Аннотация:
Посмотрим на однородный многочлен второй степени от нескольких координат — например,
P(x,y)=x2+2xy−y2.
Геометрически естественное действие — "покрутить" систему координат и попробовать такой заменой привести многочлен к наиболее простому виду. Например, чтобы понять его линии уровня — эллипсы или гиперболы в двумерном случае. Стандартная теорема линейной алгебры утверждает, что всегда можно “повернуть” систему координат так, чтобы получилось
P(y1,...,.yk)=c1y21+...+cky2k;
это называется “приведением квадратичной формы к главным осям”, а числа c1,...,ck называют собственными значениями.
Вопрос об их нахождении не только интересен геометрически — но и, например, возникает в квантовой механике (где собственными значениями оказываются “допустимые энергетические уровни”).
А что будет, если коэффициенты квадратичной формы выбираются случайно? Оказывается, с этого начинается большая, интересная, и “идущая в разные стороны” наука — которую я попробую рассказать, дойдя от её начальных глав до современных вещей (и попробую закончить нашим с Вадимом Гориным свежим результатом о поведении “матриц при нулевой температуре”, arXiv:2009.02006).
Предварительные сведения:
несмотря на “алгебраическое” начало, знания линейной алгебры нам не понадобится (кроме интуитивно-геометрических вещей, которые я при необходимости продекларирую). Большая часть курса будет связана с теорией вероятностей — впрочем, опять же, нам будет достаточно интуитивного её понимания, а часть необходимых понятий и теорем мы “переоткроем” по пути. Кроме того, нам потребуется работать с интегралами — но опять же, будет достаточно их интуитивного понимания как предела сумм и как (ориентированной) площади под графиком.
Программа-максимум: — гауссово распределение и центральная предельная теорема
— многомерное гауссовское распределение и распределение Максвелла
— вектор на случайной сфере
— теорема о концентрации меры (если успеем)
— спектр случайной матрицы и полукруговой закон Вигнера: электроны вокруг тяжёлых атомов
— R/C/H-версии задачи; «размерность» β=1,2,4 как параметр
— кристаллизация спектра при нулевой температуре
— предел малых колебаний: гауссов процесс и его описание