| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Построение неограниченных разрывных решений скалярных законов сохранения при помощи преобразования Лежандра Л. В. Гаргянцa, А. Ю. Горицкийb, Е. Ю. Пановcd a Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет) b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого, г. Великий Новгород d Российский университет дружбы народов, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9383 
Реферативные базы данных:
    ВведениеРассмотрим в полосе $\Pi_T=\{(t,x)\mid t \in (0,T),\, x \in \mathbb{R}\}$, где $0<T\leqslant+\infty$, задачу Коши
$$
\begin{equation}
u_t+(f(u))_x=0, \quad (t,x)\in\Pi_T, \qquad u\bigl|_{t=0}=u_0(x), \quad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Определение 1 (см. [1]). Функция $u \colon \Pi_T \to \mathbb{R}$, $u \in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Pi_T)$, называется обобщенным энтропийным решением задачи (1), если: 1) для любого $k \in \mathbb{R}$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
|u-k|_t+\bigl(\operatorname{sign}(u-k)(f(u)-f(k))\bigr)_x \leqslant 0 \quad \text{в }\ \mathscr{D}'(\Pi_T);
\end{equation}
\tag{2}
$$
2) $\operatorname{esslim}_{t\to 0+}u(t,\cdot)=u_0(\cdot)$ в $L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$, т.е. существует множество $\mathscr{E} \subset (0,T)$ полной меры Лебега такое, что $u(t,\cdot) \in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$, $t \in \mathscr{E}$, и $u(t,\cdot) \to u_0(\cdot)$ в $L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$ при $t \to 0+$, $t \in \mathscr{E}$. Условие (2) означает, что для любой пробной функции $\varphi \in C_0^\infty (\Pi_T)$, $\varphi \geqslant 0$, выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi_T} [|u - k| \varphi_t + \operatorname{sign} (u - k) (f(u) - f(k)) \varphi_x] \, dx\, dt \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Само это определение в статье использоваться не будет, поскольку мы не выйдем за рамки кусочно гладких решений. Указанное определение заменим на хорошо известное свойство (см. [2]), сформулированное в следующем предложении. Предложение 1. Пусть $u \colon \Pi_T \to \mathbb{R}$ – кусочно гладкая в полосе $\Pi_T$ функция с не более чем счетным числом линий разрыва $\Gamma_n$, являющихся графиками функций $\gamma_n \in C^1(0,T)$, где $n \in \mathscr{N} \subseteq \mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\};$ пусть эти линии не пересекаются и существуют односторонние пределы функции $u$ при подходе к каждой линии разрыва $\Gamma_n$. Тогда $u$ является обобщенным энтропийным решением уравнения $u_t+(f(u))_x=0$ в том и только том случае, когда выполнены следующие условия: 1) в области гладкости функция $u=u(t,x)$ удовлетворяет этому уравнению в классическом смысле; 2) на каждой линии разрыва $\Gamma_n$ выполнено условие Ранкина–Гюгонио:
$$
\begin{equation}
\dot\gamma_n(t) = \frac{f(u^+_n(t)) - f(u^-_n(t))}{u^+_n(t) - u^-_n(t)}, \qquad t\in (0,T);
\end{equation}
\tag{3}
$$
3) для любого $n \in \mathscr{N}$ и для любого $t \in (0,T)$ выполнено условие Олейник (см. [3; условие E]) допустимости разрыва: при $u^+_n(t) > u^-_n(t)$ ($u^+_n(t) < u^-_n(t)$) график функции $f$ лежит не ниже (соответственно не выше) хорды, соединяющей точки этого графика с абсциссами $u^-_n(t)$, $u^+_n(t)$. В работах [4]–[12] были приведены различные примеры неограниченных (но при этом локально ограниченных) обобщенных энтропийных решений задач Коши (1). Все построенные решения имеют одинаковую структуру. Полуплоскость $t>0$ делится гладкими непересекающимися кривыми $\Gamma_{n}$ на счетное число областей. В областях между этими кривыми решение является классическим, а линия сильного разрыва $\Gamma_{n}$ формируется как огибающая семейства характеристик. Изначально такие решения строились при помощи некой рекуррентной процедуры (см. [4], [6], [9]), позже был предложен способ, основанный на наличии у исследуемых задач групп симметрий (см. [7], [8], [11], [12]). Предлагаемый в настоящей статье подход к построению такого типа решений основан на преобразовании Лежандра. Как известно (см. [13]), именно преобразованием Лежандра определяются огибающие семейств прямых на плоскости. § 1. Общий план построения решенийИтак, мы рассматриваем задачу (1), при этом функция потока $f(u)$ предполагается нечетной, строго выпуклой вверх на отрицательной полуоси и выпуклой вниз на положительной. Основной результат статьи аккуратно сформулирован ниже, в теореме 3. Сейчас же мы только опишем общую структуру строящегося там решения $u(t,x)$. Это решение – кусочно гладкое, со счетным числом линий разрыва $\Gamma_{n}=\{x=\gamma_{n}(t),\,t>0\}$, $\gamma_{n}\in C^{1}(\mathbb{R}_{+})$, $n \in \mathbb{N}_{0}$. Функциональная последовательность $\gamma_{n}(t)$ – неограниченно монотонно убывающая, т.е.
$$
\begin{equation*}
\forall\,t>0\quad \gamma_{0}(t)>\gamma_{1}(t)>\gamma_{2}(t)>\cdots\to -\infty ,
\end{equation*}
\notag
$$
а также $\lim_{t\to +0}\gamma_{n}(t)=-\infty$. В областях $G_{n}=\{\gamma_{n-1}(t)>x>\gamma_{n}(t)\}$, $n \in \mathbb{N}$, между этими кривыми и в области $G_0=\{x>\gamma_0(t)\}$ построенное решение $u(t,x)$ предполагается классическим, а кривые $\Gamma_{n}$ – ударные волны, т.е. линии сильного разрыва решения, причем со стороны $x>\gamma_{n}(t)$ каждая кривая $\Gamma_{n}$ является огибающей семейства характеристик из области $G_{n}$. Как известно (см. [2]), характеристическая система для задачи (1) имеет вид характеристики – прямые линии в трехмерном пространстве $(t,x,u)$. Проекции этих характеристик на плоскость $(t,x)$ в каждой из областей $G_{n}$ образуют семейство прямых1 параметризованное своим угловым коэффициентом $k$. Определенные так функции $g_{n}(k)$ играют ключевую роль в наших построениях, при этом эти функции в основной теореме и в примерах строго выпуклы вверх. Значение решения $u$ на каждой из прямых (5) задается в соответствии с (4) неявным соотношением $k=f'(u)$.Характеристики в области $G_{0}$, а значит, и функция $g_{0}(k)$, однозначно определяются по функции потока $f(u)$ и по начальному условию $u_{0}(x)$. Далее функции $g_{n}(k)$ находятся рекуррентно из соотношения, которое мы сейчас выведем. Семейство прямых (5) имеет огибающую, кривую $\Gamma_{n}=\{x=\gamma_{n}(t),\,t>0\}$, где $\gamma_{n}=\mathscr L(g_{n})$ – преобразование Лежандра функции $g_{n}(k)$. Кривую $\Gamma_{n}$ мы будем считать линией сильного разрыва. Поскольку функция $u$ в области $G_{n}$ уже известна, то предел $u^+_n(t)$ решения на кривой $\Gamma_{n}$ со стороны $G_{n}$ находится по непрерывности. С другой стороны от линии сильного разрыва $\Gamma_{n}$ значение $u^-_n(t)$ обобщенного решения определяется в соответствии с условием Ранкина–Гюгонио (3). При этом $\dot\gamma_{n}(t)=f'(u_{n}^{+}(t))$, так как кривая $\Gamma_{n}$, напомним, возникает как огибающая семейства прямых (5). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
f'(u_{n}^{+}(t)) = \frac{f(u^+_n(t)) - f(u^-_n(t))}{u^+_n(t) - u^-_n(t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это равенство определяет отображение
$$
\begin{equation*}
u^{+}=u_{n}^{+}(t)\quad\longrightarrow\quad u_{n}^{-}(t)=u^{-},
\end{equation*}
\notag
$$
которое связывает пределы функции $u$ с разных сторон от линии разрыва $\Gamma_{n}$. Вслед за этим мы можем определить и отображение
$$
\begin{equation*}
k^{+}=f'(u^{+})\quad\longrightarrow\quad f'(u^{-})=k^{-},
\end{equation*}
\notag
$$
связывающее наклоны двух характеристик, приходящих с разных сторон от линии разрыва в одну точку на $\Gamma_{n}$. Ниже это отображение мы обозначим $\varphi_{f}$. Прямые $x=k_{+}t-g_{n}(k_{+})$ и $x=k_{-}t-g_{n+1}(k_{-})$ пересекаются в некоторой точке $(t^{\ast},\gamma_{n}(t^{\ast}))\in \Gamma_{n}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
k^{+}t^{\ast}-g_{n}(k^{+})=k^{-}t^{\ast}-g_{n+1}(k^{-})=\gamma_{n}(t^{\ast}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\gamma_{n}(t)$ есть преобразование Лежандра функции $g_{n}(k)$, то $t^{\ast}=g_{n}'(k^{+})$, см. (8) ниже. Отсюда получаем рекуррентное соотношение, выражающее $g_{n+1}(k)$ через $g_{n}(k)$:
§ 2. Преобразование ЛежандраТеорема 1. Пусть семейство функций $g_{n}(k)$ таково, что: 1) $g_{n}(k)$ – бесконечно дифференцируемые, монотонно и неограниченно возрастающие, строго выпуклые вверх функции, определенные на $(k_{\ast};+\infty )$,
$$
\begin{equation*}
g_{n}\in C^{\infty}(k_{\ast};+\infty ), \qquad g'_{n}(k)>0, \qquad g''_{n}(k)<0, \qquad \lim_{k\to+\infty}g_{n}(k)=+\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
2) $g_{n}(k)$ – монотонно возрастающая функциональная последовательность, и
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}g_{n}(k)= +\infty \quad \forall\, k>k_{\ast};
\end{equation*}
\notag
$$
3) $g_{n}'(k_{\ast }+0)=+\infty $, $g_{n}'(+\infty )=0$ (следовательно, $g_{n}'(k)$ на $(k_{\ast};+\infty )$ монотонно убывает от $+\infty $ до $0$, см. п. 1)). Тогда функции $\gamma_{n}=\mathscr L(g_{n})$ определены на $(0;+\infty )$, бесконечно дифференцируемы, строго выпуклы вверх, $\lim_{t\to +0}\gamma_{n}(t)=-\infty $, и для любого $t>0$ числовая последовательность $\gamma_{n}(t)$ монотонно и неограниченно убывает. Кроме того, для всех $n$ выполнено Для удобства читателей мы приводим полное доказательство этой теоремы, хотя многие утверждения следуют из известных свойств преобразования Лежандра. Доказательство теоремы 1. Фиксируем $n \in \mathbb{N}_0$. Поскольку функция $g_n(k)$ бесконечно дифференцируема и строго выпукла вверх на своей области определения, нижняя грань в определении преобразования Лежандра
$$
\begin{equation*}
\gamma_n(t)=\mathscr{L}(g_n)(t)=\inf_{k > k_{\ast}} (kt-g_n(k))
\end{equation*}
\notag
$$
достигается в некоторой внутренней точке области определения функции $g_n(k)$. Следовательно, ее преобразование Лежандра можно задать в параметрическом виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, t&=g'_n(k), \\ \gamma_n(t)=\mathscr{L}(g_n)(t)&=kt-g_n(k)=kg'_n(k)-g_n(k). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Отметим, что в силу $g''_n(k)<0$ уравнение (8) однозначно разрешимо относительно $k$. Кроме того, из условия монотонного убывания функции $g'_n(k)$ от $+\infty$ до $0$ следует, что функция $\gamma_n=\mathscr{L}(g_n)$ определена на $(0;+\infty)$, а из условия бесконечной дифференцируемости функции $g_n(k)$ следует и бесконечная дифференцируемость ее преобразования Лежандра $\gamma_n(t)$.
Докажем строгую выпуклость вверх функции $\gamma_n(t)$. Из определения преобразования Лежандра следует, что $\gamma_n(t) \leqslant kt-g_n(k)$ при любых значениях аргументов $k$ и $t$ из областей определения функций $g_n(k)$ и $\gamma_n(t)$ соответственно, причем равенство достигается в том и только том случае, когда $t$ и $k$ связаны соотношением (8). Это означает касание графика функции $\gamma_n(t)$ и прямой $x=kt-g_n(k)$ в точке $t=g'_n(k)$ (в частности, $k=\dot\gamma_n(t)$). Следовательно, график функции $\gamma_n(t)$ лежит ниже касательной, проведенной к этому графику в любой точке области определения, что влечет строгую выпуклость вверх функции $\gamma_n(t)$. Покажем, что $\lim_{t\to +0}\gamma_{n}(t)=-\infty$. Для любого $k>k_*$ выполнено неравенство ${\gamma_n(t)\leqslant kt-g_n(k)}$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\limsup_{t\to +0}\gamma_n(t)\leqslant\lim_{t\to +0}(kt-g_n(k))=-g_n(k).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу при $k\to+\infty$, получаем желаемое соотношение.
Докажем оставшиеся утверждения теоремы. Равенства (7) следуют из монотонности функции $\dot\gamma_n(t)$ и того факта, что $\dot\gamma_n(t)=k$, если $t$ и $k$ связаны соотношением (8). Осталось показать, что для любого $t>0$ числовая последовательность $\gamma_n(t)$, $n\in\mathbb{N}_0$, монотонно и неограниченно убывает. Фиксируем $t_{0}>0$ и по нему находим $k_{0}=\dot\gamma_n(t_{0})>k_{\ast}$. Значения $t=t_{0}$ и $k=k_{0}$ связаны соотношением (8), т.е. $\gamma_{n}(t_{0})= k_{0} t_{0}-g_{n}(k_{0})$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\gamma_{n+1}(t_{0})-\gamma_n(t_{0}) =\inf_{k>k_{\ast}} (kt_{0}-g_{n+1}(k))-(k_{0}t_{0}-g_n(k_{0})) \\ &\qquad \leqslant (k_{0}t_{0}-g_{n+1}(k_{0}))-(k_{0}t_{0}-g_n(k_{0})) =-(g_{n+1}(k_{0})-g_n(k_{0}))<0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу монотонного возрастания последовательности $g_n(k)$, что влечет монотонное убывание последовательности $\gamma_n(t)$.
