Квадратичный закон взаимности. Лекция 4

Всем известно, что полный квадрат может оканчиваться на 0, 1, 4, 5, 6 и 9, но не на 2, 3, 7 или 8. А как обстоят дела в других системах счисления? Иными словами: дано число $n$; какие остатки при делении на $n$ могут давать полные квадраты?
На этот естественный вопрос существует красивый и нетривиальный ответ, найденный в конце XVIII века великим математиком К.-Ф. Гауссом. Теорема, доказанная тогда Гауссом, оказалась связанной с важнейшими задачами теории чисел.
У теоремы Гаусса существует множество различных доказательств. Для нашего курса мы выбрали доказательство не самое элементарное, но зато хорошо демонстрирующее внутренний смысл теоремы.

• Постановка задачи о квадратичных вычетах.
  Функция Эйлера и первообразные корни. Когда −1 является полным квадратом?
• Корни из единицы. Когда 2, 3 или 5 является полным квадратом?
• Гауссовы суммы. Теорема Гаусса в общем случае.
• Снова гауссовы суммы. Квадратные корни и тригонометрия.

Курс предназначен для учеников 9–10 классов.
Сверх школьной программы необходимо иметь начальное представление об «арифметике остатков» и знать геометрический смысл умножения комплексных чисел.