Один метод Воеводского и его применения. Семинар 5

Имеется очень красивый метод конечных соответствий Воеводского. Мы продемонстрируем его силу и красоту, решив следующую задачу.
Пусть $k$ — подполе поля комплексных чисел (например поле рациональных чисел). Пусть подмногообразие $X$ в $n$-мерном аффинном пространстве задано уравнением $F=0$. Предположим, что $Х$ является гладким и неприводимым. Пусть $k[X]$ — кольцо регулярных функций на $Х$ и $k(X)$ — поле частных кольца $k[X]$.
Пусть $f\in k[X]$ — обратимая функция. Предположим, что в поле $k(X)$ она является суммой двух квадратов. Мы докажем, что тогда для каждой точки $x$ из $X$ найдутся функции $a$ и $b$ из $k(X)$, корректно определенные в точке $x$ и такие, что сумма их квадратов равна $f$.
Другими словами: если регулярная обратимая функция на $X$ является суммой двух квадратов рациональных функций, то она локально в топологии Зариского является суммой двух квадратов.
Замечание. В качестве $Х$ можно взять любое гладкое неприводимое аффинное многообразие. Сумму 2-х квадратов можно заменить на сумму 4-х квадратов. Можно взять и сумму 8-и квадратов.