Банаховы фреймы в задаче афинного синтеза

Рассматривается задача о представлении функций $f\in L^p(\mathbb R^d)$ посредством ряда по элементам аффинной системы
$$\psi_{j,k}(x)=|\det a_j|^{1/2}\psi(a_jx-bk), \qquad j\in\mathbb N, \quad k\in\mathbb Z^d.$$
Соответствующие теоремы представления устанавливаются на основе рамочных неравенств
$$A\|g\|_q\le\|\{(g,\psi_{j,k})\}\|_Y\le B\|g\|_q$$
для коэффициентов Фурье $\displaystyle(g,\psi_{j,k})=\int_{\mathbb R^d}g(x)\psi_{j,k}(x)\,dx$ функций $g\in L^q(\mathbb R^d)$, $1/p+1/q=1$, где ${\|\,\cdot\,\|}_Y$ – норма некоторого банахова пространства числовых семейств $\{y_{j,k}\}$ и $0<A\le B<\infty$ – некоторые постоянные.
В частности, доказывается, что если функция $\psi\in L^1\cap L^p(\mathbb R^d)$, $1<p<\infty$, имеет ненулевой интеграл $\displaystyle\int_{\mathbb R^d}\psi(x)\,dx\ne0$ и система сдвигов $\{\psi(x-bk):k\in\mathbb Z^d\}$ является $p$-бесселевой в пространстве $L^p(\mathbb R^d)$, то для любой функции $f\in L^p(\mathbb R^d)$ справедливо представление
$$f=\sum_{j\in\mathbb N}\sum_{k\in\mathbb Z^d}c_{j,k}\psi_{j,k},$$
коэффициенты которого удовлетворяют условию
$$\sum_{j\in\mathbb N}|\det a_j|^{1/2-1/p}\biggl(\sum_{k\in\mathbb Z^d}|c_{j,k}|^p\biggr)^{1/p}<\infty.$$

Библиография: 19 названий.