т.е. уравнения $\varrho''-(b \varrho)'=0$ относительно вероятностных плотностей, так и для параболического уравнения (см. пример 4.8). Поэтому мы рассматриваем локально ограниченные коэффициенты сноса. Наконец, отметим, что в случае $A=I$ и бесконечно дифференцируемого коэффициента сноса $b$ плотность решения $\varrho$ имеет на $\mathbb{R}^d\times(0, T)$ бесконечно дифференцируемую версию. Настоящая работа состоит из четырех параграфов. В § 2 обсуждаются стационарные уравнения и свойства специальных полугрупп, порождаемых соответствующими эллиптическими операторами. Параграф 3 посвящен доказательствам основных теорем 1.1 и 1.2. В § 4 мы строим примеры неединственности. § 2. Стационарные уравнения и полугруппыВ этом параграфе получены новые условия единственности вероятностного решения задачи Коши в случае, когда имеется вероятностное решение стационарного уравнения. Разумеется, стационарное решение есть не всегда, например, если $b=0$, то нет вероятностных мер, удовлетворяющих гармоническому уравнению $\Delta\mu=0$. Таким образом, существование вероятностного стационарного решения можно рассматривать как дополнительное ограничение на коэффициенты уравнения. Мы рассмотрим эллиптический оператор $L_{A,b}$ вида
$$
\begin{equation*}
L_{A,b}\varphi=a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi+b^i\partial_{x_i}\varphi
\end{equation*}
\notag
$$
с борелевскими коэффициентами $a^{ij}$ и $b^i$ на $\mathbb{R}^d$, удовлетворяющими следующим условиям: (i) функции $a^{ij}$ непрерывны и входят в класс Соболева $W^{p,1}(U)$ на всяком шаре $U$ в $\mathbb{R}^d$ с некоторым $p>d+2$, а функции $b^i$ входят в $L^p(U)$; (ii) матрица $A(x)=(a^{ij}(x))_{i,j\leqslant d}$ симметрична и положительно определена, причем для всякого шара $U$ имеется число $\lambda(U)>0$ с $A(x)\geqslant \lambda(U)\cdot \mathrm{I}$. Отметим, что для части используемых ниже утверждений достаточно условия $p>d$, но для нужной нам регулярности рассматриваемой ниже полугруппы требуется оценка $p>d+2$. Предположим, что существует вероятностная мера $\mu$ на $\mathbb{R}^d$, удовлетворяющая стационарному уравнению в смысле интегрального тождества
$$
\begin{equation*}
\int L_{A,b}\varphi(x)\mu(dx)=0 \quad \forall\, \varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d),
\end{equation*}
\notag
$$
где предполагается также, что функции $b^i$ интегрируемы относительно $\mu$ на шарах (это выполнено автоматически для локально ограниченных коэффициентов, но здесь локальной ограниченности не предполагается), причем здесь и далее при интегрировании по всему пространству $\mathbb{R}^d$ пределы интегрирования не указываются. Известно (см. [11; гл. 1]), что в этом случае мера $\mu$ задается положительной локально гёльдеровской плотностью $\varrho$ относительно меры Лебега, причем $\varrho$ входит в класс Соболева $W^{p,1}$ на шарах. Значит, векторное поле $\nabla \varrho/\varrho$ (логарифмический градиент плотности) входит в $L^p$ по мере Лебега на шарах. С помощью логарифмического градиента вводится дуальный снос
$$
\begin{equation*}
\widehat{b}=2\beta_{A,\mu}-b, \qquad \beta_{A,\mu}=A\nabla\varrho/\varrho+\operatorname{trace}\nabla A =(a^{ij}\partial_{x_j}\varrho/\varrho+\partial_{x_j}a^{ij})_{i=1}^d,
\end{equation*}
\notag
$$
который в силу сказанного выше также входит в $L^p(U)$ на всяком шаре $U$. Мера $\mu$ удовлетворяет также уравнению с дуальным сносом. Согласно [11; теорема 5.2.2] операторы $L_{A,b}$ и $L_{A,\widehat{b}}$ на области определения $C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ продолжаются до генераторов $L_{A,b}^\mu$ и $L_{A,\widehat{b}}^\mu$ сильно непрерывных субмарковских полугрупп $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ и $\{\widehat{T}_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ на пространстве $L^1(\mu)$, относительно которых мера $\mu$ субинвариантна. Напомним, что субмарковость означает, что $0\leqslant T_t^\mu f\leqslant 1$ при $0\leqslant f\leqslant 1$. Если же еще $T_t^\mu 1=1$, то полугруппа называется марковской. Субинвариантность меры $\mu$ означает неравенство для всех неотрицательных $f$. Указанные полугруппы сопряжены друг другу:
$$
\begin{equation}
\int \xi T_t^\mu \eta\, d\mu= \int \eta \widehat{T}_t^\mu \xi\, d\mu, \qquad \int \xi L_{A,b} \eta\, d\mu= \int \eta L_{A,\widehat{b}} \xi\, d\mu
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
для всех $\eta, \xi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$. Резольвента $R_\lambda=(\lambda -L_{A,b}^\mu)^{-1}$ полугруппы $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ при $\lambda >0$ характеризуется так: $(\lambda -L_{A,b}^\mu)^{-1}f$ при $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ есть предел решений $u_k$ краевых задач $\lambda u_k-L_{A,b}u_k=f$, $u_k|_{\partial B_k}=0$ на шарах $B_k$ радиуса $k\in\mathbb{N}$. Аналогично описывается резольвента $\{\widehat{T}_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$. Однако эти полугруппы, называемые каноническими, не всегда оказываются единственными сильно непрерывными полугруппами на $L^1(\mu)$, генераторы которых продолжают $L_{A,b}$ и $L_{A,\widehat{b}}$. Кроме того, мера $\mu$ не всегда инвариантна для этих полугрупп, т.е. тождество для всех $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ (или для всех ограниченных измеримых $f$) выполнено не всегда. Достаточные условия для инвариантности $\mu$ приведены в [11; гл. 5]. Отметим, что инвариантность $\mu$ для одной из двух полугрупп равносильна инвариантности относительно другой (см. [11; замечание 5.2.4]), а также равносильна равенству $T_t^\mu 1=1$. Например, для $A=I$ достаточным условием инвариантности является оценка $|b(x)|\leqslant C+C|x|$. Достаточна также интегрируемость $|b(x)|/(1+|x|)$ относительно $\mu$. Еще одно достаточное условие инвариантности в терминах $\mu$ таково: $|b-\nabla \varrho/\varrho|\in L^1(\mu)$. В случае непостоянного $A$ инвариантность $\mu$ для $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ обеспечивается включениями $a^{ij}, |b-\beta_{A,\mu}|\in L^1(\mu)$, что вытекает из доказательства примера 5.5.3 и теоремы 5.3.1 в [11]. В частности, если $b=\beta_{A,\mu}$ и $a^{ij}\in L^1(\mu)$, то имеет место инвариантность.Всюду ниже предполагается, что функции $a^{ij}$ локально липшицевы (что сильнее условия из (i) выше). Лемма 2.1. Для всякой функции $f\in L^1(\mu)$ семейство мер $\nu_t=T_t^\mu f\cdot \mu$ дает решение задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова с дуальным сносом $\widehat{b}$ и начальным условием $f\cdot\mu$. Кроме того, функция $u(x,t)=T_t^\mu f(x)$ является решением задачи Коши в следующем смысле: при каждом $t>0$ функция $T_t^\mu f$ входит в класс Соболева $W^{p,2}(U)$ на всяком шаре $U$, функция $\| T_t^\mu f\|_{W^{p,2}(U)}^p$ интегрируема по всякому отрезку $[\tau, T_0]$ из $(0,T)$, в $U\times (\tau,T_0)$ существует соболевская производная $\partial_t u\in L^p(U\times (\tau,T_0))$, равенство (2.2) для соболевских производных верно почти всюду, а начальное условие выполняется также в смысле сходимости в $L^1(\mu)$.Если функция $f$ локально ограничена, то $u(x,t)$ является и слабым решением в смысле работы [2], т.е. при $t>0$ функции $u(\cdot, t)$ входят в класс Соболева $W^{2,1}(U)$ на всяком шаре $U$, функция $\|u(\cdot, t)\|_{L^2(U)}$ ограничена на отрезках $[0,T_0]\subset [0,T)$, функция $\|\partial_x u(\cdot, t)\|_{L^2(U)}^2$ интегрируема на $[0,T_0]$, причем для всякой функции $\psi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ верно равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int u(x,t)\psi(x)\, dx -\int f(x)\psi(x)\, dx \\ \notag &\qquad=-\int_0^t\int [a^{ij}(x)\partial_{x_j}\psi(x)\partial_{x_i}u(x,s) -b^i\partial_{x_i}u(x,s)\psi(x) \\ &\qquad\qquad +\partial_{x_j}a^{ij}(x)\partial_{x_i}u(x,s)\psi(x)]\, dx\, ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Доказательство. Пусть $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$. Тогда $\varphi$ входит в область определения генератора дуальной полугруппы $\{\widehat{T}_t^\mu\}_{t\geqslant0}$, причем его действие на $\varphi$ совпадает с $L_{A,\widehat{b}}\varphi$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\widehat{T}_t^\mu \varphi (x)-\varphi(x)=\int_0^t L_{A,\widehat{b}}\widehat{T}_s^\mu \varphi (x)\, ds,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int \widehat{T}_t^\mu \varphi (x)f(x)\mu(dx) -\int \varphi(x)f(x)\mu(dx) &=\int \int_0^t f(x) L_{A,\widehat{b}}\widehat{T}_s^\mu \varphi (x)\, ds\, \mu(dx) \\ &=\int \int_0^t f(x) \widehat{T}_s^\mu L_{A,\widehat{b}} \varphi (x)\, ds\, \mu(dx). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, имеем что доказывает первое утверждение.
Пусть $\varrho$ – локально гёльдеровская и соболевская по $x$ плотность меры $\mu$. Из сказанного о свойствах плотностей решений следует, что мера $T_t^\mu f\cdot\mu$ имеет локально гёльдерову плотность $g$ в $(0,T)\times \mathbb{R}^d$, для которой при почти всяком $t$ функция $x\mapsto u(x,t)\varrho(x)$ входит в класс Соболева $W^{p,1}(U)$ на всяком шаре $U$, причем функция $t\mapsto \|\partial_x g(x,t)\|_{L^p(U)}^p$ интегрируема на отрезках в $(0,T)$. Значит, такими же свойствами обладает и функция $u$. Из полученного выше равенства при $0<\tau<t<T$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int \varphi (x) (u(x,t)-u(x,\tau)) \varrho(x)\, dx =\int_{\tau}^t \int u(x,s) L_{A,\widehat{b}} \varphi (x)\varrho(x)\, dx\, ds .
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрирование по частям приводит правую часть к виду
$$
\begin{equation*}
- \int_{\tau}^t \int [\partial_{x_i}(a^{ij}(x)\varrho(x)u(x,s))-\widehat{b}^j(x)\varrho(x)u(x,s)] \partial_{x_j}\varphi(x)\, dx\, ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим теперь, что из равенства (2.1) интегрированием по частям мы получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\int [-\partial_{x_i}(a^{ij}\xi\varrho)\partial_{x_j}\eta +b^i \partial_{x_i}\eta \xi\varrho ]\, dx= \int [-\partial_{x_i}(a^{ij}\eta\varrho)\partial_{x_j}\xi +\widehat{b}^i \partial_{x_i}\xi \eta\varrho ]\, dx
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\eta,\xi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$. Предельным переходом оно остается в силе и для функций $\eta$, $\xi$ из класса Соболева $W^{p,1}(\mathbb{R}^d)$, одна из которых имеет компактный носитель, в том числе для $\eta(x)=u(x,s)$ при $s>0$ и $\xi=\varphi$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int \varphi (x) (u(x,t)-u(x,\tau)) \varrho(x)\, dx \\ &\qquad=- \int_{\tau}^t \int [\partial_{x_i}(a^{ij}(x)\varrho(x)\varphi(x) )-b^j(x)\varrho(x)\varphi(x)] \partial_{x_j}u(x,s)\, dx\, ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предельным переходом это равенство переносится на функции $\varphi\in W^{p,1}(\mathbb{R}^d)$ с компактным носителем, в частности можно взять $\varphi=\psi/\varrho$, где $\psi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$. Это приводит к тождеству (2.3) для $[\tau, t]$ вместо $[0,t]$. Таким образом, во всякой внутренней полосе $u$ является слабым решением прямого параболического уравнения, что в силу известных результатов (см. [46]) влечет второе утверждение леммы.
Последнее утверждение вытекает из [11; теорема 7.3.11], где предполагается глобальная липшицевость $A$ и равномерная ограниченность $A$ вместе с $A^{-1}$, но из доказательства видно, что для нужного нам утверждения о сходимости в $L^2$ на шарах достаточно локальной липшицевости и поточечной обратимости. Гарантируемая цитированной теоремой ограниченность $u(x,t)$ на компактах в $\mathbb{R}^d\times [0,T]$ влечет и интегрируемость $\|\partial_x u(\cdot, t)\|_{L^2(U)}^2$ на $[0,T_0]$. В самом деле, если умножить (2.2) на $\varphi(x)^2u(x,t)$, где $\varphi\in C_0^\infty(U)$, и проинтегрировать по $[\tau,T_0]\times U$, а затем в интеграле от $\varphi^2 u a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}u$ проинтегрировать по частям, то мы получим, что интеграл от $\varphi^2 a^{ij} \partial_{x_i}u\partial_{x_j}u$ оценивается суммой интегралов от $2\varphi \partial_{x_i} \varphi a^{ij} u\partial_{x_j}u$, $\varphi^2 \partial_{x_i} a^{ij} u\partial_{x_j}u$, $\varphi^2 u b^i \partial_{x_i}u$, $\varphi^2 u\partial_t u$. С учетом ограниченности $u$ на $U\times [0,T_0]$ и неравенства $vw\leqslant \varepsilon v^2+\varepsilon^{-1}w^2$ с подходящим $\varepsilon$ это позволяет оценить интеграл $I(\tau)$ от $\varphi^2 |\nabla_x u|^2$ по $U\times [\tau ,T_0]$ через $C+I(\tau)^{1/2}$, где $C$ не зависит от $\tau$, что дает равномерную ограниченность $I(\tau)$ вплоть до нуля. Следовательно, равенство (2.3) распространяется на весь отрезок $[0,t]$. Лемма 2.1 доказана. Попутно заметим, что пока недостаточно изучено граничное поведение таких решений (при $t\to 0$). В эллиптическом случае граничные значения решений дивергентных уравнений на областях исследованы в работах [34]–[36] при значительно более общих предположениях о матрице диффузии. Об общих параболических краевых задачах см. [63]. Согласно [11; теорема 5.4.5] каноническая полугруппа $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant0}$ задается интегральными ядрами в виде где $K_t(x,dy)$ – семейство субвероятностных мер на $\mathbb{R}^d$ вида с локально гёльдеровой на $(0,T)\times \mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d$ плотностью $p_{A,b}$. Если мера $\mu$ инвариантна относительно операторов $T_t^\mu$, то меры $K_t(x,dy)$ оказываются вероятностными.Для ограниченной меры $\nu$ на $\mathbb{R}^d$ положим Тогда семейство $\{K_t^*\nu\}_{t\geqslant 0}$ является решением задачи Коши
$$
\begin{equation}
\partial_t\mu=\partial_{x_i}\partial_{x_j}(a^{ij}\mu)-\partial_{x_i}(b^{i}\mu), \qquad \mu_0=\nu
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
с начальным условием $\nu$. Если мера $\mu$ инвариантна относительно операторов $T_t^\mu$, то для всякой вероятностной меры $\nu$ меры $K_t^*\nu$ тоже оказываются вероятностными. Для ограниченных борелевских функций $\varphi$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\int \varphi(x) K_t^*\nu(dx)=\int T_t^\mu\varphi(x)\nu(dx).
\end{equation*}
\notag
$$
Если мера $\nu$ имеет плотность $f$ относительно $\mu$, то $K_t^*\nu=\widehat{T}_t^\mu f\cdot\mu$. Из полугруппового свойства $T_t^\mu$ вытекает полугрупповое свойство для $K_t^*$: Если семейство мер $\sigma_t$ на $\mathbb{R}^d$ удовлетворяет уравнению (2.4), то меры $\sigma_t$ имеют плотности $v(\cdot,t)$ относительно меры $\mu$, причем функция $v(x,t)$ двух аргументов обладает локально гёльдеровой плотностью на $(0,T)\times \mathbb{R}^d$. Как и в лемме выше, непосредственно проверяется, что $v$ удовлетворяет прямому уравнению
$$
\begin{equation*}
\partial_t v=a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}v+\widehat{b}^i\partial_{x_i}v
\end{equation*}
\notag
$$
с дуальным сносом. Если решение $\{\sigma_t\}$ имеет начальное условие $\nu$, где $\nu$ – ограниченная мера, то начальным условием для $v$ служит локально ограниченная мера $\varrho^{-1}\nu$, причем это начальное условие понимается в смысле сходимости обобщенных функций, т.е. для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ интегралы от $\varphi(x)v(x, t)$ при $t\to 0$ сходятся к интегралу от $\varphi$ по мере $\nu/\varrho$. Для следующей леммы нам понадобится тот факт, что полугруппу с аналогичными свойствами можно построить для каждого шара $U$ вместо всего пространства, т.е. в $L^1(\mu|_U)$ имеется сжимающая $C_0$-полугруппа $\{T_t^{U,\mu}\}_{t\geqslant0}$ субмарковских операторов, для которых мера $\mu$ на $U$ субинвариантна, а генератор дает расширение оператора $(L_{A,b}, C_0^\infty(U))$. Для ограниченной функции $f$ (или для $f\in L^2(U)$) функция $(x,t)\mapsto T_t^{U,\mu}f(x)$ на $U\times [0,T]$ задается как решение начально-краевой задачи
$$
\begin{equation*}
\partial_t u =L_{A,b}u, \qquad u(x,0)=f, \quad u|_{\partial U\times [0,T]}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое существует, как показано в [2; с. 634, теорема 1], причем единственно в классе $L^2([0,T], W^{2,1}_0(U))$ таких функций $v$, что $v(t,\cdot)$ входит в класс Соболева $W^{2,1}_0(U)$ функций с нулевым граничным значением на $\partial U$ и функция $\|v(t,\cdot)\|_{W^{2,1}(U)}^2$ интегрируема на $[0,T]$. Полугрупповое свойство вытекает из единственности решения, субмарковость следует из установленных в [2] свойств решений. Если $f$ непрерывна и имеет компактный носитель в $U$, то решение непрерывно на замыкании $U\times [0,T]$. Наши условия на матрицу $A$ сильнее предполагаемых в [2], поэтому в силу результатов работы [46] полученное решение обладает тем свойством, что для $f\in L^p(U)$ функции $T_t^{U,\mu}f=u(\cdot, t)$ при $t>0$ входят в $W^{p,1}_0(U)\cap W^{p,2}(U)$. Тогда в силу [11; лемма 5.2.1] интеграл от $L_{A,b}T_t^{U,\mu}f$ по $U$ неположителен, если $f\geqslant 0$. Поэтому для неотрицательных функций $f\in C_0^\infty(U)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_U T_t^{U,\mu}f\, d\mu -\int_U f\, d\mu=\int_0^t\int_U L_{A,b}T_sf\, d\mu\, ds\leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет такую же оценку для всех неотрицательных $f\in L^1(\mu|_U)$. Из этого вытекает, что операторы $T_t^{U,\mu}$ продолжаются до сжатий на всех $L^p(\mu|_U)$, $p\geqslant 1$. Отметим, что роль меры $\mu$ именно в том, что операторы $T_t^{U,\mu}$, действие которых на ограниченных функциях никак не связано с мерой, в силу уравнения $L_{A,b}^{*}\mu=0$ оказываются сжатиями пространств $L^p(\mu|_U)$, но не пространств $L^p(U)$ с эквивалентными нормами. Резольвента $w=(L_{A,b}-\lambda)^{-1}f$ для $f\in C_0^\infty(U)$ удовлетворяет уравнению $L_{A,b}w-\lambda w=f$ с нулевым граничным условием, что вытекает из равенств
$$
\begin{equation*}
(L_{A,b}-\lambda)^{-1}f=\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}T_t^{U,\mu}f\, dt, \qquad L_{A,b} T_t^{U,\mu}f=\frac{d}{dt}T_t^{U,\mu}f.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно проверить также, что описанная полугруппа $\{T_t^{U,\mu}\}_{t\geqslant0}$ совпадает с канонической полугруппой из [11; теорема 5.2.2], построенной для области аналогично случаю всего пространства. Резольвента $R_\lambda^U=(\lambda -L_{A,b}^{U,\mu})^{-1}$ полугруппы $\{T_t^{U,\mu}\}_{t\geqslant 0}$ при $\lambda >0$ характеризуется так: $(\lambda -L_{A,b}^{U,\mu})^{-1}f$ при $f\in C_0^\infty(U)$ есть решение $u$ краевой задачи Подчеркнем, что $L_{A,b}^{U,\mu}$ не является замыканием $(L_{A,b},C_0^\infty(U))$. Например, даже для интервала $U=(-1,1)$ с мерой Лебега и $Lu=u''$ образ $C_0^\infty(U)$ при операторе $L-I$ не плотен в $L^1(U)$, ибо интеграл от $e^x (u''(x)-u(x))$ равен нулю при всех $u\in C_0^\infty(U)$. В случае гёльдеровых коэффициентов следующий факт был установлен в работе [49]. Лемма 2.2. Каноническая полугруппа является пределом указанных выше полугрупп $\{T_t^k\}_{t\geqslant 0}$, соответствующих оператору $L_{A,b}$ на шарах $B_k$ радиуса $k\in\mathbb{N}$ с нулевыми граничными условиями, заданных на пространствах $L^1(\mu|_{B_k})$. В частности, если $f\in L^1(\mu)$, $T>0$ и $u_k=T_{t}^k f$ – решение начально-краевой задачи то $T_t^\mu f(x)=\lim_{k\to\infty}u_k(x,t)$ в $L^1(\mu)$ при $t\in [0,T]$. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай $f\geqslant 0$. Предположим дополнительно, что $f\leqslant M$. В силу принципа максимума $u_{k+1}\geqslant u_k$ и $u_k\leqslant M$ (см. [2; с. 634]), т.е. существует поточечный предел $u(x,t)\,{=}\lim_{k\to\infty} u_k(x,t)\,{\leqslant}\, M$. Следовательно, при $\operatorname{Re}\lambda >0$ существует поточечный предел
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty e^{-\lambda t} u(x,t)\, dt=\lim_{k\to\infty} \int_0^\infty e^{-\lambda t} u_k(x,t)\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Из построения канонической полугруппы (см. [11; гл. 5] и пояснения выше) следует, что резольвента $R_\lambda$ этой полугруппы удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation*}
R_\lambda f(x)=\lim_{k\to\infty} R_{\lambda}^{B_k}f(x) =\lim_{k\to\infty} \int_0^\infty e^{-\lambda t} T_{t}^k f(x)\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $R_{\lambda}^{B_k}$ – резольвента полугруппы $\{T_t^k\}_{t\geqslant 0}$, т.е. функция $R_{\lambda}^{B_k} f$ есть решение краевой задачи $L_{A,b}u-\lambda u=f$ на $B_k$. При этом для $R_\lambda f$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
R_\lambda f(x)=\int_0^\infty e^{-\lambda t} T_{t}^\mu f(x)\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, В силу оценок $0\leqslant u\leqslant M$, $0\leqslant T_{t}^\mu f(x)\leqslant M$ получаем нужное равенство $u(x,t)=T_{t}^\mu f(x)$. Теперь откажемся от условия ограниченности $f$. По-прежнему существует предел $u(x,t)$ возрастающей последовательности решений $u_k(x,t)$ начально-краевых задач на шарах $B_k$. Для каждого фиксированного $M\in\mathbb{N}$ по доказанному верно равенство Правая часть не превосходит $u=\lim_{k\to\infty} T_{t}^k f$. Левая часть при $M\to\infty$ возрастает к $T_{t}^\mu f$. Значит, $T_{t}^\mu f\leqslant u$. С другой стороны, $u\leqslant T_{t}^\mu f$, ибо при фиксированных $M$ и $k$ мы имеем $T_{t}^k\min (f,M)\leqslant T_{t}^\mu \min(f,M)$, откуда $T_{t}^k f\leqslant T_{t}^\mu f$ при всех $k$. Лемма доказана. Теорема 2.3. Каноническая полугруппа $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ задает минимальное решение задачи Коши (2.2) в следующем смысле: если $f$ – $\mu$-интегрируемая неотрицательная непрерывная функция и $v(x,t)$ – какое-либо неотрицательное решение этой задачи Коши с начальным условием $f$ в указанном выше смысле из [2], то Аналогичное утверждение верно для дуального сноса $\widehat{b}$ и полугруппы $\{\widehat{T}_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$. Доказательство. Пусть $v$ – произвольное неотрицательное решение задачи Коши Тогда из принципа максимума (см. [2; с. 634]) следует, что $0\leqslant u_k\leqslant v$ на $B_k$, где $u_k(x,t)=T_t^k f(x)$ при $x\in B_k$ – функции из предыдущей леммы. Значит, $T_t^\mu f\leqslant v$. Конечно, доказанное применимо и к дуальному сносу. Теорема доказана. Ниже неравенство $\nu_1\leqslant \nu_2$ для мер означает неравенство $\nu_1(B)\leqslant \nu_2(B)$ для всех борелевских множеств. Для мер с плотностями это сводится к неравенству для плотностей почти всюду. Следствие 2.4. Если $\{\sigma_t\}_{t\geqslant 0}$ – какое-либо вероятностное решение задачи Коши (2.4) с начальным условием $\nu$, то $K_t^*\nu\leqslant \sigma_t$. Доказательство. Покажем, что для всякой неотрицательной гладкой функции $\varphi$ с компактным носителем интеграл по мере $K_t^*\nu$ не больше интеграла по мере $\sigma_t$. Зафиксируем $t_1>0$. Достаточно проверить, что для всякого $\varepsilon>0$ первый интеграл не больше второго плюс $\varepsilon$. Найдется такое $\tau_1 \in (0,t_1)$, что
при всех $\tau\in [0,\tau_1]$. При $t>0$ меры $\sigma_t$ задаются непрерывными плотностями $v(x,t)$ относительно $\mu$. Функция $v(x,t+\tau)$ – неотрицательное решение задачи Коши для уравнения $\partial_t v=L_{A,\widehat{b}}v$ с непрерывным начальным условием $v(x,\tau)$ при $t=0$. По теореме 2.3 имеем
$$
\begin{equation*}
K_t^*\sigma_\tau=\widehat{T}_t^\mu v(\cdot,\tau)\cdot\mu \leqslant v(x,t+\tau)\cdot\mu \quad \text{при }\ t\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому при $t\geqslant 0$ и $\tau\in (0,\tau_1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int \varphi(y)K_t^*\sigma_\tau(dy)\leqslant \int \varphi(x)v(x,t+\tau)\mu(dx).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\int \varphi(y) K_{t_1}^*\sigma_\tau(dy) =\int T_{t_1}^\mu\varphi(y) \sigma_\tau(dy)\geqslant \int T_{t_1}^\mu \varphi(y) K_\tau^*\nu(dy)-\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\int T_{t_1}^\mu \varphi(y) K_\tau^*\nu(dy) \leqslant \int \varphi(x)v(x,t_1+\tau)\mu(dx)+\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. что при $\tau\to 0$ дает оценку завершающую доказательство. Следствие 2.5. Если для некоторой вероятностной меры $\nu$ все меры $K_t^*\nu$ (или $\widehat{K}^*_t\nu$) являются вероятностными, то задача Коши (2.4) имеет единственное вероятностное решение $K_t^*\sigma$ для всякого вероятностного начального условия $\sigma$. Доказательство. Если меры $K_t^*\nu$ являются вероятностными, то интеграл от $T_{t/2}^\mu 1$ по мере $K_{t/2}^*\nu$, равный интегралу от $T_{t}^\mu 1$ по мере $\nu$, т.е. интегралу от $1$ по мере $K_t^*\nu$, оказывается равным $1$. Поскольку мера $K_t^*\nu$ обладает положительной плотностью и $T_{t/2}^\mu 1\leqslant 1$, то это возможно лишь при равенстве $T_{t/2}^\mu 1= 1$. Значит, мера $\mu$ инвариантна для канонической полугруппы, а для всякой вероятностной меры $\sigma$ семейство $K_t^{*}\sigma$ дает вероятностное решение с начальным условием $\sigma$. Из его минимальности следует, что других вероятностных решений нет. Следствие доказано. Теорема 2.6. Пусть $b=\beta_{A,\mu}$, $a^{ij}\in L^1(\mu)$. Тогда вероятностное решение уравнения (2.4) единственно. Если $A=I$ и $b=\nabla V$, где $V\in W^{p,1}_{\mathrm{loc}}$, $p>d$, $e^V\in L^1(\mathbb{R}^d)$, то вероятностное решение уравнения (2.4) единственно. В частности, это верно при $d=1$, если $e^{B}\in L^1(\mathbb{R})$ и $B'=b$. Доказательство. Первое утверждение следует из сказанного выше. Действительно, согласно результатам, приведенным в начале параграфа, при данных условиях мера $\mu$ инвариантна для полугруппы $\{T_t^{\mu}\}_{t\geqslant0}$, значит, $K_t^{*}\mu=\mu$ – вероятностная мера для каждого $t$. По следствию 2.5 рассматриваемая задача Коши имеет единственное вероятностное решение для всякого начального условия $\nu$. Для доказательства второго утверждения возьмем меру $\mu=C\exp V\, dx$, где $C$ выбрано так, что мера оказывается вероятностной. Тогда $\beta_{A,\mu}=\nabla V$, т.е. $b-\beta_{A,\mu}=0$. Теорема доказана.
