Полиномиальные законы сохранения для газа Лоренца и газа Больцмана–Гиббса

Рассматривается задача об условиях существования полиномиальных по импульсам (скоростям) первых интегралов многомерных биллиардных систем, играющих важную роль в неравновесной статистической механике. Это газ Лоренца – частица в евклидовом пространстве с областями-рассеивателями (не обязательно выпуклыми) и газ Больцмана–Гиббса – набор маленьких одинаковых шариков в прямоугольном ящике, которые упруго сталкиваются между собой и со стенками ящика. Эргодические свойства таких систем частично изучены, некоторые проблемы еще ждут решения, а в ряде случаев (например, когда рассеиватели не выпуклые) эргодичности заведомо нет. В работе развит подход, позволяющий доказывать отсутствие нетривиальных полиномиальных первых интегралов с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами. В интегрируемых задачах динамики известные первые интегралы являются, как правило, полиномами по импульсам (либо функциями от полиномов). Особый интерес представляет изучение многомерных биллиардов с некомпактным конфигурационным пространством, когда не приходится говорить об их эргодическом поведении. Обсуждается применение общих результатов об отсутствии нетривиальных полиномиальных интегралов к задачам статистической механики.
Библиография: 62 названия.