Наконец, при любом фиксированном $k>k_*$ выполнено т.е. последовательность $\gamma_n(t_{0})$ убывает неограниченно.§ 3. Выпукло-вогнутые функции и отображение $\varphi_{f}$Введем класс выпукло-вогнутых функций, графики которых напоминают кубическую параболу. Определение 3. Скажем, что гладкая функция $f(u)$ принадлежит классу $\mathscr F$, если 1) $f\in C^{\infty }(-\infty ;0)\cap C^{\infty }(0;+\infty )$, $f(u)$ – нечетная; 2) $f'(u)$ строго монотонно убывает от $+\infty $ до $k_{\ast }=f'(0)$ на отрицательной полуоси и, следовательно, монотонно возрастает от $k_{\ast }$ до $+\infty $ на положительной полуоси; при этом $f''(u)>0$ при $u>0$ и, следовательно, $f''(u)<0$ при $u<0$. Таким образом, функции из класса $\mathscr F$ выпуклы вверх на отрицательной полуоси, выпуклы вниз на положительной полуоси, имеют в нуле точку перегиба. Определение 4. Для функций $f\,{\in}\,\mathscr F$ определим отображение $k^-\,{=}\,\varphi_{f}(k^+)$, $\varphi_{f}\colon (k_{\ast };+\infty )\to (k_{\ast };+\infty )$ за три шага (рис. 1): 1) разрешим относительно $u^+$ уравнение $f'(u^+)=k^+$; 2) разрешим относительно $u^-$ уравнение $f(u^-)-f(u^+)=k^+(u^--u^+)$; 3) зададим $k^-=\varphi_{f}(k^+)=f'(u^-)$. Также положим $\varphi_{f}(k_{\ast })=k_{\ast }$. Замечание 1. Уравнение $f'(u^+)=k^+$ имеет по одному решению на отрицательной и положительной полуосях, но в силу нечетности функции $f(u)$ эти два значения дадут один и тот же результат. Геометрически отображение $k^-=$ $\varphi_{f}(k^+)$ означает следующее. К графику функции $f(u)$ проводится касательная с наклоном $k^+$ (в точке с абсциссой $u^+$). Эта касательная пересекает график еще в одной точке (с абсциссой $u^-$). В качестве $\varphi_{f}(k^+)$ берется тангенс $k^-$ угла наклона касательной в этой точке. Дадим еще одну интерпретацию отображения $\varphi_{f}$, но не через график функции $f(u)$, а через график его преобразования Лежандра. Обозначим $h_{1}(k)=\inf_{u<0}(uk-f(u))$ (и $h_{2}(k)=\sup_{u>0}(uk-f(u))$) – преобразование Лежандра выпуклой вверх (соответственно вниз) функции $f(u)$, ограниченной на отрицательную (положительную) полуось. Обе функции $h_{1,2}(k)$ определены при $k>k_{\ast}$, $h_{1}(k)<0$, $h_{2}(k)>0$, а также $h_{2}(k)=-h_{1}(k)$ в силу нечетности $f(u)$. Тогда геометрически $\varphi_f(k^+)$ определяется проведением прямой, которая проходит через точку с абсциссой $k^+$ на графике одной из функций $h=h_{1,2}(k)$ и касается графика другой функции. Абсцисса точки касания и есть $k^-=\varphi_f(k^+)$, а тангенс угла наклона этой касательной равен $u^-$. Теорема 2. Если $f\in \mathscr F$, то отображение $\varphi_{f}$ корректно определено, бесконечно дифференцируемо и осуществляет диффеоморфизм луча $(k_{\ast };+\infty )$ на себя, при этом $\varphi_{f}(k)>k$ $\forall \,k>k_{\ast }$. Доказательство. Корректность определения и неравенство $\varphi_{f}(k)>k$ следуют из свойств выпуклости и нечетности функции $f$ (см. рис. 1). Теорема о неявной функции гарантирует бесконечную дифференцируемость отображения $k_{+}\to u_{+}$ в п. 1) и отображения $u_{+}\to u_{-}$ в п. 2) определения 4. Теорема доказана. Пример 1. Положим $f(u)=Au^{3}$, $A>0$. Тогда имеем $k_{\ast }=0$, $u^-=-2u^+$ и $k^-=\varphi_{f}(k^+)=4k^+$ – линейное отображение. Пример 2. Пусть теперь $f(u)=Au^{3}+Bu$, $A>0$. Тогда $k_{\ast }=B$, снова имеем $u^-=-2u^+$, но соотношение между $k^-$ и $k^+$ изменится: $(k^--B)=4(k^+-B)$, т.е. $\varphi_{f}(k^+)=4k^+-3B$. Пример 3. Возьмем $f(u)=A\vert u\vert^{\alpha -1}u$, $\alpha >1$, $A>0$. Тогда будет выполнено ${k_{\ast }=0}$, $u^-=-\varkappa u^+$, и отображение $\varphi_{f} $ снова линейное, $\varphi_{f}(k^+)=\varkappa^{\alpha-1}k^+$ с константой ${\varkappa =\varkappa (\alpha )>1}$, определяемой как положительный корень уравнения $\varkappa^{\alpha }+1=\alpha \varkappa +\alpha $. Отметим, что $\varkappa (3)=2$ (см. пример 1) и $\varkappa(2)=1+\sqrt{2}$. Пример 4. Наконец, рассмотрим $f(u)=A\vert u\vert^{\alpha -1}u+Bu$, $\alpha >1$, $A>0$. Тогда $k_{\ast }=B$, $u^-=-\varkappa u^+$ с той же константой $\varkappa =\varkappa (\alpha )>1$, что и в предыдущем примере, а отображение $\varphi_{f}$ имеет вид $\varphi_{f}(k^+)=\varkappa^{\alpha -1}k^+-B(\varkappa^{\alpha -1}-1)$. § 4. Основной результатТеорема 3. Пусть функция $f(u)$ принадлежит классу $\mathscr F$ и $f'(0)=k_{\ast }$, ${\varphi =\varphi_{f}}$ – построенный выше диффеоморфизм, определенный на $(k_{\ast};+\infty )$. Пусть семейство функций $g_{n}(k)$, определенных на $(k_{\ast };+\infty )$, удовлетворяет условиям теоремы 1, а также рекуррентному соотношению (рис. 2)
$$
\begin{equation}
g_{n+1}(\varphi (k))=g_{n}(k)+g_{n}'(k)(\varphi (k)-k).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Тогда существует обобщенное энтропийное решение $u(t,x)$ задачи Коши (1) с начальным условием $u_{0}(x)=\pm (-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$.2 Это решение определено во всей полуплоскости $t>0$, локально ограничено в ней, имеет счетное число линий разрыва $\Gamma_{n}$, являющихся графиками функций $x=\gamma_{n}(t)=(\mathscr Lg_{n})(t)$. Между двумя соседними линиями разрыва функция $u(t,x)$ является либо положительной, либо отрицательной, меняя знак при переходе через каждый разрыв. Замечание 2. Свойство строгого возрастания последовательности $g_n$ из теоремы 1 выполнено автоматически. Действительно, Последнее неравенство выполнено в силу строгой выпуклости $g_n(k)$ и неравенства $\varphi(k)\ne k$. Замечание 3. В случае, если множество значений функции $g_{0}$ составляет не всю ось, а луч $x>-x_{\ast}= g_{0}(k_{\ast}+0)$, то следует доопределить начальное условие любой знакопостоянной функцией с нестрого возрастающим абсолютным значением. Например, по непрерывности, нулем: $u_{0}(x)\equiv 0$ при $x\geqslant x_{\ast}$. Доказательство теоремы предварим известной леммой о том, что если функция постоянна на характеристиках, то она удовлетворяет уравнению с частными производными. Лемма 1. Пусть гладкая функция $u(t,x)$ удовлетворяет в области $G$ неявному уравнению с некоторыми функциями $f\in C^{2}$ и $g\in C^{1}$. Тогда $u(t,x)$ удовлетворяет в $G$ уравнению Доказательство. Продифференцируем равенство (10) по $x$ и по $t$:
$$
\begin{equation*}
1=f''(u) t\cdot u_{x}+ g'(u)\cdot u_{x}, \qquad 0=f'(u)+f''(u) t\cdot u_{t}+ g'(u)\cdot u_{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Домножим первое уравнение на $u_{t}$, второе – на $-u_{x}$ и сложим. Получим (11). Лемма доказана. Доказательство теоремы 3. Последовательность функций $g_{n}(k)$, ${n\in\mathbb{N}_{0}}$, согласно теореме 1 задает (см. рис. 2) набор непересекающихся кривых $\Gamma_{n}=\{x=\gamma_{n}(t),\,t>0\}$, где $\gamma_{n}=\mathscr L(g_{n})$. Обозначим $G_{n}=\{\gamma_{n-1}(t)>x>\gamma_{n}(t)\}$ при $n\in \mathbb{N}$, а также $G_0=\{x>\gamma_0(t)\}$ в случае $g_{0}(k_{\ast}+0)=-\infty$. Если же $g_{0}(k_{\ast}+0)=-x_{\ast}>-\infty$, то положим $G_0=\{k_{\ast}t+x_{\ast}>x>\gamma_0(t)\}$ и $G=\{x>k_{\ast}t+x_{\ast}\}$. Как и раньше, $k_{\ast}=f'(0)=\min f'(u)$.
Каждой из областей $G_{n}$ ставим в соответствиe знак решения – плюс или минус, меняя знак при переходе от одной области к соседней, т.е. области с четными номерами будут одного знака, а с нечетными – другого. Смена знака на линии разрыва связана с тем, что отображение $u_{+}\to u_{-}$ (определение 4, п. 2)) в обязательном порядке меняет знак функции $u$. Область $G_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, заполнена прямыми $x=kt-g_{n}(k)$, касательными к графику $\Gamma_{n}$ выпуклой вверх функции $\gamma_{n}(t)$. Через каждую точку $(t_{0},x_{0})\in G_{n}$ проходит ровно одна прямая, касательная к $\Gamma_{n}$ в точке с $t<t_{0}$; в этом случае угловой коэффициент $k=\dot\gamma_{n}(t)$ касательной больше $k_0=\dot\gamma_{n}(t_{0})$.3 Действительно, функция $p(k)=x_0-(kt_0-g_n(k))$ строго убывает и меняет знак на луче $[k_0,+\infty)$: $p(k_0)=x_0-\gamma_n(t_0)>0$, $p(k)\to-\infty$ при $k\to+\infty$ (так как $\lim_{k\to+\infty}p'(k)=-t_0<0$). Положим в точке $(t_0,x_0)$ значение решения $u$, найденное из уравнения $f'(u(t_{0},x_{0}))=k$, где $k$ – угловой коэффициент указанной касательной. Знак решения этого уравнения соответствует знаку, присвоенному области $G_{n}$. Используя теорему о неявной функции и теорему об обратной функции, заключаем, что функция $u$ корректно определена в области $G_{n}$, бесконечно дифференцируема и удовлетворяет неявному соотношению Из леммы 1 следует, что $u$ – классическое решение уравнения (11) в области $G_{n}$.Соотношение (6) на линиях разрыва $\Gamma_{n}$ ($n\in\mathbb{N}_{0}$) было выведено в § 1. Отметим, что требуемое в теореме основное условие (9) есть в точности это соотношение. При этом $k_{-}=\varphi_{f}(k_{+})>k_{+}=\dot\gamma_{n}(t)$ (см. теорему 2), тем самым движение по характеристике от $\Gamma_{n}$ к $\Gamma_{n+1}$ идет в сторону уменьшения $t$. Поэтому при выборе характеристики, идущей от $\Gamma_{n-1}$ и проходящей через точку $(t_{0},x_{0})\in G_{n}$, нас интересовали касательные к $\Gamma_{n}$ в точке со значением $t$, именно меньшим $t_{0}$. Условие допустимости разрыва (т.е. взаимное расположение графика и хорды) в нашем случае выполнено автоматически (см. рис. 1) в силу свойств выпуклости функции потока $f\in \mathscr F$ и того факта, что хорда касается графика функции $f$ в точке с абсциссой $u_{+}$. В области $G_{0}$ решение $u=u(t,x)$ строится так же, только, разрешая уравнение $x=kt-g_{0}(k)$ относительно $k$, выбираем меньший корень $k<k_0$. Существование этого корня вытекает из условия $x_0<k_{\ast}t_0+x_{\ast}=\lim_{k\to k_\ast+0} kt_0-g_0(k)$, так что функция $p(k)=x_0-(kt_0-g_0(k))$ строго возрастает и меняет знак на промежутке $(k_\ast,k_0]$. Тем самым характеристика (касательная к $\Gamma_{0}$) доходит до прямой $t=0$, принося в точку $(0,x)=(0,-g_{0}(k))$ значение функции $u$, определяемое из равенства $f'(u)=k$, т.е. $x=-g_{0}(f'(u(0,x)))$, что и дает начальное условие $u_{0}(x)=\pm (-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$. Наконец, рассмотрим область $G=\{x>f'(0)t+x_{\ast},\,t>0\}$. Напомним, речь идет о ситуации, когда $g_{0}(k_{\ast}+0)=-x_{\ast}>-\infty$; следовательно, имеется произвол в задании $u_{0}(x)$ при ${x\geqslant x_{\ast}}$. Здесь решение строится стандартным образом, выпуская характеристики из каждой точки $(t,x)=(0,s)$. Поскольку функция $f'(u_{0}(s))$, $s>x_{\ast}$, не убывает, то в полуплоскости $t>0$ характеристики $x=s+f'(u_{0}(s))t$ не пересекаются. На каждой такой характеристике решение, в соответствии с (4), определяется соотношением $u=u_{0}(s)$. В случае, если монотонная функция $u_{0}$ имеет разрыв (первого рода) в точке $s_{\ast}$ то внутри угла $f'(u_{0}(s_{\ast}-0))<(x-s_{\ast})/t<f'(u_{0}(s_{\ast}+0))$ решение представляет из себя так называемую волну разрежения (см. [2]), определяемую соотношением $f'(u(t,x))=(x-s_{\ast})/t$. Если $u_{0}(x_{\ast}+0)\ne 0$, то такой же волной разрежения $f'(u)=(x-x_{\ast})/t$ заполняется и угол $f'(0)<(x-x_{\ast})/t<f'(u_{0}(x_{\ast}+0))$. Так построенное решение $u(t,x)$ является непрерывным в области $G$, причем $u(t,x)$ стремится к нулю при подходе к лучу $x=f'(0)t+x_{\ast}$, $t>0$, соединяясь по непрерывности с решением в области $G_{0}$. Теорема 3 доказана. Замечание 4. Как мы видим, на последовательность $g_{n}(k)$ наложено в теоремах 1 и 3 слишком много ограничений, что даже вызывает вопрос, а существуют ли такие последовательности. Примеры приведем ниже, а сейчас отметим, что все эти условия выдерживают умножение на положительные числа и суммирование. То есть если мы имеем несколько функциональных последовательностей $g_{n}^{(j)}(k)$, удовлетворяющих многочисленным требованиям теорем 1 и 3 (с одной и той же функцией $\varphi (k)$), то их линейная комбинация с положительными коэффициентами также будет удовлетворять условиям этих теорем. § 5. Примеры применения теоремы 3Все примеры ниже основаны на том, что наше основное рекуррентное соотношение (9) сохраняет однородность функций $g_{n}(k)$. Пример 5. $f(u)=u^{3}/3$, $k_{\ast }=0$, $\varphi (k)=4k$. Положим $g_{0}(k)=\sqrt{k}$. Тогда $g_{n}(k)=C_{n}\sqrt{k}$. Действительно, соотношение (9) в этом случае примет вид Линии разрыва $\Gamma_{n}$ – ветви гипербол $xt=-C_{n}^{2}/4$, начальное условие $u_{0}(x)=\pm x$ при $x<0$. В этом случае (см. [4], [6], [12]) несложно указать и явный вид построенного решения. Характеристики в области $G_{n}=\{-C^{2}_{n}<4xt<-C^{2}_{n-1}\}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
x=kt-C_{n}\sqrt{k}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{k}=\frac{C_{n}\pm\sqrt{C^{2}_{n}+4xt}}{2t}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Значение решения $u$ в точке $(t,x)\in G_{n}$ находится из условия $k=f'(u)=u^{2}$, т.е. $u=\pm \sqrt{k}$ и знаки чередуются при переходе из одной области $G_{n}$ в соседнюю. Что касается выбора знака в формуле корней квадратного уравнения в (12), то следует брать большее значение $k$, т.е. знак “$+$”, если $n\in\mathbb{N}$. В случае же $n=0$, т.е. находясь в области $G_{0}=\{-C^{2}_{0}<4xt<0\}$, выбираем знак “$-$”. Итак, при начальном условии $u_{0}(x)=-x$ (при $x<0$) решение в четверти плоскости $t>0$, $x<0$ имеет вид Естественно, функция $-u$ будет решением с $u_{0}(x)=+x$ (при $x<0$). В четверти плоскости $t>0$, $x>0$ вид решения зависит от того, как было доопределено начальное условие $u_{0}(x)$ на положительной полуоси. Проще всего доопределить нулем и получить в этой четверти ${u(t,x)\equiv 0}$.Пример 6. Пусть снова $f(u)=u^{3}/3$, $k_{\ast }=0$, $\varphi (k)=4k$, но на этот раз положим $g_{0}(k)=\ln k$. Покажем, что в этом случае $g_{n}(k)=\ln k+C_{n}$. Действительно, Линии разрыва $\Gamma_{n}$ являются графиками функций $x=\ln t+1-C_{n}$, начальное условие $u_{0}(x)=\pm e^{-x/2}$, $x\in{\mathbb{R}}$. Замечание 5. В примерах 5 и 6 можно брать $f(u)=A\left\vert u\right\vert^{\alpha -1}u$, $\alpha>1$, и это изменит лишь вид $C_{n}$, а также появятся константы в начальных условиях. В примере 5 можно также взять $g_{0}(k)=k^{\sigma}$, $0<\sigma <1$. В этом случае линии разрыва будут $xt^{\gamma }=\mathrm{const}$, $\gamma=\sigma/(1-\sigma)$; начальное условие – степенная функция $u_{0}(x)=\pm c|x|^{\beta}$ при $x<0$, где $\beta=1/(\sigma(\alpha-1))>0$, $c=(\alpha A)^{-1/(\alpha-1)}$. Пример 7. Для функции потока вида $f(u)=A\vert u\vert^{\alpha -1}u+Bu,\alpha >1$, $A>0$, и $\varphi (k)=\varkappa^{\alpha -1}k-B(\varkappa^{\alpha -1}-1) $ в качестве $g_{n}$ можно брать сдвинутые функции из предыдущих примеров: $g_{n}(k)=C_{n}(k-B)^{\sigma }$ или $g_{n}(k)=\ln (k-B)+C_{n}$. Это приводит к тому, что скорости ударных волн при больших временах стремятся к константе $B=\lim_{t\to +\infty}\gamma_{n}'(t)$, а не к нулю, как в примерах 5 и 6. § 6. Несуществование знакопостоянных решенийРешения, построенные в теореме 3, выпадают из общей теории обобщенных энтропийных решений задачи Коши (1), разработанной еще в классических работах О. А. Олейник [14], [3] и С. Н. Кружкова [15], [1]. В указанных работах теоремы существования, единственности, принцип максимума доказаны в классе ограниченных в полосе $\Pi_{T}$ решений, т.е. $u\in L^\infty(\Pi_T)$. При этом начальное условие, естественно, также является ограниченным, $u_0\in L^\infty(\mathbb{R})$. Мы же, напомним, рассматриваем локально ограниченные решения, $u\in L_{\mathrm{loc}}^\infty(\Pi_T)$, и начальное условие $u_{0}(x)=\pm (-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$ (о котором говорится в основной теореме 3) принципиально оказывается неограниченным. При этом построенное знакопеременное решение не удовлетворяет принципу максимума, так как начальное условие может (а в части примеров даже обязано) сохранять знак. Изучим внимательнее, что из себя представляет функция $(-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$. Под $f'$ будем для определенности понимать ограничение производной функции $f\in \mathscr F$ на $\mathbb{R}_{+}$. Таким образом, $f'$ определена на $(0,+\infty)$ и монотонно возрастает от $k_{\ast}=f'(0)$ до $+\infty$. Функция $g_{0}$ определена на луче $(k_{\ast},+\infty)$ и монотонно возрастает от $g_{0}(k_{\ast}+0)$ до $+\infty$. При этом, возможно, $g_{0}(k_{\ast}+0)=-\infty$ (см. пример 6) или же $g_{0}(k_{\ast}+0)=-x_{\ast}>-\infty$ (пример 5). В последнем случае, напомним, приходится доопределять $u_{0}(x)$ при $x>x_{\ast}$. Таким образом, функция $-g_{0}\circ f'$ определена на $(0,+\infty)$ и монотонно убывает от $x_{\ast}$ (или $+\infty$) до $-\infty$. Наконец, $u_{0}(x)=(-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$ определена на $(-\infty,x_{\ast})$ и монотонно убывает от $+\infty$ до $0$. Если $x_{\ast}=-g_{0}(k_{\ast}+0)<+\infty$, то доопределим $u_{0}(x)$ нулем при $x\geqslant x_{\ast}$. Тем самым функция $u_{0}(x)$ неотрицательна, в то время как построенное решение задачи (1) будет отрицательным во всех областях $G_{n}$ с нечетными номерами $n$. Отсутствие принципа максимума ведет к неединственности решения задачи Коши (1) в классе локально ограниченных энтропийных решений. Соответствующие примеры построены в работах [5], [7], [10], [12]. Однако, оказывается, неотрицательных решений у задачи (1) с $u_{0}(x)=(-g_{0}\circ f')^{-1}(x)\geqslant 0$ не существует, о чем утверждает следующая теорема. Теорема 4. Пусть $f'\colon\mathbb{R}_{+}\to (k_{\ast},+\infty)$ и $g_{0}\colon(k_{\ast},+\infty)\to (-x_{\ast},+\infty)$ – монотонно и неограниченно возрастающие функции. Пусть выполнено Замечание 6. Во всех примерах, приведенных выше, соотношение (13) выполнено. Действительно, везде там $f(u)$ – степенная функция, т.е. $f'(u)$ и $f(u)/u$ имеют один и тот же порядок роста на бесконечности, а $g_{0}(k)=o(k)$, $k\to+\infty$. Тем не менее условие (13) не следует автоматически из свойств выпуклости и монотонности функций $f$ и $g_{0}$, наложенных в теоремах 1 и 3, что показывает пример $f(u)=e^{u}$ (при больших $u$) и $g_{0}(k)=k/\ln k$ (при больших $k$). Лемма 2. Пусть $f'$ – возрастающая на $\mathbb{R}_{+}$ функция, $\lim_{u\to+\infty} f'(u)=+\infty$. Тогда Доказательство. Из условий следует, что $f(u)\to+\infty$ при $u\to+\infty$. Следовательно, для фиксированного значения $\overline u>0$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\liminf_{u\to+\infty}\frac{f(u)}{u}= \liminf_{u\to+\infty}\frac{f(u)-f(\overline u)}{u-\overline u}\geqslant f'(\overline u).
