Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2021, том 212, номер 4, страницы 3–28
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9298
(Mi sm9298)
 

Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях)

Приближение наипростейшими дробями в неограниченных областях

П. А. Бородинab, К. С. Шкляевab

a Лаборатория "Многомерная аппроксимация и приложения", Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Список литературы:
Аннотация: Для неограниченных односвязных областей D комплексной плоскости, ограниченных несколькими простыми кривыми с регулярным асимптотическим поведением на бесконечности, получены условия, необходимые или достаточные для того, чтобы наипростейшие дроби (логарифмические производные многочленов) с полюсами на границе D были плотны в пространстве функций, голоморфных в D (с топологией равномерной сходимости на компактах из D). В случае полосы Π, ограниченной двумя параллельными прямыми, получены оценки скорости сходимости к нулю внутри Π наипростейших дробей с полюсами на границе Π и с одним фиксированным полюсом.
Библиография: 16 названий.
Ключевые слова: равномерное приближение, наипростейшая дробь, неограниченная область, плотность полугруппы.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 18-01-00333-а
Министерство образования и науки Российской Федерации 14.W03.31.0031
Исследование П. А. Бородина выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 18-01-00333-а). Исследование К. С. Шкляева выполнено при поддержке гранта Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых (проект № 14.W03.31.0031).
Поступила в редакцию: 30.06.2019 и 16.09.2020
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 4, Pages 449–474
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9298
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.538.5
MSC: 46B20, 41A65, 46E15

§ 1. Введение

Работа посвящена равномерному приближению наипростейшими дробями, т.е. дробями вида

r(z)=nk=11zak,akC,
внутри области D комплексной плоскости C при условии, что полюсы ak приближающих дробей лежат на границе D этой области.

Обозначим SF(E) совокупность всех наипростейших дробей с полюсами на множестве EC. Как обычно, A(D) обозначает пространство функций, голоморфных в области D (с топологией равномерной сходимости на компактах KD); AC(K) обозначает пространство функций, непрерывных на компакте K и голоморфных в его внутренних точках (с равномерной нормой).

Теорема A (Кореваар, см. [1]). Для всякой ограниченной односвязной области D множество SF(D) плотно в A(D).

К этому результату примыкает теорема типа теоремы С. Н. Мергеляна, доказанная В. И. Данченко и Д. Я. Данченко (см. [2]): для компакта KC множество SF(CK) плотно в AC(K) тогда и только тогда, когда K не разбивает плоскость.

Нетрудно видеть, что достаточность в теореме Данченко следует (с использованием теоремы Мергеляна) из теоремы Кореваара (авторы [2] не знали о работе [1]). Однако именно с работы [2] началось интенсивное исследование приближений наипростейшими дробями. В частности, был доказан следующий результат (см. [3], [4]), обобщающий оба приведенных результата Я. Кореваара и В. И. и Д. Я. Данченко.

Пусть K и E – два не пересекающихся компакта в C, ˆE обозначает объединение компакта E со всеми ограниченными компонентами связности дополнения CE. Тогда (1) если KˆE содержит бесконечно много точек, то SF(E) не плотно в AC(K); (2) если KˆE и CK связно, то SF(E) плотно в AC(K).

Здесь утверждения (1) и (2) почти обратны друг другу. В промежуточном случае, когда KˆE непусто и конечно, SF(E) может быть как плотно, так и не плотно в AC(K); см. [3].

Односвязность области D в теореме Кореваара существенна: в случае наличия в D контура S, окружающего какую-то граничную точку aD, функция 1/(2z2a) не приближается равномерно на S дробями из SF(D), поскольку интеграл по S от этой функции равен πi, а интеграл от всякой дроби из SF(D) кратен 2πi.

Имеется обобщение теоремы A на случай неограниченных областей.

Теорема B (Элкинс, см. [5]). Если односвязная область D содержится в полуплоскости и не содержит полуплоскость, то SF(D) плотно в A(D).

Отметим, что формально теорем A и B нет в работах [1] и [5], однако они следуют непосредственно из основных результатов этих работ (см., например, [3]).

Помимо техники Кореваара, при доказательстве теоремы B Элкинс существенно использует следующий результат Линдварта–Полиа–Ганелиуса (см. [6]): если область G содержит полуплоскость и последовательность многочленов, каждый из которых имеет все свои нули вне G, сходится равномерно на некотором круге из G к ненулевой функции, то она сходится равномерно на компактах во всей плоскости. Условие “G содержит полуплоскость” в этом утверждении существенно (см. [6]), и непонятно, как обобщить его на другие неограниченные области, с тем чтобы получить аналоги теоремы B для областей, не лежащих в полуплоскости (в [5] роль G играет та из дополнительных областей к D, которая содержит полуплоскость). Впрочем, мы доказываем аналог теоремы B для областей, получаемых взятием корня целой степени из области, лежащей в полуплоскости (теорема 3 ниже).

Цель настоящей работы – перенести теорему A на класс неограниченных односвязных областей с регулярным асимптотическим поведением границы на бесконечности. Именно, для таких областей D выделены условия, необходимые (теорема 1 и следствие 1 ниже) и достаточные (теорема 2 и следствие 2) для плотности SF(D) в A(D). Эти условия почти смыкаются друг с другом. Получены также условия, необходимые или достаточные для плотности производных наипростейших дробей (теорема 1, лемма 5).

Техника наших доказательств происходит из общей теории плотности полугруппы в банаховом пространстве (см. [7]), и именно она диктует ограничения типа спрямляемости границы в сферической метрике в теореме 2.

Исследуя в основном качественные вопросы приближения наипростейшими дробями (есть или нет плотность в A(D)), в последнем параграфе мы доказываем также оценку сверху скорости сходимости к нулю наипростейших дробей из SF(D) с фиксированным полюсом для частного случая полосы D={z:|Imz|<1} (теорема 4), тем самым решая задачу типа задачи Е. А. Горина.

§ 2. Основные результаты

Напомним, что множество M в банаховом пространстве X называется разносторонним (см. [7]), если для любого ненулевого функционала fX существует такой элемент xM, что f(x)<0 (Ref(x)<0 в случае комплексного X). Если множество M не является разносторонним в X, то оно лежит в полупространстве, и ни само M, ни всевозможные суммы его элементов не плотны в X.

Теорема 1. Пусть E – замкнутое множество в ¯C, дополнение ¯CE связно, и для некоторых R>0 и nN множество

{zn:zE,|z|>R}
лежит в некотором угле величины строго меньше π с вершиной в нуле. Тогда для всякого бесконечного компакта K, не пересекающегося с E, и для всякого m=1,,n множество
SF(m)(E)={Nk=11(zak)m:akE,NN}
не является разносторонним в пространстве AC(K), а значит, не плотно в этом пространстве.

Более точно, при каждом m=1,,n для всякой предельной точки a компакта K найдутся такая мера μm с носителем на K и такое c>0, что

ImKdμm(z)(zw)mc|wa|n
для всех wE.

Следствие 1. Пусть граница области DC состоит из конечного числа кривых

ξk={ξk(t):t[0,1]}¯C,k=1,,m,
обладающих следующими свойствами:

(1) каждая кривая ξk является замкнутой жордановой кривой в ¯C; разные ξk и ξj пересекаются только в ;

(2) для каждого k=1,,m выполнено

ξk(0)=ξk(1)=,ξk(t)Cпри  0<t<1,lim
где 0 \leqslant \alpha_1 \leqslant \beta_1 \leqslant \alpha_2 \leqslant \beta_2 \leqslant \dots \leqslant \alpha_m \leqslant \beta_m \leqslant 2\pi (область, ограниченная кривой \xi_k и имеющая вблизи \infty асимптотические направления между \alpha_k и \beta_k, является дополнительной к D);

(3) для некоторого натурального n множество

\begin{equation*} \bigcup_{k=1}^m \{ z^n\colon \alpha_k < \arg z < \beta_k\} \end{equation*} \notag
лежит в некотором угле величины строго меньше \pi с вершиной в нуле.

Тогда множество \operatorname{SF}(\partial D) наипростейших дробей с полюсами на \partial D неплотно в пространстве \operatorname{AC}(K) для всякого бесконечного компакта K\subset D.

Доказательство. Формально это утверждение не следует из теоремы 1, ибо E=\partial D разбивает плоскость. Однако если взять в качестве E множество \overline{{\mathbb C}}\setminus D, то оно удовлетворяет всем условиям теоремы 1, и по этой теореме получится, что \operatorname{SF}^{(1)}(\overline{{\mathbb C}}\setminus D)\supset \operatorname{SF}(\partial D) не плотно ни в одном из пространств \operatorname{AC}(K), где K – произвольный бесконечный компакт в области D. Следствие доказано.

Теорема 2. Пусть граница области D \subset \mathbb{C} состоит из конечного числа кривых

\begin{equation*} \xi_k=\{ \xi_k (t)\colon t \in [0,1]\} \subset \overline{\mathbb{C}}, \qquad k=1,\dots, m, \end{equation*} \notag
обладающих следующими свойствами:

(1) каждая кривая \xi_k спрямляема в сферической метрике и является замкнутой жордановой кривой в \overline{\mathbb{C}}; разные \xi_k и \xi_j пересекаются только в \infty;

(2) для каждого k=1,\dots, m выполнено

\begin{equation*} \begin{gathered} \, \xi_k(0)=\xi_k(1)=\infty, \qquad \xi_k(t) \in {\mathbb C} \quad\textit{при }\ 0 < t < 1, \\ \lim_{t \to 0} \arg \xi_k(t)=\alpha_k, \qquad \lim_{t \to 1} \arg \xi_k(t)=\beta_k, \end{gathered} \end{equation*} \notag
где 0 \leqslant \alpha_1 \leqslant \beta_1 \leqslant \alpha_2 \leqslant \beta_2 \leqslant \dots \leqslant \alpha_m \leqslant \beta_m \leqslant 2\pi (область, ограниченная кривой \xi_k и имеющая вблизи \infty асимптотические направления между \alpha_k и \beta_k, является дополнительной к D), причем \arg \xi_k(t) имеет ограниченную вариацию вблизи t=0 и t=1;

(3) для всякого натурального n множество

\begin{equation*} \bigcup_{k=1}^m\{ z^n\colon \alpha_k < \arg z < \beta_k\} \end{equation*} \notag
не лежит ни в какой замкнутой полуплоскости, граничная прямая которой проходит через 0.

Тогда множество \operatorname{SF}(\partial D) наипростейших дробей с полюсами на \partial D всюду плотно в пространстве A(D).

Конечно, теорема 2 с ее многочисленными условиями выглядит не так эффектно, как теорема B, но она вскрывает факт, необходимый для понимания решаемой задачи: для плотности \operatorname{SF}(\partial D) в A(D) важно не то, что дополнение к D занимает по крайней мере половину азимута на бесконечности (как в теореме B или в теореме 3 ниже), а то, что после возведения в любую степень дополнение на бесконечности “торчит во все стороны”, не покрывается полуплоскостью (и это подтверждается теоремой 1). Ясно, что дополнение к области, удовлетворяющей условиям теоремы 2, может занимать сколь угодно малую долю азимута на бесконечности.

Приведем пример взаимодействия теоремы B и теоремы 2.

Следствие 2. Пусть непрерывно дифференцируемые функции h_1,h_2\colon {\mathbb R}\,{\to}\,{\mathbb R} таковы, что h_1(x)<h_2(x) при всех x, все четыре предела \lim_{x\to\pm\infty }(h_k(x)/x) существуют и по модулю строго меньше 1, и отношения h_k(x)/x монотонны на лучах (-\infty,R) и (R,\infty) для некоторого R. Тогда для области

\begin{equation*} H=\bigl\{z=x+iy\colon x\in {\mathbb R},\, y\in (h_1(x),h_2(x))\bigr\} \end{equation*} \notag
дроби \operatorname{SF}(\partial H) плотны в A(H).

Если h_1(x)>\mathrm{const} или h_2(x)<\mathrm{const} при всех x, то в этом утверждении можно требовать лишь непрерывность обеих функций, без всяких условий асимптотического поведения на бесконечности.

Доказательство. Действительно, область H в данном случае ограничена графиками функций h_1 и h_2, которые как кривые в комплексной плоскости удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Последнее утверждение следствия обосновывается тем, что в случае ограниченности функции h_1 снизу или функции h_2 сверху область H удовлетворяет условиям теоремы B. Следствие доказано.

Дополним теорему 2 еще одним результатом – фактически следствием из теоремы B, позволяющим работать с областями специального вида, но без каких-либо условий асимптотического поведения границы на бесконечности.

Теорема 3. Пусть односвязная область D содержится в полуплоскости и не содержит полуплоскость. Если 0\in D, то для всякого натурального q\geqslant 2 множество

\begin{equation*} \sqrt[q]{D}:=\{z\in {\mathbb C}\colon z^q\in D\} \end{equation*} \notag
является односвязной областью и \operatorname{SF}(\partial \sqrt[q]{D}) плотно в A(\sqrt[q]{D}).

§ 3. Доказательство теоремы 1

Ниже U(a,r) обозначает открытый круг с центром a и радиусом r.

1. По условию компакт K имеет предельную точку a вне E. Без ограничения общности можно считать, что это точка a=0: при сдвиге начала координат условия теоремы не нарушаются. Для определенности считаем, что E\cap \overline{U(0,1/R)}=\varnothing и что множество \{z^n\colon z\in E,\,|z|>R\} лежит в угле \{z\colon \pi+\delta< \arg z <2\pi -\delta\} для некоторого \delta>0.

Положим E^{-1}=\{1/z\colon z\in E\}\cup \{0\}. Это компакт, лежащий в круге U(0,R), не разбивающий плоскость, причем подмножество E^{-1}\cap \{z\colon 0<|z|<1/R\} лежит в объединении секторов

\begin{equation} \bigcup_{\nu=1}^n \biggl\{z\colon \frac{\delta+2\pi(\nu-1)}{n}<\arg z< \frac{\pi-\delta+2\pi(\nu-1)}{n}\biggr\}. \end{equation} \tag{3.1}

Обозначим

\begin{equation*} S_k=\biggl\{z\colon \frac{\pi(k-1)}{n}<\arg z< \frac{\pi k}{n}\biggr\}, \qquad k=1,\dots,2n. \end{equation*} \notag
При четном k сектор S_k\cap U(0,1/R) не содержит точек E^{-1}.

2. Покажем, что в \overline{{\mathbb C}} существуют такие кусочно гладкие кривые l_k, k=2,4,\dots,2n, c концами 0 и \infty, что

(i) l_k\cap l_j=\{0,\infty\} при k\neq j;

(ii) l_k\cap E^{-1}=\{0\} для каждого k;

(iii) для каждого k=2,4,\dots,2n некоторая открытая дуга кривой l_k с концом 0 лежит целиком в секторе S_k.

Для j=1,\dots, n выберем точки z_{j} \in S_{2j} с |z_j|= 1/(2R). Множество F_0:= E^{-1} \cup \bigcup_{j=1}^{n} [0,z_{j}] не разбивает плоскость. Будем последовательно строить такие попарно не пересекающиеся конечнозвенные ломаные \gamma_{q}\colon [0,1] \to \overline{U(0,R)} без самопересечений (q=1,\dots, n), что \gamma_{q}((0,1)) \subset U(0,R) \setminus F_0, \gamma_{q}(0)=z_{q}, |\gamma_{q}(1)|=R. Формально определим \gamma_0([0,1])=\varnothing. Пусть 0 \leqslant q < n и ломаные \gamma_{j}, j=0,\dots, q построены. Докажем, что можно построить ломаную \gamma_{q+1}. Множество F_q := F_0 \cup \bigcup_{j=0}^{q} \gamma_{j}([0,1]) не разбивает плоскость, и его граничная точка z_{q+1} имеет окрестность, пересечение которой с F_q есть отрезок. Поэтому существует такая конечнозвенная ломаная \gamma\colon [0,1] \to \mathbb{C} без самопересечений, что \gamma((0,1]) \subset \mathbb{C} \setminus F_q, \gamma(0)=z_{q+1}, \gamma(1)=2R. Существует такое число s \in (0,1], что \gamma([0,s)) \subset U(0,R), |\gamma(s)|=R. Тогда в качестве ломаной \gamma_{q+1} возьмем ломаную \gamma([0,s]). Итак, ломаные \gamma_j, j \leqslant n, построены. Для каждого k=2, 4,\dots, 2n рассмотрим ломаную l_k на \overline{\mathbb{C}}, составленную из отрезка [0,z_{k/2}], ломаной \gamma_{k/2} и луча \{t\gamma_{k/2}(1)\colon t\in [1,+\infty]\}. Ясно, что l_k обладают свойствами (i)–(iii).

3. Кривые l_k разбивают \overline{{\mathbb C}} на n односвязных областей \Omega_1,\dots,\Omega_n (\partial \Omega_1 =l_2\cup l_{2n}, \partial \Omega_\nu =l_{2\nu-2}\cup l_{2\nu}, \nu=2,\dots, n). Положим E_\nu^{-1}=(E^{-1}\cap \Omega_\nu)\cup \{0\}, \nu=1,\dots, n.

В силу условия (iii) п. 2 найдется такое число s\in (0,1/R), что l_k\cap \{z\colon 0<|z|<s\}\subset S_k для всех k=2, 4,\dots, 2n. Соответственно, для каждого \nu=1,\dots,n пересечение E_\nu^{-1}\cap \{z\colon 0<|z|<s\} лежит в \nu-м секторе из объединения (3.1).

Возьмем внутри \Omega_\nu такую ограниченную односвязную подобласть D_\nu с кусочно гладкой границей, что E_\nu^{-1}\setminus\{0\}\subset D_\nu и

\begin{equation*} D_\nu\cap U(0,s)=S_{2\nu-1}\cap U(0,s). \end{equation*} \notag
Кроме того, потребуем, чтобы \overline{D_k}\cap \overline{D_j}=\{0\} при k\neq j. Пусть f_\nu – такое конформное отображение области D_\nu на сектор \Lambda_\nu=S_{2\nu-1}\cap U(0,r_\nu), что его продолжение на границу D_\nu переводит точки 0, s\exp((2\nu-2)\pi i/n), s\exp((2\nu-1)\pi i/n) соответственно в точки 0, r_\nu\exp((2\nu-2)\pi i/n), r_\nu \exp((2\nu-1)\pi i/n), так что боковые отрезки сектора S_{2\nu-1}\cap U(0,s) переходят в соответствующие боковые отрезки сектора S_{2\nu-1}\cap U(0,r_\nu) (радиусы r_\nu выберем чуть позже).

4. Покажем, что f_\nu(z)=c_\nu z+o(z) при z\to 0, где c_\nu >0.

Действительно, функция f_\nu^n(\zeta^{1/n}) определена в верхней полуокрестности нуля (которая переводится ветвью \zeta^{1/n} в сектор S_{2\nu-1}\cap U(0,s)) и отображает ее в другую верхнюю полуокрестность нуля так, что отрезок [-s^{1/n},s^{1/n}] переходит в отрезок [-r_\nu^n,r_\nu^n]. По принципу симметрии эта функция продолжается до голоморфной в полную окрестность нуля, так что

\begin{equation*} f_\nu^n(\zeta^{1/n})=C_\nu \zeta+o(\zeta), \qquad \zeta\to 0, \end{equation*} \notag
где C_\nu >0. Отсюда f_\nu(z)=c_\nu z+o(z), где c_\nu\in\sqrt[n]{C_\nu}. Положительность c_\nu следует из того, что f_\nu переводит стороны сектора S_{2\nu-1} вблизи нуля в себя.

5. Выберем r_\nu так, чтобы было c_\nu=1, \nu=1,\dots,n (умножим f_\nu на соответствующее положительное число).

Рассмотрим функцию f, определенную на множестве \bigcup_{\nu=1}^n\overline{D_\nu} и равную f_\nu на каждом \overline{D_\nu}.

Ясно, что функция f(z)/z принадлежит классу \operatorname{AC}\bigl(\bigcup_{\nu=1}^n\overline{D_\nu}\bigr), компакт \bigcup_{\nu=1}^n\overline{D_\nu} не разбивает плоскость, поэтому по теореме С. Н. Мергеляна найдется такой многочлен P(z), что для всякого z\in \bigcup_{\nu=1}^n\overline{D_\nu}\supset E^{-1} выполнено неравенство

\begin{equation} \biggl|\frac{f^n(z)}{z^n}-P(z)\biggr|<\frac{\varepsilon_0}{2}, \end{equation} \tag{3.2}
где величину \varepsilon_0 выберем следующим образом.

6. Докажем существование такого \varepsilon_0>0, что для всякого z\in E^{-1} выполнено неравенство

\begin{equation} \operatorname{Im} f^n(z)\geqslant \varepsilon_0 |z|^n. \end{equation} \tag{3.3}

Действительно, пусть z\in E_\nu^{-1}. В достаточно малой окрестности нуля V(0) неравенство (3.3) с некоторым \varepsilon_0=\varepsilon_0(\nu) выполнено в силу утверждения п. 4 и того, что E_\nu^{-1}\cap V(0) лежит в \nu-м суженном секторе из объединения (3.1). Остаток E_\nu^{-1}\setminus V(0) компактно принадлежит области D_\nu, а значит, его образ f_\nu^n(E_\nu^{-1}\setminus V(0)) компактно принадлежит верхней полуплоскости, так что для точек z\in E_\nu^{-1}\setminus V(0) неравенство (3.3) также выполнено с некоторым (другим) \varepsilon_0=\varepsilon_0'(\nu). Остается взять минимум чисел \varepsilon_0(\nu) и \varepsilon_0'(\nu) по всем \nu=1,\dots,n.

7. Для z\in E^{-1} из (3.2) и (3.3) получаем

\begin{equation*} \operatorname{Im} z^n P(z)\geqslant \operatorname{Im} f^n(z)-\biggl|z^n\biggl(\frac{f^n(z)}{z^n}-P(z)\biggr)\biggr|\geqslant \frac{\varepsilon_0}{2}|z|^n. \end{equation*} \notag
Следовательно, для всех w\in E выполнено неравенство
\begin{equation} \operatorname{Im} \frac{1}{w^n}P\biggl(\frac{1}{w}\biggr)\geqslant \frac{\varepsilon_0}{2|w|^n}. \end{equation} \tag{3.4}

8. Пусть

\begin{equation*} \frac{1}{w^n}P\biggl(\frac{1}{w}\biggr)=\frac{b_n}{w^n}+\dots+\frac{b_N}{w^N}. \end{equation*} \notag
Выше мы предположили, что 0 – предельная точка компакта K; пусть a_j\to 0, a_j\in K.

Фиксируем m\in\{1,\dots,n\}.

Покажем, что для каждого k=n,\dots,N найдется такая рациональная функция r_k(w) со всеми полюсами порядка ровно m в каких-то точках a_j, что неравенство

\begin{equation} \biggl|\frac{1}{w^k}-r_k(w)\biggr|<\frac{\varepsilon_0}{4N(|b_k|+1)|w|^n} \end{equation} \tag{3.5}
выполнено при всех w\in E.

