Инварианты плоских кривых. Занятие 1

Нарисовать замкнутую кривую на плоскости можно безумным количеством способов, но даже в этом множестве можно навести некоторый порядок. Если ограничиться только гладкими типичными кривыми (то есть не делать изломов в процессе рисования, не проводить кривую три раза через одну точку и запретить самокасания) и считать эквивалентными те из них, которые переводятся друг в друга непрерывной деформацией плоскости, то останется лишь счетное число разных кривых. Их удобно различать при помощи инвариантов, то есть численных характеристик, заведомо одинаковых у эквивалентных кривых. Кроме того, сравнивая такие числа для разных кривых, можно понять, насколько они «топологически далеки» друг от друга, то есть сколько перестроек надо сделать, чтобы превратить одну кривую в другую. Простейшими инвариантами являются число точек самопересечения и число вращения касательной к кривой, рассмотренные Уитни в работе 1937 года. Я расскажу про эти и про более сложные инварианты (в частности, про введенные В.  И.  Арнольдом в 1994 году), позволяющие эффективно различать сложные кривые, про их связи между собой и с другими областями математики.