В. И. Богачев, Т. И. Красовицкий, С. В. Шапошников, “О единственности вероятностных решений уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, Матем. сб., 212:6 (2021), 3–42; V. I. Bogachev, T. I. Krasovitskii, S. V. Shaposhnikov, “On uniqueness of probability solutions of the Fokker-Planck-Kolmogorov equation”, Sb. Math., 212:6 (2021), 745

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2021, том 212, номер 6, страницы 3–42
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9427 (Mi sm9427)

Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях)

О единственности вероятностных решений уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова

В. И. Богачев^ab, Т. И. Красовицкий^ac, С. В. Шапошников^ab

^a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
^b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
^c Московский центр фундаментальной и прикладной математики

PDF полного текста (735 kB) PDF английской версии (663 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (6)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9427

Аннотация: В работе решена долго стоявшая проблема единственности вероятностных решений задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова с неограниченным коэффициентом сноса и единичным коэффициентом диффузии. Доказано, что в одномерном случае имеет место единственность, а во всех остальных размерностях ее нет. Исследован также случай непостоянных коэффициентов диффузии.
Библиография: 70 наименований.

Ключевые слова: уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова, задача Коши, проблема единственности.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований	20-01-00432-а
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Фонд развития теоретической физики и математики БАЗИС	18-1-6-83-1
Simons Foundation
Конкурс «Молодая математика России»
Исследование В. И. Богачева выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 20-01-00432-а), Московского центра фундаментальной и прикладной математики, а также фонда теоретической физики и математики “Базис” (грант № 18-1-6-83-1). Исследование Т. И. Красовицкого выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 20-01-00432-а), Московского центра фундаментальной и прикладной математики, а также стипендии фонда теоретической физики и математики “Базис”. Исследование С. В. Шапошникова выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 20-01-00432-а), Московского центра фундаментальной и прикладной математики, Simons Foundation, а также премии конкурса “Молодая математика России”.

Поступила в редакцию: 21.04.2020 и 28.11.2020

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 6, Pages 745–781
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9427

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.955

MSC: 35Q84

§ 1. Введение

Целью этой работы является положительное решение долго стоящей проблемы о единственности вероятностного решения задачи Коши для одномерного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова

$\begin{equation} \partial_t\mu=\partial_x^2\mu -\partial_x(b\mu), \qquad \mu_0=\nu, \end{equation} \tag{1.1}$

где начальное условие

$\nu$ – произвольная борелевская вероятностная мера, а коэффициент сноса

$b$ – локально ограниченная борелевская функция, не зависящая от времени

$t$ (проблема оставалась открытой даже для бесконечно дифференцируемых сносов

$b$ ). Решением называется семейство вероятностных мер

$\mu=\{\mu_t\}_{t\geqslant 0}$ на прямой, борелевски измеримое по

$t$ , удовлетворяющее интегральному тождеству

$\begin{equation} \int \varphi \, d\mu_t-\int \varphi \, d\nu=\int_0^t \int (\varphi''+b\varphi')\, d\mu_{s}\, ds \end{equation} \tag{1.2}$

при почти всех

$t\in [0,T]$ для каждой функции

$\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ , где

$T>0$ фиксировано. При наших предположениях меры

$\mu_t$ при

$t>0$ задаются вероятностными плотностями

$\varrho(\cdot, t)$ , поэтому уравнение (1.1) можно записать как уравнение относительно плотности

$\varrho(x,t)$ . Однако в рассматриваемой нами постановке важно, что все (или почти все) меры

$\mu_t$ вероятностные. Существенность этого условия будет ясна из дальнейшего.

Основной результат состоит в следующем.

Теорема 1.1. Если вероятностное решение задачи Коши (1.1) существует, то оно единственно.

Единственность понимается как равенство $\mu_t=\nu_t$ почти всюду для всяких двух решений $\{\mu_t\}$ и $\{\nu_t\}$ .

Подчеркнем, что нет никаких глобальных ограничений на коэффициент сноса и нет предположений о поведении решений на бесконечности или о каких-либо полугрупповых свойствах решений. В двумерном случае ( $x\in \mathbb{R}^2$ ) утверждение теоремы 1.1 уже неверно, как показано в примере 4.7 (в трехмерном случае пример неединственности есть в [11; гл. 9]). Далее мы неоднократно ссылаемся на эту книгу, поэтому отметим, что ее русская версия доступна на сайте РФФИ (https://www.rfbr.ru/rffi/ru/books/o $_{-}$ 1896849 $\#$ 29), а цитируемая несколько более полная английская версия может быть найдена в интернете.

Кроме того, в настоящей работе исследована задача Коши

$\begin{equation} \partial_t\mu_t=\partial_x^2(a\mu_t)-\partial_x(b\mu_t), \qquad \mu_0=\nu \end{equation} \tag{1.3}$

с непостоянным коэффициентом диффузии

$a$ и получен следующий результат.

Теорема 1.2. Пусть $a$ – положительная локально липшицева функция, $b$ – локально ограниченная борелевская функция. Предположим, что

$\begin{equation} \int_{-\infty}^0\frac{1}{\sqrt{a(x)}}\,dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{a(x)}}\,dx=+\infty. \end{equation} \tag{1.4}$

Тогда если вероятностное решение задачи Коши (1.3) существует, то оно единственно. Если хотя бы один из этих интегралов сходится, то существуют локально ограниченный коэффициент сноса

$b$ (непрерывный, если

$a$ имеет непрерывную производную, и гладкий, если такова

$a$ ) и начальное распределение, заданное локально липшицевой плотностью (гладкой, если такова

$a$ ), для которых симплекс вероятностных решений задачи Коши бесконечномерен.

Аналогичное утверждение верно для вероятностных решений одномерного стационарного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова (см. [11; предложение 4.1.2 и пример 4.1.1]). В случае одномерного стационарного уравнения

$\begin{equation*} \partial_x^2(a\mu)-\partial_x(b\mu)=0 \end{equation*} \notag$

легко выписать явную формулу для общего решения (см. [11; § 1.4]), что существенно упрощает исследование. В рассматриваемом нами параболическом случае такой формулы не существует и вопрос о единственности труден. В частности, для построения примера неединственности в теореме 1.2 приходится использовать нетривиальные результаты о разрешимости начально-краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения.

Отметим, что даже для бесконечно дифференцируемого коэффициента сноса $b$ может случиться, что помимо единственного вероятностного решения с гладким начальным распределением существует другое семейство неотрицательных ограниченных мер, являющееся решением с тем же начальным условием (см. пример 4.5).

Уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова для переходных вероятностей и стационарных распределений диффузионных процессов в математически строгом виде были впервые получены в фундаментальных работах А. Н. Колмогорова [40], [41], в которых, в частности, сформулирована проблема об исследовании единственности решения задачи Коши для таких уравнений. В § 15 “Постановка вопроса об однозначности и о существовании решений для второго дифференциального уравнения” из первой работы речь идет об одномерных уравнениях, ставится вопрос о существовании единственного вероятностного решения, а многомерные уравнения рассмотрены во второй работе. Отметим, что термин “уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова” употребляется для “второго дифференциального уравнения” по терминологии самого А. Н. Колмогорова. В книге [11] можно найти ссылки на предшествующие работы в физической литературе, в том числе работы А. Фоккера и М. Планка. В работе А. Н. Колмогорова [41] единственность решения установлена для уравнения на компактном римановом многообразии (в случае коэффициентов с двумя непрерывными производными и начального распределения с непрерывной плотностью).

Проблема единственности решений уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова в одномерном случае была рассмотрена такими классиками, как У. Феллер (см. [28]), К. Иосида (см. [70]) и Э. Хилле (см. [37]), однако в несколько иной постановке, связанной с полугруппами. Так, в [37] речь идет не о единственности в классе вероятностных решений, а о существовании и единственности решений с некоторыми свойствами и начальными условиями из области определения соответствующего эллиптического оператора (см. ниже более точный комментарий в замечании 4.6, а также пример, показывающий неравносильность такой задачи и изучаемой здесь проблемы).

Поскольку уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова в случае достаточно регулярных коэффициентов являются классическими параболическими уравнениями, то к ним, конечно, применимы известные результаты о единственности решений классической теории параболических уравнений, краткий обзор которых мы сейчас дадим.

Согласно известному примеру А. Н. Тихонова (см. [65]) уже для уравнения теплопроводности $\partial_tu=\partial_x^2u$ задача Коши может иметь несколько решений. Однако, как доказал Д. В. Уиддер (см. [68]), в классе неотрицательных функций задача Коши для уравнения теплопроводности имеет единственное решение. В случае параболического уравнения общего вида единственность зависит не только от класса функций, в котором решается уравнение, но и от коэффициентов уравнения. В работах Г. Д. Аронсона и П. Бесала [2], [3], А. Фридмана [32], [33] и Г. Н. Смирновой [61], [62] получены разнообразные результаты о единственности, а именно исследована единственность в следующих классах функций $u$ : 1) функция $u$ имеет предел при $|x|\to\infty$ , 2) для подходящего веса $\omega$ функция $u\omega$ принадлежит пространству $L^{\infty}(\mathbb{R}^d\times[0, T])$ , 3) для подходящего веса $\omega$ функция $u\omega$ принадлежит пространству $L^p(\mathbb{R}^d\times[0, T])$ . Единственность решения, имеющего заданный предел на бесконечности, устанавливается с помощью принципа максимума и требует ограниченности сверху коэффициента при самом решении $u$ , а единственность решений, интегрируемых с весом или растущих не быстрее некоторой функции, устанавливается в предположении, что коэффициенты имеют не более чем линейный рост. Значительное число работ посвящено изучению проблемы единственности в классе неотрицательных решений параболических уравнений на $\mathbb{R}^d$ и на гладких римановых многообразиях (см. [38], [48], [50], [52], [53], [58]). Типичные результаты в этом направлении устанавливают единственность при ограничениях на рост коэффициентов и в предположении, что для решений имеет место параболическое неравенство Харнака. В случае параболических уравнений с негладкими и вырождающимися коэффициентами отметим метод перенормированных решений (см., например, работу К. Ле Бри и П. Л. Лионса [44]), когда единственность устанавливается в классе решений, удовлетворяющих некоторым дифференциальным неравенствам. Однако класс вероятностных решений уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова отличается от всех перечисленных выше традиционных классов. Более того, есть примеры (см. [11; гл. 9] и пример 4.5 ниже), когда вероятностное решение единственно, а в классах интегрируемых, ограниченных и неотрицательных функций задача Коши имеет по крайней мере два различных решения. Отдельным, но близким по духу вопросом является единственность полугруппы, порождаемой соответствующим эллиптическим оператором. Исследованию единственности в классах марковских, феллеровских полугрупп или полугрупп на пространстве $L^p$ по фиксированной мере посвящены известные работы У. Феллера [29], [30], К. Иосиды [70], Э. Хилле [37], А. Д. Вентцеля [66], [67], а информацию о недавних результатах можно найти в [11; гл. 5], [1], [4], [24], [25], [45], [49], [64], [69]. Единственность полугруппы также требует ограничений на рост коэффициентов и дополнительных краевых условий, фактически являющихся необходимыми ограничениями на область определения генератора полугруппы. В настоящей работе мы не предполагаем, что вероятностное решение является результатом применения какой-либо полугруппы к начальной вероятностной мере.

Единственность вероятностных решений уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова также исследовалась во многих работах, см. [7], [8], [10], [15]–[18], [42], [47], [59], [60], а также [11; гл. 9], в которых, в частности, получены следующие результаты. Пусть $b$ – локально ограниченное борелевское векторное поле на $\mathbb{R}^d\times[0, T]$ . Тогда для единственности вероятностного решения задачи Коши

$\begin{equation*} \partial_t\mu_t=\Delta\mu_t-\operatorname{div}(b\mu_t), \qquad \mu_0=\nu \end{equation*} \notag$

достаточно выполнения неравенства

$\begin{equation*} \langle b(x, t), x\rangle\leqslant C+C|x|^2. \end{equation*} \notag$

Достаточно также, чтобы хотя бы для одного вероятностного решения

$\mu=\{\mu_t\}$ выполнялось какое-либо из следующих условий:

(i) $(1+|x|)^{-1}|b|\in L^1(\mu_t\,dt, \mathbb{R}^d\times[0, T])$ ;

(ii) $|b-\beta_{\mu}|\in L^1(\mu_t\,dt, \mathbb{R}^d\times[0, T])$ , где $\beta_{\mu}$ – логарифмическая производная меры $\mu$ , т.е. $\beta_{\mu}(x,t)=\nabla_x \varrho(x,t)/\varrho(x,t)$ , где $\mu$ задана плотностью $\varrho(x,t)$ .

Кроме того, во всех размерностях $d\geqslant 3$ были построены примеры (см. [11; пример 9.2.1]), когда задача Коши имеет бесконечно много линейно независимых вероятностных решений. Вопрос о единственности в размерностях $d=1$ и $d=2$ оставался открытым. В настоящей работе мы даем полное решение проблемы единственности при $d\leqslant 2$ в случае, когда коэффициент сноса $b$ зависит только от $x$ . Кроме того, получены вспомогательные для доказательства основных теорем 1.1 и 1.2, но представляющие самостоятельный интерес результаты:

1) показано, что специальная полугруппа $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant0}$ , построенная в [11; гл. 5] по всякому вероятностному решению $\mu$ стационарного уравнения, задает минимальное неотрицательное решение задачи Коши для первого уравнения Колмогорова относительно функций (т.е. обычного параболического уравнения), а соответствующая ей полугруппа $\{K_t^{*}\}_{t\geqslant 0}$ на пространстве мер задает минимальное неотрицательное решение уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова;

2) показано, что если для какой-то вероятностной меры $\nu$ на $\mathbb{R}^d$ семейство мер $K_t^{*}\nu$ , порожденное указанной полугруппой, является вероятностным решением уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, то для всякого начального условия вероятностное решение этого уравнения единственно.

Поскольку далее мы обсуждаем не только одномерный случай, но и многомерный, то дадим определение решения в общем случае и перечислим результаты о регулярности решений, которые будут использоваться в настоящей работе. Через $L^p(U)$ будем обозначать обычное пространство $L^p$ функций на области $U$ в $\mathbb{R}^d$ с мерой Лебега (которая не указывается в этом обозначении), а $L^p(\mu)$ будет обозначать пространство $L^p$ относительно меры $\mu$ . Через $W^{p,1}(U)$ обозначим пространство Соболева функций $f$ из $L^p(U)$ , для которых обобщенные частные производные $\partial_{x_i}f$ также лежат в $L^p(U)$ . Норма в $W^{p,1}(U)$ задается формулой

$\begin{equation*} \|f\|_{W^{p,1}(U)}=\|f\|_{L^p(U)}+\sum_{i\leqslant d} \| \partial_{x_i} f\|_{L^{p}(U)}. \end{equation*} \notag$

Для сокращения записи второе слагаемое будем обозначать через

$\|\partial_x f\|_{L^p(U)}$ . Аналогично вводится пространство Соболева

$W^{p,2}(U)$ функций из

$L^p(U)$ с обобщенными производными первого и второго порядка из

$L^p(U)$ с его естественной нормой

$\|f\|_{W^{p,2}(U)}$ .

Пусть $a^{ij}$ , $b^i$ – борелевские функции на $\mathbb{R}^d$ . Напомним, что здесь и далее коэффициенты уравнения зависят только от $x$ и не зависят от $t$ . Предположим, что матрица $A(x)=(a^{ij}(x))$ симметрична и неотрицательно определена.

Пусть $T>0$ . Набор вероятностных борелевских мер $\{\mu_t\}_{t\in[0, T]}$ на $\mathbb{R}^d$ (т.е. $\mu_t\geqslant 0$ и $\mu_t(\mathbb{R}^d)=1$ ) называется вероятностным решением задачи Коши

$\begin{equation} \partial_t\mu_t=\partial_{x_i}\partial_{x_j}(a^{ij}\mu_t)-\partial_{x_i}(b^i\mu), \qquad \mu_0=\nu, \end{equation} \tag{1.5}$

где

$\nu$ – заданная вероятностная борелевская мера на

$\mathbb{R}^d$ и в записи уравнения опускается суммирование по повторяющимся индексам, если для всякого борелевского множества

$E$ функция

$t\mapsto\mu_t(E)$ измерима по Борелю (что равносильно борелевости по

$t$ интегралов по

$\mu_t$ от гладких функций с компактными носителями), функции

$a^{ij}$ и

$b^i$ интегрируемы на компактах по мере

$\mu_t\, dt$ на

$\mathbb{R}^d\times (0,T)$ и для всякой функции

$\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ при почти всех

$t\in[0, T]$ верно равенство

$\begin{equation*} \int \varphi \, d\mu_t-\int \varphi \, d\nu= \int_0^t\int (a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi+b^i\partial_{x_i}\varphi)\, d\mu_{s}\, ds. \end{equation*} \notag$

Решением можно называть также меру

$\mu:=\mu_t\, dt$ , заданную формулой

$\begin{equation*} \mu=\int_0^T \mu_t\, dt. \end{equation*} \notag$

Если меры

$\mu_t$ заданы плотностями

$\varrho(\cdot, t)$ (как это имеет место при наших предположениях), то такая мера

$\mu$ задается плотностью

$\varrho(x,t)$ от двух переменных. Далее мы пишем

$\mu=\{\mu_t\}$ или

$\mu=\mu_t\, dt$ .