Действительно, для всякого \varepsilon>0 найдется такой номер \nu, что неравенство

\begin{equation*} \biggl|\frac{1}{w^{k-m+1}}-\frac{1}{(w-a_\nu)\dotsb(w-a_{\nu+k-m})} \biggr|<\varepsilon \end{equation*} \notag
выполнено для всех w, удовлетворяющих неравенству |w|>1/(2R) (напомним, E\subset \{w\colon |w|>1/R\}). Вычитаемое под модулем (обозначим его r) является линейной комбинацией дробей 1/(w-a_j), j=\nu,\dots,\nu+k-m. В силу интегральной формулы Коши для производных при |w|\geqslant 1/R выполнено неравенство
\begin{equation} \biggl|\frac{1}{w^k}-r_k(w)\biggr|<C_1(R,m) \varepsilon, \end{equation} \tag{3.6}
где r_k пропорциональна (m-1)-й производной функции r и представляет собой линейную комбинацию дробей 1/(w-a_j)^m с теми же j. Поскольку подмодульная функция в (3.6) голоморфна при |w|\geqslant 1/R и ее ряд Лорана в \infty имеет вид c_{k+1}/w^{k+1}+c_{k+2}/w^{k+2}+\dotsb, по лемме Шварца имеем
\begin{equation*} \biggl|\frac{1}{w^k}-r_k(w)\biggr|< \frac{C_2(R,m,k) \varepsilon}{|w|^{k+1}}\leqslant \frac{C_3(R,m,k,n) \varepsilon}{|w|^n} \end{equation*} \notag
при |w|\geqslant 1/R. Подбирая нужное \varepsilon, получим оценку (3.5).

9. Функция r_k может быть представлена в виде

\begin{equation*} r_k(w)=\int_K \frac{d\mu_k (z)}{(z-w)^m}, \end{equation*} \notag
где \mu_k есть линейная комбинация единичных атомных мер, сосредоточенных в указанных точках a_j.

Тогда для меры \mu=b_n\mu_n+\dots +b_N\mu_N имеем \operatorname{supp} \mu\subset K и в силу (3.5)

\begin{equation*} \biggl|\int_K \frac{d\mu (z)}{(z-w)^m}-\frac{1}{w^n}P\biggl(\frac{1}{w}\biggr)\biggr|< \frac{\varepsilon_0}{4|w|^n} \end{equation*} \notag
для всех w\in E, откуда в силу (3.4) имеем
\begin{equation*} \operatorname{Im}\int_K \frac{d\mu (z)}{(z-w)^m}\geqslant \frac{\varepsilon_0}{4|w|^n} \end{equation*} \notag
при каждом w\in E, что и требовалось. Мера \mu как ненулевая мера с конечным носителем определяет ненулевой функционал на пространстве \operatorname{AC}(K), и интеграл в последнем неравенстве равен значению этого функционала на функции 1/(z-w)^m. Таким образом, множество \operatorname{SF}^{(m)}(E) не является разносторонним в \operatorname{AC}(K).

Теорема 1 доказана.

§ 4. Вспомогательные результаты

Для всякого спрямляемого жорданова контура S, лежащего в области D вместе со своей внутренностью, обозначим через \operatorname{AL}_2(S) пополнение пространства A(D) по норме

\begin{equation*} \| f \|= \biggl(\int_{S}|f(z)|^2\,|dz|\biggr)^{1/2}. \end{equation*} \notag
Ясно, что \operatorname{AL}_2(S) является гильбертовым пространством.

Лемма 1. Пусть непрерывная кривая \xi=\{\xi(t)\colon t \in [0,1] \} \subset \overline{{\mathbb C}} спрямляема в сферической метрике и обладает следующими свойствами: \xi([0,1)) \subset {\mathbb C}, \xi(1)=\infty, существует \lim_{t \to 1} \arg \xi(t), \arg \xi(t) имеет ограниченную вариацию вблизи точки t=1. Тогда для всякого гладкого контура S \subset {\mathbb C} \setminus \xi и всякого натурального n семейства функций

\begin{equation*} \biggl\{ f_t (z)=\frac{|\xi(t)|^n}{(z - \xi(t))^n}\colon t \in [0,1] \biggr\}, \qquad \biggl\{ g_t (z)=\frac{1}{(z - \xi(t))^n}\colon t \in [0,1] \biggr\} \end{equation*} \notag
представляют собой спрямляемые кривые в пространстве \operatorname{AL}_2(S).

Доказательство. Положим
\begin{equation*} M=\max\{ |z|\colon z \in S\}, \qquad \delta=\min \{|z-\zeta|\colon z \in S,\, \zeta \in \xi \}. \end{equation*} \notag
Для всех пар z \in S, \zeta \in \xi имеем
\begin{equation*} \biggl| \frac{\zeta}{z - \zeta} \biggr| \leqslant C_1(M, \delta)= \begin{cases} \dfrac{2M}{\delta}, & |\zeta| \leqslant 2M, \\ 2, & |\zeta| > 2M. \end{cases} \end{equation*} \notag
Возьмем такое \eta \in (0,1), что \arg \xi(t) имеет ограниченную вариацию на [\eta,1] и |\xi(t)| > 2M при t \in [\eta,1]. Положим R=\max\{ |\xi(t)|\colon t \in [0, (1+\eta)/2]\}.

Для всякого положительного \varepsilon < (1-\eta)/2 и всяких двух значений t, s \in [0, 1], |t-s| < \varepsilon, \xi(t)= a, \xi(s)=b, при z\in S оценим

\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag |f_t(z) - f_s(z)| &=\biggl| \frac{|a|^n}{(z-a)^n} -\frac{|b|^n}{(z-b)^n} \biggr| \\ \notag &\leqslant \biggl| \frac{z(|a| - |b|) + a |b|-b|a|}{(z-a)(z-b)} \biggr| \sum_{k=0}^{n-1} \biggl|\frac{a}{z-a} \biggr|^k \,\biggl| \frac{b}{z-b} \biggr|^{n-1-k} \\ \notag &\leqslant n C_1(M, \delta)^{n-1} \biggl( M \biggl| \frac{|a| - |b|}{(z-a)(z-b)} \biggr| + \biggl| \frac{a|b| - b |a|}{(z-a)(z-b)} \biggr| \biggr) \\ &=C_2(M, n, \delta) \frac{\bigl||a|-|b|\bigr|}{|z-a|\,|z-b|} + C_3(M,n,\delta) \frac{\bigl|a|b| - b |a|\bigr|}{|z-a|\,|z-b|}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.1}

Поскольку \bigl||a|-|b|\bigr| \leqslant |a-b| и для всех z \in S выполнено

\begin{equation*} \frac{1}{|z-a|} \leqslant \frac{C_4(M, \delta)}{\sqrt{|a|^2 + 1}}, \end{equation*} \notag
первое слагаемое в (4.1) оценивается как
\begin{equation*} C_2(M,n,\delta) C_4(M,\delta)^2 \frac{|a-b|}{\sqrt{|a|^2 + 1} \sqrt{|b|^2 + 1}}=C_5(M, n, \delta) \chi(a,b), \end{equation*} \notag
где \chi(a,b) – сферическое расстояние между точками a, b \in {\mathbb C}.

Для оценки второго слагаемого в (4.1) рассмотрим два случая.

Если t, s \in [0, \eta + \varepsilon], то

\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{\bigl|a|b| - b|a|\bigr|}{|z-a|\,|z-b|} &\leqslant \frac{\bigl|a(|b|- |a|)\bigr| + |a|\,|a-b|}{|z-a|\,|z-b|}\leqslant \frac{2R |a-b|}{|z-a|\,|z-b|} \\ &\leqslant 2R C_4 (M, \delta)^2\frac{|a-b|}{\sqrt{|a|^2 +1 }\sqrt{|b|^2 + 1}}=C_6(R, M, \delta) \chi(a,b). \end{aligned} \end{equation*} \notag

Если же t, s \in [\eta, 1], то

\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{\bigl|a|b| - b|a|\bigr|}{|z-a|\,|z-b|} &\leqslant \biggl|\frac{a}{|a|} - \frac{b}{|b|} \biggr| \frac{1}{|1-z/a|\, |1-z/b|} \\ &\leqslant |\arg a - \arg b| \frac{1}{(1-1/2)^2}=4 |\arg a - \arg b|. \end{aligned} \end{equation*} \notag

Таким образом,

\begin{equation*} \| f_t - f_s \|_{\operatorname{AL}_2(S)} \leqslant C_7(R, M, \delta, S, n) \cdot \begin{cases} \chi(a,b), & t, s \in [0,\eta + \varepsilon], \\ \chi(a,b) + |\arg a - \arg b|, & t, s \in [\eta, 1]. \end{cases} \end{equation*} \notag
Следовательно, для всякого разбиения 0=t_0 < t_1 <\dots < t_N= 1 сумма \sum_{k=1}^N \| f_{t_k} - f_{t_{k-1}} \|_{\operatorname{AL}_2(S)} оценится (с константой) длиной \xi в сферической метрике плюс вариацией \arg (\xi(t)) на отрезке [\eta, 1], а значит, кривая f_t спрямляема в \operatorname{AL}_2(S).

Что касается кривой g_t, то здесь оценка проще (\xi(t)=a, \xi(s)=b):

\begin{equation*} \begin{aligned} \, |g_t(z) - g_s(z)| &=\biggl| \frac{1}{(z-a)^n} - \frac{1}{(z-b)^n} \biggr| \leqslant \frac{|a-b|}{|z-a|\,|z-b|} \sum_{k=0}^{n-1}\biggl|\frac{1}{z-a} \biggr|^k\, \biggl| \frac{1}{z-b}\biggr|^{n-1-k} \\ & \leqslant C_4(M, \delta)^2 \frac{|a-b|}{\sqrt{|a|^2 + 1}\sqrt{|b|^2+1}}\, \frac{n}{\delta^{n-1}}=C_8(M, \delta, n)\chi(a,b), \end{aligned} \end{equation*} \notag
откуда следует спрямляемость g_t в \operatorname{AL}_2(S). Лемма доказана.

Лемма 2. Если для функции g\in \operatorname{AL}_2(S) и натурального n равенство

\begin{equation*} \int_S\frac{\overline{g(z)}}{(z-w)^n}\,|dz|=0 \end{equation*} \notag
справедливо при всех w во внешности S, то g=0.

Доказательство. Интегрируя данное тождество, получим, что функция
\begin{equation*} \widehat g (w)= \int_S\frac{\overline{g(z)}}{z-w}\,|dz| \end{equation*} \notag
равна многочлену вне S, а поскольку \widehat g(w)\to 0 при w\to \infty, то \widehat g(w)\equiv 0. Ряд Лорана функции \widehat g в \infty имеет коэффициенты
\begin{equation*} \int_S\overline{g(z)}z^k\,|dz|, \qquad k=0,1,2,\dots, \end{equation*} \notag
и равенство их нулю означает, что g как элемент \operatorname{AL}_2(S) ортогонален всем многочленам. Поскольку многочлены плотны в \operatorname{AL}_2(S), получаем g=0. Лемма доказана.

Следующая лемма играет ключевую роль в доказательстве теоремы 2.

Напомним, что банахово пространство X с единичной сферой S(X) называется равномерно выпуклым, если для всякого \varepsilon>0 найдется такое \delta>0, что

\begin{equation*} x,y\in S(X), \quad \biggl\|\frac{x+y}{2}\biggr\|> 1-\delta \quad\Longrightarrow\quad \|x-y\|< \varepsilon. \end{equation*} \notag
Гильбертово пространство является равномерно выпуклым.

Лемма 3. Пусть в равномерно выпуклом банаховом пространстве X задано разностороннее множество \Gamma=\Gamma_1\cup\dots\cup \Gamma_l, состоящее из спрямляемых (замкнутых или разомкнутых) кривых \Gamma_j. Тогда для всякого \varepsilon>0 найдутся такие элементы x_1,\dots,x_n\in \Gamma, что \|x_1+\dots +x_n\|<\varepsilon.

При дополнительном условии так называемой минимальности множества \Gamma можно доказать больше [7; теорема 2], а именно, что замыкание множества всевозможных сумм элементов из \Gamma есть замкнутая аддитивная подгруппа в X (т.е. в этом замыкании содержится не только нулевой элемент, но и -\Gamma). Многие фрагменты нижеследующего доказательства повторяют соответствующие места из доказательства [7; теорема 2], однако простой ссылкой здесь не обойтись.

Доказательство леммы 3. Ниже \rho(x,A):=\inf \{\|x-a\|\colon a\in A\} обозначает расстояние от точки x\in X до множества A\subset X.

Нам понадобится

Лемма A (см. [7; лемма 3]). Пусть банахово пространство X равномерно выпукло. Тогда для любого \eta>0 найдется такое \tau>0, что из \|u-v\|=1, \|z-u\|+\|z-v\|\leqslant 1+\tau следует \rho(z,[u,v])<\eta.

Равномерная выпуклость пространства X нужна только для выполнения леммы A.

Для заданного \varepsilon>0 выберем по лемме A число \tau, соответствующее значению \eta=\varepsilon/(8|\Gamma|).

Из разносторонности \Gamma следует, что 0 лежит в замыкании \overline{\operatorname{conv} \Gamma} выпуклой оболочки \Gamma. По [8; предложение 1.2] существует вероятностная мера \mu с носителем на \Gamma, представляющая 0:

\begin{equation*} \int_\Gamma f(y)\,d\mu(y)=0\quad \forall\, f\in X^*. \end{equation*} \notag

Носитель \operatorname{supp} \mu меры \mu может не совпадать с \Gamma. Покроем \operatorname{supp} \mu таким объединением \Gamma'\subseteq \Gamma спрямляемых дуг \Gamma_1',\dots,\Gamma_m', чтобы длина |\operatorname{supp} \mu| была больше |\Gamma'|-\delta, где малое \delta>0 выбрано по заданному \varepsilon>0 и выбранному выше \tau из следующего условия: для всякого разбиения исходного множества \Gamma на дуги \gamma_k с длинами |\gamma_k|<\delta для всех k сумма длин соответствующих хорд \Delta_k (отрезок \Delta_k соединяет концы \gamma_k) не меньше |\Gamma|-\varepsilon\tau/(4+4\tau).

Пусть \theta_j=\mu(\Gamma_j'), j=1,\dots,m. По теореме Дирихле о совместных приближениях (см. [9; гл. 1, § 5]) существует бесконечная последовательность \Lambda натуральных чисел n, для каждого из которых все числа n\theta_j отличаются от ближайших к ним целых неотрицательных чисел n_j меньше чем на n^{-1/m}. Зафиксируем n\in \Lambda. Для каждого j возьмем на кривой \Gamma_j' какую-нибудь точку (один из концов \Gamma_j', если эта кривая разомкнута) и начиная от нее последовательно отложим n_j связных дуг, включающих свои концы, мера \mu каждой из которых равна 1/n. Если мера \mu имеет атом a на кривой \Gamma_j', то этот атом может сам служить точечной дугой разбиения или общим концом двух соседних дуг, причем его мера дробится нужным образом на все дуги, в которые он входит. При таком разбиении последняя дуга либо не “дойдет” до первой (соответственно до другого конца всей кривой \Gamma_j'), либо перекроет ее (соответственно, “оттолкнувшись” от другого конца кривой \Gamma_j', пойдет обратно по ней же). В любом случае образуется лишняя дуга \alpha_j (не покрытая совсем или покрытая дважды), для которой \mu(\alpha_j)<n^{-(1+1/m)}. В итоге все множество \Gamma' разобьется на ориентированные дуги \gamma_1,\dots,\gamma_n с \mu(\gamma_k)=1/n, k=1,\dots,n, и ориентированные дуги \alpha_1,\dots,\alpha_m с \mu(\alpha_j)<n^{-(1+1/m)}, j=1,\dots,m, причем некоторые из дуг \alpha_j проходятся в противоположном направлении, а некоторые из дуг \gamma_k имеют точки возврата в одном из концов кривой \Gamma_j', после которой проходят обратно сами по себе вдоль соответствующей дуги \alpha_j.

Для каждого k=1,\dots,n найдется такая точка y_k\in X, что

\begin{equation*} f(y_k)=n\int_{\gamma_k}f(y)\,d\mu(y) \quad \forall\, f\in X^* \end{equation*} \notag
(см. [8; предложение 1.1]). Точка y_k, являясь средним нормированного сужения меры \mu на соответствующую дугу \gamma_k, лежит в замыкании выпуклой оболочки \operatorname{conv} \gamma_k этой дуги.

Положим d(\gamma_k)=\sup\{\rho(x,\gamma_k)\colon x\in \operatorname{conv} \gamma_k\}. Возьмем какие-нибудь точки x_k\in \gamma_k, ближайшие к точкам y_k, k=1,\dots,n. Имеем

\begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl\|\sum_{k=1}^n x_k\biggr\| &\leqslant \sum_{k=1}^n \|x_k-y_k\|+\biggl\|\sum_{k=1}^n y_k\biggr\| \leqslant \sum_{k=1}^n d(\gamma_k)+\sup_{f\in S(X^*)}\sum_{k=1}^n f(y_k) \\ &=\sum_{k=1}^n d(\gamma_k) +\sup_{f\in S(X^*)}\sum_{k=1}^n n\int_{\gamma_k}f(y)\,d\mu(y) \\ &=\sum_{k=1}^n d(\gamma_k) + \sup_{f\in S(X^*)}n\biggl(\int_{\Gamma'} f(y)\,d\mu(y) - \sum_{j=1}^m \int_{\alpha_j}f(y)\,d\mu(y)\biggr) \\ &=\sum_{k=1}^n d(\gamma_k) + \sup_{f\in S(X^*)}n\sum_{j=1}^m \int_{\alpha_j}f(y)\,d\mu(y) \\ &\leqslant \sum_{k=1}^n d(\gamma_k) + mn\sup_{y\in \Gamma'}\|y\| n^{-1-1/m}. \end{aligned} \end{equation*} \notag

Второе слагаемое в последней сумме при достаточно большом n станет меньше \varepsilon/2. Осталось доказать, что \sum_{k=1}^n d(\gamma_k)<\varepsilon/2 при больших n.

Для данного k\in\{1,\dots,n\} обозначим через l_k длину отрезка, соединяющего концы u и v дуги \gamma_k. Сумма расстояний от любой точки дуги \gamma_k до u и до v не превосходит длины |\gamma_k| этой дуги. Поэтому дуга \gamma_k лежит внутри 2-шара B_k=B(u,v;|\gamma_k|)=\{z\in X\colon \|z-u\|+\|z-v\|\leqslant |\gamma_k|\}. В этом же 2-шаре лежит и выпуклая оболочка \operatorname{conv}\gamma_k. Положим

\begin{equation*} r_k=\sup_{z\in B_k} \rho(z,[u,v])\leqslant \frac{|\gamma_k|}{2} \end{equation*} \notag
и заметим, что, во-первых, каждая точка отрезка [u,v] отстоит от кривой \gamma_k не более чем на r_k, а во-вторых,
\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag d(\gamma_k) &=\sup_{z\in \operatorname{conv} \gamma_k} \rho(z,\gamma_k)\leqslant \sup_{z\in B_k} \rho(z,\gamma_k) \\ &\leqslant \sup_{z\in B_k} (\rho(z,[u,v])+r_k)=2r_k\leqslant |\gamma_k|. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.2}

Для наших u и v – концов дуги \gamma_k – имеем \|u-v\|=l_k, поэтому по лемме A из \|z-u\|+\|z-v\|\leqslant l_k(1+\tau) следует \rho(z,[u,v])<\varepsilon l_k/(8|\Gamma|), или, в принятых выше обозначениях,

\begin{equation} |\gamma_k|\leqslant l_k(1+\tau) \quad\Longrightarrow\quad r_k\leqslant \frac{\varepsilon l_k}{8|\Gamma|} \quad\Longrightarrow\quad d(\gamma_k)\leqslant 2\frac{\varepsilon l_k}{8|\Gamma|}\leqslant \frac{\varepsilon |\gamma_k|}{4|\Gamma|}. \end{equation} \tag{4.3}
Пусть I_1 – множество тех k\in\{1,\dots,n\}, для которых выполнено неравенство |\gamma_k|\leqslant l_k (1+\tau), а I_2 – множество оставшихся k. Из (4.2) и (4.3) имеем
\begin{equation} \sum_{k=1}^n d(\gamma_k)= \sum_{k\in I_1} d(\gamma_k)+\sum_{k\in I_2} d(\gamma_k) \leqslant \frac{\varepsilon}{4|\Gamma|} \sum_{k\in I_1}|\gamma_k|+\sum_{k\in I_2} |\gamma_k| <\frac{\varepsilon}{4}+\sum_{k\in I_2} |\gamma_k|. \end{equation} \tag{4.4}

При достаточно больших n все дуги \gamma_k имеют длину меньше \delta: в противном случае получится предельная дуга \gamma\subset \Gamma' с |\gamma|\geqslant \delta и \mu(\gamma)=0, что противоречит неравенству |\Gamma'|<|\operatorname{supp} \mu|+\delta, о котором мы условились выше. Следовательно,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n l_k> \sum_{k=1}^n|\gamma_k|-\frac{\varepsilon\tau}{4+4\tau} \end{equation*} \notag
(см. выше условия выбора \delta).

Имеем

\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\sum_{k=1}^n |\gamma_k|-\frac{\varepsilon\tau}{4+4\tau}<\sum_{k=1}^n l_k=\sum_{k\in I_1} l_k+\sum_{k\in I_2} l_k \\ &\qquad \leqslant \sum_{k\in I_1} |\gamma_k|+ (1+\tau)^{-1}\sum_{k\in I_2} |\gamma_k|=\sum_{k=1}^n |\gamma_k|-\frac{\tau}{1+\tau}\sum_{k\in I_2} |\gamma_k|, \end{aligned} \end{equation*} \notag
откуда
\begin{equation*} \sum_{k\in I_2} |\gamma_k|<\frac{\varepsilon}{4}, \end{equation*} \notag
что вместе с (4.4) дает
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n d(\gamma_k)<\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation*} \notag
Лемма 3 доказана.

Отметим, что в процессе доказательства леммы 3 была доказана

Лемма 4. Пусть \Gamma – спрямляемая кривая в равномерно выпуклом банаховом пространстве. Для всякого \varepsilon>0 найдется такое \delta>0, что при любом разбиении \Gamma на дуги \gamma_k с длинами |\gamma_k|<\delta выполнено неравенство \sum_k d(\gamma_k)<\varepsilon, где d(\gamma_k)=\sup\{\rho(x,\gamma_k)\colon x\in \operatorname{conv} \gamma_k\}.

Лемма 5. Пусть граница области D \subset \mathbb{C} состоит из конечного числа кривых \xi_k, k= 1,\dots, m, удовлетворяющих условиям (1) и (2) теоремы 2. Пусть, кроме того, для некоторого натурального n все числа e^{in\alpha_k} и e^{in\beta_k} (\alpha_k и \beta_k – асимптотические направления из условия (2) теоремы 2) лежат в некоторой открытой полуплоскости, граничная прямая которой проходит через 0, и в то же время для всякого натурального N\geqslant n множество

\begin{equation*} \bigcup_{k=1}^m \bigl\{ z^N\colon \alpha_k < \arg z <\beta_k\bigr\} \end{equation*} \notag
не лежит ни в какой замкнутой полуплоскости, граничная прямая которой проходит через 0. Тогда дроби
\begin{equation*} \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)=\biggl\{ \sum_{k=1}^{K} \frac{1}{(z-a_k)^n}\colon a_k\in \partial D, K\in {\mathbb N}\biggr\} \end{equation*} \notag
плотны в A(D).

Доказательство. 1. Достаточно доказать, что для всякого гладкого жорданова контура S, лежащего в D, множество \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D) плотно в пространстве \operatorname{AL}_2(S). Действительно, всякий компакт K \subset D можно окружить таким контуром S, и если функция f \in A(D) с любой точностью приближается дробями из \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D) в \operatorname{AL}_2(S), то в силу интегральной формулы Коши она с любой точностью приближается этими дробями равномерно на K.

2. На каждой кривой \xi_k выберем произвольную точку a_k и произвольную открытую дугу \Delta_k, содержащую a_k.

Наша цель – найти дробь из \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D) с малой нормой в \operatorname{AL}_2(S) и с хотя бы одним полюсом на одной из дуг \Delta_k.

