Распределение значений показателя Перрона по решениям линейной дифференциальной системы

Рассматривается линейная дифференциальная система
$$ \dot x=A(t)x,\quad x\in\mathbb{R}^n,\quad t\in\mathbb{R}_+, $$
с непрерывными (не обязательно ограниченными) коэффициентами. Каждому ненулевому вектору $\xi\in\mathbb{R}^n$ ставится в соответствие показатель Перрона
$$ \pi_A(\xi)\equiv\varliminf_{t\to+\infty}\frac 1 t\ln |x(t,\xi)| $$
решения $x(\cdot,\xi)$ этой системы, выходящего в момент времени $t=0$ из вектора $\xi.$ Возникает естественный вопрос: что представляет собой класс функций $\xi\mapsto \pi_A(\xi),$ $\xi\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\},$ когда $A$ пробегает множество всех линейных систем? Оказывается, указанный класс для любого $n\ge 2$ состоит в точности из функций $f\colon\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\to\overline{\mathbb{R}}\equiv\mathbb{R}\sqcup\{-\infty,+\infty\},$ удовлетворяющих следующим двум условиям:

• 1)$f(c\xi)=f(\xi),$ $\xi\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\},$ $c\in\mathbb{R}\setminus\{0\};$
• 2) для каждого $r\in\mathbb{R}$ прообраз $f^{-1}([-\infty,r])$ является $G_\delta$-множеством.