О функциях с близкими значениями наименьших уклонений от полиномов и рациональных функций

Доказано, что для любой аналитической внутри единичного круга $D$ функции $f(z)$ из пространства $L^p(D)$ с $p>1$ выполняется равенство
$$\rho\stackrel{\operatorname{def}}{=}\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[\leftroot{2}\uproot{4}n]{L^pE_n(f,D)-L^pR_n(f,D)}=\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[\leftroot{2}\uproot{4}n]{L^pE_n(f,D)},$$
где $L^pE_n(f,D)$ и $L^pR_n(f,D)$ – наименьшие уклонения $f$ соответственно от полиномов степени $\leqslant n$ и рациональных функций степени $\leqslant n$. В частности, $\rho<1$ тогда и только тогда, когда $f$ аналитически продолжается в круг $|z|<1/\rho$.
Аналогичное утверждение имеет место и в случае аппроксимации функций в пространствах $H^p$ , $p>1$.