О численных характеристиках подмногообразий трех многообразий алгебр Ли

Пусть $\mathbf V$ – многообразие алгебр Ли. Для каждого $n$ рассмотрим размерность пространства полилинейных элементов от $n$ различных букв свободной алгебры этого многообразия. Возникает последовательность коразмерностей $c_n(\mathbf V)$. Для изучения экспонециального роста определяют экспоненту многообразия $\operatorname{Exp}\mathbf V=\varlimsup_{n\to\infty}\root n\of{c_n(\mathbf V)}$. Для многообразия алгебр Ли с нильпотентным коммутантом $\mathbf N_s\mathbf A$ известно, что $\operatorname{Exp}(\mathbf N_s\mathbf A)=s$, и в случае поля нулевой характеристики для любого подмногообразия $\mathbf V\subset\mathbf N_s\mathbf A$ экспонента является целым числом. Мы докажем, что это утверждение верно над любым полем.
В отличие от ассоциативных алгебр для многообразий алгебр Ли типичен сверхэкспоненциальный рост для последовательности коразмерностей. Автором ранее была предложена шкала для измерения этого роста. Для двух многообразий $\mathbf{AN}_2$ и $\mathbf A^3$ устанавливается следующее экстремальное свойство. Любое подмногообразие в них не может быть “чуть-чуть” меньше в терминах этой шкалы. То есть либо подмногообразие лежит на той же точке шкалы, что и само многообразие, либо оно расположено на шкале существенно ниже. Эти результаты также установлены над произвольным полем и без привлечения теории представлений симметрической группы.
Библиография: 29 названий.