Аннотация:
Как мы узнаем, выпуклые многогранники можно складывать и перемножать между собой. Далее, выпуклые многогранники можно умножать на рациональные числа. И наконец, что несколько неожиданно, для выпуклых многогранников можно определить логарифм и экспоненту. Вооружившись этими умениями, мы построим математически богатый замечательный объект – (почти) градуированную алгебру над $Q$ – алгебру многогранников Питера Мак Маллена.
С помощью этой алгебры мы (почти) докажем теорему об $f$-векторе выпуклого многогранника.
Эта алгебра хорошо «отражается» в теории алгебраических торических многообразий, см. курс Г. Паниной 2014 года.
Программа курса
Равносоставленность относительно параллельных переносов.
Сумма Минковского. В нашей алгебре она играет роль произведения.
Строим кольцо многогранников.
Превращаем кольцо в алгебру: учимся делить на целые числа.
Логарифм и экспонента как универсальные инструменты для построения градуированной алгебры.
$f$- и $h$-векторы. Теорема о характеризации $f$-вектора (именуемая «$g$-теорема»).
Будет много задач и упражнений.
Не требуется никаких предварительных знаний. О том, что такое «кольцо», «алгебра», «градуированная алгебра» будет рассказано на лекциях.
Обратная связь: