| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Плотность квантованных приближений П. А. Бородинab, К. С. Шкляевab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10115e 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеТермин “квантизация” в теории приближений (см., например, [34], [21]) обычно означает следующее: коэффициенты, с которыми берутся элементы заданного множества в приближающей линейной комбинации, должны быть пропорциональны фиксированному числу (“кванту”). Если считать этот допустимый “квант” равным 1 и ограничиться, во-первых, приближением в некоторой норме и, во-вторых, уровнем теоремы Вейерштрасса (можно или нельзя приблизить с любой точностью), то мы приходим к следующей постановке. Задача 1.1. Пусть $M$ – некоторое заданное подмножество банахова пространства $X$. Верно ли, что множество всюду плотно в $X$, т. е. любой элемент из $X$ сколь угодно точно приближается конечными суммами элементов из $M$? Множество $R(M)$ представляет собой аддитивную полугруппу, порожденную множеством $M$, поэтому задачу 1.1 можно рассматривать как частный случай задачи о плотности полугруппы в банаховом пространстве (везде ниже мы будем писать “плотность” вместо “всюду плотности” и “плотны” вместо “образуют всюду плотное множество”). Поскольку в задаче 1.1 нет умножения на скаляр, пространство $X$ в этой задаче можно всегда при желании считать действительным. Формально приближения полугруппой охватывают даже $n$-членные приближения ($M=\{\lambda d\colon \lambda\in {\mathbb R}, d\in D\}$, где $D$ – словарь, т. е. полная система единичных векторов пространства $X$; см., например, [76]), хотя $n$-членные приближения не отнесешь к квантованным. Более явным частным случаем задачи 1.1 является довольно глубоко исследованная задача о возможности приближения многочленами с целыми коэффициентами ($M=\{\pm 1, \pm t, \pm t^2, \dots\}$, где переменная $t$ пробегает действительную или комплексную область определения; см., например, [77], [42] и ниже раздел 5). Основной мотивировкой нашего исследования задачи 1.1 служит теория приближения наипростейшими дробями (логарифмическими производными многочленов)
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{z-a_k}\,, \qquad a_k\in {\mathbb C},
\end{equation*}
\notag
$$
в различных банаховых пространствах $X$ функций, заданных на различных подмножествах комплексной плоскости. Здесь в качестве порождающего берется множество $M(E)=\biggl\{\dfrac{1}{z-a}\colon a\in E\biggr\}$, где $E\subset {\mathbb C}$, и ставится задача о плотности полугруппы $\operatorname{SF}(E)=R(M(E))$ в $X$, т. е. задача о плотности в $X$ наипростейших дробей с полюсами из $E$. Эта задача имеет естественную физическую интерпретацию. Наипростейшая дробь с полюсами $\{a_k\}$ комплексно сопряжена функции напряженности плоского электростатического поля, создаваемого одинаковыми одноименными зарядами, расположенными в точках $a_k$ [60; гл. 3, § 2] (более точно, речь идет о поле, создаваемом расположенными в трехмерном пространстве параллельными прямыми-проводниками с равномерно распределенными одинаковыми зарядами в плоскости, перепендикулярной этим прямым). Таким образом, в указанной задаче произвольное плоское электростатическое поле, напряженность которого принадлежит пространству $X$, приближается по норме этого пространства полем, создаваемым одинаковыми зарядами, расположенными в множестве $E$. Аппроксимации наипростейшими дробями стали изучаться в России по инициативе Е. П. Долженко в начале 2000-х гг. Они воспринимались как новая постановка в теории приближения функций комплексного переменного, и русскоязычными авторами были получены существенные результаты в самых разных пространствах таких функций (В. И. Данченко, Д. Я. Данченко, О. Н. Косухин, П. А. Бородин, М. А. Комаров, П. В. Чунаев, Я. В. Новак, В. Ю. Протасов, И. Р. Каюмов, Е. Н. Кондакова, К. С. Шкляев, Е. В. Абакумов, А. А. Боричев, К. Ю. Федоровский и др.). В ходе этих исследований выяснилось, что на Западе эпизодические результаты о приближениях наипростейшими дробями доказывались во второй половине XX в. (G. R. MacLane, J. Korevaar, D. J. Newman, C. K. Chui, J. M. Elkins и др.). При этом во многих работах этих авторов задача о приближении наипростейшими дробями явно не ставится и соответствующие результаты не формулируются, а могут быть выведены из теорем, доказываемых в этих работах (см. ниже замечание 3.2). Наиболее яркий результат был фактически получен Я. Коревааром [57], см. ниже теорему 3.1: для всякой ограниченной односвязной области $D\subset {\mathbb C}$ наипростейшими дробями $\operatorname{SF}(\partial D)$ с полюсами на границе $\partial D$ этой области можно с любой точностью на любом компакте внутри $D$ равномерно приблизить любую функцию, голоморфную в $D$. Именно теорема Кореваара может считаться отправной точкой для большинства качественных результатов в теории приближения наипростейшими дробями. Общее представление об этой теории, содержащей также нетривиальные количественные результаты о скорости приближения, можно получить по недавнему обзору [33]. Одно из основных направлений наших исследований определялось стремлением получить такие общие теоремы о плотности квантованных приближений в русле задачи 1.1, из которых теорема Кореваара следовала бы как частный случай. Эти теоремы доказываются в настоящей работе. Отметим сразу одно очевидное условие, необходимое для положительного решения задачи 1.1. Замечание 1.2. Для плотности $R(M)$ в $X$ необходимо, чтобы множество $M$ было разносторонним: для любого ненулевого функционала $f\in X^*$ найдется такой элемент $x\in M$, что $f(x)<0$ ($\operatorname{Re}f(x)<0$ в случае комплексного $X$). Действительно, если $f(x)\geqslant 0$ для любого $x\in M$, то $f(x)\geqslant 0$ и для любого $x\in R(M)$, и элементы $z\in X$ с $f(x)<0$ не могут быть приближены элементами $R(M)$ (геометрически это означает, что $R(M)$ целиком лежит в одном из полупространств, на которые $X$ делится гиперплоскостью $\ker f$). В случае если на вопрос задачи 1.1 имеется утвердительный ответ, его обоснование часто удобно делить на два шага: (I) доказательство того, что $\overline{R(M)}$ – аддитивная подгруппа в $X$ (т. е. любой элемент $-x$, $x\in M$, с любой точностью приближается суммами элементов из $M$); (II) при уже известном условии, что $\overline{R(M)}$ – аддитивная подгруппа, доказательство того, что эта подгруппа совпадает с $X$. Вот как эти две задачи решаются в конечномерном случае. Теорема 1.3 (см. [9]). Пусть $X$ – конечномерное нормированное пространство, $M\subset X$. (1) Для того чтобы $\overline{R(M)}$ было аддитивной подгруппой в $X$, необходимо и достаточно, чтобы множество $M$ было разносторонним в своей линейной оболочке $\operatorname{span}M$. (2) Для выполнения равенства $\overline{R(M)}=X$ (при условии, что $M$ – разностороннее) достаточно, чтобы множество $M$ было связным. Конечно, связность $M$ в утверждении (2) не является необходимым условием, как показывает пример множества $M=\{-1,\sqrt{2}\,\}$ в одномерном пространстве $X={\mathbb R}$. В [66] показано, что во всяком бесконечномерном банаховом пространстве $X$ найдется некомпактное множество $M$, разностороннее в $\operatorname{span} M$, для которого $\overline{R(M)}$ не является аддитивной подгруппой в $X$. В бесконечномерном случае оба утверждения теоремы 1.3 неверны даже для компактных кривых, как показывают примеры ниже. Прежде чем их формулировать, введем еще одно понятие. Множество $\overline{R(M)}$ является подгруппой, если каждый элемент $-z$, $z\in M$, с любой точностью приближается элементами $R(M)$. Выделим ситуацию, в которой этой приближаемости можно добиться сразу для всех $z\in M$. Разностороннее множество $M$ в банаховом пространстве $X$ назовем минимальным, если для любой окрестности $U(x)$ любого элемента $x\in M$ найдется такой функционал $f\in X^*$, что для всякого $y\in M\setminus U(x)$ выполнено неравенство $f(y)>0$ (в комплексном случае $\operatorname{Re} f(y)>0$). Замечание 1.4 (см. [9]). Пусть $M$ – разносторонний минимальный компакт в $X$. Для того чтобы $\overline{R(M)}$ было замкнутой аддитивной подгруппой в $X$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ нашлись $x_1,\dots,x_n\in M$, удовлетворяющие неравенству $\|x_1+\dots+x_n\|<\varepsilon$. Приведем примеры связных минимальных порождающих множеств $M$, для которых $R(M)$ не плотно в соответствующих бесконечномерных пространствах. Пример 1.5 (П. А. Бородин [9]). Множество $M=\{\alpha_x\colon 0\leqslant x\leqslant 1\}$, где (здесь и ниже $I_A$ – индикаторная функция множества $A$), в каждом из пространств $L_2[0,1]$ и $L_1[0,1]$ является разносторонней минимальной кривой, но $\overline{R(M)}$ не является подгруппой в обоих пространствах. Отметим, что в $L_1[0,1]$ кривая $M$ спрямляема, а в $L_2[0,1]$ – нет. Похожий пример разносторонней минимальной кривой, не порождающей даже подгруппу, приведен с доказательством ниже в разделе 4 (пример 4.2). Пример 1.6. Множество $M=\{\pm I_{[0,x]}(t)\colon 0\leqslant x\leqslant 1\}$ в каждом из пространств $L_p[0,1]$, $1\leqslant p<\infty$, является разносторонней минимальной кривой, но $\overline{R(M)}$ совпадает с замкнутой связной аддитивной подгруппой $L_p^{\mathbb Z}[0,1]$, состоящей из функций пространства $L_p[0,1]$, почти всюду принимающих целые значения. В связи с примером 1.6 отметим, что структура замкнутой аддитивной подгруппы бесконечномерного банахова пространства может быть весьма нетривиальной [4], [36]. В гильбертовом пространстве имеются, например, гомотопически нетривиальные связные подгруппы [23], [47]. Подгруппа $L_2^{\mathbb Z}[0,1]$ связна, но гомотопически тривиальна, т. е. всякая замкнутая кривая в $L_2^{\mathbb Z}[0,1]$ может быть стянута в точку внутри этой подгруппы. Впервые задача 1.1 в общем виде была поставлена и исследовалась в [9]. Основным результатом этой работы была следующая теорема, которая по существу переносит теорему 1.3 на бесконечномерный случай при дополнительных условиях на множество $M$ и пространство $X$. Теорема 1.7 (П. А. Бородин [9]). Пусть в равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве $X$ задано разностороннее минимальное множество $\Gamma=\Gamma_1\cup \dots\cup\Gamma_m$, состоящее из спрямляемых кривых $\Gamma_j$. (1) Если $m=1$, то $\overline{R(\Gamma)}=X$. (2) Если $m>1$, то $\overline{R(\Gamma)}$ есть замкнутая аддитивная подгруппа в $X$, содержащая линейное подпространство $L$ действительной коразмерности не больше $m-1$, причем всякий функционал $f\in L^\perp$ (аннулятор в овеществленном $X^*$), постоянен на каждой из кривых $\Gamma_j$, $j=1,\dots,m$. Условия на $\Gamma$ в этом утверждении были немного ослаблены в [74]. Все условия на пространство $X$ и на кривые $\Gamma_j$ в теореме 1.7 существенны, как показывают примеры 1.5 и 1.6. То, что случай (2) действительно возможен, показывает пример множества $\Gamma=\{1\}\cup\{-1\}$ в пространстве $X={\mathbb R}$ (две одноточечные “кривые”): здесь $m=2$, $\overline{R(\Gamma)}={\mathbb Z}$ и подпространство $L=\{0\}$ как раз имеет коразмерность $m-1=1$. Аналогичные примеры в конечномерном евклидовом пространстве можно привести для произвольного натурального $m$. Из теоремы 1.7 легко выводится ослабленная версия теоремы Кореваара для областей $D$, ограниченных спрямляемыми жордановыми кривыми [9]. А именно, в качестве пространства $X$ берется гильбертово пространство $\operatorname{AL}_2(\gamma)$, являющееся пополнением линейного пространства голоморфных в $D$ функций по норме $L_2(|dz|)$ на произвольном гладком жордановом контуре $\gamma\subset D$. Нетрудно доказать, что при условии спрямляемости $\partial D$ множество $\{1/(z-a)\colon a\in \partial D\}$ является разносторонней спрямляемой кривой в $\operatorname{AL}_2(\gamma)$. Эта кривая порождает полугруппу $\operatorname{SF}(\partial D)$ наипростейших дробей с полюсами на $\partial D$. Утверждение (1) теоремы 1.7 дает плотность $\operatorname{SF}(\partial D)$ в $\operatorname{AL}_2(\gamma)$, что в силу интегральной формулы Коши влечет плотность в равномерной метрике на всяком компакте внутри $\gamma$. Цель настоящей работы – обзор результатов в русле задачи 1.1 как для произвольных порождающих множеств $M$ в общих банаховых пространствах $X$, так и для конкретных $M$ в конкретных функциональных пространствах $X$, а также доказательство новых результатов. В разделе 2 теорема 1.7 уточняется и обобщается; в частности, из нее убирается условие минимальности. Кроме того, в этом разделе исследуется возможность положительного решения общей задачи 1.1 для, вообще говоря, несвязных порождающих множеств. Раздел 3 содержит известные и новые результаты о приближении наипростейшими дробями в различных пространствах функций комплексного переменного. При этом некоторые из известных теорем (в частности, теорема Кореваара) выводятся из новых общих результатов раздела 2. В разделе 4 исследуется приближение естественным обобщением наипростейших дробей – суммами сдвигов одной функции. Наконец, в разделе 5 рассматриваются некоторые сюжеты из теории приближения многочленами с целыми коэффициентами и делается попытка наметить подходы к решению задачи 1.1 в случае счетных порождающих множеств $M$ общего вида. 2. Общие результаты о плотности полугруппы2.1. Определения и вспомогательные утвержденияБанахово пространство $X$ с единичной сферой $S(X)$ называется равномерно выпуклым, если для всякого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что
$$
\begin{equation*}
x,y\in S(X), \ \ \biggl\|\frac{x+y}{2}\biggr\|> 1-\delta\quad\Longrightarrow\quad \|x-y\|< \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Для всякого вектора $x\in X$ множество $J(x)=\{f\in S(X^*)\colon f(x)=\|x\|\}$ непусто по следствию из теоремы Хана–Банаха. Банахово пространство $X$ называется гладким, если для всякого элемента $s\in S(X)$ множество $J(s)$ состоит из единственного функционала $f_s\in S(X^*)$. Гладкое банахово пространство $X$ называется равномерно гладким, если для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что для всяких $s\in S(X)$ и $y\in X$, $\|y\|<\delta$, выполнено неравенство Пространство $X$ является равномерно гладким тогда и только тогда, когда его модуль гладкости
$$
\begin{equation*}
s(\tau)=\sup\biggl\{\biggl\|\frac{x+y}{2}\biggr\|+ \biggl\|\frac{x-y}{2}\biggr\|-1\colon \|x\|=1, \|y\|=\tau\biggr\}, \qquad \tau\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
обладает свойством $s(\tau)=o(\tau)$ при $\tau\to 0$ (см., например, [35; гл. 3, § 4]). Функция $s(\tau)$ выпуклая, положительная, возрастающая и удовлетворяет неравенствам
$$
\begin{equation}
\sqrt{1+\tau^2}-1\leqslant s(\tau)\leqslant \tau, \qquad \tau\in [0,\infty),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где правое неравенство очевидно, а левое неравенство доказано Й. Линденштраусом [61], [35; гл. 3, § 4] и обращается в тождество в случае гильбертова пространства. С помощью модуля гладкости неравенство (2.1) можно обобщить и уточнить (см., например, [76; гл. 6]):
$$
\begin{equation}
\|x+y\|<\|x\|+f_x(y)+2\|x\|\,s\biggl(\frac{\|y\|}{\|x\|}\biggr)
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
(здесь $x\in X\setminus \{0\}$, $\{f_x\}=J(x)$, $y\in X$). Для всякого банахова пространства $X$ найдется такое положительное число $\alpha=\alpha(X)$, что модуль гладкости этого пространства удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
s(2\tau)\leqslant \alpha s(\tau), \qquad \tau\in [0,\infty).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Действительно, в силу выпуклости модуля гладкости достаточно установить это неравенство вблизи 0, а там оно следует из другого известного неравенства Линденштрауса, а именно из неравенства
$$
\begin{equation*}
\limsup_{\tau\to 0} \frac{s(2\tau)}{s(\tau)}\leqslant 4
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [61], [35; гл. 3, § 4]). Для $M \subset X$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{cone}M&=\biggl\{\,\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\colon \lambda_i \geqslant 0, \, x_i \in M, \, n \in \mathbb{N} \biggr\}, \\ \operatorname{cone}(M,\mathbb{N})&=\biggl\{\,\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\colon \lambda_i \geqslant 0, \, \sum_{i=1}^n \lambda_i \in \mathbb{N}, \, x_i \in M, \, n \in \mathbb{N}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже $\operatorname{dist}(x,A):=\inf\{\|x-y\|\colon y\in A\}$ – расстояние от элемента $x$ до множества $A$. Целую часть числа $a \in \mathbb{R}$ обозначаем $[a]$. Все меры в дальнейшем предполагаются неотрицательными, полная вариация меры $\mu$ обозначается через $|\mu|$. Лемма 2.1. Пусть $M$ – разностороннее множество в гладком рефлексивном банаховом пространстве $X$. Тогда $\overline{\operatorname{cone}(M,\mathbb{N})}=X$. Доказательство. Множество $\overline{\operatorname{cone}M}$ выпукло и замкнуто в рефлексивном пространстве $X$, поэтому оно является множеством существования (см., например, [2; гл. 5]), т. е. для всякого $x\in X$ в $\overline{\operatorname{cone}M}$ найдется ближайший к нему элемент $y$.
Если $x\ne y$, возьмем функционал $f\in S(X^*)$, достигающий нормы на $x-y$, и элемент $z\in M$, для которого $f(z)>0$ (это можно сделать, поскольку $M$ – разностороннее). В силу гладкости пространства имеем
$$
\begin{equation*}
\|x-y-\lambda z\|=\|x-y\|-\lambda f(z)+o(\lambda)\qquad (\lambda\to 0),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. при малых $\lambda>0$ выполнено неравенство $\|x-y-\lambda z\|<\|x-y\|$. Поскольку $y+\lambda z\in \overline{\operatorname{cone} M}$, это противоречит тому, что $y$ – ближайший к $x$ элемент в $\overline{\operatorname{cone} M}$.
Таким образом, $\overline{\operatorname{cone} M}=X$. Осталось доказать, что всякий элемент $x=\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \in \operatorname{cone} M$ можно приблизить элементами множества $\operatorname{cone}(M,\mathbb{N})$ с точностью до произвольного $\varepsilon > 0$. Так как $-x_1 \in \overline{\operatorname{cone} M}$, существуют такие $x_{n+1},\dots,x_{m} \in M$, $\lambda_{n+1},\dots,\lambda_{m} \geqslant 0$, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\| x_1+\sum_{i=n+1}^m \lambda_i x_i \biggr\| < \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем число $r \in [0,1]$, для которого Тогда и при этом $\|x'-x\| < r\varepsilon \leqslant \varepsilon$. Лемма доказана. В связи с леммой 2.1 понятно, что для доказательства плотности полугруппы $R(M)$, порожденной множеством $M$, надо научиться приближать элемент $x\in\operatorname{cone}(M,\mathbb{N})$ суммой элементов самого множества $M$. Идея этого приближения состоит в разбиении $x=x_1+\dots+x_N$, где каждое слагаемое $x_i$ является выпуклой комбинацией элементов малого подмножества $M_i\subset M$, и в такой замене $x_i\in \operatorname{conv} M_i$ на близкий элемент $y_i\in M_i$, чтобы сумма $y_1+\dots+y_N$ мало отличалась от $x$. Другими словами, надо уметь заменять сумму элементов выпуклых оболочек малых множеств на близкую сумму элементов самих этих множеств. В равномерно гладких пространствах это возможно делать, используя идеи С. Троянского [78]. Лемма 2.2. Пусть $X$ – равномерно гладкое банахово пространство с модулем гладкости $s(\tau)$, и пусть $M_i$, $i=1,\dots,N$, – ограниченные подмножества $X$, а $x_i \in \operatorname{conv}M_i$. Положим (1) Если $S\leqslant 1$, то найдутся такие элементы $y_i \in M_i$, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{i=1}^N(x_i-y_i)\biggr\| \leqslant A \Bigl(\,\max_{1\leqslant i\leqslant N}\operatorname{diam} M_i+ S^{\gamma}\Bigr),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $A$ и $\gamma \in (0,1]$ – постоянные, зависящие только от функции $s(\tau)$. (2) Если $S\geqslant 1$, то найдутся такие элементы $y_i \in M_i$, что Доказательство. Возьмем произвольный элемент $y_1 \in M_1$. Далее будем последовательно выбирать $y_{n+1} \in M_{n+1}$, $n=1,\dots,N-1$, так, чтобы выполнялись неравенства Такой выбор $y_{n+1} \in M_{n+1}$ возможен, поскольку по условию имеет место включение $x_{n+1} \in \operatorname{conv} M_{n+1}$, т. е. $0 \in \operatorname{conv}( x_{n+1} - M_{n+1})$ и, следовательно, для любого функционала $f \in X^* \setminus \{0\}$ множество $x_{n+1} - M_{n+1}$ не лежит ни в каком открытом полупространстве $\{x \in X\colon f(x) > 0\}$.
