Главные расслоения. Семинар 4

Цель курса — познакомить слушателей с простым, но очень важным понятием, главным расслоением. Часто говорят «главным $G$-расслоением», где $G$ — это группа. Например, $G$ — это $\mathbb Z/2\mathbb Z$, или окружность, или трёхмерная сфера, или... Главные расслоения играют большую роль во многих разделах математики и физики. Например, в топологии, теории многообразий, алгебраической геометрии и даже в теории чисел.

Курс будет состоять из нескольких сюжетов и в основном будет «геометрическим». Мы разберём как по одним главным расслоениям строить другие (с другой группой). Как по главному $G$-расслоению и действию $G$ на $F$ строить расслоение со слоем $F$.

Главные $\mathbb Z/2\mathbb Z$ — расслоения над $Х$ — это просто двулистные накрытия $Х$. Их столько же, сколько непрерывных отображений из $Х$ в $\mathbb RP^\infty$. Главные $S^1$-расслоения устроены хитрее. Но их столько, сколько отображений из $Х$ в $\mathbb СР^\infty$. Отображения рассматриваются с точностью до их плавных замен (гомотопий).

Указанные пространства — это классифицирующие пространства циклической группы порядка два и окружности соответственно. Оказывается у каждой группы $G$ есть своё классифицирующее пространство $BG$ такое, что главных $G$-расслоений над $Х$ столько, сколько непрерывных отображений из $Х$ в $BG$ (с точностью до гомотопий).

Курс рассчитан на студентов.