Системы корней и диаграммы Дынкина. Лекция 1

Система корней — этот конечный набор векторов в евклидовом пространстве, такой что для любого из этих векторов $v$ зеркальная симметрия $s_v$ относительно гиперплоскости $H_v$, перпендикулярной к $v$, сохраняет систему, причем для всякого вектора $v'$ из системы $s_v(v')$ – $v'$ является целым кратным вектора $v$.
В двумерном пространстве единственнными (приведенными и неприводимыми) системами корней являются нарисованные на картинке системы.

Система корней $A_2$

Система корней $B_2$

Система корней $G_2$

Оказывается, системы корней можно полностью классифицировать. Возникает несколько «серий» (бесконечных последовательностей) и несколько «исключительных» систем.

Система корней $E_8$

Мы поговорим о системах корней в пространствах произвольной размерности, их классификации, и возникающих в связи с этим диаграммах Дынкина. Кроме того, мы обсудим важное обобщение систем корней — аффинные системы и поговорим о том, в каких областях математики все это встречается.