Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика», 2014
20 июля 2014 г. 09:30, г. Дубна
 


Рациональные приближения действительных чисел. Лекция 1

В. А. Клепцын
Видеозаписи:
Flash Video 439.5 Mb
MP4 575.6 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:1116
Видеофайлы:526
Youtube:668

В. А. Клепцын



Аннотация: Действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А насколько хорошим может быть такое приближение – в сравнении с его сложностью? Например, оборвав десятичную запись числа x на k-й цифре после запятой, мы получим приближение xa/10k с ошибкой порядка 1/10k. И вообще, зафиксировав знаменатель q у приближающей дроби, мы точно можем получить приближение с ошибкой порядка 1/q (точно не больше 1/2q, и в среднем 1/4q). А можно ли сделать лучше?
Знакомое всем приближение π22/7 даёт ошибку порядка 1/1000 – то есть явно сильно лучше, чем можно было бы ожидать. А почему? Повезло ли нам, что у ? такое приближение есть? Оказывается, что для любого иррационального числа есть бесконечно много дробей p/q, приближающих его лучше, чем 1/q2. Это утверждает теорема Дирихле – и мы начнём курс с её немного нестандартного доказательства.
А именно, мы посмотрим на ряды Фарея – выписанные по возрастанию несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим данного числа. Оказывается, что они удовлетворяют нескольким совершенно удивительным свойствам: например, каждое из них это «сумма двоечника» (числитель с числителем, знаменатель со знаменателем) своих соседей. Из свойств рядов Фарея мы и выведем теорему Дирихле.

Программа курса
1. Ряды Фарея, их свойства. Теорема Дирихле о приближаемости.
2. Цепные дроби, их свойства. Их связь с рядами Фарея, второе доказательство теоремы Дирихле.
3. (если позволит время) Не-приближаемость алгебраических чисел, явный пример трансцендентного числа.
4. Зиккурат Дженкинса–Ноймана, два его описания и теорема о самоподобии множества его вершин.

Website: https://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/kleptsyn-2.htm
Цикл лекций
 
  Обратная связь:
math-net2025_02@mi-ras.ru
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025