§ 3. Единственность в одномерном случаеВ этом параграфе $d=1$. Положим Следующее утверждение навеяно леммой 9.3 из работы У. Феллера [29]. Предложение 3.1. Пусть $b$ – локально ограниченная борелевская функция, $w$ – неотрицательная функция, абсолютно непрерывная на отрезках и удовлетворяющая неравенству в смысле обобщенных функций, причем существует конечный предел Тогда верны следующие утверждения: (i) если $q=0$, то $w=0$; (ii) если $q>0$, то $e^{B}\in L^1(\mathbb{R})$. Аналогичные утверждения верны и в более общем случае, когда где $a>0$ – локально липшицева функция, но здесь в (ii) интегрируемой будет функция $\displaystyle \exp\int_0^x a(s)^{-1}b(s)\, ds$. Доказательство. Поскольку неотрицательная обобщенная функция является локально конечной мерой, имеет место равенство где $m$ – неотрицательная борелевская мера, конечная на отрезках. Поэтому $w'$ как обобщенная функция задается обычной функцией $v$, которая имеет ограниченную вариацию на отрезках.
Покажем, что функция $w$ не может иметь положительных локальных максимумов. Это хорошо известно для дважды дифференцируемых решений (см. [54; гл. 1]), но нам нужен общий случай. Пусть $z$ – точка локального максимума. Предположим сначала (как в классическом результате), что в точке $z$ существует и непрерывна производная функции $w$. Тогда $w'(z)=0$, поэтому из-за локальной ограниченности $b$ и предполагаемой непрерывности $w'$ в $z$ в некоторой окрестности точки $z$ имеем $w''\geqslant w(z)/2$ в смысле обобщенных функций. Значит, $w'(x)>0$ при всех $x>z$ из этой окрестности, откуда $w(x)>w(z)$ вопреки тому, что $w(z)$ – локальный максимум. Теперь откажемся от предположения существования и непрерывности производной в $z$. Для имеющей локально ограниченную вариацию функции $v$, задающей, как указано выше, обобщенную функцию $w'$, существуют односторонние пределы $L=\lim_{x\to z-} v(x)$ и $R=\lim_{x\to z+} v(x)$. Тогда $L\leqslant R$, ибо в случае $L>R$ мера $w''$ должна иметь атом в точке $z$ с отрицательным коэффициентом, что невозможно в силу равенства $w''=bw'+w+m$, где $m\geqslant 0$ и мера с плотностью $bw'+w$ не имеет атомов. Если $L=R$, то мы получаем существование и непрерывность $w'$ в точке $z$ и приходим к рассмотренному случаю. Если $L<R$, то либо $L<0$, либо $R>0$. Оба случая невозможны в точке локального максимума, ибо в первом в каждом интервале $(z-\varepsilon,z)$ найдутся точки со значениями больше $w(z)$, а во втором такие точки найдутся в интервалах $(z,z+\varepsilon)$. Пусть $q=0$, т.е. $w(x)\to 0$ при $|x|\to\infty$. Если $w$ принимает положительное значение, то $w$ имеет положительный локальный максимум, что невозможно. Следовательно, $w=0$. Пусть теперь $q>0$. Тогда $w\leqslant q$, ибо иначе найдется точка положительного локального максимума. Существует такое $z>0$, что $w(x)\geqslant q/2$ при $|x|\geqslant z$. Такую точку можно взять так, что $w(z)<q$, ибо $w$ не может быть постоянной. Тогда найдется и точка $z_1>z$, для которой $w(x)>w(z)$ при $x\geqslant z_1$. На $[z_1,+\infty)$ функция $w$ обязана быть возрастающей, ибо при появлении точек $y>x>z_1$ с $w(y)<w(x)$ возникает локальный максимум на отрезке $[z,y]$ в силу неравенств $w(z)<w(y)<w(x)$. Итак, $w'\geqslant 0$ на $(z_1,+\infty)$. Аналогично найдется такая точка $z_2<-z$, что $w'(x)\leqslant 0$ при $x\leqslant z_2$. Очевидным образом можно считать, что обе точки $z_1$ и $z_2$ выбраны так, что функция $w'$ ограниченной вариации непрерывна в них, причем $w'(z_1)>0$, $w'(z_2)<0$. Поскольку $w'$ имеет локально ограниченную вариацию, на луче $(z_1,+\infty)$ имеет смысл и верно неравенство в смысле обобщенных функций Следовательно, при почти всех $x>z_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
w'(x)\geqslant w'(z_1)e^{-B(z_1)}e^{B(x)}+e^{B(x)}\int_{z_1}^x w(y)e^{-B(y)}\,dy,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
w'(z_1)e^{-B(z_1)}\int_{z_1}^{+\infty}e^{B(x)}\,dx\leqslant \int_{z_1}^{+\infty}w'(x)\,dx=q-w(z_1)<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функция $e^{B}$ интегрируема на $[z_1, +\infty)$. Аналогично получаем интегрируемость на $(-\infty, z_2]$. Таким образом, функция $e^{B}$ интегрируема на $\mathbb{R}$.
Второе утверждение предложения доказывается аналогично, но в качестве $B$ берется а соответствующее неравенство принимает вид $(aw'e^{-B})'\geqslant uw^{-B}$, что приводит к неравенству $w'(x)\geqslant u'(z_1)e^{-B(z_1)}e^{B(x)}a(x)^{-1}$ и дает интегрируемость функции $e^{B(x)}a(x)^{-1}$.Предложение 3.1 доказано. Перейдем к обоснованиям основных теорем. Доказательство теоремы 1.1. Предположим, что существуют два вероятностных решения $\varrho_1$ и $\varrho_2$. Тогда по теореме 2.6 Будем использовать непрерывные версии плотностей (которые, как было отмечено, существуют). Положим т.е. $F$ есть разность функций распределения двух решений. Отметим, что $F(x,t)\to 0$ при $t\to 0$ для всех точек $x$, за исключением точек не более чем счетного множества (возможных атомов общего начального условия). Кроме того, $-1\leqslant F(x,t)\leqslant 1$. Наконец, для почти всех $t$ функция $F(x,t)$ стремится к нулю при $|x|\to +\infty$. Так как используется непрерывная версия функции $r$, то функция $F$ борелева на $\mathbb{R}\times (0, T)$. По аргументу $x$ функция $F(x,t)$ непрерывно дифференцируема.
Пусть $\zeta$ – гладкая вероятностная плотность с компактным носителем. Положим
$$
\begin{equation*}
q(t)=\int [\zeta''(x)F(x, t)-b(x)\zeta(x)r(x, t)]\,dx, \qquad q(0)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где здесь и ниже при интегрировании по всей прямой пределы интегрирования не указываются. Функция $q$ борелева и ограничена на $[0, T]$. Поэтому функция липшицева на $[0,T]$, $C(0)=0$. Покажем, что ограниченная на $\mathbb{R}\times [0,T]$ борелевская функция непрерывно дифференцируемая по аргументу $x$, удовлетворяет уравнению в смысле равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int\psi(x)H(x, t)\,dx-\int\psi(x)H(x, s)\,dx \\ &\qquad =\int_s^t\int [\psi''(x)H(x, \tau)-\psi(x)b(x)\partial_x H(x, \tau)]\,dx\,d\tau \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для всякой функции $\psi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ и всех $t, s\in (0, T)$ с $s\leqslant t$. Отметим, что в силу непрерывности рассматриваемой версии $r$.
По определению решения для всякой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ и всех $s, t\in(0, T)$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
\int\varphi(x)r(x, t)\,dx-\int\varphi(x)r(x, s)\,dx= \int_s^t\int[\varphi''+b\varphi'] r\,dx\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя $\partial_x F=r$ и интегрируя по частям, приходим к равенству
$$
\begin{equation*}
\int\varphi'(x)F(x, t)\,dx-\int\varphi'(x)F(x, s)\,dx= \int_s^t\int[\varphi'''F-b\varphi' \partial_xF]\,dx\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\psi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$. Тогда существует функция $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ такая, что Подставляя в указанное выше равенство, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int\psi(x)\Bigl(F(x, t)-\int\zeta(y)F(y, t)\,dy\Bigr)\,dx -\int\psi(x)\Bigl(F(x, s)-\int\zeta(y)F(y, s)\,dy\Bigr)\,dx \\ &\qquad =\int_s^t\int\Bigl[\psi''(x)F(x,t)-b(x)\psi(x) \partial_xF(x,t) \\ &\qquad\qquad -\psi(x)\Bigl(\int (\zeta''(y)F(y, \tau)-b(y)\zeta(y)\partial_yF(y, \tau))\,dy\Bigr)\Bigr]\,dx\,d\tau \\ &\qquad =\int_s^t\int\Bigl[\psi''(x)F(x,t)-b(x)\psi(x) \partial_xF(x,t)- \psi(x) q(\tau)\Bigr]\, dx\, d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для доказательства (3.1) достаточно заметить, что в интегралах c $\psi''$ и $\partial_xF$ можно заменить $F(x,t)$ на $H(x, t)$, ибо разность $H(x, t)-F(x,t)$ не зависит от $x$.
Из равенства (3.1) следует, что функция липшицева на $(0, T)$. Кроме того, в правой части (3.1) можно дважды проинтегрировать по частям в интеграле с $\psi''$, что даст интеграл от $\psi(x)\partial_x r(x,t)$. Из этого вытекает равенство
$$
\begin{equation}
H(x, t)-H(x, s)= \int_s^t [\partial_x r(x, \tau)-b(x)r(x, \tau)]\,d\tau
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
для почти всех $x$ (при фиксированных $s,t$), а также в смысле обобщенных функций. При этом левая часть непрерывно дифференцируема по $x$.
Рассмотрим ограниченную на $\mathbb{R}\times [0,T]$ борелевскую функцию также непрерывно дифференцируемую по аргументу $x$. При $t>0$ эта функция удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation*}
\partial_t W=\partial_x^2 W-b\partial_xW-|\partial_xH|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, неравенству При $t>0$ уравнение и неравенство верны почти всюду по $x$, а также и в смысле обобщенных функций, так как функция $x\mapsto \partial_x W(x,t)$ локально абсолютно непрерывна в силу того, что такова функция $x\mapsto r(x,t)$ (плотности решений являются локально соболевскими по $x$ при $t>0$). Кроме того,
$$
\begin{equation*}
W(x,0)=0, \qquad W\geqslant 0, \qquad \eta(t):= \lim_{x\to +\infty}W(x,t)=\lim_{x\to -\infty} W(x,t)\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое равенство выполнено для всех $x$, кроме, возможно, счетного множества, так как $F(x,t)\to 0$ при $t\to 0$ для всех $x$ из дополнения не более чем счетного множества. Равенство двух пределов $W(x,t)$ по $x$ справедливо для почти всех $t$ и следует из того, что $\lim_{|x|\to\infty} F(x,t)=0$ для почти всех $t$. Теперь рассмотрим новую функцию Эта функция неотрицательна, ограничена, непрерывна, причем Для дальнейшего отметим, что почти всюду, $w'(x)$ интегрируема в силу равномерной ограниченности $H$, причем это выражение задает и обобщенную производную, так что функция $w$ абсолютно непрерывна на отрезках. Для обоснования сказанного заметим, что функция $H(x, t)r(x,t)e^{-t}$ интегрируема по совокупности переменных на полосе $(-\infty,+\infty)\times [0,T]$, так как $r(x,t)$ при фиксированном $t$ есть разность субвероятностных плотностей, поэтому интеграл от $|r(x,t)|$ по переменной $x$ по прямой не превосходит $2$. По теореме Фубини функция, заданная правой частью, интегрируема. Интегрированием по частям с пробными функциями проверяется, что это выражение служит обобщенной производной $w$.
Покажем, что $w$ удовлетворяет неравенству в смысле обобщенных функций. Если это сделано, то, поскольку $e^{B}\notin L^1(\mathbb{R})$, из предложения 3.1 мы получим, что $w=0$. Тогда $W=0$, значит, $H=0$, т.е. $F(x,t)$ не зависит от $x$, что означает, что $r(x,t)=0$.Для обоснования нужного неравенства заметим, что при $\tau>0$ для функции верны соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_\tau^{T}\partial_t W(x, t)e^{-t}\,dt&=w(\tau, x)+W(x, T)e^{-T} -W(x, \tau)e^{-\tau} \\ &\geqslant w(\tau,x)-W(x, \tau)e^{-\tau}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
w(\tau,x)''-b(x)w(\tau,x)'\geqslant w(\tau,x) -W(x, \tau)e^{-\tau}
\end{equation*}
\notag
$$
в смысле обобщенных функций (с производными по аргументу $x$), т.е. для всякой неотрицательной гладкой функции $\varphi$ с компактным носителем верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int [\varphi''(x)w(\tau,x) -b(x)\,\partial_xw(\tau,x)\varphi(x)]\, dx \\ &\qquad\geqslant \int \varphi(x)w(\tau,x)\, dx -\int \varphi(x)W(x, \tau)e^{-\tau}\, dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где производная $\partial_xw(\tau,x)$ существует почти всюду и задает обобщенную производную аналогично случаю функции $w$. При $\tau\to 0$ последний интеграл стремится к нулю, так как функция $W(x,t)$ равномерно ограничена и $W(x,\tau)\to 0$ при $\tau\to 0$ для почти всех $x$. Первый интеграл в правой части при $\tau\to 0$ стремится к интегралу от $\varphi w$. Интеграл от $\varphi''(x)w(\tau,x)$ стремится к интегралу от $\varphi''(x)w(x)$. Интеграл от $b(x)\partial_x w(\tau,x)\varphi(x)$ стремится к интегралу от $b(x)w'(x)\varphi(x)$, так как а функция $H(x,t)e^{-t}$ равномерно ограничена. Итак, при $\tau\to 0$ получаем нужное неравенство.
Теорема 1.1 доказана. Доказательство теоремы 1.2. Пусть выполнено условие (1.4). Функция является диффеоморфизмом прямой с локально липшицевой производной (это следует из локальной липшицевости и положительности $a$). Пусть $\varphi=\psi^{-1}$ – обратная функция. Семейство мер $\mu_t=\varrho(x, t)\,dx$ является решением задачи Коши (1.3) тогда и только тогда, когда семейство мер $\sigma_t=\sigma(y, t)\,dy$, где $\sigma(y, t)=\varphi'(y)\varrho(\varphi(y), t)$, удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation*}
\partial_t\sigma_t=\partial^2_y\sigma_t-\partial_y(\beta\sigma_t)
\end{equation*}
\notag
$$
с коэффициентом сноса
$$
\begin{equation*}
\beta(y)=b(\varphi(y))\psi'(\varphi(y))+a(\varphi(y))\psi''(\varphi(y))
\end{equation*}
\notag
$$
и начальным условием $\widetilde{\nu}=\nu\circ\psi^{-1}$. По теореме 1.1 вероятностное решение задачи Коши для $\sigma_t$ единственно. Следовательно, вероятностное решение исходной задачи Коши также единственно. Построение примеров неединственности в случае, когда условие (1.4) не выполнено, приведено в следующем параграфе. § 4. Примеры неединственностиНачнем с примеров, завершающих доказательство теоремы 1.2. Пусть $T=1$. Пример 4.1. Пусть $a$ – такая локально липшицева положительная функция на прямой, что Действительно, функция задает диффеоморфизм прямой на интервал $J=(-y_1, y_2)$ с локально липшицевой производной. Обозначим через $\varphi$ обратную функцию $\psi^{-1}$. После замены переменных приходим к задаче Коши
$$
\begin{equation*}
\partial_t\sigma=\partial_y^2\sigma, \qquad \sigma(y, 0)=\sigma_0(y),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma(y, t)=\varphi'(y)\varrho(\varphi(y), t), \qquad \sigma_0(y)=\varphi'(y)\varrho_0(\varphi(y)).
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже будет подобрана гладкая вероятностная плотность $\sigma_0$ на интервале $J$, по которой находится искомая начальная плотность $\varrho_0$. Заметим, что если новая задача Коши для функции $\sigma$ имеет бесконечно много линейно независимых вероятностных решений, то и исходная задача Коши имеет бесконечно много линейно независимых вероятностных решений. Рассмотрим на $[-y_1, y_2]\times[0, 1]$ начально-краевую задачу
$$
\begin{equation}
\partial_t\sigma=\partial_y^2\sigma, \qquad \sigma(y, 0)=\sigma_0(y), \qquad \partial_y\sigma(-y_1, t)=\partial_y\sigma(y_2, t)=\theta(t),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $\theta$ – непрерывно дифференцируемая функция, $\theta(0)=\theta'(0)=0$ и $\sigma_0$ – гладкая неотрицательная функция с компактным носителем в $(y_1, y_2)$. Известно (см. [43; теорема 5.3]), что существует решение $\sigma$, которое является непрерывно дифференцируемой по $t$ и дважды непрерывно дифференцируемой по $y$ функцией на $[-y_1, y_2]\times[0, 1]$. Проверим, что для всех $t\in[0, 1]$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{-y_1}^{y_2}\sigma(y, t)\,dy=\int_{-y_1}^{y_2}\sigma_0(y)\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dt}\int_{-y_1}^{y_2}\sigma(y, t)\,dy &=\int_{-y_1}^{y_2}\partial_t\sigma(y, t)\,dy= \int_{-y_1}^{y_2}\partial_y^2\sigma(y, t)\,dy \\ &=\partial_y\sigma(y_2, t)-\partial_y\sigma(-y_1, t)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Добавляя к $\sigma$ (и соответственно к $\sigma_0$) константу, можно считать, что $\sigma>0$. Умножая $\sigma$ на подходящую константу, получаем решение $\sigma$, которое при каждом $t$ является вероятностной плотностью на $[-y_1, y_2]$. Если функции $\theta_1, \ldots, \theta_N$ линейно независимы, то соответствующие им решения $\sigma_1, \ldots, \sigma_N$ также линейно независимы. Для обоснования этого достаточно заметить, что $\theta_j(t)=\partial_y\sigma_j(y_2, t)$. Таким образом, выбирая линейно независимые функции $\theta$, можно построить линейно независимые решения $\sigma$. Возвращаясь к исходным координатам, получим линейно независимые вероятностные решения рассматриваемой задачи Коши (4.1). В следующем примере только один из интегралов из условия (1.4) сходится. Пример 4.2. Пусть $a$ – такая локально липшицева положительная функция на прямой, что Действительно, функция является диффеоморфизмом прямой на луч $J=(-y_1, +\infty)$ с локально липшицевой производной. Пусть $\varphi=\psi^{-1}$. В новых координатах задача Коши (4.3) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\partial_t\sigma=\partial_y^2\sigma-\partial_y(\beta\sigma), \qquad \sigma(y, 0)=\sigma_0(y),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \beta=\psi'b+a\psi''=\frac{b}{\sqrt{a}}-\frac{1}{2}\frac{a'}{\sqrt{a}}, \\ \sigma_0(y)=\varphi'(y)\varrho_0(\varphi(y)), \qquad \sigma(y, t)=\varphi'(y)\varrho(\varphi(y), t). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже будет подобран гладкий коэффициент $\beta$, по которому вычисляется искомый коэффициент $b$ по формуле $b=\beta \sqrt{a}+a'/2$. Из этой формулы видно, что в случае непрерывной производной $a'$ функция $b$ тоже непрерывна, а для локально липшицева коэффициента $a$ она локально ограничена. Кроме того, будет подобрана начальная плотность $\sigma_0$, что дает $\varrho_0$. Сделаем еще одну замену координат переводящую луч $J$ в интервал $(0, 1)$. В новых координатах приходим к задаче Коши
$$
\begin{equation*}
\partial_t v=\partial_z^2((1-z)^4v)-\partial_z(hv), \qquad v(z, 0)=v_0(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Как и выше, $h=\eta'\beta+\eta''$ и $v(z, t)=\xi'(z)\sigma(\xi(z), t)$, где $\xi=\eta^{-1}$. Возьмем теперь многочлен третьей степени по которому определяется гладкая функция $\beta=(h-\eta'')/\eta'$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\partial_z^2(1-z)^4-\partial_zh(z)=0, \qquad h(0)=-5, \qquad h(1)=-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим также, что $v_0$ – гладкая функция с компактным носителем в интервале $(0, 1)$. Рассмотрим на $[0, 1]\times[0, 1]$ начально-краевую задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_tv=\partial_z^2((1-z)^4v)-\partial_z(hv), \qquad v(z, 0)=v_0(z), \\ v(1, t)=v(0, t)+\partial_zv(0, t)=\theta(t), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $\theta$ – непрерывно дифференцируемая функция, $\theta(0)=\theta'(0)=0$. Ниже мы покажем, что данная задача имеет решение $v$, которое непрерывно дифференцируемо по $t$ и дважды непрерывно дифференцируемо по $z$ на $[0, 1]\times[0, 1]$. Проверим, что для всех $t\in[0, 1]$ верно равенство Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dt}\int_0^1v(z, t)\,dz &=\int_0^1 \bigl[\partial_z^2((1-z)^4v)-\partial_z(hv)\bigr]\,dz \\ &=-v(0, t)-\partial_zv(0, t)+v(1, t)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $h$ подобрана таким образом, что если $v$ – решение уравнения, то $v+\mathrm{const}$ тоже решение. Добавляя константу, можно считать, что $v>0$. Далее, умножая на подходящую константу, можно считать, что функция $x\mapsto v(x, t)$ является вероятностной плотностью на $[0, 1]$ для каждого $t$. Наконец, линейно независимым функциям $\theta$ соответствуют линейно независимые решения. Представленное рассуждение существенно опирается на разрешимость начально-краевой задачи (4.4). Основная трудность состоит в том, что уравнение вырождается при $z=1$. Краевым задачам для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено значительное число работ, среди которых отметим [26], [27], [31], [51], [55]. Однако утверждение о разрешимости необходимой нам третьей краевой задачи содержится лишь в работе [26] без доказательства, причем в работе [27], в которой приводятся доказательства основных результатов из [26], обоснование этого утверждения также отсутствует. В близкой работе [55] исследуется разрешимость третьей краевой задачи для вырожденного эллиптического уравнения, частным случаем которого, конечно, является параболическое уравнение, но предполагается такая гладкость границы, при которой результат не применим к параболическим задачам. Кроме того, в [55] строится лишь обобщенное решение. В связи с этим мы приведем здесь нужное утверждение и его короткое обоснование в используемом нами одномерном по пространственной переменной случае. Общему утверждению будет посвящена отдельная заметка. Пусть $a, b, c$ и $f$ – бесконечно дифференцируемые функции на $\mathbb{R}\times[0, T]$, $h, g, k$ – бесконечно дифференцируемые функции на $[0, T]$ и $u_0$ – бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем в $(0, 1)$. Предположим, что $a\geqslant 0$. Рассмотрим следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_tu=a\partial_x^2u+b\partial_xu+cu+f, \qquad u(x, 0)=u_0(x), \qquad u(1, t)=h(t), \\ \partial_x u(0, t)+ku(0, t)=g(t). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Предложение 4.3. Предположим, что $a(0, t)>0$ и $a(1, t)=0$, причем Тогда существует единственное решение $v$ задачи Коши (4.5) в классе функций, непрерывно дифференцируемых один раз по $t$ и два раза по $x$ на прямоугольнике $[0, 1]\times[0, T]$. Доказательство. Пусть $u=we^{\lambda t+\gamma x}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, w_t=a\partial_x^2w+(b+2\gamma a)\partial_xw+(\gamma^2a+\gamma b+c-\lambda)w+fe^{-\lambda t-\gamma x}, \\ w(x, 0)=u_0(x)e^{-\gamma x}, \qquad w(1, t)=h(t)e^{-\gamma-\lambda t}, \\ \partial_x w(0, t)+(k+\gamma)w(0, t)=g(t)e^{-\lambda t}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая константы $\gamma<0$ и $\lambda>0$, можно добиться того, что Более того, условие $b(1, t)-\partial_x a(1, t)$ для нового коэффициента $b+2\gamma a$ вместо $b$ сохраняется, так как $a(1, t)=0$. Поэтому далее, переходя от $u$ к $w$, считаем, что выполнены неравенства $c\leqslant -c_0<0$ и $k\leqslant -k_0<0$ для некоторых чисел $c_0$ и $k_0$. Кроме того, вычитая из решения $u$ функцию $Q$ такую, что $Q(1, t)=h(t)$ и $\partial_x Q(0, t)+k(t)Q(0, t)=g(t)$, можно считать, что $h=g=0$.
Пусть $n\in \mathbb{N}$. Известно (см. [5], [20], [21], [57], [39; гл. 2, § 4, теорема 4.1]), что существует решение $u_n$ задачи Коши для уравнения с $a+n^{-1}$ вместо $a$. Пусть $q_n=u_n^2/2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\partial_tq_n=a\partial_x^2q_n+b\partial_xq_n+2cq_n+fu_n-a(\partial_x q_n)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $fu_n\leqslant c_0q_n+|f|^2c_0^{-1}$, то
$$
\begin{equation*}
\partial_tq_n\leqslant a\partial_x^2q_n+b\partial_xq_n+cq_n+|f|^2c_0^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, $\partial_xq_n(0, t)=-2kq_n(0, t)$, $q_n(x, 0)=u_0(x)^2/2$, $q_n(1, t)=0$. Пусть Тогда
$$
\begin{equation*}
\partial_t(q_n-M)\leqslant a\partial_x^2(q_n-M)+b\partial_x(q_n-M)+c(q_n-M)
\end{equation*}
\notag
$$
и $\partial_x(q_n(0, t)-M)=-2k(q_n(0, t)-M)-kM$, $q_n(x, 0)-M\leqslant 0$, $q_n(1, t)-M\leqslant 0$. Так как $c<0$ и $k<0$, то ясно, что функция $q_n-M$ не может принимать положительного максимума. Следовательно, $q_n\leqslant M$ и $|u_n|\leqslant\sqrt{2M}$, причем $M$ не зависит от $n$. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что $\{u_n\}$ слабо сходится в $L^2([0, 1]\times[0, T])$ к некоторой функции $u$.
По условию есть положительные числа $a_0$ и $x_0$ такие, что $a(x, t)\geqslant a_0$ на прямоугольнике $[0, 2x_0]\times[0, T]$. Согласно [43; теорема 10.1], переходя к подпоследовательности, можно считать, что $\{u_n\}$ сходится равномерно на $[0, x_0]\times[0, T]$ к функции $u$, непрерывно дифференцируемой один раз по $t$ и два раза по $x$ на прямоугольнике $[0, x_0]\times[0, T]$. Согласно [27; теорема 4] существует гладкое решение $v$ задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \partial_tv=a\partial_x^2v+b\partial_xv+cv+f, \\ v(x, 0)=u_0(x), \qquad v(1, t)=0, \qquad v(0, t)=u(0, t). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Именно здесь используется условие $b(1, t)-\partial_xa(1, t)>0$. Рассмотрим разность $r_n=u_n-v$. Функция $r_n$ является решением задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\partial_tr_n=(a+n^{-1})\partial_x^2r_n+b\partial_xr_n+cr_n+n^{-1}\partial_x^2v,
\end{equation*}
\notag
$$
и $r_n(x, 0)=0$, $r_n(1, t)=0$, $r_n(0, t)=u_n(0, t)-u(0, t)$. По принципу максимума (см., например, [51; теорема 1.1.2]) имеем
$$
\begin{equation*}
\max_{[0, 1]\times[0, T]}|r_n(x, t)|\leqslant \frac{1}{nc_0}\max_{[0, 1]\times[0, T]}|\partial^2_xv(x, t)| +\max_{[0, T]}|u_n(0, t)-u(0, t)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, последовательность $\{r_n\}$ равномерно стремится к нулю, а функция $u$ совпадает с $v$. Таким образом, функция $u$ непрерывно дифференцируема один раз по $t$ и два раза по $x$ на $[0, 1]\times[0, T]$, удовлетворяет начальному условию $u=u_0$ при $t=0$, граничному условию $\partial_x u +ku=0$ при $x=0$ и граничному условию $u=0$ при $x=1$. Единственность построенного решения следует из принципа максимума. Предложение 4.3 доказано. Замечание 4.4. Поскольку в случае С другой стороны, для разрешимости задачи с краевыми условиями при $x=0$ и $x=1$ требуется (см. [51; гл. 1]) выполнение неравенств $B(0)>0$ и $B(1)<0$. Это означает, что числа $\sigma(0, t)$ и $\sigma(1, t)$ должны быть разных знаков. Это, в свою очередь, противоречит положительности решения. Здесь важно отметить, что не получится подобрать $B$ так, что $\partial_xA=B+\mathrm{const}$, так как $\partial_xA$ в концах отрезка $[0, 1]$ равно нулю, а $B$ в этих точках принимает значения разных знаков. Следовательно, выбором коэффициента $B$ нельзя добиться того, что при добавлении константы решение останется решением, и таким способом обеспечить положительность решения. Идея построения примера неединственности для уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова с помощью замены координат и применения теории вырожденных уравнений впервые была предложена в работе [42] в случае стационарного уравнения. Пример 4.5. (i) Рассмотрим пример, в котором для бесконечно дифференцируемого коэффициента сноса $b$ на прямой помимо единственного вероятностного решения с гладким начальным распределением существует другое семейство неотрицательных ограниченных мер, являющееся решением с тем же начальным условием. В [11; задача 9.8.47] предложен такой пример (с указанием к решению): начальная плотность $u_0(x)=(\pi (1+x^2))^{-1}$. Приведем здесь решение этой задачи. Одно неотрицательное интегрируемое решение имеет простой явный вид $e^t u_0(x)$. Это проверяется непосредственно: (ii) Рассмотрим пример, в котором для бесконечно дифференцируемого коэффициента сноса $b$ на прямой и гладкого начального условия нет вероятностных решений, однако существует единственное субвероятностное решение. Возьмем то же начальное условие $u_0$, что и в (i), но снос изменим так: Так как теперь $xb(x)\geqslant -2$, то для $V(x)=x^2+4$ получаем $V''+bV'\geqslant -V$, что согласно [11; теорема 9.6.3] влечет единственность интегрируемого решения. Вычисления в (i) показывают, что $e^{-t}u_0(x)$ является таковым решением, причем оно субвероятностное.В [11; § 9.6] в многомерном случае даны достаточные условия на коэффициенты в терминах функций Ляпунова, при которых имеется не более одного интегрируемого решения задачи Коши. Замечание 4.6. Поясним, почему рассматриваемая нами проблема не равносильна изученной Э. Хилле [37] задаче существования и единственности для одномерного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова. Для упрощения ограничимся случаем единичного коэффициента диффузии (отметим, что в [37] противоположные обозначения, через $a$ обозначается снос, но мы приводим формулировки ниже в наших обозначениях). В [37; § 8, с. 116] задача (в случае уравнения на всей прямой) ставится так: найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы для всякой функции $h\in L^1(\mathbb{R})$ с $Lh=h''-(bh)'\in L^1(\mathbb{R})$ нашлось единственное решение $T(x,t,h)$ уравнения $\partial_t u=\partial_x^2 u-\partial_x(ub)$ с начальным условием $h$ в смысле соотношения $\|T(\cdot,t,h)-h\|_{L^1}\to 0$ при $t\to 0$. Такая постановка называется задачей $L_0$, а в задаче $L$ еще дополнительно требуется, чтобы решение с неотрицательным начальным условием $h$ было неотрицательно и имело такой же интеграл по прямой, как и $h$ (иначе говоря, решения с вероятностными начальными плотностями из области определения оператора $L$ должны быть вероятностными). Коэффициент сноса в [37] предполагается непрерывным, но это незначительное техническое отличие. Согласно [37; теоремы 8.5 и 8.7] необходимое и достаточное условие разрешимости задачи $L_0$ состоит в расходимости интеграла на $-\infty$ и $+\infty$, а для разрешимости задачи $L$ дополнительно требуется расходимость интеграла на $-\infty$ и $+\infty$. Это есть предыдущее условие для сноса $-b$, что делает условия для $b$ и $-b$ одинаковыми. В обеих цитированных теоремах Хилле замыкание оператора $L$ порождает полугруппу в $L^1(\mathbb{R})$. Из предыдущего примера видно, что возможна ситуация, когда при каждом начальном условии, являющемся вероятностной мерой, существует единственное вероятностное решение задачи Коши, но есть также и другие решения. Наконец, еще одно отличие от условий Хилле нашего результата (в котором вообще нет никаких условий на снос, кроме его локальной ограниченности) состоит в том, что у Хилле решение должно существовать для каждого начального условия (правда, с плотностью из области определения оператора, а у нас допускаются произвольные начальные вероятностные меры), в нашей же постановке решения могут существовать для одних начальных условий и отсутствовать для других, но утверждается, что ни при каком начальном вероятностном распределении не может быть двух разных решений. При этом единственность есть и тогда, когда замыкание оператора $L$ не порождает полугруппу в $L^1(\mathbb{R})$. Можно еще отметить, что теорема Хилле говорит (для непрерывного сноса), что при нарушении условия Хилле для задачи $L$ либо при каком-то начальном условии нет решения, либо при каком-то ином начальном условии есть несколько решений, а наш результат показывает, что вторая возможность не может осуществляться, так что причиной всегда является первая. Более того, из нашего результата следует, что решение отсутствует при начальном распределении, являющемся дираковской мерой $\delta_a$ в какой-то точке $a$. В самом деле, можно проверить, что если решение $\varrho(x,t,a)$ есть для каждого начального условия вида $\delta_a$, то из-за единственности оно борелевски зависит от $a$, что после усреднения по вероятностной мере $\nu$ дает решение с начальным условием $\nu$. Приведем пример такого отсутствия вероятностного решения при некоторых начальных распределениях и его наличия при других. В обосновании следующего примера используется снос $b(x)=-x-6\exp(x^2/2)$, для которого стандартная гауссовская мера $\gamma$ на прямой является стационарным решением с начальным распределением $\gamma$. Проверим, что здесь имеются начальные вероятностные распределения, для которых нет вероятностных решений, что по терминологии Хилле означает, что задача $L$ для этого сноса неразрешима. Для этого покажем, что нарушено условие Хилле, а именно второй из выписанных выше интегралов сходится на $-\infty$. В нашем случае после замены $x$ на $-x$ приходим к интегралу по $[0,+\infty)$ от $F(x)/F'(x)$, где
$$
\begin{equation*}
F(x)=\int_0^x f(y)\, dy, \qquad f(x)=\exp\biggl(-2^{-1}x^2+ 6\int_0^x \exp \biggl(\frac{y^2}2\biggr)\, dy \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
причем функция $f$ возрастает и имеет место оценка $F''(x)/F'(x)\geqslant x^2$. Заметим, что тогда верна и оценка $F'(x)/F(x)\geqslant x^2/8$. В самом деле, интегрируя оценку $F''(x)\geqslant x^2F'(x)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F'(x)-F'(0)&\geqslant \int_0^x y^2F'(y)\, dy \geqslant \int_{x/2}^x y^2F'(y)\, dy \\ &\geqslant \frac{x^2}{4}\biggl(F(x)-F\biggl(\frac x2\biggr)\biggr)\geqslant \frac{x^2}{8}F(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $2F(x/2)\leqslant F(x)$. Последнее видно из равенства
$$
\begin{equation*}
2F\biggl(\frac x2\biggr)=2\int_0^{x/2} f(y)\, dy=\int_0^x f\biggl(\frac y2\biggr)\, dy
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенства $f(y/2)\leqslant f(y)$. Итак, $F'(x)\geqslant x^2F(x)/8$, что влечет сходимость интеграла от $F/F'$ на $+\infty$. Этот же вывод можно сделать и путем нахождения асимптотики отношения $F/F'$ с помощью правила Лопиталя, которое показывает, что отношение $F(x)(-x+6\exp(x^2/2))$ и $f(x)$ стремится к $1$, т.е. на самом деле $F(x)/F'(x)$ убывает еще быстрее. В силу критерия Хилле нет вероятностного решения при каком-то начальном распределении, а из сказанного выше следует, что тогда нет решения и при некоторой дираковской начальной мере. Отметим, что в силу [11; теорема 6.6.2] субвероятностное решение есть для каждого начального вероятностного распределения. Кстати, из этого следует отсутствие диффузионного процесса (в обычном понимании), порожденного оператором $L$, несмотря на наличие инфинитезимально инвариантной меры $\gamma$ для этого оператора. Построим теперь пример уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова в размерности $d=2$, для которого задача Коши имеет бесконечномерный симплекс вероятностных решений. Напомним, что ранее такие примеры были построены только при $d\geqslant 3$ (см. [11; гл. 9]). Пример 4.7. Пусть $\gamma$ – стандартная гауссовская мера на прямой, заданная плотностью $(2\pi)^{-1/2}\exp(-x^2/2)$. Положим Для функций $u$ двух переменных положим
$$
\begin{equation*}
Lu=\partial_x^2u+\partial_y^2u+b^1(x)\, \partial_x u+b^2(y)\, \partial_y u=L_x u+L_y u.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\sigma$ – произвольная вероятностная мера с гладкой плотностью. Рассмотрим задачу Коши
$$
\begin{equation*}
\partial\mu_t=L^{*}\mu_t, \qquad \mu_0=\gamma\otimes\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Проверим, что эта задача имеет бесконечно много различных вероятностных решений вида
$$
\begin{equation*}
\mu_t^{\alpha}=S_t^{*}\gamma\otimes(T_t^{*}\sigma-T_t^{*}\alpha)+\gamma\otimes T_t^{*}\alpha,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha$ – произвольная вероятностная мера с гладкой плотностью, причем решения $\mu_t^{\alpha_j}$, соответствующие линейно независимым мерам $\alpha_j$, линейно независимы. Во-первых, $\{\mu_t^{\alpha}\}$ является решением, так как по каждой переменной удовлетворяет соответствующему уравнению: $\{S_t^{*}\gamma\}$ – решение одномерной задачи Коши с оператором $L_x$ и начальным условием $\gamma$, мера $\gamma$ – стационарное решение для уравнения с оператором $L_x$, а $\{T_t^{*}\sigma\}$ и $\{T_t^{*}\alpha\}$ – решения задач Коши с оператором $L_y$ и начальными условиями $\sigma$ и $\alpha$ соответственно. Так как $\{T_t\}_{t\geqslant 0}$ – очевидным образом марковская полугруппа, то $T_t^{*}\sigma$ и $T_t^{*}\alpha$ – вероятностные меры при каждом $t$. Кроме того, как отмечено в § 2, $S_t^{*}\gamma\leqslant \gamma$ в смысле неравенства для мер, причем $S_t^{*}\gamma\not= \gamma$ при $t>0$ из-за отсутствия инвариантности (если $S_t^{*}\gamma= \gamma$ при некотором $t>0$, то $S_\tau^{*}\gamma= \gamma$ при всех $\tau\leqslant t$, а тогда $S_t^{*}\gamma= \gamma$ при всех $t>0$). Во-вторых, $\mu_t^{\alpha}$ – неотрицательная мера. В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\mu_t^{\alpha}=S_t^{*}\gamma\otimes T_t^{*}\sigma+(\gamma-S_t^{*}\gamma)\otimes T_t^{*}\alpha\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $\mu_t^{\alpha}$ – вероятностная мера, ибо
$$
\begin{equation*}
\mu_t^{\alpha}(\mathbb{R}^2)= S_t^{*}\gamma(\mathbb{R}^1)\cdot(T_t^{*}\sigma-T_t^{*}\alpha)(\mathbb{R}^1) +\gamma(\mathbb{R}^1)\cdot T_t^{*}\alpha(\mathbb{R}^1) =S_t^{*}\gamma(\mathbb{R}^1)\cdot 0+1=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь проверим, что для линейно независимых вероятностных мер $\alpha_j$ соответствующие им решения линейно независимы. Предположим, что при всех $t\geqslant 0$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
\sum_jc_j (S_t^{*}\gamma\otimes(T_t^{*}\sigma-T_t^{*}\alpha_j)+\gamma\otimes T_t^{*}\alpha_j)=0
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторым конечным набором чисел $c_j$. Это равенство можно записать в виде При $t=0$ получаем $\bigl(\sum_jc_j\bigr)\gamma\otimes\sigma=0$, следовательно, $\sum_jc_j=0$. Поэтому Так как $\gamma-S_t^{*}\gamma$ – положительная мера при $t>0$, то $T_t^{*}\bigl(\sum_jc_j\alpha_j\bigr)=0$ при $t>0$, но это, в свою очередь, влечет равенство $\sum_jc_j\alpha_j=0$. Линейная независимость $\alpha_j$ показывает, что все числа $c_j$ равны нулю. Отметим, что в этом примере неединственность имеет место для гладкого, но весьма специального начального условия. Естественно возникает вопрос о построении примера, когда неединственность имеет место для какого-то широкого класса начальных условий, скажем для всех дираковских мер. В трехмерном по переменной $x$ случае такого рода пример можно построить, комбинируя идею из описанного примера и подход, основанный на теории вырождающихся параболических уравнений в духе примеров 4.1 и 4.2. Подробному обсуждению таких примеров будет посвящена отдельная заметка. Приведем примеры, показывающие, что при отказе от локальной ограниченности сноса единственность вероятностного решения может нарушаться как для эллиптического уравнения, так и для параболического. Однако заслуживает изучения вопрос о единственности для сносов, локально интегрируемых в какой-либо степени относительно меры Лебега (разумеется, при сохранении требования локальной интегрируемости относительно решения). Пример 4.8. Всякая локально липшицева вероятностная плотность $\varrho$ очевидным образом удовлетворяет стационарному уравнению $\varrho''-(b\varrho)'=0$ со сносом $b$, равным логарифмической производной $\varrho$, т.е. $b(x)=\varrho'(x)/\varrho(x)$, где полагаем $b(x)=0$ при $\varrho(x)=0$. При этом функция $b$ локально интегрируема с весом $\varrho$. Скажем, если взять $\varrho(x)=(2\pi)^{-1/2} x^2\exp(-x^2)$, то для полученного сноса $b(x)=2x^{-1}-2x$ есть и другие вероятностные решения, отличные от заданного плотностью $\varrho$, в том числе решение с плотностью $\varrho/2$ на $(-\infty,0)$ и плотностью $3\varrho/2$ на $[0,+\infty)$. В этом случае функция $b$ интегрируема с весом $\varrho$ на всей прямой. В параболическом случае рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\varrho(x,t)=t^{-2}x^{3}E(x,t), \qquad E(x,t)=C\exp\biggl(-\frac{x^2}{4t}\biggr), \qquad x\geqslant 0, \quad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C>0$ – такая константа, что функция $\varrho(\cdot,1)$ – вероятностная плотность на $[0, +\infty)$; тогда таковы все функции $\varrho(\cdot, t)$. Положим $\varrho(x,t)=0$ при $x<0$ и $\varrho_1(x,t)=\varrho(-x,t)$. Тогда функции $\varrho$ и $\varrho_1$ дают различные вероятностные решения уравнения с начальным распределением при $t=0$, равным дираковской мере в нуле.Проверим, что при $t>0$ и $x\geqslant 0$ дважды дифференцируемая функция $\varrho$ поточечно удовлетворяет указанному уравнению. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \partial_t\varrho=-2t^{-3}x^{3}E(x,t)+ \frac{1}{4}t^{-4}x^{5} E(x,t), \\ \partial_x \varrho = 3t^{-2}x^{2}E(x,t)-\frac{1}{2}t^{-3}x^{4}E(x,t), \\ \begin{split} \partial_x^2\varrho &=6t^{-2}x E(x,t)-\frac{3}{2} t^{-3}x^{3}E(x,t)-2t^{-3}x^{3}E(x,t)+\frac{1}{4} t^{-4}x^{5}E(x,t) \\ &=6t^{-2}x E(x,t)-\frac{7}{2}t^{-3}x^{3}E(x,t)+\frac{1}{4} t^{-4}x^{5}E(x,t), \end{split} \\ b\varrho = 3t^{-2}x^{2}E(x,t), \\ \partial_x(b\varrho)=6t^{-2}x E(x,t) -\frac{3}{2}t^{-3}x^{3}E(x,t), \\ \partial_x^2\varrho-\partial_x(b\varrho)=-2t^{-3}x^{3}E(x,t)+\frac{1}{4} t^{-4}x^{5}E(x,t) =\partial_t\varrho. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В точке $x=0$ функция $x\mapsto\varrho(x,t)$ с $t>0$ дважды дифференцируема и
$$
\begin{equation*}
\varrho(0,t)=\partial_x\varrho(0,t)=\partial^2_x\varrho(0,t)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, при $t>0$ функция $x\mapsto b(x)\varrho(x,t)$ непрерывно дифференцируема в нуле, а ее производная в нуле равна нулю. Следовательно, полагая $\varrho(x,t)=0$ при $x<0$, получаем дважды дифференцируемое решение уравнения уже на всей прямой. Кроме того, при $t\to 0$ меры $\varrho(x,t)\,dx$ сходятся слабо к дираковской мере в нуле. Наконец, проверим, что $b\varrho\in L^1(\mathbb{R}\times [0, T])$. Действительно, это произведение равно нулю при $x<0$, а при $x>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
b(x)\varrho(x,t)=Ct^{-2}x^{2}\exp\biggl(-\frac{x^2}{4t}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при $t>0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{+\infty}b(x)\varrho(x,t)\,dx=Ct^{-1/2}\int_0^{+\infty}u^{2} \exp\biggl(-\frac{u^2}{4}\biggr)\,du=C't^{-1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_0^T\int_0^{+\infty}b(x)\varrho(x,t)\,dx\, dt<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Из интегрируемости $b\varrho$ следует, что $\varrho$ является решением задачи Коши в нашем смысле, т.е. в смысле интегрального тождества. Теперь заметим, что меры с плотностями $\varrho_1(x,t)=\varrho(-x,t)$, сосредоточенные на левой полупрямой, также дают решение. Следовательно, задача имеет по крайней мере два линейно независимых решения. Поясним вероятностную суть этого примера. В работах [22], [23; пример 1.23] показано, что для сингулярного сноса стохастическое дифференциальное уравнение $dX_t=b(X_t)dt+dW_t$ с начальным распределением, сосредоточенным в нуле, имеет несколько решений с различными одноточечными распределениями. Одно из решений есть неотрицательный процесс Бесселя $B_t$ с параметром $\alpha=4$, другое решение $X_t=-B_t$ неположительно, причем $|X_t|$ имеет то же распределение, что $B_t$. Это приводит к двум различным вероятностным решениям $\{\mu_t\}$ и $\{\nu_t\}$ соответствующего уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, относительно которых снос $b$ интегрируем на $\mathbb{R}\times [0,1]$. Интегрируемость сноса проверяется явным образом с помощью известной формулы для плотности распределения квадрата $B_t^2$ процесса Бесселя (см. [56; гл. XI, § 1, следствие 1.4]), дающей и явный вид плотностей распределения $B_t$ и $X_t$. Коэффициенты уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова для $B_t$ и $X_t$ отличаются от указанных в нашем примере числовыми множителями.Отметим, что в последнем примере сингулярен по отношению к мере Лебега лишь коэффициент сноса, но сами решения гладкие, причем этот коэффициент интегрируем относительно решений. Кстати, это показывает, что в теоремах единственности из [11; гл. 9] с единичной матрицей диффузии даже при $d=1$ условие нельзя ослабить до включения сноса $b$ в $L^1(\mu)$: в [11; теорема 9.3.6] помимо условия $|b|\in L^1(\mu)$ требуется еще включение $|b|\in L^2(\mu, U\times (0,T))$ для всякого шара $U$, а в [11; теорема 9.4.3] в дополнение к предыдущему условию нужны включения $|b|\in L^p(\mu, U\times (0,T))$ с некоторым $p>d+2$, т.е. $p>3$ в одномерном случае. Замечание 4.9. В этой работе мы исследовали уравнения с не зависящими от $t$ коэффициентами. В доказательствах это обстоятельство играло существенную роль, и проблема единственности в случае, когда коэффициенты зависят от $x$ и $t$, остается открытой. Заметим только, что если $a=1$ и коэффициент сноса имеет вид $b(x, t)=h(t)$, то заменой решения $\varrho(x, t)$ на новую функцию задача сводится к уравнению теплопроводности. Следовательно, в этом случае вероятностное решение единственно. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BogKraSha21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|