Аннотация:
Известно, что многие физические процессы описываются законами сохранения и принципом наименьшего действия: за данный промежуток времени определенная величина увеличивается на минимально возможную добавку. Миникурс посвящен бильярдам — одному из фундаментальных классов математических систем с вышеупомянутыми свойствами, происходящих из задач механики, физики и оптики.
Имеется ряд старых нерешенных и просто формулируемых проблем о бильярдах. Например, не известно, в каждом ли треугольном бильярде есть периодическая траектория. Выпуклый бильярд интегрируем, если существует непрерывное семейство непересекающихся замкнутых кривых (называемых каустиками), таких что всякая касательная к каждой кривой продолжается до бильярдной траектории, касающейся ее всеми своими ребрами. Эллиптические бильярды интегрируемы. Знаменитая открытая гипотеза Бирхгофа утверждает, что интегрируемы только они.
Любая заданная выпуклая замкнутая кривая на плоскости является каустикой для непрерывного семейства вложенных бильярдов (нитевая конструкция). Будем говорить, что полученное семейство бильярдов обладает свойством Грава (или свойством эволюции), если для любых двух бильярдов рассматриваемого семейства граница меньшего бильярда является каустикой для большего. Замечательная теорема Г.Порицкого утверждает, что если выполнено свойство Грава, то бильярды рассматриваемого семейства являются софокусными эллипсами. Его доказательство очень красиво, основано на элементарной планиметрии и проходит и для бильярдов на сфере и на плоскости Лобачевского. Результат Порицкого сводит гипотезу Бирхгофа к утверждению, что семейство каустик интегрируемого бильярда обладает свойством Грава.
В курсе будут обсуждены известные результаты и текущее состояние дел по вышеупомянутым открытым проблемам. В частности, мы обсудим:
треугольные орбиты в остроугольных треугольных бильярдах;
орбиты в прямоугольном бильярде, альтернатива: плотность или периодичность;
теорему Понселе для общих интегрируемых бильярдов;
несчетное семейство каустик в выпуклом бильярде (В.Ф.Лазуткин);
решение частных случаев гипотезы Бирхгофа, включая вышеупомянутый результат Порицкого с доказательством.
Обратная связь: