Аннотация:
Дискретная теория Морса на первый взгляд выглядит как игрушечный вариант гладкой, однако обладает не меньшей научной мощностью: позволяет считать эйлерову характеристику, вычислять гомологические группы, упрощать изучаемое многообразие. Можно управлять градиентным векторным полем так, как этому научил Милнор, однако его знаменитая «First Cancellation Theorem» о взаимном сокращении критических точек превращается в дискретном случае в милую, почти очевидную лемму. Мы научимся пользоваться этим замечательным методом (это просто) и порешаем задачи – от простых до пока не решенных (потребуется креативность).
Программа курса
Гладкая теория Морса: самые общие сведения вкратце. Симплициальные комплексы, клеточные комплексы.
Дискретная функция Морса по Робину Форману, первые примеры.
Морсовы гомологии, неравенства Морса.
Более содержательные примеры (целая россыпь комбинаторно-геометрических объектов, которые интересны сами по себе): сферы Бира, «знаменитые» многогранники – пермутоэдр и ассоциэдр, малые накрытия (по Дэвису–Янушкевичу), конфигурационные пространства шарнирных механизмов, и другие, сколько успеем.
Игра «угадай подкомплекс» и дискретная теория Морса.
Для понимания 3 потребуется знание линейной алгебры и теории абелевых групп. Прочие знания (в т. ч. знание классической теории Морса) не предполагаются.
Обратная связь: