Комплексные кривые, формула Гурвица и применения. Семинар 1

Цель курса — на примерах теоремы 1 и ее следствий познакомить слушателей с разветвленными и неразветвленными накрытиями, формулой Гурвица и теоремой Римана−Роха для таких кривых. Сразу отметим, что все комплексные кривые, упоминаемые ниже «де факто» оказываются комплексными алгебраическими кривыми (проективными). Но теория является наглядной и простой именно для комплексных кривых (компактных).
Комплексная кривая — это пара $(X,O_X)$, где $Х$ — сфера с ручками, а $O_X$ — «некоторый запас» комплексно-значных функций на $Х$, называемых голоморфными. Голоморфное отображение $(X,O_X)$ в $(Y,O_Y)$ — это непрерывное отображение $X$ в $Y$, согласованное с $O_X$ и $O_Y$. «Запас» $O_X$ задает поле мероморфных функций $С(Х)$ на $Х$ (здесь поле — это не векторное поле). Непостоянному голоморфному отображению $(X,O_X)$ в $(Y,O_Y)$ соответствует некоторое включение поля $С(Y)$ в $С(Х)$. Мы докажем
Теорему 1. Вложений полей $С(Y)$ в $С(Х)$ (тождественных на константах) столько же, сколько непостоянных голоморфных отображений $(X,O_X)$ в $(Y,O_Y)$.
Следствие 1. Если $С(Х)=С(z)$ — поле рациональных функций от переменной $z$, то $С(Y)=C(t)$ — поле рациональных функций от переменной $t$.
Следствие 2. Имеется только одна комплексная кривая $(X,O_X)$ такая, что $Х$ — двумерная сфера как топологическое пространство. Это просто комплексная проективная прямая с голоморфными (аналитическими) функциями на ее открытых подмножествах.
Замечание. «Запас» $O_X$ принято называть пучком голоморфных функций на $Х$. Когда говорят, что на $Х$ задана комплексная структура, то часто имеют ввиду именно задание пучка $O_X$. Ясно, что только часть непрерывных функций лежит в $O_X$.
Будет много упражнений. Предполагается знание комплексных чисел. Если успеем, то будет построено и объяснено правило сложения на эллиптической кривой. В противоположность к Следствию 2: если $Х$ — это сфера с по крайней мере одной ручкой, то имеется целое семейство различных комплексных кривых $(X,O_X)$ с одним и тем же $Х$. Может быть успеем понять и это.