От динамики на торе к изомонодромным деформациям. Семинар 4

Что будет, если взять систему из двух сверхпроводников, разделённых очень узкой прослойкой из диэлектрика? Б. Джозефсон (Нобелевская премия 1973 г.) предсказал, как такая система (джозефсоновский контакт) будет себя вести: через изолятор всё-таки будет течь сверхпроводящий ток.

Сильно шунтированный джозефсоновский контакт моделируется дифференциальным уравнением на двумерном торе $\mathbb T^2=\mathbb R^2_{\phi,\tau}/ 2\pi\mathbb{Z}^2$, зависящим от трёх параметров: $B$ (абсцисса), $A$ (ордината) и $\omega$ (частота):
$$\frac{d\phi}{d\tau}=-\frac{\sin \phi}\omega + \frac B\omega + \frac A{\omega} \cos\omega \tau.$$


Важная характеристика такой системы — число вращения $\rho(B,A;\omega)$: грубо говоря, среднее количество оборотов траектории «вокруг тора» за очень большое время. Зоны фазового захвата — это те её множества уровня $L_r=\{\rho=r\}\subset\mathbb{R}^2_{B,A}$, которые имеют непустую внутренность.

На рисунке изображены (на плоскости параметров $(A,B)$) зоны захвата при $\omega=2$, 1, 0.3.

Удивительным образом, объяснения и строгие доказательства тех эффектов, которые можно невооружённым глазом увидеть на этих картинках, потребуют введения и использования красивой и совершенно нетривиальной техники. Эта задача оказывается связана с быстро-медленными системами, с теорией особенностей линейных дифференциальных уравнений с комплексным временем, и с уравнением Пенлеве III.

Пререквизиты. Для понимания курса требуется знакомство с основами анализа (программа старших классов), понятием производной и дифференциального уравнения.