Весовые системы, связанные с алгебрами Ли, и инварианты графов - 1

Инварианты узлов это функции на классах изотопии узлов. Их задача — различать неизотопные узлы. Теория В. А. Васильева инвариантов узлов конечного порядка позволяет сопоставить каждому такому инварианту функцию на хордовых диаграммах — простых комбинаторных объектах, состоящих из окружности и нескольких хорд в ней. Такие функции называются «весовыми системами». В силу теоремы Концевича это соответствие, по сути, взаимно-однозначно: каждая весовая система определяет некоторый инвариант узлов.
В частности, весовую систему можно сопоставить любой полупростой алгебре Ли. Однако уже в простейшем нетривиальном случае — для алгебры Ли $\mathrm{sl}(2)$ — подсчет значений соответствующей весовой системы является вычислительно нетривиальной задачей. В то же время, эта весовая система весьма важна, поскольку она соответствует знаменитому инварианту узлов, называемому крашенным многочленом Джонса.
За последний год в понимании весовых систем, связанных с алгебрами Ли, произошли существенные прорывы. Выведены и доказаны явные формулы для значений весовой $\mathrm{sl}(2)$-системы на некоторых важных сериях хордовых диаграмм. Разработаны методы для вычисления $\mathrm{gl}(N)$-весовой системы, эффективно работающие при всех $N$. Эти методы основаны на идее М. Э. Казаряна о возможности продолжения $\mathrm{gl}(N)$-весовой системы на произвольные перестановки.
В двух лекциях будут даны необходимые определения и сформулированы результаты, в том числе, связывающие весовые системы с инвариантами графов. Будет предложен ряд задач — как решенных, так и представляющих собой открытые проблемы.