Ниже для краткости обозначим $\delta=\max_{1\leqslant i\leqslant N}\operatorname{diam} M_i$. Пусть $S\leqslant 1$. Доказательство неравенства (2.5) для $\sigma_N$ проводится по схеме из [78; лемма 2]. Положим $\gamma=\log_\alpha 2$, где $\alpha$ – число из неравенства (2.4). Пусть $n$ – максимальный номер, для которого $\|\sigma_n\|\leqslant \delta+S^\gamma$. Если $n=N$, то неравенство (2.5) выполнено с константой $A=1$. В противном случае из неравенств
$$
\begin{equation*}
\|\sigma_k\|\leqslant \|\sigma_{k-1}\|+ 2\|\sigma_{k-1}\|\,s\biggl(\frac{\|x_k-y_k\|}{\|\sigma_{k-1}\|}\biggr),\qquad k=n+1,\dots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
получаемых из (2.3) ввиду (2.7), следует оценка
$$
\begin{equation*}
\|\sigma_{N}\|\leqslant\|\sigma_n\| \prod_{k=n+1}^N \biggl(1+2s\biggl(\frac{\operatorname{diam} M_k} {\|\sigma_{k-1}\|}\biggr)\biggr)\leqslant (\delta+S^\gamma)\prod_{k=n+1}^N \biggl(1+2s\biggl(\frac{\operatorname{diam} M_k}{S^\gamma}\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(последнее неравенство выполнено, так как $\|\sigma_{k-1}\|\geqslant \|\sigma_k\|-\|x_k-y_k\|\geqslant \delta+S^\gamma-\delta=S^\gamma$ при $k=n+1,\dots,N$). Преобразуя правую часть этого неравенства, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\sigma_{N}\|&\leqslant (\delta+S^\gamma)\exp\biggl(2\sum_{k=n+1}^N s \biggl(\frac{\operatorname{diam} M_k}{S^\gamma}\biggr)\biggr) \\ &\leqslant (\delta+S^\gamma) \exp \biggl(2\sum_{k=n+1}^N s(2^\nu\operatorname{diam} M_k)\biggr)\qquad (\text{здесь }\nu=\biggl[\log_2\frac{1}{S^\gamma}\biggr]+1) \\ &\leqslant (\delta+S^\gamma)\exp\bigl(2\alpha^\nu S\bigr) \leqslant (\delta+S^\gamma)\exp(2\alpha^{\log_2(1/S^\gamma)+1}S) \\ &=(\delta+S^\gamma) \exp\biggl(2\alpha\biggl(\frac{1}{S^\gamma}\biggr)^{\log_2\alpha}S\biggr)= (\delta+S^\gamma)\exp(2\alpha), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что неравенство (2.5) доказано с $\gamma=\log_\alpha 2$, $A=\exp(2\alpha)$.
Пусть теперь $S\geqslant 1$. Пусть $n$ – максимальный номер, для которого $\sigma_n\leqslant \delta+S$. Если $n=N$, то неравенство (2.6) выполнено. В противном случае аналогично предыдущему получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\sigma_{N}\|&\leqslant\|\sigma_n\|\prod_{k=n+1}^N\biggl(1+ 2s\biggl(\frac{\operatorname{diam} M_k}{\|\sigma_{k-1}\|}\biggr)\biggr) \\ &\leqslant (\delta+S)\prod_{k=n+1}^N \biggl(1+2s\biggl(\frac{\operatorname{diam}M_k}{S}\biggr)\biggr) \\ &\leqslant (\delta+S)\exp\biggl(2\sum_{k=n+1}^N s\biggl(\frac{\operatorname{diam} M_k}{S}\biggr)\biggr) \\ &\leqslant (\delta+S)\exp\biggl(2\sum_{k=n+1}^N s\biggl(\frac{\operatorname{diam} M_k}{2^\nu}\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu=[\log_2S]$, и, пользуясь выпуклостью функции $s$, продолжаем: Лемма доказана. В качестве частного случая леммы 2.2 получаем известную “лемму об округлении коэффициентов”, для равномерно гладких пространств доказанную В. П. Фонфом [44] (эквивалентное утверждение имеется также в более ранней работе Й. Линденштрауса [61]). Лемма 2.3 (см. [44]). Если $x_1,\dots,x_n $ – элементы равномерно гладкого банахова пространства $X$ с модулем гладкости $s(\tau)$, $x=\lambda_1x_1+\dots+\lambda_Nx_N$, $\lambda_i\in [0,1]$ ($i=1,\dots,N$), $s(\|x_1\|)+\dots+s(\|x_N\|)\leqslant 1$, то найдутся такие числа $\theta_i\in \{0,1\}$, что где постоянные $A$ и $0<\gamma\leqslant 1$ зависят только от функции $s(\tau)$. Приведем еще одно утверждение типа леммы 2.2 для гильбертова пространства. Лемма 2.4. Пусть $H$ – гильбертово пространство, $M_i$, $i=1,\dots,N$, – ограниченные подмножества $H$ и $x_i \in \operatorname{conv}M_i$. Тогда найдутся такие элементы $y_i \in M_i$, что Доказательство. Возьмем произвольный элемент $y_1 \in M_1$. Далее будем последовательно выбирать $y_{n+1} \in M_{n+1}$, $n=1,\dots,N-1$, так, чтобы выполнялись неравенства
$$
\begin{equation}
\langle x_{n+1}-y_{n+1},\sigma_n\rangle \leqslant 0, \qquad \sigma_n:= \sum_{i=1}^n(x_i-y_i).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Такой выбор $y_{n+1} \in M_{n+1}$ возможен в силу условия $x_{n+1} \in \operatorname{conv}M_{n+1}$. Из (2.9) следуют неравенства суммирование которых приводит к искомой оценке. Лемма доказана. В случае, когда все множества $M_i$ состоят из двух точек, утверждение леммы 2.4 хорошо известно, причем с точной мультипликативной константой $1/2$ в правой части неравенства (2.8) [48; гл. 2, лемма 1]. Непонятно, точна ли константа 1 в общем неравенстве (2.8). Без условия равномерной гладкости пространства, по-видимому, невозможно получить такого рода общие утверждения о замене суммы элементов выпуклых оболочек множеств близкой суммой элементов самих этих множеств. Приведем частное утверждение для дуг одной спрямляемой кривой в равномерно выпуклом пространстве. Лемма 2.5 (см. [20]). Пусть $\Gamma$ – спрямляемая кривая в равномерно выпуклом банаховом пространстве. Для всякого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что при любом разбиении $\Gamma$ на дуги $\gamma_k$ с длинами $|\gamma_k|<\delta$ выполнено неравенство где $d(\gamma_k)=\sup\{\operatorname{dist}(x,\gamma_k)\colon x\in \operatorname{conv}\gamma_k\}$. Следующая лемма позволяет доказывать линейность замкнутой подгруппы в равномерно гладком пространстве. Лемма 2.6 (о выпуклости подгруппы, см. [9]). Пусть $G$ – замкнутая аддитивная подгруппа в равномерно гладком банаховом пространстве $X$ с модулем гладкости $s(\tau)$, $\tau\geqslant 0$. Если $a,b\in G$ и для любого $\varepsilon>0$ найдутся такие точки $x_0,x_1,\dots,x_n\in G$, что $x_0=a$, $x_n=b$ и $\displaystyle\sum_{k=1}^n s(\|x_k-x_{k-1}\|)<\varepsilon$, то весь отрезок $[a,b]$ лежит в $G$. Точность этого утверждения в гильбертовом пространстве (модуль гладкости $s(\tau)=\sqrt{1+\tau^2}-1$ которого ведет себя как $O(\tau^2)$ при $\tau\to 0$) показывает подгруппа $L_2^{\mathbb Z}[0,1]$ (см. выше пример 1.6), состоящая из целозначных функций пространства $L_2[0,1]$: для любых двух различных элементов $a,b\in L_2^{\mathbb Z}[0,1]$ отрезок $[a,b]$ не лежит в $L_2^{\mathbb Z}[0,1]$ и в то же время для любого $\delta>0$ найдутся такие $x_0,\dots,x_n \in L_2^{\mathbb Z}[0,1]$, что $x_0=a$, $x_n=b$, $\|x_k-x_{k-1}\|<\delta$ при всех $k=1,\dots,n$ и сумма $\displaystyle\sum_{k=1}^n \|x_k-x_{k-1}\|^2$ ограничена константой, зависящей только от $a$ и $b$. Лемма 2.6 является следствием леммы 2.3; в [9] приведено иное доказательство. 2.2. Полугруппа, порожденная кривойТеорема 2.7 (П. А. Бородин [9]). Пусть в равномерно выпуклом банаховом пространстве $X$ задано разностороннее минимальное множество состоящее из спрямляемых (замкнутых или разомкнутых) кривых $\Gamma_j$. Тогда $\overline{R(\Gamma)}$ – подгруппа в $X$. Существенность спрямляемости кривых $\Gamma_j$ в этой теореме показывает пример 1.5 в пространстве $L_2[0,1]$ (оно равномерно выпукло), а существенность равномерной выпуклости пространства $X$ показывает пример 1.5 в пространстве $L_1[0,1]$ (в этом пространстве кривая $M$ из примера 1.5 спрямляема). При $m\geqslant 2$ подгруппа в теореме 2.7 может не совпадать со всем пространством, как показывает все тот же пример $\Gamma=\{1\}\cup\{-1\}$ двух одноточечных кривых в пространстве $X={\mathbb R}$. В случае $m=1$ возникает следующая задача. Задача 2.8. Пусть $\Gamma$ – разносторонняя (минимальная) спрямляемая кривая в равномерно выпуклом банаховом пространстве $X$. Верно ли равенство $\overline{R(\Gamma)}=X$? При дополнительном условии гладкости $X$ ответ положительный – см. ниже теорему 2.12. В этом пункте мы покажем, что в равномерно гладком пространстве разносторонняя спрямляемая кривая порождает плотную полугруппу, при этом никакого условия минимальности не требуется. Пусть $X$ – равномерно гладкое банахово пространство с модулем гладкости $s(\tau)$ и $T \subset [0,1]$ – компакт. Определим обобщенную вариацию отображения $F\colon T \to X$ относительно модуля гладкости $s$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{var}_s(F, \delta) &:= \sup\biggl\{\,\sum_{i=1}^{n-1} s\bigl(\| F(t_{i+1})-F(t_i)\|\bigr)\colon t_1,\dots,t_n \in T, \\ &\qquad\qquad\qquad t_1 \leqslant t_2 \leqslant \cdots \leqslant t_n, \, T \subset \bigcup_{i=1}^n (t_i-\delta, t_i+\delta) \biggr\},\qquad \delta > 0, \\ \operatorname{var}_s(F)&:=\lim_{\delta \to 0+} \, \operatorname{var}_s(F,\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Также определим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{br}(F) := \sup\{\| F(t) - F(s)\|\colon t,s \in T,\ (t,s) \cap T=\varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $T=[0,1]$ эта величина равна нулю. Теорема 2.9 (К. С. Шкляев). Пусть $X$ – равномерно гладкое банахово пространство с модулем гладкости $s(\tau)$, $\tau \geqslant 0$, и пусть $T \subset [0,1]$ – компакт. Предположим, что $F\colon T \to X$ – такое непрерывное отображение, что $F(T)$ – разностороннее множество в $X$. Тогда где $A$ и $\gamma \in (0,1]$ – постоянные, зависящие только от модуля гладкости $s(\tau)$. В случае $\operatorname{var}_s(F) \geqslant 1$ неравенство верно с константами $A=55$, $\gamma=1$. Доказательство. Пусть $A$, $\gamma$ – постоянные из формулировки леммы 2.2. Зафиксируем произвольный элемент $x\in X$. Выберем $\delta$-сеть $t_0,\dots,t_n \in T$ множества $T$. Положим $x_\delta:=\displaystyle\sum_{i=0}^n 2F(t_i)$. По лемме 2.1 существует такой элемент $x_\varepsilon \in \operatorname{cone}(F(T),\mathbb{N})$, что Очевидно, что $x_\delta+x_\varepsilon \in \operatorname{cone}(F(T),\mathbb{N})$, поэтому существует такая мера $\mu$ с конечным носителем на множестве $T$, что
Найдем такие точки $\tau_0 \leqslant \tau_1 \leqslant \cdots \leqslant \tau_{m}$ в множестве $T$ и такие вероятностные меры $\mu_i$ с носителями на множествах $T_i:=[\tau_{i-1},\tau_i] \cap T$ соответственно, что $\mu=\displaystyle\sum_{i=1}^m\mu_i$. Ясно, что $\mu(t_j) \geqslant 2$ для $j=0,\dots,n$ по определению элемента $x_\delta$, поэтому каждый отрезок $[\tau_{i-1},\tau_i]$ содержится в некотором отрезке $[t_j,t_{j+1}]$ и для каждого $j$ найдется такое $i$, что $T_i=\{t_j\}$. Положим
$$
\begin{equation*}
x_i=\int_{T} F(t) \, d\mu_i(t) \in \operatorname{conv}F(T_i), \qquad i=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $x_\delta+x_\varepsilon=\displaystyle\sum_{i=1}^m x_i$. В силу (2.11) и леммы 2.2 существуют такие элементы $y_i \in F(T_i)$, что выполнена оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{dist}(x,R(F(T))) &\leqslant \biggl\|x-\sum_{i=1}^m y_i\biggl\| {} \leqslant \biggl\|x-\sum_{i=1}^m x_i\biggr\|+ \biggl\|\,\sum_{i=1}^m x_i-\sum_{i=1}^m y_i\biggr\| \\ &< \varepsilon+A \biggl\{\max_{1 \leqslant i \leqslant m}\, \operatorname{diam}F(T_i)+\biggl(\,\sum_{i=1}^m s \bigl(\operatorname{diam}F(T_i)\bigr)\biggr)^\gamma\biggr\} \\ &=\varepsilon+A \biggl\{\max_{1 \leqslant i \leqslant m}\|F(a_i)-F(b_i)\|+ \biggl(\,\sum_{i=1}^m s\bigl(\|F(a_i)-F(b_i)\|\bigr)\biggr)^\gamma \biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_i,b_i\in T_i$ таковы, что $\operatorname{diam}F(T_i)=\|F(a_i)-F(b_i)\|$.
Для всякого $i$ множество $T_i$ содержится в некотором отрезке $[t_j,t_{j+1}]$, поэтому всякая точка этого множества отличается не больше чем на $\delta$ либо от $t_j$, либо от $t_{j+1}$. Следовательно, либо выполнено неравенство $|a_i-b_i|\leqslant 2\delta$, либо найдутся такие точки $t,s\in T_i$, что $|a_i-t|\leqslant \delta$, $|b_i-s|\leqslant \delta$ и интервал между точками $t$ и $s$ не содержит точек из $T$. В первом случае $\|F(a_i)-F(b_i)\|\leqslant \omega(F,2\delta)$ (где $\omega$ – обычный модуль непрерывности отображения $F$), во втором случае
$$
\begin{equation*}
\|F(a_i)-F(b_i)\|\leqslant \|F(a_i)-F(t)\|+\|F(t)-F(s)\|+ \|F(s)-F(b_i)\|\leqslant 2\omega(F,\delta)+\operatorname{br}(F),
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\underset{1 \leqslant i \leqslant m}{\max}\|F(a_i)-F(b_i)\|\leqslant 2\omega(F,\delta)+\operatorname{br}(F).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, упорядочим все выбранные точки $a_i$, $b_i$: $c_1\leqslant\dots\leqslant c_k$. В наборе $\{c_i\}$ присутствуют все точки $t_j$, так что $\{c_i\}$ – тоже $\delta$-сеть для $T$. Всякая пара различных чисел $a_i$, $b_i$ – соседние числа в наборе $\{c_i\}$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^m s\bigl(\|F(a_i)-F(b_i)\|\bigr)\leqslant \sum_{i=1}^{k-1} s\bigl(\|F(c_{i+1})-F(c_i)\|\bigr)\leqslant \operatorname{var}_s(F, \delta).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{dist}(x,R( F(T)))&\leqslant \varepsilon+A \bigl(2\omega(F,\delta)+\operatorname{br}(F)+ (\operatorname{var}_s(F,\delta))^\gamma\bigr) \\ &\to A\operatorname{br}(F)+A\bigl(\operatorname{var}_s(F)\bigr)^\gamma \quad\text{при}\ \ \delta,\varepsilon\to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Замечание 2.10. В случае гильбертова пространства $X$ неравенство (2.10) можно упростить: Конечно, при условиях теоремы 2.9 нельзя утверждать, что $R(F(T))$ плотно в пространстве $X$: достаточно взять $X={\mathbb R}$ и $F(T)=\{-1,1\}$ для двухточечного множества $T$. Непонятно, можно ли в условиях теоремы 2.9 доказать, что $\overline{R(F(T))}$ является подгруппой в $X$ (ср. с теоремой 2.13 ниже). В случае $T=[0,1]$ из теоремы 2.9 получается плотность полугруппы, порожденной разносторонней спрямляемой кривой в равномерно гладком пространстве. Приведем более общее утверждение. Теорема 2.11 (К. С. Шкляев). Пусть $X$ – равномерно гладкое банахово пространство с модулем гладкости $s(\tau)$ и $\Gamma\colon [0,1] \to X$ – разносторонняя кривая. (1) Если $\operatorname{var}_s(F)=0$, то $\overline{R(\Gamma)}=X$. (2) В частности, если модуль непрерывности
$$
\begin{equation*}
\omega_\Gamma(\tau)=\max \{\|\Gamma(t_1)- \Gamma(t_2)\|\colon |t_1-t_2|\leqslant \tau\}
\end{equation*}
\notag
$$
кривой $\Gamma$ удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation*}
s(\omega_\Gamma(\tau))=o(\tau)\quad\textit{при}\ \ \tau\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
то $\overline{R(\Gamma)}=X$. (3) В частности, если кривая $\Gamma$ спрямляема, то $\overline{R(\Gamma)}=X$. Доказательство. (1) Это утверждение непосредственно следует из теоремы 2.9.
(2) Пусть $\varepsilon>0$. Возьмем такое $t>0$, что $s(\omega_\Gamma(\tau))\leqslant \varepsilon\tau$ при $\tau<t$. Ясно, что при любом $\delta \in (0,t/2)$ для всякого набора точек $t_1,\dots,t_n \in [0,1]$, удовлетворяющего условиям
$$
\begin{equation*}
0 \leqslant t_1 \leqslant \cdots \leqslant t_n \leqslant 1, \qquad [0,1] \subset \bigcup_{i=1}^n (t_i - \delta, t_i+\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено $|t_{i+1}-t_i| < t$, а значит, $s(\|\Gamma(t_{i+1})-\Gamma(t_i)\|)\leqslant \varepsilon |t_{i+1}-t_{i}|$. Поэтому $\operatorname{var}_s(\Gamma,\delta) \leqslant \varepsilon$. Поскольку $\varepsilon$ можно выбрать сколь угодно малым, $\operatorname{var}_s(\Gamma)=0$. Таким образом, кривая $\Gamma$ удовлетворяет условию пункта (1), откуда следует, что $\overline{R(\Gamma)}=X$.
(3) Если кривую $\Gamma$ параметризовать ее натуральным параметром, то она станет липшицевым образом отрезка, и условие пункта (2) выполнено в силу равномерной гладкости пространства. Теорема доказана. Кривые из примеров 1.5 и 1.6 в пространстве $L_2[0,1]$, а также кривая из примера 4.2 ниже удовлетворяют соотношению $s(\omega_\Gamma(\tau))=O(\tau)$ при $\tau\to 0$, что показывает точность утверждения (2) теоремы 2.11. Приведем еще один результат о плотности полугруппы, порожденной кривой в равномерно выпуклом, но не обязательно равномерно гладком пространстве (см. задачу 2.8 выше). Теорема 2.12 (П. А. Бородин, К. С. Шкляев). Пусть в равномерно выпуклом банаховом пространстве $X$ задана спрямляемая кривая $\Gamma$ со следующим свойством: для всякого ненулевого элемента $x\in X$ найдутся такие $y\in \Gamma$ и $\lambda>0$, что $\|x-\lambda y\|<\|x\|$. (Это свойство имеет место, например, если пространство $X$ гладкое и кривая $\Gamma$ разносторонняя.) Тогда $\overline{R(\Gamma)}=X$. Доказательство. Так же, как в лемме 2.1, доказывается плотность множества $\operatorname{cone}(\Gamma,\mathbb{N})$ в $X$. Действительно, из равномерной выпуклости следует рефлексивность пространства $X$, поэтому выпуклый замкнутый конус $\overline{\operatorname{cone}\Gamma}$ является множеством существования, т. е. для всякого $x\in X$ в $\overline{\operatorname{cone}\Gamma}$ найдется ближайший элемент $y$. Если $x\ne y$, то по условию найдутся такие $t\in [0,1]$ и $\lambda>0$, что $\|x-y-\lambda\Gamma(t)\|<\|x-y\|$, а это противоречит тому, что $y$ ближайший. Остается доказать, что всякий элемент из $\operatorname{cone}\Gamma$ можно сколь угодно точно приблизить элементами из $\operatorname{cone}(\Gamma,\mathbb{N})$, и это делается точно так же, как в лемме 2.1.
Пусть заданы $x\in X$ и $\varepsilon>0$. Возьмем $\delta>0$, соответствующее этому $\varepsilon$ по лемме 2.5. Считаем, что $\Gamma=\{\Gamma(t)\colon t\in [0,|\Gamma|]\}$ параметризована натуральным параметром. Так же, как в доказательстве теоремы 2.9, строятся такие точки $0=\tau_0\leqslant\dots\leqslant \tau_m=|\Gamma|$, $\tau_{i+1}-\tau_i<\delta$, и такие вероятностные меры $\mu_i$ с носителями на отрезках $[\tau_i,\tau_{i+1}]$, что для точек $x_i=\displaystyle\int\Gamma(t)\,d\mu_i$ верно неравенство $\Bigl\|x-\displaystyle\sum x_i\Bigr\|<\varepsilon$. Пусть $\gamma_i=\Gamma([\tau_i,\tau_{i+1}])$. Имеем $|\gamma_i|<\delta$ и $x_i\in \operatorname{conv}\gamma_i$. Возьмем $y_i\in\gamma_i$ – ближайшие к $x_i$ точки на дугах $\gamma_i$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}(x,R(\Gamma)) \leqslant \Bigl\|x-\sum y_i\Bigr\|\leqslant \Bigl\| x - \sum x_i \Bigr\|+\Bigl\|\,\sum (x_i - y_i)\Bigr\|< \varepsilon+\sum d(\gamma_i)< 2\varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
по лемме 2.5. Теорема доказана. Следующий результат обобщает теорему 1.7 (ср. также с теоремой 2.7). Теорема 2.13 (К. С. Шкляев). Пусть $X$ – равномерно гладкое банахово пространство с модулем гладкости $s(\tau)$, и пусть $\Gamma_i\colon [0,1] \to X$, $i=1,\dots,m$, – такие кривые, что $\operatorname{var}_s(\Gamma_i)=0$ и $\Gamma:=\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^m \Gamma_i([0,1])$ – разностороннее множество. Тогда $\overline{R(\Gamma)}$ является аддитивной подгруппой и содержит подпространство $L$ коразмерности $m-1$ (при $m=1$ имеем $\overline{R(\Gamma)}=X$ в соответствии с теоремой 2.11). При этом $\operatorname{dist}(x,R(\Gamma)) \leqslant C(\Gamma,s)$ для всех $x \in X$ и всякий функционал $f\in L^\perp$ (аннулятор в овеществленном $X^*$) постоянен на каждой из кривых $\Gamma_i$, $i=1,\dots,m$. Доказательство. Существование постоянной $C(\Gamma,s)$ следует из теоремы 2.9: $\Gamma$ можно рассматривать как образ множества $T$, состоящего из нескольких непересекающихся отрезков. Докажем, что $\overline{R(\Gamma)}$ – аддитивная подгруппа. Положим $a_i=(2i-2)/(2m-1)$, $b_i=(2i-1)/(2m-1)$, $i=1,\dots,m$, и определим кривую
$$
\begin{equation}
\Gamma_*(t)= \begin{cases} \Gamma_i\biggl(\dfrac{a_i - t}{b_i - a_i}\biggr), &t \in [a_i, b_i], \\ \Gamma_i(1)+(t - b_i)\dfrac{\Gamma_{i+1}(0) - \Gamma_i(1)}{a_{i+1}-b_i}\,, &t \in (b_i,a_{i+1}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где $t\in [0,1]$, $i=1,\dots,m$. Нетрудно видеть, что $\operatorname{var}_s(\Gamma_*)=0$ и $\Gamma_*$ – разностороннее множество в $X$, поэтому $\overline{R(\Gamma_*)}=X$ по теореме 2.9. Следовательно, для всякого $x \in \Gamma$ и всякого $n\in {\mathbb N}$ найдется такой элемент $y_n \in R(\Gamma_*)$, что $\| x+y_n\|< 1/n^2$. Положим $x_{2i-1} := \Gamma_i(0)$ и $x_{2i}:= \Gamma_i(1)$. Из определения кривой $\Gamma_*$ следует, что элемент $y_n$ имеет вид
$$
\begin{equation}
y_n=z_n+\sum_{i=1}^{2m} \lambda_{i} x_i,\qquad z_n \in R(\Gamma), \quad \lambda_i \geqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
По теореме Дирихле о совместных приближениях [22; гл. 1, § 5] найдутся такие натуральные $l_i$ и $q\leqslant n$, что
$$
\begin{equation}
|\lambda_i q-l_i| \leqslant \frac{1}{n^{1/(2m)}} \quad \forall \, i=1,\dots,2m.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Поэтому в силу (2.13) и (2.14) выполнены соотношения Поскольку $(q-1)x+qz_n+\displaystyle\sum_{i=1}^{2m} l_i x_i \in R(\Gamma)$, последняя оценка означает, что $-x \in \overline{R(\Gamma)}$ для всякого $x \in \Gamma$, т. е. $\overline{R(\Gamma)}$ – аддитивная подгруппа.
Докажем, что $\overline{R(\Gamma)}$ содержит подпространство коразмерности $m-1$. Поскольку $\operatorname{var}_s(\Gamma_i)=0$, по лемме 2.6 имеем
$$
\begin{equation*}
\overline{R(\pm \Gamma_i)} \supset \{\Gamma_i(s)-\Gamma_i(t)\colon s,t\in [0,1]\},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\overline{R(\pm \Gamma_i)} \supset \mathrm{span}_{0}(\Gamma_i) := \biggl\{\,\sum_{k=1}^n \lambda_k u_k\colon u_k \in \Gamma_i, \, \lambda_k \in \mathbb{R}, \,\sum_{k=1}^n \lambda_k=0, \, n \in \mathbb{N}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $L$ – замыкание суммы $\mathrm{span}_{0}(\Gamma_1)+\cdots+\mathrm{span}_{0}(\Gamma_m)$. Ясно, что $L$ – замкнутое подпространство $X$, $L \subset \overline{R(\Gamma)}$. Если $L \ne X$, то найдется ненулевой функционал $f \in L^\perp$. Тогда $f(x - y)=0$ для любых $x, y \in \Gamma_i$, т. е. $f$ постоянен на каждой кривой $\Gamma_i$. Если $m=1$, т. е. $\Gamma$ состоит из одной кривой, то наличие такого функционала $f$ противоречит разносторонности $\Gamma$, так что в этом случае $L=X=\overline{R(\Gamma)}$. Если же $m > 1$ и $\operatorname{codim}L \geqslant m$, то $L^\perp$ содержит $m$ линейно независимых функционалов $f_1,\dots,f_m$, каждый из которых постоянен на каждой кривой $\Gamma_i$. В этом случае векторы либо линейно независимы – и тогда найдется их нетривиальная линейная комбинация либо линейно зависимы – и тогда найдется их нетривиальная линейная комбинация В обоих случаях ненулевой функционал $\lambda_1f_1+\cdots+\lambda_m f_m$ постоянен на всем множестве $\Gamma$, что противоречит разносторонности данного множества. Теорема доказана. Замечание 2.14. Для всякого множества $\Gamma=\bigcup\limits_{i=1}^m \Gamma_i$ из предыдущей теоремы можно найти такой элемент $x_* \in X$, что $\overline{R(\Gamma \cup \{x_*\})}=X$. Действительно, для $m=1$ утверждение очевидно, поэтому считаем, что $m\geqslant 2$. Для кривой $\Gamma_*$ из (2.12) имеем
$$
\begin{equation}
R(\Gamma_*)=R(\Gamma)+\operatorname{span}\bigl\{v_i := \Gamma_{i+1}(0) - \Gamma_i(1) \bigr\}_{i=1}^{m-1}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Выберем такой вектор $(\alpha_1,\dots,\alpha_{m-1}) \in (0,1)^{m-1}$, что его суммы по модулю 1 всюду плотны на торе $\mathbb{T}^{m-1}=[0,1)^{m-1}$, и положим Пусть $y=\displaystyle\sum_{i=1}^{m-1} \lambda_i v_i$ – произвольный элемент $\operatorname{span}\{v_i\}_{i=1}^{m-1}$. Для всякого $\varepsilon > 0$ найдутся такие целые числа $k_1,\dots,k_m$ и натуральное $k$, что $|\lambda_i-k\alpha_i-k_i| < \varepsilon$ при всех $i=1,\dots,m-1$. Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|y-k x_*-\sum_{i=1}^{m-1}k_i v_i\biggr\| \leqslant \varepsilon\sum_{i=1}^{m-1} \| v_i\| \leqslant \varepsilon(m-1)\operatorname{diam}\Gamma \to 0 \qquad (\varepsilon \to 0),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $y \in \overline{R(\pm\Gamma \cup \{ x_*\})}= \overline{R(\Gamma \cup \{ x_*\})}$ (по теореме $2.13$ множество $\overline{R(\Gamma)}$ – аддитивная подгруппа). Таким образом, $\operatorname{span}\{v_i\}_{i=1}^{m-1} \subset \overline{R(\Gamma \cup \{ x_*\})}$, а значит, $\overline{R(\Gamma \cup \{ x_*\})}=\overline{R(\Gamma_*)}$ в силу (2.15). В теореме 2.13 было доказано, что $\overline{R(\Gamma_*)}=X$, поэтому $\overline{R(\Gamma \cup \{ x_*\})}=X$. 2.3. Полугруппа, порожденная образом связного множестваПриведем результат, аналогичный теореме 2.9, для полугрупп, порожденных образами плоских компактов. По сравнению с теоремой 2.9 здесь приходится требовать больше и от пространства, и от отображения. Теорема 2.15 (К. С. Шкляев). Пусть $X$ – равномерно гладкое банахово пространство с модулем гладкости $s$, $s(\tau)=O(\tau^2)$ при $\tau\to 0$, $E\subset {\mathbb R}^2$ – компакт, $f\colon E \to X$ – такое липшицево отображение с постоянной $\Lambda$, что $f(E)$ – разностороннее множество в $X$. Тогда для всех $x \in X$. Доказательство. Пусть компакт $E$ лежит в квадрате $[0,1]^2$. Пусть – кривая Гильберта, отображающая отрезок $[0,1]$ на квадрат $[0,1]^2$ (см. [5]). В работе [5] доказано, что ее квадратично-линейное отношение равно $6$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\sup_{t,s \in [0,1],\ t \ne s}{}\, \frac{|\Gamma_h(t)-\Gamma_h(s)|^2}{|t-s|}=6.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $T=\Gamma_h^{-1}(E)\subset [0,1]$. Ясно, что $T$ – компакт в силу непрерывности $\Gamma_h$. Рассмотрим отображение Поскольку $s(\tau)=O(\tau^2)$, найдется такое число $C(s) > 0$, что при всех $t_1, t_2 \in T$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s(\| F(t_1) - F(t_2)\|) &\leqslant C(s) \| F(t_1) - F(t_2)\|^2 \\ &\leqslant C(s) \Lambda^2 |\Gamma_h(t_2)-\Gamma_h(t_1)|^2 \leqslant 6\, C(s) \Lambda^2 |t_1 - t_2|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $\operatorname{var}_{s}(F) \leqslant 6C(s) \Lambda^2$. Ясно, что $\operatorname{br}(F) \leqslant \operatorname{diam}F(T) \leqslant \sqrt{2}\,\Lambda$. Поэтому по теореме 2.9 для всякого $x\in X$ имеем
Общий случай произвольного компакта $E\subset {\mathbb R}^2$ сводится к рассмотренному случаю $E\subset [0,1]^2$ аффинным преобразованием, в результате которого постоянная $\Lambda$ умножается на, скажем, $2\operatorname{diam} E$, поэтому итоговая оценка сверху зависит и от $\operatorname{diam} E$. Теорема доказана. В связи с теоремами 2.11 и 2.15 мы приходим к основной не решенной нами проблеме. Задача 2.16. Пусть $X$ – равномерно гладкое банахово пространство с модулем гладкости $s$, $s(\tau)=O(\tau^2)$ при $\tau\to 0$, $E$ – связный компакт в ${\mathbb R}^2$, $f\colon E \to X$ – липшицево отображение и $f(E)$ – разностороннее множество в $X$. Верно ли, что $\overline{R(f(E))}=X$? Если в этой задаче заменить ${\mathbb R}^2$ на ${\mathbb R}$, то ответ положительный, как показывает теорема 2.11. Если же заменить ${\mathbb R}^2$ на ${\mathbb R}^3$, то ответ отрицательный, как показывает следующий пример. Пример 2.17. Пусть $E$ – кривая в ${\mathbb R}^3$ хаусдорфовой размерности 2, на которой существует непостоянная функция $h\colon E\to {\mathbb R}$, удовлетворяющая условию $|h(u)-h(v)|\leqslant C|u-v|^2$, $u,v\in E$ [19]. Можно считать, что $h(E)=[-1,1]$. Рассмотрим отображение $g\colon [-1,1]\to L_2[0,1]$, $g(x)=\operatorname{sign}x\cdot I_{[0,|x|]}$. Это отображение удовлетворяет условию $\|g(x)-g(y)\|\leqslant C|x-y|^{1/2}$. Таким образом, отображение является липшицевым, и $f(E)$ – разностороннее множество в $L_2[0,1]$. Однако $\overline{R(f(E))}$ совпадает с подгруппой $L_2^{\mathbb Z}[0,1]$ из примера 1.6 и не плотно в $L_2[0,1]$. В одном частном случае (суммы сдвигов липшицевой функции на двумерном торе) задача 2.16 положительно решается в теореме 4.12 ниже. При дополнительном условии, что $\overline{R(f(E))}$ – подгруппа в $X$, в частности при симметричном $f(E)$, задача 2.16 решается положительно. Теорема 2.18 (П. А. Бородин [9]). Пусть $G$ – замкнутая аддитивная подгруппа равномерно гладкого пространства $X$, модуль гладкости которого удовлетворяет равенству $s(\tau)=O(\tau^2)$ при $\tau\to 0$, $E$ – связное множество в ${\mathbb R}^2$ и липшицево отображение $f\colon E\to X$ таково, что $f(E)\subset G$. Тогда $G$ содержит замкнутое ${\mathbb R}$-линейное подпространство $L$, порожденное элементами вида $a-b$, где $a,b\in f(E)$. В частности, если $f(E)$ разностороннее, то $G=X$. Доказательство теоремы 2.18 основано на лемме 2.6 и следующем утверждении. Лемма 2.19 (о качестве связности плоских множеств [9]). Пусть $E\subset {\mathbb R}^2$ – связное множество. Для любых двух точек $u,v\in E$ и для любого $\varepsilon>0$ в $E$ найдутся такие точки $z_0=u,z_1,\dots,z_{n-1},z_n=v$, что Связные множества в трехмерном пространстве уже не обладают таким свойством [19], а модуль гладкости $s$ равномерно гладкого пространства не может иметь гладкость больше 2 в нуле в силу неравенства (2.2), так что взаимодействие лемм 2.6 и 2.19 оптимально именно для липшицевых образов плоских связных множеств в пространствах с модулем гладкости $s(\tau)=O(\tau^2)$. В связи с леммой 2.6 можно ставить более общую задачу о плотности полугруппы, в которой условия на качество связности порождающего множества формулируются в терминах самого этого множества, без представления о нем как образе чего-то конечномерного. Задача 2.20. Пусть $X$ – равномерно гладкое банахово пространство с модулем гладкости $s$, $M$ – такое связное разностороннее подмножество $X$, что для любых двух точек $a,b\in M$ и для любого $\varepsilon>0$ в $M$ найдутся точки $x_0=a,x_1,\dots,x_{n-1},x_n=b$, удовлетворяющие неравенству $\displaystyle\sum_{k=1}^n s(\|x_k-x_{k-1}\|)<\varepsilon$. Верно ли, что $\overline{R(M)}=X$? Непонятно, как решать эту задачу даже в частном случае, когда $X=H$ – гильбертово пространство, а разностороннее множество $M$ спрямляемо, т. е. всякие две точки из $M$ можно соединить в $M$ кривой длины меньше некоторого числа $L$. Тем не менее можно выделить ситуацию, в которой указанные задачи решаются положительно. Теорема 2.21 (К. С. Шкляев). Пусть $X$, $Y$ – банаховы пространства, $A\colon X\to Y$ – компактный оператор, $M\subset X$ – сепарабельное множество. Если полугруппа $R(M)$ в $X$ обладает свойством где $C$ – абсолютная константа, то замкнутая полугруппа $\overline{R(A(M))}$ является подгруппой в $Y$. Доказательство. Пусть $\{a_i\}$ – счетное всюду плотное множество в $M$. Зафиксируем последовательность $\{x_i\}$ элементов из $M$, в которой каждый $a_i$ повторяется бесконечно много раз. По условию для всякого $n$ найдется такой элемент $y_n\in R(M)$, что Таким образом, последовательность $z_n=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i+y_n\in R(M)$ ограничена, поэтому из последовательности $Az_n$ можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. В частности, для заданного $\varepsilon>0$ найдется такая возрастающая последовательность номеров $\{n_j\}$, что при всех $j$.
Пусть $z_{n_1}=g_1+\dots+g_k$, $g_i\in M$. Зафиксируем произвольный элемент $x\in M$. Найдем номера $m_0,\dots,m_k$, для которых выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\|x-a_{m_0}\|_X+\sum_{i=1}^k\|g_i-a_{m_i}\|_X<\varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
(среди элементов $a_{m_i}$ могут быть одинаковые). Тогда
$$
\begin{equation}
\biggl\|-x-z_{n_1}+\sum_{i=0}^ka_{m_i}\biggr\|_X<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Выберем $n_\nu$ так, чтобы выполнялось включение Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|-Ax-\biggl(Az_{n_\nu}-\sum_{i=0}^kAa_{m_i}\biggr)\biggr\|_Y \\ &\qquad\leqslant \biggl\|A\biggl(-x-z_{n_1}+ \sum_{i=0}^ka_{m_i}\biggr)\biggr\|_Y+\biggl\|Az_{n_1}- Az_{n_\nu}\biggr\|_Y<\|A\|\varepsilon+\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где в последнем неравенстве использованы (2.16) и (2.17).
Таким образом, $-A(M)\subset \overline{R(A(M))}$, что и требовалось. Теорема доказана. Из теорем 2.15, 2.21 и 2.18 выводится следующее утверждение. Следствие 2.22. Пусть $X$, $Y$ – равномерно гладкие банаховы пространства, модули гладкости которых убывают, как $O(\tau^2)$, при $\tau\to 0$, $E \subset{\mathbb R}^2$ – связный компакт, $f\colon E\to X$ – липшицево отображение, $A\colon X\to Y$ – компактный оператор, $A(f(E))$ – разностороннее множество в $Y$ (так что $f(E)$ – разностороннее в $X$). Тогда $\overline{R(A(f(E)))}=Y$. Ниже в п. 3.1 мы представим теорему Кореваара как частный случай этого следствия. 2.4. Случай несвязного порождающего множестваКогда порождающее разностороннее множество $M$ не связно, без дополнительных условий едва ли можно получать плотность $R(M)$ во всем пространстве. Однако можно доказывать, что замыкание $R(M)$ является подгруппой, причем для разносторонних компактов $M$ общего вида. Теорема 2.23 (П. А. Бородин [9]). Пусть в банаховом пространстве $X$ задан разносторонний минимальный компакт $M$, у которого минимально возможное число $n(\varepsilon)$ элементов в $\varepsilon$-сети удовлетворяет оценке при некотором $\alpha>0$. Тогда $\overline{R(M)}$ – подгруппа в $X$. Это утверждение показывает, что, как ни странно, подгруппа (т. е. симметричность замыкания полугруппы) получается для “тощих” порождающих компактов. По-видимому, скорость роста $n(\varepsilon)$ в теореме 2.23 может быть увеличена (компакт $M$ из примера 1.5 в пространстве $L_1[0,1]$ имеет $n(\varepsilon)=O(1/\varepsilon)$). Непонятно также, можно ли обойтись без условия минимальности. Оно существенно используется в доказательстве в соответствии с замечанием 1.4. Если же мы все-таки хотим получать плотность полугруппы для, вообще говоря, несвязных порождающих множеств, от них надо требовать наличия малых по норме элементов, “торчащих” в разные стороны. Множество $M$ в банаховом пространстве $X$ уменьшает норму, если для всякого ненулевого $x\in X$ выполнено неравенство $\operatorname{dist}(x,M)<\|x\|$, или, другими словами, если во всяком открытом шаре $B(x,\|x\|)$ есть элемент из $M$. В случае рефлексивного $X$ уменьшающее норму множество является разносторонним, поскольку для всякого ненулевого функционала $f\in X^*$ полупространство $\{y\colon f(y)>0\}$ содержит шар $B(x,\|x\|)$, где $x$ – ненулевой элемент, на котором $f$ достигает нормы ($f(x)=\|f\|\cdot \|x\|$; такой элемент существует по теореме Джеймса [35; гл. 1]). Обратное не верно ни в каком пространстве: в разностороннем множестве может просто не быть сколь угодно малых по норме элементов, которые всегда есть в уменьшающем норму множестве. Свойство множества уменьшать норму введено в [14] как условие, необходимое для сходимости различных жадных алгоритмов относительно этого множества. Для уменьшающего норму множества $M\ni 0$ в произвольном банаховом пространстве $X$ определяется возвратный слабо полужадный алгоритм, ставящий в соответствие каждому элементу $x=x_0\in X$ последовательность
$$
\begin{equation*}
x_n=x_{n-1}-y_n=x_0-y_1-\dots-y_n, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
по следующим правилам. Для каждого $k$ элемент $y_k$ либо принадлежит $M$, либо принадлежит $-M$, причем для всякого $y\in M$ и всякого $n\in {\mathbb N}$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
|\{k=1,\dots,n\colon y_k=-y\}|\leqslant |\{j=1,\dots,n\colon y_j=y\}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда индуктивно определяемый элемент $x_n$ может быть записан в виде где $z_j^{(n)}\in M$. Положим $M_n=M\cup \{-z_1^{(n)},\dots,-z_{\nu_n}^{(n)}\}$ и определим наконец шаг алгоритма: где $y_{n+1}\in M_n$ и
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\frac{x_n}{2}-y_{n+1}\biggr\|\leqslant \frac{\|x_n/2\|+\operatorname{dist}(x_n/2,M_n)}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
(такой элемент $y_{n+1}$ найдется, поскольку $M_n$ уменьшает норму и $0\in M$). Если этот алгоритм сходится, т. е. $x_n\to 0$, то элемент $x$ раскладывается в ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty y_n$ элементов из $M\cup (-M)$, все частичные суммы которого являются суммами элементов из $M$, т. е. принадлежат $R(M)$. Теорема 2.24 (П. А. Бородин [14]). Пусть $M$ – уменьшающее норму множество в гильбертовом пространстве $H$, $0\in M$. Для всякого $x\in H$ возвратный слабо полужадный алгоритм сходится. Как следствие, для всякого уменьшающего норму множества $M$ в гильбертовом пространстве $H$ полугруппа $R(M)$ плотна в $H$. Теорема 2.24 представляет собой один из немногих примеров эффективного способа нахождения квантованных приближений в достаточно общей ситуации. Если не гнаться за сходимостью жадных алгоритмов, то сам по себе факт плотности полугруппы, порожденной уменьшающим норму множеством в гильбертовом пространстве $H$, нетрудно доказать следующим образом. Предположим, что для какого-то элемента $x\in H$ выполнено $\rho=\operatorname{dist}(x,R(M))>0$. Возьмем минимизирующую последовательность $x_n\in R(M)$: $\|x-x_n\|\to \rho$ при $n\to\infty$. Можно считать, что последовательность $x-x_n$ слабо сходится к некоторому элементу $z$. Можно также считать, что $z\ne0$: в противном случае заменим $x$ элементом $x'=(x+x_k)/2$ для некоторого достаточно большого $k$ (соответствующая этому элементу минимизирующая последовательность $x_n'$ лежит в разности шаров $B(x',\|x'-x_k\|)\setminus B(x,\rho)$, все точки которой мало отличаются от $x_k$ при больших $k$, и поэтому $x'-x_n'$ мало отличаются от $x'-x_k$ и не могут слабо сходиться к 0). Возьмем элемент $y\in M$, для которого $\|z-y\|^2<\|z\|^2-\varepsilon$, $\varepsilon>0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|x-(x_n+y)\|^2&=\|z-y\|^2+\|x-x_n-z\|^2+2\langle z-y, x-x_n-z\rangle \\ &< \|z\|^2-\varepsilon+\|x-x_n-z\|^2+o(1) \\ &=\|z\|^2-\varepsilon+\|x-x_n\|^2+\|z\|^2-2\langle x-x_n, z\rangle+o(1) \\ &=\rho^2-\varepsilon+o(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получается, некоторый элемент из $R(M)$ находится на расстоянии меньше $\rho$ от $x$, что противоречит определению $\rho$. Возникает вопрос о возможности обобщения этого рассуждения на банаховы пространства. Нетрудно показать, что во всяком нерефлексивном пространстве $X$ есть такое уменьшающее норму симметричное множество $M$, что $\overline{R(M)}\ne X$. Действительно, по теореме Джеймса [35; гл. 1] в $X^*$ найдется функционал $f$, не достигающий своей нормы: $|f(x)|\ne\|f\|\cdot \|x\|$ ни для какого ненулевого $x\in X$. Ядро $\ker f$ этого функционала обладает тем свойством, что для всякого $x\notin \ker f$ в подпространстве $\ker f$ нет ближайшего элемента, т. е. найдется такой $y\in \ker f$, что $\|x-y\|<\|x-0\|=\|x\|$. Таким образом, $\ker f$ уменьшает норму и является искомым множеством. Возникает следующая задача. Задача 2.25. Верно ли, что во всяком рефлексивном банаховом пространстве всякое уменьшающее норму множество порождает всюду плотную полугруппу? Можно ставить вопрос по-другому: существует ли в каком-нибудь банаховом пространстве уменьшающая норму замкнутая аддитивная полугруппа, отличная от всего подпространства? Ясно, что такая полугруппа $G$ должна быть антипроксиминальным множеством, т. е. для всякого элемента $x$ из дополнения к $G$ в $G$ нет элемента, ближайшего к $x$. Действительно, если бы у какого-то элемента $x$ был ближайший элемент $y\in G$, отличный от $x$, то в силу уменьшения нормы нашелся бы элемент $z\in G$, для которого $\|x-y-z\|<\|x-y\|$, что противоречит тому, что $y$ – ближайший. Тем самым задача 2.25 оказывается связанной с известной задачей С. В. Конягина [56]: верно ли, что в рефлексивном пространстве нет замкнутых антипроксиминальных множеств? Известен достаточно широкий класс рефлексивных пространств, в которых эта проблема решается положительно, – это пространства Ефимова–Стечкина, т. е. такие банаховы пространства $X$, что для любых $x_n\in S(X)$ и $f\in S(X^*)$ из сходимости $f(x_n)\to 1$ следует существование у $\{x_n\}$ сходящейся подпоследовательности (имеется много эквивалентных определений этих пространств [2; гл. 10]). А именно, для всякого замкнутого множества $M$ в пространстве Ефимова–Стечкина $X$ множество точек, у которых существует ближайший элемент в $M$, имеет вторую категорию в $X$ [59]. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 2.26 (Ю. А. Скворцов). Для всякого уменьшающего норму множества $M$ в пространстве Ефимова–Стечкина $X$ полугруппа $R(M)$ плотна в пространстве $X$. Отметим, что для всякого уменьшающего норму множества $M$ в рефлексивном пространстве $X$ множество $\operatorname{cone}M$ линейных комбинаций элементов $M$ с положительными коэффициентами плотно в $X$. Это доказывается точно так же, как в лемме 2.1, причем условие гладкости пространства не требуется как раз в связи с более сильным, чем разносторонность, свойством уменьшения нормы. Еще отметим, что в случае симметричного уменьшающего норму множества можно предложить более простой жадный алгоритм для эффективного приближения подгруппой, порожденной этим множеством. Для уменьшающего норму множества $M$ в произвольном банаховом пространстве $X$ определим слабо полужадный алгоритм, ставящий в соответствие каждому элементу $x=x_0\in X$ последовательность где
$$
\begin{equation*}
y_{n+1}\in M,\quad \biggl\|\frac{x_n}{2}-y_{n+1}\biggr\|\leqslant \frac{\operatorname{dist}(x_n/2,M)+\|x_n/2\|}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
(выбирается произвольный элемент $y_{n+1}$, удовлетворяющий этим условиям). Теорема 2.27 (П. А. Бородин [14]). Пусть $M$ – симметричное уменьшающее норму множество в гильбертовом пространстве $H$, $0\in M$. Тогда для всякого $x\in H$ слабо полужадный алгоритм сходится, так что $x$ раскладывается в ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty y_n$ элементов из $M$. Условие симметричности в этом утверждении существенно [15]. 3. Приближение наипростейшими дробями и их обобщениямиДля произвольного подмножества $E$ комплексной плоскости ${\mathbb C}$ обозначим через $\operatorname{SF}(E)$ совокупность всех наипростейших дробей с полюсами на $E$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SF}(E)=\biggl\{\,\sum_{k=1}^n \frac{1}{z-a_k}\colon a_k\in E, n\in {\mathbb N}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наша основная цель – представить обзор результатов о плотности $\operatorname{SF}(E)$ в пространствах $X$ комплексных функций при различном выборе $E$ и $X$. Приведем определения встречающихся ниже пространств $X$: $A(D)$ – пространство функций, голоморфных в области $D$, с топологией равномерной сходимости на компактах в $D$; $\operatorname{AC}(K)$ – пространство функций, непрерывных на компакте $K$ и голоморфных внутри $K$, с равномерной нормой; $H_p(|z|<1)$ – пространство Харди функций, аналитических в единичном круге, с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{H_p(|z|<1)}= \lim_{r\to 1}\biggl(\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^p\,dt\biggr)^{1/p};
\end{equation*}
\notag
$$
$H_p(\operatorname{Im} z >0)$ – пространство Харди функций, аналитических в верхней полуплоскости, с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{H_p(\operatorname{Im} z>0)}= \sup_{y>0}\biggl(\int_{\mathbb R}|f(x+iy)|^p\,dx\biggr)^{1/p};
\end{equation*}
\notag
$$
$A_p(|z|<1,\omega)$ – весовое пространство Бергмана функций, аналитических в единичном круге, с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{A_p(|z|<1,\omega)}= \biggl(\,\int\!\!\!\!\int_{|z|<1}|f(z)|^p\omega(|z|)\, dx\, dy\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
3.1. Вокруг теоремы КореваараТеорема 3.1 (Я. Кореваар [57]). Для всякой ограниченной односвязной области $D\subset {\mathbb C}$ множество $\operatorname{SF}(\partial D)$ плотно в $A(D)$. Для областей со спрямляемыми жордановыми границами это утверждение получено ранее в [63]. Необходимость односвязности в этой теореме вполне понятна: если, например, в области $D$ есть спрямляемый контур, окружающий точку $a\in \partial D$, то функция $\theta/(z-a)$ с нецелым $\theta$ не приближается равномерно на этом контуре наипростейшими дробями в силу теоремы Коши о вычетах. Имеющиеся обобщения теоремы 3.1 на неограниченные области представлены в следующем пункте. Замечание 3.2. Формально в работах [57], [63] теоремы 3.1 нет. В них доказывается такое утверждение: всякая функция, голоморфная в ограниченной односвязной области $D$ и не имеющая нулей в $D$, может быть с любой точностью равномерно внутри $D$ приближена многочленами, все нули которых лежат на границе $\partial D$. Однако теорема 3.1 немедленно следует из этого утверждения. Действительно, если $f$ – произвольная голоморфная в $D$ функция, то функция где $z_0$ – фиксированная точка из $D$, не имеет нулей в $D$ и согласно приведенному утверждению приближается многочленами $p$ с нулями на $\partial D$ равномерно внутри $D$. Следовательно, функция $f=F'/F$ равномерно внутри $D$ приближается наипростейшими дробями $p'/p \in \operatorname{SF}(\partial D)$. Доказательство в [57] весьма изящно, сугубо нетривиально и использует самые разные инструменты комплексного и гармонического анализа. При этом наипростейшие дроби используются в ходе доказательства, в частности, доказывается существование сходящейся к нулю в $A(D)$ последовательности $r_n\in \operatorname{SF}(\partial D)$. Показывается, что в качестве полюсов дробей $r_n$ можно выбрать образы вершин некоторых правильных многоугольников, вписанных в единичный круг $U$, при конформном отображении $U\to D$ (по теореме Фату это отображение имеет угловые пределы почти всюду на границе $U$), и что эти полюсы плотны на $\partial D$. В наших терминах это означает, что $\overline{\operatorname{SF}(\partial D)}$ является подгруппой в $A(D)$. Мы представляем альтернативное доказательство, основанное на следствии 2.22. Доказательство теоремы 3.1. Пусть $K$ – произвольный компакт в $D$. Возьмем в $D$ два гладких жордановых контура $\gamma$ и $\Gamma$ со свойствами (здесь и далее $\operatorname{Int} L$ обозначает внутреннюю область жордановой кривой $L$) и рассмотрим гильбертовы пространства $X=\operatorname{AL}_2(\Gamma)$, $Y=\operatorname{AL}_2(\gamma)$, каждое из которых является пополнением линейного пространства $A(D)$ по норме $L_2(|dz|)$ на соответствующем контуре.
Отображение $f\colon\partial D \to X$, $a\mapsto 1/(z-a)$, липшицево. Оператор $A\colon X\to Y$, $Ah=h$, компактен в силу интегральной формулы Коши и принципа компактности для голоморфных функций. Образ $A(f(\partial D))$ является разносторонним множеством в $Y$. Действительно, в противном случае существует такая функция $h\in \operatorname{AL}_2(\gamma)$, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \int_\gamma\frac{\overline{h(z)}}{z-a}\,|dz|>0, \qquad a\in \partial D.
\end{equation*}
\notag
$$
Левая часть этого неравенства представляет собой функцию переменной $a$, гармоническую в $\overline{\mathbb C} \setminus \overline{\operatorname{Int}\gamma}$ и равную нулю в бесконечности. Такая функция не может быть положительна на $\partial D$ в силу принципа экстремума для гармонических функций.
Таким образом, следствие 2.22, примененное к связному плоскому компакту $E=\partial D$, указанным пространствам $X$ и $Y$, указанным отображению $f$ и оператору $A$, дает плотность $R(A(f(\partial D)))=\operatorname{SF}(\partial D)$ в $Y=\operatorname{AL}_2(\gamma)$. Получается, что всякая функция из $A(D)$ приближается с любой точностью дробями из $\operatorname{SF}(\partial D)$ в норме $\operatorname{AL}_2(\gamma)$, а значит, в силу интегральной формулы Коши, и равномерно на $K$. Теорема доказана. Приведем результаты, непосредственно связанные с теоремой Кореваара. В 2000 г. Е. П. Долженко, не зная о работе Кореваара, поставил задачу о возможности равномерного приближения на компактах наипростейшими дробями со свободными полюсами. В ответ появился следующий результат типа теоремы С. Н. Мергеляна. Теорема 3.3 (В. И. Данченко, Д. Я. Данченко [32]). Пусть $K$ – компакт в ${\mathbb C}$. Множество $\operatorname{SF}({\mathbb C}\setminus K)$ наипростейших дробей с полюсами вне $K$ плотно в пространстве $\operatorname{AC}(K)$ тогда и только тогда, когда ${\mathbb C}\setminus K$ связно. Нетрудно видеть, что достаточность в теореме 3.3 следует (с использованием теоремы Мергеляна) из теоремы Кореваара (авторы статьи [32] также не знали о работе [57]). С работы [32] началось интенсивное исследование приближений наипростейшими дробями в России. В частности, был доказан следующий результат, обобщающий обе теоремы 3.1 и 3.3. Теорема 3.4 (П. А.Бородин [8], [10]). Пусть $K$ и $E$ – непересекающиеся компакты в ${\mathbb C}$, и пусть $\widehat{E}$ – объединение компакта $E$ со всеми ограниченными компонентами связности дополнения ${\mathbb C}\setminus E$. (1) Если множество $K\setminus \widehat{E}$ содержит бесконечно много точек, то $\operatorname{SF}(E)$ не является разносторонним множеством и не плотно в $\operatorname{AC}(K)$. (2) Если $K\subset \widehat{E}$ и ${\mathbb C}\setminus K$ связно, то $\operatorname{SF}(E)$ плотно в $\operatorname{AC}(K)$. Здесь утверждения (1) и (2) почти обратны друг другу. В промежуточном случае, когда $K \setminus \widehat{E}$ непусто и конечно, $\operatorname{SF}(E)$ может быть как плотно, так и не плотно в $\operatorname{AC}(K)$ [8]. Приведенные результаты естественно приводят к вопросу описания универсальных множеств полюсов, т. е. таких множеств $E\subset {\mathbb C}$, что для всякого компакта $K$, не разбивающего плоскость, $\operatorname{SF}(E\setminus K)$ плотно в $\operatorname{AC}(K)$. Так, теорема 3.3 означает, что множество $E=\mathbb{C}$ универсально. Из теоремы 3.1 следует универсальность объединения замкнутых жордановых контуров, внутренности которых расширяются и заполняют всю плоскость. В работе [8] приводится пример счетного универсального множества $E$ с единственной предельной точкой $\infty$. Ясно, что всякое универсальное множество неограничено. Описать все универсальные множества, по-видимому, довольно трудно. Однако можно дать условия, необходимые или достаточные для универсальности, в терминах множества
$$
\begin{equation}
E'(\infty):=\biggl\{\zeta\colon |\zeta|=1,\exists \{a_k\}\subset E, a_k\to \infty\colon \lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{|a_k|}=\zeta \biggr\}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
предельных направлений последовательностей точек $E$ на бесконечности. Ясно, что $E'(\infty)$ представляет собой замкнутое подмножество единичной окружности. Положим Теорема 3.5 (П. А. Бородин [16]). Пусть $E$ – неограниченное подмножество комплексной плоскости. (1) Если для некоторого натурального $m$ выпуклая оболочка $\operatorname{conv}E_m'(\infty)$ не содержит нуля, то $E$ не универсально; более точно, $\operatorname{SF}(E\setminus K)$ не плотно в $\operatorname{AC}(K)$ для некоторого круга $K$. (2) Если для всякого натурального $m$ выполнено включение (здесь $F^\circ$ обозначает внутренность множества $F$), то $E$ – универсальное множество.(3) В случае, когда $0\in \operatorname{conv} E_m'(\infty)$ для всех натуральных $m$, но для некоторых $m$ условие (3.3) не выполнено, множество $E$ может оказаться как универсальным, так и не универсальным. Утверждение (1) в этой теореме доказывается с помощью следующего результата. Теорема 3.6 (П. А. Бородин, К. С. Шкляев [20]). Пусть $E\subset \overline{{\mathbb C}}$ – замкнутое множество, дополнение $\overline{{\mathbb C}}\setminus E$ связно и для некоторых $R>0$ и $n\in {\mathbb N}$ множество лежит в некотором угле величины строго меньше $\pi$ с вершиной в нуле. Тогда для всякого бесконечного компакта $K$, не пересекающегося с $E$, и для всякого $m=1,\dots,n$ множество не является разносторонним в пространстве $\operatorname{AC}(K)$, а значит, не плотно в этом пространстве. 3.2. Приближение в неограниченных областяхТеорема 3.7 (Дж. Элкинс [40]). Если односвязная область $D\subset {\mathbb C}$ лежит в некоторой полуплоскости и не содержит никакую другую полуплоскость, то $\operatorname{SF}(\partial D)$ плотно в $A(D)$. Помимо техники Кореваара, при доказательстве теоремы 3.7 существенно используется следующий тонкий результат Линдварта–Полиа–Ганелиуса [45]: если область $G$ содержит полуплоскость и последовательность многочленов, каждый из которых имеет все свои нули вне $G$, сходится равномерно на некотором круге из $G$ к ненулевой функции, то эта последовательность сходится равномерно на компактах во всей плоскости. Условие “$G$ содержит полуплоскость” в этом утверждении существенно [45], и непонятно, как обобщить это условие на другие неограниченные области, с тем чтобы получить аналоги теоремы 3.7 для областей, не лежащих в полуплоскости (в [40] роль $G$ играет та из дополнительных областей к $D$, которая содержит полуплоскость). Мы приводим альтернативное доказательство теоремы 3.7 с помощью следствия 2.22, а также новые результаты о приближении в неограниченных областях наипростейшими дробями с полюсами на границах этих областей. Доказательство теоремы 3.7. Без ограничения общности считаем, что $D$ лежит в верхней полуплоскости. Условие “$D$ не содержит полуплоскость” равносильно тому, что
Пусть $K$ – произвольный компакт в $D$. Возьмем в $D$ два гладких жордановых контура $\gamma$ и $\Gamma$ со свойствами
$$
\begin{equation*}
K\subset \operatorname{Int}\gamma, \qquad \gamma\subset \operatorname{Int}\Gamma
\end{equation*}
\notag
$$
и рассмотрим гильбертовы пространства $X=\operatorname{AL}_2(\Gamma)$, $Y=\operatorname{AL}_2(\gamma)$, каждое из которых является пополнением линейного пространства $A(D)$ по норме $L_2(|dz|)$ на соответствующем контуре.
Пусть $z_0$ – некоторая фиксированная точка из $D$ и $g(z)=1/(z-z_0)$. Множество $E=g(\partial D)$ компактно. Отображение
$$
\begin{equation*}
f\colon E \to X,\quad a\mapsto \frac{1}{z-g^{-1}(a)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
липшицево.
Оператор $A\colon X\to Y$, $Ah=h$, компактен в силу интегральной формулы Коши и принципа компактности для голоморфных функций. Покажем, что $A(f(E))$ является разносторонним множеством в $Y$. В противном случае найдется такая ненулевая функция $h\in \operatorname{AL}_2(\gamma)$, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} \biggl(H(w):= \int_\gamma\frac{\overline{h(z)}}{z-w}\,|dz|\biggr)\geqslant 0, \qquad w\in \partial D.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $H$ голоморфна в $\overline{\mathbb C} \setminus \overline{ \operatorname{Int}\gamma}$ и равна нулю в бесконечности. Ее мнимая часть неотрицательна на $\partial D \cup \{\infty\}$, а следовательно, и в ${\mathbb C}\setminus D$. Покажем, что это невозможно. Рассмотрим разложение Лорана для $H$ в окрестности $\infty$:
Коэффициенты $c_k$ не могут все равняться нулю, поскольку
$$
\begin{equation*}
c_k=-\int_\gamma\overline{h(z)}z^{k-1}\,|dz|, \qquad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и равенство их нулю означает, что $h$ как элемент пространства $\operatorname{AL}_2(\gamma)$ ортогонален всем многочленам. Поскольку многочлены плотны в $\operatorname{AL}_2(\gamma)$, это означало бы, что $h=0$.
Из последней формулы также следует, что $|c_k|\leqslant L^k$ для некоторого $L>0$. Если $c_1=0$, то $H$ имеет в бесконечности нуль не менее чем второго порядка, и образ $H(\{\operatorname{Im} z<0\})$ нижней полуплоскости, входящей в ${\mathbb C}\setminus D$, заведомо содержит точки с отрицательной мнимой частью. Если ненулевое число $c_1$ не положительно, то в нижней полуплоскости найдется такое число $\zeta$, что $\operatorname{Im}(c_1/\zeta)<0$, и при положительных $R\to \infty$ имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} H(R\zeta)= \operatorname{Im}\biggl(\frac{c_1/\zeta+o(1)}{R}\biggr)<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Остался случай $c_1>0$. Подставляя $w=x+it\notin D$ из (3.4), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Im} H(x+it)&=\frac{-c_1t}{x^2+t^2}+ \operatorname{Im} \sum_{k=2}^\infty \frac{c_k}{(x+it)^k} \\ &\leqslant \frac{-c_1t}{x^2+t^2}+\frac{|c_2|}{x^2+t^2}+ \sum_{k=3}^\infty \frac{L^k}{(x^2+t^2)^{k/2}}<0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех достаточно больших $t>0$ и $x=x(t)$ из условия (3.4).
Итак, во всех случаях получили противоречие. Разносторонность $A(f(E))$ в $Y=\operatorname{AL}_2(\gamma)$ доказана. Таким образом, следствие 2.22, примененное к плоскому множеству $E$, указанным пространствам $X$ и $Y$, указанным отображению $f$ и оператору $A$, дает плотность $R(A(f(E)))=\operatorname{SF}(\partial D)$ в $Y=\operatorname{AL}_2(\gamma)$. Получается, что всякая функция из $A(D)$ приближается с любой точностью дробями из $\operatorname{SF}(\partial D)$ в норме $\operatorname{AL}_2(\gamma)$, а значит, в силу интегральной формулы Коши, и равномерно на $K$. Теорема доказана. Приведем условия на неограниченную область $D$ общего вида, необходимые или достаточные для плотности в $A(D)$ наипростейших дробей с полюсами на границе $\partial D$. Эти условия формулируются в терминах степеней предельных направлений (3.1), (3.2) последовательностей точек из дополнения к $D$ на бесконечности и почти смыкаются друг с другом. Теорема 3.8 (П. А. Бородин, К. С. Шкляев). Пусть $D$ – односвязная неограниченная область комплексной плоскости. (1) Если для некоторого $m\in {\mathbb N}$ выпуклая оболочка $\operatorname{conv}({\mathbb C}\setminus D)_m'(\infty)$ не содержит нуля, то $\operatorname{SF}(\partial D)$ не плотно в $A(D)$. (2) Если для всякого натурального $m$ выполнено включение
$$
\begin{equation}
0\in \bigl(\operatorname{conv}({\mathbb C}\setminus D)_m'(\infty)\bigr)^\circ
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
(где $F^\circ$ обозначает внутренность множества $F$), то $\operatorname{SF}(\partial D)$ плотно в $A(D)$. (3) В случае, когда $0\in \operatorname{conv}({\mathbb C}\setminus D)_m'(\infty)$ для всех натуральных $m$, но для некоторых $m$ условие (3.5) не выполнено, множество $\operatorname{SF}(\partial D)$ может оказаться как плотным, так и не плотным в $A(D)$. В работе [20] эта теорема доказана при дополнительных условиях на границу области $D$. Доказательство. (1) По условию для некоторого $R>0$ множество лежит в некотором угле величины меньше $\pi$ с вершиной в нуле. Множество ${\mathbb C}\setminus D$ не разбивает плоскость, поэтому по теореме 3.6 множество $\operatorname{SF}({\mathbb C}\setminus D)$ не является разносторонним в пространстве $\operatorname{AC}(K)$ для всякого бесконечного компакта $K\subset D$. Тем более $\operatorname{SF}(\partial D)$ не является разносторонним, а значит, не плотно в $\operatorname{AC}(K)$.
(2) Покажем, что множество является разносторонним в пространстве $\operatorname{AL}_2(\gamma)$ для всякого гладкого жорданова контура $\gamma\subset D$. В противном случае найдется такая ненулевая функция $h\in \operatorname{AL}_2(\gamma)$, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\biggl(H(w):= \int_\gamma\frac{\overline{h(z)}}{z-w}\,|dz|\biggr)\geqslant 0, \qquad w\in \partial D.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $H$ голоморфна в $\overline{\mathbb C} \setminus \overline{\operatorname{Int}\gamma}$ и равна нулю в бесконечности. Ее действительная часть неотрицательна на $\partial D \cup \{\infty\}$, следовательно, она неотрицательна и в ${\mathbb C}\setminus D$. Так же, как выше в доказательстве теоремы 3.7, показывается, что $H$ имеет ненулевой ряд Лорана в $\infty$: где $c_m\ne0$. По условию найдется такое $\zeta\in ({\mathbb C}\setminus D)_m'(\infty)$, что $\operatorname{Re}(c_m/\zeta^m)<0$. Тогда для последовательности $w_k\in {\mathbb C}\setminus D$, $w_k\to \infty$, для которой $w_k/|w_k|\to \zeta$, получаем противоречие:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}H(w_k)=\operatorname{Re}\frac{1}{|w_k|^m} \biggl(\frac{c_m}{(\zeta+o(1))^m}+O\biggl(\frac{1}{|w_k|}\biggr)\biggr)<0, \qquad k\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Дальнейшее доказательство плотности $\operatorname{SF}(\partial D)$ в $A(D)$ проводится так же, как выше в доказательствах теорем 3.1 и 3.7, с использованием следствия 2.22. (3) Для области $D$ из теоремы 3.7 выполнены все условия п. (3) и плотность $\operatorname{SF}(\partial D)$ в $A(D)$ есть. Для верхней полуплоскости $\{\operatorname{Im} z>0\}$ также выполнены все условия п. (3), но плотности $\operatorname{SF}({\mathbb R})$ в $A(\{\operatorname{Im} z>0\})$ нет: наипростейшие дроби с полюсами на действительной оси имеют отрицательные мнимые части во всех точках верхней полуплоскости. Теорема доказана. Как показывает теорема 3.8, для плотности $\operatorname{SF}(\partial D)$ в $A(D)$ важно то, что после возведения в любую степень дополнение к области на бесконечности “торчит во все стороны”, не покрывается полуплоскостью. При этом дополнение к области, удовлетворяющей условиям п. (2) теоремы 3.8, может занимать сколь угодно малую долю азимута на бесконечности. Следствие 3.9. Пусть непрерывные функции $h_1,h_2\colon{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ таковы, что $h_1(x)<h_2(x)$ при всех $x$ и выполнены неравенства Тогда для области дроби $\operatorname{SF}(\partial \Pi)$ плотны в $A(\Pi)$. Приведем еще один результат (фактически следствие из теоремы 3.7), позволяющий работать с областями специального вида с симметриями. Теорема 3.10 (П. А. Бородин, К. С. Шкляев [20]). Пусть односвязная область $D$ содержится в некоторой полуплоскости, не содержит никакую другую полуплоскость и $0\in D$. Тогда для всякого натурального $q\geqslant 2$ множество является односвязной областью и $\operatorname{SF}(\partial\sqrt[q]{D}\,)$ плотно в $A(\sqrt[q]{D}\,)$. 3.3. Приближение на неограниченных множествахНаипростейшими дробями можно приближать на неограниченных подмножествах комплексной плоскости – прямых, лучах и др. Совсем нетрудно доказывается, что полугруппа $\operatorname{SF}({\mathbb C}\setminus{\mathbb R})$ наипростейших дробей с полюсами вне действительной оси ${\mathbb R}$ не плотна в пространстве $L_p({\mathbb R})$ для всякого $1<p<\infty$. Дело в том, что порождающее ее множество $\{1/(x-a)\colon a\in {\mathbb C}\setminus {\mathbb R}\}$ не является разносторонним в силу неравенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \int_{\mathbb R} \frac{1}{x+i}\, \frac{1}{x-a}\, dx\geqslant 0,\qquad a\in {\mathbb C}\setminus {\mathbb R},
\end{equation*}
\notag
$$
в котором функция $1/(x+i)$ рассматривается как элемент сопряженного пространства $L_q({\mathbb R})$, $1/p+1/q=1$. В. Ю. Протасов [70], используя весьма нетривиальную технику работы с наипростейшими дробями на действительной оси, основанную на преобразовании Гильберта, сумел описать довольно узкий класс функций, приближаемых наипростейшими дробями в $L_p({\mathbb R})$. Теорема 3.11 (В. Ю. Протасов [70]). Пусть $1<p<\infty$. Замыкание в $L_p({\mathbb R})$ множества $\operatorname{SF}({\mathbb C}\setminus {\mathbb R})$ состоит в точности из тех функций $f\in L_p({\mathbb R})$, которые представимы в виде $f=\Phi'/\Phi$, где $\Phi$ – целая функция порядка не выше $1/q=1-1/p$. В то же время для равномерной нормы имеется положительный результат о плотности. Теорема 3.12 (П. А. Бородин, О. Н. Косухин [18]). Для всякого $u\geqslant 0$ множество $\operatorname{SF}(\{a\colon |\!\operatorname{Im}a|>u\})$ плотно в комплексном пространстве $C_0({\mathbb R})$ функций, непрерывных на действительной оси и стремящихся к нулю на бесконечности, с равномерной нормой. Доказательство этого утверждения существенно основывается на одном могучем результате В. И. Данченко [29], фактически доказавшего, что замыкание $\operatorname{SF}(\{a\colon |\!\operatorname{Im}a|>u\})$ в норме пространства $C_0({\mathbb R})$ является подгруппой – см. ниже теорему 3.21. Как показал О. Н. Косухин [18], для любого неразвернутого угла $\Lambda$ (т. е. двух лучей с общей вершиной, не принадлежащих одной прямой) наипростейшие дроби $\operatorname{SF}({\mathbb C}\setminus \Lambda)$ с полюсами вне $\Lambda$ не образуют разностороннее множество и не плотны в $C_0(\Lambda)$. В случае полуоси ${\mathbb R}_+$ плотность в $L_p$ получается ровно для “половины” значений $p$. Теорема 3.13 (П. А. Бородин [7]). Пусть $\gamma\in(0,\pi/2)$, $1<p<\infty$. Множество плотно в комплексном пространстве $L_p({\mathbb R}_+)$ тогда и только тогда, когда В частности, Необходимость во втором утверждении этой теоремы доказывается просто: множество $\{1/(x-a)\colon a\in {\mathbb C}\setminus {\mathbb R}_+\}$ не является разносторонним в $L_p({\mathbb R}_+)$ при $1<p<2$ в силу неравенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \int_{{\mathbb R}_+}\frac{\sqrt{x}}{x+1}\, \frac{1}{x-a}\, dx\geqslant 0,\qquad a\in {\mathbb C}\setminus {\mathbb R}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором функция $\sqrt{x}/(x+1)$ рассматривается как элемент сопряженного пространства $L_q({\mathbb R}_+)$, $1/p+1/q=1$. 3.4. Различные функциональные пространстваВопрос о плотности множества $\operatorname{SF}(E)$ наипростейших дробей с полюсами на множестве $E\subset {\mathbb C}$ в каком-либо пространстве функций с областью определения $D$, как правило, положительно решается с помощью теоремы Кореваара при условии, что $E$ “окружает” $D$ и не пересекается с $\partial D$. Например, для всякого жорданова контура $\gamma$, содержащего внутри себя замкнутый единичный круг $\overline U$, множество $\operatorname{SF}(\gamma)$ плотно в любом пространстве Харди $H_p(U)$, $1<p<\infty$. Теорема 3.14 (Д. Ньюман [65]). Наипростейшие дроби $\operatorname{SF}(C)$ с полюсами на единичной окружности $C$ не плотны в пространстве Бергмана $A_1(|z|<1)$. Более точно, для всякой дроби $r\in \operatorname{SF}(C)$ выполнено неравенство Дроби из $\operatorname{SF}(C)$ не лежат в пространствах Бергмана $A_p(|z|<1)$ при $p>2$. При $1<p\leqslant 2$ нормы дробей из $\operatorname{SF}(C)$ в пространстве $A_p(|z|<1)$ также отделены от нуля в силу неравенства (3.6) и неравенства Гёльдера, так что $\operatorname{SF}(C)$ не плотно в таком пространстве. Дроби из $\operatorname{SF}(C)$ лежат в весовых пространствах $A_2\bigl(|z|<1,(1-|z|^2)^\alpha\bigr)$ при всех $\alpha>0$, и можно ставить вопрос о плотности. Теорема 3.15 (Е. В. Абакумов, А. А. Боричев, К. Ю. Федоровский [1]). Наипростейшие дроби $\operatorname{SF}(C)$ с полюсами на единичной окружности $C$ плотны в пространстве $A_2\bigl(|z|<1,(1-|z|^2)^\alpha\bigr)$ тогда и только тогда, когда $\alpha>1$. Теорема 3.16 (Ч. Чуи [25]). Пусть $D$ – жорданова область со спрямляемой границей $\Gamma$. При $q>2$ наипростейшие дроби $\operatorname{SF}(\Gamma)$ с полюсами на $\Gamma$ плотны в пространстве Берса $B_q(D)$ голоморфных в $D$ функций с нормой где $\lambda_D(z)$ – метрика Пуанкаре области $D$, которая в данном случае играет роль весовой функции и может быть выражена по формуле где $g$ – произвольное конформное отображение области $D$ на единичный круг. Поскольку $B_2(|z|<1)=A_1(|z|<1)$, точность условия $q>2$ в теореме 3.16 подтверждается теоремой 3.14. В 2014 г. С. Р. Насыров поставил задачу: плотны ли наипростейшие дроби с полюсами на единичной окружности в комплексном пространстве $L_2[-1,1]$? Эта задача была зафиксирована в [10] и решена отрицательно М. А. Комаровым в [51], который затем существенно обобщил и уточнил свой результат (см. [55]). Теорема 3.17 (М. А. Комаров [51], [55]). Наипростейшие дроби $\operatorname{SF}(C)$ с полюсами на единичной окружности $C$ не плотны в комплексном пространстве $L_p[-1,1]$ при $p\geqslant 1$. Более точно, для всякой дроби $r\in\operatorname{SF}(C)$ степени $n$ и всякого $p\geqslant 1$ выполнено неравенство Степень $1-1/p$ в неравенстве (3.8) точна, как показывает дробь Более того, из неравенства (3.8) при $p=1$ следует теорема 3.14, правда, с немного меньшей константой в правой части (3.6).Возникает задача о плотности множества $\operatorname{SF}(C)$ в весовых пространствах $L_p([-1,1],(1-x^2)^\alpha)$. А. С. Ершов в 2022 г. доказал плотность при $p=2$ и $\alpha>1$. Интересно, что $\alpha>1$ – это в точности те значения $\alpha$, при которых множество $\{1/(x-a)\colon a\in C\}$ ограничено в $L_2([-1,1],(1-x^2)^\alpha)$. Наипростейшие дроби $\operatorname{SF}(\{a\colon \operatorname{Im}a<0\})$ с полюсами в нижней полуплоскости не плотны в пространствах Харди $H_p(\{\operatorname{Im}z >0\})$ в верхней полуплоскости, поскольку значения таких дробей во всех точках верхней полуплоскости имеют отрицательную мнимую часть. Однако производные наипростейших дробей уже лишены этого недостатка. Теорема 3.18 (Н. А. Дюжина [38]). Производные наипростейших дробей плотны во всех пространствах Харди $H_p$ в верхней полуплоскости при $1<p<\infty$, а также в пространстве функций, аналитических в верхней полуплоскости, непрерывных в ее замыкании и стремящихся к нулю на бесконечности. Непонятно, верно ли это утверждение для $p=1$. 3.5. Скорость приближения и экстремальные задачиПосле приведенных выше качественных результатов естественно возникает задача об оценке скорости приближения наипростейшими дробями в зависимости от степени приближающей дроби. Такого рода оценки и различные конструктивные способы приближения довольно подробно представлены в недавнем обзоре [33]. Не вдаваясь в эту тематику, приведем два характерных для нее результата. Пусть
$$
\begin{equation*}
\rho_n(f):=\min\{\|f-r\|_{C[-1,1]}\colon r\in \operatorname{SF}({\mathbb C}\setminus [-1,1]),\deg r\leqslant n\}
\end{equation*}
\notag
$$
– наименьшее равномерное уклонение функции $f\in C[-1,1]$ от наипростейших дробей степени не выше $n$. Теорема 3.19 (О. Н. Косухин [58]). Для всякой функции $f\in C[-1,1]$ и всякого $n=1,2,\dots$ имеет место оценка где $C(t)=12(1+t)e^{2t}$. Эта теорема при сопоставлении с классическими теоремами Джексона показывает, что наипростейшие дроби приближают в $C[-1,1]$ примерно так же, как многочлены. Однако имеются и специфические сюжеты, такие как приближение констант. Теорема 3.20 (М. А. Комаров [49]). Для всякого $\lambda>0$ причем эта скорость приближения достигается на наипростейших дробях, интерполирующих константу $\lambda$ в чебышёвских узлах на $[-1,1]$. Следует отметить, что приближение констант вполне осмысленно с физической точки зрения: мы приближаем электростатическое поле постоянной напряженности полем, создаваемым $n$ одинаковыми зарядами. В конструктивной теории приближения наипростейшими дробями имеются интересные экстремальные задачи, связанные со скоростью приближения нулевой функции в различных нормах. Пусть $E$ – подмножество комплексной плоскости, $a$ – фиксированная точка из $E$, $\operatorname{SF}_n(E)$ обозначает множество наипростейших дробей степени не выше $n$ со всеми полюсами на $E$, $X$ – некоторое банахово пространство функций, содержащее $\operatorname{SF}(E)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\rho_n(a,E,X)=\inf\{\|r_n\|_{X}\colon r_n\in \operatorname{SF}_n(E), r_n(a)=\infty\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Фактически величина $\rho_n(a,E,X)$ равна расстоянию от функции $-1/(z-a)$ до множества $\operatorname{SF}_{n-1}(E)$ в пространстве $X$. Стремление $\rho_n(a,E,X)$ к нулю при $n\to \infty$ (в этом случае полюсы дробей, реализующих величины $\rho_n$, составляют “асимптотически нейтральные семейства точек” из $E$ в терминологии Кореваара) означает принадлежность $-1/(z-a)$ замыканию множества $\operatorname{SF}(E)$ в $X$ и часто играет ключевую роль в доказательстве плотности $\operatorname{SF}(E)$ в $X$. Оценки этой величины для различных конкретных пар $E$ и $X$ доказывались многими математиками. Приведем наиболее яркие результаты. Теорема 3.21 (В. И. Данченко [29]). Для произвольной точки $a\in {\mathbb C}\setminus {\mathbb R}$ имеет место асимптотика Это очень трудная и красивая теорема. Формально в [29] решалась другая задача с богатой историей, поставленная Е. А. Гориным, – об оценке минимально возможного расстояния до действительной оси ${\mathbb R}$ от полюса наипростейшей дроби $r_n$ степени $n$ при условии $\|r_n\|_{C({\mathbb R})}\leqslant 1$. Нетрудно показать, что эта задача эквивалентна задаче об оценке $\rho_n(i,{\mathbb C}\setminus {\mathbb R},C({\mathbb R}))$. Для любых $p\in (1,\infty)$, $n\in {\mathbb N}$ и $a\in {\mathbb C}\setminus {\mathbb R}$ из результатов работы [6] выводятся оценки
$$
\begin{equation*}
\frac{2^{2/p}\pi^{1/p}}{p|\!\operatorname{Im}a|^{1/q}}\, \mathrm{B}\biggl(\frac{q}{2}\,,\frac{q}{2}\biggr)^{1/q}\leqslant \rho_n(a,{\mathbb C}\setminus {\mathbb R},L_p({\mathbb R}))\leqslant \biggl(\frac{\pi q\,2^{2-p}}{p\,\mathrm{B}(p/2,p/2)}\biggr)^{1/p} \frac{1}{|\!\operatorname{Im} a|^{1/q}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $1/p+1/q=1$ и $\mathrm{B}(\alpha,\beta)= \displaystyle\int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt$ – бета-функция Эйлера. Здесь нет стремления к нулю при $n\to\infty$, что соответствует отмеченной выше неплотности $\operatorname{SF}({\mathbb C}\setminus {\mathbb R})$ в $L_p({\mathbb R})$. Ранее более слабые оценки и неубывание величин $\rho_n(a,{\mathbb C}\setminus {\mathbb R},L_p({\mathbb R}))$ к нулю были установлены В. И. Данченко [29]. При $p=2$ указанные оценки смыкаются:
$$
\begin{equation*}
\rho_n(a,{\mathbb C}\setminus {\mathbb R},L_2({\mathbb R}))= \biggl(\frac{\pi}{|\!\operatorname{Im} a|}\biggr)^{1/2}= \biggl\|\frac{1}{x-a}\biggr\|_{L_2({\mathbb R})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольной точки $a\in {\mathbb C}\setminus {\mathbb R}_+$ вне полуоси ${\mathbb R}_+=[0,+\infty)$ при всех достаточно больших $n$ справедливы следующие оценки (см. [7]):
$$
\begin{equation*}
\frac{C_1(a)}{\sqrt{\ln n}}\leqslant \rho_n(a,{\mathbb C}\setminus {\mathbb R}_+,L_2({\mathbb R}_+)) \leqslant \frac{C_2(a)\ln\ln n}{\sqrt{\ln n}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В доказательстве правой оценки используется теорема 3.21. Используя конструкцию, предложенную в работе [30], П. В. Чунаев [27] нашел асимптотику $\rho_n(a,{\mathbb C}\setminus[-1,1],C[-1,1])$ (для действительных $a$, расположенных не слишком близко к отрезку $[-1,1]$, и для более узкого класса действительных наипростейших дробей), его результат дополнен М. А. Комаровым [53]. Другие результаты этого типа см. в обзоре [33]. В свете теоремы Кореваара и ее обобщений (см. выше пп. 3.1, 3.2) представляется разумной задача об оценивании величин $\rho_n(a,\partial D,\operatorname{AC}(K))$ для различных односвязных областей $D$, компактов $K\subset D$ и точек $a\in \partial D$. Например, для случая полосы $D=\Pi:=\{z\colon |\!\operatorname{Im} z| <1\}$ (к этой области применимо, например, следствие 3.9) в [20] получена оценка сверху
$$
\begin{equation*}
\rho_n(a,\partial\Pi,\operatorname{AC}(K)) \leqslant L(K)\,\frac{\ln^2n}{n}
\end{equation*}
\notag
$$
для всякого компакта $K\subset \Pi$, для всякой точки $a\in\partial \Pi$ и всех $n>1$. Н. А. Дюжина [38] доказала, что при всех $1< p \leqslant \infty$ и достаточно больших $n$ для каждого $a$ из нижней полуплоскости $\Pi_-$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\inf\{\|r_n'\|_{H_p(\Pi_+)}\colon r_n\in \operatorname{SF}_n(\Pi_-), r_n(a)=\infty\}\leqslant \frac{128}{|\!\operatorname{Im} a|^{2-1/p}}\, \frac{(\ln n)^{2-1/p}}{n^{1-1/p}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $p=\infty$ эта оценка следует из результатов В. И. Данченко и является точной по порядку при $n\to \infty$ [29]. В особом случае, когда $E$ – единичная окружность, часто ставится задача о равномерном распределении полюсов экстремальной наипростейшей дроби:
$$
\begin{equation}
\rho_n(1,\{w\colon |w|=1\},X)=\biggl\|\frac{nz^{n-1}}{z^n-1}\biggr\|_X?
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Для пространства Бергмана $X=A_1(|z|<1)$ это известная и до сих пор не доказанная гипотеза Чуи [24]. В работе [1] равенство (3.9) доказано для весового пространства Бергмана $X=A_2\bigl(|z|<1,(1-|z|^2)^\alpha\bigr)$ при $0<\alpha\leqslant 1$. Для пространств $X=L_p(|z|= r)$ при $0<r<1$ и $1\leqslant p\leqslant \infty$ вопрос (3.9) впервые ставился в [72], причем даже в более слабой постановке. В случае $p=\infty$ ответ положительный [71]. Для произвольного $p$ некоторое продвижение получено в [73]. 3.6. Обобщения наипростейших дробейКак уже отмечалось, приближения наипростейшими дробями имеют естественную физическую интерпретацию: напряженность произвольного плоского электростатического поля приближается напряженностью поля, создаваемого конечным числом одинаковых зарядов. Естественно ставить задачу о таком приближении для электростатических полей в пространствах большего числа измерений. Вот как выглядит аналог теоремы Кореваара в трехмерном случае. Теорема 3.22 (D. T. Piele [69]). Пусть $D$ – ограниченная область со связным дополнением в ${\mathbb R}^3$, на границе которой существуют асимптотически нейтральные семейства точек, т. е. такие семейства $\{y^n_1,\dots,y^n_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subset \partial D$, что для некоторых действительных постоянных $C_n$ равномерно на компактных подмножествах области $D$. Тогда для всякой функции $f$, гармонической в $D$, найдутся такие зависящие от нее семейства точек $\{x^n_1,\dots,x^n_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subset \partial D$ и такие константы $C_n(f)$, что равномерно на компактных подмножествах $D$. Отметим, что здесь речь идет не о приближении напряженностей, а о приближении (с точностью до констант) потенциала произвольного электростатического поля потенциалами полей, создаваемых конечным числом одинаковых точечных зарядов, расположенных в точках $x^n_k$. Другими словами, аналогами наипростейших дробей являются не суммы дробей $1/|x-x^n_k|$, а их градиенты. Теорема 3.22 с общей точки зрения относится к утверждениям о плотности подгруппы: нетрудно показать (и это делается в [69]), что асимптотически нейтральные семейства точек всюду плотны на $\partial D$, откуда следует, что всякая функция $-1/|x-a|$ с точностью до констант равномерно внутри $D$ приближается суммами $\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{|x-x^n_k|}$. Как показано в [68], асимптотически нейтральные семейства существуют для всякой области, граница которой есть ляпуновская поверхность, допускающая в каждой своей точке локальную параметризацию, для которой все частные производные 3-го порядка удовлетворяют условию Гёльдера. Если бы удалось доказать, что всякая ограниченная область со связным дополнением в ${\mathbb R}^3$ допускает асимптотически нейтральные семейства точек, то теорема 3.22 превратилась бы в полный аналог теоремы Кореваара. Другое обобщение наипростейших дробей – так называемые $h$-суммы. В. И. Данченко в работе [31] начал исследовать аппроксимативные свойства сумм вида где $h$ – фиксированная функция комплексного переменного, голоморфная в окрестности нуля, а $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ – произвольные комплексные числа. Эти суммы являются естественным обобщением наипростейших дробей (получающихся в частном случае $h(z)=1/(z-1)$). В дальнейшем интерполяционные и другие свойства сумм (3.10) исследовались В. И. Данченко и его учениками [26], [28], [33], [52].В работе [31], в частности, доказан такой результат. Теорема 3.23 (В. И. Данченко [31]). Пусть функция $h$ голоморфна в единичном круге $U=\{z\colon |z|<1\}$, $h(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty h_n z^n$. Если для некоторого $a>0$ и функции $f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f_n z^n$ выполнены неравенства $|f_n|\leqslant |h_n| a^n$, $n=0,1,2,\dots$ (так что $f$ голоморфна в круге $|z|<1/a$), то найдутся такие числа $\lambda_{nk}$, $k=1,\dots,n$, $n=1,2,\dots$, что $|\lambda_{nk}|\leqslant 2a$ при всех $n$ и $k$ и суммы сходятся к $f(z)$ равномерно внутри круга $|z|<1/(2a)$. При этом В. И. Данченко указал способ вычисления параметров $\lambda_{nk}$ (фактически сумма $H_n$ интерполирует функцию $f$ в нуле с кратностью $n$) и скорость сходимости $H_n$ к $f$ на компактах из круга $|z|<1/(2a)$. В связи с теоремой 3.23 возникает естественный вопрос о возможности приближения суммами (3.10) всех функций, голоморфных в том же круге, в каком голоморфна порождающая их функция $h$. Для заданной функции $h$, голоморфной в $U$, функция $\lambda h(\lambda z)$ голоморфна в $D$ при любом $\lambda\in \overline{U}$. Поэтому естественно ставить задачу о плотности в пространстве $A(U)$ множества
$$
\begin{equation*}
S(h,E)=\biggl\{\,\sum_{k=1}^n \lambda_k h(\lambda_k z)\colon \lambda_k\in E, n\in {\mathbb N}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $h$ – голоморфная в $U$ функция, а $E$ – компактное подмножество замкнутого единичного круга $\overline{U}$. Ниже $\widehat{E}$, как обычно, обозначает объединение компакта $E$ со всеми ограниченными компонентами связности дополнения ${\mathbb C} \setminus E$. Теорема 3.24 (П. А. Бородин [13]). Пусть задан компакт $E\subset \overline{U}$. (1) Если $0\notin \widehat{E}$, то для всякой функции $h\in A(U)$ суммы $S(h,E)$ не плотны в пространстве $A(U)$. (2) Если $0\in \widehat{E}\setminus E$ или $0\in E^\circ$, то для всякой функции $h\in A(U)$, все коэффициенты ряда Тейлора которой отличны от нуля, множество $S(h,E)$ плотно в $A(U)$. (3) В случае $0\in E\setminus E^\circ$ множество $S(h,E)$ может быть как плотным, так и не плотным в $A(U)$. При $h(z)=1/(z-1)$ эта теорема приводит к утверждению: наипростейшие дроби $\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{z-a_k}$ с полюсами $a_k\in E^{-1}=\{\lambda^{-1}\colon \lambda\in E\}\subset {\mathbb C}\setminus U$ плотны в пространстве $A(U)$ при условии $U\subset \widehat{E^{-1}}\setminus E^{-1}$. Это утверждение является следствием теоремы Кореваара. Было бы интересно уточнить утверждение (3) теоремы 3.24 в терминах предельных аргументов точек компакта $E$ в нуле, наподобие теоремы 3.8. Приведем еще результат о приближении на замкнутом круге. Теорема 3.25 (П. А. Бородин [11]). Пусть голоморфная в единичном круге $U$ функция $h$ имеет ряд Тейлора $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty h_n z^n$ с коэффициентами, удовлетворяющими следующим условиям: Тогда суммы $S(h,\partial U)$ плотны в пространстве $\operatorname{AC}(\overline{U})$. Условия $h_n\ne0$ в теоремах 3.24 и 3.25 являются необходимыми: если $h_n=0$ для какого-то $n$, то у всякой суммы (3.10) $n$-й коэффициент Тейлора равен нулю и функция $z^n$ не приближается этими суммами. В контексте теории приближения наипростейшими дробями и их обобщениями вполне разумной представляется задача о приближении разностями $r_1- r_2$ наипростейших дробей (логарифмическими производными рациональных функций) при условии, что полюсы дроби $r_1$ лежат в заданном множестве $E^+$, а полюсы $r_2$ лежат в множестве $E^-$, причем $E^+\cap E^-=\varnothing$. Такая постановка имеет естественную физическую интерпретацию. Если вспомнить, что наипростейшая дробь с полюсами $\{a_k\}$ комплексно сопряжена функции напряженности плоского электростатического поля, создаваемого одинаковыми одноименными зарядами, расположенными в точках $a_k$ [60; гл. 3, § 2], то указанные разности $r_1-r_2$ соответствуют полям, создаваемым разноименными одинаковыми по величине зарядами, естественно помещаемыми в разные места комплексной плоскости (“конденсатор”). Приведем результат о равномерном приближении на компакте посредством дробей $r_1-r_2$ указанного типа. Примечательно, что для плотности таких дробей в пространстве $\operatorname{AC}(K)$ множествам $E^+$ и $E^-$ не надо “окружать” компакт $K$. Теорема 3.26 (П. А. Бородин [10]). Пусть двусвязная область $D\subset \overline{\mathbb C}$ имеет связные компоненты границы $E^+,E^-\subset{\mathbb C}$, и пусть компакт $K$ со связным дополнением лежит в ${\mathbb C}\setminus \overline{D}$. Тогда дроби вида плотны в пространстве $\operatorname{AC}(K)$. Следствие 3.27. Пусть $E^+$ и $E^-$ – взаимно внешние замкнутые жордановы кривые и компакт $K$ со связным дополнением лежит в объединении внутренностей $\operatorname{Int} E^+\cup \operatorname{Int}E^-$ этих кривых. Тогда функции вида плотны в пространстве $\operatorname{AC}(K)$. Нетрудно привести пример, показывающий, что в этом следствии условие на компакт $K$ существенно. Пусть $E^+$ и $E^-$ – две взаимно внешние окружности одинакового радиуса с центрами $-1$ и $1$ соответственно, $K=\{0\}$. Тогда все дроби из следствия 3.27 имеют положительные действительные части в точке $0$, а значит, не плотны в пространстве $\operatorname{AC}(K)={\mathbb C}$. Отметим, что при допущении $E^+\cap E^-=E\ne\varnothing$ вопрос о плотности указанных выше разностей $r_1-r_2$ наипростейших дробей решается проще, поскольку в этом случае в нашем арсенале имеется целая подгруппа, порожденная множеством $\{\pm 1/(z-a)\colon a\in E\}$, и можно применять теорему 2.18. Первые теоремы такого рода для специальных $E$ получены в [64]. Приведем довольно общий результат о приближении плюс-минус-сдвигами одной голоморфной функции с особенностями. Теорема 3.28 (П. А. Бородин [9]). Пусть $K\subset {\mathbb C}$ – компакт со связным дополнением, ненулевая функция $f(z)$ голоморфна вне другого компакта $F$, $f(\infty)=0$ и третий связный компакт $E$ лежит в неограниченной компоненте связности множества $\{a\in {\mathbb C}\colon (F+a)\cap K=\varnothing\}$. Если $E$ является множеством единственности для гармонических функций (любые две функции, гармонические в некоторой области $D\supset E$ и совпадающие на $E$, совпадают всюду в $D$), то конечные суммы функций $\pm f(z-a)$, $a\in E$, плотны в пространстве $\operatorname{AC}(K)$. В частном случае $f(z)=1/z$ получается такое утверждение: если компакт $K$ не разбивает плоскость, а не пересекающийся с ним связный компакт $E$ является множеством единственности для гармонических функций, то конечные суммы функций $\pm 1/(z-a)$, $a\in E$, плотны в пространстве $\operatorname{AC}(K)$. Отметим еще, что приближения такими суммами на компактах $K$ с естественным ограничением $E={\mathbb C}\setminus K$ интересны с количественной точки зрения – скорость приближения в этом случае гораздо лучше, чем при приближении наипростейшими дробями [50]. Теорема 3.28 подводит к мысли о наиболее естественном обобщении наипростейших дробей – суммах сдвигов одной функции. Задача о плотности таких сумм рассматривается в следующем разделе. 4. Приближение суммами сдвигов одной функцииПолнота (плотность линейной оболочки) системы сдвигов одной функции или одного вектора в пространстве последовательностей исследовалась начиная с классической работы Н. Винера [79]. Необходимым, а зачастую и достаточным условием полноты является отличие от нуля “коэффициентов разложения” функции по “собственным функциям” оператора сдвига. Например, в случае окружности это обычные коэффициенты Фурье, в случае прямой – значения преобразования Фурье. Для плотности сумм сдвигов с коэффициентами 1 или $\pm 1$ это условие сохраняется как необходимое. 4.1. Сдвиги на окружностиДля всякой $2\pi$-периодической действительнозначной функции $f\in L_p({\mathbb T}:=[0,2\pi))$ суммы сдвигов
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N f(t+a_k), \qquad a_k\in \mathbb{R}, \quad N=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
не могут быть плотны во всем пространстве $L_p({\mathbb T})$: если среднее значение $\displaystyle\int_{\mathbb T} f(t)\, dt$ функции $f$ равно $\alpha$, то суммами (4.1) не могут быть приближены функции, у которых среднее значение не принадлежит множеству $\{n\alpha\colon n\in{\mathbb N}\}$. Поэтому можно ставить вопрос лишь о плотности в подпространстве $L_p^0({\mathbb T})$ функций с нулевым средним. Полугруппа (4.1) порождена замкнутой кривой $\{f(t+a)\colon a\in [0,2\pi]\}$, поэтому можно применять теорему 2.11. Разносторонность этой кривой в действительном $L_p^0({\mathbb T})$ равносильна тому, что коэффициенты Фурье $c_n$ функции $f$ не равны нулю при $n\in {\mathbb Z}\setminus \{0\}$, а спрямляемость, скажем, в $L_2^0({\mathbb T})$ равносильна условию $\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{Z}}|n|^2 |c_n|^2<\infty$, так что при этих условиях теорема 2.11 дает плотность. Однако можно доказать более точный результат. Теорема 4.1 (П. А. Бородин [11]). Пусть $1\leqslant p<\infty$ и $2\pi$-периодическая функция $f$ из действительного пространства $L_p({\mathbb T})$ имеет ряд Фурье коэффициенты которого удовлетворяют следующим условиям: (a) $c_0=0$, $c_n\ne 0$ для всех $n\in {\mathbb Z}\setminus \{0\}$; (b) $\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{Z}}|n|\, |c_n|^2<\infty$, если $1\leqslant p\leqslant 2$, $\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{Z}}|n|\,|c_n|^q<\infty$, если $2\leqslant p <\infty$ ($1/p+1/q=1$). Тогда суммы (4.1) плотны в действительном пространстве Для разности индикаторов $f=I_{[0,\alpha]}-I_{[2\pi-\alpha,2\pi)}$ при почти всех $\alpha$ выполнены условия (a) теоремы 4.1, но суммы сдвигов (4.1) принимают только целые значения и не плотны в $L_p^0(\mathbb{T})$. Этот пример показывает, что условие (b) в теореме 4.1 нельзя заменить на условие $|c_n|=O(1/n)$ ($n\to \infty$). Другим подпирающим примером является линейная функция. Пример 4.2 (П. А. Бородин [11]). Рассмотрим функцию $f\colon {\mathbb T}\to {\mathbb R}$, $f(t)=t-\pi$, и периодически продолжим ее на всю действительную прямую. Эта функция имеет ряд Фурье Более того, как показано в работе [11], для всякой функции $f$ из пространства $L_p^0({\mathbb T})$ ($2\leqslant p<\infty$), коэффициенты Фурье которой удовлетворяют неравенствам $|c_n|\geqslant 1/|n|$ ($n\in {\mathbb Z}\setminus \{0\}$), суммы (4.1) не плотны в $L_p^0({\mathbb T})$. Непонятно, справедливо ли это утверждение в случае $1\leqslant p<2$. Для равномерной нормы на окружности имеется следующий результат. Теорема 4.3 (П. А. Бородин [11]). Пусть $2\pi$-периодическая действительнозначная непрерывная функция $f$ имеет ряд Фурье $\displaystyle\sum_{n\in {\mathbb Z}} c_ne^{int}$, коэффициенты которого удовлетворяют следующим условиям: (a) $c_0=0$, $c_n\ne 0$ для всех $n\in {\mathbb Z}\setminus \{0\}$; (b) $\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{Z}}|n|^2 |c_n|^2<\infty$ (т. е. $f$ абсолютно непрерывна и $f'\in L_2(\mathbb{T})$). Тогда суммы (4.1) плотны в действительном пространстве с равномерной нормой.Непонятно, можно ли заменить в теореме 4.3 условие (b) на условие абсолютной непрерывности функции $f$. Как показано в [11], для всякой непрерывной функции $f(t)=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}} c_n e^{int}$ с условием $|c_n|\geqslant 1/|n|$, $n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ (такая функция существует по теореме де Лю–Кацнельсона–Кахана [48; гл. 10, § 2]), суммы (4.1) не плотны в пространстве $C_0(\mathbb{T})$. Это, впрочем, ничего не говорит о точности условия (b) в теореме 4.3. Теоремы 4.1 и 4.3 не переносятся на комплексный случай. Тем не менее их естественные аналоги справедливы для пространств аналитических функций. Напомним, что пространство Харди $H_p({\mathbb T})$ ($1\leqslant p <\infty$) состоит из функций комплексного пространства $L_p({\mathbb T})$, коэффициенты Фурье которых равны нулю для отрицательных индексов. Это пространство изометрически изоморфно пространству Харди $H_p(|z|<1)$ аналитических в единичном круге функций. Теорема 4.4 (П. А. Бородин [11]). Пусть $1\leqslant p<\infty$ и функция $f\in H_p({\mathbb T})$ имеет ряд Фурье $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_ne^{int}$, коэффициенты которого удовлетворяют следующим условиям: (a) $c_0=0$, $c_n\ne 0$ для всех $n=1,2,\dots$; (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n|c_n|^2<\infty$, если $1\leqslant p\leqslant 2$, и $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n|c_n|^q<\infty$, если $2 \leqslant p<\infty$ ($1/p+1/q=1$). Тогда суммы (4.1) плотны в пространстве Условие $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n|c_n|^2<\infty $ в п. (b) имеет геометрическую интерпретацию: соответствующая функция $f(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty c_n z^n$ отображает единичный круг на область конечной площади (с учетом кратностей наложения). Функция
$$
\begin{equation*}
f(t)=\ln (1-e^{it})=\sum_{n=1}^\infty \biggl(-\frac{1}{n}\biggr)e^{int}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит пространству $H_2^0(\mathbb{T})$ и удовлетворяет условию (a) теоремы 4.4, но суммы ее сдвигов не плотны в этом пространстве [11]. Этот пример показывает, что условие (b) в теореме 4.4 нельзя заменить на условие $|c_n|=O(1/n)$ ($n\to \infty$). Аналог теоремы 4.3 получен для пространства $\operatorname{AC}(\overline{U})$ функций, непрерывных на замкнутом круге $\overline{U}=\{z\colon |z|\leqslant 1\}$ и аналитических в его внутренних точках. Теорема 4.5 (П. А. Бородин [11]). Пусть функция $f\in \operatorname{AC}(\overline{U})$ имеет ряд Тейлора $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_nz^{n}$, коэффициенты которого удовлетворяют следующим условиям: (a) $c_0=0$, $c_n\ne 0$ для всех $n=1,2,\dots$; (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^2 |c_n|^2<\infty$ (производная $f'$ принадлежит пространству Харди $H_2$ в круге). Тогда суммы плотны в пространствеИмеются оценки скорости приближения суммами сдвигов одной функции на окружности [11]. Приведем одну из таких оценок. Пусть $f_0$ есть $2\pi$-периодическая функция, заданная на $[0,2\pi)$ равенством Нетрудно проверить, что $f_0\in L_2^0({\mathbb T})$. Если функция $h\in L_2^0({\mathbb T})$ имеет интегральный модуль непрерывности $\omega_2(h,\delta)\leqslant C\delta^\alpha$ для некоторого $\alpha\in (0,1]$, то для всякого достаточно большого $N$ найдется такая сумма $S_q(t)=\displaystyle\sum_{j=1}^q\bigl(\pm f_0(t-a_j)\bigr)$, что $q\leqslant N$ и
$$
\begin{equation*}
\|h-S_q\|\leqslant \frac{A}{N^{\alpha/(3-\alpha)}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $A$ – константа, зависящая лишь от $C$. Непонятно, насколько точна эта оценка. Теорему 4.5 также можно дополнить количественным результатом, который выводится из теоремы 5 работы [52]. А именно, если коэффициенты Тейлора функции $f(z)=\displaystyle\sum c_n z^n\in \operatorname{AC}_0(\overline{U})$ удовлетворяют неравенствам при некоторых $A>0$, $s>0$, то всякая функция $g(z)=\displaystyle\sum g_n z^n\in \operatorname{AC}_0(\overline{U})$ с коэффициентами $|g_n|=O(n^{-1-s})$ ($n\to\infty$) приближается суммами $\displaystyle\sum_{k=1}^N f(e^{ia_k}z)$, $a_k\in \mathbb{R}$, равномерно на замкнутом круге со скоростью $O(N^{-s})$.Безусловно, количественные вопросы приближений суммами сдвигов одной функции на окружности требуют дальнейшего исследования. 4.2. Сдвиги на прямойТеорема 4.6 (П. А. Бородин [17]). Существует такая функция $f\colon{\mathbb R}\to {\mathbb R}$, что суммы ее сдвигов плотны во всех действительных пространствах $L_p({\mathbb R})$, $2\leqslant p<\infty$, а также в пространстве $C_0({\mathbb R})$. Этот результат существенно опирается на теорему С. В. Конягина о существовании тригонометрических многочленов с натуральными коэффициентами, сходящихся к нулю почти всюду (теорема 5.6 ниже). Непонятно, верна ли теорема 4.6 при $1<p<2$. При $p=1$ она заведомо неверна, поскольку сдвиги одной функции не образуют разностороннего множества в $L_1({\mathbb R})$: функционал $f\mapsto \displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)\, dx$ на всех этих сдвигах принимает значения одного знака. В пространстве $L_\infty({\mathbb R})$, где аналог теоремы 4.6 также неверен, роль запрещающего функционала играет банахов предел на $+\infty$ [17]. В комплексных пространствах $L_p({\mathbb R})$ аналог теоремы 4.6 неверен [17], однако он справедлив для пространств Харди в полуплоскости. Теорема 4.7 (Н. А. Дюжина [37]). Существует функция $f$, определенная в замкнутой верхней полуплоскости, для которой суммы действительных сдвигов плотны во всех пространствах Харди $H_p$ в верхней полуплоскости при $2\leqslant p<\infty$, а также в пространстве функций, аналитических в верхней полуплоскости, непрерывных в ее замыкании и стремящихся к нулю на бесконечности. Доказательство теоремы 4.7 идейно повторяет доказательство теоремы 4.6, но технически во многом отличается от него. Функции в теоремах 4.6 и 4.7 явно не выписываются. Однако если приближать подгруппой, порожденной плюс-минус-сдвигами одной функции, то можно указать целые классы функций, для которых такая подгруппа плотна в соответствующем пространстве. Теорема 4.8 (П. А. Бородин [9]). Если для функции $f$ из действительного пространства $L_2({\mathbb R})$ преобразование Фурье $\widehat f$ обращается в нуль на множестве нулевой меры Лебега на ${\mathbb R}$ и интегральный модуль непрерывности обладает свойством $\omega^2_2(f,\delta)=o(\delta)$ при $\delta\to 0$ (например, если $f$ – финитная липшицева функция), то конечные суммы функций $\pm f(t-\lambda)$, $\lambda\in {\mathbb R}$, плотны в пространстве $L_2({\mathbb R})$. Существенность и точность условия на интегральный модуль непрерывности функции $f$ в теореме 4.8 показывает пример функции $f=I_{[0,1]}$ (порожденная сдвигами этого индикатора подгруппа в $L_2({\mathbb R})$ состоит только из целозначных функций и не совпадает с $L_2({\mathbb R})$, а $\omega_2^2(I_{[0,1]},\delta)=O(\delta)$). Интересно, что приближения суммами плюс-минус-сдвигов одной функции на прямой активно исследуются в рамках так называемой $\Sigma\Delta$-квантизации. Приведем один типичный результат [34]. Пусть $\lambda>1$ и функция $g$ является преобразованием Фурье бесконечно дифференцируемой функции с носителем на $[-\lambda \pi,\lambda\pi]$, равной $1/\sqrt{2\pi}$ на отрезке $[-\pi, \pi]$. Тогда для всякого $k\in {\mathbb N}$ и для всякой функции $f$, являющейся преобразованием Фурье конечной меры с носителем на $[-\pi,\pi]$ и удовлетворяющей неравенству $\|f\|_\infty<1$, найдутся такие эффективно вычисляемые $q_n^{(k)}\in\{-1,1\}$, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|f(t)-\frac{1}{\lambda}\sum_n q_n^{(k)} g\biggl(t-\frac{n}{\lambda}\biggr)\biggr\|_\infty\leqslant \frac{C(g,k)}{\lambda^k}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Как видно, здесь дополнительно квантуются размеры возможных сдвигов. Следующий в некотором смысле родственный результат о приближениях суммами комплексных плюс-минус-сдвигов функции $1/x$ (т. е. разностями наипростейших дробей) был получен М. А. Комаровым в [54]. Пусть действительнозначная функция $f\in C_0({\mathbb R})\cap L_1({\mathbb R})$ удовлетворяет условию Липшица порядка $\alpha\in (0,1)$ и имеет преобразование Гильберта $Hf\in L_1({\mathbb R})$. Тогда для всякого $n=2,3,\dots$ найдутся такие эффективно определяемые множества $\{a_1,\dots,a_{2n}\}$ и $\{b_1,\dots,b_{2n}\}$ комплексных точек, симметричные относительно действительной оси, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|f(t)-\frac{\|Hf\|_{L_1({\mathbb R})}}{4\pi n} \biggl(\,\sum_{j=1}^{2n} \frac{1}{t-a_j}- \sum_{j=1}^{2n} \frac{1}{t-b_j}\biggr)\biggr\|_\infty\leqslant \frac{C(f)}{n^{\alpha/(1+\alpha)}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В связи с этими результатами было бы интересно получить оценки скорости приближения функций из каких-то классов суммами произвольных плюс-минус-сдвигов одной функции из теоремы 4.8. 4.3. Сдвиги на решеткеВ пространствах двусторонних последовательностей $x=(\dots,x_{-1},x_0,x_1,x_2,\dots)$ определен оператор (правого) сдвига $T$: $(Tx)_n=x_{n-1}$, $n\in {\mathbb Z}$. Теорема 4.9 (П. А. Бородин [12]). В действительном пространстве $\ell_2({\mathbb Z})$ двусторонних последовательностей существует такой элемент $v$, что конечные суммы $\displaystyle\sum T^{n_k}v$ его сдвигов плотны во всех действительных пространствах $\ell_p({\mathbb Z})$, $2\leqslant p< \infty$, а также в действительном пространстве $c_0({\mathbb Z})$. Этот результат также существенно использует теорему С. В. Конягина (теорема 5.6 ниже). Непонятно, справедлив ли он в случае $1<p<2$. В пространствах $\ell_1({\mathbb Z})$, $\ell_\infty({\mathbb Z})$ и $c({\mathbb Z})$ (двусторонние последовательности, имеющие предел в обе стороны, с равномерной нормой) сдвиги одного вектора образуют не разностороннее множество, и их суммы не плотны [12]. Доказательство теоремы 4.9 не позволяет предъявить конкретный вектор, суммы сдвигов которого плотны в действительном $l_2({\mathbb Z})$. Задача построения такого вектора остается открытой. Не так просто придумать и ненулевой вектор, нормы сумм сдвигов которого принимали бы сколь угодно малые значения. В следующем утверждении приводится пример такого вектора и описывается подпространство в $l_2({\mathbb Z})$, “заполняемое” суммами его сдвигов. Теорема 4.10 (П. А. Бородин [12]). Для вектора (представляющего собой последовательность тригонометрических коэффициентов Фурье функции $\sqrt{\pi/2}\,I_{[-2\pi/3,-\pi/3]\cup[\pi/3,2\pi/3]}$) суммы сдвигов стремятся к нулю в $l_2({\mathbb Z})$, а замыкание множества всех сумм его сдвигов есть линейное подпространство коэффициентов Фурье функций из $L_2({\mathbb T})$, имеющих действительные коэффициенты Фурье и носитель на двух дугах $[-2\pi/3,-\pi/3]\cup[\pi/3,2\pi/3]$. 4.4. Возможные обобщенияН. А. Дюжина в работе [39] обобщила теоремы 4.1, 4.6 и 4.9 на многомерный случай. А именно, в действительных пространствах $L_p^0(\mathbb{T}^d)$ функций с нулевым средним значением на $d$-мерном торе при всех $p\in (1,\infty)$ плотны суммы сдвигов всякой фиксированной функции с ненулевыми и достаточно быстро убывающими коэффициентами Фурье. В действительных пространствах $L_p(\mathbb{R}^d)$ и $l_p(\mathbb{Z}^d)$ при $2\leqslant p<\infty$ существуют соответственно функция и вектор с плотными суммами сдвигов. Пространства $L_p$ и сдвиги функций определены на всякой локально компактной абелевой группе. Поэтому сформулированные выше результаты естественно приводят к задаче описания локально компактных абелевых групп $G$, на которых существуют функции с плотным в $L_2(G)$ (или в $L_2^0(G)$, если $G$ компактна) множеством сумм сдвигов. Здесь $L_2(G)$ обозначает пространство действительных функций, интегрируемых с квадратом на $G$ по мере Хаара. Попытка обобщить теорему 4.8 о плотности сумм плюс-минус-сдвигов одной функции на локально компактные группы была предпринята в [75], но сформулированное в этой работе утверждение (следствие 2.11) ошибочно. Конечно, можно не ограничиваться локально компактными группами, а рассматривать задачу о плотности сумм сдвигов одной функции на всяком множестве, где эти сдвиги имеются в достаточном количестве, – например, на $d$-мерной сфере. В ${\mathbb R}^d$ можно рассматривать не только сдвиги, но и сжатия и вообще произвольные семейства линейных преобразований переменных. Например, для заданной функции $f$ одной переменной можно ставить задачу о плотности сумм
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^n f(w_k\cdot x-a_k), \qquad x\in E\subset {\mathbb R}^d,\quad w_k\in W\subset {\mathbb R}^d,\quad a_k\in A\subset {\mathbb R}^d
\end{equation*}
\notag
$$
(суммы ридж-функций, порожденных одной функцией, с коэффициентами 1), в различных пространствах функций на множествах $E$. Приведем один недавний результат о приближении суммами сдвигов и сжатий одной функции. Теорема 4.11 (В. И. Филиппов [43]). Пусть $1\leqslant p< \infty$, функция $\psi\colon{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ имеет носитель на отрезке $[0,1]$, $\psi\in L_p[0,1]$ и $\displaystyle\int_0^1 \psi(t)\,dt\ne0$. Положим Тогда всякая функция $g\in L_p[0,1]$ раскладывается в ряд $\displaystyle\sum_n a_n\psi_n$ с целыми коэффициентами, сходящийся к $g$ по норме $L_p[0,1]$. Для простоты мы сформулировали здесь одномерный результат, в [43] соответствующее утверждение доказывается для $d$-мерного куба $[0,1]^d$ при произвольном $d$. Любопытно, что в гильбертовом случае $p=2$ теорема 2.27 дает разложение произвольной функции $g\in L_2[0,1]$ в ряд другого вида, а именно в ряд $\displaystyle\sum \varepsilon_k \psi_{n_k}$, где $\varepsilon_k\in\{\pm 1\}$, а среди индексов $n_k$ возможны повторения. Действительно, покажем, что множество $\{\pm \psi_n\}$ уменьшает норму в $L_2[0,1]$. Если это не так, то найдется ненулевая функция $g\in L_2[0,1]$, для которой при всех $n$
$$
\begin{equation}
\|g\pm \psi_n\|^2\geqslant \|g\|^2\quad\Longleftrightarrow\quad |\langle g, \psi_n \rangle|\leqslant \frac{\|\psi_n\|^2}{2}= \frac{\|\psi\|^2}{2^{3k+1}}\,.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Положим $\delta=\displaystyle\int_0^1 \psi(t)\,dt\ne0$. Для всякого отрезка
$$
\begin{equation*}
\Delta_n=\operatorname{supp}\psi_n= \biggl[\frac{j}{2^k}\,,\frac{j+1}{2^k}\biggr]
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{\Delta_n}g(t)\delta\,dt&=\int_{\Delta_n}g(t)(\delta-2^k\psi_n(t))\,dt+ \int_{\Delta_n} g(t)\,2^k\psi_n(t)\,dt \\ &=\int_{\Delta_n} (g(t)-g_n)(\delta-2^k\psi_n(t))\,dt+ \int_{\Delta_n} g(t)\,2^k\psi_n(t)\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где – среднее значение функции $g$ на $\Delta_n$. Пусть $\Delta\subset[0,1]$ – произвольный двоично-рациональный отрезок. При достаточно больших $k$ отрезок $\Delta$ замощается отрезками $\Delta_n$, $n=2^k+j$, с фиксированным $k$. Обозначая $1/2^k$-периодическое продолжение функции $\psi(2^kt)$ на $[0,1]$ через $\Psi_k$ и суммируя равенства (4.5) по всем выбранным $n$, получим
$$
\begin{equation*}
\delta\int_{\Delta} g(t)\,dt=\int_{\Delta}\biggl(g(t)- \sum_n g_nI_{\Delta_n}(t)\biggr)(\delta-\Psi_k(t))\,dt+ \sum_n\int_{\Delta_n} g(t)\,2^k\psi_n(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя сумма не превосходит $\|\psi\|^2/2^{k+1}$ в силу (4.4), а первое слагаемое не превосходит
$$
\begin{equation*}
\biggl\|g-\sum_n g_nI_{\Delta_n}\biggr\|_{L_2(\Delta)}\cdot \|\delta- \Psi_k\|_{L_2(\Delta)}\to 0 \qquad (k\to \infty),
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку
$$
\begin{equation*}
\|\delta-\Psi_k\|^2_{L_2(\Delta)}\leqslant \|\delta-\Psi_k\|^2_{L_2[0,1]}=\|\psi\|^2-\delta^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\displaystyle\int_{\Delta} g\,dt=0$ для всякого двоично-рационального $\Delta$, откуда следует, что $g=0$, – противоречие. Теоремы 4.11 и 2.27 дают различные способы разложения в ряд по системе $\{\psi_n\}$ в пространстве $L_2[0,1]$. Было бы интересно сравнить эти способы по скорости сходимости на модельном примере $\psi=I_{[0,1]}$. С другой стороны, возникает дополнительный стимул для обобщения теоремы 2.27 на банаховы пространства. Приведем еще один новый результат, обобщающий теорему 4.1 на двумерный тор. Он интересен прежде всего тем, что доставляет положительное решение задачи 2.16 в частном случае. Теорема 4.12 (П. А. Бородин). Предположим, что действительнозначная функция $f(x,y)$, заданная на двумерном торе $\mathbb{T}^2=[0,2\pi)\times [0,2\pi)$ и $2\pi$-периодически по обеим переменным продолженная на всю плоскость, имеет ряд Фурье коэффициенты которого удовлетворяют следующим условиям: (a) $c_{00}=0$, $c_{mn}\ne 0$ при $m^2+n^2>0$; (b) $\displaystyle\sum_{m,n\in \mathbb{Z}}(m^2+n^2)|c_{mn}|^2<\infty$ (т. е. функция $f$ имеет липщицев модуль непрерывности в $L_2(\mathbb{T}^2)$). Тогда суммы плотны в действительном пространствеУсловие (b) здесь слабее, чем соответствующее условие
$$
\begin{equation*}
\sum_{m,n\in \mathbb{Z}}(\max\{m,n\})^3 |c_{mn}|^2<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
в работе [39]. Однако в [39] рассматриваются суммы сдвигов в $L_p^0(\mathbb{T}^d)$ с произвольными $p\in (1,\infty)$ и $d\in {\mathbb N}$. Доказательство. 1. Достаточно приблизить указанными суммами нулевую функцию, т. е. для всякого $\varepsilon>0$ подобрать такие $\zeta_k=e^{i\alpha_k}$, $\xi_k=e^{i\beta_k}$, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^N f(x+\alpha_k,y+\beta_k)\biggr\|= \sum_{m,n\in \mathbb{Z}}\biggl|\,\sum_{k=1}^N \zeta_k^m\xi_k^n\biggr|^2 |c_{mn}|^2<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Действительно, пару $\alpha_1$, $\beta_1$ в (4.7) можно считать произвольной наперед заданной (все $\alpha_k$, $\beta_k$ можно одинаково сдвинуть, не нарушая неравенства (4.7)), т. е. произвольный минус-сдвиг $-f(x+\alpha,y+\beta)$ может быть с любой точностью приближен суммами (4.6). Это означает, что замыкание полугруппы, составленной из сумм (4.6), является подгруппой в $L_2^0(\mathbb{T}^2)$. Указанная полугруппа порождена множеством которое является липшицевым образом квадрата (условие (b) равносильно тому, что $L_2$-модуль непрерывности функции $f$ удовлетворяет следующему условию: $\omega_2(f,\delta)=O(\delta)$ при $\delta\to 0$). Покажем, что это множество является разносторонним в $L_2^0(\mathbb{T}^2)$. Неравенство для функции $g\in L_2^0(\mathbb{T}^2)$ с коэффициентами Фурье $g_{mn}$ равносильно неравенству Стоящий слева в этом неравенстве ряд по переменным $\alpha$, $\beta$ абсолютно сходится к непрерывной функции с нулевым средним. Следовательно, эта функция тождественно равна нулю, а значит, $c_{mn} \overline{g_{mn}}=0$, что в силу условия (a) влечет равенство $g_{mn}=0$ при всех $m,n$.