3. Для каждого k=1,\dots, m положим

\begin{equation*} \begin{aligned} \, \gamma_k &=\biggl\{ \frac{1}{(z - \xi_k(t))^n}\colon t \in [\delta,1-\delta] \biggr\}, \\ \Gamma_k^0 &=\biggl\{ \frac{|\xi_k(t)|^n}{(z - \xi_k(t))^n}\colon t \in[0,\delta] \biggr\}, \\ \Gamma_k^1 &=\biggl\{ \frac{|\xi_k(t)|^n}{(z - \xi_k(t))^n}\colon t \in[1-\delta,1] \biggr\}, \end{aligned} \end{equation*} \notag
где (единое для всех k) число \delta выбрано так, что \arg \xi_k(t) имеет ограниченную вариацию на [0,\delta] и [1-\delta, 1], и выбранные выше дуги \Delta_k лежат на дугах \xi_k([\delta,1\,{-}\,\delta]).

Эти однопараметрические семейства функций являются непрерывными кривыми в пространстве \operatorname{AL}_2(S), причем эти кривые являются компактами: при t \to 0 точка кривой \Gamma_k^0 стремится к константе (-1)^n e^{-in \alpha_k}; а при t \to 1 точка кривой \Gamma_k^1 стремится к константе (-1)^n e^{-in \beta_k}.

Все кривые \gamma_k, \Gamma_k^0, \Gamma_k^1 спрямляемы по лемме 1.

Покажем, что множество

\begin{equation*} \Gamma=\bigcup_{k=1}^m ( \gamma_k \cup \Gamma_k^0\cup \Gamma_k^1) \end{equation*} \notag
является разносторонним в \operatorname{AL}_2(S), т.е. для всякого ненулевого элемента g \in \operatorname{AL}_2(S) найдется такое h \in \Gamma, что скалярное произведение (h,g) имеет отрицательную действительную часть. Рассмотрим функцию
\begin{equation} F(w)=\int_S \frac{\overline{g(z)}}{(z-w)^n}\,|dz| =\biggl(\frac{1}{(z-w)^n}, g(z) \biggr). \end{equation} \tag{4.5}
Эта функция голоморфна во внешности S, F(w) \to 0 при w \to \infty. По лемме 2 функция F не тождественна нулю, поэтому F(w)=C/w^N + o(1/w^N) при w\,{\to}\,\infty для некоторых C \neq 0 и N \geqslant n. По условию леммы найдется такое \varphi \in \bigcup_{k=1}^m (\alpha_k, \beta_k), что \operatorname{Re} (C e^{-iN\varphi}) < 0. Кроме того, все числа R e^{i\varphi} при достаточно больших R лежат в области \Omega_k, ограниченной кривой \xi_k и не пересекающейся с D (для некоторого k). Имеем
\begin{equation*} \operatorname{Re} F(Re^{i\varphi})=\operatorname{Re} C e^{-iN\varphi}R^{-N}(1 + o(1)) < 0 \end{equation*} \notag
при R \to \infty. По принципу максимума для гармонических функций \operatorname{Re} F(w) < 0 для некоторого w=\xi_k(t) \in \partial \Omega_k=\xi_k. Если t \in [\delta,1-\delta], то получается \operatorname{Re} (h,g) < 0 для соответствующего h \in \gamma_k, а если t \in [0, \delta) \cup (1-\delta, 1], получается, что \operatorname{Re} (h,g) < 0 для соответствующего h \in \Gamma_k^0 \cup \Gamma_k^1.

Итак, \Gamma есть разностороннее множество в гильбертовом пространстве \operatorname{AL}_2(S), состоящее из конечного числа спрямляемых кривых.

4. По лемме 3 для всякого \varepsilon > 0 найдутся такие элементы x_1, \dots, x_N \in \Gamma, что

\begin{equation} \| x_1 + \dots + x_N \| < \varepsilon. \end{equation} \tag{4.6}
Покажем, что при всех достаточно малых \varepsilon один из x_j есть дробь вида {1}/{(z\,{-}\,b)^n}, где b \in \Delta_1 \cup \dots \cup \Delta_m. Рассмотрим множество
\begin{equation} \biggl\{ \frac{1}{(z-w)^n}\colon w \in \bigcup_{k=1}^m (\xi_k \setminus \Delta_k) \biggr\} \end{equation} \tag{4.7}
и какой-нибудь бесконечный компакт K, лежащий строго внутри контура S. Множество (4.7) не является разносторонним в \operatorname{AC}(K) по теореме 1, причем по последнему утверждению теоремы 1 найдутся такие мера \mu с носителем на K, точка a\in K и число c>0, что неравенство
\begin{equation*} \operatorname{Im} \int_K \frac{d\mu(z)}{(z-w)^n} \geqslant \frac{c}{|w-a|^n} \end{equation*} \notag
выполнено для всех w\in \bigcup_{k=1}^m (\xi_k\setminus \Delta_k). Отображение
\begin{equation*} F_\mu\colon f\to \int_K f(z)\,d\mu(z) \end{equation*} \notag
определяет линейный непрерывный функционал в пространстве \operatorname{AL}_2(S). Получается, что
\begin{equation*} \operatorname{Im} F_\mu\biggl(\frac{1}{(\cdot-w)^n}\biggr)\geqslant \frac{c}{|w-a|^n} \end{equation*} \notag
при всех w\in \bigcup_{k=1}^m (\xi_k\setminus \Delta_k). Тогда значения F_\mu на всех элементах из \Gamma'=\Gamma \setminus \bigl\{{1}/{(z-a)^n}\colon a \in \Delta_1 \cup \dots \cup \Delta_m \bigr\}, в том числе и на концах кривых \Gamma_k^0 и \Gamma_k^1, упомянутых выше в п. 3, имеют положительную мнимую часть. Поскольку \Gamma' компактно, \operatorname{Im} F_\mu(x) > \eta > 0 для всех x \in \Gamma', а тогда
\begin{equation*} \| x_1 + \dots+ x_N \| \geqslant F_\mu(x_1 + \dots+ x_N) \geqslant \frac{N\eta}{\|F_\mu \|} \geqslant \frac{\eta}{\| F_\mu \|} \end{equation*} \notag
для любых x_1,\dots, x_N \in \Gamma'. Следовательно, при всех достаточно малых \varepsilon один из x_j в (4.6) принадлежит \Gamma \setminus \Gamma', что и требовалось.

5. Теперь покажем, что сумму x_1 + \dots + x_N в (4.6) можно заменить близкой по норме дробью из \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D) с теми же полюсами. Элементы x_j из \gamma_1 \cup \dots \cup \gamma_m и так дают в сумме элемент из \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D). Возьмем все x_j из какой-нибудь кривой \Gamma_k^0. Их сумму можно представить в виде

\begin{equation*} S_k^0=\sum_{\nu=1}^l \frac{|\xi_k(t_\nu)|^n}{(z - \xi_k(t_\nu))^n}, \end{equation*} \notag
где 0 \leqslant t_1 \leqslant t_2 \leqslant \dots \leqslant t_l \leqslant \delta. Пусть
\begin{equation*} |\xi_k(t_\nu)|^n=q_\nu + r_\nu, \end{equation*} \notag
где числа q_\nu целые неотрицательные, а числа r_\nu \in [-1,1] таковы, что
\begin{equation*} \biggl| R_p := \sum_{\nu=1}^p r_\nu \biggr| \leqslant 1, \qquad p=1, \dots, l. \end{equation*} \notag
Имеем
\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl\| S_k^0 - \sum_{\nu=1}^l \frac{q_\nu}{(z -\xi_k(t_\nu))^n} \biggr\| =\biggl\| \sum_{\nu=1}^l\frac{r_\nu}{(z - \xi_k(t_\nu))^n} \biggr\| \\ &\qquad=\biggl\| \sum_{\nu=1}^{l-1} R_\nu \biggl( \frac{1}{(z -\xi_k(t_\nu))^n} - \frac{1}{(z - \xi_k(t_{\nu+1}))^n} \biggr) +\frac{R_l}{(z - \xi_k(t_l))^n} \biggr\| \\ &\qquad\leqslant |\gamma_k^0(\delta)| + \frac{C(S)}{M(\delta)^n}, \end{aligned} \end{equation*} \notag
где \gamma_k^0(\delta)=\{ 1/(z - \xi_k(t))^n\colon t \in [0,\delta] \} – кривая в \operatorname{AL}_2(S), спрямляемая по лемме 1 (ее длина |\gamma_k^0(\delta)| стремится к 0 при \delta \to0), а
\begin{equation*} M(\delta)=\min \bigl\{ |\xi_k(t)|\colon t \in [0, \delta] \cup [1-\delta,1], \,k=1,\dots, m\bigr\} \to \infty, \qquad \delta\to 0. \end{equation*} \notag
Аналогично, сумма всех x_j из какой-нибудь кривой \Gamma_k^1 отличается от некоторой дроби из \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D) не более чем на |\gamma_k^1(\delta)| + C(S)/M(\delta)^n, где \gamma_k^1(\delta)=\{ 1/(z-\xi_k(t))^n\colon t \in [1-\delta, 1]\}.

В итоге мы получим дробь r=r(\delta, \varepsilon) \in \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D), близкую к x_1 + \dots + x_N по норме \operatorname{AL}_2(S), так что

\begin{equation*} \| r \| \leqslant \varepsilon + \sum_{k=1}^m (|\gamma_k^0(\delta)| + |\gamma_k^1(\delta)|) +\frac{2mC(S)}{M(\delta)^n}, \end{equation*} \notag
и при этом согласно п. 4 доказательства один из полюсов r лежит на \Delta_1 \cup \dots \cup \Delta_m. Параметр \delta можно устремить к 0, при этом |\gamma_k^0(\delta)| \to 0 и |\gamma_k^1(\delta)| \to 0, M(\delta) \to \infty, зависящий от \delta параметр \varepsilon (см. п. 4) также можно устремить к 0.

6. Из предыдущего следует, что найдутся такое k \in \{1, \dots,m\} и такие последовательности r_j \in \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D), b_j \in \xi_k, \varepsilon_j \to 0, j=1, 2, \dots, что \| r_j \| < \varepsilon_j, b_j \to a_k и r_j имеет полюс в точке b_j.

Это означает, что дробь -1/(z-a_k)^n принадлежит замыканию \overline{\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)} в пространстве \operatorname{AL}_2(S). Получается, для любого набора точек \{a_k\}_{k=1}^m с a_k \in \xi_k одна из дробей -1/(z-a_k)^n принадлежит \overline{\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)}. Следовательно, найдется такой номер k, что вся кривая \{ -1/(z-a)^n\colon a \in \xi_k\} принадлежит \overline{\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)}.

7. Таким образом, \overline{\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)} содержит замкнутую аддитивную подгруппу G, порожденную функциями \pm 1/(z-a)^n, a \in \xi_k.

Теперь нам понадобится

Лемма B (см. [7; теорема 5]). Пусть G – замкнутая аддитивная подгруппа равномерно гладкого пространства X, модуль гладкости которого удовлетворяет равенству s(\tau)=O(\tau^2) при \tau\to 0, E – связное множество на плоскости и липшицево отображение \varphi \colon E\to X таково, что \varphi(E)\subset G. Тогда G содержит замкнутое {\mathbb R}-линейное подпространство L, порожденное элементами вида a-b, где a,b\in \varphi(E).

В нашем случае для гильбертова пространства X=\operatorname{AL}_2(S), модуль гладкости которого удовлетворяет нужному условию, и липшицева отображения \varphi\colon [0,1]\to G, \varphi(t)=1/(z-\xi_k(t))^n, \varphi(0)=\varphi(1)=0, по лемме B получаем, что G содержит замкнутое \mathbb{R}-линейное подпространство L, порожденное функциями 1/(z-a)^n, a \in \xi_k.

Докажем, что L совпадает с \operatorname{AL}_2(S). В противном случае найдется ненулевая функция g \in \operatorname{AL}_2(S), для которой \operatorname{Re} F(w)= 0 при w \in \xi_k, где функция F определена выше, в (4.5). По принципу максимума \operatorname{Re} F равна нулю в области \Omega_k (определенной в п. 3 доказательства), а тогда и F \equiv 0 вне S, и по лемме 2 получаем g \equiv 0, т.е. противоречие.

Таким образом, \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D) плотно в L=\operatorname{AL}_2(S), что и требовалось. Лемма 5 доказана.

§ 5. Доказательство теорем 2 и 3

Доказательство теоремы 2. 1. Надо доказать, что всякая функция f\in A(D) равномерно приближается дробями из \operatorname{SF}(\partial D) на всяком компакте K в области D. Без ограничения общности считаем K спрямляемым: любые две его точки можно соединить кривой длины не больше M=M(K), целиком лежащей в K.

2. Пусть n – наименьшее такое натуральное число, что все числа e^{in\alpha_k} и e^{in\beta_k}, k=1,\dots, m, лежат в некоторой открытой полуплоскости, граничная прямая которой проходит через 0. Такое n найдется, поскольку, например, в силу теоремы Дирихле (см. [9; гл. 1, § 5]) можно найти такое натуральное N, что все числа N \alpha_k/2\pi, N\beta_k/2\pi мало отличаются от целых чисел.

По лемме 5 дроби из \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D) плотны в \operatorname{AC}(K). Если n=1, доказательство заканчивается. Далее считаем n>1.

3. Теперь достаточно доказать, что для каждого \nu=1,\dots,n-1 дроби из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D) с любой точностью приближают равномерно на K всякую константу. Действительно, если это верно, то плотность \operatorname{SF}(\partial D) докажется через последовательную плотность \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D) (\nu меняется от n до 1) следующим образом. Пусть f\in A(D) и по предположению индукции найдется такая дробь r\in \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D), что \|f'-r'\|_{\operatorname{AC}(K)}<\varepsilon. Интегрируя от какой-нибудь точки z_0\in K по кривым, лежащим в K, получим \|f-r+C(\varepsilon)\|_{\operatorname{AC}(K)}<\varepsilon M(K). Если константа C(\varepsilon) приближается дробями из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D) с любой точностью, то и f приближается такими дробями с любой точностью.

4. Достаточно приблизить всякую константу дробями из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D) по норме пространства \operatorname{AL}_2(S), где S – гладкий жорданов контур, окружающий K.

Положим

\begin{equation*} \begin{aligned} \, E_\nu &=\{e^{i\nu\alpha_k}, e^{i\nu\beta_k}\colon k=1,\dots,m \}, \\ \operatorname{cone} E_\nu &=\biggl\{\sum_{p=1}^3 \lambda_p u_p\colon u_p\in E_\nu,\, \lambda_p\geqslant 0 \biggr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag

Пусть \zeta\in \operatorname{cone} E_\nu, \zeta=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3. Возьмем большие по модулю числа a_p \in \partial D, для которых отношения a_p^\nu/|a_p|^\nu близки к u_p\in E_\nu, p=1, 2, 3.

При z \in S имеем

\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl| \sum_{p=1}^3 \frac{[\lambda_p |a_p|^\nu]}{(z-a_p)^\nu} - (-1)^\nu \overline{\zeta} \biggr|= \biggl| \sum_{p=1}^3\biggl( \frac{[\lambda_p |a_p|^\nu]}{(z-a_p)^\nu} - (-1)^\nu \lambda_p \overline{u_p}\biggr) \biggr| \\ &\qquad \leqslant \sum_{p=1}^3 \biggl( \frac{1}{|z-a_p|^\nu} + \lambda_p \biggl| \frac{|a_p|^\nu}{(z-a_p)^\nu} - (-1)^{\nu}\overline{u_p} \biggr| \biggr) \to 0 \end{aligned} \end{equation*} \notag
равномерно по z \in S при a_p \in \partial D, a_p \to \infty, a_p^\nu/|a_p|^\nu \to u_p.

Таким образом, для всякого \zeta\in \operatorname{cone} E_\nu константа (-1)^\nu \overline{\zeta} приближается дробями из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D) равномерно на S.

5. Если \operatorname{cone} E_\nu={\mathbb C}, то все доказано. Поскольку E_\nu не лежит ни в какой открытой полуплоскости (\nu<n, см. п. 2 доказательства), возможны еще только два случая: \operatorname{cone} E_\nu – полуплоскость с нулем на границе или прямая, проходящая через нуль. Рассмотрим эти случаи отдельно.

6. Пусть, без ограничения общности, \operatorname{cone} E_\nu представляет собой нижнюю полуплоскость \{z\colon \operatorname{Im} z \leqslant 0\}. В силу условия (3) доказываемой теоремы отрезок [0,\pi] покрыт каким-то отрезком [\nu\alpha_k,\nu\beta_k] (по модулю 2\pi).

Если [0,\pi] – собственный подотрезок отрезка [\nu\alpha_k,\nu\beta_k], то \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k) плотно в \operatorname{AL}_2(S) по лемме 5 и, в частности, приближают всякую константу.

Пусть теперь [0,\pi]=[\nu\alpha_k,\nu\beta_k]\, ({\rm mod}\, 2\pi) .

7. Пусть g – какое-нибудь конформное отображение верхней полуплоскости на область \Omega_k, ограниченную кривой \xi_k и не пересекающуюся с D, g(z)\to \infty при z\to \infty. По теореме Каратеодори g продолжается до гомеоморфизма замкнутой верхней полуплоскости на \overline{\Omega_k}, так что g(t), t\in {\mathbb R}, есть параметризация кривой \xi_k.

Для произвольных s>0 и u\in [-\pi,\pi] рассмотрим функции

\begin{equation*} \varphi_{s,u}(z)=\frac{1}{(z-g(s \operatorname{tg} ({u}/{2})))^\nu}-\frac{1}{(z-g(is))^\nu}, \end{equation*} \notag
принадлежащие пространству \operatorname{AL}_2(S) и составляющие в нем замкнутую кривую \Gamma_s=\{\varphi_{s,u}\colon u\in [-\pi,\pi]\}. Поскольку
\begin{equation*} \int_{-\pi}^\pi \frac{du}{(z-g(s \operatorname{tg} ({u}/{2})))^\nu}=2\int_{\mathbb R} \frac{dt}{(z-g(st))^\nu(1+t^2)}= \frac{2\pi}{(z-g(is))^\nu}, \end{equation*} \notag
для всякого s>0 имеем
\begin{equation*} \int_{-\pi}^\pi \varphi_{s,u}(\,\cdot\,)\,du=0\in \operatorname{AL}_2(S). \end{equation*} \notag

Возьмем натуральное число N. Для каждого k=1,\dots,N положим \Delta_k=[-\pi+2\pi(k-1)/N,\, -\pi+2\pi k/N]. Функции

\begin{equation*} y_k(z)=N\int_{\Delta_k} \varphi_{s,u}(\,\cdot\,)\,du \end{equation*} \notag
принадлежат пространству \operatorname{AL}_2(S), как точки этого пространства находятся каждая в выпуклой оболочке \operatorname{conv} \gamma_{s,k} своей дуги \gamma_{s,k}=\{\varphi_{s,u}\colon u\in \Delta_k\} и удовлетворяют равенству y_1+\dots+y_N=0. Далее повторяем рассуждения из доказательства леммы 3. Положим d(\gamma_{s,k})=\sup\{\rho(x,\gamma_{s,k})\colon x\in \operatorname{conv} \gamma_{s,k}\}. Возьмем какие-нибудь точки x_k\in \gamma_k, ближайшие к точкам y_k, k=1,\dots,N. Имеем
\begin{equation} \biggl\|\sum_{k=1}^N x_k\biggr\| \leqslant \sum_{k=1}^N \|x_k-y_k\|+\biggl\|\sum_{k=1}^N y_k\biggr\| =\sum_{k=1}^N \|x_k-y_k\|\leqslant \sum_{k=1}^N d(\gamma_k). \end{equation} \tag{5.1}

Кривая \Gamma_s, разбитая у нас на дуги \gamma_{s,k}, представляет собой сдвиг кривой \Gamma=\{1/(z-g(t))^\nu\colon t\in {\mathbb R}\} на вектор -1/(z-g(is))^\nu. Соответственно, дуги \gamma_{s,k} получаются таким же сдвигом из дуг

\begin{equation*} \biggl\{\frac{1}{(z-g(t))^\nu}\colon t\in \biggl[s \operatorname{tg} \biggl(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi(k-1)}{N}\biggr),\, s \operatorname{tg} \biggl(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{N}\biggr) \biggr] \biggr\}, \end{equation*} \notag
длины которых равномерно стремятся к нулю при s, N(s)\to \infty и s=o(N(s)). Тогда по лемме 4 оценка в (5.1) также стремится к нулю. Таким образом, при s\to\infty и s=o(N(s)) найдутся такие наборы точек t_1,\dots, t_N\in {\mathbb R}, что для дроби
\begin{equation*} r_s(z)=\sum_{k=1}^N \frac{1}{(z-g(t_k))^\nu}\in \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi) \end{equation*} \notag
имеем
\begin{equation} \biggl\| r_s-\frac{N(s)}{(z-g(is))^\nu} \biggr\|_{\operatorname{AL}_2(S)}\to 0, \qquad s\to +\infty. \end{equation} \tag{5.2}

8. Осталось разобраться с поведением величин g(is) при s\to +\infty. Докажем, что для всякого \varepsilon>0 найдется такая константа C(\varepsilon), что

\begin{equation} |g(is)^\nu|> C(\varepsilon) s^{1-\varepsilon} \end{equation} \tag{5.3}
при всех достаточно больших s, и, кроме того,
\begin{equation} \lim_{s\to+\infty}\arg g(is)^\nu =\frac{\pi}{2}. \end{equation} \tag{5.4}

Функция

\begin{equation} f(z)=\frac{1}{\bigl(g(i(1+z)/(1-z))-a\bigr)^\nu}, \end{equation} \tag{5.5}
где a\notin \Omega_k, голоморфна в единичном круге U, непрерывна на замыкании U, f(U) – ограниченная область, граница \partial f(U) содержит 0=f(1) и имеет в точке 0 горизонтальную касательную, и f однолистна вблизи 1. По теореме Линделефа (cм. [10; гл. 10], [11; § 3.4]) гармоническая в U функция
\begin{equation*} v(z)=\arg \frac{f(z)}{z-1} \end{equation*} \notag
непрерывна на \overline{U}. В частности, можно вычислить v(1)=\pi/2 как предел по окружности, и это же значение будет радиальным пределом:
\begin{equation*} \frac{\pi}{2}=\lim_{s\to+\infty} v\biggl(\frac{s-1}{s+1}\biggr)= \lim_{s\to+\infty} \frac{-(s+1)}{2(g(is)-a)^\nu}, \end{equation*} \notag
откуда следует (5.4).

Далее, сопряженная к v функция восстанавливается по известной формуле (см. [12; гл. 3, § 1], нам нужны только действительные точки x\to 1):

\begin{equation*} \ln \biggl|\frac{f(x)}{x-1}\biggr| =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x\sin t}{1+x^2-2x\cos t} v(e^{it})\,dt+\mathrm{const}. \end{equation*} \notag
Разобьем интеграл
\begin{equation*} \int_{-\pi}^{\pi}\frac{x\sin t\, v(e^{it})}{1+x^2-2x\cos t} \,dt =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x\sin t(v(e^{it})-v(1))}{1+x^2-2x\cos t} \,dt =\int_{[-\pi,\pi]\setminus [-\delta,\delta]}+\int_{[-\delta,\delta]}, \end{equation*} \notag
где \delta выбрано так, что |v(e^{it})-v(1)|<\varepsilon при |t|<\delta. Первый интеграл оценивается как C(\delta)=C_1(\varepsilon) при всех x, а второй по модулю не превосходит
\begin{equation*} 2\varepsilon \int_0^\delta \frac{x\sin t }{1+x^2-2x\cos t} \,dt= \varepsilon \ln \frac{1+x^2-2x\cos \delta}{(1-x)^2}\leqslant C_2(\varepsilon)+2\varepsilon \ln \frac{1}{1-x}. \end{equation*} \notag

Это означает, что

\begin{equation*} \biggl|\frac{f(x)}{x-1}\biggr|\leqslant C_3(\varepsilon) (1-x)^{-2\varepsilon/\pi}. \end{equation*} \notag

Подставляя x=(s-1)/(s+1) и выражение (5.5) для f, получаем (5.3).

9. Возьмем в (5.3) \varepsilon=1/(4\nu) и в (5.2) положим N(s)= [|g(is)|^{\nu+1/2}] (целая часть). Имеем

\begin{equation*} N(s)\geqslant C s^{1+1/(4\nu)-1/(8\nu^2)}, \end{equation*} \notag

так что условие s=o(N(s)) выполнено.

Далее,

\begin{equation*} \frac{N(s)}{(z-g(is))^\nu}=\frac{|g(is)|^{\nu+1/2}(1+O(|g(is)|^{-\nu-1/2}))}{(-1)^\nu g(is)^\nu(1+O(|g(is)|^{-1}))}=\frac{(-1)^\nu |g(is)|^{\nu+1/2}}{g(is)^\nu}+o(1). \end{equation*} \notag

Таким образом, чем больше s\to +\infty, тем лучше дроби r_s\in \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k) приближают в \operatorname{AL}_2(S) константы

\begin{equation*} \frac{(-1)^\nu |g(is)|^{\nu+1/2}}{g(is)^\nu}=(-1)^\nu\kappa(s), \end{equation*} \notag

где модули \kappa(s) стремятся к бесконечности, а аргументы к -\pi/2.

10. Всякое комплексное число w может быть представлено в виде

\begin{equation*} w=(-1)^\nu\kappa(s)+(-1)^\nu \overline{\zeta}, \end{equation*} \notag

где s достаточно велико и \zeta\in \operatorname{cone} E_\nu=\{z\colon \operatorname{Im} z\leqslant 0\}. Первое слагаемое в этом представлении приближается (чем больше s, тем точнее) дробями из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k) по п. 9, а второе слагаемое приближается дробями из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D) по п. 4. Таким образом, всякая константа приближается дробями из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D) в \operatorname{AL}_2(S) с любой точностью.

11. Осталось рассмотреть случай, когда \operatorname{cone} E_\nu есть прямая, проходящая через 0, – без ограничения общности, действительная ось {\mathbb R}. В силу условия (3) доказываемой теоремы отрезки [0,\pi] и [\pi,2\pi] покрыты соответственно какими-то отрезками [\nu\alpha_k,\nu\beta_k] и [\nu\alpha_j,\nu\beta_j] (по модулю 2\pi).

Если \nu(\beta_k- \alpha_k)>\pi или \nu(\beta_j- \alpha_j)>\pi, то дроби из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k) или из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_j) плотны в \operatorname{AL}_2(S) по лемме 5, и, в частности, приближают всякую константу.

Если же [0,\pi]=[\nu\alpha_k,\nu\beta_k] и [\pi,2\pi]=[\nu\alpha_j,\nu\beta_j]\ (\operatorname{mod}2\pi), то аналогично пп. 7–10 приближаем константы (-1)^\nu \kappa_1(s) дробями из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k) и константы (-1)^\nu \kappa_2(s) дробями из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_j), причем \kappa_1(s) и \kappa_2(s) непрерывно стремятся в бесконечность, \arg \kappa_1(s)\to -\pi/2, \arg \kappa_2(s)\to \pi/2. Поскольку всякое комплексное число может быть записано в виде

\begin{equation*} (-1)^\nu \kappa_1(s)+(-1)^\nu \kappa_2(s')+(-1)^\nu \overline{\zeta}, \end{equation*} \notag

где \zeta\in \operatorname{cone} E_\nu={\mathbb R}, при достаточно больших s и s', оно приближается дробями из \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D) с любой точностью. Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Для всякой точки w\in \sqrt[q]D точка w^q соединяется в D ломаной l с точкой 0. На l\setminus \{0\} выделяется непрерывная ветвь f функции \sqrt[q]{z}, для которой f(w^q)=w. Тогда кривая f(l) соединяет w c 0 в \sqrt[q]D, так что \sqrt[q]D – область. Если она не односвязна, т.е. какой-то контур S\subset\sqrt[q]D окружает какую-то точку b\notin \sqrt[q]D, то контур S^q=\{z^q\colon z\in S\} окружает точку b^q в D, что противоречит односвязности D.

Возьмем произвольную точку a на \partial \sqrt[q]{D} и произвольный гладкий жорданов контур S в \sqrt[q]{D}. По теореме B функция -1/(z-a^q) с любой точностью равномерно на S^q приближается дробями из \operatorname{SF}(\partial D), т.е. для всякого \varepsilon>0 найдется такой многочлен p со всеми нулями на \partial D и одним нулем в точке a^q, что

\begin{equation*} \biggl\|\frac{p'}{p}\biggr\|_{\operatorname{AC}(S^q)}<\varepsilon. \end{equation*} \notag
Тогда многочлен P(z)=p(z^q) имеет все нули на \partial \sqrt[q]{D}, один нуль в точке a и
\begin{equation*} \biggl\|\frac{P'}{P}\biggr\|_{\operatorname{AL}_2(S)}\leqslant |S| \biggl\|\frac{qz^{q-1}p'(z^q)}{p(z^q)}\biggr\|_{\operatorname{AC}(S)} \leqslant C(S,q) \biggl\|\frac{p'}{p}\biggr\|_{\operatorname{AC}(S^q)}\leqslant C(S,q)\varepsilon. \end{equation*} \notag
Следовательно, функция -1/(z-a) с любой точностью приближается в \operatorname{AL}_2(S) дробями из \operatorname{SF}(\partial \sqrt[q]{D}), и замыкание \overline{\operatorname{SF}(\partial \sqrt[q]{D})} в \operatorname{AL}_2(S) содержит замкнутую аддитивную подгруппу G, порожденную функциями \pm 1/(z-a), a \in \partial \sqrt[q]{D} .

По лемме B (п. 7 доказательства леммы 5) получаем, что G содержит замкнутое \mathbb{R}-линейное подпространство L, порожденное функциями 1/(z-a), a \in \partial\sqrt[q]{D}.

Докажем, что L совпадает с \operatorname{AL}_2(S). В противном случае найдется ненулевая функция g \in \operatorname{AL}_2(S), для которой \operatorname{Re} F(w)= 0 при w \in \partial\sqrt[q]{D}, где функция F определена выше в (4.5). По принципу максимума \operatorname{Re} F равна нулю на дополнении к \sqrt[q]{D}, а тогда и F \equiv 0 вне S, и по лемме 2 получаем g \equiv 0, т.е. противоречие.

Таким образом, \operatorname{SF}(\partial \sqrt[q]{D}) плотно в L=\operatorname{AL}_2(S). Всякий компакт K \subset \sqrt[q]{D} можно окружить таким контуром S, и если функция f \in A(\sqrt[q]{D}) с любой точностью приближается дробями из \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D) в \operatorname{AL}_2(S), то в силу интегральной формулы Коши она с любой точностью приближается этими дробями равномерно на K. Теорема 3 доказана.

§ 6. О скорости стремления к нулю в полосе

Пусть множества E и K на комплексной плоскости не пересекаются, a – фиксированная точка из E, \operatorname{SF}_n(E) обозначает множество наипростейших дробей степени не выше n со всеми полюсами на E. Положим

\begin{equation*} \rho_n(a,K,E)=\inf\bigl\{\|r_n\|_{C(K)}\colon r_n\in \operatorname{SF}_n(E),\, r_n(a)=\infty\bigr\}. \end{equation*} \notag
Фактически величина \rho_n(a,K,E) равна расстоянию от функции -1/(z-a) до множества \operatorname{SF}_{n-1}(E) в пространстве \operatorname{AC}(K). Оценки этой величины для различных конкретных пар E и K доказывались многими математиками. Так, В. И. Данченко в [13] нашел асимптотику \rho_n(a,{\mathbb R},{\mathbb C}\setminus {\mathbb R}) при n\to \infty для произвольной точки a\in {\mathbb C}\setminus {\mathbb R} (и тем самым решил задачу Е. А. Горина). П. В. Чунаев в [14] нашел асимптотику \rho_n(a,[-1,1],{\mathbb C}\setminus [-1,1]) (для действительных a, расположенных не слишком близко к отрезку [-1,1], и для более узкого класса действительных наипростейших дробей), его результат дополнен М. А. Комаровым в [15]. Другие результаты этого типа см. в обзоре [16].

В свете теоремы Кореваара и ее обобщений (см. введение) представляется разумной задача об оценивании величин \rho_n(a,K,\partial D) для различных односвязных областей D, компактов K\subset D и точек a\in \partial D. Ниже такая оценка сверху получена для модельного случая полосы D=\Pi:=\{z\colon |\operatorname{Im} z| <1\}.

По теореме B \operatorname{SF}(\partial \Pi) плотно в A(\Pi) (это следует также из теоремы 2, из следствия 2 и из теоремы 3). Ключевым местом в доказательстве этих утверждений является доказательство существования наипростейших дробей (или их производных, как в лемме 5) со всеми полюсами на границе области, с одним из полюсов в заданной точке и сколь угодно малой нормой на компактах внутри области (в терминологии Кореваара и Элкинс полюсы таких дробей составляют “асимптотически нейтральные семейства точек”). В частном случае полосы существование таких дробей сразу следует из доказываемой ниже теоремы об оценке \rho_n(a,K, \partial \Pi): достаточно уже того, что эта величина стремится к нулю при n\to \infty. Как и в доказательстве теоремы 2, мы задействуем свойства конформных отображений областей, внешних по отношению к рассматриваемой области: в случае полосы это две полуплоскости, и конформные отображения можно выписать явно.

Теорема 4. Для всякого компакта K в полосе \Pi=\{z\colon |\operatorname{Im} z| <1\} и для всякой точки a\in\partial \Pi при всех n>1 выполнено неравенство

\begin{equation*} \rho_n(a,K, \partial \Pi) \leqslant C(K) \frac{\ln^2n}{n}, \end{equation*} \notag
где C(K) – константа, зависящая только от K.

Доказательство. Без ограничения общности считаем a=i. Рассмотрим конформное отображение
\begin{equation*} \psi(w) =\alpha i \frac{w-1}{w+1}+i=(\alpha+1)i-\frac{2\alpha i}{w+1} \end{equation*} \notag
внешности \{w\colon |w|>1\} единичного круга на полуплоскость \{z\colon \operatorname{Im} z>1\} с параметром \alpha>0 и условиями \psi(1)=i, \psi(\infty)=(\alpha+1)i. При z\in K, |w|>1 имеем
\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \frac{1}{z-\psi(w)} &=\frac{w+1}{w(z-(\alpha+1)i)+z+(\alpha-1)i} \\ \notag &=\frac{w+1}{w(z-(\alpha+1)i)}\sum_{k=0}^\infty \biggl(\frac{(\alpha-1)i+z}{(\alpha+1)i-z}\biggr)^k \frac{1}{w^k} \\ &=\frac{1}{z-(\alpha+1)i}-\frac{2\alpha i}{((\alpha+1)i-z)^2}\sum_{k=1}^\infty \biggl(\frac{(\alpha-1)i+z}{(\alpha+1)i-z}\biggr)^{k-1} \frac{1}{w^k}. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.1}
Ряд сходится и при |w|=1, поскольку, как нетрудно видеть,
\begin{equation*} \biggl|c(\alpha,z):=\frac{(\alpha-1)i+z}{(\alpha+1)i-z}\biggr|<1 \end{equation*} \notag
при z\in K.

Уточним эту оценку.

Лемма 6. Если K\subset \{z\colon |\operatorname{Im} z|\leqslant 1-\delta, |z|\leqslant L\} для некоторых \delta\in (0,1) и L>0, то для всякого z\in K при \alpha>(L^2+1)/\delta выполнено неравенство

\begin{equation*} |c(\alpha,z)|<\frac{1}{1+\delta/\alpha}. \end{equation*} \notag

Доказательство. Пусть z=x+iy. Имеем
\begin{equation*} \begin{aligned} \, |c(\alpha,z)| &=\biggl(\frac{x^2+(\alpha-1+y)^2}{x^2+(\alpha+1-y)^2}\biggr)^{1/2} \leqslant\biggl(\frac{x^2+(\alpha-\delta)^2}{x^2+(\alpha+\delta)^2}\biggr)^{1/2} \\ &=\biggl(\frac{1}{1+4\alpha\delta/(x^2+(\alpha-\delta)^2)}\biggr)^{1/2} <\biggl(\frac{1}{1+4\alpha\delta/\alpha^2}\biggr)^{1/2}<\frac{1}{1+\delta/\alpha} \end{aligned} \end{equation*} \notag
(в предпоследнем неравенстве использовано условие \alpha>(L^2+1)/\delta, в последнем – неравенство \sqrt{1+4t}>1+t, верное для t=\delta/\alpha< 1/(L^2+1)<1). Лемма доказана.

Функция \overline{\psi(\overline w)} отображает внешность единичного круга на полуплоскость \{z\colon \operatorname{Im} z<-1\}, и при z\in K, |w|\geqslant 1 имеем аналогичное (6.1) разложение

\begin{equation} \frac{1}{z-\overline{\psi(\overline w)}} =\overline{\frac{1}{\overline z-\psi(\overline w)}} =\frac{1}{z+(\alpha+1)i}+\frac{2\alpha i}{(z+(\alpha+1)i)^2} \sum_{k=1}^\infty c(\alpha,-z)^{k-1}\frac{1}{w^k}. \end{equation} \tag{6.2}

Полюсы искомой наипростейшей дроби r_{2n}\in \operatorname{SF}_{2n}(\partial \Pi) степени 2n (вместо n, без ограничения общности) расположим в образах \psi(e^{2\pi i \nu/n}) и \overline{\psi(e^{-2\pi i \nu/n})} корней степени n из 1. Идея такого расположения восходит к работе Кореваара [1].

Подставляя точки w=e^{2\pi i \nu/n}, \nu=0,\dots,n-1, в (6.1) и (6.2) и учитывая, что сумма

\begin{equation*} \sum_{\nu=0}^{n-1}e^{2\pi i \nu k/n} \end{equation*} \notag
равна 0 при k, не кратных n, и равна n при k, кратных n, получаем
\begin{equation*} \begin{aligned} \, r_{2n}(z) &=\sum_{\nu=0}^{n-1} \frac{1}{z-\psi(e^{2\pi i \nu/n})} +\sum_{\nu=0}^{n-1}\frac{1}{z-\overline{\psi(e^{-2\pi i \nu/n})}} \\ &=\frac{n}{z-(\alpha+1)i}-\frac{2\alpha ni}{((\alpha+1)i-z)^2} \sum_{m=1}^\infty c(\alpha,z)^{mn-1} \\ &\qquad+ \frac{n}{z+(\alpha+1)i}+\frac{2\alpha ni}{(z+(\alpha+1)i)^2} \sum_{m=1}^\infty c(\alpha,-z)^{mn-1} \\ &=\frac{2nz}{z^2+(\alpha+1)^2} -\frac{2\alpha ni}{((\alpha+1)i-z)^2}\,\frac{c(\alpha,z)^{n-1}}{1-c(\alpha,z)^n} \\ &\qquad +\frac{2\alpha ni}{((\alpha+1)i+z)^2}\,\frac{c(\alpha,-z)^{n-1}}{1-c(\alpha,-z)^n}. \end{aligned} \end{equation*} \notag

В условиях леммы 6 получаем оценку

\begin{equation*} \|r_{2n}\|_{C(K)}\leqslant \frac{2nL}{(\alpha+1)^2-L^2}+2\frac{2\alpha n}{(\alpha+1-L)^2} \,\frac{1}{(1+\delta/\alpha)^{n-1}}\,\frac{1}{1-(1+\delta/\alpha)^{-n}}, \end{equation*} \notag
что при \alpha>2L не превосходит
\begin{equation*} \frac{3nL}{\alpha^2}+\frac{16\alpha n (1+\delta/\alpha)}{\alpha^2 ((1+\delta/\alpha)^n-1)}\leqslant \frac{3nL}{\alpha^2}+\frac{32 n}{\alpha((1+\delta/\alpha)^n-1)}. \end{equation*} \notag

Возьмем \alpha=n\delta/(2 \ln n). Тогда требуемые выше условия \alpha>\max\{(L^2+1)/\delta,2L\} выполнены при всех достаточно больших n, и в силу последней оценки

\begin{equation*} \|r_{2n}\|_{C(K)}\leqslant \frac{12 L \ln^2n}{\delta^2 n} +\frac{64 \ln n}{\delta(((1+2\ln n/n)^{n/(2\ln n)})^{2\ln n}-1)} < \frac{12 L \ln^2n}{\delta^2 n}+\frac{64 \ln n}{\delta(n-1)} \end{equation*} \notag
(последнее неравенство верно при n\geqslant 10). Теорема 4 доказана.

Было бы интересно получить какую-нибудь нетривиальную оценку снизу величин \rho_n(a,K, \partial \Pi) и по возможности выявить точность оценки из теоремы 4. Очевидное неравенство \rho_n(a,K, \partial \Pi)\geqslant \rho_n(a,K, {\mathbb C}\setminus K) для конкретных K (круг, отрезок) дает оценку снизу Cq^n с q<1.

Благодарности

Авторы глубоко благодарны рецензенту за указание на работу [5], С. В. Колесникову и В. В. Старкову за ценные советы.

Список литературы

1. J. Korevaar, “Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation”, Ann. of Math. (2), 80:3 (1964), 403–410  crossref  mathscinet  zmath
2. В. И. Данченко, Д. Я. Данченко, “О приближении наипростейшими дробями”, Матем. заметки, 70:4 (2001), 553–559  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Danchenko, D. Ya. Danchenko, “Approximation by simplest fractions”, Math. Notes, 70:4 (2001), 502–507  crossref
3. П. А. Бородин, “Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы”, Матем. сб., 203:11 (2012), 23–40  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. A. Borodin, “Approximation by simple partial fractions with constraints on the poles”, Sb. Math., 203:11 (2012), 1553–1570  crossref  adsnasa
4. П. А. Бородин, “Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы. II”, Матем. сб., 207:3 (2016), 19–30  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. A. Borodin, “Approximation by simple partial fractions with constraints on the poles. II”, Sb. Math., 207:3 (2016), 331–341  crossref
5. J. M. Elkins, “Approximation by polynomials with restricted zeros”, J. Math. Anal. Appl., 25:2 (1969), 321–336  crossref  mathscinet  zmath
6. T. Ganelius, “Sequences of analytic functions and their zeros”, Ark. Mat., 3 (1954), 1–50  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
7. П. А. Бородин, “Плотность полугруппы в банаховом пространстве”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:6 (2014), 21–48  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. A. Borodin, “Density of a semigroup in a Banach space”, Izv. Math., 78:6 (2014), 1079–1104  crossref  adsnasa
8. Р. Фелпс, Лекции о теоремах Шоке, Мир, М., 1968, 112 с.  zmath; пер. с англ.: R. R. Phelps, Lectures on Choquet's theorem, D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, NJ–Toronto, ON–London, 1966, v+130 с.  mathscinet  zmath
9. Дж. В. С. Касселс, Введение в теорию диофантовых приближений, ИЛ, М., 1961, 213 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: J. W. S. Cassels, An introduction to Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys., 45, Cambridge Univ. Press, New York, 1957, x+166 с.  mathscinet  zmath
10. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2-е изд., Наука, М., 1966, 628 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: G. M. Goluzin, Geometric theory of functions of a complex variable, Transl. Math. Monogr., 26, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1969, vi+676 с.  mathscinet  zmath
11. Ch. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps, Grundlehren Math. Wiss., 299, Springer-Verlag, Berlin, 1992, x+300 pp.  crossref  mathscinet  zmath
12. Дж. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, Мир, М., 1984, 470 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: J. B. Garnett, Bounded analytic functions, Pure Appl. Math., 96, Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York–London, 1981, xvi+467 с.  mathscinet  zmath
13. В. И. Данченко, “Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей”, Матем. сб., 185:8 (1994), 63–80  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Danchenko, “Estimates of the distances from the poles of logarithmic derivatives of polynomials to lines and circles”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 82:2 (1995), 425–440  crossref
14. P. Chunaev, “Least deviation of logarithmic derivatives of algebraic polynomials from zero”, J. Approx. Theory, 185 (2014), 98–106  crossref  mathscinet  zmath
15. M. A. Komarov, “Extremal properties of logarithmic derivatives of polynomials”, J. Math. Sci. (N.Y.), 250:1 (2020), 1–9  crossref  mathscinet  zmath
16. В. И. Данченко, М. А. Комаров, П. В. Чунаев, “Экстремальные и аппроксимативные свойства наипростейших дробей”, Изв. вузов. Матем., 2018, № 12, 9–49  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Danchenko, M. A. Komarov, P. V. Chunaev, “Extremal and approximative properties of simple partial fractions”, Russian Math. (Iz. VUZ), 62:12 (2018), 6–41  crossref

Образец цитирования: П. А. Бородин, К. С. Шкляев, “Приближение наипростейшими дробями в неограниченных областях”, Матем. сб., 212:4 (2021), 3–28; P. A. Borodin, K. S. Shklyaev, “Approximation by simple partial fractions in unbounded domains”, Sb. Math., 212:4 (2021), 449–474
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorShk21}
\by П.~А.~Бородин, К.~С.~Шкляев
\paper Приближение наипростейшими дробями в неограниченных областях
\jour Матем. сб.
\yr 2021
\vol 212
\issue 4
\pages 3--28
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9298}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9298}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1475.30087}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212..449B}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46868308}
\transl
\by P.~A.~Borodin, K.~S.~Shklyaev
\paper Approximation by simple partial fractions in unbounded domains
\jour Sb. Math.
\yr 2021
\vol 212
\issue 4
\pages 449--474
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9298}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701446600001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85109178927}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9298
  • https://doi.org/10.4213/sm9298
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i4/p3
  • Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
    1. П. А. Бородин, А. М. Ершов, “Задача С. Р. Насырова о приближении наипростейшими дробями на отрезке”, Матем. заметки, 115:4 (2024), 568–577  mathnet  crossref  mathscinet; P. A. Borodin, A. M. Ershov, “S. R. Nasyrov's Problem of Approximation by Simple Partial Fractions on an Interval”, Math. Notes, 115:4 (2024), 520–527  crossref
    2. П. А. Бородин, К. С. Шкляев, “Плотность квантованных приближений”, УМН, 78:5(473) (2023), 3–64  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa; P. A. Borodin, K. S. Shklyaev, “Density of quantized approximations”, Russian Math. Surveys, 78:5 (2023), 797–851  crossref  isi
    3. П. А. Бородин, “Приближение наипростейшими дробями: универсальные множества полюсов”, Матем. заметки, 111:1 (2022), 3–7  mathnet  crossref  mathscinet; P. A. Borodin, “Approximation by Simple Partial Fractions: Universal Sets of Poles”, Math. Notes, 111:1 (2022), 3–6  crossref  isi
    4. К. С. Шкляев, “Плотность полугруппы, порожденной проходящими через нуль кривыми в банаховом пространстве”, Матем. заметки, 111:2 (2022), 316–320  mathnet  crossref  mathscinet; K. S. Shklyaev, “Density of the Semigroup Generated by Curves through Zero in a Banach Space”, Math. Notes, 111:2 (2022), 324–328  crossref  isi
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:624
    PDF русской версии:113
    PDF английской версии:50
    HTML русской версии:203
    Список литературы:71
    Первая страница:24
     
      Обратная связь:
    math-net2025_02@mi-ras.ru
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025