Кобордизмы (алгебраические) и их применение. Лекция 3

В курсе из 4-х лекций будет рассказано о положительном решении одной давно стоявшей наивной задачи (см. формулировку ниже) и ее связи с кобордизмами. Тем самым слушатели познакомятся с алгебраическими кобордизмами, введенными в математику около 2000 года Воеводским с одной стороны и Левиным и Морелем с другой. А так же слушатели познакомятся и с классическими кобордизмами, интенсивно разработанными школами Тома, Милнора и Новикова.
Замечание. Пусть целое число u таково, что уравнение $T_1^2+T_2^2+\dots+T_n^2=u^2T_n^2+1$ имеет решение в рациональных числах. Домножив такое решение на подходящее целое число, можно избавиться от знаменателей и получить целочисленное решение. Далеким обобщением этого упражнения является следующая
Задача. Пусть $u=f(z_1,\dots,z_n)/g(z_1,\dots,z_n)$ – частное двух комплексных многочленов от $n$ переменных, причем $g(0,\dots, 0)$ не ноль.
Предположим, что имеется целое $k > 0$ такое, что u является суммой $k$ квадратов рациональных функций от $n$ переменных. Верно ли, что тогда $u$ можно представить в виде суммы $k$ квадратов рациональных функций $p_i/q_i$ от $n$ переменных, регулярных в окрестности начала координат? (т.е. для каждого $q_i(0, \dots, 0)$ не ноль).
Если $n=1$, то решение задачи состоит в небольшой модификации рассуждения про избавление от знаменателей. При $n > 1$ столь наивный подход не работает. Будет объяснено, что такое алгебраические кобордизмы и как их применение решает положительно указанную задачу.
Замечание. Конечно основная трудность в том, что исходное представление функции u в виде суммы $k$ квадратов могло использовать рациональные функции не регулярные в окрестности начала координат. Задача была решена лектором положительно (см. www.math.uiuc.edu).
В 2009 году решение было опубликовано в Inventiones Mathematicae. Кажется правдоподобным, что метод может сработать и в решении других родственных задач.