Теоремы конечности для обобщенных якобианов с нетривиальным кручением (по совместной работе с В. П. Платоновым и Г. В. Федоровым)

Вопросы конечности числа точек на алгебраической кривой над полями алгебраических чисел являются фундаментальными вопросами алгебраической геометрии, начиная с гипотезы Морделла. В докладе я расскажу о новых вопросах о конечности множества обобщенных якобианов для кривой $C$, определеной над полем алгебраических чисел, связанных с такими модулями $\mathfrak m$, что фиксированный класс конечного порядка в якобиане кривой $C$ поднимается до класса кручения в обобщенном якобиане $J_{\mathfrak m}$. С одной стороны оказывается, что такое множество обобщенных якобианов с вышеуказанным свойством бесконечно, а с другой стороны при дополнительных условиях на носитель ${\mathfrak m}$ или на структуру группы $J_{\mathfrak m}$ получены результаты о конечности множества таких обобщенных якобианов. Эти результаты были применены к проблеме периодичности непрерывных дробей, построенных в поле формальных степенных рядов $k((1/x))$, для специальных элементов поля функций гиперэллиптической кривой $y^2 = f(x)$. В частности, для любого $n$ показана конечность множества многочленов $g(x)$ степени, ограниченной $n$, для которых периодично разложение в непрерывную дробь элемента $g(x)\sqrt{f(x)}$.