Динамика рациональных преобразований: топологическая картина

Основы теории итераций рациональных функций комплексного переменного были заложены в классических трудах Фату и Жюлиа. В последние годы интерес к этой проблематике стал очень велик. Существенные продвижения в ней связаны с именами А. Дуади, Д. Сулливана, У. Тёрстона и других авторов. Расширился спектр привлекаемых методов, обнаружились глубокие связи (в частности, с теорией клейновых групп и пространств Тейхмюллера), появились новые интересные приложения.
В настоящем обзоре последовательно изложены основные классические и современные результаты, относящиеся к топологической динамике рациональных эндоморфизмов сферы Римана. Обзор состоит из двух глав. В первой главе изучается динамика индивидуального эндоморфизма, во второй – аналитические семейства рациональных эндоморфизмов. Содержание первой главы концентрируется вокруг проблемы классификации периодических точек, описания динамики на множестве Фату (множестве нормальности), выяснения структуры множества Жюлиа. Во второй главе путеводной нитью является знаменитая проблема Фату (нерешенная до сих пор), которая в современных терминах звучит так: рациональный эндоморфизм общего положения удовлетворяет аксиоме А. Смейла. В обзоре изложены недавние существенные продвижения в этом направлении: теорема о структурной устойчивости эндоморфизма общего положения, параметризация классов сопряженных эндоморфизмов при помощи пространств Тейхмюллера. В конце главы рассмотрено семейство квадратичных полиномов $z\mapsto z^2+w$, которое наглядно иллюстрирует богатство и красоту возможных типов динамики.
Библ. 70 назв.