Теоремы обращения и теоремы устойчивости для аппроксимативных представлений конечных групп

Полезной мерой квазислучайности для вещественных или комплекснозначных функций,определенных на конечных (или, более общим образом, на локально компактных) группах является $U^2$-норма. Простые соображения, связанные с анализом Фурье, дают теорему обращения, которая показывает, что ограниченная функция с большой $U^2$-нормой, определенная на конечной абелевой группе, должна существенно коррелировать с некоторым характером. Это утверждение обобщается на функции, определенные на произвольных конечных группах и принимающие значения в пространстве $\mathrm{M}_n(\mathbb{C})$. Теперь вывод состоит в том, что функция коррелирует с представлением – хотя и с тем изменением, что, как показано, размерность представления отличается от $n$ не более чем на константу, но не обязательно равна $n$. Есть простые примеры, показывающие, что это ослабление напрашивающегося вывода необходимо. Доказательство гораздо менее непосредственно, чем в случае скалярных функций на абелевых группах.
В качестве простого следствия доказана теорема устойчивости для почти представлений. Эта теорема утверждает, что если $G$ – конечная группа, а $f\colon G\to\mathrm{M}_n(\mathbb{C})$ – функция, близкая к представлению в том смысле, что норма Гильберта–Шмидта разности $f(xy)-f(x)f(y)$ (также известная как норма Фробениуса) мала для всех $x,y\in G$, то должно существовать такое представление $\rho$, что норма Гильберта–Шмидта разности $f(x)-\rho(x)$ мала для каждого $x$. Размерность $\rho$ снова не обязательно равна $n$, но она должна быть близка к $n$. Также получены теоремы устойчивости для других $p$-норм Шаттена.
Библиография: 14 названий.