Аннотация:
Статья посвящена обзору результатов, связанных с известной проблемой
Бернсайда о периодических группах. Отрицательное решение этой проблемы
было впервые опубликовано в серии совместных статей П. С. Новикова
и автора в 1968 г. Созданная в этих работах теория преобразований слов
в свободных периодических группах и ее различные модификации являются
наиболее продуктивным подходом в исследованиях трудных проблем теории
групп. В 1950 г. от проблемы Бернсайда отпочковалась другая проблема,
относящаяся к конечным периодическим группам, которую сформулировал
В. Магнус под названием “Restricted Burnside problem”. Мы называем
эту проблему проблемой Бернсайда–Магнуса. Если в проблеме Бернсайда
вопрос ставился о локальной конечности периодических групп данного
периода, то в проблеме Бернсайда–Магнуса речь идет о существовании
максимальной конечной группы R(m,n) фиксированного периода n c
данным числом порождающих m. Эти проблемы как бы дополняют друг
друга.
Публикация в 1987 г. в совместной работе автора и А. А. Разборова
первого эффективного доказательства известного результата
А. И. Кострикина о существования групп R(m,n) при простых n c
указанием примитивно рекурсивной оценки порядков этих групп явилась
толчком для активизации исследований и по этой проблеме. Вскоре
появились и другие эффективные доказательства этого результата, а затем
Е. И. Зельманов распространил этот результат на случаи, когда n есть
степень простого числа. Этим исследованиям посвящен последний раздел
статьи.
Библиография: 105 названий.
Ключевые слова:
проблема Бернсайда, бесконечные периодические группы,
тождества в группах, периодические слова, лиевы алгебры,
проблема Бернсайда–Магнуса, условие Энгеля.
Образец цитирования:
С. И. Адян, “Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы”, УМН, 65:5(395) (2010), 5–60; Russian Math. Surveys, 65:5 (2010), 805–855
Anton Beletskiy, Ilya Ivanov-Pogodaev, “Combinatorial Estimations on Burnside Type Problems”, Mathematics, 12:5 (2024), 665
Dhiraj K. Pandey, Antonio R. Nicolosi, Lecture Notes in Computer Science, 14534, Innovative Security Solutions for Information Technology and Communications, 2024, 178
Vladimir I. Senashov, “m-aperiodic words on three-letter alphabet”, Siberian Aerospace Journal, 25:2 (2024), 176
И. А. Иванов-Погодаев, “Полугруппа путей на семействе равномерно эллиптических комплексов”, Функц. анализ и его прил., 57:2 (2023), 41–74; I. A. Ivanov-Pogodaev, “A semigroup of paths on a sequence of uniformly elliptic complexes”, Funct. Anal. Appl., 57:2 (2023), 117–142
Figelius M., Lohrey M., Zetzsche G., “Closure Properties of Knapsack Semilinear Groups”, J. Algebra, 589 (2022), 437–482
Atabekyan V.S., Gevorkyan G.G., “Central Extensions of N-Torsion Groups”, J. Contemp. Math. Anal.-Armen. Aca., 57:1 (2022), 26–34
В. С. Атабекян, Г. Г. Геворгян, “Центральные расширения n-крученых групп”, Proceedings of NAS RA. Mathematics, 2022, 19
В. С. Атабекян, Л. Д. Беклемишев, В. С. Губа, И. Г. Лысёнок, А. А. Разборов, А. Л. Семенов, “Вопросы алгебры и математической логики. Научное наследие С. И. Адяна”, УМН, 76:1(457) (2021), 3–30; V. S. Atabekyan, L. D. Beklemishev, V. S. Guba, I. G. Lysenok, A. A. Razborov, A. L. Semenov, “Questions in algebra and mathematical logic. Scientific heritage of S. I. Adian”, Russian Math. Surveys, 76:1 (2021), 1–27
И. А. Иванов-Погодаев, А. Я. Канель-Белов, “Конечно определенная нильполугруппа: комплексы с равномерной эллиптичностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:6 (2021), 126–163; I. A. Ivanov-Pogodaev, A. Ya. Kanel-Belov, “Finitely presented nilsemigroups: complexes with the property of uniform ellipticity”, Izv. Math., 85:6 (2021), 1146–1180
Ville Salo, Lecture Notes in Computer Science, 12286, Cellular Automata and Discrete Complex Systems, 2020, 111
Ivanov-Pogodaev I., Malev S., Sapir O., “A Construction of a Finitely Presented Semigroup Containing An Infinite Square-Free Ideal With Zero Multiplication”, Int. J. Algebr. Comput., 28:8, SI (2018), 1565–1573
Movsisyan Yu.M., “Hyperidentities and Related Concepts, I”, Armen. J. Math., 9:2 (2017), 146–222
С. И. Адян, “Новые оценки нечетных периодов бесконечных бернсайдовых групп”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Труды МИАН, 289, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 41–82; S. I. Adian, “New estimates of odd exponents of infinite Burnside groups”, Proc. Steklov Inst. Math., 289 (2015), 33–71
С. И. Адян, В. С. Атабекян, “Характеристические свойства и равномерная неаменабельность n-периодических произведений групп”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:6 (2015), 3–17; S. I. Adian, Varuzhan Atabekyan, “Characteristic properties and uniform non-amenability of n-periodic products of groups”, Izv. Math., 79:6 (2015), 1097–1110
George M. Bergman, Universitext, An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, 2015, 45
Daria V. Lytkina, Victor D. Mazurov, “Groups with given element orders”, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 7:2 (2014), 191–203
В. С. Атабекян, “Расщепляющие автоморфизмы порядка pk свободных бернсайдовых групп – внутренние”, Матем. заметки, 95:5 (2014), 651–655; V. S. Atabekyan, “Splitting Automorphisms of Order pk of Free Burnside Groups are Inner”, Math. Notes, 95:5 (2014), 586–589
V. L. Popov, “Jordan groups and automorphism groups of algebraic varieties”, Springer Proc. Math. Statist., 79 (2014), 185–213
В. С. Атабекян, “Расщепляющие автоморфизмы свободных бернсайдовых групп”, Матем. сб., 204:2 (2013), 31–38; V. S. Atabekyan, “Splitting automorphisms of free Burnside groups”, Sb. Math., 204:2 (2013), 182–189
А. Р. Чехлов, Мл. В. Агафонцева, “Об абелевых группах с центральными квадратами коммутаторов эндоморфизмов”, Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2013, № 4(24), 54–59
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: