Аннотация:
Действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А насколько хорошим может быть такое приближение – в сравнении с его сложностью? Например, оборвав десятичную запись числа x на k-й цифре после запятой, мы получим приближение x≈a/10k с ошибкой порядка 1/10k. И вообще, зафиксировав знаменатель q у приближающей дроби, мы точно можем получить приближение с ошибкой порядка 1/q (точно не больше 1/2q, и в среднем 1/4q). А можно ли сделать лучше?
Знакомое всем приближение π≈22/7 даёт ошибку порядка 1/1000 – то есть явно сильно лучше, чем можно было бы ожидать. А почему? Повезло ли нам, что у ? такое приближение есть? Оказывается, что для любого иррационального числа есть бесконечно много дробей p/q, приближающих его лучше, чем 1/q2. Это утверждает теорема Дирихле – и мы начнём курс с её немного нестандартного доказательства.
А именно, мы посмотрим на ряды Фарея – выписанные по возрастанию несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим данного числа. Оказывается, что они удовлетворяют нескольким совершенно удивительным свойствам: например, каждое из них это «сумма двоечника» (числитель с числителем, знаменатель со знаменателем) своих соседей. Из свойств рядов Фарея мы и выведем теорему Дирихле.
Программа курса 1. Ряды Фарея, их свойства. Теорема Дирихле о приближаемости.
2. Цепные дроби, их свойства. Их связь с рядами Фарея, второе доказательство теоремы Дирихле.
3. (если позволит время) Не-приближаемость алгебраических чисел, явный пример трансцендентного числа.
4. Зиккурат Дженкинса–Ноймана, два его описания и теорема о самоподобии множества его вершин.