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $\overline u$ к бесконечности, получим (14). Лемма доказана. Для доказательства теоремы 4 нам понадобятся понятия обобщенных энтропийных суб- и суперрешений задачи (1), а также некоторые известные их свойства (см. [16]–[18]). Введем обозначения $f^+=\max(f, 0)$, $f^-=\max(-f, 0)$. Также обозначим $\operatorname{sign}^+(f)=\operatorname{sign}(f^+)$ – функция Хевисайда, $\operatorname{sign}^-(f)=-\operatorname{sign}^+(-f)$. Определение 5. Функция $u \colon \Pi_T \to \mathbb{R}$, $u \in L^{\infty}_{\mathrm{loc}}(\Pi_T)$, называется обобщенным энтропийным субрешением задачи (1), если: 1) $[(u - k)^{+}]_t + [\operatorname{sign}^{+}(u - k)(f(u)-f(k))]_x\leqslant 0$ в $\mathscr{D}'(\Pi_T)$ $ \forall\, k \in \mathbb{R}$; 2) $\operatorname{esslim}_{t \to 0+}(u(t,\cdot)-u_0(\cdot))^{+}=0$ в $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$. Определение 6. Функция $u \colon \Pi_T \to \mathbb{R}$, $u \in L^{\infty}_{\mathrm{loc}}(\Pi_T)$, называется обобщенным энтропийным суперрешением задачи (1), если: 1) $[(u - k)^{-}]_t + [\operatorname{sign}^{-}(u - k)(f(u)-f(k))]_x\leqslant 0$ в $\mathscr{D}'(\Pi_T)$ $\forall\, k \in \mathbb{R}$; 2) $\operatorname{esslim}_{t \to 0+}(u(t,\cdot)-u_0(\cdot))^{-}=0$ в $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$. Замечание 7. Функция $u$ является обобщенным энтропийным решением задачи (1) тогда и только тогда, когда она является одновременно обобщенным энтропийным субрешением и суперрешением этой же задачи. В работах [16]–[18] установлен следующий принцип сравнения для ограниченных энтропийных суб- и суперрешений. Предложение 2. Пусть $v\colon\Pi_T\to\mathbb{R}$, $w\colon\Pi_T\to\mathbb{R}$, $v,w \in L^\infty(\Pi_T)$, – обобщенные энтропийные суб- и суперрешения уравнения $u_{t}+(f(u))_{x}=0$ с начальными данными $v_0$ и $w_0$, $v_0,w_0\in L^\infty(\mathbb{R})$, соответственно. Если $v_0(x)\leqslant w_0(x)$ почти всюду в $\mathbb{R}$, то $v(t,x)\leqslant w(t,x)$ почти всюду в $\Pi_T$. Следующее утверждение, доказанное в [6], имеет место без требования ограниченности функций в полосе $\Pi_T$. Предложение 3. 1) Пусть $u=u(t,x)$ является обобщенным энтропийным субрешением задачи (1), $c\in\mathbb{R}$. Тогда $v(t,x)=\max(u(t,x),c)$ также является обобщенным энтропийным субрешением этой задачи с начальной функцией $v_0(x)=\max(u_0(x),c)$. 2) Пусть $u=u(t,x)$ является обобщенным энтропийным суперрешением задачи (1), $c\in\mathbb{R}$. Тогда $w(t,x)=\min(u(t,x),c)$ также является обобщенным энтропийным суперрешением этой задачи с начальной функцией $w_0(x)=\min(u_0(x),c)$. Доказательство теоремы 4. Монотонно убывающая функция $u_{0}(x)$ принимает значение $N>0$ в точке $x=-g_{0}(f'(N))$. Наряду с исходной задачей (1) для фиксированного $N\in\mathbb{N}$ рассмотрим две вспомогательные задачи Коши для того же уравнения: Отметим, что $u_{N}\big|_{t=0}\leqslant U_{N}\big|_{t=0}\leqslant u\big|_{t=0}$.
Решение $u_{N}$ задачи Римана (15) о распаде разрыва хорошо известно (см. [2]):
$$
\begin{equation*}
u_{N}(t,x)= \begin{cases} N,& x<-g_{0}(f'(N))+\dfrac{f(N)}{N} t, \\ 0,& x\geqslant -g_{0}(f'(N))+\dfrac{f(N)}{N} t. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (13) и (14) имеем $x<-g_{0}(f'(N))+(f(N)/N) t$ при больших $N$ для любой фиксированной точки $(t,x)$, $t>0$. Следовательно,
Пусть $u \in L^{\infty}_{\mathrm{loc}}(\Pi_T)$ – неотрицательное обобщенное энтропийное решение (а значит, и обобщенное энтропийное суперрешение) задачи (1). Из предложения 3 следует, что функция $U_N(t,x)=\min (u(t,x), N)$ является обобщенным энтропийным суперрешением задачи (16), причем $0\leqslant U_{N}(t,x)\leqslant N$ в силу неотрицательности функции $u$. Для ограниченных суперрешения $U_{N}$ и субрешения $u_{N}$ применимо предложение 2, из которого следует цепочка неравенств что противоречит (17). Теорема 4 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GarGorPan21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|