Введение в $А^1$-гомотопическую теорию Мореля–Воеводского. Занятие 4

В теории Воеводского и Мореля есть две составляющие: геометрическая и теоретическая. Вторая часть много сложнее, а первая – очень геометрична. Мы займемся именно геометрической частью.
Одна из конкретных задач, которые мы разберем, примерно такова. Пусть $F$ – поле (например, поле комплексных, или поле вещественных, или поле рациональных чисел). Пусть $Q(F)$ – это множество классов эквивалентности невырожденных квадратичных форм с точностью до линейных замен координат. Тогда $Q(F)$ равно классам оснащенных соответствий из точки в точку с точностью до наивных $A^1$-гомотопий ($=$ полиномиальных $A^1$-гомотопий).
При этом квадратичной форме $aT^2$ сопоставляется оснащенное соответствие (начало координат, прямая, функция $at$ , здесь $a$ – ненулевой элемент поля $F$. Эта теорема является алгебраическим вариантом теоремы из топологии о том, что классы отображений из сферы в себя однозначно определяются степенью отображения. В алгебраическом случае роль степени отображения играет класс эквивалентности квадратичной формы над данным полем $F$.
Курс рассчитан на студентов 1-го и 2-го курса. Предполагается хорошее знакомство с комплексными числами, многочленами и рациональными функциями. Все необходимые определения будут даны по ходу курса. Изложение, по-видимому, будет вестись в основном в случае $F =$ поле комплексных чисел.
Простой пример полиномиальной гомотопии. Для любой матрицы $A$ размера 3 на 3 над полем $F$ с определителем $1$ можно найти матрицу $A_t$ над кольцом многочленов $F[t]$ такую, что $A_1 = A, A_0 =$ единичной матрице. Это наблюдение показывает, что все отображения из точки в обратимые матрицы размера 3 на 3 с определителем 1 являются полиномиально эквивалентными.
На этот раз курс будет сопровождаться решаемыми задачами (упражнениями).