Таким образом, если мы докажем неравенство (4.7), то теорема 2.18 даст плотность сумм (4.6) в $L_2^0(\mathbb{T}^2)$. 2. При $\zeta_k=\omega^{u(k-1)}$, $\xi_k=\omega^{v(k-1)}$, где $\omega=e^{2\pi i/N}$, а $u$ и $v$ – некоторые натуральные числа, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N\zeta_k^m\xi_k^n=\sum_{k=0}^{N-1}(\omega^{um+vn})^k\begin{cases} N, & um+vn \ \text{делится на} \ N, \\ 0, & um+vn \ \text{не делится на}\ N, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
так что выражение в (4.7) равно
$$
\begin{equation}
N^2\sum |c_{mn}|^2=N^2\sum\nolimits_{\rm I}|c_{mn}|^2+ N^2\sum\nolimits_{\rm II} |c_{mn}|^2,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где сумма слева берется по всем таким $m,n\in {\mathbb Z}$, что $um+vn$ делится на $N$, сумма $\displaystyle\sum\nolimits_{\rm I}$ берется по всем таким $m,n\in {\mathbb Z}$, что $um+vn=0$, а сумма $\displaystyle\sum\nolimits_{\rm II}$ – по всем таким $m,n\in {\mathbb Z}$, что $um+vn\ne0$ и $um+vn$ делится на $N$.
3. Чтобы оценить сумму $\displaystyle\sum\nolimits_{\rm I}$ в (4.8), рассмотрим следующий ряд:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{(u,v)=1}(u^2+v^2)\sum_{um+vn=0}|c_{mn}|^2&= \sum_{m,n\in{\mathbb Z}\colon mn<0} \biggl(\biggl(\frac{m}{(m,n)}\biggr)^2+ \biggl(\frac{n}{(m,n)}\biggr)^2\biggr)|c_{mn}|^2 \\ &<\sum_{m,n\in \mathbb{Z}}(m^2+n^2) |c_{mn}|^2<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{(u,v)=1}\frac{1}{u^2+v^2}&\geqslant \sum_{p\in \mathbb{P}}\, \sum_{u \colon p\nmid u}\frac{1}{u^2+p^2} \\ &=\sum_{p\in \mathbb{P}}\biggl(\,\sum_{u=1}^\infty\frac{1}{u^2+p^2}- \sum_{q=1}^\infty\frac{1}{p^2(q^2+1)}\biggr)\geqslant \sum_{p\in \mathbb{P}}\biggl(\frac{1}{p}-\frac{2}{p^2}\biggr)=\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{P}$ обозначает множество простых чисел. Следовательно, для всякого $\varepsilon>0$ и всякого $R>0$ найдется такая пара взаимно простых чисел $u$, $v$, что выполнены неравенства $u^2+v^2>R$ и
$$
\begin{equation*}
(u^2+v^2)^2\sum_{um+vn=0}|c_{mn}|^2< \frac{\varepsilon}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этих взаимно простых $u$, $v$ и всякого $N\leqslant u^2+v^2$ первая сумма $\displaystyle\sum\nolimits_{\rm I}$ в правой части (4.8)) меньше $\varepsilon/2$.
4. Найдем $N\leqslant u^2+v^2$, для которого мала и вторая сумма $\displaystyle\sum\nolimits_{\rm II}$ в правой части (4.8). Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{N=(u^2+v^2)/2}^{u^2+v^2}N^2\displaystyle\sum\nolimits_{\rm II}|c_{mn}|^2&\leqslant \sum_{m,n\colon |um+vn|\geqslant (u^2+v^2)/2} \biggl(\,\sum_{N|um+vn} N^2\biggr)|c_{mn}|^2 \\ &\leqslant \sum_{m,n\colon|um+vn|\geqslant (u^2+v^2)/2}2(um+vn)^2|c_{mn}|^2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
(мы использовали тот факт, что сумма квадратов делителей числа $K$ не превосходит $K^2+(K/2)^2+(K/3)^2+\dots\leqslant 2K^2$). Правая часть неравенства (4.9) оценивается сверху величиной
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2(u^2+v^2)\sum_{m,n\colon |um+vn|\geqslant (u^2+v^2)/2}(m^2+n^2)|c_{mn}|^2 \\ &\qquad\leqslant 2(u^2+v^2)\sum_{m,n\colon m^2+n^2\geqslant (u^2+v^2)/4} (m^2+n^2) |c_{mn}|^2 \\ &\qquad\leqslant 2(u^2+v^2)\sum_{m,n\colon m^2+n^2>R/4}(m^2+n^2) |c_{mn}|^2\leqslant \frac{u^2+v^2}{2}\, \frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно больших $R$. Поэтому найдется такое $N$ между $(u^2+v^2)/2$ и $u^2+v^2$, что
$$
\begin{equation*}
N^2\displaystyle\sum\nolimits_{\rm II} |c_{mn}|^2<\frac{\varepsilon}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для выбранных $u$, $v$, $N$ левая часть в (4.8) меньше $\varepsilon$, что и требовалось. Теорема 4.12 доказана. Было бы интересно обобщить теорему 4.12 на многомерный случай. Непонятно также, насколько точно условие (b) в этой теореме: разности индикаторов одинаковых по площади непересекающихся прямоугольников в ${\mathbb T}^2$ запрещают лишь условие $\displaystyle\sum_{m,n\in \mathbb{Z}}(m^2+n^2)^\gamma|c_{mn}|^2<\infty$, где $\gamma<1/2$. 5. Плотность многочленов с целыми коэффициентамиПриближение многочленами с целыми коэффициентами в различных пространствах функций – обширная тематика, богатая глубокими и тонкими результатами, которые можно найти в обзорах и книгах [46], [77], [42], [62; гл. 2]. Эти результаты существенно используют алгебраические свойства многочленов. Между тем вполне естественно ставить задачу о приближении линейными комбинациями с целыми коэффициентами по произвольной системе. В первую очередь возникает вопрос о плотности таких комбинаций. Задача 5.1. (i) Пусть $\{u_n\}_{n=1}^\infty$ – полная система элементов в банаховом пространстве $X$. Найти условия, необходимые или достаточные для того, чтобы подгруппа была плотна в $X$. (ii) Пусть $\{u_n\}_{n=1}^\infty$ – разносторонняя система элементов в банаховом пространстве $X$. Найти условия, необходимые или достаточные для того, чтобы полугруппа была плотна в $X$.Например, было бы интересно получить такие результаты в русле общей задачи 5.1, из которых вытекала бы следующая известная теорема. Теорема 5.2 (Э. Апарисио Бернардо [3], см. также [46]). Алгебраические многочлены с целыми коэффициентами плотны в действительном пространстве $L_2(\Delta)$ на отрезке $\Delta\subset {\mathbb R}$ тогда и только тогда, когда длина $\Delta$ меньше 4. Это утверждение существенно используется в доказательстве теоремы 4.9. Приведем некоторые первичные наблюдения в связи с задачей 5.1. Теорема 5.3 (П. А. Бородин, К. С. Шкляев). Пусть $\{u_n\}_{n=0}^\infty$ – полная система элементов в банаховом пространстве $X$, $Y_n=\operatorname{span}\{u_0,\dots,u_{n-1}\}$ при $n\geqslant 1$ и $Y_0=\{0\}$. (1) Если подгруппа $R(\{\pm u_n\})$ плотна в $X$, то (2) Если $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\operatorname{dist}(u_n,Y_n)<d$, то для всякого элемента $x\in X$ имеет место неравенство (3) Если пространство $X$ равномерно гладкое с модулем гладкости $s(\,\cdot\,)$, $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty s(\|u_n\|)<\infty$ и система $\{u_n\}_{n=m}^\infty$ полна в $X$ для всякого $m$, то подгруппа $R(\{\pm u_n\})$ плотна в $X$. (4) Если пространство $X$ равномерно гладкое с модулем гладкости $s(\,\cdot\,)$, $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty s(\|u_n\|)<\infty$ и система $\{u_n\}_{n=m}^\infty$ является разносторонней в $X$ для всякого $m$, то полугруппа $R(\{u_n\})$ плотна в $X$. Доказательство. (1) Пусть $\varepsilon>0$ и $k\in {\mathbb N}$. Возьмем какой-нибудь элемент $x$ с нормой $\|x\|=\varepsilon=\operatorname{dist}(x,Y_k)$ и приблизим его с точностью $\varepsilon/2$ элементом $u\in R(\{\pm u_n\}))$. Ясно, что $u\notin Y_k$, т. е. старший по номеру элемент $u_n$ в представлении $u$ в виде целочисленной комбинации конечного числа членов системы $\{u_j\}$ имеет номер $n\geqslant k$. Для этого $n$ имеем $\operatorname{dist}(u_n,Y_n)\leqslant \|u\|\leqslant 3\varepsilon/2$.
(2) Идея нижеследующего рассуждения восходит к С. Какэя [67]. Пусть Возьмем произвольный элемент $x\in X$ и приближающую его линейную комбинацию $\lambda_nu_n+\dots+\lambda_0u_0$. Вычитая из нее $(\lambda_n-[\lambda_n])p_n$, получим новую комбинацию $\lambda_n^1u_n+\dots+\lambda_0^1u_0$, в которой $\lambda_n^1=[\lambda_n]$ – целое. Из нее вычитаем $(\lambda_{n-1}^1-[\lambda_{n-1}^1])p_{n-1}$, получим комбинацию уже с двумя целыми коэффициентами. Продолжая так далее, получим целочисленную комбинацию, отличающуюся от исходной не более чем на
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^n\|p_k\|=\sum_{k=0}^n\operatorname{dist}(u_k,Y_k)<d.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку исходная комбинация приближала $x$ с произвольной точностью, получаем $\operatorname{dist}(x,R(\{\pm u_n\}))<d$.
(3) Пусть натуральное $m$ таково, что $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty s(\|u_n\|)<1$. Возьмем произвольный элемент $x\in X$ и приближающую его линейную комбинацию
$$
\begin{equation*}
u=\lambda_mu_m+\dots+\lambda_nu_n,\qquad n>m,\quad \|x-u\|<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим (здесь $\{\,\cdot\,\}$ обозначает дробную часть числа). По лемме 2.3 найдется такая комбинация $u''=\theta_mu_m+\dots+\theta_nu_n$, что $\theta_j\in \{0,1\}$ и
$$
\begin{equation*}
\|u'-u''\|\leqslant A\biggl(\,\max_{m\leqslant j\leqslant n}\|u_j\|+ \biggl(\,\sum_{j=m}^n s(\|u_j\|)\biggr)^\gamma\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянные $A$ и $0<\gamma\leqslant 1$ зависят только от функции $s(\tau)$. Поскольку $s(\|u_k\|)\to 0$, то и $\|u_k\|\to 0$, так что оба слагаемых в правой части стремятся к нулю при $m\to\infty$ и $\|u'-u''\|<\varepsilon$ при достаточно больших $m$. Следовательно, $\|x-(u-u'+u'')\|< 2\varepsilon$, причем $u-u'+u''\in R(\{\pm u_n\})$, поэтому $ R(\{\pm u_n\})$ плотно в $X$.
(4) Это утверждение доказывается аналогично (3), только на первом шаге для выбора приближающей линейной комбинации $u=\lambda_mu_m+\dots+\lambda_nu_n$ с неотрицательными коэффициентами надо воспользоваться леммой 2.1. Теорема доказана. Замечание 5.4. Условие $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty s(\|u_n\|)<\infty$ в утверждении (3) теоремы 5.3 нельзя заменить условием $\displaystyle\sum_{0}^\infty\operatorname{dist}(u_n,Y_n)<\infty$. Действительно, рассмотрим следующий пример в гильбертовом пространстве с ортонормированным базисом $\{e_n\}_{n=0}^\infty$. Положим где последовательность $p_n$ пробегает каждый из элементов $e_k/2^k$ бесконечно много раз, например, в следующем порядке: Ясно, что $Y_n=\operatorname{span}\{e_0,\dots,e_{n-1}\}$, $\operatorname{dist}(u_n,Y_n)=1/2^n$, а замыкание всякой подсистемы $\{u_n\}_{n=m}^\infty$ как множества содержит все элементы $e_k/2^k$, так что эта подсистема полна. В то же время у всех элементов подгруппы $R(\{\pm u_n\})$ коэффициенты Фурье квантованные: $k$-й коэффициент всегда кратен $1/2^k$.Следующее замечание показывает определенную точность утверждения (3) теоремы 5.3. Замечание 5.5. Для всякой последовательности найдется такая система $\{u_n\}_{n=0}^{\infty}$ элементов гильбертова пространства $H$, что $\|u_n\|^2=\alpha_n$ при всех $n$, система $\{u_n\}_{n=m}^\infty$ полна в $H$ для всякого $m$, но подгруппа $R(\{\pm u_n\})$ не плотна в $H$. Действительно, возьмем в качестве $H$ пространство $L_2$ на окружности ${\mathbb T}$. Расположим на ${\mathbb T}$ последовательность отрезков $\Delta_n$ с длинами $|\Delta_n|=\alpha_n$, приставляя каждый следующий к предыдущему в одном направлении. Положим $u_n=I_{\Delta_n}$. Равенство $\|u_n\|^2=\alpha_n$ очевидно. Полнота любой подсистемы $\{u_n\}_{n=m}^\infty$ следует из того, что в замыкании ее линейной оболочки лежит индикатор $I_\Delta$ всякого отрезка $\Delta\subset {\mathbb T}$: на очередном обходе окружности выбираемое должным образом объединение $\bigcup\limits_{n=k}^l\Delta_n$ последовательных отрезков сколь угодно мало отличается от $\Delta$ в силу условия $\alpha_n\to 0$. В то же время ясно, что подгруппа $R(\{\pm u_n\})$ состоит только из целозначных функций и не плотна в $L_2({\mathbb T})$. Из утверждения (1) теоремы 5.3 следует необходимость в теореме 5.2: многочлены Лежандра для отрезка $[a,b]$, составляющие ортонормированный базис в $L_2[a,b]$, имеют вид
$$
\begin{equation*}
L_n(x)=\frac{\sqrt{2n+1}\,(2n)!}{(b-a)^{n+1/2}(n!)^2}\,x^n+\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}(x^n,\operatorname{span}\{1,x,\dots,x^{n-1}\})= \frac{(b-a)^{n+1/2}(n!)^2}{\sqrt{2n+1}\,(2n)!} \asymp \biggl(\frac{b-a}{4}\biggr)^n, \qquad n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из утверждения (3) теоремы 5.3 следует плотность многочленов с целыми коэффициентами в пространстве $L_2[0,1]$ (надо взять $u_0=1$, $u_n=t^n-t^{n-1}$, $n=1,2,\dots$). Приведем еще один результат о тригонометрических многочленах с натуральными коэффициентами, который существенно используется в доказательстве теорем 4.6, 4.7 и 4.9. Теорема 5.6 (С. В. Конягин [17]). Существует последовательность тригонометрических многочленов где $k_s^{(\nu)}$ – целые и $n_s^{(\nu)}$ – натуральные, сходящаяся к нулю почти всюду. Эта очень трудная теорема вызывает естественный вопрос о существовании последовательности тригонометрических многочленов с натуральными коэффициентами, которая сходилась бы к нулю по норме $L_2$ или даже в равномерной норме на всяком отрезке $[\delta,2\pi-\delta]$, $\delta\in(0,\pi)$. Положительный ответ на этот вопрос позволил бы распространить теоремы 4.6 и 4.9 на все значения $p\in (1,\infty)$. Отметим, что существование последовательности тригонометрических многочленов с целыми коэффициентами, равномерно сходящейся к нулю на указанных отрезках, следует из результатов М. Фекете [41]. Можно задаться и следующим более конкретным вопросом. Задача 5.7. Верно ли, что для всякого $\delta>0$ найдется такой многочлен где $k_s$ – целые и $n_s$ – натуральные, что $|Q(x)| < 1$ при $x\in [\delta, 2\pi-\delta]$? Для $\delta=1.35$ такой многочлен найден Н. А. Дюжиной. В общем случае такой многочлен $Q_\delta$ дал бы последовательность $Q_\delta^n$ тригонометрических многочленов с натуральными коэффициентами, сходящуюся к нулю равномерно на $[\delta,2\pi-\delta]$.Авторы благодарны А. Р. Алимову, Н. А. Дюжиной, Б. С. Кашину, М. А. Комарову и Ю. А. Скворцову за ценные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorShk23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|