Топология vs комбинаторика. По направлению к дракону. Семинар 3

Мы разберём две задачи, решения которых удачно сочетают «must know» топологические и комбинаторные методы.
1. Топологическая теорема Хелли. Все привыкли к тому, что теорема Хелли (об общей точке) справедлива только для выпуклых множеств. Однако условие выпуклости можно существенно ослабить, что мы и сделаем. Попутно мы изучим пермутоэдр, теорему Борсука-Улама и топологическую теорему Радона, которые замечательны сами по себе.
2. Теорема о делении без зависти. Теорема о делении без зависти в присутствии Дракона. N друзей собрались на праздник и собираются поделить торт. У каждого из собравшихся имеется своё представление о том, какой кусок торта является лучшим (кто-то любит кремовые розочки, кому-то важен размер, кто-то худеет и выбирает кусок поменьше). Торт надо разрезать на N кусков и раздать друзьям так, чтобы ни один из них не завидовал остальным. Мы математически формализуем эту задачу и докажем её разрешимость. Попутно мы изучим такие полезные вещи как степень отображения, степень отображения для многообразий с краем и многогранник Биркгофа. (Присутствие Дракона добавит драматизма и усложнит задачу математически.)
Для понимания курса понадобятся самые основы линейной алгебры, представление о непрерывных отображениях, представление о замкнутых (и открытых) подмножествах евклидова пространства.
Полезно вспомнить обычную теорему Хелли и её доказательство, простейший вариант таков: на плоскости лежат четыре выпуклых множества; если каждые три из них пересекаются, то все четыре имеют общую точку.