Аннотация:
В математике есть много перечислительных задач, то есть задач подсчета каких-либо комбинаторных объектов, зависящих от параметра n, например: деревьев с n вершинами, разбиений числа n, групп порядка n и т.п. Часть из них совершенно безнадежны, часть решаются (легко или трудно) комбинаторными методами. А некоторые (и это, пожалуй, самый интересный случай) удается решить только принципиально не комбинаторным способом, опираясь на глубокие идеи из других областей математики. Я расскажу об одной из таких задач, решенной совсем недавно (в 2017 году) Филипом Энгелем и Питером Смилли. Это задача подсчета триангуляций двумерной сферы с 2n гранями, удовлетворяющих следующему условию выпуклости (или условию неотрицательной кривизны): в каждой вершине сходится не больше шести ребер триангуляции. Ответ оказывается удивительным: взвешенное число таких триангуляций с 2n гранями (с некоторыми очень естественными весами) равно
809215⋅313⋅52σ9(n),
где σ9(n) — сумма девятых степеней всех делителей числа n. Вывод этой формулы получается в результате очень красивого взаимодействия идей теории модулярных форм, комплексной гиперболической геометрии (комплексного аналога геометрии Лобачевского), геометрии решеток.
Для понимания курса нужно уметь (и не бояться) дифференцировать и интегрировать, а также обращаться с комплексными числами. Желательно (но не обязательно) знакомство с началами линейной алгебры (умножение матриц, квадратичные формы).