Аннотация:
Статья посвящена обзору результатов, связанных с известной проблемой
Бернсайда о периодических группах. Отрицательное решение этой проблемы
было впервые опубликовано в серии совместных статей П. С. Новикова
и автора в 1968 г. Созданная в этих работах теория преобразований слов
в свободных периодических группах и ее различные модификации являются
наиболее продуктивным подходом в исследованиях трудных проблем теории
групп. В 1950 г. от проблемы Бернсайда отпочковалась другая проблема,
относящаяся к конечным периодическим группам, которую сформулировал
В. Магнус под названием “Restricted Burnside problem”. Мы называем
эту проблему проблемой Бернсайда–Магнуса. Если в проблеме Бернсайда
вопрос ставился о локальной конечности периодических групп данного
периода, то в проблеме Бернсайда–Магнуса речь идет о существовании
максимальной конечной группы R(m,n) фиксированного периода n c
данным числом порождающих m. Эти проблемы как бы дополняют друг
друга.
Публикация в 1987 г. в совместной работе автора и А. А. Разборова
первого эффективного доказательства известного результата
А. И. Кострикина о существования групп R(m,n) при простых n c
указанием примитивно рекурсивной оценки порядков этих групп явилась
толчком для активизации исследований и по этой проблеме. Вскоре
появились и другие эффективные доказательства этого результата, а затем
Е. И. Зельманов распространил этот результат на случаи, когда n есть
степень простого числа. Этим исследованиям посвящен последний раздел
статьи.
Библиография: 105 названий.
Ключевые слова:
проблема Бернсайда, бесконечные периодические группы,
тождества в группах, периодические слова, лиевы алгебры,
проблема Бернсайда–Магнуса, условие Энгеля.
Образец цитирования:
С. И. Адян, “Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы”, УМН, 65:5(395) (2010), 5–60; Russian Math. Surveys, 65:5 (2010), 805–855