Эндоморфизмы пространств виртуальных векторов, неподвижных под действием дискретной группы

Рассматривается унитарное представление $\pi$ дискретной группы $G$, которое, будучи ограничено на почти нормальную подгруппу $\Gamma\subseteq G$, является представлением типа II. Изучается ассоциированное унитарное представление $\overline{\pi}^{\,\rm{p}}$ группы $G$ на гильбертовом пространстве “виртуальных” \linebreak $\Gamma_0$-инвариантных векторов, где $\Gamma_0$ пробегает подходящий класс подгрупп конечного индекса группы $\Gamma$. Унитарное представление $\overline{\pi}^{\,\rm{p}}$ группы $G$ однозначно определяется требованием, что операторы Гекке для всех $\Gamma_0$ являются “клеточно-матричными коэффициентами” представления $\overline{\pi}^{\,\rm{p}}$. Если $\pi|^{}_\Gamma$ – целое кратное регулярного представления, то существует подпространство $L$ гильбертова пространства представления $\pi$, играющее роль фундаментальной области для $\Gamma$. В этом случае пространство $\Gamma$-инвариантных векторов отождествляется с $L$. Когда $\pi|^{}_\Gamma$ не является целым кратным регулярного представления (например, если $G=\operatorname{PGL}(2,\mathbb Z[1/p])$, $\Gamma$ – модулярная группа, $\pi$ принадлежит дискретной серии представлений группы $\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$, а $\Gamma$-инвариантные векторы являются каспидальными формами), мы считаем, что $\pi$ есть ограничение на подпространство $H_0$ большего унитарного представления, имеющего подпространство $L$ как выше. Операторный угол между проекцией $P_L$ на $L$ (обычно являющейся характеристической функцией фундаментальной области) и проекцией $P_0$ на подпространство $H_0$ (обычно являющейся проекцией Бергмана на пространство аналитических функций) служит аналогом пространства $\Gamma$-инвариантных векторов. Доказано, что характер унитарного представления $\overline{\pi}^{\,\rm{p}}$ однозначно определяется характером представления $\pi$.
Библиография: 53 названия.