Аннотация:
Инволюциями являются неединичные элементы $q$ группы, для которых $q^2=e$
– единица группы. Имеется ряд результатов об оценках минимального числа инволюций,
произведением которых можно представить любой элемент группы. Например, Халмош и
Какутани (1958) доказали, что унитарное преобразование бесконечномерного
комплексного гильбертова пространства может быть представлено произведением
4 инволюций, Густафсон и Халмош (1976) показали, что любая квадратная матрица над
полем с определителем $\pm$1 представляется произведением не более 4 инволюций.
В начале 1970-х гг. А. И. Кострикин высказал предположение, что любой элемент
простой конечной группы представляется произведением не более 4 ее инволюций.
Картер (1970) доказал, что любую подстановку из знакопеременной группы можно
представить произведением не более трех инволюций, т. е. подстановок, все циклы
которых имеют длину 1 или 2.
В цикле работ Ф. М. Малышева рассматривается вопрос о минимальном числе
парноцикловых инволюций (без единичных циклов), произведениями которых можно
представить подстановки четной степени. Бреннер (1978) показал, что любая четная
подстановка представляется произведением не более 4 парноцикловых инволюций, и
привел примеры подстановок, которые нельзя представить произведением трех таких
инволюций.
Ф. М. Малышев конструктивно доказал, что почти все четные подстановки
представимы произведениями не более трех парноцикловых инволюций, и полностью
описал классы сопряженности подстановок четной степени, которые представимы только
произведениями четырех парноцикловых подстановок: для подстановок степени 6
имеется один класс, для подстановок степени 16 – пять классов, а для подстановок
остальных четных степеней, больших 6 и отличных от 16, – по четыре класса.