Следует отметить, что борелевскую измеримость функций $t\mapsto \mu_t(E)$ можно ослабить до лебеговской измеримости, так как можно брать эквивалентные версии, более того, можно выбрать борелевскую версию, для которой равенство выше (или (1.2) в одномерном случае) верно для всех $t$ , если разрешить, чтобы $\mu_t$ была вероятностной мерой лишь для почти всех $t$ .

Помимо вероятностных решений, точно также вводятся решения ограниченной вариации $\mu=\mu_t\, dt$ , в том числе знакопеременные, от которых требуется ограниченность $|\mu_t|\, dt$ (такие решения называют также интегрируемыми). Решение называется неотрицательным, если меры $\mu_t$ неотрицательны. Однако такое решение не обязано быть вероятностным, даже если мера $\mu=\mu_t\, dt$ оказалось вероятностной.

Известно (см. [11; гл. 6]), что для неотрицательного решения $\mu$ локально ограниченная мера $(\det A)^{1/(d+1)}\mu$ всегда абсолютно непрерывна, а если матрица $A(x)$ невырождена при всех $x$ , то сама мера $\mu$ абсолютно непрерывна. Если же для всякого шара $U$ существует число $C(U)>0$ такое, что $A(x)\geqslant C(U)I$ для всех $x\in U$ , причем $a^{ij}\in W^{p,1}(U)$ , $b^i\in L^p(U)$ с некоторым $p>d+2$ , то мера $\mu=\mu_t\,dt$ имеет локально гёльдеровскую положительную плотность $\varrho$ относительно меры Лебега на $\mathbb{R}^d\times[0, T]$ , для которой функции $x\mapsto \varrho(x, t)$ входят в локальный класс Соболева $W^{p,1}_{\mathrm{loc}}$ . О свойствах плотностей решений см. также [9], [12]–[14], [19].

Если $d=1$ , $A=I$ и $b$ – локально ограниченная функция, то при $t>0$ функции $x\mapsto \varrho(x,t)$ входят во все локальные классы Соболева $W_{\mathrm{loc}}^{p,1}$ с $p\geqslant 1$ , в частности имеют локально абсолютно непрерывные версии, причем при всех $\tau>0, R>0$ конечны интегралы

$\begin{equation*} \int_\tau^T \int_{-R}^{R} |\partial_x\varrho(x,t)|^p\, dx\, dt. \end{equation*} \notag$

Следует отметить, что для гёльдеровой версии плотности $\varrho$ известно лишь, что вероятностными будут почти все плотности $\varrho(\cdot, t)$ , но неизвестно, обязаны ли быть вероятностными все эти плотности непрерывной версии.

При столь широких предположениях о коэффициентах, которые должны быть лишь локально интегрируемы относительно решения $\mu$ , но могут быть локально неограниченными, нетрудно построить примеры неединственности вероятностных решений даже в размерности $1$ как для стационарного уравнения с единичным сносом, т.е. уравнения $\varrho''-(b \varrho)'=0$ относительно вероятностных плотностей, так и для параболического уравнения (см. пример 4.8). Поэтому мы рассматриваем локально ограниченные коэффициенты сноса.

Наконец, отметим, что в случае $A=I$ и бесконечно дифференцируемого коэффициента сноса $b$ плотность решения $\varrho$ имеет на $\mathbb{R}^d\times(0, T)$ бесконечно дифференцируемую версию.

Настоящая работа состоит из четырех параграфов. В § 2 обсуждаются стационарные уравнения и свойства специальных полугрупп, порождаемых соответствующими эллиптическими операторами. Параграф 3 посвящен доказательствам основных теорем 1.1 и 1.2. В § 4 мы строим примеры неединственности.

§ 2. Стационарные уравнения и полугруппы

В этом параграфе получены новые условия единственности вероятностного решения задачи Коши в случае, когда имеется вероятностное решение стационарного уравнения. Разумеется, стационарное решение есть не всегда, например, если $b=0$ , то нет вероятностных мер, удовлетворяющих гармоническому уравнению $\Delta\mu=0$ . Таким образом, существование вероятностного стационарного решения можно рассматривать как дополнительное ограничение на коэффициенты уравнения.

Мы рассмотрим эллиптический оператор $L_{A,b}$ вида

$\begin{equation*} L_{A,b}\varphi=a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi+b^i\partial_{x_i}\varphi \end{equation*} \notag$

с борелевскими коэффициентами

$a^{ij}$ и

$b^i$ на

$\mathbb{R}^d$ , удовлетворяющими следующим условиям:

(i) функции $a^{ij}$ непрерывны и входят в класс Соболева $W^{p,1}(U)$ на всяком шаре $U$ в $\mathbb{R}^d$ с некоторым $p>d+2$ , а функции $b^i$ входят в $L^p(U)$ ;

(ii) матрица $A(x)=(a^{ij}(x))_{i,j\leqslant d}$ симметрична и положительно определена, причем для всякого шара $U$ имеется число $\lambda(U)>0$ с $A(x)\geqslant \lambda(U)\cdot \mathrm{I}$ .

Отметим, что для части используемых ниже утверждений достаточно условия $p>d$ , но для нужной нам регулярности рассматриваемой ниже полугруппы требуется оценка $p>d+2$ .

Предположим, что существует вероятностная мера $\mu$ на $\mathbb{R}^d$ , удовлетворяющая стационарному уравнению

$\begin{equation*} L_{A,b}^{*}\mu=0 \end{equation*} \notag$

в смысле интегрального тождества

$\begin{equation*} \int L_{A,b}\varphi(x)\mu(dx)=0 \quad \forall\, \varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d), \end{equation*} \notag$

где предполагается также, что функции

$b^i$ интегрируемы относительно

$\mu$ на шарах (это выполнено автоматически для локально ограниченных коэффициентов, но здесь локальной ограниченности не предполагается), причем здесь и далее при интегрировании по всему пространству

$\mathbb{R}^d$ пределы интегрирования не указываются. Известно (см. [11; гл. 1]), что в этом случае мера

$\mu$ задается положительной локально гёльдеровской плотностью

$\varrho$ относительно меры Лебега, причем

$\varrho$ входит в класс Соболева

$W^{p,1}$ на шарах. Значит, векторное поле

$\nabla \varrho/\varrho$ (логарифмический градиент плотности) входит в

$L^p$ по мере Лебега на шарах.

С помощью логарифмического градиента вводится дуальный снос

$\begin{equation*} \widehat{b}=2\beta_{A,\mu}-b, \qquad \beta_{A,\mu}=A\nabla\varrho/\varrho+\operatorname{trace}\nabla A =(a^{ij}\partial_{x_j}\varrho/\varrho+\partial_{x_j}a^{ij})_{i=1}^d, \end{equation*} \notag$

который в силу сказанного выше также входит в

$L^p(U)$ на всяком шаре

$U$ . Мера

$\mu$ удовлетворяет также уравнению

$\begin{equation*} L_{A,\widehat{b}}^*\mu=0 \end{equation*} \notag$

с дуальным сносом.

Согласно [11; теорема 5.2.2] операторы $L_{A,b}$ и $L_{A,\widehat{b}}$ на области определения $C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ продолжаются до генераторов $L_{A,b}^\mu$ и $L_{A,\widehat{b}}^\mu$ сильно непрерывных субмарковских полугрупп $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ и $\{\widehat{T}_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ на пространстве $L^1(\mu)$ , относительно которых мера $\mu$ субинвариантна. Напомним, что субмарковость означает, что $0\leqslant T_t^\mu f\leqslant 1$ при $0\leqslant f\leqslant 1$ . Если же еще $T_t^\mu 1=1$ , то полугруппа называется марковской. Субинвариантность меры $\mu$ означает неравенство

$\begin{equation*} \int T_t^\mu f\, d\mu\leqslant \int f\, d\mu \end{equation*} \notag$

для всех неотрицательных

$f$ . Указанные полугруппы сопряжены друг другу:

$\begin{equation} \int \xi T_t^\mu \eta\, d\mu= \int \eta \widehat{T}_t^\mu \xi\, d\mu, \qquad \int \xi L_{A,b} \eta\, d\mu= \int \eta L_{A,\widehat{b}} \xi\, d\mu \end{equation} \tag{2.1}$

для всех

$\eta, \xi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ .

Резольвента $R_\lambda=(\lambda -L_{A,b}^\mu)^{-1}$ полугруппы $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ при $\lambda >0$ характеризуется так: $(\lambda -L_{A,b}^\mu)^{-1}f$ при $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ есть предел решений $u_k$ краевых задач $\lambda u_k-L_{A,b}u_k=f$ , $u_k|_{\partial B_k}=0$ на шарах $B_k$ радиуса $k\in\mathbb{N}$ . Аналогично описывается резольвента $\{\widehat{T}_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ .

Однако эти полугруппы, называемые каноническими, не всегда оказываются единственными сильно непрерывными полугруппами на $L^1(\mu)$ , генераторы которых продолжают $L_{A,b}$ и $L_{A,\widehat{b}}$ . Кроме того, мера $\mu$ не всегда инвариантна для этих полугрупп, т.е. тождество

$\begin{equation*} \int T_t^\mu f\, d\mu=\int f\, d\mu \end{equation*} \notag$

для всех

$f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ (или для всех ограниченных измеримых

$f$ ) выполнено не всегда. Достаточные условия для инвариантности

$\mu$ приведены в [11; гл. 5]. Отметим, что инвариантность

$\mu$ для одной из двух полугрупп равносильна инвариантности относительно другой (см. [11; замечание 5.2.4]), а также равносильна равенству

$T_t^\mu 1=1$ . Например, для

$A=I$ достаточным условием инвариантности является оценка

$|b(x)|\leqslant C+C|x|$ . Достаточна также интегрируемость

$|b(x)|/(1+|x|)$ относительно

$\mu$ . Еще одно достаточное условие инвариантности в терминах

$\mu$ таково:

$|b-\nabla \varrho/\varrho|\in L^1(\mu)$ . В случае непостоянного

$A$ инвариантность

$\mu$ для

$\{T_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ обеспечивается включениями

$a^{ij}, |b-\beta_{A,\mu}|\in L^1(\mu)$ , что вытекает из доказательства примера 5.5.3 и теоремы 5.3.1 в [11]. В частности, если

$b=\beta_{A,\mu}$ и

$a^{ij}\in L^1(\mu)$ , то имеет место инвариантность.

Всюду ниже предполагается, что функции $a^{ij}$ локально липшицевы (что сильнее условия из (i) выше).

Лемма 2.1. Для всякой функции $f\in L^1(\mu)$ семейство мер $\nu_t=T_t^\mu f\cdot \mu$ дает решение задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова с дуальным сносом $\widehat{b}$ и начальным условием $f\cdot\mu$ .

Кроме того, функция $u(x,t)=T_t^\mu f(x)$ является решением задачи Коши

$\begin{equation} \partial_t u=L_{A,b}u, \qquad u(x,0)=f(x) \end{equation} \tag{2.2}$

в следующем смысле: при каждом

$t>0$ функция

$T_t^\mu f$ входит в класс Соболева

$W^{p,2}(U)$ на всяком шаре

$U$ , функция

$\| T_t^\mu f\|_{W^{p,2}(U)}^p$ интегрируема по всякому отрезку

$[\tau, T_0]$ из

$(0,T)$ , в

$U\times (\tau,T_0)$ существует соболевская производная

$\partial_t u\in L^p(U\times (\tau,T_0))$ , равенство (2.2) для соболевских производных верно почти всюду, а начальное условие выполняется также в смысле сходимости в

$L^1(\mu)$ .

Если функция $f$ локально ограничена, то $u(x,t)$ является и слабым решением в смысле работы [2], т.е. при $t>0$ функции $u(\cdot, t)$ входят в класс Соболева $W^{2,1}(U)$ на всяком шаре $U$ , функция $\|u(\cdot, t)\|_{L^2(U)}$ ограничена на отрезках $[0,T_0]\subset [0,T)$ , функция $\|\partial_x u(\cdot, t)\|_{L^2(U)}^2$ интегрируема на $[0,T_0]$ , причем для всякой функции $\psi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ верно равенство

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int u(x,t)\psi(x)\, dx -\int f(x)\psi(x)\, dx \\ \notag &\qquad=-\int_0^t\int [a^{ij}(x)\partial_{x_j}\psi(x)\partial_{x_i}u(x,s) -b^i\partial_{x_i}u(x,s)\psi(x) \\ &\qquad\qquad +\partial_{x_j}a^{ij}(x)\partial_{x_i}u(x,s)\psi(x)]\, dx\, ds. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.3}$

Доказательство. Пусть

$\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ . Тогда

$\varphi$ входит в область определения генератора дуальной полугруппы

$\{\widehat{T}_t^\mu\}_{t\geqslant0}$ , причем его действие на

$\varphi$ совпадает с

$L_{A,\widehat{b}}\varphi$ . Кроме того,

$\begin{equation*} \widehat{T}_t^\mu \varphi (x)-\varphi(x)=\int_0^t L_{A,\widehat{b}}\widehat{T}_s^\mu \varphi (x)\, ds, \end{equation*} \notag$

откуда следует равенство

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int \widehat{T}_t^\mu \varphi (x)f(x)\mu(dx) -\int \varphi(x)f(x)\mu(dx) &=\int \int_0^t f(x) L_{A,\widehat{b}}\widehat{T}_s^\mu \varphi (x)\, ds\, \mu(dx) \\ &=\int \int_0^t f(x) \widehat{T}_s^\mu L_{A,\widehat{b}} \varphi (x)\, ds\, \mu(dx). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Следовательно, имеем

$\begin{equation*} \int \varphi (x) T_t^\mu f(x)\mu(dx)-\int \varphi(x)f(x)\mu(dx) =\int_0^t \int T_s^\mu f(x) L_{A,\widehat{b}} \varphi (x)\mu(dx)\, ds, \end{equation*} \notag$

что доказывает первое утверждение.

Пусть $\varrho$ – локально гёльдеровская и соболевская по $x$ плотность меры $\mu$ . Из сказанного о свойствах плотностей решений следует, что мера $T_t^\mu f\cdot\mu$ имеет локально гёльдерову плотность $g$ в $(0,T)\times \mathbb{R}^d$ , для которой при почти всяком $t$ функция $x\mapsto u(x,t)\varrho(x)$ входит в класс Соболева $W^{p,1}(U)$ на всяком шаре $U$ , причем функция $t\mapsto \|\partial_x g(x,t)\|_{L^p(U)}^p$ интегрируема на отрезках в $(0,T)$ . Значит, такими же свойствами обладает и функция $u$ . Из полученного выше равенства при $0<\tau<t<T$ имеем

$\begin{equation*} \int \varphi (x) (u(x,t)-u(x,\tau)) \varrho(x)\, dx =\int_{\tau}^t \int u(x,s) L_{A,\widehat{b}} \varphi (x)\varrho(x)\, dx\, ds . \end{equation*} \notag$

Интегрирование по частям приводит правую часть к виду

$\begin{equation*} - \int_{\tau}^t \int [\partial_{x_i}(a^{ij}(x)\varrho(x)u(x,s))-\widehat{b}^j(x)\varrho(x)u(x,s)] \partial_{x_j}\varphi(x)\, dx\, ds. \end{equation*} \notag$

Заметим теперь, что из равенства (2.1) интегрированием по частям мы получаем равенство

$\begin{equation*} \int [-\partial_{x_i}(a^{ij}\xi\varrho)\partial_{x_j}\eta +b^i \partial_{x_i}\eta \xi\varrho ]\, dx= \int [-\partial_{x_i}(a^{ij}\eta\varrho)\partial_{x_j}\xi +\widehat{b}^i \partial_{x_i}\xi \eta\varrho ]\, dx \end{equation*} \notag$

для всех

$\eta,\xi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ . Предельным переходом оно остается в силе и для функций

$\eta$ ,

$\xi$ из класса Соболева

$W^{p,1}(\mathbb{R}^d)$ , одна из которых имеет компактный носитель, в том числе для

$\eta(x)=u(x,s)$ при

$s>0$ и

$\xi=\varphi$ . Значит,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int \varphi (x) (u(x,t)-u(x,\tau)) \varrho(x)\, dx \\ &\qquad=- \int_{\tau}^t \int [\partial_{x_i}(a^{ij}(x)\varrho(x)\varphi(x) )-b^j(x)\varrho(x)\varphi(x)] \partial_{x_j}u(x,s)\, dx\, ds. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Предельным переходом это равенство переносится на функции

$\varphi\in W^{p,1}(\mathbb{R}^d)$ с компактным носителем, в частности можно взять

$\varphi=\psi/\varrho$ , где

$\psi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ . Это приводит к тождеству (2.3) для

$[\tau, t]$ вместо

$[0,t]$ . Таким образом, во всякой внутренней полосе

$u$ является слабым решением прямого параболического уравнения, что в силу известных результатов (см. [46]) влечет второе утверждение леммы.

Последнее утверждение вытекает из [11; теорема 7.3.11], где предполагается глобальная липшицевость $A$ и равномерная ограниченность $A$ вместе с $A^{-1}$ , но из доказательства видно, что для нужного нам утверждения о сходимости в $L^2$ на шарах достаточно локальной липшицевости и поточечной обратимости. Гарантируемая цитированной теоремой ограниченность $u(x,t)$ на компактах в $\mathbb{R}^d\times [0,T]$ влечет и интегрируемость $\|\partial_x u(\cdot, t)\|_{L^2(U)}^2$ на $[0,T_0]$ . В самом деле, если умножить (2.2) на $\varphi(x)^2u(x,t)$ , где $\varphi\in C_0^\infty(U)$ , и проинтегрировать по $[\tau,T_0]\times U$ , а затем в интеграле от $\varphi^2 u a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}u$ проинтегрировать по частям, то мы получим, что интеграл от $\varphi^2 a^{ij} \partial_{x_i}u\partial_{x_j}u$ оценивается суммой интегралов от $2\varphi \partial_{x_i} \varphi a^{ij} u\partial_{x_j}u$ , $\varphi^2 \partial_{x_i} a^{ij} u\partial_{x_j}u$ , $\varphi^2 u b^i \partial_{x_i}u$ , $\varphi^2 u\partial_t u$ . С учетом ограниченности $u$ на $U\times [0,T_0]$ и неравенства $vw\leqslant \varepsilon v^2+\varepsilon^{-1}w^2$ с подходящим $\varepsilon$ это позволяет оценить интеграл $I(\tau)$ от $\varphi^2 |\nabla_x u|^2$ по $U\times [\tau ,T_0]$ через $C+I(\tau)^{1/2}$ , где $C$ не зависит от $\tau$ , что дает равномерную ограниченность $I(\tau)$ вплоть до нуля. Следовательно, равенство (2.3) распространяется на весь отрезок $[0,t]$ .

Лемма 2.1 доказана.

Попутно заметим, что пока недостаточно изучено граничное поведение таких решений (при $t\to 0$ ). В эллиптическом случае граничные значения решений дивергентных уравнений на областях исследованы в работах [34]–[36] при значительно более общих предположениях о матрице диффузии. Об общих параболических краевых задачах см. [63].

Согласно [11; теорема 5.4.5] каноническая полугруппа $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant0}$ задается интегральными ядрами в виде

$\begin{equation*} T_t^\mu f(x)=\int f(y)K_t(x,dy), \end{equation*} \notag$

где

$K_t(x,dy)$ – семейство субвероятностных мер на

$\mathbb{R}^d$ вида

$\begin{equation*} K_t(x,dy)=p_{A,b}(t,x,y)\,dy \end{equation*} \notag$

с локально гёльдеровой на

$(0,T)\times \mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d$ плотностью

$p_{A,b}$ . Если мера

$\mu$ инвариантна относительно операторов

$T_t^\mu$ , то меры

$K_t(x,dy)$ оказываются вероятностными.

Для ограниченной меры $\nu$ на $\mathbb{R}^d$ положим

$\begin{equation*} K_t^*\nu (dy):=\int K_t(x,dy)\nu(dx). \end{equation*} \notag$

Тогда семейство

$\{K_t^*\nu\}_{t\geqslant 0}$ является решением задачи Коши

$\begin{equation} \partial_t\mu=\partial_{x_i}\partial_{x_j}(a^{ij}\mu)-\partial_{x_i}(b^{i}\mu), \qquad \mu_0=\nu \end{equation} \tag{2.4}$

с начальным условием

$\nu$ . Если мера

$\mu$ инвариантна относительно операторов

$T_t^\mu$ , то для всякой вероятностной меры

$\nu$ меры

$K_t^*\nu$ тоже оказываются вероятностными.

Для ограниченных борелевских функций $\varphi$ справедливо равенство

$\begin{equation*} \int \varphi(x) K_t^*\nu(dx)=\int T_t^\mu\varphi(x)\nu(dx). \end{equation*} \notag$

Если мера

$\nu$ имеет плотность

$f$ относительно

$\mu$ , то

$K_t^*\nu=\widehat{T}_t^\mu f\cdot\mu$ . Из полугруппового свойства

$T_t^\mu$ вытекает полугрупповое свойство для

$K_t^*$ :

$\begin{equation*} K_t^*(K_s^*\nu)=K_{t+s}^*\nu, \qquad t,s\geqslant 0. \end{equation*} \notag$

Если семейство мер $\sigma_t$ на $\mathbb{R}^d$ удовлетворяет уравнению (2.4), то меры $\sigma_t$ имеют плотности $v(\cdot,t)$ относительно меры $\mu$ , причем функция $v(x,t)$ двух аргументов обладает локально гёльдеровой плотностью на $(0,T)\times \mathbb{R}^d$ . Как и в лемме выше, непосредственно проверяется, что $v$ удовлетворяет прямому уравнению

$\begin{equation*} \partial_t v=a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}v+\widehat{b}^i\partial_{x_i}v \end{equation*} \notag$

с дуальным сносом. Если решение

$\{\sigma_t\}$ имеет начальное условие

$\nu$ , где

$\nu$ – ограниченная мера, то начальным условием для

$v$ служит локально ограниченная мера

$\varrho^{-1}\nu$ , причем это начальное условие понимается в смысле сходимости обобщенных функций, т.е. для всякой функции

$\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ интегралы от

$\varphi(x)v(x, t)$ при

$t\to 0$ сходятся к интегралу от

$\varphi$ по мере

$\nu/\varrho$ .

Для следующей леммы нам понадобится тот факт, что полугруппу с аналогичными свойствами можно построить для каждого шара $U$ вместо всего пространства, т.е. в $L^1(\mu|_U)$ имеется сжимающая $C_0$ -полугруппа $\{T_t^{U,\mu}\}_{t\geqslant0}$ субмарковских операторов, для которых мера $\mu$ на $U$ субинвариантна, а генератор дает расширение оператора $(L_{A,b}, C_0^\infty(U))$ . Для ограниченной функции $f$ (или для $f\in L^2(U)$ ) функция $(x,t)\mapsto T_t^{U,\mu}f(x)$ на $U\times [0,T]$ задается как решение начально-краевой задачи

$\begin{equation*} \partial_t u =L_{A,b}u, \qquad u(x,0)=f, \quad u|_{\partial U\times [0,T]}=0, \end{equation*} \notag$

которое существует, как показано в [2; с. 634, теорема 1], причем единственно в классе

$L^2([0,T], W^{2,1}_0(U))$ таких функций

$v$ , что

$v(t,\cdot)$ входит в класс Соболева

$W^{2,1}_0(U)$ функций с нулевым граничным значением на

$\partial U$ и функция

$\|v(t,\cdot)\|_{W^{2,1}(U)}^2$ интегрируема на

$[0,T]$ . Полугрупповое свойство вытекает из единственности решения, субмарковость следует из установленных в [2] свойств решений. Если

$f$ непрерывна и имеет компактный носитель в

$U$ , то решение непрерывно на замыкании

$U\times [0,T]$ . Наши условия на матрицу

$A$ сильнее предполагаемых в [2], поэтому в силу результатов работы [46] полученное решение обладает тем свойством, что для

$f\in L^p(U)$ функции

$T_t^{U,\mu}f=u(\cdot, t)$ при

$t>0$ входят в

$W^{p,1}_0(U)\cap W^{p,2}(U)$ . Тогда в силу [11; лемма 5.2.1] интеграл от

$L_{A,b}T_t^{U,\mu}f$ по

$U$ неположителен, если

$f\geqslant 0$ . Поэтому для неотрицательных функций

$f\in C_0^\infty(U)$ имеем

$\begin{equation*} \int_U T_t^{U,\mu}f\, d\mu -\int_U f\, d\mu=\int_0^t\int_U L_{A,b}T_sf\, d\mu\, ds\leqslant 0, \end{equation*} \notag$

что влечет такую же оценку для всех неотрицательных

$f\in L^1(\mu|_U)$ . Из этого вытекает, что операторы

$T_t^{U,\mu}$ продолжаются до сжатий на всех

$L^p(\mu|_U)$ ,

$p\geqslant 1$ . Отметим, что роль меры

$\mu$ именно в том, что операторы

$T_t^{U,\mu}$ , действие которых на ограниченных функциях никак не связано с мерой, в силу уравнения

$L_{A,b}^{*}\mu=0$ оказываются сжатиями пространств

$L^p(\mu|_U)$ , но не пространств

$L^p(U)$ с эквивалентными нормами. Резольвента

$w=(L_{A,b}-\lambda)^{-1}f$ для

$f\in C_0^\infty(U)$ удовлетворяет уравнению

$L_{A,b}w-\lambda w=f$ с нулевым граничным условием, что вытекает из равенств

$\begin{equation*} (L_{A,b}-\lambda)^{-1}f=\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}T_t^{U,\mu}f\, dt, \qquad L_{A,b} T_t^{U,\mu}f=\frac{d}{dt}T_t^{U,\mu}f. \end{equation*} \notag$

Можно проверить также, что описанная полугруппа

$\{T_t^{U,\mu}\}_{t\geqslant0}$ совпадает с канонической полугруппой из [11; теорема 5.2.2], построенной для области аналогично случаю всего пространства. Резольвента

$R_\lambda^U=(\lambda -L_{A,b}^{U,\mu})^{-1}$ полугруппы

$\{T_t^{U,\mu}\}_{t\geqslant 0}$ при

$\lambda >0$ характеризуется так:

$(\lambda -L_{A,b}^{U,\mu})^{-1}f$ при

$f\in C_0^\infty(U)$ есть решение

$u$ краевой задачи

$\begin{equation*} \lambda u-L_{A,b}u=f, \qquad u|_{\partial U}=0. \end{equation*} \notag$

Подчеркнем, что

$L_{A,b}^{U,\mu}$ не является замыканием

$(L_{A,b},C_0^\infty(U))$ . Например, даже для интервала

$U=(-1,1)$ с мерой Лебега и

$Lu=u''$ образ

$C_0^\infty(U)$ при операторе

$L-I$ не плотен в

$L^1(U)$ , ибо интеграл от

$e^x (u''(x)-u(x))$ равен нулю при всех

$u\in C_0^\infty(U)$ .

В случае гёльдеровых коэффициентов следующий факт был установлен в работе [49].

Лемма 2.2. Каноническая полугруппа является пределом указанных выше полугрупп $\{T_t^k\}_{t\geqslant 0}$ , соответствующих оператору $L_{A,b}$ на шарах $B_k$ радиуса $k\in\mathbb{N}$ с нулевыми граничными условиями, заданных на пространствах $L^1(\mu|_{B_k})$ . В частности, если $f\in L^1(\mu)$ , $T>0$ и $u_k=T_{t}^k f$ – решение начально-краевой задачи

$\begin{equation*} \partial_tu_k=L_{A,b}u_k, \qquad u_k|_{\partial B_k\times [0,T]}=0, \quad u_k(x,0)=f(x) \quad\textit{при }\ x\in B_k, \end{equation*} \notag$

то

$T_t^\mu f(x)=\lim_{k\to\infty}u_k(x,t)$ в

$L^1(\mu)$ при

$t\in [0,T]$ .

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай

$f\geqslant 0$ . Предположим дополнительно, что

$f\leqslant M$ . В силу принципа максимума

$u_{k+1}\geqslant u_k$ и

$u_k\leqslant M$ (см. [2; с. 634]), т.е. существует поточечный предел

$u(x,t)\,{=}\lim_{k\to\infty} u_k(x,t)\,{\leqslant}\, M$ . Следовательно, при

$\operatorname{Re}\lambda >0$ существует поточечный предел

$\begin{equation*} \int_0^\infty e^{-\lambda t} u(x,t)\, dt=\lim_{k\to\infty} \int_0^\infty e^{-\lambda t} u_k(x,t)\, dt. \end{equation*} \notag$

Из построения канонической полугруппы (см. [11; гл. 5] и пояснения выше) следует, что резольвента

$R_\lambda$ этой полугруппы удовлетворяет равенству

$\begin{equation*} R_\lambda f(x)=\lim_{k\to\infty} R_{\lambda}^{B_k}f(x) =\lim_{k\to\infty} \int_0^\infty e^{-\lambda t} T_{t}^k f(x)\, dt, \end{equation*} \notag$

где

$R_{\lambda}^{B_k}$ – резольвента полугруппы

$\{T_t^k\}_{t\geqslant 0}$ , т.е. функция

$R_{\lambda}^{B_k} f$ есть решение краевой задачи

$L_{A,b}u-\lambda u=f$ на

$B_k$ . При этом для

$R_\lambda f$ имеет место равенство

$\begin{equation*} R_\lambda f(x)=\int_0^\infty e^{-\lambda t} T_{t}^\mu f(x)\, dt. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} \int_0^\infty e^{-\lambda t} u(x,t)\, dt=\int_0^\infty e^{-\lambda t} T_{t}^\mu f(x)\, dt. \end{equation*} \notag$

В силу оценок

$0\leqslant u\leqslant M$ ,

$0\leqslant T_{t}^\mu f(x)\leqslant M$ получаем нужное равенство

$u(x,t)=T_{t}^\mu f(x)$ . Теперь откажемся от условия ограниченности

$f$ . По-прежнему существует предел

$u(x,t)$ возрастающей последовательности решений

$u_k(x,t)$ начально-краевых задач на шарах

$B_k$ . Для каждого фиксированного

$M\in\mathbb{N}$ по доказанному верно равенство

$\begin{equation*} T_t^\mu \min(f,M)=\lim_{k\to\infty} T_{t}^k \min (f,M). \end{equation*} \notag$

Правая часть не превосходит

$u=\lim_{k\to\infty} T_{t}^k f$ . Левая часть при

$M\to\infty$ возрастает к

$T_{t}^\mu f$ . Значит,

$T_{t}^\mu f\leqslant u$ . С другой стороны,

$u\leqslant T_{t}^\mu f$ , ибо при фиксированных

$M$ и

$k$ мы имеем

$T_{t}^k\min (f,M)\leqslant T_{t}^\mu \min(f,M)$ , откуда

$T_{t}^k f\leqslant T_{t}^\mu f$ при всех

$k$ . Лемма доказана.

Теорема 2.3. Каноническая полугруппа $\{T_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ задает минимальное решение задачи Коши (2.2) в следующем смысле: если $f$ – $\mu$ -интегрируемая неотрицательная непрерывная функция и $v(x,t)$ – какое-либо неотрицательное решение этой задачи Коши с начальным условием $f$ в указанном выше смысле из [2], то

$\begin{equation*} T_t^\mu f(x,t)\leqslant v(x,t). \end{equation*} \notag$

Аналогичное утверждение верно для дуального сноса

$\widehat{b}$ и полугруппы

$\{\widehat{T}_t^\mu\}_{t\geqslant 0}$ .

Доказательство. Пусть

$v$ – произвольное неотрицательное решение задачи Коши

$\begin{equation*} \partial_tv=L_{A,b}v, \qquad v(x, 0)=f(x). \end{equation*} \notag$

Тогда из принципа максимума (см. [2; с. 634]) следует, что

$0\leqslant u_k\leqslant v$ на

$B_k$ , где

$u_k(x,t)=T_t^k f(x)$ при

$x\in B_k$ – функции из предыдущей леммы. Значит,

$T_t^\mu f\leqslant v$ . Конечно, доказанное применимо и к дуальному сносу. Теорема доказана.

Ниже неравенство $\nu_1\leqslant \nu_2$ для мер означает неравенство $\nu_1(B)\leqslant \nu_2(B)$ для всех борелевских множеств. Для мер с плотностями это сводится к неравенству для плотностей почти всюду.

Следствие 2.4. Если $\{\sigma_t\}_{t\geqslant 0}$ – какое-либо вероятностное решение задачи Коши (2.4) с начальным условием $\nu$ , то $K_t^*\nu\leqslant \sigma_t$ .

Доказательство. Покажем, что для всякой неотрицательной гладкой функции

$\varphi$ с компактным носителем интеграл по мере

$K_t^*\nu$ не больше интеграла по мере

$\sigma_t$ . Зафиксируем

$t_1>0$ . Достаточно проверить, что для всякого

$\varepsilon>0$ первый интеграл не больше второго плюс

$\varepsilon$ . Найдется такое

$\tau_1 \in (0,t_1)$ , что

$\begin{equation*} \int T_{t_1}^\mu \varphi(y) K_\tau^*\nu(dy)\leqslant \int T_{t_1}^\mu\varphi(y) \sigma_\tau(dy)+\varepsilon \end{equation*} \notag$

при всех $\tau\in [0,\tau_1]$ . При $t>0$ меры $\sigma_t$ задаются непрерывными плотностями $v(x,t)$ относительно $\mu$ . Функция $v(x,t+\tau)$ – неотрицательное решение задачи Коши для уравнения $\partial_t v=L_{A,\widehat{b}}v$ с непрерывным начальным условием $v(x,\tau)$ при $t=0$ . По теореме 2.3 имеем

$\begin{equation*} K_t^*\sigma_\tau=\widehat{T}_t^\mu v(\cdot,\tau)\cdot\mu \leqslant v(x,t+\tau)\cdot\mu \quad \text{при }\ t\geqslant 0. \end{equation*} \notag$

Поэтому при

$t\geqslant 0$ и

$\tau\in (0,\tau_1]$ имеем

$\begin{equation*} \int \varphi(y)K_t^*\sigma_\tau(dy)\leqslant \int \varphi(x)v(x,t+\tau)\mu(dx). \end{equation*} \notag$

Кроме того,

$\begin{equation*} \int \varphi(y) K_{t_1}^*\sigma_\tau(dy) =\int T_{t_1}^\mu\varphi(y) \sigma_\tau(dy)\geqslant \int T_{t_1}^\mu \varphi(y) K_\tau^*\nu(dy)-\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Таким образом,

$\begin{equation*} \int T_{t_1}^\mu \varphi(y) K_\tau^*\nu(dy) \leqslant \int \varphi(x)v(x,t_1+\tau)\mu(dx)+\varepsilon, \end{equation*} \notag$

т.е.

$\begin{equation*} \int T_{t_1+\tau}^\mu \varphi(y) \nu(dy) \leqslant \int \varphi(x)\sigma_{t_1+\tau}(dx)+\varepsilon, \end{equation*} \notag$

что при

$\tau\to 0$ дает оценку

$\begin{equation*} \int T_{t_1}^\mu \varphi(y) \nu(dy) \leqslant \int \varphi(x)\sigma_{t_1}(dx)+\varepsilon, \end{equation*} \notag$

завершающую доказательство.

Следствие 2.5. Если для некоторой вероятностной меры $\nu$ все меры $K_t^*\nu$ (или $\widehat{K}^*_t\nu$ ) являются вероятностными, то задача Коши (2.4) имеет единственное вероятностное решение $K_t^*\sigma$ для всякого вероятностного начального условия $\sigma$ .

Доказательство. Если меры

$K_t^*\nu$ являются вероятностными, то интеграл от

$T_{t/2}^\mu 1$ по мере

$K_{t/2}^*\nu$ , равный интегралу от

$T_{t}^\mu 1$ по мере

$\nu$ , т.е. интегралу от

$1$ по мере

$K_t^*\nu$ , оказывается равным

$1$ . Поскольку мера

$K_t^*\nu$ обладает положительной плотностью и

$T_{t/2}^\mu 1\leqslant 1$ , то это возможно лишь при равенстве

$T_{t/2}^\mu 1= 1$ . Значит, мера

$\mu$ инвариантна для канонической полугруппы, а для всякой вероятностной меры

$\sigma$ семейство

$K_t^{*}\sigma$ дает вероятностное решение с начальным условием

$\sigma$ . Из его минимальности следует, что других вероятностных решений нет. Следствие доказано.

Теорема 2.6. Пусть $b=\beta_{A,\mu}$ , $a^{ij}\in L^1(\mu)$ . Тогда вероятностное решение уравнения (2.4) единственно.

Если $A=I$ и $b=\nabla V$ , где $V\in W^{p,1}_{\mathrm{loc}}$ , $p>d$ , $e^V\in L^1(\mathbb{R}^d)$ , то вероятностное решение уравнения (2.4) единственно. В частности, это верно при $d=1$ , если $e^{B}\in L^1(\mathbb{R})$ и $B'=b$ .

Доказательство. Первое утверждение следует из сказанного выше. Действительно, согласно результатам, приведенным в начале параграфа, при данных условиях мера

$\mu$ инвариантна для полугруппы

$\{T_t^{\mu}\}_{t\geqslant0}$ , значит,

$K_t^{*}\mu=\mu$ – вероятностная мера для каждого

$t$ . По следствию 2.5 рассматриваемая задача Коши имеет единственное вероятностное решение для всякого начального условия

$\nu$ . Для доказательства второго утверждения возьмем меру

$\mu=C\exp V\, dx$ , где

$C$ выбрано так, что мера оказывается вероятностной. Тогда

$\beta_{A,\mu}=\nabla V$ , т.е.

$b-\beta_{A,\mu}=0$ . Теорема доказана.

§ 3. Единственность в одномерном случае

В этом параграфе $d=1$ . Положим

$\begin{equation*} B(x)=\int_0^xb(s)\,ds. \end{equation*} \notag$

Следующее утверждение навеяно леммой 9.3 из работы У. Феллера [29].

Предложение 3.1. Пусть $b$ – локально ограниченная борелевская функция, $w$ – неотрицательная функция, абсолютно непрерывная на отрезках и удовлетворяющая неравенству

$\begin{equation*} w''-bw'\geqslant w \end{equation*} \notag$

в смысле обобщенных функций, причем существует конечный предел

$\begin{equation*} \lim_{|x|\to\infty}w(x)=q. \end{equation*} \notag$

Тогда верны следующие утверждения:

если $q=0$ , то $w=0$ ;

если $q>0$ , то $e^{B}\in L^1(\mathbb{R})$ .

Аналогичные утверждения верны и в более общем случае, когда

$\begin{equation*} aw''-bw'\geqslant w, \end{equation*} \notag$

где

$a>0$ – локально липшицева функция, но здесь в (ii) интегрируемой будет функция

$\displaystyle \exp\int_0^x a(s)^{-1}b(s)\, ds$ .

Доказательство. Поскольку неотрицательная обобщенная функция является локально конечной мерой, имеет место равенство

$\begin{equation*} w''=bw'+w+m, \end{equation*} \notag$

где

$m$ – неотрицательная борелевская мера, конечная на отрезках. Поэтому

$w'$ как обобщенная функция задается обычной функцией

$v$ , которая имеет ограниченную вариацию на отрезках.

Покажем, что функция $w$ не может иметь положительных локальных максимумов. Это хорошо известно для дважды дифференцируемых решений (см. [54; гл. 1]), но нам нужен общий случай. Пусть $z$ – точка локального максимума. Предположим сначала (как в классическом результате), что в точке $z$ существует и непрерывна производная функции $w$ . Тогда $w'(z)=0$ , поэтому из-за локальной ограниченности $b$ и предполагаемой непрерывности $w'$ в $z$ в некоторой окрестности точки $z$ имеем $w''\geqslant w(z)/2$ в смысле обобщенных функций. Значит, $w'(x)>0$ при всех $x>z$ из этой окрестности, откуда $w(x)>w(z)$ вопреки тому, что $w(z)$ – локальный максимум. Теперь откажемся от предположения существования и непрерывности производной в $z$ . Для имеющей локально ограниченную вариацию функции $v$ , задающей, как указано выше, обобщенную функцию $w'$ , существуют односторонние пределы $L=\lim_{x\to z-} v(x)$ и $R=\lim_{x\to z+} v(x)$ . Тогда $L\leqslant R$ , ибо в случае $L>R$ мера $w''$ должна иметь атом в точке $z$ с отрицательным коэффициентом, что невозможно в силу равенства $w''=bw'+w+m$ , где $m\geqslant 0$ и мера с плотностью $bw'+w$ не имеет атомов. Если $L=R$ , то мы получаем существование и непрерывность $w'$ в точке $z$ и приходим к рассмотренному случаю. Если $L<R$ , то либо $L<0$ , либо $R>0$ . Оба случая невозможны в точке локального максимума, ибо в первом в каждом интервале $(z-\varepsilon,z)$ найдутся точки со значениями больше $w(z)$ , а во втором такие точки найдутся в интервалах $(z,z+\varepsilon)$ .

Пусть $q=0$ , т.е. $w(x)\to 0$ при $|x|\to\infty$ . Если $w$ принимает положительное значение, то $w$ имеет положительный локальный максимум, что невозможно. Следовательно, $w=0$ .

Пусть теперь $q>0$ . Тогда $w\leqslant q$ , ибо иначе найдется точка положительного локального максимума. Существует такое $z>0$ , что $w(x)\geqslant q/2$ при $|x|\geqslant z$ . Такую точку можно взять так, что $w(z)<q$ , ибо $w$ не может быть постоянной. Тогда найдется и точка $z_1>z$ , для которой $w(x)>w(z)$ при $x\geqslant z_1$ . На $[z_1,+\infty)$ функция $w$ обязана быть возрастающей, ибо при появлении точек $y>x>z_1$ с $w(y)<w(x)$ возникает локальный максимум на отрезке $[z,y]$ в силу неравенств $w(z)<w(y)<w(x)$ . Итак, $w'\geqslant 0$ на $(z_1,+\infty)$ . Аналогично найдется такая точка $z_2<-z$ , что $w'(x)\leqslant 0$ при $x\leqslant z_2$ . Очевидным образом можно считать, что обе точки $z_1$ и $z_2$ выбраны так, что функция $w'$ ограниченной вариации непрерывна в них, причем $w'(z_1)>0$ , $w'(z_2)<0$ .

Поскольку $w'$ имеет локально ограниченную вариацию, на луче $(z_1,+\infty)$ имеет смысл и верно неравенство в смысле обобщенных функций

$\begin{equation*} (w'e^{-B})'\geqslant we^{-B}. \end{equation*} \notag$

Следовательно, при почти всех

$x>z_1$ имеем

$\begin{equation*} w'(x)\geqslant w'(z_1)e^{-B(z_1)}e^{B(x)}+e^{B(x)}\int_{z_1}^x w(y)e^{-B(y)}\,dy, \end{equation*} \notag$

откуда

$\begin{equation*} w'(z_1)e^{-B(z_1)}\int_{z_1}^{+\infty}e^{B(x)}\,dx\leqslant \int_{z_1}^{+\infty}w'(x)\,dx=q-w(z_1)<\infty. \end{equation*} \notag$

Следовательно, функция

$e^{B}$ интегрируема на

$[z_1, +\infty)$ . Аналогично получаем интегрируемость на

$(-\infty, z_2]$ . Таким образом, функция

$e^{B}$ интегрируема на

$\mathbb{R}$ .

Второе утверждение предложения доказывается аналогично, но в качестве $B$ берется

$\begin{equation*} B(x)=\int_0^x \frac{b(s)}{a(s)}\, ds +\ln a(x), \end{equation*} \notag$

а соответствующее неравенство принимает вид

$(aw'e^{-B})'\geqslant uw^{-B}$ , что приводит к неравенству

$w'(x)\geqslant u'(z_1)e^{-B(z_1)}e^{B(x)}a(x)^{-1}$ и дает интегрируемость функции

$e^{B(x)}a(x)^{-1}$ .

Предложение 3.1 доказано.

Перейдем к обоснованиям основных теорем.

Доказательство теоремы 1.1. Предположим, что существуют два вероятностных решения

$\varrho_1$ и

$\varrho_2$ . Тогда по теореме 2.6

$\begin{equation*} e^{B}\notin L^1(\mathbb{R}). \end{equation*} \notag$

Будем использовать непрерывные версии плотностей (которые, как было отмечено, существуют). Положим

$\begin{equation*} F(x, t)=\int_{-\infty}^x r(y,t)\,dy, \qquad r(y,t)=\varrho_1(y,t)-\varrho_2(y,t), \qquad F(x,0)=0 , \end{equation*} \notag$

т.е.

$F$ есть разность функций распределения двух решений. Отметим, что

$F(x,t)\to 0$ при

$t\to 0$ для всех точек

$x$ , за исключением точек не более чем счетного множества (возможных атомов общего начального условия). Кроме того,

$-1\leqslant F(x,t)\leqslant 1$ . Наконец, для почти всех

$t$ функция

$F(x,t)$ стремится к нулю при

$|x|\to +\infty$ . Так как используется непрерывная версия функции

$r$ , то функция

$F$ борелева на

$\mathbb{R}\times (0, T)$ . По аргументу

$x$ функция

$F(x,t)$ непрерывно дифференцируема.

Пусть $\zeta$ – гладкая вероятностная плотность с компактным носителем. Положим

$\begin{equation*} q(t)=\int [\zeta''(x)F(x, t)-b(x)\zeta(x)r(x, t)]\,dx, \qquad q(0)=0, \end{equation*} \notag$

где здесь и ниже при интегрировании по всей прямой пределы интегрирования не указываются. Функция

$q$ борелева и ограничена на

$[0, T]$ . Поэтому функция

$\begin{equation*} C(t)=\int_0^t q(s)\, ds \end{equation*} \notag$

липшицева на

$[0,T]$ ,

$C(0)=0$ . Покажем, что ограниченная на

$\mathbb{R}\times [0,T]$ борелевская функция

$\begin{equation*} H(x, t)=F(x, t)-\int \zeta(y)F(y, t)\,dy+C(t), \end{equation*} \notag$

непрерывно дифференцируемая по аргументу

$x$ , удовлетворяет уравнению

$\begin{equation*} \partial_t H=\partial_x^2H-b\partial_x H \end{equation*} \notag$

в смысле равенства

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int\psi(x)H(x, t)\,dx-\int\psi(x)H(x, s)\,dx \\ &\qquad =\int_s^t\int [\psi''(x)H(x, \tau)-\psi(x)b(x)\partial_x H(x, \tau)]\,dx\,d\tau \end{aligned} \end{equation} \tag{3.1}$

для всякой функции

$\psi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ и всех

$t, s\in (0, T)$ с

$s\leqslant t$ . Отметим, что

$\begin{equation*} \partial_x H(x, t)=r(x,t) \end{equation*} \notag$

в силу непрерывности рассматриваемой версии

$r$ .

По определению решения для всякой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ и всех $s, t\in(0, T)$ верно равенство

$\begin{equation*} \int\varphi(x)r(x, t)\,dx-\int\varphi(x)r(x, s)\,dx= \int_s^t\int[\varphi''+b\varphi'] r\,dx\,d\tau. \end{equation*} \notag$

Подставляя

$\partial_x F=r$ и интегрируя по частям, приходим к равенству

$\begin{equation*} \int\varphi'(x)F(x, t)\,dx-\int\varphi'(x)F(x, s)\,dx= \int_s^t\int[\varphi'''F-b\varphi' \partial_xF]\,dx\,d\tau. \end{equation*} \notag$

Пусть

$\psi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ . Тогда существует функция

$\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ такая, что

$\begin{equation*} \varphi'(x)=\psi(x)-\zeta(x)\int\psi(y)\,dy. \end{equation*} \notag$

Подставляя в указанное выше равенство, получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int\psi(x)\Bigl(F(x, t)-\int\zeta(y)F(y, t)\,dy\Bigr)\,dx -\int\psi(x)\Bigl(F(x, s)-\int\zeta(y)F(y, s)\,dy\Bigr)\,dx \\ &\qquad =\int_s^t\int\Bigl[\psi''(x)F(x,t)-b(x)\psi(x) \partial_xF(x,t) \\ &\qquad\qquad -\psi(x)\Bigl(\int (\zeta''(y)F(y, \tau)-b(y)\zeta(y)\partial_yF(y, \tau))\,dy\Bigr)\Bigr]\,dx\,d\tau \\ &\qquad =\int_s^t\int\Bigl[\psi''(x)F(x,t)-b(x)\psi(x) \partial_xF(x,t)- \psi(x) q(\tau)\Bigr]\, dx\, d\tau. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теперь для доказательства (3.1) достаточно заметить, что в интегралах c

$\psi''$ и

$\partial_xF$ можно заменить

$F(x,t)$ на

$H(x, t)$ , ибо разность

$H(x, t)-F(x,t)$ не зависит от

$x$ .

Из равенства (3.1) следует, что функция

$\begin{equation*} t\mapsto \int\psi(x)H(x, t)\,dx \end{equation*} \notag$

липшицева на

$(0, T)$ . Кроме того, в правой части (3.1) можно дважды проинтегрировать по частям в интеграле с

$\psi''$ , что даст интеграл от

$\psi(x)\partial_x r(x,t)$ . Из этого вытекает равенство

$\begin{equation} H(x, t)-H(x, s)= \int_s^t [\partial_x r(x, \tau)-b(x)r(x, \tau)]\,d\tau \end{equation} \tag{3.2}$

для почти всех

$x$ (при фиксированных

$s,t$ ), а также в смысле обобщенных функций. При этом левая часть непрерывно дифференцируема по

$x$ .

Рассмотрим ограниченную на $\mathbb{R}\times [0,T]$ борелевскую функцию

$\begin{equation*} W(x,t)=\frac{H(x,t)^2}2, \end{equation*} \notag$

также непрерывно дифференцируемую по аргументу

$x$ . При

$t>0$ эта функция удовлетворяет уравнению

$\begin{equation*} \partial_t W=\partial_x^2 W-b\partial_xW-|\partial_xH|^2, \end{equation*} \notag$

следовательно, неравенству

$\begin{equation*} \partial_x^2W-b\partial_xW\geqslant \partial_tW. \end{equation*} \notag$

При

$t>0$ уравнение и неравенство верны почти всюду по

$x$ , а также и в смысле обобщенных функций, так как функция

$x\mapsto \partial_x W(x,t)$ локально абсолютно непрерывна в силу того, что такова функция

$x\mapsto r(x,t)$ (плотности решений являются локально соболевскими по

$x$ при

$t>0$ ). Кроме того,

$\begin{equation*} W(x,0)=0, \qquad W\geqslant 0, \qquad \eta(t):= \lim_{x\to +\infty}W(x,t)=\lim_{x\to -\infty} W(x,t)\geqslant 0. \end{equation*} \notag$

Первое равенство выполнено для всех

$x$ , кроме, возможно, счетного множества, так как

$F(x,t)\to 0$ при

$t\to 0$ для всех

$x$ из дополнения не более чем счетного множества. Равенство двух пределов

$W(x,t)$ по

$x$ справедливо для почти всех

$t$ и следует из того, что

$\lim_{|x|\to\infty} F(x,t)=0$ для почти всех

$t$ . Теперь рассмотрим новую функцию

$\begin{equation*} w(x)=\int_0^{T}W(x, t)e^{-t}\,dt. \end{equation*} \notag$

Эта функция неотрицательна, ограничена, непрерывна, причем

$\begin{equation*} \lim_{|x|\to\infty}w(x)=\int_0^T\eta(t)e^{-t}\,dt. \end{equation*} \notag$

Для дальнейшего отметим, что

$\begin{equation*} w'(x)= \int_0^{T}H(x, t)r(x,t)e^{-t}\,dt \end{equation*} \notag$

почти всюду,

$w'(x)$ интегрируема в силу равномерной ограниченности

$H$ , причем это выражение задает и обобщенную производную, так что функция

$w$ абсолютно непрерывна на отрезках. Для обоснования сказанного заметим, что функция

$H(x, t)r(x,t)e^{-t}$ интегрируема по совокупности переменных на полосе

$(-\infty,+\infty)\times [0,T]$ , так как

$r(x,t)$ при фиксированном

$t$ есть разность субвероятностных плотностей, поэтому интеграл от

$|r(x,t)|$ по переменной

$x$ по прямой не превосходит

$2$ . По теореме Фубини функция, заданная правой частью, интегрируема. Интегрированием по частям с пробными функциями проверяется, что это выражение служит обобщенной производной

$w$ .

