Бильярды: периодические траектории и законы сохранения. Лекция 1

Математические бильярды встречаются в разных областях, таких как классическая механика, геометрическая оптика, модель Больцмана идеального газа, динамические системы и классический анализ (спектральная теория). Динамикой бильярда описываются, например, системы механических тел с упругими столкновениями и распространение света в замкнутой комнате с идеально отражающими стенками. Замечательное свойство преобразования бильярда состоит в том, что оно сохраняет канонический объём на пространстве ориентируемых прямых.
Имеется ряд старых нерешенных и просто формулируемых проблем о периодических траекториях в бильярдах. Например, не известно, в каждом ли треугольном бильярде есть периодическая траектория. Открытая гипотеза В. Я. Иврия, тесно связанная со спектральной теорией, утверждает, что не существует (криволинейного) бильярда, имеющего открытое множество периодических траекторий. Гипотеза Биркхофа утверждает, грубо говоря, что единственный выпуклый плоский бильярд с дополнительным законом сохранения вблизи границы есть эллипс.
В курсе будет даны обзор гипотезы Иврия и формулировка гипотезы Биркхофа. Далее будет рассмотрен бильярд в эллипсе и бильярд на софокусных эллипсах, где отражение от меньшего эллипса происходит со сменой ориентации. Оказывается, что в этом бильярде имеется открытое множество четырёхугольных траекторий. Этот известный чисто планиметрический факт красиво следует из двух законов сохранения для бильярда в эллипсе, и мне не известно его чисто планиметрического объяснения.