Покажем, что $w$ удовлетворяет неравенству

$\begin{equation*} w''-bw'\geqslant w \end{equation*} \notag$

в смысле обобщенных функций. Если это сделано, то, поскольку

$e^{B}\notin L^1(\mathbb{R})$ , из предложения 3.1 мы получим, что

$w=0$ . Тогда

$W=0$ , значит,

$H=0$ , т.е.

$F(x,t)$ не зависит от

$x$ , что означает, что

$r(x,t)=0$ .

Для обоснования нужного неравенства заметим, что при $\tau>0$ для функции

$\begin{equation*} w(\tau,x):=\int_\tau^{T}W(x, t)e^{-t}\,dt \end{equation*} \notag$

верны соотношения

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\tau^{T}\partial_t W(x, t)e^{-t}\,dt&=w(\tau, x)+W(x, T)e^{-T} -W(x, \tau)e^{-\tau} \\ &\geqslant w(\tau,x)-W(x, \tau)e^{-\tau}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Следовательно, выполнено неравенство

$\begin{equation*} w(\tau,x)''-b(x)w(\tau,x)'\geqslant w(\tau,x) -W(x, \tau)e^{-\tau} \end{equation*} \notag$

в смысле обобщенных функций (с производными по аргументу

$x$ ), т.е. для всякой неотрицательной гладкой функции

$\varphi$ с компактным носителем верно неравенство

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int [\varphi''(x)w(\tau,x) -b(x)\,\partial_xw(\tau,x)\varphi(x)]\, dx \\ &\qquad\geqslant \int \varphi(x)w(\tau,x)\, dx -\int \varphi(x)W(x, \tau)e^{-\tau}\, dx, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где производная

$\partial_xw(\tau,x)$ существует почти всюду и задает обобщенную производную аналогично случаю функции

$w$ . При

$\tau\to 0$ последний интеграл стремится к нулю, так как функция

$W(x,t)$ равномерно ограничена и

$W(x,\tau)\to 0$ при

$\tau\to 0$ для почти всех

$x$ . Первый интеграл в правой части при

$\tau\to 0$ стремится к интегралу от

$\varphi w$ . Интеграл от

$\varphi''(x)w(\tau,x)$ стремится к интегралу от

$\varphi''(x)w(x)$ . Интеграл от

$b(x)\partial_x w(\tau,x)\varphi(x)$ стремится к интегралу от

$b(x)w'(x)\varphi(x)$ , так как

$\begin{equation*} w'(\tau,x)= \int_\tau^{T}H(x, t)r(x,t)e^{-t}\,dt, \end{equation*} \notag$

а функция

$H(x,t)e^{-t}$ равномерно ограничена. Итак, при

$\tau\to 0$ получаем нужное неравенство.

Теорема 1.1 доказана.

Доказательство теоремы 1.2. Пусть выполнено условие (1.4). Функция

$\begin{equation*} \psi(x)=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{a(s)}}\,ds \end{equation*} \notag$

является диффеоморфизмом прямой с локально липшицевой производной (это следует из локальной липшицевости и положительности

$a$ ). Пусть

$\varphi=\psi^{-1}$ – обратная функция. Семейство мер

$\mu_t=\varrho(x, t)\,dx$ является решением задачи Коши (1.3) тогда и только тогда, когда семейство мер

$\sigma_t=\sigma(y, t)\,dy$ , где

$\sigma(y, t)=\varphi'(y)\varrho(\varphi(y), t)$ , удовлетворяет уравнению

$\begin{equation*} \partial_t\sigma_t=\partial^2_y\sigma_t-\partial_y(\beta\sigma_t) \end{equation*} \notag$

с коэффициентом сноса

$\begin{equation*} \beta(y)=b(\varphi(y))\psi'(\varphi(y))+a(\varphi(y))\psi''(\varphi(y)) \end{equation*} \notag$

и начальным условием

$\widetilde{\nu}=\nu\circ\psi^{-1}$ . По теореме 1.1 вероятностное решение задачи Коши для

$\sigma_t$ единственно. Следовательно, вероятностное решение исходной задачи Коши также единственно. Построение примеров неединственности в случае, когда условие (1.4) не выполнено, приведено в следующем параграфе.

§ 4. Примеры неединственности

Начнем с примеров, завершающих доказательство теоремы 1.2.

Пусть $T=1$ .

Пример 4.1. Пусть $a$ – такая локально липшицева положительная функция на прямой, что

$\begin{equation*} \int_{-\infty}^0\frac{1}{\sqrt{a(s)}}\,ds=y_1<\infty, \qquad \int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{a(s)}}\,ds=y_2<\infty. \end{equation*} \notag$

Положим

$b=a'/2$ . Тогда существует такая локально липшицева вероятностная плотность

$\varrho_0$ (гладкая, если такова

$a$ ), что задача Коши

$\begin{equation} \partial_t\varrho=\partial_x^2(a\varrho)-\partial_x(b\varrho), \qquad \varrho(x, 0)=\varrho_0(x) \end{equation} \tag{4.1}$

имеет бесконечно много линейно независимых решений

$\varrho$ таких, что функция

$\varrho$ непрерывна на

$\mathbb{R}\times[0, 1]$ , один раз непрерывно дифференцируема по

$t$ , локально липшицева по

$x$ (если коэффициент

$a$ дважды непрерывно дифференцируем, то и

$\varrho$ дважды непрерывно дифференцируема по

$x$ ), причем

$\begin{equation*} \varrho(x, t)>0, \qquad \int\varrho(x, t)\,dx=1. \end{equation*} \notag$

Действительно, функция

$\begin{equation*} \psi(x)=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{a(s)}}\,ds \end{equation*} \notag$

задает диффеоморфизм прямой на интервал

$J=(-y_1, y_2)$ с локально липшицевой производной. Обозначим через

$\varphi$ обратную функцию

$\psi^{-1}$ . После замены переменных приходим к задаче Коши

$\begin{equation*} \partial_t\sigma=\partial_y^2\sigma, \qquad \sigma(y, 0)=\sigma_0(y), \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \sigma(y, t)=\varphi'(y)\varrho(\varphi(y), t), \qquad \sigma_0(y)=\varphi'(y)\varrho_0(\varphi(y)). \end{equation*} \notag$

Ниже будет подобрана гладкая вероятностная плотность

$\sigma_0$ на интервале

$J$ , по которой находится искомая начальная плотность

$\varrho_0$ . Заметим, что если новая задача Коши для функции

$\sigma$ имеет бесконечно много линейно независимых вероятностных решений, то и исходная задача Коши имеет бесконечно много линейно независимых вероятностных решений.

Рассмотрим на $[-y_1, y_2]\times[0, 1]$ начально-краевую задачу

$\begin{equation} \partial_t\sigma=\partial_y^2\sigma, \qquad \sigma(y, 0)=\sigma_0(y), \qquad \partial_y\sigma(-y_1, t)=\partial_y\sigma(y_2, t)=\theta(t), \end{equation} \tag{4.2}$

где

$\theta$ – непрерывно дифференцируемая функция,

$\theta(0)=\theta'(0)=0$ и

$\sigma_0$ – гладкая неотрицательная функция с компактным носителем в

$(y_1, y_2)$ . Известно (см. [43; теорема 5.3]), что существует решение

$\sigma$ , которое является непрерывно дифференцируемой по

$t$ и дважды непрерывно дифференцируемой по

$y$ функцией на

$[-y_1, y_2]\times[0, 1]$ . Проверим, что для всех

$t\in[0, 1]$ верно равенство

$\begin{equation*} \int_{-y_1}^{y_2}\sigma(y, t)\,dy=\int_{-y_1}^{y_2}\sigma_0(y)\,dy. \end{equation*} \notag$

Действительно,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{d}{dt}\int_{-y_1}^{y_2}\sigma(y, t)\,dy &=\int_{-y_1}^{y_2}\partial_t\sigma(y, t)\,dy= \int_{-y_1}^{y_2}\partial_y^2\sigma(y, t)\,dy \\ &=\partial_y\sigma(y_2, t)-\partial_y\sigma(-y_1, t)=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Добавляя к

$\sigma$ (и соответственно к

$\sigma_0$ ) константу, можно считать, что

$\sigma>0$ . Умножая

$\sigma$ на подходящую константу, получаем решение

$\sigma$ , которое при каждом

$t$ является вероятностной плотностью на

$[-y_1, y_2]$ . Если функции

$\theta_1, \ldots, \theta_N$ линейно независимы, то соответствующие им решения

$\sigma_1, \ldots, \sigma_N$ также линейно независимы. Для обоснования этого достаточно заметить, что

$\theta_j(t)=\partial_y\sigma_j(y_2, t)$ . Таким образом, выбирая линейно независимые функции

$\theta$ , можно построить линейно независимые решения

$\sigma$ . Возвращаясь к исходным координатам, получим линейно независимые вероятностные решения рассматриваемой задачи Коши (4.1).

В следующем примере только один из интегралов из условия (1.4) сходится.

Пример 4.2. Пусть $a$ – такая локально липшицева положительная функция на прямой, что

$\begin{equation*} \int_{-\infty}^0\frac{1}{\sqrt{a(s)}}\,ds=y_1<\infty, \qquad \int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{a(s)}}\,ds=\infty. \end{equation*} \notag$

Тогда существуют локально ограниченный борелевский коэффициент сноса

$b$ (непрерывный, если

$a$ имеет непрерывную производную) и начальное условие с локально липшицевой вероятностной плотностью

$\varrho_0$ (гладкой, если такова

$a$ ), для которых задача Коши

$\begin{equation} \partial_t\varrho=\partial_x^2(a\varrho)-\partial_x(b\varrho), \qquad \varrho(x, 0)=\varrho_0(x) \end{equation} \tag{4.3}$

имеет бесконечно много линейно независимых решений

$\varrho$ с такими свойствами: функция

$\varrho$ непрерывна на

$\mathbb{R}\times[0, 1]$ , один раз непрерывно дифференцируема по

$t$ , локально липшицева по

$x$ (и дважды непрерывно дифференцируема по

$x$ в случае дважды непрерывно дифференцируемого коэффициента

$a$ ), причем

$\begin{equation*} \varrho(x, t)>0, \qquad \int\varrho(x, t)\,dx=1. \end{equation*} \notag$

Действительно, функция

$\begin{equation*} \psi(x)=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{a(s)}}\,ds \end{equation*} \notag$

является диффеоморфизмом прямой на луч

$J=(-y_1, +\infty)$ с локально липшицевой производной. Пусть

$\varphi=\psi^{-1}$ . В новых координатах задача Коши (4.3) имеет вид

$\begin{equation*} \partial_t\sigma=\partial_y^2\sigma-\partial_y(\beta\sigma), \qquad \sigma(y, 0)=\sigma_0(y), \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \beta=\psi'b+a\psi''=\frac{b}{\sqrt{a}}-\frac{1}{2}\frac{a'}{\sqrt{a}}, \\ \sigma_0(y)=\varphi'(y)\varrho_0(\varphi(y)), \qquad \sigma(y, t)=\varphi'(y)\varrho(\varphi(y), t). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Ниже будет подобран гладкий коэффициент

$\beta$ , по которому вычисляется искомый коэффициент

$b$ по формуле

$b=\beta \sqrt{a}+a'/2$ . Из этой формулы видно, что в случае непрерывной производной

$a'$ функция

$b$ тоже непрерывна, а для локально липшицева коэффициента

$a$ она локально ограничена. Кроме того, будет подобрана начальная плотность

$\sigma_0$ , что дает

$\varrho_0$ . Сделаем еще одну замену координат

$\begin{equation*} \eta(y)=1-(y+y_1+1)^{-1}, \end{equation*} \notag$

переводящую луч

$J$ в интервал

$(0, 1)$ . В новых координатах приходим к задаче Коши

$\begin{equation*} \partial_t v=\partial_z^2((1-z)^4v)-\partial_z(hv), \qquad v(z, 0)=v_0(z). \end{equation*} \notag$

Как и выше,

$h=\eta'\beta+\eta''$ и

$v(z, t)=\xi'(z)\sigma(\xi(z), t)$ , где

$\xi=\eta^{-1}$ . Возьмем теперь многочлен третьей степени

$\begin{equation*} h(z)=-4(1-z)^3-1, \end{equation*} \notag$

по которому определяется гладкая функция

$\beta=(h-\eta'')/\eta'$ . Имеем

$\begin{equation*} \partial_z^2(1-z)^4-\partial_zh(z)=0, \qquad h(0)=-5, \qquad h(1)=-1. \end{equation*} \notag$

Предположим также, что

$v_0$ – гладкая функция с компактным носителем в интервале

$(0, 1)$ . Рассмотрим на

$[0, 1]\times[0, 1]$ начально-краевую задачу

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \partial_tv=\partial_z^2((1-z)^4v)-\partial_z(hv), \qquad v(z, 0)=v_0(z), \\ v(1, t)=v(0, t)+\partial_zv(0, t)=\theta(t), \end{gathered} \end{equation} \tag{4.4}$

где

$\theta$ – непрерывно дифференцируемая функция,

$\theta(0)=\theta'(0)=0$ . Ниже мы покажем, что данная задача имеет решение

$v$ , которое непрерывно дифференцируемо по

$t$ и дважды непрерывно дифференцируемо по

$z$ на

$[0, 1]\times[0, 1]$ . Проверим, что для всех

$t\in[0, 1]$ верно равенство

$\begin{equation*} \int_0^1 v(z, t)\,dz=\int_0^1 v_0(z)\,dz. \end{equation*} \notag$

Действительно,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{d}{dt}\int_0^1v(z, t)\,dz &=\int_0^1 \bigl[\partial_z^2((1-z)^4v)-\partial_z(hv)\bigr]\,dz \\ &=-v(0, t)-\partial_zv(0, t)+v(1, t)=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Функция

$h$ подобрана таким образом, что если

$v$ – решение уравнения, то

$v+\mathrm{const}$ тоже решение. Добавляя константу, можно считать, что

$v>0$ . Далее, умножая на подходящую константу, можно считать, что функция

$x\mapsto v(x, t)$ является вероятностной плотностью на

$[0, 1]$ для каждого

$t$ . Наконец, линейно независимым функциям

$\theta$ соответствуют линейно независимые решения.

Представленное рассуждение существенно опирается на разрешимость начально-краевой задачи (4.4). Основная трудность состоит в том, что уравнение вырождается при $z=1$ . Краевым задачам для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено значительное число работ, среди которых отметим [26], [27], [31], [51], [55]. Однако утверждение о разрешимости необходимой нам третьей краевой задачи содержится лишь в работе [26] без доказательства, причем в работе [27], в которой приводятся доказательства основных результатов из [26], обоснование этого утверждения также отсутствует. В близкой работе [55] исследуется разрешимость третьей краевой задачи для вырожденного эллиптического уравнения, частным случаем которого, конечно, является параболическое уравнение, но предполагается такая гладкость границы, при которой результат не применим к параболическим задачам. Кроме того, в [55] строится лишь обобщенное решение. В связи с этим мы приведем здесь нужное утверждение и его короткое обоснование в используемом нами одномерном по пространственной переменной случае. Общему утверждению будет посвящена отдельная заметка.

Пусть $a, b, c$ и $f$ – бесконечно дифференцируемые функции на $\mathbb{R}\times[0, T]$ , $h, g, k$ – бесконечно дифференцируемые функции на $[0, T]$ и $u_0$ – бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем в $(0, 1)$ . Предположим, что $a\geqslant 0$ . Рассмотрим следующую задачу:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \partial_tu=a\partial_x^2u+b\partial_xu+cu+f, \qquad u(x, 0)=u_0(x), \qquad u(1, t)=h(t), \\ \partial_x u(0, t)+ku(0, t)=g(t). \end{gathered} \end{equation} \tag{4.5}$

Предложение 4.3. Предположим, что $a(0, t)>0$ и $a(1, t)=0$ , причем

$\begin{equation*} b(1, t)-\partial_x a(1, t)>0. \end{equation*} \notag$

Тогда существует единственное решение

$v$ задачи Коши (4.5) в классе функций, непрерывно дифференцируемых один раз по

$t$ и два раза по

$x$ на прямоугольнике

$[0, 1]\times[0, T]$ .

Доказательство. Пусть

$u=we^{\lambda t+\gamma x}$ . Тогда

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, w_t=a\partial_x^2w+(b+2\gamma a)\partial_xw+(\gamma^2a+\gamma b+c-\lambda)w+fe^{-\lambda t-\gamma x}, \\ w(x, 0)=u_0(x)e^{-\gamma x}, \qquad w(1, t)=h(t)e^{-\gamma-\lambda t}, \\ \partial_x w(0, t)+(k+\gamma)w(0, t)=g(t)e^{-\lambda t}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Выбирая константы

$\gamma<0$ и

$\lambda>0$ , можно добиться того, что

$\begin{equation*} k+\gamma<0, \qquad \gamma^2a+\gamma b+c-\lambda<0. \end{equation*} \notag$

Более того, условие

$b(1, t)-\partial_x a(1, t)$ для нового коэффициента

$b+2\gamma a$ вместо

$b$ сохраняется, так как

$a(1, t)=0$ . Поэтому далее, переходя от

$u$ к

$w$ , считаем, что выполнены неравенства

$c\leqslant -c_0<0$ и

$k\leqslant -k_0<0$ для некоторых чисел

$c_0$ и

$k_0$ . Кроме того, вычитая из решения

$u$ функцию

$Q$ такую, что

$Q(1, t)=h(t)$ и

$\partial_x Q(0, t)+k(t)Q(0, t)=g(t)$ , можно считать, что

$h=g=0$ .

Пусть $n\in \mathbb{N}$ . Известно (см. [5], [20], [21], [57], [39; гл. 2, § 4, теорема 4.1]), что существует решение $u_n$ задачи Коши для уравнения с $a+n^{-1}$ вместо $a$ . Пусть $q_n=u_n^2/2$ . Тогда

$\begin{equation*} \partial_tq_n=a\partial_x^2q_n+b\partial_xq_n+2cq_n+fu_n-a(\partial_x q_n)^2. \end{equation*} \notag$

Так как

$fu_n\leqslant c_0q_n+|f|^2c_0^{-1}$ , то

$\begin{equation*} \partial_tq_n\leqslant a\partial_x^2q_n+b\partial_xq_n+cq_n+|f|^2c_0^{-1}. \end{equation*} \notag$

Более того,

$\partial_xq_n(0, t)=-2kq_n(0, t)$ ,

$q_n(x, 0)=u_0(x)^2/2$ ,

$q_n(1, t)=0$ . Пусть

$\begin{equation*} M=2^{-1}\max|u_0^2|+c_0^{-2}\max|f|^2. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \partial_t(q_n-M)\leqslant a\partial_x^2(q_n-M)+b\partial_x(q_n-M)+c(q_n-M) \end{equation*} \notag$

$\partial_x(q_n(0, t)-M)=-2k(q_n(0, t)-M)-kM$ ,

$q_n(x, 0)-M\leqslant 0$ ,

$q_n(1, t)-M\leqslant 0$ . Так как

$c<0$ и

$k<0$ , то ясно, что функция

$q_n-M$ не может принимать положительного максимума. Следовательно,

$q_n\leqslant M$ и

$|u_n|\leqslant\sqrt{2M}$ , причем

$M$ не зависит от

$n$ . Переходя к подпоследовательности, можно считать, что

$\{u_n\}$ слабо сходится в

$L^2([0, 1]\times[0, T])$ к некоторой функции

$u$ .

По условию есть положительные числа $a_0$ и $x_0$ такие, что $a(x, t)\geqslant a_0$ на прямоугольнике $[0, 2x_0]\times[0, T]$ . Согласно [43; теорема 10.1], переходя к подпоследовательности, можно считать, что $\{u_n\}$ сходится равномерно на $[0, x_0]\times[0, T]$ к функции $u$ , непрерывно дифференцируемой один раз по $t$ и два раза по $x$ на прямоугольнике $[0, x_0]\times[0, T]$ .

Согласно [27; теорема 4] существует гладкое решение $v$ задачи Коши

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \partial_tv=a\partial_x^2v+b\partial_xv+cv+f, \\ v(x, 0)=u_0(x), \qquad v(1, t)=0, \qquad v(0, t)=u(0, t). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Именно здесь используется условие

$b(1, t)-\partial_xa(1, t)>0$ . Рассмотрим разность

$r_n=u_n-v$ . Функция

$r_n$ является решением задачи Коши

$\begin{equation*} \partial_tr_n=(a+n^{-1})\partial_x^2r_n+b\partial_xr_n+cr_n+n^{-1}\partial_x^2v, \end{equation*} \notag$

$r_n(x, 0)=0$ ,

$r_n(1, t)=0$ ,

$r_n(0, t)=u_n(0, t)-u(0, t)$ . По принципу максимума (см., например, [51; теорема 1.1.2]) имеем

$\begin{equation*} \max_{[0, 1]\times[0, T]}|r_n(x, t)|\leqslant \frac{1}{nc_0}\max_{[0, 1]\times[0, T]}|\partial^2_xv(x, t)| +\max_{[0, T]}|u_n(0, t)-u(0, t)|. \end{equation*} \notag$

Значит, последовательность

$\{r_n\}$ равномерно стремится к нулю, а функция

$u$ совпадает с

$v$ . Таким образом, функция

$u$ непрерывно дифференцируема один раз по

$t$ и два раза по

$x$ на

$[0, 1]\times[0, T]$ , удовлетворяет начальному условию

$u=u_0$ при

$t=0$ , граничному условию

$\partial_x u +ku=0$ при

$x=0$ и граничному условию

$u=0$ при

$x=1$ . Единственность построенного решения следует из принципа максимума. Предложение 4.3 доказано.

Замечание 4.4. Поскольку в случае

$\begin{equation*} \int_{-\infty}^{0}\frac{1}{\sqrt{a(s)}}\,ds=\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{a(s)}}\,ds=\infty \end{equation*} \notag$

имеет место единственность вероятностного решения, то метод построения примеров неединственности, предложенный в примерах 4.1 и 4.2, не должен работать в этом случае. Покажем, что это действительно так. После подходящей замены координат получаем задачу Коши на интервале

$(0, 1)$ для уравнения вида

$\begin{equation*} \partial_t\sigma=\partial_x^2(A\sigma)-\partial_x(B\sigma), \end{equation*} \notag$

где

$A(0)=\partial_xA(0)=A(1)=\partial_xA(1)=0$ . Таким образом, это уравнение вырождается на концах интервала

$(0, 1)$ . Для построения вероятностного решения необходимо добиться того, чтобы выражение

$\displaystyle\int_0^1\sigma(x, t)\,dx$ не зависело от

$t$ . Поскольку мы строим гладкое решение, то в силу уравнения последнее требование влечет равенство

$\begin{equation*} 0=\frac{d}{dt}\int_0^1\sigma(x, t)\,dx=B(0)\sigma(0, t)-B(1)\sigma(1, t). \end{equation*} \notag$

С другой стороны, для разрешимости задачи с краевыми условиями при $x=0$ и $x=1$ требуется (см. [51; гл. 1]) выполнение неравенств $B(0)>0$ и $B(1)<0$ . Это означает, что числа $\sigma(0, t)$ и $\sigma(1, t)$ должны быть разных знаков. Это, в свою очередь, противоречит положительности решения. Здесь важно отметить, что не получится подобрать $B$ так, что $\partial_xA=B+\mathrm{const}$ , так как $\partial_xA$ в концах отрезка $[0, 1]$ равно нулю, а $B$ в этих точках принимает значения разных знаков. Следовательно, выбором коэффициента $B$ нельзя добиться того, что при добавлении константы решение останется решением, и таким способом обеспечить положительность решения.

Идея построения примера неединственности для уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова с помощью замены координат и применения теории вырожденных уравнений впервые была предложена в работе [42] в случае стационарного уравнения.

Пример 4.5. (i) Рассмотрим пример, в котором для бесконечно дифференцируемого коэффициента сноса $b$ на прямой помимо единственного вероятностного решения с гладким начальным распределением существует другое семейство неотрицательных ограниченных мер, являющееся решением с тем же начальным условием. В [11; задача 9.8.47] предложен такой пример (с указанием к решению):

$\begin{equation*} b(x)=-2x(1+x^2)^{-1}-(1+x^2) \operatorname{arctg} x, \end{equation*} \notag$

начальная плотность

$u_0(x)=(\pi (1+x^2))^{-1}$ . Приведем здесь решение этой задачи. Одно неотрицательное интегрируемое решение имеет простой явный вид

$e^t u_0(x)$ . Это проверяется непосредственно:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, u_0'(x)=-2\pi^{-1}x (1+x^2)^{-2}, \\ u_0''(x)=-2\pi^{-1} (1+x^2)^{-2}+8\pi^{-1}x^2 (1+x^2)^{-3}, \\ (b(x)u_0(x))'=-2\pi^{-1}(1+x^2)^{-2}+8\pi^{-1}x^2 (1+x^2)^{-3}-\pi^{-1}(1+x^2)^{-1}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Однако есть и единственное вероятностное решение. В самом деле, так как

$b(x)x\leqslant 0$ , то для функции

$V(x)=x^2$ имеем

$V''(x)+b(x)V'(x)=2+2xb(x)\leqslant 2$ . Известно (см. [11; теорема 9.4.8], где требуется функция Ляпунова с оценкой

$V''+bV'\leqslant C+CV$ ), что это гарантирует существование единственного вероятностного решения задачи Коши (впрочем, единственность вытекает также из основной теоремы этой работы).

(ii) Рассмотрим пример, в котором для бесконечно дифференцируемого коэффициента сноса $b$ на прямой и гладкого начального условия нет вероятностных решений, однако существует единственное субвероятностное решение. Возьмем то же начальное условие $u_0$ , что и в (i), но снос изменим так:

$\begin{equation*} b(x)=-2x(1+x^2)^{-1}+(1+x^2) \operatorname{arctg} x. \end{equation*} \notag$

Так как теперь

$xb(x)\geqslant -2$ , то для

$V(x)=x^2+4$ получаем

$V''+bV'\geqslant -V$ , что согласно [11; теорема 9.6.3] влечет единственность интегрируемого решения. Вычисления в (i) показывают, что

$e^{-t}u_0(x)$ является таковым решением, причем оно субвероятностное.

В [11; § 9.6] в многомерном случае даны достаточные условия на коэффициенты в терминах функций Ляпунова, при которых имеется не более одного интегрируемого решения задачи Коши.

Замечание 4.6. Поясним, почему рассматриваемая нами проблема не равносильна изученной Э. Хилле [37] задаче существования и единственности для одномерного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова. Для упрощения ограничимся случаем единичного коэффициента диффузии (отметим, что в [37] противоположные обозначения, через $a$ обозначается снос, но мы приводим формулировки ниже в наших обозначениях). В [37; § 8, с. 116] задача (в случае уравнения на всей прямой) ставится так: найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы для всякой функции $h\in L^1(\mathbb{R})$ с $Lh=h''-(bh)'\in L^1(\mathbb{R})$ нашлось единственное решение $T(x,t,h)$ уравнения $\partial_t u=\partial_x^2 u-\partial_x(ub)$ с начальным условием $h$ в смысле соотношения $\|T(\cdot,t,h)-h\|_{L^1}\to 0$ при $t\to 0$ . Такая постановка называется задачей $L_0$ , а в задаче $L$ еще дополнительно требуется, чтобы решение с неотрицательным начальным условием $h$ было неотрицательно и имело такой же интеграл по прямой, как и $h$ (иначе говоря, решения с вероятностными начальными плотностями из области определения оператора $L$ должны быть вероятностными). Коэффициент сноса в [37] предполагается непрерывным, но это незначительное техническое отличие. Согласно [37; теоремы 8.5 и 8.7] необходимое и достаточное условие разрешимости задачи $L_0$ состоит в расходимости интеграла

$\begin{equation*} \int_0^x \exp B(y)\int_0^y \exp (-B(u))\, du \, dy, \quad \text{где } \ B(y)=\int_0^y b(s)\, ds, \end{equation*} \notag$

на

$-\infty$ и

$+\infty$ , а для разрешимости задачи

$L$ дополнительно требуется расходимость интеграла

$\begin{equation*} \int_0^x \exp (-B(y))\int_0^y \exp (B(u))\, du \, dy \end{equation*} \notag$

на

$-\infty$ и

$+\infty$ . Это есть предыдущее условие для сноса

$-b$ , что делает условия для

$b$ и

$-b$ одинаковыми. В обеих цитированных теоремах Хилле замыкание оператора

$L$ порождает полугруппу в

$L^1(\mathbb{R})$ . Из предыдущего примера видно, что возможна ситуация, когда при каждом начальном условии, являющемся вероятностной мерой, существует единственное вероятностное решение задачи Коши, но есть также и другие решения. Наконец, еще одно отличие от условий Хилле нашего результата (в котором вообще нет никаких условий на снос, кроме его локальной ограниченности) состоит в том, что у Хилле решение должно существовать для каждого начального условия (правда, с плотностью из области определения оператора, а у нас допускаются произвольные начальные вероятностные меры), в нашей же постановке решения могут существовать для одних начальных условий и отсутствовать для других, но утверждается, что ни при каком начальном вероятностном распределении не может быть двух разных решений. При этом единственность есть и тогда, когда замыкание оператора

$L$ не порождает полугруппу в

$L^1(\mathbb{R})$ .

Можно еще отметить, что теорема Хилле говорит (для непрерывного сноса), что при нарушении условия Хилле для задачи $L$ либо при каком-то начальном условии нет решения, либо при каком-то ином начальном условии есть несколько решений, а наш результат показывает, что вторая возможность не может осуществляться, так что причиной всегда является первая. Более того, из нашего результата следует, что решение отсутствует при начальном распределении, являющемся дираковской мерой $\delta_a$ в какой-то точке $a$ . В самом деле, можно проверить, что если решение $\varrho(x,t,a)$ есть для каждого начального условия вида $\delta_a$ , то из-за единственности оно борелевски зависит от $a$ , что после усреднения по вероятностной мере $\nu$ дает решение с начальным условием $\nu$ .

Приведем пример такого отсутствия вероятностного решения при некоторых начальных распределениях и его наличия при других. В обосновании следующего примера используется снос $b(x)=-x-6\exp(x^2/2)$ , для которого стандартная гауссовская мера $\gamma$ на прямой является стационарным решением с начальным распределением $\gamma$ . Проверим, что здесь имеются начальные вероятностные распределения, для которых нет вероятностных решений, что по терминологии Хилле означает, что задача $L$ для этого сноса неразрешима. Для этого покажем, что нарушено условие Хилле, а именно второй из выписанных выше интегралов сходится на $-\infty$ . В нашем случае после замены $x$ на $-x$ приходим к интегралу по $[0,+\infty)$ от $F(x)/F'(x)$ , где

$\begin{equation*} F(x)=\int_0^x f(y)\, dy, \qquad f(x)=\exp\biggl(-2^{-1}x^2+ 6\int_0^x \exp \biggl(\frac{y^2}2\biggr)\, dy \biggr), \end{equation*} \notag$

причем функция

$f$ возрастает и имеет место оценка

$F''(x)/F'(x)\geqslant x^2$ . Заметим, что тогда верна и оценка

$F'(x)/F(x)\geqslant x^2/8$ . В самом деле, интегрируя оценку

$F''(x)\geqslant x^2F'(x)$ , получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, F'(x)-F'(0)&\geqslant \int_0^x y^2F'(y)\, dy \geqslant \int_{x/2}^x y^2F'(y)\, dy \\ &\geqslant \frac{x^2}{4}\biggl(F(x)-F\biggl(\frac x2\biggr)\biggr)\geqslant \frac{x^2}{8}F(x), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

так как

$2F(x/2)\leqslant F(x)$ . Последнее видно из равенства

$\begin{equation*} 2F\biggl(\frac x2\biggr)=2\int_0^{x/2} f(y)\, dy=\int_0^x f\biggl(\frac y2\biggr)\, dy \end{equation*} \notag$

и неравенства

$f(y/2)\leqslant f(y)$ . Итак,

$F'(x)\geqslant x^2F(x)/8$ , что влечет сходимость интеграла от

$F/F'$ на

$+\infty$ . Этот же вывод можно сделать и путем нахождения асимптотики отношения

$F/F'$ с помощью правила Лопиталя, которое показывает, что отношение

$F(x)(-x+6\exp(x^2/2))$ и

$f(x)$ стремится к

$1$ , т.е. на самом деле

$F(x)/F'(x)$ убывает еще быстрее. В силу критерия Хилле нет вероятностного решения при каком-то начальном распределении, а из сказанного выше следует, что тогда нет решения и при некоторой дираковской начальной мере. Отметим, что в силу [11; теорема 6.6.2] субвероятностное решение есть для каждого начального вероятностного распределения. Кстати, из этого следует отсутствие диффузионного процесса (в обычном понимании), порожденного оператором

$L$ , несмотря на наличие инфинитезимально инвариантной меры

$\gamma$ для этого оператора.

Построим теперь пример уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова в размерности $d=2$ , для которого задача Коши имеет бесконечномерный симплекс вероятностных решений. Напомним, что ранее такие примеры были построены только при $d\geqslant 3$ (см. [11; гл. 9]).

Пример 4.7. Пусть $\gamma$ – стандартная гауссовская мера на прямой, заданная плотностью $(2\pi)^{-1/2}\exp(-x^2/2)$ . Положим

$\begin{equation*} b^1(x)=-x-6\exp\biggl(\frac{x^2}2\biggr), \qquad b^2(y)=-y. \end{equation*} \notag$

Пусть

$\{T_t\}_{t\geqslant0}$ – стандартная полугруппа Орнштейна–Уленбека (см., например, [6]), порожденная оператором

$L_y u=u''+b^2u'$ в пространстве

$L^1(\gamma)$ и задаваемая формулой

$\begin{equation*} T_tf(x)=\int f\Bigl(e^{-t}x-\sqrt{1-e^{-2t}}\, y\Bigr)\, \gamma(dy). \end{equation*} \notag$

Непосредственно проверяется, что мера

$\gamma$ удовлетворяет также стационарному уравнению с оператором

$L_xu=u''+b^1u'$ . Как указано выше в § 2, в

$L^1(\gamma)$ существует субмарковская полугруппа

$\{S_t\}_{t\geqslant0}$ , ассоциированная с оператором

$L_x$ , для которой

$\gamma$ – субинвариантная мера. Однако известно (и важно для дальнейшего), что при этом

$\gamma$ не является инвариантной мерой для этой полугруппы (см. [11; задачи 4.5.17, 5.6.49]). Полугруппы

$\{T_t\}_{t\geqslant0}$ и

$\{S_t\}_{t\geqslant0}$ действуют также на всякую меру

$\nu$ с плотностью и дают неотрицательные меры

$T_t^*\nu$ и

$S_t^*\nu$ по формулам

$\begin{equation*} \int f\, d(T_t^*\nu)=\int T_tf\, d\nu, \qquad \int f\, d(S_t^*\nu)=\int S_tf\, d\nu. \end{equation*} \notag$

В терминах плотности

$g$ меры

$\nu$ относительно

$\gamma$ можно записать

$\begin{equation*} T_t^*\nu =T_tg\cdot \gamma, \qquad S_t^*\nu= S_t^{*} g\cdot \gamma, \end{equation*} \notag$

где

$S_t^{*} g$ есть действие на

$g$ оператора в

$L^1(\gamma)$ , полученного продолжением с

$L^\infty(\gamma)$ оператора, сопряженного к

$S_t$ (если плотность

$g$ ограничена, то это действие самого сопряженного оператора).

Для функций $u$ двух переменных положим

$\begin{equation*} Lu=\partial_x^2u+\partial_y^2u+b^1(x)\, \partial_x u+b^2(y)\, \partial_y u=L_x u+L_y u. \end{equation*} \notag$

Пусть

$\sigma$ – произвольная вероятностная мера с гладкой плотностью. Рассмотрим задачу Коши

$\begin{equation*} \partial\mu_t=L^{*}\mu_t, \qquad \mu_0=\gamma\otimes\sigma. \end{equation*} \notag$

Проверим, что эта задача имеет бесконечно много различных вероятностных решений вида

$\begin{equation*} \mu_t^{\alpha}=S_t^{*}\gamma\otimes(T_t^{*}\sigma-T_t^{*}\alpha)+\gamma\otimes T_t^{*}\alpha, \end{equation*} \notag$

где

$\alpha$ – произвольная вероятностная мера с гладкой плотностью, причем решения

$\mu_t^{\alpha_j}$ , соответствующие линейно независимым мерам

$\alpha_j$ , линейно независимы.

Во-первых, $\{\mu_t^{\alpha}\}$ является решением, так как по каждой переменной удовлетворяет соответствующему уравнению: $\{S_t^{*}\gamma\}$ – решение одномерной задачи Коши с оператором $L_x$ и начальным условием $\gamma$ , мера $\gamma$ – стационарное решение для уравнения с оператором $L_x$ , а $\{T_t^{*}\sigma\}$ и $\{T_t^{*}\alpha\}$ – решения задач Коши с оператором $L_y$ и начальными условиями $\sigma$ и $\alpha$ соответственно. Так как $\{T_t\}_{t\geqslant 0}$ – очевидным образом марковская полугруппа, то $T_t^{*}\sigma$ и $T_t^{*}\alpha$ – вероятностные меры при каждом $t$ . Кроме того, как отмечено в § 2, $S_t^{*}\gamma\leqslant \gamma$ в смысле неравенства для мер, причем $S_t^{*}\gamma\not= \gamma$ при $t>0$ из-за отсутствия инвариантности (если $S_t^{*}\gamma= \gamma$ при некотором $t>0$ , то $S_\tau^{*}\gamma= \gamma$ при всех $\tau\leqslant t$ , а тогда $S_t^{*}\gamma= \gamma$ при всех $t>0$ ).

Во-вторых, $\mu_t^{\alpha}$ – неотрицательная мера. В самом деле,

$\begin{equation*} \mu_t^{\alpha}=S_t^{*}\gamma\otimes T_t^{*}\sigma+(\gamma-S_t^{*}\gamma)\otimes T_t^{*}\alpha\geqslant 0. \end{equation*} \notag$

Кроме того,

$\mu_t^{\alpha}$ – вероятностная мера, ибо

$\begin{equation*} \mu_t^{\alpha}(\mathbb{R}^2)= S_t^{*}\gamma(\mathbb{R}^1)\cdot(T_t^{*}\sigma-T_t^{*}\alpha)(\mathbb{R}^1) +\gamma(\mathbb{R}^1)\cdot T_t^{*}\alpha(\mathbb{R}^1) =S_t^{*}\gamma(\mathbb{R}^1)\cdot 0+1=1. \end{equation*} \notag$

Теперь проверим, что для линейно независимых вероятностных мер

$\alpha_j$ соответствующие им решения линейно независимы. Предположим, что при всех

$t\geqslant 0$ верно равенство

$\begin{equation*} \sum_jc_j (S_t^{*}\gamma\otimes(T_t^{*}\sigma-T_t^{*}\alpha_j)+\gamma\otimes T_t^{*}\alpha_j)=0 \end{equation*} \notag$

с некоторым конечным набором чисел

$c_j$ . Это равенство можно записать в виде

$\begin{equation*} \biggl(\sum_jc_j\biggr)S_t^{*}\gamma\otimes T_t^{*}\sigma +(\gamma-S_t^{*}\gamma)\otimes T_t^{*}\biggl(\sum_jc_j\alpha_j\biggr)=0. \end{equation*} \notag$

При

$t=0$ получаем

$\bigl(\sum_jc_j\bigr)\gamma\otimes\sigma=0$ , следовательно,

$\sum_jc_j=0$ . Поэтому

$\begin{equation*} (\gamma-S_t^{*}\gamma)\otimes T_t^{*}\biggl(\sum_jc_j\alpha_j\biggr)=0. \end{equation*} \notag$

Так как

$\gamma-S_t^{*}\gamma$ – положительная мера при

$t>0$ , то

$T_t^{*}\bigl(\sum_jc_j\alpha_j\bigr)=0$ при

$t>0$ , но это, в свою очередь, влечет равенство

$\sum_jc_j\alpha_j=0$ . Линейная независимость

$\alpha_j$ показывает, что все числа

$c_j$ равны нулю.

Отметим, что в этом примере неединственность имеет место для гладкого, но весьма специального начального условия. Естественно возникает вопрос о построении примера, когда неединственность имеет место для какого-то широкого класса начальных условий, скажем для всех дираковских мер. В трехмерном по переменной $x$ случае такого рода пример можно построить, комбинируя идею из описанного примера и подход, основанный на теории вырождающихся параболических уравнений в духе примеров 4.1 и 4.2. Подробному обсуждению таких примеров будет посвящена отдельная заметка.

Приведем примеры, показывающие, что при отказе от локальной ограниченности сноса единственность вероятностного решения может нарушаться как для эллиптического уравнения, так и для параболического. Однако заслуживает изучения вопрос о единственности для сносов, локально интегрируемых в какой-либо степени относительно меры Лебега (разумеется, при сохранении требования локальной интегрируемости относительно решения).

Пример 4.8. Всякая локально липшицева вероятностная плотность $\varrho$ очевидным образом удовлетворяет стационарному уравнению $\varrho''-(b\varrho)'=0$ со сносом $b$ , равным логарифмической производной $\varrho$ , т.е. $b(x)=\varrho'(x)/\varrho(x)$ , где полагаем $b(x)=0$ при $\varrho(x)=0$ . При этом функция $b$ локально интегрируема с весом $\varrho$ . Скажем, если взять $\varrho(x)=(2\pi)^{-1/2} x^2\exp(-x^2)$ , то для полученного сноса $b(x)=2x^{-1}-2x$ есть и другие вероятностные решения, отличные от заданного плотностью $\varrho$ , в том числе решение с плотностью $\varrho/2$ на $(-\infty,0)$ и плотностью $3\varrho/2$ на $[0,+\infty)$ . В этом случае функция $b$ интегрируема с весом $\varrho$ на всей прямой.

В параболическом случае рассмотрим функцию

$\begin{equation*} \varrho(x,t)=t^{-2}x^{3}E(x,t), \qquad E(x,t)=C\exp\biggl(-\frac{x^2}{4t}\biggr), \qquad x\geqslant 0, \quad t>0, \end{equation*} \notag$

где

$C>0$ – такая константа, что функция

$\varrho(\cdot,1)$ – вероятностная плотность на

$[0, +\infty)$ ; тогда таковы все функции

$\varrho(\cdot, t)$ . Положим

$\varrho(x,t)=0$ при

$x<0$ и

$\varrho_1(x,t)=\varrho(-x,t)$ .

Тогда функции $\varrho$ и $\varrho_1$ дают различные вероятностные решения уравнения

$\begin{equation*} \partial_t\varrho=\partial_x^2\varrho-\partial_x(b\varrho), \qquad b(x)=\frac{3}{x}, \end{equation*} \notag$

с начальным распределением при

$t=0$ , равным дираковской мере в нуле.

Проверим, что при $t>0$ и $x\geqslant 0$ дважды дифференцируемая функция $\varrho$ поточечно удовлетворяет указанному уравнению. Действительно,

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \partial_t\varrho=-2t^{-3}x^{3}E(x,t)+ \frac{1}{4}t^{-4}x^{5} E(x,t), \\ \partial_x \varrho = 3t^{-2}x^{2}E(x,t)-\frac{1}{2}t^{-3}x^{4}E(x,t), \\ \begin{split} \partial_x^2\varrho &=6t^{-2}x E(x,t)-\frac{3}{2} t^{-3}x^{3}E(x,t)-2t^{-3}x^{3}E(x,t)+\frac{1}{4} t^{-4}x^{5}E(x,t) \\ &=6t^{-2}x E(x,t)-\frac{7}{2}t^{-3}x^{3}E(x,t)+\frac{1}{4} t^{-4}x^{5}E(x,t), \end{split} \\ b\varrho = 3t^{-2}x^{2}E(x,t), \\ \partial_x(b\varrho)=6t^{-2}x E(x,t) -\frac{3}{2}t^{-3}x^{3}E(x,t), \\ \partial_x^2\varrho-\partial_x(b\varrho)=-2t^{-3}x^{3}E(x,t)+\frac{1}{4} t^{-4}x^{5}E(x,t) =\partial_t\varrho. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

В точке

$x=0$ функция

$x\mapsto\varrho(x,t)$ с

$t>0$ дважды дифференцируема и

$\begin{equation*} \varrho(0,t)=\partial_x\varrho(0,t)=\partial^2_x\varrho(0,t)=0. \end{equation*} \notag$

Кроме того, при

$t>0$ функция

$x\mapsto b(x)\varrho(x,t)$ непрерывно дифференцируема в нуле, а ее производная в нуле равна нулю. Следовательно, полагая

$\varrho(x,t)=0$ при

$x<0$ , получаем дважды дифференцируемое решение уравнения уже на всей прямой. Кроме того, при

$t\to 0$ меры

$\varrho(x,t)\,dx$ сходятся слабо к дираковской мере в нуле. Наконец, проверим, что

$b\varrho\in L^1(\mathbb{R}\times [0, T])$ . Действительно, это произведение равно нулю при

$x<0$ , а при

$x>0$ имеем

$\begin{equation*} b(x)\varrho(x,t)=Ct^{-2}x^{2}\exp\biggl(-\frac{x^2}{4t}\biggr). \end{equation*} \notag$

Тогда при

$t>0$ получаем

$\begin{equation*} \int_0^{+\infty}b(x)\varrho(x,t)\,dx=Ct^{-1/2}\int_0^{+\infty}u^{2} \exp\biggl(-\frac{u^2}{4}\biggr)\,du=C't^{-1/2}. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} \int_0^T\int_0^{+\infty}b(x)\varrho(x,t)\,dx\, dt<\infty. \end{equation*} \notag$

Из интегрируемости

$b\varrho$ следует, что

$\varrho$ является решением задачи Коши в нашем смысле, т.е. в смысле интегрального тождества. Теперь заметим, что меры с плотностями

$\varrho_1(x,t)=\varrho(-x,t)$ , сосредоточенные на левой полупрямой, также дают решение. Следовательно, задача имеет по крайней мере два линейно независимых решения.

Поясним вероятностную суть этого примера. В работах [22], [23; пример 1.23] показано, что для сингулярного сноса

$\begin{equation*} b(x)=\frac{3}{2}x^{-1}I_{\mathbb{R}\backslash 0}(x) \end{equation*} \notag$

стохастическое дифференциальное уравнение

$dX_t=b(X_t)dt+dW_t$ с начальным распределением, сосредоточенным в нуле, имеет несколько решений с различными одноточечными распределениями. Одно из решений есть неотрицательный процесс Бесселя

$B_t$ с параметром

$\alpha=4$ , другое решение

$X_t=-B_t$ неположительно, причем

$|X_t|$ имеет то же распределение, что

$B_t$ . Это приводит к двум различным вероятностным решениям

$\{\mu_t\}$ и

$\{\nu_t\}$ соответствующего уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, относительно которых снос

$b$ интегрируем на

$\mathbb{R}\times [0,1]$ . Интегрируемость сноса проверяется явным образом с помощью известной формулы для плотности распределения квадрата

$B_t^2$ процесса Бесселя (см. [56; гл. XI, § 1, следствие 1.4]), дающей и явный вид плотностей распределения

$B_t$ и

$X_t$ . Коэффициенты уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова для

$B_t$ и

$X_t$ отличаются от указанных в нашем примере числовыми множителями.

Отметим, что в последнем примере сингулярен по отношению к мере Лебега лишь коэффициент сноса, но сами решения гладкие, причем этот коэффициент интегрируем относительно решений. Кстати, это показывает, что в теоремах единственности из [11; гл. 9] с единичной матрицей диффузии даже при $d=1$ условие нельзя ослабить до включения сноса $b$ в $L^1(\mu)$ : в [11; теорема 9.3.6] помимо условия $|b|\in L^1(\mu)$ требуется еще включение $|b|\in L^2(\mu, U\times (0,T))$ для всякого шара $U$ , а в [11; теорема 9.4.3] в дополнение к предыдущему условию нужны включения $|b|\in L^p(\mu, U\times (0,T))$ с некоторым $p>d+2$ , т.е. $p>3$ в одномерном случае.

Замечание 4.9. В этой работе мы исследовали уравнения с не зависящими от $t$ коэффициентами. В доказательствах это обстоятельство играло существенную роль, и проблема единственности в случае, когда коэффициенты зависят от $x$ и $t$ , остается открытой. Заметим только, что если $a=1$ и коэффициент сноса имеет вид $b(x, t)=h(t)$ , то заменой решения $\varrho(x, t)$ на новую функцию

$\begin{equation*} \sigma(x, t)=\varrho(x-H(t), t), \qquad H(t)=\int_0^th(s)\,ds, \end{equation*} \notag$

задача сводится к уравнению теплопроводности. Следовательно, в этом случае вероятностное решение единственно.



Список литературы

1.	A. Albanese, L. Lorenzi, E. Mangino, “ $L^p$ -uniqueness for elliptic operators with unbounded coefficients in $\mathbb{R}^N$ ”, J. Funct. Anal., 256:4 (2009), 1238–1257
2.	D. G. Aronson, “Non-negative solutions of linear parabolic equations”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3), 22 (1968), 607–694
3.	D. G. Aronson, P. Besala, “Uniqueness of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations”, J. Math. Anal. Appl., 13:3 (1966), 516–526
4.	A. Attalienti, M. Campiti, “Semigroups generated by ordinary differential operators in $L^1(I)$ ”, Positivity, 8:1 (2004), 11–30
5.	Е. А. Бадерко, “О разрешимости граничных задач для параболических уравнений высокого порядка в областях с криволинейными боковыми границами”, Дифференц. уравнения, 12:10 (1976), 1781–1792 ; англ. пер.: E. A. Baderko, “Solvability of boundary-value problems for high-order parabolic equations in regions with curved lateral boundaries”, Differential Equations, 12:10 (1976), 1253–1261
6.	В. И. Богачев, “Операторы и полугруппы Орнштейна–Уленбека”, УМН, 73:2(440) (2018), 3–74 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, “Ornstein–Uhlenbeck operators and semigroups”, Russian Math. Surveys, 73:2 (2018), 191–260
7.	V. I. Bogachev, G. Da Prato, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On the uniqueness of solutions to continuity equations”, J. Differential Equations, 259:8 (2015), 3854–3873
8.	В. И. Богачев, Т. И. Красовицкий, С. В. Шапошников, “О неединственности вероятностных решений двумерного стационарного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, Докл. РАН, 482:5 (2018), 489–493 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, T. I. Krasovitskii, S. V. Shaposhnikov, “On non-uniqueness of probability solutions to the two-dimensional stationary Fokker–Planck–Kolmogorov equation”, Dokl. Math., 98:2 (2018), 475–479
9.	V. I. Bogachev, N. V. Krylov, M. Röckner, “On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions”, Comm. Partial Differential Equations, 26:11-12 (2001), 2037–2080
10.	В. И. Богачев, Н. В. Крылов, М. Рёкнер, “Эллиптические и параболические уравнения для мер”, УМН, 64:6(390) (2009), 5–116 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, N. V. Krylov, M. Röckner, “Elliptic and parabolic equations for measures”, Russian Math. Surveys, 64:6 (2009), 973–1078
11.	В. И. Богачёв, Н. В. Крылов, М. Рёкнер, С. В. Шапошников, Уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2013, 592 с.; англ. пер.: V. I. Bogachev, N. V. Krylov, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, Fokker–Planck–Kolmogorov equations, Math. Surveys Monogr., 207, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xii+479 с.
12.	В. И. Богачев, М. Рёкнер, С. В. Шапошников, “Глобальная регулярность и оценки решений параболических уравнений”, Теория вероятн. и ее примен., 50:4 (2005), 652–674 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Global regularity and bounds for solutions of parabolic equations for probability measures”, Theory Probab. Appl., 50:4 (2006), 561–581
13.	В. И. Богачев, М. Рёкнер, С. В. Шапошников, “Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 52:2 (2007), 240–270 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Estimates of densities of stationary distributions and transition probabilities of diffusion processes”, Theory Probab. Appl., 52:2 (2008), 209–236
14.	В. И. Богачев, М. Рёкнер, С. В. Шапошников, “Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 53:2 (2008), 213–239 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Positive densities of transition probabilities of diffusion processes”, Theory Probab. Appl., 53:2 (2009), 194–215
15.	В. И. Богачев, М. Рёкнер, С. В. Шапошников, “О проблемах единственности, связанных с уравнением Фоккера–Планка–Колмогорова для мер”, Проблемы матем. анализа, 61, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 9–42 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On uniqueness problems related to the Fokker–Planck–Kolmogorov equation for measures”, J. Math. Sci. (N.Y.), 179:1 (2011), 7–47
16.	V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On uniqueness of solutions to the Cauchy problem for degenerate Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Evol. Equ., 13:3 (2013), 577–593
17.	В. И. Богачев, М. Рёкнер, С. В. Шапошников, “Проблемы единственности для вырожденных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова”, Проблемы матем. анализа, 78, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2015, 31–46 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Uniqueness problems for degenerate Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Math. Sci. (N.Y.), 207:2 (2015), 147–165
18.	V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Distances between transition probabilities of diffusions and applications to nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Funct. Anal., 271:5 (2016), 1262–1300
19.	V. I. Bogachev, S. V. Shaposhnikov, “Representations of solutions to Fokker–Planck–Kolmogorov equations with coefficients of low regularity”, J. Evol. Equ., 20:2 (2020), 355–374
20.	A. Bove, B. Franchi, E. Obrecht, “Parabolic problems with mixed time dependent lateral conditions”, Comm. Partial Differential Equations, 7:11 (1982), 1253–1288
21.	A. Bove, B. Franchi, E. Obrecht, “Boundary value problems with mixed lateral conditions for parabolic operators”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 131 (1982), 375–413
22.	A. S. Cherny, “On the strong and weak solutions of stochastic differential equations governing Bessel processes”, Stochastics Stochastics Rep., 70:3-4 (2000), 213–219
23.	A. S. Cherny, H.-J. Engelbert, Singular stochastic differential equations, Lecture Notes in Math., 1858, Springer-Verlag, Berlin, 2005, viii+128 pp.
24.	A. Eberle, Uniqueness and non-uniqueness of semigroups generated by singular diffusion operators, Lecture Notes in Math., 1718, Springer-Verlag, Berlin, 1999, viii+262 pp.
25.	A. Eberle, “ $L^p$ uniqueness of non-symmetric diffusion operators with singular drift coefficients. I. The finite-dimensional case”, J. Funct. Anal., 173:2 (2000), 328–342
26.	Г. М. Фатеева, “Краевые задачи для квазилинейных вырождающихся уравнений параболического типа”, УМН, 22:3(135) (1967), 244–245
27.	Г. М. Фатеева, “О краевых задачах для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений”, Матем. сб., 76(118):4 (1968), 537–565 ; англ. пер.: G. M. Fateeva, “Boundary value problems for degenerate quasilinear parabolic equations”, Math. USSR-Sb., 5:4 (1968), 509–532
28.	В. Феллер, “К теории стохастических процессов (теоремы существования и единственности)”, УМН, 1938, № 5, 57–96 ; пер. с англ.: W. Feller, “Zur Theorie der stochastischen Prozesse. Existenz- und Eindeutigkeitssätze”, Math. Ann., 113:1 (1937), 113–160
29.	W. Feller, “The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations”, Ann. of Math. (2), 55:3 (1952), 468–519
30.	W. Feller, “Generalized second order differential operators and their lateral conditions”, Illinois J. Math., 1:4 (1957), 459–504
31.	G. Fichera, “On a unified theory of boundary value problems for elliptic parabolic equations of second order”, Boundary problems in differential equations, Univ. of Wisconsin Press, Madison, WI, 1960, 97–120
32.	A. Friedman, “On the uniqueness of the Cauchy problem for parabolic equations”, Amer. J. Math., 81:2 (1959), 503–511
33.	А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа, Мир, М., 1968, 427 с. ; пер. с англ.: A. Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1964, xiv+347 с.
34.	А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из $L_p$ ”, Матем. сб., 203:1 (2012), 3–30 ; англ. пер.: A. K. Gushchin, “The Dirichlet problem for a second-order elliptic equation with an $L_p$ boundary function”, Sb. Math., 203:1 (2012), 1–27
35.	А. К. Гущин, “О разрешимости задачи Дирихле для неоднородного эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 206:10 (2015), 71–102 ; англ. пер.: A. K. Gushchin, “Solvability of the Dirichlet problem for an inhomogeneous second-order elliptic equation”, Sb. Math., 206:10 (2015), 1410–1439
36.	А. К. Гущин, “О граничных значениях решений эллиптического уравнения”, Матем. сб., 210:12 (2019), 67–97 ; англ. пер.: A. K. Gushchin, “The boundary values of the solutions of an elliptic equation”, Sb. Math., 210:12 (2019), 1724–1752
37.	E. Hille, “The abstract Cauchy problem and Cauchy's problem for parabolic differential equations”, J. Anal. Math., 3 (1954), 81–196
38.	K. Ishige, M. Murata, “Uniqueness of nonnegative solutions of the Cauchy problem for parabolic equations on manifolds or domains”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 30:1 (2001), 171–223
39.	А. В. Иванов, “Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка”, Тр. МИАН СССР, 160, 1982, 3–285 ; англ. пер.: A. V. Ivanov, “Quasilinear degenerate and nonuniformly elliptic and parabolic equations of second order”, Proc. Steklov Inst. Math., 160 (1984), 1–288
40.	А. Н. Колмогоров, “Об аналитических методах в теории вероятностей”, УМН, 1938, № 5, 5–41 ; пер. с нем.: A. Kolmogoroff, “Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung”, Math. Ann., 104:1 (1931), 415–458
41.	А. Н. Колмогоров, “К теории непрерывных случайных процессов”, Теория вероятностей и математическая статистика, Наука, М., 1986, 149–161; пер. с нем.: A. Kolmogoroff, “Zur Theorie der stetigen zufälligen Prozesse”, Math. Ann., 104:1 (1933), 149–160
42.	Т. И. Красовицкий, “Вырожденные эллиптические уравнения и неединственность решений уравнения Колмогорова”, Докл. РАН, 487:4 (2019), 361–364 ; англ. пер.: T. I. Krasovitskii, “Degenerate elliptic equations and nonuniqueness of solutions to the Kolmogorov equation”, Dokl. Math., 100:1 (2019), 354–357
43.	О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967, 736 с. ; англ. пер.: O. A. Ladyženskaja, V. A. Solonnikov, N. N. Ural'ceva, Linear and quasi-linear equations of parabolic type, Transl. Math. Monogr., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968, xi+648 с.
44.	C. Le Bris, P.-L. Lions, “Existence and uniqueness of solutions to Fokker–Planck type equations with irregular coefficients”, Comm. Partial Differential Equations, 33:7-9 (2008), 1272–1317
45.	L. D. Lemle, “On the $L^{\infty}$ -uniqueness of symmetric diffusion operators on complete non-compact Riemannian manifolds”, J. Geom. Anal., 25:4 (2015), 2375–2385
46.	G. M. Lieberman, “A mostly elementary proof of Morrey space estimates for elliptic and parabolic equations with VMO coefficients”, J. Funct. Anal., 201:2 (2003), 457–479
47.	O. A. Manita, S. V. Shaposhnikov, “On the Cauchy problem for Fokker–Planck–Kolmogorov equations with potential terms on arbitrary domains”, J. Dynam. Differential Equations, 28:2 (2016), 493–518
48.	P. J. Mendez-Hernandez, M. Murata, “Semismall perturbations, semi-intrinsic ultracontractivity, and integral representations of nonnegative solutions for parabolic equations”, J. Funct. Anal., 257:6 (2009), 1799–1827
49.	G. Metafune, D. Pallara, M. Wacker, “Feller semigroups on $\mathbf R^N$ ”, Semigroup Forum, 65:2 (2002), 159–205
50.	M. Murata, “Non-uniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations”, J. Differential Equations, 123:2 (1995), 343–387
51.	О. А. Олейник, Е. В. Радкевич, Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой, Изд-во Моск. ун-та, М., 2010, 359 с.; англ. пер.: O. A. Ole\u inik, E. V. Radkevič, Second order equations with nonnegative characteristic form, Plenum Press, New York–London, 1973, vii+259 с.
52.	Y. Pinchover, “On uniqueness and nonuniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations with unbounded coefficients”, Math. Z., 223:4 (1996), 569–586
53.	Y. Pinchover, “Topics in the theory of positive solutions of second-order elliptic and parabolic partial differential equations”, Spectral theory and mathematical physics: a Festschrift in honor of Barry Simon's 60th birthday, Part 1, Proc. Sympos. Pure Math., 76, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 329–355
54.	M. H. Protter, H. F. Weinberger, Maximum principles in differential equations, Corr. reprint of the 1967 original, Springer-Verlag, New York, 1984, x+261 pp.
55.	Е. В. Радкевич, “Вторая краевая задача для уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1967, № 4, 3–11
56.	D. Revuz, M. Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Grundlehren Math. Wiss., 293, 3rd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1999, xiv+602 pp.
57.	G. Savaré, “Parabolic problems with mixed variable lateral conditions: an abstract approach”, J. Math. Pures Appl. (9), 76:4 (1997), 321–351
58.	S. Sawyer, “A Fatou theorem for the general one-dimensional parabolic equation”, Indiana Univ. Math. J., 24:5 (1974/75), 451–498
59.	С. В. Шапошников, “О единственности интегрируемых и вероятностных решений задачи Коши для уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова”, Докл. РАН, 439:3 (2011), 323–328 ; англ. пер.: S. V. Shaposhnikov, “On the uniqueness of integrable and probability solutions to the Cauchy problem for the Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, Dokl. Math., 84:1 (2011), 565–570
60.	С. В. Шапошников, “О единственности вероятностного решения задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, Теория вероятн. и ее примен., 56:1 (2011), 77–99 ; англ. пер.: S. V. Shaposhnikov, “On uniqueness of a probability solution to the Cauchy problem for the Fokker–Planck–Kolmogorov equation”, Theory Probab. Appl., 56:1 (2012), 96–115
61.	Г. Н. Смирнова, “О классах единственности решения задачи Коши для параболических уравнений”, Докл. АН СССР, 153:6 (1963), 1269–1272 ; англ. пер.: G. N. Smirnova, “Uniqueness classes of the Cauchy problem for parabolic equations”, Soviet Math. Dokl., 4 (1963), 1828–1831
62.	Г. Н. Смирнова, “Задачи Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности”, Матем. сб., 70(112):4 (1966), 591–604 ; англ. пер.: G. N. Smirnova, “Cauchy problems for parabolic equations degenerating at infinity”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 72, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968, 119–134
63.	В. А. Солонников, “О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида”, Краевые задачи математической физики. 3. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида, Тр. МИАН СССР, 83, 1965, 3–163 ; англ. пер.: V. A. Solonnikov, “On boundary value problems for linear parabolic systems of differential equations of general form”, Proc. Steklov Inst. Math., 83 (1965), 1–184
64.	W. Stannat, “(Nonsymmetric) Dirichlet operators on $L^1$ : existence, uniqueness and associated Markov processes”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 28:1 (1999), 99–140
65.	A. Tychonoff, “Théorèmes d'unicité pour l'équation de la chaleur”, Матем. сб., 42:2 (1935), 199–216
66.	А. Д. Вентцель, “Полугруппы операторов, соответствующие обобщенному дифференциальному оператору второго порядка”, Докл. АН СССР, 111:2 (1956), 269–272
67.	А. Д. Вентцель, “О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 4:2 (1959), 172–185 ; англ. пер.: A. D. Venttsel', “On boundary conditions for multidimensional diffusion processes”, Theory Probab. Appl., 4:2 (1959), 164–177
68.	D. V. Widder, “Positive temperatures on an infinite rod”, Trans. Amer. Math. Soc., 55 (1944), 85–95
69.	Liming Wu, Yiping Zhang, “A new topological approach to the $L^\infty$ -uniqueness of operators and the $L^1$ -uniqueness of Fokker–Planck equations”, J. Funct. Anal., 241:2 (2006), 557–610
70.	K. Yosida, “Integration of Fokker–Planck's equation in a compact Riemannian space”, Ark. Mat., 1 (1949), 71–75

Образец цитирования: В. И. Богачев, Т. И. Красовицкий, С. В. Шапошников, “О единственности вероятностных решений уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, Матем. сб., 212:6 (2021), 3–42; V. I. Bogachev, T. I. Krasovitskii, S. V. Shaposhnikov, “On uniqueness of probability solutions of the Fokker-Planck-Kolmogorov equation”, Sb. Math., 212:6 (2021), 745–781

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BogKraSha21}

\by В.~И.~Богачев, Т.~И.~Красовицкий, С.~В.~Шапошников

\paper О единственности вероятностных решений уравнения Фоккера--Планка--Колмогорова

\jour Матем. сб.

\yr 2021

\vol 212

\issue 6

\pages 3--42

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9427}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9427}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1479.35861}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212..745B}

\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=47026044}

\transl

\by V.~I.~Bogachev, T.~I.~Krasovitskii, S.~V.~Shaposhnikov

\paper On uniqueness of probability solutions of the Fokker-Planck-Kolmogorov equation

\jour Sb. Math.

\yr 2021

\vol 212

\issue 6

\pages 745--781

\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9427}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000686620900001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85115854572}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9427

https://doi.org/10.4213/sm9427

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i6/p3

Эта публикация цитируется в следующих 6 статьяx:

В. И. Богачев, С. В. Шапошников, “Нелинейные уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, УМН, 79:5(479) (2024), 3–60 ; V. I. Bogachev, S. V. Shaposhnikov, “Nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, Russian Math. Surveys, 79:5 (2024), 751–805
В. И. Богачев, М. Рёкнер, С. В. Шапошников, “Задачи Колмогорова об уравнениях для стационарных и переходных вероятностей диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 68:3 (2023), 420–455 ; V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Kolmogorov problems on equations for stationary and transition probabilities of diffusion processes”, Theory Probab. Appl., 68:3 (2023), 342–369
L. Dai, F. Daum, “On the design of stochastic particle flow filters”, IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 59:3 (2023), 2439
Т. И. Красовицкий, С. В. Шапошников, “Принцип суперпозиции для уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова с неограниченными коэффициентами”, Функц. анализ и его прил., 56:4 (2022), 59–79 ; T. I. Krasovitskii, S. V. Shaposhnikov, “The superposition principle for Fokker–Planck–Kolmogorov equations with unbounded coefficients”, Funct. Anal. Appl., 56:4 (2022), 282–298
S. Albeverio, V. I. Bogachev, M. Röckner, “Markov uniqueness and Fokker-Planck-Kolmogorov equations”, Springer Proc. Math. Stat., 394, Dirichlet Forms and Related Topics, Springer, Singapore, 2022, 1–21
В. И. Богачев, Т. И. Красовицкий, С. В. Шапошников, “О неединственности вероятностных решений задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 498 (2021), 16–20 ; V. I. Bogachev, T. I. Krasovitskii, S. V. Shaposhnikov, “On nonuniqueness of probability solutions to the Cauchy problem for the Fokker-Planck-Kolmogorov equation”, Dokl. Math., 103:3 (2021), 108–112

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	638
PDF русской версии:	161
PDF английской версии:	104
HTML русской версии:	248
Список литературы:	62
Первая страница:	35

Что такое QR-код?

Обратная связь:
math-net2025_04@mi-ras.ru

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы